Geometrie, Stereometrie Skript 2012 · 4 Geometrie, Stereometrie Skript 2012 sind, schneiden sie...

Geometrie,

Stereometrie

Skript

2012 Text zum Unterricht

pb

BSL Lenzburg 06.03.2012

2 Geometrie, Stereometrie Skript

2012

Inhalt

Planimetrie .............................................................................................................. 3

Punkt, Gerade, etc. ............................................................................................ 3

Kongruenz ........................................................................................................ 5

Dreieck ............................................................................................................. 6

Satzgruppe des Pythagoras ............................................................................... 9

Kreis ............................................................................................................... 11

Raute, parallelogramm, Trapez ....................................................................... 14

Generelles Vieleck (Polygone) .......................................................................... 15

Kegelschnitte .................................................................................................. 16

Euklidische Bewegung ..................................................................................... 18

Stereometrie .......................................................................................................... 18

Das Prinzip von Cavalieri ................................................................................. 18

Quader, Würfel ................................................................................................ 19

Zylinder .......................................................................................................... 21

Prisma ............................................................................................................. 21

Kegel .............................................................................................................. 22

Pyramide ......................................................................................................... 23

Kugel .............................................................................................................. 24

Platonische Körper .......................................................................................... 25

Aufgaben ........................................................................................................ 26

Datenanalyse ...................................................................................................... 31

Grundlagen ..................................................................................................... 31

Masszahlen ..................................................................................................... 31

Weitere Diagrammtypen .................................................................................. 35

Bivariate Verteilungen ........................................................................................ 37

Stetige Verteilungen ........................................................................................... 38


2012

Teil 2

Planimetrie

Schon die ersten Zivilisationen beschäftigten sich mit Mathematik im Allgemeinen

und der Geometrie im Speziellen. Die Bruderschaft des Pythagoras vermischte dabei

die Exaktheit der Mathematik mit der Mystik. Der mathematische Teil hat sich

bewährt und die Zeit überdauert.

Punkt, Gerade, etc.

Die einfachsten geometrischen Objekte sind Punkte. Viele weitere Objekte sind aus

Punkten aufgebaut. Ein geometrisches Objekt kann z.B. definiert sein als Menge

aller Punkte welche diese und jene Eigenschaft haben. Ein Kreis ist z.B. die Menge

aller Punkte in der Ebene, welche vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Ein

Punkt wird in einem Koordinatensystem durch seine Koordinaten eindeutig

bestimmt.

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten wird Strecke genannt. Eine Strecke

ist gerade. Verlängert man eine Strecke einseitig ins Unendliche, z.B. durch

hinzufügen von Kopien der Strecke, dann erhält man einen Strahl. Ein Strahl hat

einen Anfang aber kein Ende. Verlängert man eine Strecke auf beiden Seiten ins

Unendliche, so erhält man eine Gerade. Genauso wie die Strecke und der Strahl, ist

auch die Gerade durch die Angabe von zwei Punkten eindeutig bestimmt. Alternativ

kann man die Gerade auch durch einen Punkt und eine Richtung definieren. Zwei

Geraden welche dieselbe Richtung haben, sind parallel. Für zwei Geraden In der

Ebene gibt es zwei Fälle. Die Geraden schneiden sich oder nicht. Wenn sie Parallel


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sind, schneiden sie sich nicht. Wenn sie sich schneiden haben sie einen Punkt

gemeinsam. Im dreidimensionalen Raum müssen sich zwei Geraden nicht

schneiden, auch wenn sie nicht parallel sind. Kannst du dir das Vorstellen? Es gibt

verschiedene Möglichkeiten eine Gerade mathematisch zu notieren.

Zwei-Punkte-Form: Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt

1

12

121

12

12

1

1 xxxx

yyyy

xx

yy

xx

yy

Fasst man konstante und abhängige Glieder zusammen, so erhält man die

Normalform:

mxay

xxx

yyx

xx

yyyxx

xx

yyyy

ma

12

121

12

1211

12

121

Man nennt m die Steigung der Geraden. Später wird uns noch die Vektorform der

Geradengleichung begegnen.

Als Achsenabschnitte werden diejenigen x und y Werte bezeichnet, wo die Gerade

die Koordinatenachsen schneidet. Die Gerade y=2+3x hat den x-Achsenabschnitt -

2/3 und den y-Achsenabschnitt 2. Diese Werte erhält man indem man y rsp. x

gleich null setzt. Eine horizontale Gerade hat demnach nur einen y-Achsenabschnitt.

Sind a und b die x rsp. y-Achsenabschnitte, so lässt sich eine Gerade auch in der

Abschnittsform schreiben:


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1b

y

a

x

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander wenn 121 mm gilt.

Aufgaben:

1) Bestimme die Gleichung einer Geraden die durch die beiden Punkte

(x,y)=(2,0) rsp. (0,3) verläuft.

2) Welche Steigung muss eine Gerade durch (2,2) haben damit sie durch den

Punkt (5,3) verläuft?

3) Sind die beiden folgenden Geraden Parallel? y=2x+4 rsp. y=2x+6

4) Welche x- rsp. y-Achsenabschnitte hat die gerade y=4x-2 ?

Lösungen:

1) Bsp: y=3-1.5x

2) m=1/3

3) Ja, weil die Steigungen gleich sind (m=2).

4) x0=0.5, y0=-2

Kongruenz

Zwei ebene geometrische Objekte heissen kongruent, wenn sich die eine Figur

durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung in die andere Figur transformieren

lässt. Kongruent heisst auch deckungsgleich. Wichtig: Dehnung und Streckung sind

als Transformation nicht erlaubt. Sind diese Operationen nötig, so spricht man von

ähnlichen Figuren.

Bei Dreiecken lässt sich leicht prüfen ob sie kongruent sind. Es muss jeweils die

folgenden Anzahl Seiten (S) und Winkel (W) gleich sein:

SSS, SWS, WSW, SSW, WWS

SSS ist nicht ausreichend. Die drei Winkel legen zwar die Form des Dreiecks, nicht

aber dessen Grösse fest.

Wenn die Form gleich bleibt, aber sich die Grösse ändert, so gilt generell: Wird bei

einer Stauchung oder Dehnung eines geometrischen Körpers eine Länge um den

Faktor L skaliert, so wird die Fläche (2D) um den Faktor L2 oder das Volumen (3D)

um den Faktor L3 skaliert. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für ein


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rechtwinkliges Dreieck. Die Fläche der beiden grösseren Dreiecke beträgt jeweils das

4 rsp. das 9 fache der Fläche des kleinen Dreiecks. Die Hypotenuse wurde um den

Faktor 2 rsp. 3 gestreckt.

Dreieck

Ein Dreieck ist durch Angabe dreier Punkte eindeutig bestimmt. Man unterscheidet

zwischen allgemeinen Dreiecken und solchen mit speziellen Eigenschaften wie:

rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Die rechtwinkligen

Dreiecke führten zur Definition der Trigonometrischen Funktionen wie Sinus oder

Kosinus. Allgemeine Dreiecke liessen sich dann mit dem Sinus oder Kosinussatz

berechnen. Wir haben das im Band 1 gesehen. Nachfolgend eine Zusammenfassung.

Ein Beispiel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Die Trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) sind dann


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Ankathete

teGegenkathe

Hypotenuse

Ankathete

Hypotenuse

teGegenkathe

)tan(

)cos(

)sin(

Für das allgemeine Dreieck gilt der Sinus- rsp. der Kosinus-Satz.

cba

)sin()sin()sin(

)cos(2222 bccba

Beim Kosinussatz merke man sich, dass die Seiten b und c den jeweiligen Winkel

einschliessen. Der Satz gilt natürlich für jeden Winkel.

Wie merken uns nochmals die beiden wichtigen Additionstheoreme:

)2sin()cos()sin(2

1)(cos)(sin 22

xxx

xx

Ausserdem die Symmetrieeigenschaften:

)sin()90cos(

)cos()90sin(

xx

xx

Man muss nichts auswendig lernen wenn man sich die Graphen der beiden

Funktionen vor Augen hält.


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Die folgende Graphik zeigt das Vorgehen, rsp. den Einsatz des geeigneten

Werkzeugs. Beachte die Zweideutigkeit bei der Verwendung des Sinussatzes.

Der Umkreis eines Dreiecks lässt sich mit den Mittelsenkrechten auf die Seiten

konstruieren. Diese schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.

Der Inkreis eines Dreiecks lässt sich mit den Winkelhalbierenden berechnen. Diese

schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist gerade gleich dem Schnittpunkt der

Seitenhalbierenden.


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Satzgruppe des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer von drei Sätzen aus einer Satzgruppe über

rechtwinklige Dreiecke. Das folgende Bild zeigt eine Herleitung, die sich die

Skalierungseigenschaft von oben zunutze macht. Man errichte das Lot von B auf die

Seite b. Das Lot teilt das ursprüngliche Dreieck in zwei neue Dreiecke die zu sich

selbst und zum ursprünglichen Dreieck ähnlich sind. Die Hypotenusen der Dreiecke

sind gerade gleich den Seiten des ursprünglichen Dreiecks. Ausgehend von einem

ähnlichen Dreieck mit der Hypotenusenlänge eins und der Fläche A0 folgt

2

0

2

0

2

0 bAaAcA

222 bca


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Der Kathetensatz des Euklid setzt die Hypotenusenabschnitte mit den Quadraten der

Katheten in Beziehung.

pca

qcb

2

2

Der Höhensatz des Euklid setzt die Hypotenusenabschnitte zum Quadrat der Höhe

in Beziehung.

2hpq

Die Fläche eines Dreiecks kann auf verschiedene Arten berechnet werden.

bcA

cbascsbsassA

HöheGrundlinieA

)sin(2

1

2 wobei))()((

2

1

Die zweite Formel heisst Heronsche Flächenformel. Bei der dritten Gleichung ist

gleich dem Winkel zwischen den Seiten b und c.


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Übrigens: Dreiecke auf Kugeloberflächen, sogenannte sphärische Dreiecke, haben

Winkelsummen die grösser als 180 Grad sind. Vermesser und Geographen benützen

deshalb die Kenntnisse der Sphärischen Trigonometrie.

Aufgaben:

1) Zeige, dass die erste und die dritte Flächenformel identisch sind.

2) Berechne den Winkel des Dreiecks mit a=2, b=4, =20°.

Lösung:

Zu 2) =43.2° rsp. 136.9°

Kreis

Der Kreis ist die Menge aller Punkte die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, den

gleichen Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius genannt. Die Kreissehne mit

der grössten Länge ist der Durchmesser. Er ist gleich dem doppelten Radius.

Zwei Punkte auf dem Kreis zerlegen diesen in zwei Kreisbögen. Die Länge der

Kreisbögen ist proportional zum entsprechenden Zentriwinkel. Der gesamte

Kreisbogen hat die Länge 2r


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Die implizite Gleichung (Mittelpunktsgleichung) des Kreises lautet:

222 ryx

Umgeformt nach y ergibt sich

22222 xryryx

Die Kreisfläche lässt sich durch einen Näherungsprozess herleiten. Zerlegt man die

Kreisfläche in lauter gleiche Sektoren und fügt diese wie in der Abbildung unten

gezeigt zusammen, so folgt die Fläche zu A=r2.

Eine Gerade welche den Kreis nicht berührt wird Passante genannt. Die Passante hat

einen gewissen Abstand vom Kreis. Berührt eine Gerade den Kreis nur in einem

Punkt, so wird sie Tangente genannt. Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei

Punkten und definiert ein Kreissegment.


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In der folgenden Abbildung heisst der Winkel der Peripheriewinkel. Er ist gerade

halb so gross wie der Zentriwinkel . Der Sehnentangentenwinkel ist gleich gross

wie der Peripheriewinkel.

Der Sehnensatz besagt: Zieht man durch einen Punkt innerhalb eines Kreises

Sehnen, so ist das Produkt ihrer Abschnitte konstant.

2121 bbaa

Aufgaben:

1) Leite eine Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors in Abhängigkeit

seines Winkels her (Winkel im Bogenmass).

2) Leite eine Formel für die Bogenlänge eines Kreissektors in Abhängigkeit

seines Winkels her (Winkel im Bogenmass).

3) Welchen Satz erhält man, wenn der Zentriwinkel gerade 180° beträgt?


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Lösungen:

1) 2

2rA

2) rb

3) Satz von Thales.

Raute, parallelogramm, Trapez

Quadrate und Rechtecke sind Vierecke mit rechten Winkeln. Eine Raute ist ein

Spezialfall eines Parallelogramms. Beim Parallelogramm sind je zwei

gegenüberliegende Seiten Parallel. Bei der Raute sind ausserdem alle Seiten gleich

lang. Sind nur zwei Seiten parallel, so spricht man von einem Trapez.

Ein Viereck dessen Ecken auf einem Kreis liegen nennt man Sehnenviereck. Ein

Sehnenviereck hat also einen Umkreis. Bestehen die vier Seiten eines Vierecks aus

Tangenten zu einem Kreis, so spricht man von einem Tangentenviereck. Ein

Tangentenviereck hat also einen Inkreis.

Für das Sehnenviereck und das Tangentenviereck gelten spezielle Beziehungen.

Sehnenviereck: 180 ,180

Tangentenviereck: dbca


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Generelles Vieleck (Polygone)

Ein Polygon ist die Fläche die man erhält, wenn man mindestens drei Punkte in der

Ebene mit Strecken verbindet, so dass sich ein geschlossener Linienzug ergibt.

Sind die Strecken alle gleich lang und der Winkel zwischen zwei aufeinander

folgenden Strecken konstant, so spricht man von einem regelmässigen N-Eck. Das

gleichseitige Dreieck und das Quadrat sind Beispiele dafür. Die Innen-Winkelsumme

eines regelmässigen N-Ecks ist

180)2( NW

Für den Fall des Dreiecks und des Vierecks liefert uns die Formel wie erwartet 180°

rsp. 360°. Man kann diese Aussage noch erweitern. Ein Polygon dessen Kanten sich

nicht nur in den Eckpunkten schneiden heisst überschlagend. Die Obige Formel gilt

auch für generelle, nicht überschlagende, N-Ecke. Somit ist die Winkelsumme für

Parallelogramme und Trapeze ebenfalls 360°.

Aufgaben:

1) Wie gross ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Seiten eines

regelmässigen 10-Ecks, 100-Ecks und 1000-Ecks? Wie gross ist wohl dieser

Winkel für sehr grosse N?

2) Zeichne ein frei erfundenes, nicht überschlagenes, 8-Eck und überprüfe die

Formel für die Innenwinkel-Summe durch Messen.


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Kegelschnitte

Was haben Geraden, Kreise und Ellipsen gemeinsam? Es sind Kegelschnitte. Man

erhält sie als Schnittmenge einer Ebene und eines Kegels. Die folgende Abbildung

zeigt die Idee.

Offensichtlich entstehen auf diese Art und Weise noch andere geometrische Formen.

Wir werden die Parabeln und Hyperbeln im dritten Teil, bei den Funktionen,

wiedersehen. Ellipsen und Kreise sind geschlossene Kurven. Parabeln und Hyperbeln

sind nicht geschlossen. Interessant ist, dass die Kegelschnitte allesamt mögliche

Bahnkurven für Himmelskörper sind. Planeten bewegen sich auf Kreisen oder

Ellipsen um die Sonne. Kometen hingegen können sich auch auf Parabeln und

Hyperbeln bewegen. Die Definition einer Ellipse lautet:

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Abstände zu zwei fixen Punkten,

den Brennpunkten, eine konstante Summe haben.

Man kann eine Ellipse nicht mehr so einfach mit einem Zirkel zeichnen. Es gibt

spezielle Apparaturen um Ellipsen zu erstellen.


2012

Einfacher lässt sich eine Ellipse mit einem Stück Faden und zwei Nadeln

konstruieren. Man steckt die Nadeln an die Orte der Brennpunkte. Dann befestigt

man die zwei Enden des Fadens an den Nadeln. Jetzt führt man den Bleistift so

entlang des Fadens, dass dieser immer gespannt ist. Weil die Länge des Fadens

konstant ist, entsteht so eine Ellipse.

Die Definition einer Parabel lautet

Die Parabel ist die Menge aller Punkte welche von einem Punkt, dem Brennpunkt,

und einer Geraden, der Leitlinie, denselben Abstand haben.


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Die Definition der Hyperbel lautet

Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte deren Absolute Differenz zu zwei Punkten,

den Brennpunkten, gleich ist.

Euklidische Bewegung

Eine Euklidische Bewegung ist eine Kombination aus einer Drehung und einer

Parallelverschiebung. Die Form eines Objektes ändert sich dabei nicht. Kongruente

Objekte können durch eine euklidische Bewegung ineinander überführt werden.

Stereometrie

Die Stereometrie befasst sich mit dreidimensionalen Objekten. Im Vordergrund

stehen die Oberflächen und Volumina von Körpern. Die Hauptstrategie ist dabei auf

bereits Vorhandenes zurückzugreifen. So wird die zweidimensionale Geometrie eine

grosse Rolle spielen.

Das Prinzip von Cavalieri

Der Satz von Cavalieri besagt, dass ein Objekt mit ebener Grundfläche das Volumen

„Grundfläche mal Höhe“ hat, wenn alle Schnittflächen parallel zur Grundfläche gleich

sind.


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Allgemeiner haben zwei Körper dasselbe Volumen, wenn Schnitte auf derselben

Höhe die gleichen Schnittflächen ergeben. Man kann dann das Volumen von

schiefen Körpern aus den geraden Körpern berechnen.

Quader, Würfel

Ein Quader besteht aus sechs ebenen Seiten die senkrecht aufeinander stehen. Zwei

gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich. Stellt man ein Quader in die x-y-

Ebene und schneidet dann horizontal in verschiedenen Höhen, so entsteht immer

derselbe Querschnitt, nämlich die Grundfläche. Das Volumen des Quaders ist also

gerade gleich der Grundfläche mal der Höhe. Die Oberfläche setzt sich einfach aus

den Flächen der einzelnen Rechtecke zusammen. Die Diagonale lässt sich

schrittweise mithilfe des Satzes von Pythagoras konstruieren.

222

222

cbad

acbcabA

cbaV

Am Beispiel des Quaders illustrieren wir noch die Idee der Abwicklung. Man klappt

dabei die Seiten entlang der Kanten so auf, dass die resultierende Fläche ohne

Unebenheiten da liegt. Nicht jeder Körper lässt sich abwickeln. Die Kugel ist ein

Gegenbeispiel. Das ist auch der Grund weshalb es keine Karten gibt, die weder die

Abstände noch die Winkel verzerren.


2012

Ein Würfel ist ein Quader mit lauter gleichen Seiten. Entsprechend gilt für das

Volumen und die Oberfläche

33

6

2

2

3

aad

aA

aV

Aufgaben:

1) Bei einem Quader ist die kürzeste Kante um 2 cm, die mittlere Kante um 1 cm

kürzer als die längste. Wie lange ist die längste Seite, wenn der Quader eine

Oberfläche von 20 cm2 hat?

Lösung: 2.915 cm

Übrigens: Quader und Würfel sind Beispiele sogenannter Polyeder. Die Oberfläche

von Polyedern besteht ausschließlich aus ebenen Flächenstücken. Polyeder sind eine

Erweiterung der Polygone ins Dreidimensionale.


2012

Zylinder

Der allgemeine Zylinder entsteht aus einer Fläche die entlang einer Strecke

verschoben wird. Steht die Strecke senkrecht auf der Fläche, so spricht man von

einem geraden Zylinder, sonst von einem schiefen Zylinder.

Die obigen Abbildungen zeigen einen geraden und einen schiefen Zylinder mit der

Grundfläche eines Polygons, und einen Zylinder mit einer etwas unkonventionelleren

Grundfläche. Die Abbildung unten zeigt die vertrauteren Kreiszylinder.

Schneidet man einen Zylinder mit einer Ebene die parallel zur Grundfläche liegt, so

resultiert ein Schnitt der gleich der Grundfläche ist. Das Volumen eines Zylinders ist

deshalb Grundfläche mal Höhe.

GhUA

hGV

2

Wobei U der Umfang der Grundfläche ist. Im Spezialfall des Kreiszylinders erhalten

wir folgende Formeln.

2

2

2 rhrA

hrV

Prisma

Ein Prisma ist ein weiterer Spezialfall eines Zylinders der als Grundfläche ein Polygon

hat. Das Prisma wird dann von ebenen Oberflächensegmenten begrenzt.


2012

Kegel

Ein allgemeiner Kegel entsteht aus einer Grundfläche und einem Punkt ausserhalb

der Ebene welche die Grundfläche enthält. Die Mantelfläche entsteht als Spur der

Verbindungsstrecken vom Punkt auf alle Punkte der Umrandungslinie der

Grundfläche. Ist die Grundfläche ein Kreis und liegt der Punkt oberhalb des

Mittelpunkts, so erhalten wir einen Konus.

Schneidet man den Kegel mit Ebenen parallel zur Grundfläche, so erhält man

Flächen die zur Grundfläche ähnlich sind. D.h. sie haben dieselbe Form aber nicht

dieselbe Grösse. Für den Konus gilt.

2222

2

3

1

3

1

rrhrrrsA

hrGhV


2012

Ein Kegel der parallel zur Grundfläche abgeschnitten (geköpft) wurde nennt man

einen stumpfen Kegel. Das Volumen lässt sich aus der Differenz des ungeköpften

Kegels und der Spitze berechnen. (Die Spitze ist wiederum ein Kegel).

Pyramide

Die Pyramide ist ein Spezialfall eines Kegels dessen Grundfläche ein Polygon ist. Die

Flächenstücke des Mantels sind dann alle Dreiecke. Auch Pyramiden können parallel

zur Grundfläche geschnitten werden wodurch sie stumpf werden.


2012

Kugel

Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte die vom Mittelpunkt denselben

Abstand, den Radius, haben. Dies ist dieselbe Definition wie beim Kreis, nur diesmal

im Raum und nicht in der Ebene.

Das Volumen und die Oberfläche der Kugel sind

2

3

4

3

4

rA

rV

Übrigens: Die Definition eines Kreises rsp. einer Kugel als Punkte mit gleichem

Abstand zum Mittelpunkt lässt sich auch auf mehr Dimensionen erweitern. Die

folgende Grafik zeigt das Volumen und die Oberfläche der „Kugeln“ mit Radius eins

im n-Dimensionalen Raum. Interessanterweise gibt es ein Maximum.


2012

Platonische Körper

Die platonischen Körper sind je aus einer einzigen Sorte gleichseitiger Vielecke

aufgebaut. Es gibt nur fünf dieser Körper. Die alten Griechen ordneten jedem dieser

Körper ein Element zu: Feuer, Wasser, Erde, Luft und Quintessenz, der Stoff aus dem

das Firmament besteht.


2012

Aufgaben

1) Bestimme die fehlenden Winkel.

2) Adorf liegt 15 km von Bedorf entfernt, Bedorf wiederum 9 km von Cedorf und

von Cedorf nach Adorf sind es 8 km (immer von der Dorfmitte aus

gemessen). Ein Supermarkt hat einen Standort gefunden, so dass es von der

Dorfmitte eines jeden der drei Orte gleich weit zum Supermarkt ist. Wie weit

ist der Supermarkt von den Dörfern entfernt?

3) Wie hoch darf der Schrank höchstens sein damit er noch aufgestellt werden

kann?


2012

4) Berechnen Sie die Breite x der Terrasse des Hauses, wenn das Volumen des

Dachgeschosses ein Viertel so gross ist wie das Volumen des übrigen Hauses.

5) Der Boden des skizzierten Brunnens aus Beton ist 10 cm dick.

a) Wie viele Liter fasst der Brunnen maximal?

b) Wie viele m3 Beton werden zum Bau des Brunnens benötigt?

6) Das grosse Rechteck mit der Länge 12 cm ist in drei Dreiecke und einen

rechteckigen Streifen unterteilt worden. Das Dreieck A hat den Flächeninhalt

45 cm2. Der Flächeninhalt des Dreiecks B ist doppelt so gross wie derjenige

des Dreiecks C und gleich gross wie der Flächeninhalt des Streifens D.

Berechne die Höhe des Streifens D.


2012

7) Das Parallelogramm ABCD hat den Flächeninhalt 15 cm2 und die Höhe h=2.4

cm. Es ist in einen Rhombus AECF und die beiden flächengleichen Dreiecke

EBC und AFD zerlegt worden. Die Fläche des Rhombus ist sechsmal so gross

wie der Flächeninhalt des Dreiecks.

a) Berechne den Flächeninhalt des Rhombus.

b) Berechne die Länge der Strecke EB.

8) In der folgenden Figur hat es keine rechten Winkel.

a) Gegeben ist der Winkel =26°. Berechne den Winkel f.

b) Gib zwei verschiedene Werte für den Winkel so an, dass der Winkel ein

Vielfaches von 10° beträgt.


2012

9) Im gezeichneten Quadrat schneiden sich die Parallelpaare rechtwinklig. Es

gelten die angeschriebenen Streckenlängen in cm. Berechne die Inhalte der

Flächenstücke A,B,C.

10) Berechne x und y ohne Trigonometrie. (CB ist parallel zu ED)

11) Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. A1=17.5 cm2


2012

12) Die Fläche des Parallelogramms ABCD ist 24 cm2. Berechne die Fläche des

Trapezes ABED und die Länge von x.

13) Berechne Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche.

14)

15)


2012

Datenanalyse

Grundlagen

Wie der Name schon sagt werden in der Datenanalyse Daten analysiert, also

untersucht. Dabei versucht man den Zahlen möglichst viel Informationen zu

entlocken. Man macht dies mit verschiedenen mathematischen Werkzeugen.

Beispiel von Daten: Antworten die man bei einer großangelegten Umfrage über das

Konsumverhalten von Kunden gesammelt hat.

Das Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden wie das optimale

Angebot an Produkten aussehen muss, damit der Absatz maximiert werden kann.

Beispiel von Daten: Eine Stichprobe von Glühbirnen aus einer Glühbirnenfabrik. Das

Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden wie viele Glühbirnen

insgesamt, also auch ausserhalb der Stichprobe, fehlerhaft sind.

Beispiel von Daten: Messwerte der Temperatur über einen langen Zeitraum von

einem bestimmten Standort.

Das Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden ob die Temperatur

tendenziell ansteigt oder eher abfällt.

Als Werkzeuge kommen bestimmte Kennwerte oder spezielle Arten der Darstellung

in Frage. Im Folgenden seinen einige Fachwörter erklärt die im Weiteren benötigt

werden.

In einer Urne habe es 1000 blaue und rote Kugeln, die Grundgesamtheit. Es soll

herausgefunden werden wie viele rote Kugeln in der Urne sind. Statt alle Kugeln zu

zählen, ziehen wir zufällig (nach ausreichendem Mischen) eine Stichprobe von 100

Kugeln. Der Stichprobenumfang ist in diesem Fall also 100. Von den 100 Kugeln

sind 33 Stück rot. Wir schliessen also, dass 30% der 1000 Kugeln, also 333 Stück,

rot sind. Je grösser der Stichprobenumfang umso genauer das Resultat aber desto

grösser der Zählaufwand. Manchmal will man gar nicht jedes Detail einer

Datenmenge wissen, sondern ist nur an ganz speziellen Eigenschaften interessiert

wie z.B. gewissen Masszahlen.

Masszahlen

Im Folgenden werden wir die wichtigsten Begriffe anhand eines Beispiels erläutern.

Um sich ein Bild vom Stand der Bildung in der Schweiz zu machen treten 1000

zufällig ausgewählte Schüler zu einem Test an. Der Test wird bewertet und mit einer

Note von 1 bis 6 versehen.


2012

Die Urliste ergab sich dabei zu

Note 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Anzahl 8 7 22 78 190 450 155 70 20

Dieses Resultat lässt sich nun ideal mit einem Balkendiagramm visualisieren.

Offensichtlich ist ein Grossteil der Schüler genügend. Sie kennen natürlich das

Konzept des Durchschnitts. Man zählt alle Noten zusammen und dividiert durch die

Anzahl der Noten.

N

k

kk znN

m1

1

Dabei sind nk die Noten und zk die entsprechende Anzahl Schüler. N ist die

Gesamtzahl der Schüler, also 1000. Es ergibt sich ein Mittelwert von m=4.44.

In der Tat ist ein Durchschnitt von 4.44 eine gute Zusammenfassung der mittleren

Leistungen für die vorliegenden Daten. Diese Zahl alleine reicht jedoch nicht aus um

sich ein Bild der Lage zu machen. Die folgende Verteilung hat denselben

Durchschnitt. Offensichtlich könnten die beiden Fälle nicht unterschiedlicher sein.

0

100

200

300

400

500

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6


2012

Während die Noten sich im ersten Fall bei etwa 4.5 häufen, ist die Streuung im

zweiten Fall viel grösser. Um ein Mass für die Streuung zu erhalten berechnet man

die sogenannte Varianz. Es handelt sich dabei um den Mittelwert der quadrierten

Abweichungen vom Mittelwert.

N

k

kk zmnN

v1

21

Dabei sind wieder nk die Noten und zk die entsprechende Anzahl Schüler.

Anschaulicher ist die Standardabweichung welche gerade die Wurzel aus der Varianz

ist. Sie hat dieselben Einheiten wie die interessierende Grösse.

Die Standardabweichung im ersten Fall beträgt 0.63 während die starke Streuung im

zweiten Fall zu einer Standardabweichung von 1.83 führt. Man kann sich die

Standardabweichung als eine Art Breite der Verteilung vorstellen.

In der Statistik wird nun postuliert, dass die Verteilung der Noten gleich aussehen

würde, wenn die ganze Schweiz am Test teilgenommen hätte. Man hat also mit

relativ geringem Aufwand eine Eigenschaft der ganzen Bevölkerung bestimmen

können. Diese „Verallgemeinerung“ ist natürlich nur zulässig, wenn die Stichprobe

genügend gross ist und die Teilnehmer repräsentativ für die ganze Bevölkerung

sind. So wäre es nicht zulässig in die Stichprobe lediglich BMS-Schüler zu

rekrutieren. Der Ausgang der Erhebung wäre viel zu gut .

0

100

200

300

400

500

600

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6


2012

Ausreisser

Schauen sie sich die folgende Verteilung der Noten einer Mathematikprüfung an.

Offensichtlich haben alle fleissig gelernt, ausser Heini und Gudrun. Der

Klassenschnitt wird durch Heini und Gudrun von einer 5 auf eine 4.5

heruntergezogen. Ist dieser Schnitt repräsentativ für die Leistung der Mehrheit der

Schüler? Eher nicht. Eine Masszahl die für solche Fälle besser geeignet ist heisst

Median. Er gibt die Note an bei der gerade die Hälfte der Klasse besser und die

andere Hälfte der Klasse schlechter ist. In unserem Fall ergibt sich ein Median von 5.

Man hätte auch gleich die beiden „Ausreisser“ weglassen können. Dies kann jedoch

zu Diskussionen führen, weil es immer subjektiv ist wann das zulässig ist. Bei einem

physikalischen Experiment kann sich herausstellen, dass gewisse Messwerte auf

keinen Fall möglich sind. Es handelt sich ev. um einen Defekt der Messgeräte oder

einen Softwarefehler. In diesem Fall können Ausreisser weggelassen werden. Aber

Achtung! Auf diese Weise wurde das Ozonloch erst später als möglich entdeckt.

Hat die Verteilung ein ausgeprägtes Maximum, so wird der entsprechende x-Wert

Modus genannt.

Der Median Teilt die Datenmenge in zwei Teile. Dieses Teilen kann erweitert werden.

Die sogenannten Quartile geben an, welche x-Werte die Daten gerade vierteln.

Unterhalb des ersten (unteren) Quartils liegen 25% der Daten, oberhalb des dritten

(oberen) Quartils liegen ebenfalls 25% der Daten. Das zweite Quartil ist gerade der

Median.

0

1

2

3

4

5

6

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6


2012

Die Quartile können nun auch als Mass für die Streuung verwendet werden. Man gibt

dazu einfach die Differenz des oberen und des unteren Quartils an. Diese

Quartilsdifferenz enthält also gerade 50% der Daten.

Die obere Graphik ist ein Beispiel für eine bimodale Verteilung. Bimodal bedeutet

dass es zwei lokale Maxima gibt. Im Gegensatz dazu wird eine Verteilung mit nur

einem einzigen Maximum unimodal genannt.

Weitere Diagrammtypen

Wenn betont werden soll dass die Summe der Eigenschaften einer Grundmenge

gerade gleich 100% ist, so kann das Kuchendiagramm verwendet werden. Die

folgende Graphik zeigt den Anteil verschiedener Energieformen am Energiehaushalt

in Deutschland.


2012

Die Balkendiagramme von oben sind Beispiele für Histogramme. Bei den

Histogrammen wird die x-Achse in gleiche oder verschieden lange Intervalle

unterteilt und alle Daten welche in das entsprechende Intervall fallen

zusammengefasst. Bei den Noten geschieht das durch das Runden.

Der Boxplot eignet sich gut zum Vergleich verschiedener Gruppen von Daten. Zu

diesem Zweck werden der Median sowie das untere und obere Quartil eingezeichnet.

Die beiden Extremwerte werden ebenfalls aufgeführt. Man erkennt also zusätzlich

zum Median noch die Streuung der Daten.

Der folgende Boxplot zeigt verschiedene Messungen der Änderung der

Windgeschwindigkeit von Böen über einen Zeitraum von 10 Jahren.


2012

Bivariate Verteilungen

Die obigen Beispiele enthielten alle nur eine Unabhängige (univariate). Klassifiziert

man die Daten nach zwei Kriterien, so spricht man von bivariaten Daten. Die

Bevölkerungsdichte in Abhängigkeit der Länge und Breite wäre ein Beispiel dafür.

Die Darstellung dieser Daten erfordert dann eine Dimension mehr. Im folgenden

Beispiel wird die dritte Dimension von der Farbe übernommen.


2012

Stetige Verteilungen

Werden bei einem Histogramm die Intervalle immer kürzer gewählt und steigt

gleichzeitig die Datenmenge, so ergibt sich eine stetige Verteilung. Als x-Werte

kommen dann alle Zahlen im interessierenden Bereich vor nicht nur diskrete Werte.

Ein Beispiel für eine stetige Verteilung ist die Normalverteilung. Die

Normalverteilung sieht aus wie eine Glocke weshalb sie manchmal auch

Glockenkurve genannt wird. Das folgende Bild zeigt drei verschiedene

Normalverteilungen. Zwei davon mit Mittelwert (Schwerpunkt) null.

Die Normalverteilung kommt in der Natur und Technik sehr oft vor. Sie beschreibt

z.B. wie die Messfehler einer Grösse sich um den Mittelwert streuen.

Date post:	09-Sep-2019
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