Fluidmechanik

1 bar = 10000 Pa

Druck:

p =F

A

Verhältnis Druckkraft zu Fläche:

𝐹1

𝐹2=

𝐴1

𝐴2

Bodendruck:

p = ℎ ∗ 𝜌 ∗ 𝑔

Kraft eines Seitenflächendruckes:

𝐹 =1

2∗ ℎ𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝐴

Höhe von Flüssigkeiten bei verbundenen Gefäßen:

(𝜌 = 𝐷𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡)

ℎ1

ℎ2=

𝜌1

𝜌2

Auftriebskraft eines Körpers:

𝐹𝐴 = 𝑉 ∗ 𝜌 ∗ 𝑔

Gewichtskraft eines vollständig eingetauchten Körpers:

𝐹𝐺(𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡) = 𝑉 ∗ 𝑔 ∗ (𝜌𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 − 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡)

Verhältnis Druck zu Volumen (Boyle-Mariotte-Gesetz):

𝑝1 ∗ 𝑉1 = 𝑝2 ∗ 𝑉2

Barometrische Höhenformel:

𝑝ℎ = 1013 𝑚𝑏𝑎𝑟 ∗ 2.72−0.000125 ∗ ℎ

Strömungsfluss:

𝑄 =∆𝑉

∆𝑡

Strömungsgeschwindigkeit:

𝑣 =𝑄

𝐴

Kontinuitätsgleichung:

𝐴1 ∗ 𝑣1 = 𝐴2 ∗ 𝑣2

Ausströmungsgeschwindigkeit:

𝑣 = √2 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻

Geschwindigkeitshöhe:

ℎ𝑣 =𝑣2

2 ∗ 𝑔

Druckhöhe:

ℎ𝑝 =𝑝

𝜌 ∗ 𝑔

Bernoulli-Gleichung:

𝑝1

𝜌 ∗ 𝑔+

𝑣1²

2 ∗ 𝑔+ ℎ1 = 𝐻

𝑝1

𝜌 ∗ 𝑔+

𝑣1²

2 ∗ 𝑔+ ℎ1 =

𝑝2

𝜌 ∗ 𝑔+

𝑣2²

2 ∗ 𝑔+ ℎ2

Reibung zwischen Flüssigkeiten:

(x = Abstand zwischen den Flächen)

𝐹𝑅 = 𝜂 ∗𝐴

𝑥∗ 𝑣

Stokes-Formel:

𝐹𝑊 = 𝜂 ∗ 6 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑣

Druck im Staupunkt einer Störung:

𝑝0 = 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻

Strömungswiderstand eines umströmten Körpers:

𝐹𝑊 = 𝑐𝑤 ∗𝜌

2∗ 𝐴 ∗ 𝑣²

Leistungsbedarf zur Überwindung:

𝐹𝑊 = 𝑐𝑤 ∗𝜌

2∗ 𝐴 ∗ 𝑣³

Widerstandsbeiwert einer Kugel:

𝑐𝑤 =12 ∗ 𝜂

𝑟 ∗ 𝜌 ∗ 𝑣

Reynoldsche Zahl:

𝑅𝑒 =𝑙 ∗ 𝜌 ∗ 𝑣

𝜂

Gleichstrom

Ohmsches Gesetz:

𝐼 =𝑈

𝑅

Widerstand eines beliebigen Leiters:

𝑅 =𝜌 ∗ 𝑙

𝐴

Widerstand:

𝑅 =𝑈²

𝑃=

𝑃

𝐼²=

𝑈

𝐼

Stromstärke:

(Q = Elektrizitätsmenge)

𝐼 =𝑄

𝑡

𝐼 =𝑃

𝑈=

𝑈

𝑅= √

𝑃

𝑅

Spannung:

𝑈 = 𝑅 ∗ 𝐼 =𝑃

𝐼= √𝑃 ∗ 𝑅

Elektrische Arbeit:

𝑊 = 𝑈 ∗ 𝑄 = 𝑈 ∗ 𝐼 ∗ 𝑡

Elektrische Leistung:

𝑃 =𝑊

𝑡= 𝑈 ∗ 𝐼 =

𝑈2

𝑅= 𝑅 ∗ 𝐼²

Reihenschaltung (wenn I konstant):

𝑈𝑞 = 𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔, 𝑅𝑒𝑟𝑠 = 𝐸𝑟𝑠𝑎𝑡𝑧𝑤𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑)

𝑈𝑞 = 𝑈𝑞1 + 𝑈𝑞2 + 𝑈𝑞𝑛 + ⋯

𝑅𝑒𝑟𝑠 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝑛 + ⋯

𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈𝑛 + ⋯

ΣU = 0

Parallelschaltung (wenn U konstant):

𝑈𝑞 = 𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔, 𝑅𝑒𝑟𝑠 = 𝐸𝑟𝑠𝑎𝑡𝑧𝑤𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑)

𝑈𝑞 = 𝑈𝑞1 = 𝑈𝑞2 = 𝑈𝑞𝑛 = ⋯

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼𝑛 + ⋯

𝑅𝑒𝑟𝑠 =1

1𝑅1

+1

𝑅2+

1𝑅𝑛

+ ⋯

ΣI = 0

Spannungsverlust:

𝑈𝑣 =𝐼 ∗ 𝜌 ∗ 2 ∗ 𝐿

𝐴

Leistungsverlust:

𝑃𝑣 =𝐼² ∗ 𝜌 ∗ 2 ∗ 𝐿

𝐴

Wechselstrom

Quellenspannung:

𝑈𝑞 = 𝑁 ∗Δ𝜙

Δ𝑡

Leiterspannung:

𝑈𝐿 = √3 ∗ 𝑈

Winkelgeschwindigkeit:

𝜔 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓

Effektive Spannung:

𝑈𝑒𝑓𝑓 =𝑈𝑚𝑎𝑥

√2

Effektive Stromstärke:

𝐼𝑒𝑓𝑓 =𝐼𝑚𝑎𝑥

√2

Mittlere Leistung:

𝑃𝑚𝑖𝑡𝑡 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 ∗ 𝐼𝑒𝑓𝑓

Widerstand:

𝑅 =𝜌 ∗ 𝑙

𝐴

Induktive Blindwiderstand:

𝑋𝐿 = 𝜔 ∗ 𝐿

Kapazität:

𝑋𝐶 =1

𝜔 ∗ 𝐶

Scheinwiderstand:

𝑍 =𝑈

𝐼

Scheinleistung:

𝑆 = 𝑈 ∗ 𝐼

Wirkleistung:

𝑃 = 𝑈 ∗ 𝐼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑

Blindleistung:

Q= 𝑈 ∗ 𝐼 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑

Spannungsverlust:

𝑈𝑉 =𝐼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜌 ∗ 2 ∗ 𝐿

𝐴

Wärmelehre

Temperatur in K = °C + 273.15

Universelle Gaskonstante 𝑅 = 8313 𝑁𝑚𝐾−1𝑘𝑚𝑜𝑙−1

Verlängerung eines Körpers bei Erwärmung:

∆𝑙 = 𝛼 ∗ 𝑙0 ∗ ∆𝑡

𝑙1 = 𝑙0 ∗ (1 + 𝛼 ∗ ∆𝑡)

Volumenänderung bei Erwärmung:

𝑉1,2 = 𝑉0 ∗ (1 + 𝛾 ∗ ∆𝑡)

𝛾 = 3 ∗ 𝛼 (𝑏𝑒𝑖 𝑓𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟𝑛)

Zustandsänderung bei konstantem Volumen (Gay-Lussac-Gesetz):

𝑉1

𝑉2=

𝑇1

𝑇2

Zustandsänderung bei konstantem Druck (Gay-Lussac-Gesetz):

𝑝1

𝑝2=

𝑇1

𝑇2

Zustandsgleichung für ideale Gase:

𝑝1 ∗ 𝑉1

𝑇1=

𝑝2 ∗ 𝑉2

𝑇2= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Zustandsgleichung für reale Gase (Van der Waalssche-Gleichung):

𝑝 +𝛼

𝑉²∗ (𝑉 − 𝑏) = 𝑅 ∗ 𝑇

Zustandsgleichung für 1 Kilomol eines Gases:

𝑝 ∗ 𝑉𝑁 = 𝑅 ∗ 𝑇

Zustandsgleichung für eine beliebige Gasmenge:

𝑝 ∗ 𝑉 =𝑚

𝑀∗ 𝑅 ∗ 𝑇

Wärmemenge:

𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑐 ∗ ∆𝑡

Mischtemperatur aus verschiedenen Stoffen:

𝑡𝑚 =𝑚1 ∗ 𝑐1 ∗ 𝑡1 + 𝑚2 ∗ 𝑐2 ∗ 𝑡2

𝑚1 ∗ 𝑐1 + 𝑚2 ∗ 𝑐2

Schmelz- bzw. Erstarrungswärme:

(𝑞𝑤𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 = 333.94 𝑘𝐽 ∗ 𝑘𝑔−1)

𝑞 =𝑄

𝑚

Verdampfungs- bzw. Kondensationswärme:

(𝑟𝑤𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 = 2258.4 𝑘𝐽 ∗ 𝑘𝑔−1)

𝑟 =𝑄

𝑚

Absolute Luftfeuchtigkeit:

𝑓 =𝑚𝑤𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟

𝑉𝐿𝑢𝑓𝑡

Relative Luftfeuchtigkeit:

𝜑 =𝑓

𝑓𝑚𝑎𝑥∗ 100%

Erster Hauptsatz der Wärmelehre:

𝑄 = Δ𝑈 + 𝑊

Änderung der inneren Energie bei der isochoren Zustandsänderung:

Δ𝑈 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑣 ∗ (𝑇2 − 𝑇1)

Äußere Arbeit bei der isothermen Zustandsänderung:

𝑊 = 𝑝1 ∗ 𝑉1 ∗ 𝑙𝑛𝑉2

𝑉1

𝑊 = 𝑝2 ∗ 𝑉2 ∗ 𝑙𝑛𝑉2

𝑉1

Zustandsgleichung der isobaren Zustandsänderung:

𝑇

𝑉= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Äußere Arbeit bei der isobaren Zustandsänderung:

𝑊 = 𝑝 ∗ (𝑉2 − 𝑉1)

𝑊

𝑄=

𝑐𝑝 − 𝑐𝑣

𝑐𝑝

Zustandsgleichung der adiabatischen Zustandsänderung:

𝑝 ∗ 𝑉𝜅 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑝1

𝑝2= (

𝑉2

𝑉1)𝜅

𝑇1

𝑇2= (

𝑉2

𝑉1)𝜅−1

𝑇1

𝑇2= (

𝑝1

𝑝2)

𝜅−1𝜅

Äußere Arbeit der adiabatischen Zustandsänderung:

𝑊 =𝑅

𝜅 − 1∗

𝑚

𝑀∗ (𝑇2 − 𝑇1)

Zustandsgleichung der polytropen Zustandsänderung:

Hinweis:

Es gelten alle Gleichungen für die adiabatischen Zustandsänderungen, nur ist hier 𝜅 durch n zu

ersetzen.

𝑝 ∗ 𝑉𝑛 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Thermodynamischer Nutzeffekt:

𝜂 =𝑄1 − 𝑄2

𝑄1

𝜂 =𝑇1 − 𝑇2

𝑇1

Wärmeleitung:

𝑄 = 𝜆 ∗𝐴 ∗ 𝑡 ∗ Δ𝜐

𝑙

Wärmeübergang:

𝑄 = 𝛼 ∗ 𝐴 ∗ 𝑡 ∗ Δ𝜐

Otto-Motor Zustandsänderungen:

𝑝2 = 𝑝1 ∗ (𝑉1

𝑉2)𝜅 ⇒ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘

𝑇2 = 𝑇1 ∗ (𝑉1

𝑉2)𝜅−1 ⇒ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟

𝑇3 = 𝑇2 +𝑞𝑧𝑢

𝑐𝑣)𝜅 ⇒ 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 𝑊ä𝑟𝑚𝑒𝑧𝑢𝑓𝑢ℎ𝑟

𝑝3 = 𝑝2 ∗𝑇3

𝑇2⇒ 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 𝑊ä𝑟𝑚𝑒𝑧𝑢𝑓𝑢ℎ𝑟

𝑝4 = 𝑝3 ∗ (𝑉1

𝑉2)−𝜅 ⇒ 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

Kinematik

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

z.B. mit dem Auto beschleunigen

𝐇𝐢𝐧𝐰𝐞𝐢𝐬: 𝐯𝟎 = 𝐀𝐧𝐟𝐚𝐧𝐠𝐬𝐠𝐞𝐬𝐜𝐡𝐰𝐢𝐧𝐝𝐢𝐠𝐤𝐞𝐢𝐭

𝑠 =1

2∗ 𝑎 ∗ 𝑡2 + 𝑣0 ∗ 𝑡 (Fehlende Angabe: v)

𝑣 = 𝑎 ∗ 𝑡 + 𝑣0 (Fehlende Angabe: s)

𝑠 =1

2∗ (𝑣 + 𝑣0) ∗ 𝑡 (Fehlende Angabe: a)

𝑣 = √𝑣02 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑠 (Fehlende Angabe: t)

Gleichmäßig verzögerte Bewegung:

z.B. mit dem Auto bremsen

𝐇𝐢𝐧𝐰𝐞𝐢𝐬: 𝐯𝟎 = 𝐀𝐧𝐟𝐚𝐧𝐠𝐬𝐠𝐞𝐬𝐜𝐡𝐰𝐢𝐧𝐝𝐢𝐠𝐤𝐞𝐢𝐭

𝑠 =1

2∗ −𝑎 ∗ 𝑡2 + 𝑣0 ∗ 𝑡 (Fehlende Angabe: v)

𝑣 = −𝑎 ∗ 𝑡 + 𝑣0 (Fehlende Angabe: s)

𝑠 =1

2∗ (𝑣 + 𝑣0) ∗ 𝑡 (Fehlende Angabe: a)

𝑣 = √𝑣02 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑠 (Fehlende Angabe: t)

Der Unterschied zwischen gleichmäßig beschleunigter und gleichmäßig verzögerter Bewegung ist,

dass der Wert der Beschleunigung, also a entweder positiv (+) oder negativ (-) ist.

Senkrechter Wurf nach unten:

z.B. einen Stein von einem Turm fallen lassen

Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung verwenden. Statt der Strecke s, die Fallhöhe h

einsetzen. Statt der Beschleunigung a, die Erdbeschleunigung g=9.81m

s² einsetzen.

Senkrechter Wurf nach oben:

z.B. einen Ball in die Luft werfen

ℎ =𝑔

2∗ 𝑡2

𝑣 = 𝑔 ∗ 𝑡

𝑣 = √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

𝑡1,2 =𝑣

𝑔± √(

𝑣0

𝑔)

2

−2 ∗ ℎ

𝑔

Hinweis:

Wird nach der Zeit gefragt, wann z.B. der hochgeworfene Ball wieder auf dem Boden landet, muss

die Zeit halbiert werden, also t

2.

Denn es gilt:

Steighöhe = Fallhöhe

Steigzeit = Fallzeit

Freier Fall:

Formeln für den senkrechten Wurf nach oben verwenden.

Treffpunkt zweier Objekte:

z.B. zwei Fahrzeuge starten von unterschiedlichen Orten aus

𝐇𝐢𝐧𝐰𝐞𝐢𝐬: s0 = Streckenlänge

𝑠 = 𝑣 ∗ 𝑡 + 𝑠0

𝑡 =𝑠0

𝑣1 + 𝑣2

𝑠 =𝑣1

𝑣1 + 𝑣2∗ 𝑠0

Kinetik

FG ⇒ Wirkt immer senkrecht nach unten

FH ⇒ Wirkt immer hangabwärts (im Beispiel oben, nach links)

FN ⇒ Wirkt immer senkrecht zum Objekt

𝐹𝐺 = 𝑚 ∗ 𝑔 (𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝐹𝐻 = 𝐹𝐺 ∗ sin 𝛼 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 (𝐻𝑎𝑛𝑔𝑎𝑏𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝐹𝑁 = 𝐹𝐺 ∗ cos 𝛼 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼 (𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝜌 =𝑚

𝑉 (𝐷𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒 =

𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)

Grundgesetz der Dynamik:

𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑎 (𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 ∗ 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔)

𝑎 =𝑣

𝑡 (𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 = 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑍𝑒𝑖𝑡)

Newton (Herleitung):

𝑚 = 𝑘𝑔

𝑎 =

𝑚𝑠𝑠

=𝑚

𝑠2

𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑘𝑔 ∗𝑚

𝑠2= 𝑁 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛)

Reibungskräfte:

Reibungskräfte wirken immer entgegen der Angriffskraft F. Wirkt zum Beispiel die Angriffskraft nach

links, so wirkt die Reibkraft nach rechts.

Hinweis:

FN bei schiefer Ebene ist 𝐹𝐺 ∗ cos 𝛼 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

Haftreibungskraft: 𝐹𝑅𝐻 = 𝜇𝐻 ∗ 𝐹𝑁

Gleitreibungskraft: 𝐹𝑅𝐺 = 𝜇𝐺 ∗ 𝐹𝑁

Rollreibungskraft: 𝐹𝑅𝑅 =𝜇𝑅

𝑟∗ 𝐹𝑁

Fahrwiderstandskraft: 𝐹𝑊 = 𝜇𝐹 ∗ 𝐹𝑁

Trägheitskraft:

Hinweis:

Die Trägheitskraft tritt nur in einem beschleunigten System auf. Sie wirkt der Beschleunigung immer

entgegen. Z.B. Beschleunigung geht nach rechts ⇒ Trägheitskraft geht nach links.

Beschleunigung geht nach unten ⇒ Trägheitskraft geht nach oben.

𝐹𝑇 = −𝑚 ∗ 𝑎

𝐹𝑟𝑒𝑠 − 𝑚 ∗ 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 + 𝐹𝑇 = 0

Fliehkraft (Trägheitskraft in einem rotierenden System):

(auch als Zentrifugalkraft bezeichnet – Sie zeigt immer radial nach außen.)

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝜔2 ∗ 𝑟

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗𝑣²

𝑟

Horizontale Beschleunigung, Verzögerung mit Reibung:

𝐹𝑍 (𝑍𝑢𝑔𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑟𝑒𝑚𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑎 + 𝐹𝑅

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑎 + 𝐹𝐺 ∗ 𝜇

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑎 + 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝜇

𝐹𝑍 = 𝑚(𝑎 ± 𝑔 ∗ 𝜇) ⇒ (+) für Beschleunigung, (-) für Verzögerung

Vertikale Beschleunigung ohne Reibung:

𝐹𝑆 (𝑍𝑢𝑔𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑒𝑖𝑙𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝐹𝑆 = 𝑚(𝑔 ± 𝑎) ⇒ (+) für Beschleunigung nach oben, (-) für Beschleunigung nach unten

Beschleunigung auf schiefer Ebene:

𝑎 = 𝑔 ∗ sin 𝛼 (𝑜ℎ𝑛𝑒 𝑅𝑒𝑖𝑏𝑢𝑛𝑔)

𝑎 = 𝑔(sin 𝛼 − 𝜇 ∗ cos 𝛼) (𝑚𝑖𝑡 𝑅𝑒𝑖𝑏𝑢𝑛𝑔)

Impulssatz:

𝐹 ∗ 𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑣 (𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 ∗ 𝑍𝑒𝑖𝑡 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 ∗ 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡)

Hubarbeit:

𝑊𝐻𝑢𝑏 = 𝐹𝐺 ∗ ℎ = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

Federspannarbeit:

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑐 ∗ 𝑠

𝑊 =1

2∗ 𝐹𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑠

𝑊 =1

2∗ 𝑐 ∗ 𝑠 ∗ 𝑠

𝑊 =1

2∗ 𝑐 ∗ 𝑠²

Dreharbeit:

𝑊 = 𝜋 ∗ 𝐹𝑈 ∗ 2 ∗ 𝑟 ∗ 𝑧 (𝑈𝑚𝑓𝑎𝑛𝑔𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 (𝐹𝑈) ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 (𝑟) ∗ 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑈𝑚𝑑𝑟𝑒ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 (𝑧))

𝑊 = 𝑀𝑡 ∗ 𝜑

𝑀𝑡 = 𝐹𝑈 ∗ 𝑟

𝑊 = 𝐹𝑈 ∗ 𝑟 ∗ 𝜑

Hebelgesetz:

→ + = links drehend (gegen den Uhrzeigersinn)

→ - = rechts drehend (im Uhrzeigersinn)

𝐹𝐺 ∗ 𝑟𝑆 − 𝐹𝑈 ∗ 𝑟𝐾 = 0

𝐹𝐺 ∗ 𝑟𝑆 = 𝐹𝑈 ∗ 𝑟𝐾

Zugkraft auf schiefer Ebene:

Hinweis:

Die schiefe Ebene dient zur Übersetzung der Kraft.

𝐹𝑍 = 𝐹𝐻 + 𝐹𝑅

𝐹𝐻 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼

𝐹𝑅 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼 ∗ 𝜇

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 + 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼 ∗ 𝜇

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑔(sin 𝛼 + cos 𝛼 ∗ 𝜇)

𝐹𝑍 = 𝑚 ∗ 𝑔(sin 𝛼 + cos 𝛼) ⇒ 𝑏𝑒𝑖 𝑉𝑒𝑟𝑛𝑎𝑐ℎ𝑙ä𝑠𝑠𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑟 𝑅𝑒𝑖𝑏𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

Leistung:

𝑃 =𝑊

𝑡

𝑃 =𝐹 ∗ 𝑠

𝑡

𝑃 = 𝐹 ∗ 𝑣

Leistung bei Drehbewegung:

𝑃 =𝑀𝑡 ∗ 𝜑

𝑡

𝑃 = 𝑀𝑡 ∗ 𝜔

𝑃 = 𝐹𝑢 ∗ 𝑟 ∗ 𝜔

𝑃 = 𝐹𝑢 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑 ∗ 𝑛

𝑃 = 𝑀 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛

Wirkungsgrad:

Hinweis:

Der Wirkungsgrad ist immer < 1.

𝜂 =𝑃𝑁

𝑃𝑍=

𝑁𝑢𝑡𝑧𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔

𝑍𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔

𝜂 =𝑊𝐴𝐵

𝑊𝑍𝑈=

𝐴𝑏𝑔𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡

𝑍𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡

𝜂𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 = 𝜂1 ∗ 𝜂2 ∗ 𝜂3 ∗ 𝜂…….

Turbinengleichung:

𝑃𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 = 𝜂𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 ∗ 𝜌𝑊𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑉

𝑃𝑀𝑒𝑐ℎ𝑎𝑛𝑖𝑠𝑐ℎ = 𝜂𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 ∗ 𝜂𝐺𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒 ∗ 𝜌𝑊𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑉

𝑃𝐸𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ = 𝜂𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 ∗ 𝜂𝐺𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒 ∗ 𝜂𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 ∗ 𝜌𝑊𝑎𝑠𝑠𝑒𝑟 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑉

Potenzielle Energie:

(Gespeicherte Energie)

𝐸𝑃 = 𝐹𝐺 ∗ 𝑠

𝐸𝑃 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠

Kinetische Energie:

(Bewegungsenergie)

𝐸𝐾 =1

2∗ 𝑚 ∗ 𝑣²

𝐸𝐾 =1

2∗ 𝑚 ∗ 2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠 ∗ 𝜇

𝐸𝐾 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠 ∗ 𝜇

Energiesatz:

𝐸𝑃 = 𝐸𝐾

Energieerhaltungssatz:

𝐸𝐸 = 𝐸𝐴 + 𝑊𝑍𝑈 − 𝑊𝐴𝐵 (𝐴𝑛𝑓𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 + 𝑍𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 − 𝐴𝑏𝑔𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡)

Energie beim Zusammenstoß:

𝐸𝐾 =1

2∗ (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) ∗ 𝑣²

𝐸𝑃 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) ∗ 𝑔 ∗ ℎ

𝐸𝑃 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 ∗ 𝑠

Geschwindigkeit beim Zusammenstoß:

𝑣 =𝑚1

𝑚1 + 𝑚2∗ 𝑣1

Festigkeitslehre

Grundbeanspruchungsarten:

Zug:

𝜎𝑍𝑢𝑔 =𝐹

𝐴

Druck:

𝜎𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 =𝐹

𝐴

Biege:

𝜎𝐵𝑖𝑒𝑔𝑒 =𝑀𝐵

𝑊=

𝐹 ∗ 𝑙 ∗ 𝑒

𝐼

Abscher:

Hinweis:

Fläche A ist die auf Abscherung beanspruchte Fläche, z.B. bei einem ausgestanzten Kreis, wäre die

Fläche A: 𝑑 ∗ 𝜋 ∗ ℎ = 𝐷𝑢𝑟𝑐ℎ𝑚𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 ∗ 𝜋 ∗ 𝐻öℎ𝑒 (𝑈𝑚𝑓𝑎𝑛𝑔 ∗ 𝐻öℎ𝑒)

𝜏𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟 =𝐹

𝐴

Torsion:

𝜏𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 =𝑀𝑇

𝑊𝑃

Nietverbindungen/Lochleibungsdruck:

𝜎𝑙 =𝐹

𝑛 ∗ 𝐴=

𝐹

𝑛 ∗ 𝑑1 ∗ 𝑠

n=Anzahl der Nieten

m=Schnittzahl der Nietverbindung (z.B. zwei zusammengenietete Bleche sind einschnittig, drei

zusammengenietete sind zweischnittig etc.)

𝜏𝑎 =𝐹

𝑛 ∗ 𝑚 ∗ 𝐴=

𝐹 ∗ 4

𝑛 ∗ 𝑑² ∗ 𝜋

Herabhängende Stäbe, Seile etc.:

𝜎𝑍𝑢𝑔 =𝐹 + 𝐹𝐺

𝐴=

𝐹 + 𝑚 ∗ 𝑔

𝐴=

𝐹 + 𝑉 ∗ 𝜌 ∗ 𝑔

𝐴

Querbohrungen:

(z.B. bei Nietverbindungen)

𝜎𝑍𝑢𝑔 =𝐹 ∗ 4

𝜋 ∗ 𝑑22 − 𝑑2 ∗ 𝑑1

𝜎𝑍𝑢𝑔 =𝐹

𝑠(𝑏 − 𝑑 ∗ 𝑛) (𝑛 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝐿ö𝑐ℎ𝑒𝑟)

Ketten:

𝜎𝑍𝑢𝑔 =𝐹

2 ∗𝜋4 ∗ 𝑑²

=𝐹 ∗ 4

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑²=

𝐹 ∗ 2

𝜋 ∗ 𝑑²

Verlängerung:

Δ𝑙 = 𝑙 − 𝑙0 (𝑙0 = 𝐴𝑢𝑠𝑔𝑎𝑛𝑔𝑠𝑙ä𝑛𝑔𝑒)

Dehnung/Querdehnung:

휀 =Δ𝑙

𝑙0=

𝑙 − 𝑙0

𝑙0

휀𝑞 =Δd

𝑑0=

𝑑0 − 𝑑

𝑑0

in Prozent:

휀 =Δ𝑙

𝑙0∗ 100

Poisson-Zahl:

𝜇 =휀𝑞

휀

Elastizitätsmodul:

𝐸 =σ

휀 (𝐸 𝑓ü𝑟 𝑆𝑡𝑎ℎ𝑙: 210000

𝑁

𝑚𝑚2)

𝜎 = 𝐸 ∗ 휀 ⇒𝐹

𝐴= 𝐸 ∗ 휀

𝜎 =Δ𝑙

𝑙0∗ 𝐸 ⇒

𝐹

𝐴=

Δ𝑙

𝑙0∗ 𝐸

Wärmespannung:

Δ𝑙 = 𝑙0 ∗ 𝛼𝑙 ∗ Δ𝑇

Formänderungsarbeit:

𝑊𝑓 =𝐹 ∗ Δ𝑙

2=

𝜎2 ∗ 𝑉

2 ∗ 𝐸=

𝜎² ∗ 𝐴 ∗ 𝑙0

2 ∗ 𝐸

Reißlänge:

𝑙𝑟 =𝑅𝑚

𝜌 ∗ 𝑔

Flächenpressung Passstift:

𝑝 =𝐹

𝑠 ∗ (ℎ − 𝑠) +𝜋4

∗ 𝑠2

Flächenpressung Gewinde:

𝑝 =𝐹 ∗ 𝑃

𝜋 ∗ 𝑑2 ∗ 𝐻1 ∗ 𝑚

Mutterhöhe:

𝑚 =𝐹 ∗ 𝑃

𝜋 ∗ 𝑑2 ∗ 𝐻1 ∗ 𝑝

Gewindegänge:

𝑖 =𝑚

𝑝

Hinweis:

Um beim Trapezgewinde den Außendurchmesser 𝑑3 zu erhalten, kann man anhand der Fläche A den

Durchmesser bestimmen:

𝑑 = √𝐴 ∗ 4

𝜋

Flächenpressung Kupplung:

𝑝 =𝐹

𝜋 ∗ 𝑑 ∗ 𝑏 ∗ sin 𝛼

Torsionsmoment

𝑀𝑇 = 𝐹 ∗ 𝑟 = 𝐹 ∗𝑑

2

Torsionsspannung Grundformel (Widerstandsmomente 𝑊𝑃 und Flächenträgheitsmomente 𝐼𝑃 für Torsion

im Tabellenbuch Roloff/Matek Maschinenelemente)

𝜏𝑇 =𝑀𝑇

𝑊𝑃

Torsionsmoment über Leistung:

Moment mit Zahlenwertgleichung:

M in Nm

P in kW

n in min¯1

𝑀 =𝑃 ∗ 9550

𝑛

Hinweis:

Die oben stehende Formel ist eine Herleitung der Formel

(𝑛 = min¯1 =1

𝑚𝑖𝑛=

1

60𝑠); 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 1000 𝑓ü𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝑈𝑚𝑤𝑎𝑛𝑑𝑙𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑘𝑊)

𝑀 =𝑃

𝜔=

𝑃

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛=

𝑃 ∗ 1000

2 ∗ 𝜋 ∗1

60𝑠

=𝑃 ∗ 1000 ∗ 60

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛=

𝑃 ∗ 9550

𝑛

Spannungen einer Hohlwelle über Durchmesser:

𝜏𝑎

𝐷=

𝜏𝑖

𝑑⇒

𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑎𝑢ß𝑒𝑛

𝐷𝑢𝑟𝑐ℎ𝑚𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑎𝑢ß𝑒𝑛=

𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛

𝐷𝑢𝑟𝑐ℎ𝑚𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛

Hookesches Gesetz bei Torsion:

(G=Schubspannung (bei Stahl 80000N/mm²), E=Elastizitätsmodul (bei Stahl 210000N/mm²)

𝜏𝑡 =𝑏 ∗ 𝐺

𝑙⇒ 𝜎 =

∆𝑙 ∗ 𝐸

𝑙

Übersetzungsverhältnis Drehmoment:

𝑖𝑔𝑒𝑠 =𝑀𝐴𝑏𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏(𝑔𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒𝑛)

𝑀𝐴𝑛𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏(𝑡𝑟𝑒𝑖𝑏𝑒𝑛𝑑)=

𝑍äℎ𝑛𝑒𝑧𝑎ℎ𝑙𝐴𝑏𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏(𝑔𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒𝑛)

𝑍äℎ𝑛𝑒𝑧𝑎ℎ𝑙𝐴𝑛𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏(𝑡𝑟𝑒𝑖𝑏𝑒𝑛𝑑)

mit Nutzugsgrad

𝑖𝑔𝑒𝑠 =𝑀𝐴𝑏𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏

𝑀𝐴𝑛𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏 ∗ 𝜂

Verdrehwinkel:

𝜑 =𝑏 ∗ 180°

𝑟 ∗ 𝜋 (𝑖𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑑) ⇒ 𝜑 =

𝑏

𝑟 (𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑑)

𝜑 =𝑀𝑇 ∗ 𝑙 ∗ 180°

𝐼𝑃 ∗ 𝐺 ∗ 𝜋=

𝑀𝑇 ∗ 𝑙 ∗ 180°

𝑊𝑃 ∗ 𝑟 ∗ 𝐺 ∗ 𝜋=

𝜏𝑇 ∗ 𝑙 ∗ 180°

𝐺 ∗ 𝑟 ∗ 𝜋

Drillung:

𝜗 =𝜑

𝑙=

𝑀𝑇

𝐺 ∗ 𝐼𝑃

Umrechnung in Längenmaß:

𝜗 =𝜋

180∗ 𝐷𝑟𝑖𝑙𝑙𝑢𝑛𝑔𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡 (°/𝑚)

Federweg:

Hinweis: 𝜑 muss in der Einheit rad sein.

𝑓 = 𝜑 ∗ 𝑙1

𝑙1 =𝑓

𝜑

Hohlwellen Durchmesser (D) bestimmen:

𝜏𝑇 =𝑀𝑇

𝑊𝑃=

𝑀𝑇

𝜋16

∗𝐷4 − 𝑑4

𝐷

=𝑀𝑇 ∗ 16 ∗ 𝐷

𝜋 ∗ 𝐷4 − 𝑑4

𝜏𝑇 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷4 − 𝑑4 = 𝑀𝑇 ∗ 16 ∗ 𝐷

𝐷4 − 𝑑4 =𝑀𝑇 ∗ 16 ∗ 𝐷

𝜏𝑇 ∗ 𝜋

𝐷4 =𝑀𝑇 ∗ 16 ∗ 𝐷

𝜏𝑇 ∗ 𝜋+ 𝑑4

0 =𝑀𝑇 ∗ 16 ∗ 𝐷

𝜏𝑇 ∗ 𝜋+ 𝑑4 − 𝐷4

𝐷4 −𝑀𝑇 ∗ 16

𝜏𝑇 ∗ 𝜋∗ 𝐷 − 𝑑4 = 0 (𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑊𝑒𝑟𝑡𝑒, 𝑎𝑢ß𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑏𝑒𝑘𝑎𝑛𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑊𝑒𝑟𝑡 𝑓ü𝑟 𝐷 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑒𝑛. )

Hinweis:

Sind oben alle bekannten Werte eingesetzt, behilft man sich entweder eines Funktionsplotters oder

man setzt beliebige Werte für D ein, und zwar solange bis man sich an die 0 nähert – dies ist dann der

Näherungswert für den großen Durchmesser.

Knickung:

𝜎𝐾 =𝐹𝐾

𝐴=

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝜋²

𝑠2 ∗ 𝐴=

𝐸 ∗ 𝜋²

(𝑠2

𝑖2 )=

𝐸 ∗ 𝜋²

𝜆²

Knicksicherheit:

𝜗 =𝐹𝐾

𝐹=

𝜎𝐾

𝜎𝑧𝑢𝑙

𝐹𝐾 =𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝜋²

𝑠2

𝐹𝐾 =𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝜋²

𝑠2 ∗ 𝜗 (𝑚𝑖𝑡 𝑆𝑖𝑐ℎ𝑒𝑟ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟)

𝐼𝑒𝑟𝑓 =𝜗 ∗ 𝐹 ∗ 𝑠²

𝐸 ∗ 𝜋²

𝑖𝑂 =𝑑

4 (𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 𝑏𝑒𝑖 𝑣𝑜𝑟ℎ𝑎𝑛𝑑𝑒𝑛𝑒𝑚 𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡)

𝑖 = √𝐼

𝐴

𝜆 =𝑠

𝑖

𝜆0 = 𝜋 ∗ √𝐸

𝜎𝑑𝑃

Eulerbedingung:

(Elastische Knickung)

Wenn möglich immer zuerst 𝜆𝑣𝑜𝑟ℎ berechnen um festzustellen, ob eine elastische Knickung vorliegt.

Ansonsten unelastische Knickung ⇒ Zahlenwertgleichungen nach Tetmajer anwenden.

𝜆𝑣𝑜𝑟ℎ > 𝜆0 ⇒ 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑤𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛

𝜆𝑣𝑜𝑟ℎ < 𝜆0 ⇒ 𝑇𝑒𝑡𝑚𝑎𝑗𝑒𝑟 − 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑤𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛

Spannkraft (Kraft die benötigt wird, um z.B. ein Werkstück zu spannen):

𝐹𝐻 = 𝐻𝑎𝑛𝑑𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡, 𝑃 = 𝐺𝑒𝑤𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔, 𝑙 = 𝐻𝑒𝑏𝑒𝑙𝑙ä𝑛𝑔𝑒 (z.B. Länge eines Schraubenschlüssels)

𝑈𝑚𝑓𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑠 𝐻𝑎𝑛𝑑ℎ𝑒𝑏𝑒𝑙𝑠 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑙

𝑊𝑎𝑢𝑓𝑔𝑒𝑤𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 = 𝑊𝑎𝑏𝑔𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡

𝑊𝑎𝑢𝑓𝑔𝑒𝑤𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 = 𝐹𝐻 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑙 = 𝐹𝐻 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑙 ∗ 𝜂

𝑊𝑎𝑏𝑔𝑒𝑔𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 = 𝐹𝑠𝑝 ∗ 𝑃

𝐹𝑠𝑝 =𝐹𝐻 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑙

𝑃=

𝐹𝐻 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑙 ∗ 𝜂

𝑃

Kraft die auf das Werkstück durch die Spannkraft ausgeübt wird:

𝐹𝑤 = 𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑎𝑢𝑓 𝑊𝑒𝑟𝑘𝑠𝑡ü𝑐𝑘, 𝐹𝑠𝑝 = 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡,

𝑙1 = 𝐿ä𝑛𝑔𝑒 𝐹𝑒𝑠𝑡𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟 𝑧𝑢 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡, 𝑙2 = 𝐿ä𝑛𝑔𝑒 𝐹𝑒𝑠𝑡𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟 𝑧𝑢 𝑊𝑒𝑟𝑘𝑠𝑡ü𝑐𝑘

𝐹𝑤 =𝐹𝑠𝑝 ∗ 𝑙1

𝑙2

Messtechnik

Umrechnung Winkel:

𝑡𝑎𝑛 = (𝜑

60) ⇒

𝜑

60 ∗ 57.3=

𝜑

60 ∗ 𝑟𝑎𝑑

1 − cos (𝜑

60) ⇒

1

2∗ (

𝜑

60 ∗ 57.3)

2

=1

2∗ (

𝜑

60 ∗ 𝑟𝑎𝑑)²

Aufbiegung:

𝑓 =𝐹 ∗ (𝑙𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑟𝑚)² ∗ (𝑙𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑠ä𝑢𝑙𝑒 +

13

∗ 𝑙𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑟𝑚

10 ∗ 𝑑4

Abplattung (Kugel-Ebene):

𝛼 = 0.4 ∗ √𝐹²

𝑑

3

Parallaxenfehler (Ablesefehler):

𝑓 =𝑆𝑘𝑎𝑙𝑒𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒𝑟𝑎𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 ∗ 𝐵𝑙𝑖𝑐𝑘𝑎𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑

𝑙

𝑓 = 𝑆𝑘𝑎𝑙𝑒𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒𝑟𝑎𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 ∗ tan 𝛼

Temperaturfehler:

𝑓 = 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ ∆𝑡

Unterschiedsmessung bei Bezugstemperatur:

𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐿𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + ∆𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔/𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔

Unmittelbare Messung:

𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐿𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔

Berichtigter Messwert:

(p20 = Prüflingstemperatur 20°C/293K; n0 = Sollwerttemperatur des Normals)

𝐿𝑝20 = 𝐿𝑛0 + ∆𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔/𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟 + 𝑓𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟

Anzeigefehler:

𝑓𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 = ∆𝐿𝑝𝑛 − ∆𝐿𝑝𝑛0

Istmaß des Normals:

𝐿𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝐿𝑛0 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

Sollanzeige des Gerätes:

∆𝐿𝑝𝑛0 = ∆𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔/𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒

Länge des Prüflings:

𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐿𝑛0 + ∆𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔/𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + (𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒)

Werkstückfehler:

𝑓𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐿𝑛0 − 𝐿𝑝0 + ∆𝐿𝑝𝑟ü𝑓𝑙𝑖𝑛𝑔/𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + 𝑓𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑓𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒

Fehler:

𝑓 = 𝐼𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 − 𝑆𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒

Relativer Fehler:

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝐹𝑒ℎ𝑙𝑒𝑟 = 𝐼𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 − 𝑆𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒

𝑆𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒

Korrektion:

Gleicher Betrag wie der Fehler, aber umgekehrtes Vorzeichen.

𝐾𝑜𝑟𝑟𝑒𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 = −𝐹𝑒ℎ𝑙𝑒𝑟

Berichtigung von Messwerten:

𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔𝑒 𝐴𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 = 𝐼𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒 + 𝐾𝑜𝑟𝑟𝑒𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

Mittelwert:

𝑥𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑖

𝑛

Standardabweichung:

𝑠 = √∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙)

𝑛 − 1

Mittelwert bei unendlich vielen Messungen:

𝜇 = 𝑥𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 ±𝑡

√𝑛∗ 𝑠

Vertrauensbereich:

±=𝑡

√𝑛∗ 𝑠

Fehler durch Streuung:

(Werte für t und k muss aus Tabellen entnommen werden)

𝜇 = 𝑥 ± 𝑡 ∗ 𝜎

𝜇 = 𝑥 ± 𝑘 ∗ 𝑠

Messunsicherheit:

𝑢 = ±√(𝑢1)2 + (𝑢2)2 + (𝑢3)2 + ⋯ (𝑢𝑛)²

𝑢 = ±√2 ∗ (𝑘 ∗ 𝑠)2 + (𝑢𝑎𝑛𝑧𝑒𝑖𝑔𝑒)2

+ (𝑢𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)2 + (𝑢𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟)2

+ (𝑢𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑠)²

Fertigungstoleranz:

𝑇𝐹 = √𝑇2 − (2 ∗ 𝑢)²

(Toleranzgrenze ± 𝐺𝑟𝑢𝑛𝑑𝑚𝑎ß)

𝛼 =𝑇 − 𝑇𝐹

2

Schweißverbindungen

Kesselformel:

1 bar = 0,1𝑁

𝑚𝑚2 → (Wert in bar multipliziert mit 0,1 ergibt Wert in 𝑁

𝑚𝑚2)

𝑝𝑒 = Druck in 𝑁

𝑚𝑚2 → (𝑝𝑒 =𝐹𝐺

𝐴= ℎ ∗ 𝜌 ∗ 𝑔)

s = Blechdicke, Schweißnahtdicke

𝜅 = Festigkeitskennwert

v üblich → 1,0

v verringert, keine besondere Prüfung → 0,85

v hartgelötet → 0,8

𝑐1→ Zuschlag, Toleranz

𝑐2→ Abnutzung, Korrosion (1mm bei s < 30mm; 0mm bei s > 30mm)

𝜗 → Sicherheitsbeiwert

bei Rundnaht:

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑧 =𝑝𝑒 ∗ 𝐷𝑖

2 ∗ 𝑠

bei Längsnaht:

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑧 =𝑝𝑒 ∗ 𝐷𝑖

4 ∗ 𝑠

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝜐 = −𝑝𝑒

2

𝜎𝑣 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛

𝜎𝜐 =𝑝𝑒 ∗ 𝐷𝑖

2 ∗ 𝑠+

𝑝𝑒

2≤ 𝜎𝑧𝑢𝑙

𝜎𝑧𝑢𝑙 =𝜅

𝜐

Bedingung:

𝐷𝑎

𝐷𝑖≤ 1.2

bei Da (Außendurchmesser):

𝑠 =𝐷𝑎 ∗ 𝑝𝑒

2 ∗𝜅𝜐

∗ 𝑣 + 𝑝𝑒

+ 𝑐1 + 𝑐2

𝜅 =𝑝𝑒(𝐷𝑎 − (𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 1)

(𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 2 ∗ 𝑣∗ 𝜐

𝜎𝑧𝑢𝑙 =𝑝𝑒(𝐷𝑎 − (𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 1)

(𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 2 ∗ 𝑣

bei Di (Innendurchmesser):

𝑠 =𝐷𝑖 ∗ 𝑝𝑒

2 ∗𝜅𝜐 ∗ 𝑣 − 𝑝𝑒

+ 𝑐1 + 𝑐2

𝜅 =𝑝𝑒(𝐷𝑖 + (𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 1)

(𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 2 ∗ 𝑣∗ 𝜐

𝜎𝑧𝑢𝑙 =𝑝𝑒(𝐷𝑖 + (𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 1)

(𝑠 − 𝑐1 − 𝑐2) ∗ 2 ∗ 𝑣

Zusammenfassung zweier Kräfte unterschiedlicher Spannungsarten:

𝐹𝑟𝑒𝑠 = √𝐹1² + 𝐹2²

Stahl- und Kranbau:

Lastfälle:

H → Hauptlast

HZ → Haupt- und Zuglast

HS → Haupt- und Sonderlast (nur bei Kranbau)

Rechnerische Nahtdicke:

b = Breite des Bauteils

s = Blechdicke

a = Schweißnahtdicke

bei Stumpfnähten:

gleich dicke Bauteile a = s

verschieden dicke Bauteile a = 𝑠𝑚𝑖𝑛

Länge der Schweißnaht l = b – 2a

bei Kehlnähten:

(gilt nur bei Flachstäben wenn Ecken voll ausgeschweißt werden)

gleich dicke Bauteile a ≤ 0.7 * s ≥ 3mm

verschieden dicke Bauteile a ≤ 0.7 * 𝑠𝑚𝑖𝑛 ≥ 3mm

Länge der Schweißnaht l = b – 2a

Schweißnahtquerschnitt:

𝑆𝑤 = 𝑎 ∗ 𝑙

𝑆𝑤 = 𝑎 ∗ 0,7 ∗ 𝑙 (bei Kehlnähten und insbesondere Flachstählen)

Schweißnahtlänge bei außermittigen Kraftangriff:

(z.B. bei Winkelprofilen)

𝐹 = 𝐹𝑤1 + 𝐹𝑤2

𝐹𝑤1 = −𝑙1 ∗ 𝑒

𝐹𝑤2 = 𝑙2 ∗ 𝑥

𝐹𝑤1 + 𝐹𝑤2 = −𝑙1 ∗ 𝑒 + 𝑙2 ∗ 𝑥

𝑙1

𝑙2=

𝑥

𝑒

Zugspannung:

Hinweis:

Falls der S-Querschnitt für Profile aus dem Tabellenbuch entnommen werden muss, muss der Wert in

cm² in mm² umgerechnet werden. Dazu den Tabellenbuch-Wert mit 100 multiplizieren.

𝜎𝑧 =𝐹

𝑆≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Abscherspannung:

𝜏𝑤𝑎 =𝐹

𝑆≤ 𝜏𝑤 𝑧𝑢𝑙

Hinweis:

Bei rundumgeführten Schweißnähten entstehen keine Endkrater. Die Gesamtlänge der Schweißnaht

ist die zu tragende Länge.

Biegung und Abscherung:

Biegespannung:

Hinweis:

Bei mehreren Schweißnähten, muss der Widerstandsmoment 𝑊𝑤 mit der Schweißnahtanzahl

multipliziert werden.

𝜎𝑤𝑏 =𝑀𝑏

𝑊𝑤=

𝐹 ∗ 𝑙

𝑊𝑤

bei rundumlaufender Schweißnaht im Rechteckquerschnitt:

𝐵 = 𝑏 + 2𝑎

𝐻 = ℎ + 2𝑎

𝑊𝑤 =𝐵 ∗ 𝐻3 − 𝑏 ∗ ℎ³

6 ∗ 𝐻∗ 𝑛 (𝑛 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑖ß𝑛äℎ𝑡𝑒)

𝑆𝑤 = 𝐵 ∗ 𝐻 − 𝑏 ∗ ℎ

Schweißnahtdicke a im Rechteckquerschnitt:

𝑆𝑎𝑏𝑐 =𝐹

𝜎𝑧𝑢𝑙

𝐵 = 𝑏 + 2𝑎

𝐻 = ℎ + 2𝑎

𝑆𝑎𝑏𝑐 = 𝐵 ∗ 𝐻 − 𝑏 ∗ ℎ

𝑆𝑎𝑏𝑐 = (𝑏 + 2𝑎) ∗ (ℎ + 2𝑎) − 𝑏 ∗ ℎ

0 = 4𝑎2 + 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑆𝑎𝑏𝑐 ⇒ (𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔)

Angepasste Quadrat-Formel:

𝑎1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 16 ∗ (±𝑆𝑎𝑏𝑐)

8⇒ (𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑊𝑒𝑟𝑡 𝑣𝑜𝑛 𝑎 𝑖𝑠𝑡 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑖ß𝑛𝑎ℎ𝑡𝑑𝑖𝑐𝑘𝑒)

Biege- und Abscherspannung gleichzeitig (resultierende Vergleichsspannung):

𝜎𝑤𝑣 = √𝜎𝑤𝑏² + 𝜏𝑤𝑎² ≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

für den Kranbau gilt:

𝜎𝑤𝑣 = √𝜎𝑤𝑏² + 2 ∗ 𝜏𝑤𝑎² ≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Maximale Belastung:

𝐹𝑚𝑎𝑥 =√

𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙²

𝑙²𝑊𝑤²

+1

𝑆𝑤²

Biegung und Zug und Abscherung oder Biegung und Druck und Abscherung:

𝜎𝑤 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑤 𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘/𝑧𝑢𝑔 + 𝜎𝑤𝑏

Resultierende Vergleichsspannung:

𝜎𝑤𝑣 = √𝜎𝑤 𝑚𝑎𝑥² + 𝜏𝑤𝑎² ≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Biegung und Zug oder Biegung und Druck:

Zug oder Druck:

𝜎𝑤 =𝐹

𝑆𝑤

Biegung:

𝜎𝑤𝑏 =𝑀𝑏

𝑊𝑤=

𝐹 ∗ 𝑙

𝑊𝑤

Resultierende Vergleichsspannung:

𝜎𝑤𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑤 + 𝜎𝑤𝑏 ≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Torsion:

𝜏𝑤𝑡 =𝑇

𝑊𝑤𝑡 ⇒ 𝑇 = 𝐹 ∗

𝑑

2

𝜏𝑤𝑡 =𝐹 ∗ 𝑑

𝑊𝑤𝑡 ∗ 2

Zahlenwertgleichung (siehe auch unter Festigkeitslehre Torsionsmoment über Leistung):

𝑃 𝑖𝑛 𝑘𝑊, 𝑛 𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛−1

𝐶𝐵:

gleichförmig umlaufende Bewegung → 1.0 (leicht) (ruhende Belastung)

hin- und hergehende Bewegung → 1.3 (mittel)

stoßartige hin- und hergehende Bewegung → 1.8 (stark)

schlagartige Bewegung → 3.0 (sehr stark) (wechselnde Belastung)

𝑇 = 9550 ∗𝐶𝐵 ∗ 𝑃

𝑛

Biegung und Torsion:

Resultierende Vergleichsspannung:

𝜎𝑤𝑣 = √𝜎𝑤 𝑏² + 3 ∗ 𝜏𝑤𝑡² ≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Punktschweißen (Abscherung):

n = Anzahl der Schweißpunkte

m = Anzahl der Schnitte (z.B. 3 aufeinander geschweißte Bleche, ergeben 2 Schnitte)

𝜏𝑤 𝑧𝑢𝑙 ≤ 0.65 ∗ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

𝜏𝑤 =𝐹

𝑛 ∗ 𝑚 ∗ 𝑆≤ 𝜏𝑤 𝑧𝑢𝑙

Überprüfung der Punktschweißverbindung auf Lochreibung (sollte immer geprüft werden):

𝑡𝑚𝑖𝑛 = 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒 𝐵𝑙𝑒𝑐ℎ𝑑𝑖𝑐𝑘𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝑧𝑢 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑤𝑒𝑖ß𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝐵𝑎𝑢𝑡𝑒𝑖𝑙𝑒

𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙 ≤ 1.8 ∗ 𝜎𝑧𝑢𝑙 → 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑏𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔

𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙 ≤ 2.5 ∗ 𝜎𝑧𝑢𝑙 → 𝑧𝑤𝑒𝑖𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑏𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔

𝜎 𝑧𝑢𝑙 =𝐹

𝑛 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡𝑚𝑖𝑛≤ 𝜎𝑤 𝑧𝑢𝑙

Lötverbindung:

Hinweis:

Immer Abscherspannung. Andere Festigkeitsverfahren werden nicht angewendet, aufgrund

schlechter Festigkeitseigenschaften.

𝜏𝑎 =𝐹

𝐴𝐿ö𝑡≤ 𝜏𝑎 𝑧𝑢𝑙 =

𝜏𝑎

𝜐

𝐴𝐿ö𝑡 = 𝑏 ∗ 𝑙𝐿𝑜𝑡 ⇒ 𝑙𝐿𝑜𝑡 = 5 ∗ 𝑠

𝐴𝐿ö𝑡 = 𝑏 ∗ 5 ∗ 𝑠

bei Kreisform:

𝐴𝐿ö𝑡 = 𝑑 ∗ 𝜋 ∗ 𝑏

𝜏𝑡 =𝐹

𝑑 ∗ 𝜋 ∗ 𝑏≤ 𝜏𝑤 𝑧𝑢𝑙

𝜏𝑡 =𝑇 ∗ 2

𝑑2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑏≤ 𝜏𝑤 𝑧𝑢𝑙

Sicherheit:

Hinweis:

Bei Lötverbindung wird mit etwa der 3-fachen Sicherheit gerechnet.

𝜏𝑎 𝑧𝑢𝑙 =𝜏𝑎

𝜐

Zug und Torsionsmoment:

𝜎𝑟𝑒𝑠 = √𝜎𝑧2 + 𝜏𝑡

2

Kleben

Hinweis:

Bei bekanntem Bindefestigkeitswert 𝜏𝐵, zuerst 𝜏𝑧𝑢𝑙 ermitteln Mithilfe des Sicherheitfaktors. Bei

keinen angegebenen Sicherheitswert gilt der Wert 𝜈 = 2 als geläufiger Wert.

Bindefestigkeit:

𝜏𝐵

𝜐=

𝐹

𝐴𝐾𝑙=

𝐹

𝑙ü ∗ 𝑏

Dauerfestigkeit:

Wechselnd: 𝜏𝑑𝑦𝑛𝑤 ≈ 0,3 * 𝜏𝐵

Schwellend: 𝜏𝑑𝑦𝑛𝑠𝑐ℎ ≈ 0,8 * 𝜏𝐵

Beste Bindefestigkeit bei Leichtmetallen:

𝑙ü = 15 ∗ 𝑠

Zulässige Klebverbindung:

(𝑆𝑖𝑐ℎ𝑒𝑟ℎ𝑒𝑖𝑡 𝜈 𝑖𝑚 𝑀𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 = 2)

𝜏𝑧𝑢𝑙 =𝜏𝐵

𝜈=

𝜏𝑑𝑦𝑛

𝜈

𝜏𝑣𝑜𝑟ℎ =𝐹

𝐴𝐾𝑙≤ 𝜏𝑧𝑢𝑙

Bei Kreisflächen (Umfangsfläche):

𝐴𝐾𝑙 = 𝑙ü ∗ 𝑑 ∗ 𝜋

Überdruck:

𝑝 =𝐹

𝐴

Rundklebung:

𝜏𝑧𝑢𝑙 =2 ∗ 𝑇

𝑑2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑏

Nietverbindung

Kleinster Randabstand:

𝑒1 ≈ 2 ∗ 𝑑

𝑒2 ≈ 1,5 ∗ 𝑑

Größter Randabstand:

𝑒 = 10 ∗ 𝑠

Kleinster Nietabstand:

𝑎 ≈ 3 ∗ 𝑑

Maximaler Nietabstand:

𝑎 ≈ 8 ∗ 𝑑 𝑜𝑑𝑒𝑟 15 ∗ 𝑠

Rohnietdurchmesser:

𝑑1 ≤ 10𝑚𝑚 𝑁𝑖𝑒𝑡𝑙𝑜𝑐ℎ 0,5𝑚𝑚 𝑔𝑟öß𝑒𝑟

𝑑1 > 10𝑚𝑚 𝑁𝑖𝑒𝑡𝑙𝑜𝑐ℎ 1𝑚𝑚 𝑔𝑟öß𝑒𝑟

Zulässige Klemmlänge:

Σ𝑠 ≤ 0,2 ∗ 𝑑²

Überstand:

Halbrundkopf: lü ≈ 1,5 ∗ d

Senkkopf: 𝑙ü ≈ 0,8 ∗ 𝑑

Nietverbindungen – Zug –oder Druckbeansprucht

Hinweis:

Genietete Stäbe werden auf Zug oder Druck beansprucht.

𝜎𝑧 =𝐹

𝐴𝑞 (𝐴𝑞 = 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒)

𝐴𝑞 = 𝑏 ∗ 𝑠 − 𝑧 ∗ 𝑑 ∗ 𝑠

Nietverbindung – Abscherung, Schub

Hinweis:

Niete im Nietloch werden immer auf Abscherung und Lochleibung (Flächenpressung) berechnet.

𝜏𝑎 =𝐹

𝑆 ∗ 𝑛 ∗ 𝑚=

𝐹 ∗ 4

𝑑2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛 ∗ 𝑚 (𝑛 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑖𝑒𝑡𝑒, 𝑚 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑒)

𝑆 = 𝑑2 ∗𝜋

4

𝜏𝑎𝑣𝑜𝑟ℎ ≤ 𝜏𝑎𝑧𝑢𝑙

Lochleibungsdruck (Flächenpressung bei Nietverbindungen):

𝜎𝑙 =𝐹

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗=

𝐹

𝑑 ∗ 𝑠 ∗ 𝑛

𝜎𝑙𝑣𝑜𝑟ℎ ≤ 𝜎𝑙𝑧𝑢𝑙

Hinweis:

Einschnittige Verbindungen werden auf Abscherung und Lochleibung, Mehrschnittige Verbindungen

vor allem auf Lochleibung berechnet.

Beim Durchmesser stets den größeren Durchmesser zum Berechnen wählen, beim Querschnitt den

Kleinsten.

Nietlochdurchmesser werden in der Regel 1mm größer gebohrt.

Nietverbindung im Maschinenbau

Schwellende Zugbeanspruchung:

𝜎𝑠𝑐ℎ𝑧𝑢𝑙 = 1,6 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙 (𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙 = 𝑊𝑒𝑐ℎ𝑠𝑒𝑙𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡)

Einschnittige Verbindung:

Abscherung (wechselnd):

𝜏𝑎𝑧𝑢𝑙 = 0,6 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Lochleibung (wechselnd):

𝜎𝑙𝑧𝑢𝑙 = 1,5 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Abscherung (schwellend):

𝜏𝑎𝑧𝑢𝑙 = 1,6 ∗ 0,6 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Lochleibung (schwellend):

𝜎𝑙𝑧𝑢𝑙 = 1,6 ∗ 1,5 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Mehrschnittige Verbindung:

Abscherung (wechselnd):

𝜏𝑎𝑧𝑢𝑙 = 0,8 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Lochleibung (wechselnd):

𝜎𝑙𝑧𝑢𝑙 = 2,0 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Abscherung (schwellend):

𝜏𝑎𝑧𝑢𝑙 = 1,6 ∗ 0,8 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Lochleibung (schwellend):

𝜎𝑙𝑧𝑢𝑙 = 1,6 ∗ 2,0 ∗ 𝜎𝑤𝑧𝑢𝑙

Niete bei Torsionsmoment:

cB = Betriebsfaktor (Tabellenwert)

𝑇 = 9550 ∗𝑃 ∗ 𝑐𝐵

𝑛

𝑇 = 𝐹 ∗𝑑

2

𝐹𝑈 =9550 ∗ 𝑃 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑧

𝑛 ∗ 𝑑 (𝑃 𝑖𝑛 𝑘𝑊, 𝑛 𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛−1, 𝑑 𝑖𝑛 𝑚)

Schwingungen

Hinweis:

!!! Bei allen Sinus/Cosinus-Formeln Taschenrechner auf Bogenmaß stellen!!!

Schwingungsdauer:

𝑇 =𝑇𝑔𝑒𝑠 (𝑍𝑒𝑖𝑡)

𝑍 (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑛)=

2 ∗ 𝜋

𝜔

Frequenz:

𝑓 =1

𝑇 (𝑖𝑛 𝑠−1 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝐻𝑧)

Bogenlänge (rad):

(0 = 0° ⇒ 𝜋

2= 90° ⇒ 𝜋 = 180° ⇒

3𝜋

2= 270° ⇒ 2𝜋 = 360°)

𝑠 =2 ∗ 𝑟 ∗ 𝜋

360°∗ 𝜑°

𝜑 =𝑠

𝑟

Grad in Bogenmaß (rad):

2 ∗ 𝜋

360°∗ 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑧𝑎ℎ𝑙

Bogenmaß (rad) in Grad:

360°

2 ∗ 𝜋∗ 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑚𝑎ß(𝑟𝑎𝑑)

Drehzahl:

𝑛 =𝑧 (𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑈𝑚𝑑𝑟𝑒ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛)

𝑡 (𝑍𝑒𝑖𝑡)

Umfangsgeschwindigkeit:

𝑣𝑢 = 2 ∗ 𝑟 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛 = 𝑑 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛

Winkel 𝝋:

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ∗𝑦

𝑦𝑚𝑎𝑥= 𝑠𝑖𝑛−1 ∗

𝑦

𝑦𝑚𝑎𝑥

Winkelgeschwindigkeit:

𝜔 =𝜑 (𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑚𝑎ß)

𝑡 (𝑍𝑒𝑖𝑡)=

2 ∗ 𝜋

𝑇= 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓

Drehzahl in Winkelgeschwindigkeit:

𝜔 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛

Umfangsgeschwindigkeit in Winkelgeschwindigkeit:

𝑣𝑢 = 𝜔 ∗ 𝑟

Momentane Auslenkung – Start bei Nullstelle:

𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ sin(𝜔 ∗ 𝑡)

Momentane Auslenkung – Beliebiger Startpunkt:

𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ sin(𝜑 + 𝜔 ∗ 𝑡)

Geschwindigkeit bei Nulldurchgang der harmonischen Schwingung:

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔 ∗ 𝑟 = 𝜔 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

Geschwindigkeit an beliebiger Stelle der harmonischen Schwingung:

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝑡

𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ cos (𝜔 ∗ 𝑡)

𝑣 =2 ∗ 𝜋

𝑇∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ cos (

2 ∗ 𝜋

𝑇∗ 𝑡)

𝑣 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ cos (2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑡)

Maximale Beschleunigung eines Schwingers:

(Geschwindigkeit an den Umkehrpunkten am größten)

𝑎𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜔2 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

Beschleunigung an einen beliebigen Punkt:

𝑎 = −𝑎𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (𝜔 ∗ 𝑡)

Dynamik der Schwingungen

𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 = 𝑅ü𝑐𝑘𝑧𝑢𝑔𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 ⇒ 𝑚 ∗ 𝑔 = 𝑐 ∗ 𝑦0

Federkonstante, Federrate:

𝑐 =𝐹𝐹𝑒𝑑𝑒𝑟

∆𝑙

Drehrate, Torsionsrate:

𝑐′ =𝑀

𝜑 (𝜑 𝑖𝑚 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑚𝑎ß)

Rückstellkraft bei schwingenden Systemen:

𝐹𝑅 = 𝑐 ∗ 𝑦 𝑏𝑧𝑤. 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝐹𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑔𝑡 𝐹𝑅 = −𝑐 ∗ 𝑦

Rückstellkraft bei Torsion:

𝑐′ = −𝑀

𝜑 (𝜑 𝑖𝑚 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑚𝑎ß)

Kraftgesetz der harmonischen Schwingung:

𝐹𝑎 = 𝐹𝐺 − 𝑐 ∗ 𝑦 (𝐹𝑎 = 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡)

𝐹𝑎 = 𝐹𝐺 − 𝐹𝑅

𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝑐 ∗ 𝑦

Maximale Beschleunigung:

𝑦𝑚𝑎𝑥 =∆𝑙

2

𝑎𝑚𝑎𝑥 =𝑐 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

𝑚=

1

2∗

𝑐 ∗ ∆𝑙

𝑚

Beschleunigung an einen beliebigen Punkt in der harmonischen Schwingung:

𝑎 =𝑐 ∗ 𝑦

𝑚

Dauer einer harmonischen Schwingung:

𝑇 = 2 ∗ 𝜋 ∗ √𝑚

𝑐 (𝑚 𝑖𝑛 𝑘𝑔, 𝑐 𝑖𝑛 𝑀𝑒𝑡𝑒𝑟)

Dauer bei Torsion:

𝑇 = 2 ∗ 𝜋 ∗ √𝐽

𝑐′ (𝐽 𝑖𝑛 𝑘𝑔 ∗ 𝑚², 𝑐′ 𝑖𝑛 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟)

Dauer eines idealen Pendels:

𝑇 = 2 ∗ 𝜋 ∗ √𝑙

𝑔 (𝑙 𝑖𝑛 𝑀𝑒𝑡𝑒𝑟)

Allgemeines Trägheitsmoment:

𝐽 = 𝑚 ∗ 𝑟2 ∗ 𝑛 (𝑛 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑟𝑜𝑡𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛 (𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑧𝑢𝑚 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙)

Hinweis:

Weitere Trägheitsmomentgleichungen sind Tabellen zu entnehmen, wie zum Beispiel das

Trägheitsmoment für einen Kreiszylinder 𝐽 =1

2∗ 𝑚 ∗ 𝑟²

Physisches Pendel – Reale Schwingungen

Rückstellmoment:

𝑀 = 𝐹𝐺 ∗ 𝑑 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑑

𝑑 = 𝑙 ∗ sin 𝜑 (𝑙 = 𝐿ä𝑛𝑔𝑒 𝑣𝑜𝑚 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑟𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟𝑠 𝑧𝑢𝑟 𝐷𝑟𝑒ℎ𝑎𝑐ℎ𝑠𝑒)

𝑀 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 ∗ sin 𝜑

Winkelrichtgröße:

𝑐∗ =𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 ∗ sin 𝜑

𝜑

bei kleinen Winkeln

𝑐∗ = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙

Frequenz eines physischen Pendels:

Hinweis:

Falls die Drehachse außerhalb des Schwerpunktes des Körpers liegt, so gilt das Trägheitsmoment

nach dem Satz von Steiner 𝐽 = 𝐽𝑠 + 𝑚 ∗ 𝑙2 (𝐽𝑠 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙𝑛)

𝑓 =1

2 ∗ 𝜋∗ √

𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙

𝐽=

1

2 ∗ 𝜋∗ √

𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙

𝐽𝑠 + 𝑚 ∗ 𝑙²

Schwingungsdauer eines physischen Pendels:

𝑇 = 2 ∗ 𝜋 ∗ √𝐽

𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙= 2 ∗ 𝜋 ∗ √

𝐽𝑠 + 𝑚 ∗ 𝑙²

𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙

Dämpfungsverhältnis:

𝑘 =𝑦𝑚𝑎𝑥1

𝑦𝑚𝑎𝑥2=

𝑦𝑚𝑎𝑥2

𝑦𝑚𝑎𝑥3⇒ 𝑦𝑚𝑎𝑥𝑛 =

𝑦𝑚𝑎𝑥1

𝑘𝑛−1

Elektrischer Schwingkreis

Hinweis:

!!! Bei allen Sinus-Formeln Taschenrechner auf Bogenmaß !!!

Eigenfrequenz:

L = Induktivität der Spule in Henry

C = Kapazität des Kondensators in Farad

𝑓 =1

2 ∗ 𝜋∗ √

1

𝐿 ∗ 𝐶

Momentanspannung beim Wechselstrom:

Wenn am Anfang t = 0 und u = 0, dann gilt

𝑢 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (𝜔 ∗ 𝑡)

𝜔 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓

𝑢 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑡)

sonst gilt

𝑢 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑𝑢)

𝑢 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑡 + 𝜑𝑢)

Momentane Stromstärke beim Wechselstrom:

𝑖 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑𝑖)

𝑖 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 ∗ sin (2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝑡 + 𝜑𝑖)

Phasenverschiebung (Spannung und Strom):

𝜑 = 𝜑𝑖 − 𝜑𝑈

Wellen

Hinweis:

!!! Bei allen Sinus-Formeln Taschenrechner auf Bogenmaß !!!

Ausbreitungsgeschwindigkeit:

𝑐 = 𝑓 ∗ 𝜆 (𝜆 = 𝑊𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑙ä𝑛𝑔𝑒)

Auslenkung einer Welle:

𝑇 =1

𝑓

𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗𝑡

𝑇

Δ𝑡 =𝑇 ∗ 𝑥

𝜆=

𝑥

𝑐=

𝑥

𝑓 ∗ 𝜆 (𝑥 = 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑐𝑘𝑒, 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑐𝑘𝑒𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔)

𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗𝑡 − Δ𝑡

𝑇

Allgemeine Wellengleichung:

𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 ∗ [𝑠𝑖𝑛 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ (𝑡

𝑇−

𝑥

𝜆)]

Energie einer Welle:

Wenn y ≠ 0 (höchste Auslenkung) dann

𝑊𝑔𝑒𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

sonst wenn y = 0 (beim Nulldurchgang)

𝑊𝑔𝑒𝑠 =1

2∗ 𝑚 ∗ 𝜔2 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

2 =1

2∗ 𝑚 ∗ (2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓)2 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

2

Brechung einer Welle:

𝑐1

𝑐2=

sin 𝛼

sin 𝛽= 𝑛 (𝑛 = 𝐵𝑟𝑒𝑐ℎ𝑧𝑎ℎ𝑙)

Akustik

Schallgeschwindigkeit der Luft ca. 340𝑚

𝑠

(Temperatur – und Mediumabhängig)

Schallgeschwindigkeit:

𝑐 =𝑠

𝑡

Doppler-Effekt ⇒ Ruhende Schallquelle, nähernder Beobachter:

+ ⇒ annähernd

- ⇒ entfernend

𝑓 = 𝑓0 ∗ (1 ±𝑣

𝑐)

𝑓0 =𝑐

𝜆

𝜆 =𝑐

𝑓

Doppler-Effekt ⇒ Ruhender Beobachter, bewegte Schallquelle:

+ ⇒ entfernend

- ⇒ annähernd

𝑓 =𝑐 ∗ 𝑓0

𝑐 − 𝑓0=

𝑓0

1 ±𝑣𝑐

Sender und Empfänger bewegen sich aufeinander zu:

𝑓2 = 𝑓1 ∗𝑐 + 𝑣1

𝑐 − 𝑣2

Sender und Empfänger bewegen sich voneinander weg:

𝑓2 = 𝑓1 ∗𝑐 − 𝑣1

𝑐 + 𝑣2

Mach:

𝑀 =𝑣

𝑐

Lautstärke:

J = Schallstärke

Λ = 10 ∗log(𝐽𝑥)

𝐽𝑠𝑐ℎ𝑚𝑖𝑛[𝑃ℎ𝑜𝑛]

Schallpegel (Vergleichston):

L = 10 ∗log(𝐽𝑧)

𝐽1

[𝑑𝐵] [𝑑𝑒𝑧𝑖𝑏𝑒𝑙]

Nachhallzeit:

T =0,163 ∗ 𝑉

𝛼 ∗ 𝐴

Pneumatik

Wirksame Kolbenkraft:

𝐹 = 𝑝𝑒 ∗ 𝐴 ∗ 𝜂

𝐴 = 𝑑2 ∗𝜋

4 𝑏𝑧𝑤. (𝐷2 − 𝑑2) ∗

𝜋

4

Kolbenkraft mit Last:

𝑝𝑒 =𝐹𝐾𝑜𝑙𝑏𝑒𝑛 + 𝐹𝐺

𝐴 ∗ 𝜂=

𝐹𝐾𝑜𝑙𝑏𝑒𝑛 + 𝑚 ∗ 𝑔

𝐷2 ∗𝜋4

∗ 𝜂

𝐹𝐾𝑜𝑙𝑏𝑒𝑛 = (𝐷2 − 𝑑2) ∗𝜋

4∗ 𝑝𝑒

Druck:

(1 𝑏𝑎𝑟 = 10𝑁

𝑐𝑚2= 0,1

𝑁

𝑚𝑚2= 105 𝑃𝑎; 1

𝑁

𝑚2= 1 𝑃𝑎; 1 𝑚𝑏𝑎𝑟 = 0.001 𝑏𝑎𝑟; 1000 𝑚𝑏𝑎𝑟 = 1 𝑏𝑎𝑟)

𝑝 =𝐹

𝐴

Überdruck:

𝑝𝑒 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝𝑎𝑚𝑏

(𝑝𝑎𝑚𝑏 = 1.013 𝑏𝑎𝑟 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑟 𝐿𝑢𝑓𝑡𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘)

(𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝐼𝑛ℎ𝑎𝑙𝑡 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑆𝑎𝑢𝑒𝑟𝑠𝑡𝑜𝑓𝑓𝑓𝑙𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒, 𝑎𝑙𝑠 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙)

Luftverdichtung:

𝑝𝑎𝑏𝑠1 ∗ 𝑉1

𝑇1=

𝑝𝑎𝑏𝑠2 ∗ 𝑉2

𝑇2

bei konstanter Temperatur

𝑝𝑎𝑏𝑠1 ∗ 𝑉1 = 𝑝𝑎𝑏𝑠2 ∗ 𝑉2

Luftverbrauch:

Hinweis:

Bei doppeltwirkenden Zylindern, ist das Ergebnis mit 2 zu multiplizieren)

(n = Hubzahl pro Minute, q = spezifischer Luftverbrauch je 1cm Hub)

𝑄 =𝑉

𝑡=

𝐴 ∗ 𝑠

𝑡= 𝐴 ∗ 𝑣

𝑄 = 𝐴 ∗ 𝑠 ∗ 𝑛 ∗𝑝𝑒 + 𝑝𝑎𝑚𝑏

𝑝𝑎𝑚𝑏

𝑄 = 𝑞 ∗ 𝑠 ∗ 𝑛

Vakuum

Vertikale Saugkraft (vom Boden aus gesehen gesaugt):

𝐹𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑝𝑒

Horizontale Saugkraft (an einer Wand):

𝐹𝐻 = 𝐴 ∗ 𝑝𝑒 ∗ 𝜇 = 𝐹𝑣 ∗ 𝜇

Saugerdurchmesser:

(𝜈 = 𝑆𝑖𝑐ℎ𝑒𝑟ℎ𝑒𝑖𝑡, 𝑛 = 𝑆𝑎𝑢𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙, 𝑑 𝑖𝑛 𝑐𝑚, 𝑚 𝑖𝑛 𝑘𝑔, 𝑝𝑒𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑟)

Hinweis:

𝑝𝑒als Betrag berechnen, z.B. |−𝑝𝑒|

𝑑𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 = 1.12 ∗ √𝑚 ∗ 𝜈

𝑝𝑒 ∗ 𝑛

𝑑ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑎𝑡𝑙 = 1.12 ∗ √𝑚 ∗ 𝜈

𝑝𝑒 ∗ 𝑛 ∗ 𝜇

𝑑 = √𝐹 ∗ 4 ∗ 𝜈

𝑝𝑒 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛

Hydraulik

Hydrostatischer Druck:

(ℎ 𝑖𝑛 𝑚, 𝜌 𝑖𝑛𝑘𝑔

𝑚3, 𝑔 𝑖𝑛

𝑚

𝑠2, 𝑝𝑒𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑟)

𝑝𝑒 = ℎ ∗ 𝜌 ∗ 𝑔

Überdruck:

𝑝𝑒 =𝐹

𝐴

Hydraulische Kraftübersetzung:

(s = Kolbenweg, Hublänge)

𝐹2

𝐹1=

𝐴2

𝐴1=

𝑠1

𝑠2

Hydraulische Druckübersetzung:

𝑝𝑒1

𝑝𝑒2=

𝐴2

𝐴1

Volumenstrom:

𝑄 =𝑉

𝑡=

𝐴 ∗ 𝑠

𝑡= 𝐴 ∗ 𝑣

Kontinuitätsgesetz:

𝑄1 = 𝑄2

𝐴1 ∗ 𝑣1 = 𝐴2 ∗ 𝑣2

Hydraulische Leistung:

Zahlenwertgleichung: (𝑄𝑒 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑜𝑚 𝑖𝑛𝑙

𝑚𝑖𝑛, 𝑝𝑒 = Ü𝑏𝑒𝑟𝑑𝑢𝑐𝑘 𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑟, 𝑃𝐻𝑦𝑑 = 𝑘𝑊)

𝑃𝐻𝑦𝑑 =𝑝𝑒 ∗ 𝑄𝑒

600

Schraubenverbindungen

Steigungswinkel:

tan 𝜑 =𝑃

𝜋 ∗ 𝑑2

Spannungsquerschnitt (Bestimmung der Gewindegröße):

𝐴𝑠 ≥𝐹𝐵 + 𝐹𝐾𝑙

𝑅𝑝 0,2

𝜅 ∗ 𝐾𝐴− 𝛽 ∗ 𝐸 ∗

𝑓𝑧𝑙𝑘

Ausschlagspannung (bei starker dynamischer Belastung):

𝜎𝑎 ≈ ±𝜅 ∗ 𝐹𝐵𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝐵𝑚𝑖𝑛

𝐴𝑆≤ ±𝜎𝐴

𝜎𝐴 ≈ 0,85 ∗ ( 150

𝑑+ 45 )

Flächenpressung (Schraubenkopf, Mutter):

𝑝 ≈

𝐹𝑠𝑝

0,9𝐴𝑝

≤ 𝑝𝐺 (𝐹𝑠𝑝 = 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑏𝑒𝑖 90% − 𝑖𝑔𝑒𝑟 𝐴𝑢𝑠𝑛𝑢𝑡𝑧𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑟 𝑀𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑑𝑒ℎ𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒)

Längenänderung:

𝑓 = 𝜖 ∗ 𝑙 =𝑙 ∗ 𝜎

𝐸=

𝐹 ∗ 𝑙

𝐸 ∗ 𝐴

Federsteifigkeit:

𝛿 =1

𝐶=

𝑓

𝐹=

𝑙

𝐸 ∗ 𝐴

Nachgiebigkeit der Schraube bei mehreren Einzelelementen:

𝛿𝑆 = 𝛿𝐾 + 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 … … . +𝛿𝐺 + 𝛿𝑀

Elastische Nachgiebigkeit bei einer Dehnschraube:

𝛿𝑆 =1

𝐸𝑆∗ (

0,4 ∗ 𝑑

𝐴𝑁+

𝑙1

𝐴1+

𝑙2

𝐴2+ ⋯ +

0,5 ∗ 𝑑

𝐴3+

0,4 ∗ 𝑑

𝐴𝑁)

𝐴𝑁 = 𝑑2 ∗𝜋

4

Ausdehnung verspannter (zusammengeschraubter) Elemente:

𝑑𝑤 ≤ 𝐷𝐴 ≤ 𝑑𝑤 + 𝑙𝑘

𝐴𝑒𝑟𝑠 =𝜋

4∗ (𝑑𝑤

2 − 𝑑ℎ2) +

𝜋

8∗ 𝑑𝑤 ∗ (𝐷𝐴 − 𝑑𝑤) ∗ [(𝜒 + 1)2 − 1]

𝜒 = √𝑙𝑘 ∗ 𝑑𝑤

𝐷𝐴2

3

𝐷𝐴 < 𝑑𝑤

𝐴𝑒𝑟𝑠 =𝜋 ∗ (𝐷𝐴

2 − 𝑑ℎ2)

4

Elastische Nachgiebigkeit der verspannten (zusammengeschraubten) Elemente:

𝛿𝑇 =𝑓𝑇

𝐹𝑉=

𝑙𝑘

𝐴𝑒𝑟𝑠 ∗ 𝐸𝑇

Restklemmkraft bei vorgespannten (zusammengeschraubten) Elementen mit Betriebskraft:

(bei statischer Betriebskraft)

𝐹𝐾𝑙 = 𝐹𝑉 − 𝐹𝐵𝑇𝑒𝑖𝑙

Gesamtschraubenkraft:

𝐹𝑆𝑔𝑒𝑠 = 𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝐵 = 𝐹𝑉 + 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒

Zusatzkraft für die Schraube:

𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 = 𝐹𝐵 ∗𝛿𝑇

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇= 𝐹𝐵 ∗ Φ

Φ =𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒

𝐹𝐵

Entlastungskraft der Elemente/Teile:

𝐹𝐵𝑇𝑒𝑖𝑙𝑒 = 𝐹𝐵 − 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 = 𝐹𝐵 ∗ (1 − Φ) = 𝐹𝐵 ∗𝛿𝑆

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇

Klemmkraft zwischen den Elementen/Teilen:

𝐹𝐾𝑙 = 𝐹𝑉 − 𝐹𝐵𝑇𝑒𝑖𝑙𝑒 = 𝐹𝑉 − 𝐹𝐵 ∗ (1 − Φ)

(bei dynamischer Betriebskraft)

Hinweis:

(bei rein schwellender Betriebskraft ist 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑖𝑛 = 0)

Ausschlagkraft:

𝐹𝑎 =𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑖𝑛

2=

𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑖𝑛

2∗ Φ

Ruhend gedachte Mittelkraft:

𝐹𝑚 = 𝐹𝑉 +𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒_𝑚𝑖𝑛

2∗ Φ

Restklemmkraft:

𝐹𝐾𝑙 = 𝐹𝑉 + 𝐹𝐵𝑇𝑒𝑖𝑙𝑒

Kraftverhältnis:

Φ = 𝑛 ∗ Φ𝐾

Φ𝐾 =𝛿𝑇

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇

(Statische oder dynamische Querkraft)

Reibungskraft:

𝐹𝑅 ≥ 𝐹𝑄

Klemmkraft:

𝐹𝐾𝑙 =𝐹𝑄𝑔𝑒𝑠

𝜇 ∗ 2

Umfangskraft:

𝐹𝑄𝑔𝑒𝑠 =2 ∗ 𝑇

𝐷

(Setzverhalten)

Vorspannkraftverlust:

𝐹𝑧

𝑓𝑧=

𝐹𝑉

𝑓𝑆 + 𝑓𝑇=

1

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇

𝐹𝑍 =𝑓𝑧

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇=

𝑓𝑧

𝛿𝑇∗ Φ𝐾 =

𝑓𝑍

𝛿𝑆∗ (1 − Φ𝐾)

Φ𝐾 =𝛿𝑇

𝛿𝑆 + 𝛿𝑇

(Dauerhaltbarkeit der Schraubenverbindung)

(Dynamische Sicherheit)

Ausschlagspannung bei schwingender Belastung:

𝜎𝑎 =𝐹𝑎

𝐴𝑆≤ 𝜎𝐴

Dynamische Sicherheit:

𝑆𝐷 =𝜎𝐴

𝜎𝑎≥ 1,2

Ausschlagfestigkeit:

𝜎𝐴 ≈ 0,85 ∗ (150

𝑑+ 45)

(Anziehen der Verbindung)

Gewindemoment:

(+ = festziehen, - = lösen)

𝑀𝐺 = 𝐹𝑈 ∗𝑑2

2= 𝐹𝑉𝑀 ∗

𝑑2

2∗ tan(𝜑 ± 𝜌′)

Anziehdrehmoment:

𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 + 𝑀𝑅𝐴 = 𝐹𝑉𝑀 ∗𝑑2

2= 𝐹𝑉𝑀 ∗

𝑑2

2∗ tan(𝜑 + 𝜌′) + 𝐹𝑉𝑀 ∗ 𝜇𝐾 ∗

𝑑𝐾

2

𝑀𝐴 = 𝐹𝑉𝑀 ∗ (𝑑2

2∗ tan(𝜑 ± 𝜌′) + 𝜇𝐾 ∗

𝑑2

2)

Für metrische Gewinde (Regelgewinde und Feingewinde):

𝑀𝐴 = 0,5 ∗ 𝐹𝑉𝑀 ∗ 𝑑2 ∗ (𝜇𝑔𝑒𝑠 ∗ (1

cos (𝛽2

)+

𝑑𝑤 + 𝑑ℎ

2 ∗ 𝑑2) + tan 𝜑)

𝑀𝐴 = 𝐹𝑉𝑀 ∗ (0,159 ∗ 𝑃 + 𝜇𝑔𝑒𝑠 ∗ (0,577 ∗ 𝑑2 +𝑑𝑘

2))

𝑀𝐴 = 𝐹𝑉𝑀 ∗ (0,159 ∗ 𝑃 + 0,577 ∗ 𝜇𝐺 ∗ 𝑑2 + 𝜇𝐾 ∗𝑑𝑘

2)

Normalfall bei Befestigungsschrauben:

𝑀𝐴 ≈ 0,17 ∗ 𝐹𝑉𝑀 ∗ 𝑑

Montagevorspannkraft:

𝐹𝑉𝑀 = 𝑘𝐴 ∗ 𝐹𝑉𝑚𝑖𝑛 = 𝑘𝐴 ∗ (𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝐵 ∗ (1 − Φ) + 𝐹𝑍)

𝐹𝑉𝑚𝑖𝑛 = 𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝐵𝑇𝑒𝑖𝑙 = 𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝐵 ∗ (1 − Φ)

𝐹𝑉𝑚𝑖𝑛 = 𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝐵 ∗ (1 − Φ) + 𝐹𝑍

(bei Betriebskraft in Längsrichtung, Dichtungskraft/Klemmkraft gefordert)

𝐹𝑉𝑀 = 𝑘𝐴 ∗ (𝐹𝐾𝑙 + 𝐹𝑍)

(Geforderte Dichtungskraft bei querbeanspruchten Verbindungen)

Lösen der Schraubenverbindung – Losdrehmoment:

𝑀𝐿 = 𝐹𝑉 ∗ (𝑑2

2∗ tan(−𝜑 + 𝜌′) + 𝜇𝐾 ∗

𝑑𝑘

2)

𝐹𝑉 = 𝐹𝑉𝑀 − 𝐹𝑍

(Beanspruchung der Schraube beim Anziehen)

Gestaltänderungs-Hypothese:

𝜎𝑟𝑒𝑑 = √𝜎𝑀2 + 3 ∗ 𝜏𝑡

2 ≤ 0,9 ∗ 𝑅𝑝0,2

𝜏𝑡 =𝑀𝐺

𝑊𝑡

(Polares Widerstandsmoment – Torsion)

Hinweis:

Es handelt sich um ein korrigiertes Widerstandsmoment. Deshalb wird hier durch die Zahl 12

dividiert.

𝑊𝑡 =𝜋 ∗ 𝑑0

3

12

Bei Schaftschrauben → 𝑑0 = 𝑑𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 =𝑑2+𝑑3

2

Bei Dehnschrauben (Taillenschrauben) → 𝑑𝑇 ≈ 0,9 ∗ 𝑑3

Montagezugspannung:

𝜎𝑀 =0,9 ∗ 𝑅𝑝0,2

√1 + 3 ∗ (3

𝑑0∗ (0,159 ∗ 𝑃 + 0,577 ∗ 𝜇𝐺 ∗ 𝑑2)²

Spannkräfte:

Schaftschrauben → 𝑑 ≥ 𝑑𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒

𝑑𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 =𝑑2 + 𝑑3

2

𝐹𝑆𝑝 = 𝐹𝑉𝑀90 = 𝜎𝑀 ∗ 𝐴𝑆 = 𝜎𝑀 ∗𝜋

4∗ (

𝑑2 + 𝑑3

2)²

Dehnschrauben (Taillenschrauben) → 𝑑𝑇 < 𝑑𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒

𝐹𝑆𝑝 = 𝐹𝑉𝑀90 = 𝜎𝑀 ∗ 𝐴𝑇 = 𝜎𝑀 ∗𝜋

4∗ 𝑑𝑇

2

(Einhaltung der maximal zulässigen Schraubenkraft)

(Statische Sicherheit)

Zusatzkraft bei Schaftschrauben:

𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 = Φ ∗ 𝐹𝐵 ≤ 0,1 ∗ 𝑅𝑝0,2 ∗ 𝐴𝑆

𝐴𝑆 =𝜋

4∗ (

𝑑2 + 𝑑3

2)²

Zusatzkraft bei Dehnschrauben (Taillenschrauben):

𝐹𝐵𝑆𝑐ℎ𝑟𝑎𝑢𝑏𝑒 = Φ ∗ 𝐹𝐵 ≤ 0,1 ∗ 𝑅𝑝0,2 ∗ 𝐴𝑇

𝐴𝑇 =𝜋

4∗ 𝑑𝑇

2

𝑑𝑇 ≈ 0,9 ∗ 𝑑3

Statische Sicherheit:

𝑆𝐹 =𝑅𝑝0,2

𝜎𝑟𝑒𝑑≥ 𝑆𝐹𝑒𝑟𝑓

mit der Vergleichsspannung

𝜎𝑟𝑒𝑑 = √𝜎𝑚𝑎𝑥2 + 3 ∗ (𝜅𝑇 ∗ 𝜏𝑡)²

𝜏𝑡 =𝑀𝐺

𝑊𝑡

(Polares Widerstandsmoment – Torsion)

𝑊𝑡 =𝜋 ∗ 𝑑0

3

16

𝑀𝐺 = 𝐹𝑆𝑝 ∗ (0,159 ∗ 𝑃 + 0,577 ∗ 𝜇𝐺 ∗ 𝑑2)

Flächenpressung an den Auflageflächen:

𝑝 =𝐹𝑠𝑝 + Φ ∗ 𝐹𝐵

𝐴𝑃≈

𝐹𝑠𝑝

0,9𝐴𝑃

≤ 𝑝𝐺

Bewegungsschrauben (Umformen von Dreh in Längsbewegung)

(Werkstoff im Normalfall ist E295 und E335)

(Gewinde ist in der Regel ein Trapezgewinde)

↓

Ausnahmefälle:

bei rauher stoßartiger Beanspruchung → Rundgewinde

nur in einer Richtung hoch beanspruchte Hubspindeln → Sägengewinde

Kurze druckbeanspruchte Bewegungsschrauben ohne Knickgefahr:

𝐴3 ≥𝐹

𝜎𝑧𝑢𝑙

Ruhende Beanspruchung:

𝜎𝑧𝑢𝑙 =𝑅𝑝0,2

1,5

Schwellende oder wechselnde Beanspruchung:

𝜎𝑧𝑢𝑙 =𝑅𝑝0,2

2

Lange druckbeanspruchte Bewegungsschrauben oder Spindeln:

𝑑3 = √64 ∗ 𝐹 ∗ 𝑆 ∗ 𝑙𝑘

2

𝜋3 ∗ 𝐸

4

𝑆 = 6 − 8 (𝑆𝑖𝑐ℎ𝑒𝑟ℎ𝑒𝑖𝑡)

Hinweis:

Bei geführten Spindeln für

𝑙𝑘 ≈ 0,7 ∗ 𝑙

einsetzen.

Nachprüfung der Festigkeit –Fall 1:

Die Längskraft F wirkt in der Spindel vom Muttergewinde (Führungsgewinde) aus betrachtet auf der

anderen Seite als das eingeleitete Drehmoment. (z.B. bei Spindelpressen)

Verdrehspannung/Torsionsspannung:

𝜏𝑡 =𝑇

𝑊𝑡≤ 𝜏𝑡𝑧𝑢𝑙

𝑊𝑡 =𝜋 ∗ 𝑑3

3

16

Ruhende Beanspruchung:

𝜏𝑡𝑧𝑢𝑙 =𝜏𝑡𝐹

1,5

Schwellende oder wechselnde Beanspruchung:

𝜏𝑡𝑧𝑢𝑙 =𝜏𝑡𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑙𝑙/𝑤𝑒𝑐ℎ𝑠

2

Druckspannung:

𝜎𝑑 =𝐹

𝐴3≤ 𝜎𝑑𝑧𝑢𝑙

Nachprüfung der Festigkeit –Fall 2:

Die Längskraft F wirkt in der Spindel vom Muttergewinde (Führungsgewinde) aus betrachtet auf der

gleichen Seite als das eingeleitete Drehmoment. (z.B. bei Absperrschiebern)

Vergleichsspannung:

𝜎𝑣 = √𝜎𝑑2 + 3 ∗ (

𝜎𝑧𝑢𝑙

𝜑 ∗ 𝜏𝑧𝑢𝑙∗ 𝜏𝑡)² ≤ 𝜎𝑑𝑧𝑢𝑙

für normale Fälle gilt für

𝜎𝑧𝑢𝑙

𝜑 ∗ 𝜏𝑧𝑢𝑙≈ 1 (𝜑 = 1,73)

𝜎𝑣 = √𝜎𝑑2 + 3 ∗ 𝜏𝑡)² ≤ 𝜎𝑑𝑧𝑢𝑙

Drehmoment:

(+ = anziehen, - = lösen)

𝑇 = 𝐹 ∗𝑑2

2∗ (tan(𝜑 ± 𝜌′) + 𝑑𝐿 + 𝜇𝐿)

Nachprüfung auf Knickung:

Hinweis:

Bei 𝜆 < 20 muss nicht auf Knickung nachgeprüft werden.

Elastische oder Unelastische Knickung feststellen:

𝜆 =𝑙𝑘

𝑖

𝑖 = √𝐼

𝐴3= √

𝜋 ∗ 𝑑34 ∗ 4

64 ∗ 𝑑32 ∗ 𝜋

=𝑑3

4

Schlankheitsgrad der Spindel:

𝜆 =𝑙𝑘 ∗ 4

𝑑3

Elastische Knickung (Euler-Fall) liegt vor bei

𝜆 ≥ 𝜆0

𝜆0 = 𝜋 ∗ √𝐸

𝜎𝑑𝑃≈ 𝜋 ∗ √

𝐸

0,8 ∗ 𝑅𝑝0,2

Knickspannung:

𝜎𝐾 =𝐸 ∗ 𝜋²

𝜆²≈

210000

𝜆²

Unelastische Knickung (Tetmajer-Fall) liegt vor bei

𝜆 < 𝜆0

Knickspannung (Johnson-Parabel):

𝜎𝐾 = 𝜎𝑑𝑆 − (𝜎𝑑𝑆 − 𝜎𝑑𝑃) ∗ (𝜆

𝜆0)²

𝜎𝑑𝑆 ≈ 𝑅𝑝0,2 ≈ 0,8 ∗ 𝜎𝑑𝑆

Knickspannung nach Tetmajer:

𝜎𝐾 = 𝑅𝑝0,2 ∗ [1 − 0,2 ∗ (𝜆

𝜆0)]

für S235 wird 𝜆0 = 105

𝜎𝐾 = 310 − 1,14 ∗ 𝜆

für E295 und E335 werden 𝜆0 ≈ 89

𝜎𝐾 ≈ 335 − 0,62 ∗ 𝜆

Sicherheit bei Knickspannung:

𝑆 =𝜎𝐾

𝜎𝑣𝑜𝑟ℎ≥ 𝑆𝑒𝑟𝑓

bei elastischer Knickung

𝑆𝑒𝑟𝑓 ≈ 6 − 8

bei unelastischer Knickung

𝑆𝑒𝑟𝑓 ≈ 2 − 4

Nachprüfung des Muttergewindes (Führungsgewindes):

Flächenpressung des Gewindes:

𝑝 =𝐹 ∗ 𝑃

𝑙1 ∗ 𝑑2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐻1≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

Maximale Höhe des Muttergewindes (Führungsgewindes):

𝑙1 =𝐹 ∗ 𝑃

𝑝𝑧𝑢𝑙 ∗ 𝑑2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐻1

Wirkungsgrad der Bewegungsschraube, Selbsthemmung:

Hinweis:

Selbsthemmend → Befestigungsschrauben – kleiner Steigungswinkel

Nicht Selbsthemmend → Drillbohrer – großer Steigungswinkel

Selbsthemmung liegt vor

𝜑 < 𝜌′ (𝑆𝑡𝑒𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔𝑠𝑤𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙 < 𝑅𝑒𝑖𝑏𝑢𝑛𝑔𝑠𝑤𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙)

𝜂 =𝑊𝑛

𝑊𝑎

𝑊𝑛 = 𝐹 ∗ 𝑃

𝑊𝑎 = 𝐹𝑈 ∗ 𝑑2 ∗ 𝜋 + 𝐹 ∗ 𝜇𝐿 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝐿

𝐹𝑈 = 𝐹 ∗ tan (𝜑 + 𝜌′)

Wirkungsgrad bei Unwandlung von Dreh in Längsbewegung:

(nur bei einem nicht selbsthemmenden Gewinde möglich)

tan 𝜑

tan(𝜑 + 𝜌′) + 𝜇𝐿 ∗𝑑𝐿𝑑2

≈tan 𝜑

tan(𝜑 + 𝜌′)

Urformen – Gießen

Umschmelzen:

Hinweis:

Der zugeführte Stoff ist der Stoff, der fehlt, also der hinzulegiert werden soll. Die Prozentangaben

entsprechen denen der Ziellegierung.

𝑔𝑟öß𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑘𝑔 =𝐿𝑒𝑔𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 % (𝑔𝑟öß𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙)

100%∗ 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒

𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑘𝑔 =𝐿𝑒𝑔𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 % (𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙)

100%∗ 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒

𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 =𝑔𝑟öß𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑘𝑔 ∗ 𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒𝑟 𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 𝑖𝑛 %

100% − 𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒𝑟 𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 𝑖𝑛 %

𝐻𝑖𝑛𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓ü𝑔𝑡𝑒𝑟 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 − 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑘𝑔

Bolzen-Verbindung

3 Einbaufälle:

Einbaufall 1 → Bolzen lose in der Stange; Bolzen lose in der Gabel

Einbaufall 2 → Bolzen lose in der Stange; Bolzen fest in der Gabel

Einbaufall 3 → Bolzen fest in der Stange; Bolzen lose in der Gabel

Stangenbreite:

𝑙 ≈ 1.5 ∗ 𝑑

Gabelbreite:

𝑠 ≈ 0.6 ∗ 𝑑

Augendurchmesser:

𝐷 ≈ 2.3 ∗ 𝑑 (für Stahl)

𝐷 ≈ 3.3 ∗ 𝑑 (für Guss)

Einbaufall 1:

𝑀𝑏 ≈ 0.34 ∗ 𝐹 ∗ 𝑑

𝑑 ≈ 1.8 ∗ √𝑐𝐵 ∗ 𝐹

𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

Einbaufall 2:

𝑀𝑏 ≈ 0.19 ∗ 𝐹 ∗ 𝑑

𝑑 ≈ 1.4 ∗ √𝑐𝐵 ∗ 𝐹

𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

Einbaufall 3:

𝑀𝑏 ≈ 0.15 ∗ 𝐹 ∗ 𝑑

𝑑 ≈ 1.2 ∗ √𝑐𝐵 ∗ 𝐹

𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

Festigkeitsnachweis führen:

I. Biegespannung prüfen

II. Schub/Abscherspannungprüfen

III. Flächenpressung prüfen

IV. Lochleibung prüfen

Biegespannung:

𝜎𝑏 =𝑀𝑏

𝑊≤ 𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

𝑊 = 𝜋 ∗𝑑3

32= 0.1 ∗ 𝑑³

Schub/Abscherspannung:

𝜏𝑚𝑎𝑥 =4 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝐹

3 ∗ 2 ∗ 𝑆≤ 𝜏𝑎 𝑧𝑢𝑙

𝑆 = 𝑑2 ∗𝜋

4

Flächenpressung:

𝑝 =𝑐𝐵 ∗ 𝐹

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

Getrennt prüfen (Stange und Gabel)

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒 = 𝑑 ∗ 𝑙

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 𝐺𝑎𝑏𝑒𝑙 = 2 ∗ 𝑑 ∗ 𝑠

Lochleibungsdruck:

𝜎𝑙 =𝐹

𝑑 ∗ 𝑡𝑚𝑖𝑛≤ 𝜎𝑙 𝑧𝑢𝑙 (𝑡𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒 𝑏𝑒𝑎𝑛𝑠𝑝𝑟𝑢𝑐ℎ𝑡𝑒 𝐵𝑎𝑢𝑡𝑒𝑖𝑙𝑑𝑖𝑐𝑘𝑒)

Umfangskraft je Bolzen:

𝐹𝑈 =2 ∗ 𝑇

𝑛 ∗ 𝐷

Stiftverbindung

Querstiftverbindung:

𝜏𝑎 =𝐹

𝐴≤ 𝜏𝑎 𝑧𝑢𝑙

𝐹 =𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑𝑤

𝑑 ≈ 0.25 ∗ 𝑑𝑤

𝐴 = 𝑑2 ∗𝜋

4

𝜏𝑎 =4 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑² ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝑤≤ 𝜏𝑎 𝑧𝑢𝑙

Flächenpressung in der Nabe:

𝑝𝑁 =𝐹

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 = 𝑑 ∗ 𝑠

𝐹 =𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑𝑤 + 𝑠

𝑝𝑁 =𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑 ∗ 𝑠 ∗ (𝑑𝑤 + 𝑠)≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

𝐷 = 2 ∗ 𝑠 + 𝑑𝑤

Flächenpressung in der Welle:

𝑝𝑊 =6 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑 ∗ 𝑑²𝑤≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

Steckstiftverbindung:

𝜎𝑏 =𝑐𝐵 ∗ 𝑀𝑏

𝑊≤ 𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

𝑀𝑏 = 𝐹 ∗ 𝑙

𝑊 = 𝑑3 ∗𝜋

32= 0.1 ∗ 𝑑³

𝜎𝑏 =10 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑀𝑏

𝑑³≤ 𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

𝑑 ≥ √10 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑀𝑏

𝜎𝑏 𝑧𝑢𝑙

3

Flächenpressung:

(s=Einstecktiefe des Stiftes)

𝑝1 =𝐹 ∗ (𝑙 +

𝑠2

)

𝑑 ∗𝑠²6

→ 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛

𝑝2 =𝐹

𝑑 ∗ 𝑠 → 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑆𝑐ℎ𝑢𝑏

𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑐𝐵 ∗ 𝐹 ∗6 ∗ 𝑙 + 4 ∗ 𝑠

𝑑 ∗ 𝑠²≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

Längsstiftverbindung:

𝜏𝑎 =𝐹

𝑑 ∗ 𝑙

𝑝 =2 ∗ 𝐹

𝑑 ∗ 𝑙≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

𝐹 =2 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑𝑤

𝑝𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 =4 ∗ 𝑐𝐵 ∗ 𝑇

𝑑𝑤 ∗ 𝑑 ∗ 𝑙≤ 𝑝𝑧𝑢𝑙

Dichtungen

Leckverlustmenge:

𝑉 = 𝐿𝑒𝑐𝑘𝑣𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡

𝑝1, 𝑝2 = 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 𝑣𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑑 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑚 𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡

𝑠 = 𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒

𝑑𝑚 = 𝑚𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ𝑚𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟

𝑙 = 𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡𝑙ä𝑛𝑔𝑒

𝜂 = 𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑉𝑖𝑠𝑘𝑜𝑠𝑖𝑡ä𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚𝑠

𝑉 =(𝑝1 − 𝑝2) ∗ 𝑠³ ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝑚

12 ∗ 𝜂 ∗ 𝑙