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Mathematische Formeln und Begriffe für Ingenieure Bernd Luderer
Mathematische Formeln und Begriffe für Ingenieure
Bernd Luderer
Das Wichtigste immer dabei! Diese Formelsammlung Mathematik bie-tet Studierenden der ingenieurwissenschaftlichen Fächer die wichtigsten Formeln für den täglichen Gebrauch im praktischen Westentaschenfor-mat. Hier findet der Studierende für jedes Problem die richtige Lösung.
Der AutorProf. Dr. Bernd Luderer, TU Chemnitz
KNO-Nr. A08713www.springer.com
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Inhaltsverzeichnis
Komplexe Zahlen 4
Folgen und Reihen 6
Funktionen einer Veranderlichen 8
Darstellung und Eigenschaften von Funktionen 8
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . 9
Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . 12
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 12
Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . 16
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . 17
Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . 23
Kurven in der Ebene, Rollkurven . . . . . . . . 25
Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 26
Differenzialrechnung 28
Differenziationsregeln . . . . . . . . . . . . . . 28
Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . 29
Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . 32
Integralrechnung 33
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . 33
Tabellen wichtiger unbestimmter Integrale . . . 34
2 Inhaltsverzeichnis
Nicht geschlossen darstellbare Integrale . . . . 37
Integration gebrochen rationaler Funktionen . . 38
Einige nutzliche Substitutionen . . . . . . . . . 39
Integrale rationaler und irrationaler Funktionen 40
Integrale trigonometrischer Funktionen . . . . . 42
Integrale von Exponential- und Logarithmus-funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . 44
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . 46
Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Numerische Berechnung bestimmter Integrale . 48
Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dreifache Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . 52
Differenzialgleichungen 54
Gewohnliche DGL n-ter Ordnung . . . . . . . . 54
Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . 54
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 56
Lineare Systeme erster Ordnung mit konstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Griechisches Alphabet 61
Sachwortverzeichnis 62
Vorwort
Die wichtigsten mathematischen Formeln und Begriffeimmer zur Hand zu haben – das ist das Anliegen die-ses Buchleins im Westentaschenformat. Speziell auf dieBedurfnisse von Studierenden der Ingenieurwissenschaf-ten und verwandter Richtungen zugeschnitten, ist es uber-aus nutzlich beim Selbststudium, als Nachschlagewerkzum taglichen Gebrauch und in der Klausur. Hier findetman in ubersichtlicher Weise alles Wichtige uber komple-xe Zahlen, Eigenschaften zahlreicher Funktionen, Differen-zial- und Integralrechnung, einschließlich Doppel- undDreifachintegrale, sowie zu gewohnlichen Differenzialglei-chungen. Ein Lehrbuch kann dieser Pocket Guide nichtersetzen, aber nutzlich ist er allemal, wie zahlreiche Zu-schriften von Studierenden und Dozenten und Horern inder beruflichen Weiterbildung zeigen.
Komplexe Zahlen
i: i2 = −1 imaginare Einheit
z=a+b i, a, b ∈ IR kartesische Form der komplexenZahl z ∈ C
z=r(cos ϕ+i sin ϕ) trigonom. Form der komplexen= reiϕ Zahl z∈C (Euler’sche Relation)
ϕ = arg z Argument von z; Winkel zwi-schen reeller Achse und z
Re z = a = r cos ϕ Realteil von z
Im z = b = r sin ϕ Imaginarteil von z
|z| =√
a2 + b2 = r Betrag von z
z = a − b i zu z = a + b i konjugiert kom-plexe Zahl√−a =
√a i (a>0) imaginare Zahl
Spezielle komplexe Zahlen
ei0 = 1 e±iπ = −1
e±i π2 = ±i e±i π
4 = 12
√2(1 ± i)
e±i π3 = 1
2
`1 ±√
3 i´
e±i π6 = 1
2
`√3 ± i
´i4n =1, i4n+1 =i, i4n+2 =−1, i4n+3 =−i (n ∈ IN)
Umrechnung kartesische Form −→ Polarform
Gegeben a, b =⇒ r =√
a2 + b2, ϕ ist Losungder Gleichungen cos ϕ = a
r, sin ϕ = b
r
Umrechnung Polarform −→ kartesische Form
Gegeben r, ϕ =⇒ a = r · cos ϕ, b = r · sin ϕ
Komplexe Zahlen 5
Rechenregeln fur komplexe Zahlen
zk = ak + bk i = rk(cos ϕk + i sin ϕk) = rkeiϕk , k = 1, 2
Addition und Subtraktion
z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2) i
Multiplikation
z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1) i
= r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]
= r1r2 ei(ϕ1+ϕ2)
Division
z1
z2=
z1z2
|z2|2 =a1a2 + b1b2 + (a2b1 − a1b2) i
a 22 + b 2
2
=r1
r2[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)]
=r1
r2ei(ϕ1−ϕ2) (a 2
2 + b 22 > 0)
Potenzieren (Satz von Moivre)
zn = [r(cos ϕ + i sin ϕ]n = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)]
= rnei(nϕ) (n reell)
Radizieren
n√
z = np
r(cos ϕ + i sin ϕ = n√
rei ϕ+2kπn
= n√
rˆcos ϕ+2kπ
n+ i sin ϕ+2kπ
n
˜, k = 0, 1, . . . , n−1
Die n Losungen liegen auf dem Kreis um den Ur-sprung mit Radius n
√r und bilden mit der reellen
Achse die Winkel ϕ+2kπn
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Speziell gilt: z · z = |z|2 1
z=
z
|z|2
Folgen und Reihen
Zahlenfolge {an}, an =f(n)∈ IR, n∈ IN
Grenzwert ∀ ε>0 ∃ n(ε) : |an−a|<ε ∀n≥n(ε);a = lim
n→∞an
arithmetische Folge an+1−an = d = const ∀n∈ IN
geometrische Folgean+1
an= q = const ∀n ∈ IN
Grenzwerte spezieller Folgen
limn→∞
1
n= 0 lim
n→∞n
n + α= 1, α ∈ IR
limn→∞
n√
λ = 1, λ>0 limn→∞
„1 +
λ
n
«n
= eλ, λ∈ IR
Partialsumme sn =nP
k=1
ak
arithmetische Reihe sn = (a1 + an) · n
2
geometrische Reihe sn = a1 · qn−1
q − 1, q �= 1
Summe einer unendlichenReihe (falls GW existiert)
s = limn→∞
sn =∞P
k=1
ak
Konvergenzkriterien (ak ≥ 0, k = 1, 2, . . . ; 0 < q < 1)
an+1
an≤ q ∀n oder lim
n→∞an+1
an< 1 bzw.
n√
an ≤ q ∀n oder limn→∞
n√
an <1 =⇒ Reihe konvergiert
an+1
an≥ 1 ∀n oder lim
n→∞an+1
an> 1 bzw.
n√
an ≥ 1 ∀n oder limn→∞
n√
an >1 =⇒ Reihe divergiert
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Funktionen einer Veranderlichen
Darstellung und Eigenschaften von Funktionen
Reelle Funktionf : IR → IR – jeder reellen Zahl x des De-finitionsbereiches wird genau eine reelle Zahl y des Wer-tebereiches zugeordnet: y = f(x).
explizite Form y = f(x)
implizite Form F (x, y) = 0
Parameterdarst. x = x(t), y = y(t)
Definitionsbereich Df = {x ∈ IR | ∃ y∈Wf : y=f(x)}Wertebereich Wf = {y ∈ IR | ∃x∈Df : y=f(x)}eineindeutige F. zu jedem y∈Wf gibt es genau ein
x∈Df mit y=f(x)
inverse Funktion, ist f eineindeutig, so ist die Ab-Umkehrfunktion bildung y → x mit y=f(x) auch
eineindeutig; Bezeichnung f−1
Nullstelle Zahl x0 mit f(x0) = 0
Monotonie, Symmetrie, Periodizitat
x, x + p, x1, x2 ∈ Df beliebig mit x1 < x2
monoton wachsende Funktion f(x1) ≤ f(x2)
monoton fallende Funktion f(x1) ≥ f(x2)
streng monoton wachsende F. f(x1) < f(x2)
streng monoton fallende F. f(x1) > f(x2)
gerade Funktion f(−x) = f(x)
ungerade Funktion f(−x) = −f(x)
periodische Funktion (Periode p) f(x + p) = f(x)
Darstellung und Eigenschaften von Funktionen 9
Extremaleigenschaften
x ∈ Df beliebig
nach oben beschrankte F. ∃ K : f(x) ≤ K
nach unten beschrankte F. ∃ K : f(x) ≥ K
beschrankte Funktion ∃ K : |f(x)| ≤ K
globale Maximumstelle x∗: f(x∗) ≥ f(x)
globales Maximum f(x∗) = maxx∈Df
f(x)
lokale Maximumstelle x∗: f(x∗)≥f(x), x∈Uε(x∗)
globale Minimumstelle x∗: f(x∗) ≤ f(x)
globales Minimum f(x∗) = minx∈Df
f(x)
lokale Minimumstelle x∗: f(x∗)≤f(x), x∈Uε(x∗)
ε-Umgebung von x∗: Uε(x∗) = {x ∈ IR : |x − x∗| < ε}
Krummungseigenschaften
x, y ∈ Df beliebig; λ ∈ (0, 1) beliebig
konvexe Funkt. f(λx+(1−λ)y) ≤ λf(x)+(1−λ)f(y)
streng konv. F. f(λx+(1−λ)y) < λf(x)+(1−λ)f(y)
konkave Funkt. f(λx+(1−λ)y) ≥ λf(x)+(1−λ)f(y)
streng konk. F. f(λx+(1−λ)y) > λf(x)+(1−λ)f(y)
Grenzwert und Stetigkeit
Eine Zahl a ∈ IR heißt Grenzwert der Funktion f imPunkt x0, wenn lim
n→∞f(xn) = a gilt fur jede gegen den
Punkt x0 konvergierende Punktfolge {xn} mit xn ∈ Df .Bezeichnung: a = lim
x→x0f(x) oder f(x) → a fur x → x0.
10 Funktionen einer Veranderlichen
uneigentlicher Grenzwert a = +∞ oder a = −∞rechtsseitiger Grenzwert lim
x↓x0f(x)=a (x > x0)
linksseitiger Grenzwert limx↑x0
f(x)=a (x < x0)
f stetig in x0 ∈Df , wenn limx→x0
f(x) = f(x0); die Funk-
tion muss also in x0 definiert sein und einen endlichenGrenzwert besitzen, der mit dem Funktionswert in x0
ubereinstimmt.
Arten von Unstetigkeitsstellen
endlicher Sprung limx↓x0
f(x) �= limx↑x0
f(x)
unendlicher Sprung einer der beiden einseitigenGrenzwerte ist unendlich
Polstelle˛
limx↓x0
f(x)˛=˛
limx↑x0
f(x)˛= ∞
Lucke limx→x0
f(x) = a existiert, aber
f ist nicht definiert fur x=x0
oder es gilt f(x0) �= a
Wichtige Grenzwerte
limx→±∞
1x
= 0, limx→∞
ex = ∞, limx→−∞
ex = 0
limx→∞
ln x = ∞, limx↓0
ln x = −∞, limx↓0
xx = 1
limx→∞
qx = ∞ (q>1), limx→∞
qx = 0 (0<q<1)
limx→∞
xn = ∞ (n ≥ 1), limx→∞
“1 +
c
x
”x
= ec (c∈ IR)
Grenzwert und Stetigkeit 11
limx→∞
xn
eαx= 0 (α > 0, n ∈ IN), lim
x→1
xn − 1
x − 1= n
limx→0
sin x
x= 1, lim
x→0
ax−1
x= ln a, lim
x→∞ln x
x= 0
Rechenregeln fur Grenzwerte
Existieren limx→x0
f(x) = a und limx→x0
g(x) = b, so gilt:
limx→x0
(f(x) ± g(x)) = a ± b
limx→x0
(f(x) · g(x)) = a · b
limx→x0
f(x)
g(x)=
a
b, falls g(x) �= 0, b �= 0
Ist f stetig, so gilt limx→x0
f(g(x)) = f
„lim
x→x0g(x)
«.
Speziell:
limx→x0
(f(x))n =
„lim
x→x0f(x)
«n
limx→x0
af(x) = a
“lim
x→x0f(x)
”, a > 0
limx→x0
ln f(x) = ln
„lim
x→x0f(x)
«, falls f(x) > 0
Sind die Funktionen f und g stetig auf ihren Definitions-bereichen Df bzw. Dg, so sind die Funktionen f+g, f−g,
f · g undf
g(letztere fur g(x) �= 0) stetig auf Df ∩ Dg.
12 Funktionen einer Veranderlichen
Regeln von de l’Hospital fur 00
bzw. ∞∞
f und g seien differenzierbar in Umgebung von x0,
limx→x0
f ′(x)
g′(x)existiere (als endlicher oder unendlicher
Wert), es gelte g′(x) �= 0 sowie limx→x0
f(x) = 0,
limx→x0
g(x) = 0 oder limx→x0
|f(x)| = limx→x0
|g(x)| = ∞.
Dann gilt limx→x0
f(x)
g(x)= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x).
Auch der Fall x → ±∞ ist moglich.
Ausdrucke der Form 0 · ∞ oder ∞−∞ lassen sich durchUmformung auf die Gestalt 0
0oder ∞
∞ bringen.
Ausdrucke der Art 00, ∞0 oder 1∞ werden mittels derUmformung f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) auf die Form 0 · ∞gebracht.
Elementare Funktionen
Lineare Funktionen
f(x) = ax lineare Funktion
f(x) = ax + b affin lineare Funktion
Fur lineare Funktionen gilt:
f(x1+x2) = f(x1)+f(x2), f(λx) = λf(x), f(0) = 0
Fur affin lineare Funktionen gilt:
f(x1) − f(x2)
x1 − x2= a, f(−b/a) = 0 (a �= 0), f(0) = b
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Die Funktion f(x) = b (Konstante) ist eine Parallelezur x-Achse.
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14 Funktionen einer Veranderlichen
Quadratische Funktionen
f(x) = ax2 + bx + c quadratische Funktion
ax2 + bx + c = 0 =⇒ x1,2 =1
2a
“−b ±
pb2 − 4ac
”x2 + px + q = 0 =⇒ x1,2 = −p
2±r
p2
4− q
D = b2 − 4ac bzw. D =p2
4− q Diskriminante
Fur D>0 gibt es zwei reelle, fur D = 0 eine doppelteund fur D < 0 keine reelle Nullstelle.
Fur a > 0 gibt es eine Minimumstelle und fur a < 0eine Maximumstelle bei x=− p
2.
Fur a>0 (a<0) ist f eine streng konvexe (konkave)Funktion; ihr Graph ist eine nach oben (unten) geoff-
nete Parabel mit dem Scheitelpunkt“− b
2a, c − b2
4a
”.
Potenzfunktionen
f(x) = xn (n ∈ IN) Potenzfunktion
Df = IR; Wf = IR (bzw. IR+) fur n ungerade (gerade)
f ist gerade (ungerade), falls n gerade (ungerade)
f(x) = xα (α∈ IR, x>0) allgemeine Potenzfunktion
Df = IR+, Wf = IR+, falls α ≥ 0
Df = {x |x > 0}, Wf = {y | y > 0}, falls α ≤ 0
f streng monoton fallend und konkav, falls α < 0
f streng monoton wachsend, falls α > 0
f konvex, falls α ≥ 1; f konkav, falls 0 < α ≤ 1
Elementare Funktionen 15
Polynome = ganze rationale Funktionen
pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
an �= 0, ai ∈ IR, n ∈ IN
ganze rationale Funktion, Polynom n-ten Grades
Produktdarstellung (Linearfaktorzerlegung)
pn(x) = an(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn−1)(x − xn),
xi – reelle oder komplexe Nullstellen des Polynoms;
komplexe Nullstellen treten stets paarweise in konju-giert komplexer Form auf;
ist eine Nullstelle x1 bekannt, so kann zur Ermittlungweiterer Nullstellen Polynomdivision pn(x) : (x − x1)(ohne Rest) angewendet werden
Gebrochen rationale Funktionen
f(x) =amxm + am−1x
m−1 + · · · + a1x + a0
bnxn + bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0
am �= 0, bn �= 0, m ∈ IN, n ∈ IN
m < n: echt gebrochen, m ≥ n: unecht gebrochen
eine unecht gebrochen rationale Funktion kann durch
Polynomdivision auf die Form r(x) = p(x) + s(x)
gebracht werden (p(x) – Polynom, Asymptote; s(x) –echt gebrochen rationale Funktion
Nullstelle von f Zahler = 0, Nenner �= 0
Polstelle von f Zahler �= 0, Nenner = 0∗
Lucke von f Zahler = 0, Nenner = 0∗∗
∗ Auch alle gemeinsamen Nullstellen von Zahler und Nenner, deren
Vielfachheit im Zahler kleiner als ihre Vielfachheit im Nenner ist.∗∗ Genauer: Gemeinsame Nullstelle von Zahler und Nenner, deren Viel-
fachheit im Zahler großer oder gleich ihrer Vielfachheit im Nenner ist.
16 Funktionen einer Veranderlichen
Partialbruchzerlegung (von echt gebrochen rationalenFunktionen f(x) = pm(x) : qn(x), m<n)
1.Darstellung des Nennerpolynoms als Produkt vonlinearen und quadratischen Polynomen mit reellenKoeffizienten, wobei die quadratischen Polynomekonjugiert komplexe Nullstellen besitzen:
qn(x) = (x − a)α(x − b)β . . . (x2 + cx + d)γ . . .
2.Ansatz r(x) =A1
x − a+
A2
(x − a)2+ . . . +
Aα
(x − a)α
+B1
x − b+
B2
(x − b)2+ · · · + Bβ
(x − b)β+ . . .
+C1x + D1
x2 + cx + d+ · · · + Cγx + Dγ
(x2 + cx + d)γ+ . . .
3. Bestimmung der (reellen) Koeffizienten Ai, Bi, Ci,Di, . . . des Ansatzes:
a) Ansatz auf Hauptnenner bringenb) mit Hauptnenner multiplizierenc) Einsetzen von x=a, x=b, . . . liefert Aα, Bβ , . . .d) Koeffizientenvergleich liefert lineare Gleichungen
fur die restlichen unbekannten Koeffizienten
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktionen
f(x) = ax Exponentialfunktion, a∈ IR, a>0
a – Basis, x – Exponent
f(x)=ex =exp(x) Exponentialfunktion zur Basis e
Df = IR, Wf = {y | y > 0}negativerExponent: a−x =
„1
a
«x
, a > 0
Trigonometrische Funktionen 17
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ax istdie Logarithmusfunktion y = loga x (grafisch: Spiegelungan der Winkelhalbierenden y = x).
Logarithmusfunktionen
f(x)=loga x Logarithmusfunktion, a ∈ IR, a>1
x – Argument, a – Basis
a = e f(x) = ln x
Funktion des naturlichen Logarithmus
a = 10 f(x) = lg x
Funktion des dekadischen Logarithmus
Wf = IR Df = {x ∈ IR |x > 0}
Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)
Winkelverhaltnisse im rechtwinkligen Dreieck:
sin x=a
c=
Gegenkathete
Hypotenusecos x=
b
c=
Ankathete
Hypotenuse
tan x=a
b=
Gegenkathete
Ankathetecot x=
b
a=
Ankathete
Gegenkathete
Fur Winkel x zwischenπ2
und 2π werden dieStrecken a, b entspre-chend ihrer Lage ineinem rechtwinkligenKoordinatensystem mitVorzeichen versehen.
sin2 x + cos2 x = 1, tan x =sin x
cos x, cot x =
cos x
sin x
18 Funktionen einer Veranderlichen
Definitions- und Wertebereiche
Funktion Definitionsbereich Wertebereich
y = sin x IR [−1, 1]
y = cos x IR [−1, 1]
y = tan x IR \{x =π
2± kπ, k ∈ IN} IR
y = cot x IR \{x = kπ, k ∈ IN} IR
Verschiebungs- und Spiegelungseigenschaften
sin(π+x)=− sin x sin`
3π2
+x´=− cos x
cos(π+x)=− cos x cos`
3π2
+x´=sin x
tan(π+x)=tan x tan`
3π2
+x´=− cot x
cot(π+x)=cot x cot`
3π2
+x´=− tan x
sin`
π2+x´=sin
`π2− x =cos x
cos`
π2+x´=− cos
`π2− x =− sin x
tan`
π2+x´=− tan
`π2−x´=− cot x
cot`
π2+x´=− cot
`π2−x´=− tan x
Periodizitat
sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x
tan(x + π) = tan x cot(x + π) = cot x
Symmetrie
sin(−x) = − sin x cos(−x) = cos x
tan(−x) = − tan x cot(−x) = − cot x
Trigonometrische Funktionen 19
Spezielle Funktionswerte
Bogenmaß 0 π6
π4
π3
π2
Gradmaß 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sin x 0 12
12
√2 1
2
√3 1
cos x 1 12
√3 1
2
√2 1
20
tan x 0 13
√3 1
√3 −
cot x − √3 1 1
3
√3 0
Umrechnung von Winkelfunktionen (0 ≤ x ≤ π2)
sin x cos x tan x cot x
sin x sin x√
1 − cos2 x tan x√1+tan2 x
1√1+cot2 x
cos xp
1 − sin2 x cos x 1√1+tan2 x
cot x√1+cot2 x
tan x sin x√1−sin2 x
√1−cos2 x
cos xtan x 1
cot x
cot x
√1−sin2 x
sin xcos x√
1−cos2 x
1tan x
cot x
Additionstheoreme
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan(x ± y) =tan x ± tan y
1 ∓ tan x tan y
cot(x ± y) =cot x cot y ∓ 1
cot y ± cot x
20 Funktionen einer Veranderlichen
Doppelwinkelformeln
sin 2x = 2 sin x cos x =2 tan x
1 + tan2 x
cos 2x = cos2 x − sin2 x =1 − tan2 x
1 + tan2 x
tan 2x =2 tan x
1 − tan2 x=
2
cot x − tan x
cot 2x =cot2 x − 1
2 cot x=
cot x − tan x
2
Halbwinkelformeln (fur 0 < x < π)
sinx
2=
r1 − cos x
2cos
x
2=
r1 + cos x
2
tanx
2=
r1 − cos x
1 + cos x=
sin x
1 + cos x=
1 − cos x
sin x
cotx
2=
r1 + cos x
1 − cos x=
sin x
1 − cos x=
1 + cos x
sin x
Summe und Differenz von Winkelfunktionen
sin x + sin y = 2 sinx + y
2cos
x − y
2
cos x + cos y = 2 cosx + y
2cos
x − y
2
sin x − sin y = 2 cosx + y
2sin
x − y
2
cos x − cos y = −2 sinx + y
2sin
x − y
2
tan x±tan y=sin(x ± y)
cos x cos y, cot x±cot y=± sin(x ± y)
sin x sin y
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22 Funktionen einer Veranderlichen
Arkusfunktionen (zyklometrische Funktionen)
Arkus- (= zyklometrische) Funktionen sind die Umkehr-funktionen der Winkelfunktionen.
Definitions- und Wertebereiche
Arkusfunktion Definitionsbereich Wertebereich
y = arcsin x −1 ≤ x ≤ 1 −π2≤ y ≤ π
2
y = arccos x −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
y = arctan x −∞ < x < ∞ −π2
< y < π2
y = arccot x −∞ < x < ∞ 0 < y < π
Symmetrieeigenschaften der Arkusfunktionen
arcsin(−x) = − arcsin x arccos(−x) = π−arccos x
arctan(−x) = − arctan x arccot (−x) = π−arccot x
Umrechnung von Arkusfunktionen
arcsin x =π
2− arccos x = arctan
x√1 − x2
arccos x =π
2− arcsin x = arccot
x√1 − x2
arctan x =π
2− arccot x = arcsin
x√1 + x2
arccot x =π
2− arctan x = arccos
x√1 + x2
arcsin x = arccos√
1 − x2 (0 ≤ x ≤ 1)
arccos x = arcsin√
1 − x2 (0 ≤ x ≤ 1)
arctan x = arccot 1x
(x > 0)
arccot x = arctan 1x
(x > 0)
Hyperbel- und Areafunktionen 23
Additionstheoreme der Arkusfunktionen
arcsin x ± arcsin y = arcsin“xp
1 − y2 ± y√
1 − x2”
(x2 + y2 ≤ 1)
arctan x + arctan y = arctanx + y
1 − xy(xy < 1)
Hyperbel- und Areafunktionen
y = sinh x =1
2(ex − e−x) Hyperbelsinus
Df = IR, Wf = IR
y = cosh x =1
2(ex + e−x) Hyperbelkosinus
Df = IR, Wf = [1,∞)
y = tanh x =ex − e−x
ex + e−xHyperbeltangens
Df = IR, Wf = (−1, 1)
y = coth x =ex + e−x
ex − e−xHyperbelkotangens
Df = IR \{0},Wf = (−∞,−1) ∪ (1,∞)
Die Funktion cosh x ist gerade; die Funktionen sinh x,tanh x, coth x sind ungerade.
Grundbeziehungen
cosh2 x − sinh2 x = 1 tanh x · coth x = 1
cosh x + sinh x = ex cosh x − sinh x = e−x
Die Umkehrfunktionen des Hyperbelsinus, Hyperbeltan-gens, Hyperbelkotangens und des rechten Teils des Hy-perbelkosinus werden als Areafunktionen bezeichnet.
24 Funktionen einer Veranderlichen
y = arsinh x Areasinus; Df = IR, Wf = IR
y = arcosh x Areakosinus
Df = [1,∞), Wf = [0,∞)
y = artanh x Areatangens
Df = (−1, 1), Wf = IR
y = arcoth x Areakotangens
Df =(−∞,−1) ∪ (1,∞), Wf =IR \{0}
Darstellung durch Logarithmusfunktionen:
arsinh x = ln`x +
√x2 + 1
´arcosh x = ± ln
`x +
√x2 − 1
´artanh x =
1
2· ln 1 + x
1 − x(|x| < 1)
arcoth x =1
2· ln x + 1
x − 1(|x| > 1)
Umrechnung hyperbolischer Funktionen (x > 0)
sinh x cosh x tanh x coth x
sinh x sinh xp
cosh2 x−1 tanh x√1−tanh2 x
1√coth2 x−1
cosh xp
sinh2 x+1 cosh x 1√1−tanh2 x
coth x√cot2 x−1
tanh x sinh x√sinh2 x+1
√cosh2 x−1
cosh xtanh x 1
coth x
coth x
√sinh2 x+1
sinh xcosh x√
cosh2 x−1
1tanh x
coth x
Kurven in der Ebene, Rollkurven 25
Kurven in der Ebene, Rollkurven (a, b, c ∈ IR)
Explizite/impl.Darstellung
Parameter-darstellung
Name
y = a cosh xa
(a > 0)Kettenlinie
x2
a2+
y2
b2= 1
x = a cos ty = b sin t
Ellipse
x2 + y2 = a2 x = a cos ty = a sin t
Kreis
x2
a2− y2
b2= 1
x = a cosh ty = b sinh t
Hyperbel
x23 +y
23 =a
23
x = a(cos t)3
y = a(sin t)3Astroide
x3+y3 =3axy
(a > 0)x=3at/(t3+1)y=3at2/(t3+1)
kartesischesBlatt
x = a(t−sin t)y = a(1−cos t)
Zykloide
(x2+y2+2ax)2
= 4a2(x2 + y2)(a > 0)∗
x = a(c cos t−c cos ct)
y = a(c sin t− sin ct)
Epizykloide(c = 2:Kardioide)
x = a(c cos t− cos ct)
y = a(c sin t+ sin ct)
Hypozykloide(c = 3:Astroide)
x = a(t sin t + cos t)y = a(sin t − t cos t)
Kreis-evolvente
∗ Kardioide mit Spitze im Koordinatenursprung
26 Funktionen einer Veranderlichen
Spezielle Funktionen
Euler’sche Gammafunktion (allgemeine Fakultat)
Γ(x) =R∞0
e−ttx−1 dt, x > 0
Γ(x) = limn→∞
(n−1)! · nx
x(x+1) . . . (x+n−1), x �=0,−1,−2, . . .
Γ(x + 1) = x · Γ(x), x �= 0,−1,−2, . . .
Γ(x) · Γ(−x) =π
x · sin πx, x �= 0,±1,±2, . . .
Γ(x) · Γ(1 − x) =π
sin πx, x �= 0,±1,±2, . . .
Γ(n) = (n−1)!, n∈ IN, Γ( 12)=
√π, Γ(− 1
2)= −2
√π
Γ(x + 1) ≈ √2πx · xx · e−x fur große x
speziell: n! ≈“n
e
”n
· √2πn Stirling’sche Formel
Euler’sche Betafunktion
B(x, y) =R 1
0tx−1(1 − t)y−1 dt, x > 0, y > 0
B(x, y) =Γ(x) · Γ(y)
Γ(x + y), x, y, x + y �= 0,−1,−2, . . .
B(x+1, y)=x
x+yB(x, y), B(x, y+1) =
y
x+yB(x, y)
Bessel’sche Funktion 1. Art (Ordnung a ≥ 0)
Ja(x) =“x
2
”a ∞Pk=0
(−1)k
k! · Γ(k + 1 + a)·“x
2
”2k
, x ∈ IR
Bessel’sche Funktion 2. Art (p ∈ IR \{−1,−2, . . .})
Np(x) =Jp(x) cos(pπ) − J−p(x)
sin(pπ)
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Differenzialrechnung
Falls der Grenzwertdy
dx= lim
Δx→0
f(x + Δx)−f(x)
Δxexis-
tiert, heißt die Funktion f im Punkt x differenzierbar ; sieist dann dort auch stetig. Ist f differenzierbar ∀ x ∈ Df ,so wird sie differenzierbar auf Df genannt.
Der Grenzwert wird Differenzialquotient oder Ableitung
genannt und mitdy
dxbezeichnet (auch
df
dx, y′(x), f ′(x)).
Der Differenzialquotient ist der Anstieg der Tangente anden Graph von f im Punkt (x, f(x)).
Differenziationsregeln
Funktion Ableitung
Faktorregel a · u(x) a · u′(x), a ∈ IR
Summenregel u(x) ± v(x) u′(x) ± v′(x)
Produktregel u(x) · v(x) u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
Quotientenregelu(x)
v(x)
u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
[v(x)]2
Kettenregel u(z),z = v(x))
u′(z) · v′(x)
Ableitung mittelsUmkehrfunktion
f(x)1
(f−1)′(f(x))
LogarithmischeDifferenziation
f(x) (> 0) (ln f(x))′ · f(x)
ImpliziteFunktion
y=f(x)gegeben alsF (x, y)=0
f ′(x) = −Fx(x, y)
Fy(x, y)
Ableitungen elementarer Funktionen 29
Ableitungen elementarer Funktionen
f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)
c=const 0 ln x1
x
xn n · xn−1 loga x1
x · ln a=
1
xloga e
1
x− 1
x2lg x
1
xlg e
1
xn− n
xn+1sin x cos x
√x
1
2√
xcos x − sin x
n√
x1
nn√
xn−1tan x 1+tan2 x=
1
cos2 x
xx xx(ln x+1) cot x −1−cot2x=− 1
sin2x
ex ex arcsin x1√
1 − x2
ax ax ln a arccos x − 1√1 − x2
arccot x − 1
1 + x2arctan x
1
1 + x2
sinh x cosh x cosh x sinh x
tanh x 1 − tanh2 x coth x 1−coth2 x
arsinhx1√
1 + x2arcoshx
1√x2 − 1
artanhx1
1 − x2arcothx − 1
x2 − 1
30 Differenzialrechnung
Differenzial
Fur eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion f gilt
Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)
= f ′(x0) · Δx + o(Δx)
mit limΔx→0
o(Δx)
Δx= 0;
o(·) – Landau’sches Symbolx
yf(x)
x0 x0+Δx
dy
9=;Δy
Der Ausdruck dy=f ′(x0) ·Δx bzw. dy=f ′(x0) ·dx heißtDifferenzial der Funktion f im Punkt x0. Er stellt denHauptanteil der Funktionswertanderung bei Anderungdes Argumentes x0 um Δx dar: Δf(x0) ≈ f ′(x0) · Δx.
Taylorentwicklung
f heißt n-mal differenzierbar, wenn die Ableitungen f ′,f ′′ := (f ′)′, f ′′′ := (f ′′)′, . . . , f (n) := (f (n−1))′ existieren;
f (n) wird n-te Ableitung oder Ableitung n-ter Ordnungvon f genannt. Mit f (0) wird f selbst bezeichnet.
Satz von Taylor. Die Funktion f sei (n + 1)-mal inUε(x0) differenzierbar; x ∈ Uε(x0). Dann gibt es einezwischen x0 und x gelegene Zahl ξ, fur die gilt
f(x) = f(x0) +f ′(x0)
1!(x−x0) +
f ′′(x0)
2!(x−x0)
2 + . . .
+f (n)(x0)
n!(x − x0)
n +f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − x0)
n+1
Der letzte Summand (= Restglied) gibt den Fehler an,wenn man f(x) durch obige Polynomfunktion n-ten Gra-des ersetzt.
Taylorentwicklung 31
Taylorentwicklung ausgewahlter Funktionen (x0 = 0)
Funktion Taylorpolynom
ex 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ . . . +
xn
n!+ . . .
ax 1 +ln a
1!x +
ln2 a
2!x2 + . . . +
lnn a
n!xn + . . .
sin x x − x3
3!+
x5
5!∓ . . . + (−1)n−1 x2n−1
(2n−1)!+ . . .
cos x 1 − x2
2!+
x4
4!∓ . . . + (−1)n x2n
(2n)!+ . . .
ln(1+x) x − x2
2+
x3
3∓ . . . + (−1)n−1 xn
n
1
1 + x1 − x + x2 − x3 ± . . . + (−1)nxn + . . .
(1 + x)α 1 +
„α1
«x +
„α2
«x2 + . . . +
„αn
«xn + . . .
arcsin x x+1
2 · 3 x3+1 · 3
2 · 4 · 5 x5 +1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 7 x7+. . .
arccos xπ
2− x − 1
2 · 3 x3 − 1 · 32 · 4 · 5 x5 − . . .
arctan x x − 1
3x3 +
1
5x5 − 1
7x7 +
1
9x9 − 1
11x11 ± . . .
sinh x x +1
3!x3 +
1
5!x5 +. . .+
1
(2n+1)!x2n+1 + . . .
cosh x 1 +1
2!x2 +
1
4!x4 + . . . +
1
(2n)!x2n + . . .
e−x2/2 1 − 1
1! · 21x2 +
1
2! · 22x4 − 1
3! · 23x6 ± . . .
32 Differenzialrechnung
Eigenschaften von Funktionen (beschrieben mit-tels Ableitungen)
Monotonie
f sei im Intervall I = [a, b] definiert und differenzierbar.
f ′(x) = 0 ∀x ∈ I ⇐⇒ f konstant auf I
f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I ⇐⇒ f monoton wachsend auf I
f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I ⇐⇒ f monoton fallend auf I
f ′(x) > 0 ∀x ∈ I =⇒ f streng mon. wachsend auf I
f ′(x) < 0 ∀x ∈ I =⇒ f streng mon. fallend auf I
Extremaleigenschaften
f ′(x) = 0 notwendig fur Extremum in x
f ′(x) = 0 ∧ f ′′(x)>0 hinreichend fur Minimum in x
f ′(x) = 0 ∧ f ′′(x)<0 hinreichend fur Maximum in x
Ist f : [a, b] → IR differenzierbar in a und b, so gilt:
f ′(a) > 0 =⇒ lokales Minimum in a
f ′(a) < 0 =⇒ lokales Maximum in a
f ′(b) < 0 =⇒ lokales Minimum in b
f ′(b) > 0 =⇒ lokales Maximum in b
Krummungseigenschaften
f sei im Intervall I = (a, b) zweimal differenzierbar.
f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I ⇐⇒ f konvex in I
f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I ⇐⇒ f konkav in I
f ′′(xw) = 0 notwendig fur Wendepunkt
f ′′(xw)=0 ∧ f ′′′(xw) �=0 hinreichend fur Wende-punkt in xw
Integralrechnung
Unbestimmtes Integral
Gilt fur eine Funktion F : (a, b) → IR die BeziehungF ′(x)=f(x) fur alle x ∈ (a, b), so heißt F Stammfunktionder Funktion f : (a, b) → IR. Die Menge aller Stammfunk-tionen {F +C |C ∈ IR} wird unbestimmtes Integral von fauf (a, b) genannt; C ist die Integrationskonstante. Manschreibt
Rf(x) dx = F (x) + C .
Integrationsregeln
Konstanter Faktor:Rλf(x) dx = λ
Rf(x) dx, λ ∈ IR
Summe, Differenz:R[f(x) ± g(x)] dx =
Rf(x) dx ± R g(x) dx
Partielle Integration:Ru(x)v′(x) dx = u(x)v(x) − R u′(x)v(x) dx
Substitution:Rf(g(x)) · g′(x) dx =
Rf(z) dz, z = g(x)
Speziell f(z) = 1z:Z
g′(x)
g(x)dx = ln |g(x)| + C, g(x) �= 0
Lineare Substitution:Rf(ax + b) dx = 1
aF (ax + b) + C
(a, b ∈ IR, a �= 0, F Stammfunktion von f)
34 Integralrechnung
Tabellen wichtiger unbestimmter Integrale1
PotenzfunktionenZxn dx =
xn+1
n + 1
n ∈ ZZ , n �=−1, x �=0 fur n < 0
bzw. n ∈ IR, n �= −1, x > 0Z1
xdx = ln |x| x �= 0
Exponential- und LogarithmusfunktionenZax dx =
ax
ln aa ∈ IR, a > 0, a �= 1Z
ex dx = ex
Zln x dx = x ln x − x x > 0
Trigonometrische FunktionenZsin x dx = − cos x
Zcos x dx = sin xZ
tan x dx = − ln | cos x| x �= (2k + 1)π2Z
cot x dx = ln | sin x| x �= kπZ1
cos2 xdx = tan x x �= (2k + 1)π
2Z1
sin2 xdx = − cot x x �= kπ
1Die Integrationskonstante wird stets weggelassen.
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36 Integralrechnung
ArkusfunktionenZarcsin x dx = x arcsin x +
p1 − x2 |x| ≤ 1Z
arccos x dx = x arccos x −p
1 − x2 |x| ≤ 1Zarctan x dx = x arctan x − 1
2ln(1 + x2)Z
arccot x dx = x arccot x +1
2ln(1 + x2)
Rationale FunktionenZ1
1 + x2dx = arctan x
Z1
1 − x2dx = ln
r1 + x
1 − x|x| < 1
Z1
x2 − 1dx = ln
rx − 1
x + 1|x| > 1
Irrationale FunktionenZ1√
1 − x2dx = arcsin x |x| < 1
Z1√
1 + x2dx = ln(x +
px2 + 1) = arcsinh x
Z1√
x2 − 1dx = ln(x +
px2 − 1) |x| > 1
Nicht geschlossen darstellbare Integrale 37
HyperbelfunktionenZsinh x dx = cosh x
Zcosh x dx = sinh xZ
tanh x dx = ln cosh xZcoth x dx = ln | sinh x| x �= 0
AreafunktionenZarsinhx dx = x arsinhx −
p1 + x2Z
arcoshx dx = x arcoshx −p
x2 − 1 x > 1Zartanhx dx = x artanhx +
1
2ln(1 − x2) |x| < 1Z
arcothx dx = x arcothx +1
2ln(x2 − 1) |x| > 1
Nicht geschlossen darstellbare IntegraleZe−x2
dx
Zsin x2 dx
Zcos x2 dxZ
sin x
xdx = si x (Integralsinus)Z
cos x
xdx = ci x (Integralkosinus)Z
1
ln xdx =
Zey
ydy = li x (Integrallogarithmus)
38 Integralrechnung
Integration gebrochen rationaler FunktionenZamxm + am−1x
m−1 + . . . + a1x + a0
bnxn + bn−1xn−1 + . . . + b1x + b0dx
Mithilfe von Polynomdivision und Partialbruchzerlegung(durch Koeffizientenvergleich) kann man die Integrale aufsolche uber Polynome und spezielle Partialbruche zuruck-fuhren. Die wichtigsten Falle letzterer besitzen folgendeIntegrale (Voraussetzungen: x − a �= 0, k > 1, p2 < 4q):
Z1
x − adx = ln |x − a|Z
1
(x − a)kdx = − 1
(k − 1)(x − a)k−1Zdx
x2 + px + q=
2p4q − p2
arctan2x + pp4q − p2Z
Ax + B
x2 + px + qdx =
A
2ln(x2 + px + q)
+
„B − 1
2Ap
«Zdx
x2 + px + qZ1
(x2 + px + q)n+1dx =
1
n(4q − p2)·
·»
2x + p
(x2 + px + q)n+ (4n−2)
Z1
(x2 + px + q)ndx
–Z
Ax + B
(x2 + px + q)ndx = − A
2(n − 1)(x2 + px + q)n−1
+`B − 1
2Ap´ Z 1
(x2 + px + q)ndx
Einige nutzliche Substitutionen 39
Einige nutzliche Substitutionen
Integrand Bedingung Substitution
sinn x cosm x m ungerade t=sin x, cos2 x=1−t2
sinn x cosm x n ungerade t=cos x, sin2 x=1−t2
sinn x cosm x n, m gerade t=tan x, sin2 x=t2
1+t2
R(x, n√
ax + b)∗ x =1
a(tn − b)
R(ex) t = ex
R(x,√
x2 + a2) a �= 0 x = a sinh t
R(x,√
x2 − a2) a �= 0 x = a cosh t
R(x,√
a2 − x2) a �= 0 x = a sin t
R(x,√
D)∗∗ a > 0√
D = t −√ax
R(x,√
D) c > 0√
D = xt +√
c
R(x,√
D) ∗∗∗ √D = t(x − x1)
R(sinh x, cosh x) t = ex
R(sin x, cos x) t=tanx
2, sin x=
2t
1+t2
R
„x, n
rax+b
cx+d
«t = n
rax + b
cx + d
∗ R(u, v) sei eine rationale Funktion von u und v∗∗ D = ax2 + bx + c∗∗∗ D besitzt verschiedene reelle Wurzeln, darunter x1
40 Integralrechnung
Integrale rationaler und irrationaler Funktionen
Z(ax + b)n dx =
(ax + b)n+1
a(n + 1)(n �= −1)
Z1
ax + bdx =
1
aln |ax + b|
Zax + b
fx + gdx =
ax
f+
bf − ag
f2ln |fx + g|
Zx dx
ax2+bx+c=
1
2aln |ax2+bx+c|− b
2a
Zdx
ax2+bx+cZdx
(a2±x2)n+1=
x
2na2(a2±x2)n+
2n−1
2na2
Zdx
(a2±x2)n
Zdx
a3±x3=± 1
6a2ln
(a ± x)2
a2∓ax+x2+
1
a2√
3arctan
2x ∓ a
a√
3Z p(ax + b)n dx =
2
a(2 + n)
p(ax + b)n+2 (n �=−2)
Zdx
x√
ax + b=
8>>>><>>>>:1√b
ln
˛˛√
ax + b −√b√
ax + b +√
b
˛˛ fur b > 0
2√−barctan
rax + b
−bfur b < 0
Z √ax + b
xdx = 2
√ax + b + b
Zdx
x√
ax + b
Integrale rationaler und irrationaler Funktionen 41
Z pa2 − x2 dx =
1
2
“xp
a2 − x2 + a2 arcsinx
a
”Z
xp
a2 − x2 dx = −1
3
p(a2 − x2)3
Z1√
a2 − x2dx = arcsin
x
aZx√
a2 − x2dx = −
pa2 − x2 (|x| < |a|)
Z px2 + a2 dx=
1
2
“xp
x2+a2 + a2 ln(x+p
x2 + a2)”
Zxp
x2 + a2 dx =1
3
p(x2 + a2)3
Z1√
x2 + a2dx = ln
“x +
px2 + a2
”Z
x√x2 + a2
dx =p
x2 + a2
Z px2−a2 dx=
1
2
“xp
x2−a2 − a2 ln(x +p
x2−a2)”
Zxp
x2 − a2 dx =1
3
p(x2 − a2)3 (|x| ≥ |a|)
Z1√
x2 − a2dx = ln
“x +
px2 − a2
”(|x| ≥ |a|)
Zx√
x2 − a2dx =
px2 − a2 (|x| ≥ |a|)
42 Integralrechnung
Integrale trigonometrischer FunktionenZsin ax dx = −1
acos axZ
sin2 ax dx =1
2x − 1
4asin 2axZ
sinn ax dx = − 1
nasinn−1 ax cos ax
+n−1n
Zsinn−2 ax dx (n ∈ IN)Z
x sin ax dx =1
a2sin ax − 1
ax cos axZ
xn sin ax dx = −1
axn cos ax +
n
a
Zxn−1 cos ax dx
(n ∈ IN)Z1
sin axdx =
1
aln˛tan
ax
2
˛(n ∈ IN)Z
dx
sinn ax=− cos ax
a(n−1) sinn−1 ax+
n−2
n−1
Zdx
sinn−2 ax
(n > 1)Zcos ax dx =
1
asin axZ
cos2 ax dx =1
2x +
1
4asin 2axZ
cosnax dx=1
nasin ax cosn−1 ax+
n−1
n
Zcosn−2 ax dxZ
xn cos ax dx =1
axn sin ax − n
a
Zxn−1 sin ax dxZ
dx
cos ax=
1
aln˛tan
“ax
2+
π
4
”˛
Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen 43
Zdx
cosn ax=
1
n−1
»sin ax
a cosn−1 ax+ (n−2)
Zdx
cosn−2 ax
–(n > 1)Z
sin ax cos ax dx =1
2asin2 axZ
tan ax dx = −1
aln | cos ax|Z
tann ax dx =1
a(n − 1)tann−1 ax −
Ztann−2 ax dx
(n �= 1)Zcot ax dx =
1
aln | sin ax|Z
cotn ax dx = − 1
a(n−1)cotn−1 ax −
Zcotn−2 ax dx
(n �= 1)
Integrale von Exponential- und Logarithmusfunk-tionenZ
eax dx =1
aeax
Zxneax dx =
1
axneax− n
a
Zxn−1eax dxZ
ln ax dx = x ln ax − xZlnn x
xdx =
1
n + 1lnn+1 xZ
1
a + b · ecxdx =
x
a− 1
acln (a + b · ecx)
44 Integralrechnung
Bestimmtes Integral
Die Flache A, die im Intervall [a, b] zwischen der x-Achseund dem Graphen der beschrankten Funktion f liegt,kann naherungsweise durch Summanden der Form
nPi=1
f(ξ(n)i ) ·
hx
(n)i −x
(n)i−1
igebildet werden, wobei a = x
(n)0 ≤ x
(n)1 ≤ . . . ≤ x
(n)n = b
gilt und ξ(n)i ∈ [x
(n)i−1, x
(n)i ] willkurlich gewahlt werden.
Durch Grenzubergang fur n → ∞ und x(n)i −x
(n)i−1 → 0
entsteht unter gewissen Voraussetzungen das bestimm-te Integral der Funktion f uber dem Intervall [a, b], das
gleich der Maßzahl der Flache A ist:R b
af(x) dx = A
Eigenschaften und RechenregelnZ a
a
f(x) dx = 0
Z b
a
f(x) dx = −Z a
b
f(x) dxZ b
a
[f(x) ± g(x)] dx =
Z b
a
f(x) dx ±Z b
a
g(x) dxZ b
a
λf(x) dx = λ
Z b
a
f(x) dx, λ ∈ IRZ b
a
f(x) dx =
Z c
a
f(x) dx +
Z b
c
f(x) dx˛Z b
a
f(x) dx
˛≤Z b
a
|f(x)| dx, a < b
Ist f stetig auf [a, b], so istR x
af(t) dt fur x ∈ [a, b] eine
differenzierbare Funktion:
F (x)=
Z x
a
f(t) dt =⇒ F ′(x)=f(x)
A09710
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46 Integralrechnung
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Ist f auf [a, b] stetig und F eine Stammfunktion von fauf [a, b], so giltZ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a)
Uneigentliche Integrale
Unbeschrankter Integrand
Die Funktion f habe an der Stelle x = b eine Polstelleund sei beschrankt und integrierbar uber jedem Inter-vall [a, b−ε] mit 0 < ε < b−a. Wenn das Integral vonf uber [a, b − ε] fur ε → 0 einen Grenzwert besitzt,wird dieser uneigentliches Integral von f uber [a, b]genannt:R b
af(x) dx = lim
ε→+0
R b−ε
af(x) dx.
Ist x = a eine Polstelle von f , so gilt analog:R b
af(x) dx = lim
ε→+0
R b
a+εf(x) dx.
Unbeschranktes Intervall
Die Funktion f sei fur x ≥ a definiert und uber jedemIntervall [a, b] integrierbar. Wenn der Grenzwert desIntegrals von f uber [a, b] fur b → ∞ existiert, so wirder uneigentliches Integral von f uber [a,∞) genannt(analog fur a → −∞):R∞
af(x) dx = lim
b→∞R b
af(x) dx,R b
−∞ f(x) dx = lima→−∞
R b
af(x) dx.
Parameterintegrale 47
Parameterintegrale
Ist f(x, t) fur a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d fur festes t bezuglichx uber [a, b] integrierbar, so ist
F (t) =bR
a
f(x, t) dx
eine Funktion von t, die als Parameterintegral (mit demParameter t) bezeichnet wird.
Differenziation unter dem Integralzeichen
Ist f nach t partiell differenzierbar und die partielleAbleitung ft stetig, so ist die Funktion F (nach t)differenzierbar, und es gilt
F (t) =dF (t)
dt=
Z b
a
∂f(x, t)
∂tdx.
Parameterabhangige Integrationsgrenzen
Sind ϕ und ψ zwei fur c ≤ t ≤ d differenzierbare Funk-tionen und ist f(x, t) in dem Bereich ϕ(t) < x < ψ(t),c ≤ t ≤ d partiell nach t differenzierbar mit steti-ger partieller Ableitung, so ist das Parameterintegraluber f mit den Grenzen ϕ(t) und ψ(t) fur c ≤ t ≤ dnach t differenzierbar, wobei gilt
F (t) =ψ(t)Rϕ(t)
f(x, t) dx =⇒
F (t)=ψ(t)Rϕ(t)
∂f(x, t)
∂tdx+f(ψ(t), t)ψ(t)−f(ϕ(t), t)ϕ(t)
Spezialfall: Ableitung nach oberer Integrationsgrenze
F (x) =xR0
f(ξ) dξ =⇒ F ′(x) = f(x)
48 Integralrechnung
Numerische Berechnung bestimmter Integrale
Um das Integral I =R b
af(x) dx naherungsweise nume-
risch zu berechnen, wird das Intervall [a, b] in n aquidi-stante Teilintervalle der Lange h = b−a
ngeteilt, wodurch
sich die Punkte a = x0, x1, . . . , xn−1, xn = b ergeben; esgelte yi = f(xi).
Sehnen-Trapez-Formel:
I ≈ h2· [y0 + yn + 2 (y1 + y2 + . . . + yn−1)]
Speziell fur kleine Intervalle: n = 1:
I ≈ h2· [y0 + y1] = b−a
2· [f(a) + f(b)]
Tangenten-Trapez-Formel: (n gerade)
I ≈ 2h · [y1 + y3 + . . . + yn−1]
Simpson-Regel: (n gerade)
I ≈ h3· [y0 + yn + 4(y1 + y3 + . . . + yn−1)
+2(y2 + y4 + . . . + yn−2)]
Newton-Cotes-Formel:
I ≈nP
i=0
wiyi mit wi =R b
aLi(x) dx,
Li(x) =(x−x0)···(x−xi−1)·(x−xi+1)···(x−xn)
(xi−x0)···(xi−xi−1)·(xi−xi+1)···(xi−xn)
i-tes Lagrange-Polynom
Doppelintegrale
I =RRB
f(x, y) db beschreibt das Volumen des”Zylinders“
(der Saule) uber dem Bereich B = {(x, y) | a ≤ x ≤ b,y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} der (x, y)-Ebene unter der Flachez = f(x, y); Vor.: f(x, y) ≥ 0 (db – Flachenelement).
Doppelintegrale 49
Flachenelemente
kartesische Koordinaten x, y db = dx dy
Polarkoordinaten r, ϕ db = r dr dϕ(r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π)
allgemeine Koordinaten u, v db =∂(x, y)
∂(u, v)du dv
Hierbei ist∂(x, y)
∂(u, v)=
˛xu xv
yu yv
˛die sog. Funktionaldetermi-
nante, die als ungleich null vorausgesetzt wird.
Berechnung uber iterierte Integration
I =bR
a
"y2(x)Ry1(x)
f(x, y) dy
#dx
Analog kann I bez. des Bereichs B1 ={(x, y)|x1(y)≤x≤x2(y), c≤y≤d} berechnet werden; in diesem Fallandert sich die Integrationsreihenfolge.
Ist speziell B = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} einRechteck, so gilt:
I =bR
a
dRc
f(x, y) dy dx =dRc
bRa
f(x, y) dx dy
Koordinatentransformation
Allgemeine Transformation x = x(u, v), y = y(x, v):
I =RRB∗
f(x(u, v), y(u, v))∂(x, y)
∂(u, v)du dv
(Integrationsgrenzen gemaß Transformation andern)
Spezialfall Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ :
I =RRB
f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ
50 Integralrechnung
Dreifache Integrale
I =RRRK
f(x, y, z) dk =RRRK
f(x, y, z) dx dy dz;
K = {(x, y, z) | (x, y) ∈ B, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)} –Korper im IR3 uber dem Bereich B = {(x, y) | a ≤ x ≤ b,y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} der (x, y)-Ebene; dk – Volumenele-ment
Berechnung uber iterierte Integration
I =bR
a
"y2(x)Ry1(x)
z2(x,y)Rz1(x,y)
f(x, y, z) dz
!dy
#dx
Analog kann I in der Reihenfolge zxy, yzx, yxz, xzybzw. xyz berechnet werden, wenn der Korper K ent-sprechend beschrieben ist.
f(x, y, z)≡1: I =RRRK
dk – Volumen des Korpers K
Koordinatentransformation
Allgemeine Transformation:
x = x(u, v, w), y = y(x, v, w), z = z(x, y, w):
I =RRRK∗
g(u, v, w)∂(x, y, z)
∂(u, v, w)du dv dw;
wobei g(u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)),
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)=
˛˛xu xv xw
yu yv yw
zu zv zw
˛˛ –
Funktionaldeterminante(Vor.: �= 0)
(Integrationsgrenzen gemaß Transformation andern)
Dreifache Integrale 51
Transformation kartesischer in Zylinderkoordinaten:
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z
(r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π)
I =RRRK∗
f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ dz
Transformation kartesischer in Kugelkoordinaten:
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ
(r ≥ 0, −π < ϕ ≤ π, 0 ≤ ϑ ≤ π)
I =RRRK∗
g(r, ϑ, ϕ) r2 sin ϑ dr dϕ dz
wobei gilt
g(r, ϑ, ϕ) = f(r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)
Volumenelemente
kartesische Koord. x, y, z dk = dx dy dz
Zylinderkoordinaten r, ϕ, z dk = r dr dϕ dz
Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ dk = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ
allgemeine Koord. u, v, w dk =∂(x, y, z)
∂(u, v, w)du dv dw
Spezielles Dreifachintegral bei festen Grenzen
bRa
dRc
fRe
f(x) · g(y) · h(z) dx dy dz
=bR
a
f(x) dx ·dRc
g(y) dy ·fRe
h(z) dz
52 Integralrechnung
Anwendungen der Integralrechnung
Flacheninhalt einesebenen Bereichs B
A =RRB
db
Masse mit Flachen-Massendichte �
M =RRB
�(x, y) db
Volumen des”Zylinders“
zwischen ebenem BereichB und Flache z=f(x, y)
V =RRB
f(x, y) db
Schwerpunktkoordinateneiner Flache mit Massen-dichte �
xs = 1M
RRB
x �(x, y) db
ys = 1M
RRB
y �(x, y) db
Schwerpunktkoordinateneiner homogenen Flache
xs = 1A
RRB
x db
ys = 1A
RRB
y db
Tragheitsmomente bez.der Koordinatenachsen:ebene Flache
Jx =RRB
y2�(x, y) db
Jy =RRB
x2�(x, y) db
homogene Flache setze �(x, y) ≡ 1
Volumen eines Rotationskor-pers bei Rotation der Kurvey(x) um die x-Achse
V = πbR
a
y2(x) dx
Satz von Steiner: JA = a2M + JS
(a – Abstand zwischen Achse A und Schwerpunkt, S –zu A parallele Achse durch Schwerpunkt)
Anwendungen der Integralrechnung 53
Volumen einesKorpers
V =RRRK
dx dy dz
Masse eines Korpersmit Massendichte �
M =RRRK
�(x, y, z) dx dy dz
Schwerpunktkoordina-ten eines Korpersmit Massendichte �
xs = 1M
RRRK
�(x, y, z)x dk
ys = 1M
RRRK
�(x, y, z)y dk
zs = 1M
RRRK
�(x, y, z)z dk
Schwerpunktkoordina-ten eines homogenenKorpers
xs = 1V
RRRK
x dk
ys = 1V
RRRK
y dk
zs = 1V
RRRK
z dk
Tragheitsmomenteines Korpers bez.beliebiger Achse A
JA =RRRK
r2A �(x, y, z) dk
(rA Abstand von A)
Tragheitsmomentebezuglich derKoordinatenachsen
Jx =RRRK
(y2+z2) �(x, y, z) dk
Jy =RRRK
(x2+z2) �(x, y, z) dk
Jz =RRRK
(x2+y2) �(x, y, z) dk
homogener Korper setze �(x, y, z) ≡ 1
Satz von Steiner: JA = a2V + JS
(a – Abstand zwischen Achse A und Schwerpunkt, S –zu A parallele Achse durch Schwerpunkt)
54 Differenzialgleichungen
Differenzialgleichungen
Gewohnliche DGL n-ter Ordnung
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 – implizite Form
y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) – explizite Form
Jede n-mal stetig differenzierbare Funktion y(x), die dieobige Differenzialgleichung fur alle x, a ≤ x ≤ b, erfullt,heißt (spezielle) Losung der gewohnlichen Differenzial-gleichung im Intervall [a, b] (moglich: a = −∞, b = +∞).Die Gesamtheit aller Losungen einer DGL oder eines Sys-tems von DGL wird als allgemeine Losung bezeichnet.
Sind an einer Stelle (z. B. x=a) zusatzliche Bedingungenan die Losung gestellt, so spricht man von einem An-fangswertproblem. Sind zusatzliche Bedingungen an denStellen a und b einzuhalten, liegt ein Randwertproblemvor.
System gewohnlicher Differenzialgleichungen: Fur meh-rere unbekannte Funktionen sind mehrere Gleichungengegeben, die deren Ableitungen enthalten.
Differenzialgleichungen erster Ordnung
y′ = f(x, y) oder
P (x, y) + Q(x, y)y′ = 0 oder
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
Ordnet man jedem Punkt der x, y-Ebene die durch dieGroße f(x, y) gegebene Tangentenrichtung der Losungs-kurven zu, so entsteht das Richtungsfeld. Die Kurven glei-cher Richtungen des Richtungsfeldes sind die Isoklinen.
Differenzialgleichungen erster Ordnung 55
Separierbare Differenzialgleichungen
Besitzt eine Differenzialgleichung die Form
y′ = r(x)s(y) bzw. P (x) + Q(y)y′ = 0
bzw. P (x) dx + Q(y) dy = 0,
so kann sie stets mittels Trennung der Variablen, d. h.
Ersetzen von y′ durchdy
dxund Umordnen, in die Form
R(x) dx = S(y) dy
gebracht werden. Durch”formales Integrieren“ erhalt
man daraus die allgemeine Losung:RR(x)dx =
RS(y)dy =⇒ ϕ(x) = ψ(y) + C
Lineare DGL erster Ordnung
y′ + a(x)y = r(x)r(x) �≡ 0 – inhomogene DGL,
r(x) ≡ 0 – homogene DGL
Die allgemeine Losung ist die Summe aus der allgemeinenLosung yh der zugehorigen homogenen Differenzialglei-chung und einer speziellen Losung ys der inhomogenenDifferenzialgleichung:
y(x) = yh(x) + ys(x)
Allgemeine Losung der homogenen DGL: Die allgemeineLosung yh(x) von y′ + a(x)y = 0 wird durch Trennungder Variablen ermittelt. Das Ergebnis lautet
yh(x) = Ce−R
a(x) dx, C = const
Spezielle Losung der inhomogenen DGL: Eine spezielleLosung ys(x) von y′+a(x)y = r(x) erhalt man nach
56 Differenzialgleichungen
Losen der zugehorigen homogenen DGL durch Variationder Konstanten in derselben, d. h. vermittels des Ansat-
zes ys(x) = C(x) · e−R
a(x) dx. Fur C(x) ergibt sich
C(x) =R
r(x) · eR
a(x) dx dx
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung
an(x)y(n) + . . . + a1(x)y′ + a0(x)y = r(x), an(x) �≡ 0
Die allgemeine Losung der inhomogenen DGL (r(x) �≡ 0)ergibt sich aus der Summe der allgemeinen Losung yh
der zugehorigen homogenen DGL (r(x) ≡ 0) und einerspeziellen Losung ys der inhomogenen DGL:
y(x) = yh(x) + ys(x)
Allgemeine Losung der homogenen DGL
Sind alle Koeffizientenfunktionen ak stetig, so existiertein Fundamentalsystem von n Funktionen y1, . . . , yn der-art, dass die allgemeine Losung yh(x) der zugehorigenhomogenen DGL folgende Form hat:
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x)
Die Funktionen y1, . . . , yn bilden genau dann ein Funda-mentalsystem, wenn jede dieser Funktionen yk Losungder homogenen DGL ist und wenn es mindestens einx0 ∈ IR gibt, fur das die Wronski-Determinante
W (x) =
˛˛˛
y1(x) y2(x) . . . yn(x)
y′1(x) y′
2(x) . . . y′n(x)
......
. . ....
y(n−1)1 (x) y
(n−1)2 (x) . . . y
(n−1)n (x)
˛˛˛
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 57
ungleich null ist. Sie lassen sich durch das Losen der fol-genden n Anfangswertprobleme gewinnen (k=1, . . . , n):
an(x)y(n)k +. . .+a1(x)y′
k+a0(x)yk = 0,
y(i)k (x0)=
j0, i �= k − 1
1, i = k − 1i = 0, 1, . . . , n − 1
Erniedrigung der Ordnung einer DGL: Kennt man einespezielle Losung by der homogenen DGL n-ter Ordnung,kann man mittels der Substitution y(x) = by(x)
Rz(x) dx
die Ordnung der DGL um eins erniedrigen.
Spezielle Losung der inhomogenen DGL
Ist {y1, . . . , yn} ein Fundamentalsystem, so erhalt manuber den Ansatz
ys(x) = C1(x)y1(x) + . . . + Cn(x)yn(x)
mittels Variation der Konstanten eine spezielle Losungder inhomogenen DGL, indem man die Ableitungen derFunktionen C1, . . . , Cn als Losungen des linearen Glei-chungssystems
y1C′1 + y2C
′2 + . . . + ynC′
n = 0
y′1C
′1 + y′
2C′2 + . . . + y′
nC′n = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(n−2)1 C′
1 + y(n−2)2 C′
2 + . . . + y(n−2)n C′
n = 0
y(n−1)1 C′
1 + y(n−1)2 C′
2 + . . . + y(n−1)n C′
n =r(x)
an(x)
bestimmt; anschließend werden die Funktionen Ci durchIntegration berechnet.
58 Differenzialgleichungen
Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
any(n) + . . . + a1y′ + a0 = r(x), a0, . . . , an ∈ IR
Die allgemeine Losung ergibt sich aus der Summe der all-gemeinen Losung der zugehorigen homogenen DGL undeiner speziellen Losung der inhomogenen DGL:
y(x) = yh(x) + ys(x)
Allgemeine Losung der homogenen DGL
Die Funktionen y1, . . . , yn des Fundamentalsystems wer-
den uber den Ansatz y = eλx bestimmt. Die n Werte
λ1, . . . , λn seien die Nullstellen des charakteristischen Po-lynoms, d. h. Losungen der charakteristischen Gleichung
anλn + . . . + a1λ + a0 = 0
Zu den n Nullstellen λk der charakteristischen Gleichunglassen sich die n Funktionen des Fundamentalsystemsgemaß folgender Tabelle bestimmen:
Art und Ordnungder Nullstelle
Funktionen desFundamentalsystems
λk reell, einfach eλkx
λk reell, p-fach eλkx, xeλkx, . . . , xp−1eλkx
λk = a ± bikonjugiert komplex,einfach
eax sin bx, eax cos bx
λk = a ± bikonjugiert komplex,p-fach
eax sin bx, xeax sin bx, . . . ,
xp−1eax sin bx, eax cos bx,
xeax cos bx, . . . , xp−1eax cos bx
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 59
Die allgemeine Losung yh der homogenen DGL ist
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x)
Spezielle Losung der inhomogenen DGL
Besitzt die Inhomogenitat r eine einfache Struktur, sokann ys durch einen Ansatz gemaß nachstehender Tabellebestimmt werden:
r(x) Ansatz fur ys(x)
Amxm + . . . + A1x + A0 bmxm + . . . + b1x + b0
Aeαx aeαx
A sin ωx od. B cos ωx od.
A sin ωx + B cos ωxa sin ωx + b cos ωx
Kombination obiger Funkt. Kombinat. der Ansatze
Resonanzfall: Ist ein Summand des Ansatzes Losung derhomogenen DGL, so wird der Ansatz so oft mit x multi-pliziert, bis kein Summand mehr Losung der homogenenDGL ist.
Euler’sche Differenzialgleichung
Haben in der allgemeinen linearen Differenzialgleichungn-ter Ordnung die Koeffizientenfunktionen die Gestaltak(x) = akxk, ak ∈ IR, k = 0, 1, . . . , n, so erhalt man
anxny(n) + . . . + a1xy′ + a0y = r(x)
Die Substitution x = eξ fuhrt auf eine lineare DGL mitkonstanten Koeffizienten fur die Funktion y(ξ). Derencharakteristische Gleichung lautet
anλ(λ−1) · · · (λ−n+1)+. . .+a2λ(λ−1)+a1λ+a0 =0
60 Differenzialgleichungen
Lineare Systeme erster Ordnung mit konstantenKoeffizienten
y′1 = a11y1 + . . . + a1nyn + r1(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y′
n = an1y1 + . . . + annyn + rn(x)aij ∈ IR
Die allgemeine Losung hat die Form −→y (x) = −→yh(x) +−→ys(x), wobei −→yh die allgemeine Losung des homogenenSystems −→y ′ = A−→y und −→ys eine spezielle Losung des in-homogenen Systems −→y ′ = A−→y + −→r ist.
Allgemeine Losung des homogenen Systems
Fall 1 A ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigen-werte λk, k = 1, . . . , n (mehrfache Eigenwerte werdenentsprechend mehrfach gezahlt); −→vk seien die zugehorigenreellen Eigenvektoren. Dann lautet die allgemeine Losungdes homogenen Systems
−→yh(x) = C1eλ1x−→v1 + . . . + Cneλnx−→vn
Fall 2 A ist diagonalisierbar und hat konjugiert kom-plexe Eigenwerte λk = α + βi, λk+1 = α − βi mit zu-
gehorigen Eigenvektoren −→vk =−→a +−→b i, −−→vk+1 = −→a − −→
b i.Dann sind in der allgemeinen Losung −→yh die Terme mitden Indizes k und k+1 wie folgt zu ersetzen:
−→yh(x) = . . . + Ckeαx(−→a cos βx −−→b sin βx)
+ Ck+1eαx(−→a sin βx +
−→b cos βx) + . . .
Fall 3 A ist nicht diagonalisierbar (komplizierter).
Spezielle Losung des inhomogenen Systems
Eine spezielle Losung −→ys kann durch Variation der Kon-stanten oder mittels geeigneter Ansatzfunktionen ermit-telt werden.
Griechisches Alphabet
Name Kleinbuchstabe Großbuchstabe
Alpha α A
Beta β B
Gamma γ Γ
Delta δ Δ
Epsilon ε, ε E
Zeta ζ Z
Eta η H
Theta θ, ϑ Θ
Jota ι I
Kappa κ K
Lambda λ Λ
My μ M
Ny ν N
Xi ξ Ξ
Omikron o O
Pi π, � Π
Rho ρ, � P
Sigma σ, ς Σ
Tau τ T
Ypsilon υ Υ
Phi φ, ϕ Φ
Chi χ X
Psi ψ Ψ
Omega ω Ω
Sachwortverzeichnis
Ableitung, 28hohere, 30
Ableitungsregeln, 28Additionstheoreme, 19, 23Anfangswertproblem, 54Areafunktion, 23, 24, 37Argument, 4, 17Arkusfunktion, 22, 36Astroide, 25Asymptote, 15
Basis, 16, 17Beschranktheit, 8Bessel’sche Funktion, 26Betafunktion, 26Betrag, 4Bogenmaß, 19
charakterist. Gleichung, 59
Darstellung einer Fkt.explizite, 8, 25implizite, 8, 25
Definitionsbereich, 8Differenzial, 30Differenzialgleichung, 54
erster Ordnung, 54Euler’sche, 59gewohnliche, 54homogene, 55, 56inhomogene, 55, 56lineare, 55mit konst. Koeff., 58n-ter Ordnung, 56separierbare, 55System, 60
Differenzialquotient, 28Differenziation, 28, 29
der Umkehrfkt., 28
implizite Funktion, 28logarithmische, 28
Differenziation unter demIntegral, 47
Differenziationsregeln, 28Diskriminante, 14Doppelintegral, 48Doppelwinkelformeln, 20
Ellipse, 25Epizykloide, 25Erniedrigung d. Ordnung
einer DGL, 57Euler’sche
Betafunktion, 26Gammafunktion, 26Relation, 4
Euler’sche DGL, 59Exponent, 16Exponentialfunktion, 16, 34,
43Extremwert, 8, 9, 32
Faktorregel, 28Folge, 6Fundamentalsystem, 56–58Funktion, 8
affin lineare, 12eineindeutige, 8elementare, 12ganze rationale, 15gebr. rationale, 38gebrochen rat., 15gerade, 8implizite, 28inverse, 8irrationale, 36, 40konkave, 9konvexe, 9
Sachwortverzeichnis 63
lineare, 12monotone, 8, 32quadratische, 14rationale, 36, 40trigonometr., 17, 19trigonometrische, 34,
42ungerade, 8unstetige, 10zyklometrische, 22
Gammafunktion, 26Gradmaß, 19Grenzwert, 6, 10
einer Funktion, 9einseitiger, 10uneigentlicher, 10
Halbwinkelformeln, 20Hauptsatz der Integralrech-
nung, 46Hyperbel, 25Hyperbelfunktion, 23, 37Hypotenuse, 17Hypozykloide, 25
imaginare Einheit, 4imaginare Zahl, 4Imaginarteil, 4Integral
bestimmtes, 44dreifaches, 50unbestimmtes, 33uneigentliches, 46
Integrationsregeln, 33, 44Isokline, 54iterierte Integration, 49, 50
Kardioide, 25kartesische Form, 4kartesisches Blatt, 25Kathete, 17
Kettenlinie, 25Kettenregel, 28Koeffizientenvergleich, 16komplexe Zahl, 4
kartesische Form, 4Polarform, 4Rechenregeln, 5trigonometr. Form, 4
konjugiert kompl. Zahl, 4Konkavitat, 9, 32Konvexitat, 9, 32Kosinus, 17Kotangens, 17Krummung, 9, 32Kreis, 25Kreisevolvente, 25Kurve, 25
Losungallgemeine, 54einer DGL, 54spezielle, 54
Landau’sches Symbol, 30Linearfaktorzerlegung, 15Logarithmus
dekadischer, 17naturlicher, 17
Logarithmusfunktion, 17, 34,43
Lucke, 10, 15
Maximumstelle, 9, 32Minimumstelle, 9, 32Monotonie, 8, 32
Nullstelle, 8, 15numerische Berechnung, 48
Parabel, 14Parameterdarstellung, 8, 25Parameterintegral, 47Partialbruch, 38
64 Sachwortverzeichnis
Partialbruchzerlegung, 16partielle Integration, 33Periodizitat, 8, 17, 18Polarform, 4Polstelle, 10, 15Polynom, 15Polynomdivision, 15Potenzfunktion, 14, 34Produktdarstellung, 15Produktregel, 28
Quotientenregel, 28Qutientenkriterium, 6
Randwertproblem, 54Realteil, 4Reihe, 6Restglied, 30Richtungsfeld, 54Rollkurve, 25
Satzvon Moivre, 5von Taylor, 30
Schwerpunkt, 53Sinus, 17Sprung, 10Stammfunktion, 33Stetigkeit, 10Stirling’sche Formel, 26Substitution, 33, 39
lineare, 33Summenregel, 28Symmetrie, 8, 18, 22System von DGL, 54
Tabellen von Integralen, 34Tangens, 17Taylorentwicklung, 30, 31Taylorpolynom, 31Tragheitsmoment, 53Trennung der Variablen, 55
Umgebung, 9Umkehrfunktion, 8Unstetigkeit, 10
Variation der Konstanten,56, 57
Wachstum, 8Wendepunkt, 32Wertebereich, 8Winkelfunktion, 17, 19Wronski-Determinante, 56Wurzelkriterium, 6
Zahlkomplexe, 4konjugiert kompl., 4
Zahlenfolge, 6Zykloide, 25
Als ein weltweit anerkannter Technologieführer nutzt Timken sein fundiertes Wissen über Materialien, Reibungsmanagement und Antriebstechnik, um die Zuverlässigkeit und Effizienz von Maschinen, Anlagen und Antrieben zu optimieren. 19.000 Mitarbeiter sorgen rund um den Globus für mehr Produk- tivität und halten die Industrie in Bewegung.
Stronger. By Design.
© 2014 The Timken Company. Timken® ist eine eingetragene Marke von The Timken Company.
Mit ihrem Know-how verbessern Timken Ingenieure in unterschiedlichsten Branchen weltweit die Zuverlässigkeit und Leistung von Maschinen und Anlagen. Das Unternehmen entwickelt, fertigt und vertreibt, mechanische Komponenten wie Wälzlager,
Getriebe und Ketten sowie weitere Produkte und Dienstleistungen im Bereich mechanischer Antriebstechnik.
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Mathematische Formeln und Begriffe für Ingenieure
Bernd Luderer
Das Wichtigste immer dabei! Diese Formelsammlung Mathematik bie-tet Studierenden der ingenieurwissenschaftlichen Fächer die wichtigsten Formeln für den täglichen Gebrauch im praktischen Westentaschenfor-mat. Hier findet der Studierende für jedes Problem die richtige Lösung.
Der AutorProf. Dr. Bernd Luderer, TU Chemnitz
KNO-Nr. A08713www.springer.com
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