Formelsammlung Seite 1 Formelsammlung Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Theoretische Wahrscheinlichkeit Empirische Wahrscheinlichkeit (Relative Häufigkeit) Ereignisse möglicher Anzahl Ereignisse günstiger Anzahl = p(A) n f(A) = p(A) f(A) = Häufigkeit des Ereignisses A n = Anzahl aller Ereignisse Deskriptive Statistik Skalenniveaus Nominalskala Rangskala (Ordinal-) Intervallskala Verhältnisskala = ; = ; ; > ; < = ; ; > ; < ; + ; = ; ; > ; < ; + ; ; · ; / Zulässige Transformationen: - jede, die Gleichheit und Unterschiedlichkeit erhält - positive streng monotone Transformationen - positive lineare Transformationen der Form y = a · x + b mit m > 0 - positive Ähnlichkeitstransformationen der Form y = m · x mit m > 0 Prozentwert und Prozentrang Prozentwert Prozentrang 100% n f = % k k 100% n (k) f = PR kum f k = Häufigkeit in der Kategorie k % k = Prozentwert in der Kategorie k n = Anzahl Beobachtungen f kum (k) = Kumulierte Häufigkeit % kum (k) = Kumulierter Prozentwert Maße der zentralen Tendenz Modalwert (Modus) Median Wert, der am häufigsten besetzt ist Wert, der eine Verteilung halbiert
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Formelsammlung
Seite 1
Formelsammlung
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoretische Wahrscheinlichkeit
Empirische Wahrscheinlichkeit
(Relative Häufigkeit)
Ereignissemöglicher Anzahl
Ereignissegünstiger Anzahl=p(A)
n
f(A)=p(A)
f(A) = Häufigkeit des Ereignisses A
n = Anzahl aller Ereignisse
Deskriptive Statistik
Skalenniveaus
Nominalskala
Rangskala (Ordinal-)
Intervallskala
Verhältnisskala
= ;
= ; ; > ; <
= ; ; > ; < ; + ;
= ; ; > ; < ; + ; ; · ; /
Zulässige Transformationen:
- jede, die Gleichheit und
Unterschiedlichkeit erhält
- positive streng monotone
Transformationen
- positive lineare Transformationen der
Form y = a · x + b mit m > 0
- positive Ähnlichkeitstransformationen
der Form y = m · x mit m > 0
Prozentwert und Prozentrang
Prozentwert
Prozentrang
100%n
f=% k
k
100%n
(k)f=PR kum
fk = Häufigkeit in der Kategorie k
%k = Prozentwert in der Kategorie k
n = Anzahl Beobachtungen
fkum(k) = Kumulierte Häufigkeit
%kum(k) = Kumulierter Prozentwert
Maße der zentralen Tendenz
Modalwert (Modus)
Median
Wert, der am häufigsten besetzt ist
Wert, der eine Verteilung halbiert
Varianzanalyse
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Arithmetisches Mittel
Gewogenes AM
Mittelwert nach einer linearen
Transformation y = a · x + b
n
x
x
n
1i
i
p
1k
k
p
1k
kk
n
xn
x
bxay
n = Anzahl der Vpn
xi = Messwert
i = Index der Versuchspersonen
x = Mittelwert der Mittelwerte
p = Anzahl der Mittelwerte
nk = Anzahl der Vpn in Gruppe k
y = transformierter Mittelwert
Dispersionsmaße
Varianz
(als Populationsschätzer)
1n
)xx(
ˆ
n
1i
2i
2x
n = Anzahl der Vpn
xi = Messwert
i = Messwertindex
Standardabweichung
(als Populationsschätzer)
Varianz nach einer linearen
Transformation y = a · x + b
2xx
ˆ = ˆ
2x
22y
ˆaˆ
2x = zu transformierende Varianz
z-Standardisierung (z-Wert)
i
x
xz
μ = Populationsmittelwert
σ = Streuung
Inferenzstatistik
Standardfehler des Mittelwertes
)1n(n
)xx(
n
ˆˆ
n
1i
2i2
xx
2x = Varianz der Variable x
xi = Wert der Person i auf Variable x
x = Mittelwert der Variable x
n = Stichprobenumfang
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Regression und Korrelation
Kovarianz
empirische Kovarianz
maximale Kovarianz
1n
yyxx
)y,xcov(
n
1i
ii
yxmax
ˆˆcov
xi = Wert der Person i auf Variable x
zi = Wert der Person i auf Variable y
x = Mittelwert der Variable x
y = Mittelwert der Variable y
n = Stichprobenumfang
Produkt-Moment-Korrelation
ˆˆ
y)cov(x,=r
yx
xy
rxy = Korrelation nullter Ordnung der
beiden interessierenden Merkmale
Partialkorrelation
)r1()r1(
rrrr
2xz
2yz
xzyzxy
zxy
rxy|z = Partialkorrelation der beiden
interessierenden Merkmale
rxz; ryz = Korrelation von x und y mit der
Drittvariable z
Fisher Z -Transformation
r1
r1ln
2
1Z
1e
1er
Z2
Z2
Z = Z-transformierte Korrelation
ln = natürlicher Logarithmus
r = Korrelationskoeffizient
e ≈ 2,7183 (Eulersche Zahl)
Punktbiseriale Korrelation
2
10
y
01pb
N
nn
ˆ
yyr
y = intervallskalierte Variable
x = dichotome Variable (x = 0; x =1)
0y = Mittelwert von y bei x = 0
y1 = Mittelwert von y bei x = 1
yσ = Streuung der y-Variable
n0 = Anzahl Beobachtungen bei x = 0
n1 = Anzahl Beobachtungen bei x = 1
N = n0 + n1
Rangkorrelation
)1n(n
d6
1r2
n
1i
2i
s
di = Differenz der laufenden Nr. der
Untersuchungseinheit i auf einem
Rangplatz
n = Anzahl der Rangplätze
Varianzanalyse
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Lineare Regression
Vorhersage von y durch x
Vorhersage von x durch y
yxiyxi a+xb=y
xyixyi a+yb=x
iy = vorhergesagte Werte
b = Regressionsgewicht
a = additive Konstante
Regressionsgewicht
(Steigung der Gerade)
2x
yxˆ
y)cov(x,=b
bzw. 2y
xyˆ
y)cov(x,=b
cov(x,y) = Kovarianz von x und y
x = Streuung der Variable x
y = Streuung der Variable y
Höhenlage:
(Schnittpunkt mit y bei x = 0)
a y b xyx yx
bzw. a x b yxy xy
t-Test für Korrelationen
t-Wert
2
df
r1
2Nrt
r = Korrelationskoeffizient
n = Anzahl der Versuchspersonen
df = N - 2
Effektstärken
yxmax
emp
xyˆˆ
)y,xcov(
cov
covr
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt: r = 0,1
mittlerer Effekt: r = 0,3
großer Effekt: r = 0,5
t-Test für unabhängige Stichproben
t-Wert
Empirischer t-Wert unter H0
Standardfehler der
Mittelwertsdifferenz
tx x
df
x x
1 2
1 2
2
22
1
21
xxn
ˆ
n
ˆˆ
21
1x = Mittelwert der 1. Gruppe
2x = Mittelwert der 2. Gruppe
df = n1 + n2 2
21 = geschätzte Populationsvarianz
der 1. Gruppe 22 = geschätzte Populationsvarianz
der 2. Gruppe
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Theoretische Effektstärkenmaße
x
21d
2x
2sys2
2x
2sys
2sys
2Gesamt
2sys2
μ1, μ2 = Mittelwerte der Populationen,
aus denen die Mittelwerte
gezogen werden
x = Streuung der Population
innerhalb einer Bedingung
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt: d = 0,2
mittlerer Effekt: d = 0,5
großer Effekt: d = 0,8
22
21
22
21
²1
²22
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt: Ω2 = 0,01
mittlerer Effekt: Ω2 = 0,06
großer Effekt: Ω2 = 0,14
Empirische Effektstärkenmaße (Schätzungen für die Population)
