Geometrie

6. Ebene Geometrie

Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Euklid (325 - 275)

Gerade

analytisch: y = mx + c

y(0) = c

y(1) – y(0) = (m1 + c) – (m0 + c) = m

Parallelen

Lot oder Normale

2 = 360°

1° = /180

Thales von Milet

(624 - 545)

d

c

b

a

g

f

ba

a

Strahlensätze

Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel.

Satz des Thales

Thales von Milet

(624 - 545)

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Winkelsumme im Dreieck

Satz des Pythagoras

Sehet !

c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2

Pythagoras (570 - 500)

abc

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2

Girard Desargues(1593 - 1662)

Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

Projektive Geometrie

Trinity College, Cambridge

Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen (Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen Geometrie, begründet von

Pierre de Fermat René Descartes(1601 - 1665) (1596 - 1650)

Abszisse, Ordinate.

Darstellung von Funktionen anhand ihrer Graphen.

7. Trigonometrie

sin = c

a

sin = cos(2

- ) cos = sin(

2

- )

sin0 = 0 sin2

= 1 cos0 = 1 cos

2

= 0

Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen

sin2 + cos2 = 1

cos = c

b

tan = b

a =

cos

sin cot =

a

b =

tan

1

/2 = 90°

Kathete

Hypotenuse

sin = sin(+ k2) cos = cos( + k2) sin(-) = -sin cos(-) = cos

8. Vektoren

A =

3

2

1

a

a

a

oder A =

z

y

x

a

a

a

oder A =

z

y

x

Im dreidimensionalen euklidischen Raum 3 ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.

A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3

|A| = 23

22

21 aaa

8.1 Vektoraddition

A + B = C oder

3

2

1

a

a

a

+

3

2

1

b

b

b

=

33

22

11

ba

ba

ba

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A = 0 + A 0 =

0

0

0

A + B = 0 B = - A =

A + (-B) = A - B

A - B ≠ B – A

(A - B) - C ≠ A - (B - C)

3

2

1

a-

a-

a-

1

2

3

a

a

a

8.2 Skalarmultiplikation

A =

A = A

A) = ()A = A

(A ± B) = A ± B

( ± )A = A ± A

|A| = | |23

22

21 aaa

/4

A

y

x

B

C

D

L

3

2

5

8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

8.3 Einheitsvektor

A|A|

A0 = |A| |A0| = 1

koordinatenfreie Darstellung: A = |A| A0

X besitzt dieselbe Richtung wie YX = Y

X0 =

0

0

1

Y0 =

0

1

0

Z0 =

1

0

0

A = axX0 + ayY

0 + azZ0 =

z

y

x

a

a

a

8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)

A B C ist nicht definiert: (A B) C ≠ A (B C)

kein neutrales Element 1 mit A 1 = A

kein Inverses A-1 mit A A-1 = 1

A / B ist nicht definiert.

Aus C = A / B würde C B = A folgen.

3

2

1

a

a

a

3

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3

3 3

A B = B A

A (B ± C) = (A B) ± (A C)

AA|A| =

cos = |||| BA

BA

Zwei Vektoren schließen einen Winkel mit 0 ≤ ≤ ein.

A

B

A - B

cos = |||| BA

BA

A·B = |A|·|B|·cos

A B = A B1 = |A||B1|

Projektion von B auf A B1 = (B A0) A0

A B = 0

A B = |A||B|

A B = -|A||B|

B

AB B

8.1 A =

2

1-

3

, B =

0

1

1

, C =

4

2-

2-

.

Berechnen Sie: A (B - C) (A + C) B (A B) C |A| A0

8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , .

8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D.b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3 3 3

A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx)

3

2

1

a

a

a

3

2

1

b

b

b

=

1221

3113

2332

baba

baba

baba

Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x ... bzw. 1 2 3 1 ...

A 0 = 0 = 0 A

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ:

A B = -(B A)

A (B ± C) = (A B) ± (A C)

|A B| = |A B2| = |A||B2|

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren

X0 Y0 = Z0

Rechte-Hand-Regel

A B = N0|A||B|sin

|A B| = |A||B|sin

|A B| = |A B2| = |A||B2|

X0 Y0 = Z0

Rechte-Hand-Regel

A B = N0|A||B|sin

|A B| = |A||B|sin

Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren

A 0 = 0 = 0 A

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ:

A B = -(B A)

A (B ± C) = (A B) ± (A C)

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0

Das Spatprodukt

(A B) C

kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.

Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma.

Fläche |A B| = |A||B|sin(A, B) und Höhe N0 C

= (B C) A = A (B C)

8.6 Parallelverschiebung

B =

z

y

x

b

b

b

A =

z

y

x

a

a

a

A' =

z

y

x

a'

a'

a'

ax = a'x + bx

ay = a'y + by

az = a'z + bz

8.6 Parallelverschiebung

B =

z

y

x

b

b

b

A =

z

y

x

a

a

a

A' =

z

y

x

a'

a'

a'

ax = a'x + bx a'x = ax - bx

ay = a'y + by a'y = ay - by

az = a'z + bz a'z = az - bz

Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt man in K durch (der Radius r bleibt unverändert) (x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0

8.7 Polarkoordinaten

|A| = 222zyx aaa

= arccos(az/|A|) = arctan(ay/ax)

ax = |A| sincosay = |A| sinsin az = |A| cos

9. Geometrie des 3

9.1 Geradengleichungen

Jede Gerade besitzt zwei Richtungen.

G(A0) = { P 3 | P = A0 mit }

Anstelle eines Einheitsvektors A0 kann man eben so gut jeden beliebigen Vektor A 0 verwenden.

G = { P | P = A + B mit }

Durch zwei Punkte des 3 verläuft genau eine Gerade.

G' = { P | P = (A - B) + B mit }

P = A + B

x = ax + bx

y = ay + by

z = az + bz

z

y

x

=

z

y

x

a

a

a

+

z

y

x

b

b

b

9.3 Man berechne die Projektion des Vektors

1

4

2

auf die x-Achse.

9.4 Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems (im rein positiven Bereich). Man berechne den Einheitsvektor der Würfeldiagonalen und

die Projektion des Vektors

1-

4

2

auf diese Diagonale.

9.5 Eine Quader besitzt die Seitenlängen 3, 2 und 1. Man berechne den Einheitsvektor einer Raumdiagonale. Man berechne die Projektion der längsten Seite auf die Diagonale.

9.3 Ebenengleichungen

Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A 0 und B 0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also : A B. Die Ebene ist dann gegeben durch

E(A, B) = { P | P = A + B mit , }

Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C enthält:

E(A, B, C) = { P | P = (A - C) + (B - C) + C mit , }