In diesem Kapitel wird zunächst der allgemeine Impulssatz formuliert, der die Grundlagenfür die Beziehungen liefert, die später die Berechnung von Triebwerken und Strömungs-maschinen ermöglichen. Der Impulssatz erlaubt auf einfache Weise die Bestimmung derStrömungskräfte durch die Analyse des Strömungszustands an den Ein- und Austritteneines Systems.AnBeispielenmit inkompressiblen Fluidenwird der Impulssatz veranschau-licht. Die spezielle Anwendung auf rotationssymmetrischeKörper liefert denDrallsatz unddie Euler’sche Strömungsmaschinenhauptgleichung.
5.1 Impulssatz
Mit dem Impulssatz können die Kraftwirkungen, die infolge einer Geschwindigkeits-oder Massenänderung der Strömung auf einen Körper wirken, bestimmt werden. DieGeschwindigkeitsänderung kann sowohl den Betrag als auch die Richtung der Strömungs-geschwindigkeit betreffen. Die Berechnung der Strömungskräfte auf einen Körper könntedurch die Bestimmung des Druckes an der Oberfläche und den daraus resultierendenKräften erfolgen. Dies ist in den meisten Fällen nicht oder nur mit entsprechenden Pro-grammen numerisch möglich. Der Impulssatz gestattet die Ermittlung der Kräfte ohnenähere Kenntnis einzelner Strömungsvorgänge. Es genügt, die Strömungsverhältnisse amEin- und Austritt des zu untersuchenden Strömungsraums zu kennen.
Wie man aus der Mechanik weiß, ist der Impuls (Bewegungsgröße) das Produkt ausMasse und Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, die Masse eine skalareGröße. Damit ist der Impuls ein Vektor.
▸ Der Impulssatz sagt aus, dass in einemStrömungsraum (offenes System) der proZeiteinheit ein- und austretende Impulsfluss des Fluids mit den äußeren Kräftenim Gleichgewicht ist.
Abb. 5.2 Zur Erläuterung des Impulssatzes (links Lageplan, rechts Vektoraddition)
Die äußeren Kräfte sind Oberflächen- und Körperkräfte. Oberflächenkräfte könnenDruckkräfte Fp, die auf die Oberflächen an den Systemgrenzen auf das Fluid wirken undvon ihm übertragenwerden oder Kräfte, die durch einen festen Körper transferiert werden,sein. Abbildung 5.1 zeigt die Krafteinwirkung auf eineDüse. In der Regel sindKörperkräftedurch Gravitation verursachte Kräfte, die im Kontrollraum auf die Masse des Fluids wir-ken, sie können aber auch durch elektrische und magnetische Felder verursachte Kräftesein.
Mathematisch formuliert lautet der Impulssatz:
∑
dIdt+∑
F = (5.1)
Um den Impulssatz, angewendet auf eine Strömung, zu erläutern, betrachten wir inAbb. 5.2 die Kräfteverhältnisse in der Stromröhre. An Stelle 1 tritt die Masse m1 in dieStromröhre ein, an Stelle 2 die Masse m2 aus. Die Wände des Strömungsraums sind un-durchlässig.
Der durch die Massem1 eingebrachte Impuls ist:
I = m ⋅ c (5.2)
Der durch die Massem2 hinausgetragene Impuls ist:
I = −m ⋅ c (5.3)
5.1 Impulssatz 81
Der pro Zeiteinheit ein- und austretende Impuls ist damit:
∑
dIdt=
ddt(m ⋅ c −m ⋅ c) = m ⋅
dcdt+ c ⋅
dm
dt−m ⋅
dcdt− c ⋅
dm
dt(5.4)
Bei stationären Strömungen ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gleichnull. Die zeitlichen Ableitungen der Massen entsprechen den Massenströmen. Sind sie amEin- und Austritt gleich groß, ist die zeitliche Impulsänderung:
∑
dIdt= m ⋅ (c ⋅ −c) = ρ ⋅ V ⋅ (c ⋅ −c) (5.5)
Die auf die Strömung wirkenden äußeren Kräfte bestehen aus den Druckkräften undder resultierenden Kraft R aus der Vektoraddition. Druckkräfte wirken senkrecht zur Strö-mungsrichtung auf die Ein- und Austrittsflächen, die resultierende Kraft R auf die Wandder Stromröhre. Diese Kraft ist aus der geometrischen Addition der Kräfte zu ermitteln(Abb. 5.2).
Sie wird bei einer zweidimensionalen Betrachtung in ihre x- und y-Komponente zerlegt.Aus der geometrischen Addition erhält man:
Ry = (m ⋅ c + p ⋅ A) ⋅ sin α − (m ⋅ c + p ⋅ A) ⋅ sin α
Rx = (m ⋅ c + p ⋅ A) ⋅ cos α − (m ⋅ c + p ⋅ A) ⋅ cos α .(5.6)
Da in Gl. 5.6 die Beträge der Kräfte gegeben sind und die Richtung durch den Winkelberücksichtigt ist, kann der Massenstrom aus Gl. 3.7 eingesetzt werden.
Ry = (ρ ⋅ c + p) ⋅ A ⋅ sin α − (ρ ⋅ c + p) ⋅ A ⋅ sin α
Rx = (ρ ⋅ c + p) ⋅ A ⋅ cos α − (ρ ⋅ c + p) ⋅ A ⋅ cos α(5.7)
Der Betrag und die Richtung der resultierenden Kraft sind:
R =√
Rx + R
y tan β =Rx
Ry(5.8)
Die analytische Bestimmung der Kräfte hat allgemeine Gültigkeit.
▸ Bei numerischen Berechnungen muss man beachten, dass der Druck nicht derAbsolutdruck, sondern die Differenz des Druckes im Strömungsraum zum Um-gebungsdruck ist.
Der Umgebungsdruck wirkt von außen auf den Strömungsraum. Die Winkel sind vonder positiven x-Achse aus im Uhrzeigersinn zu messen.
In Rohrkrümmern wird die Richtung der Strömungsgeschwindigkeit geändert, wodurchauf den Krümmer Kräfte wirken. Hier werden Rohrkrümmer mit konstantem Strömungs-querschnitt und konstantem Krümmungsradius behandelt. Zweckmäßigerweise legt manfür die Berechnung den Mittelpunkt des Krümmers auf die x-Achse, so dass sie für ihneine Symmetrieachse darstellt. Die resultierende Kraft R wirkt damit in Richtung der x-Achse. Sie hat keine y-Komponente. Für ein ideales Fluid sind nach der EnergiegleichungDruck und Geschwindigkeit am Ein- und Austritt des Krümmers gleich. Der Biegewinkeldes Krümmers ist d. Es ergeben sich folgende Winkelbeziehungen (Abb. 5.3):
α = ○ − α α = ○ − δ/
cos α = − cos α = − sin(δ/)cos α = sin(δ/) sin α = sin α
(5.9)
Gleichung 5.7 zeigt, dass die y-Komponente der Kraft bei diesen Bedingungen gleichnull ist. Für die x-Komponente erhält man:
Rx = [(ρ ⋅ c + p − pa) ⋅ A + (ρ ⋅ c + p − pa) ⋅ A] ⋅ sin(δ/) (5.10)
Da die y-Komponente gleich null ist und sich Druck, Geschwindigkeit und Strömungs-querschnitt nicht verändern, ist die resultierende Kraft:
Rx = ⋅ (ρ ⋅ c + p − pa) ⋅ A ⋅ sin(δ/) (5.11)
Ist der Rohrbogen mit einem Flansch an einer geraden Rohrleitung befestigt, wirkenaußer der Druckkraft auch noch die resultierende Kraft auf die Schrauben des Flansches.
Abb. 5.3 Strömungskraft amRohrkrümmer
c p
xd
y
p
a2
sF
cpa
R
a1
sF
5.2 Anwendungen des Impulssatzes 83
Die Kraft wird von beiden Seiten aufgenommen. Damit ist die auf die Flanschschraubenwirkende Kraft:
Fs = A ⋅ (ρ ⋅ c + p − pa) (5.12)
Beispiel 5.1 Kräfteeinwirkung auf einen RohrbogenIn einem 90°-Rohrbogen von 1m Durchmesser strömt Wasser mit der Geschwin-digkeit von 6m/s. Der Druck am Ein- und Austritt ist jeweils 0,2 bar höher als derAußendruck. Bestimmen Sie die auf den Rohrbogen wirkende Kraft Rx und dieKraft, die auf die Flanschschraube wirkt.
Lösung
• Schema
F
F
cp2
2
x
y
p
c
1
1
s
Fx
s
• Annahmen– Entlang der Stromlinien ist die Strömungsgeschwindigkeit konstant.– Der Druck ist am Ein- und Austritt des Rohrbogens gleich groß.– Die Strömung ist stationär.
• AnalyseDie durch die Richtungsänderung verursachte Kraft kann mit Gl. 5.11 berechnetwerden.
Rx = ⋅ (ρ ⋅ c + p − pa) ⋅ A ⋅ sin(δ/) =
= ⋅ ( ⋅kgm ⋅
⋅
m
s+ , ⋅ ⋅
Nm ) ⋅
π⋅ ⋅m
⋅ sin(○) = .Nm
Die Schraubenkraft Fs erhalten wir aus Gl. 5.12.
Fs = (ρ ⋅ c + p − pa) ⋅ A = .N
84 5 Impulssatz
• DiskussionIn einem geraden Rohr, das den gleichen Strömungsquerschnitt wie der desKrümmers hat, wird nur durch die Druckdifferenz eine Kraft auf einen Flanschausgeübt. Die Schraubenkraft ist dann Fs = p ⋅A = 15,71 kN. Durch Umlenkungverursacht die Strömung beinahe eine Verdreifachung der Kraft. Der Nenndruckder Normflansche beginnt bei 4 bar, d. h., die Kräfte werden auf alle Fälle auf-genommen. In der Regel können die durch Umlenkung verursachten Kräfte beiRohrleitungen unberücksichtigt bleiben.
5.2.2 Rückstoßkräfte von Flüssigkeitsstrahlen
Ein Flüssigkeitsstrahl, der aus einem Raummit dem Druck p durch eine Öffnung mit demAustrittsquerschnitt Aa in einen Raum mit dem Druck pa strömt, hat nach der Energiebi-lanzgleichung die Austrittsgeschwindigkeit ca:
ca =√
⋅ (p − pa)/ρ . (5.13)
Pro Zeiteinheit führt der Strahl folgenden Impuls mit sich:
dIdt=F = m ⋅ ca = ρ ⋅ A ⋅ ca (5.14)
Dieser Austrittsimpuls bedingt eine gleich große Impulsänderung der Flüssigkeitsmas-se in dem Raum, aus dem die Flüssigkeit strömt. Die Impulsänderung bewirkt eine demBetrage nach gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Rückstoßkraft F.
F = ρ ⋅ A ⋅ ca = ⋅ (p − pa) ⋅ A (5.15)
Diese Rückstoßkraft ist doppelt so groß wie die auf die geschlossene Austrittsöffnungwirkende Druckkraft. Gleichung 5.14 gilt ganz allgemein für alle Fluide, Gl. 5.15 ist nur fürFlüssigkeiten gültig.
In der Technik haben Rückstoßkräfte von Fluidstrahlen bei Raketentriebwerken, aberauch bei unerwünschten Effekten wie bei der Kraft, welche auf die Düse einer Feuerwehr-spritze wirkt, Bedeutung.
5.2 Anwendungen des Impulssatzes 85
Beispiel 5.2 Kräfte auf die Düse einer FeuerwehrspritzeIm Schlauch einer Feuerwehrspritze herrscht ein Druck von 6 bar. Die Öffnung derDüse hat einen Durchmesser von 100mm. Die Dichte des Wassers ist 1000 kg/m3.Der Umgebungsdruck beträgt 0,98 bar. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in derDüse und die Rückstoßkraft des Strahls.
Lösung
• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei.– Das Wasser ist inkompressibel.– Die Strömung ist stationär.
• AnalyseDie Strömungsgeschwindigkeit in der Düse kann mit Gl. 5.13 bestimmt werden.
ca =√
⋅ (p − pa)/ρ =
�
�� ⋅ , ⋅ ⋅N/m
⋅ kg/m = ,m/s
Die Rückstoßkraft wird mit Gl. 5.15 berechnet.
F = ρ ⋅ A ⋅ ca = ⋅ (p − pa) ⋅ A = ⋅ , ⋅ ⋅
Nm ⋅
π⋅ , ⋅m
= ,kN
• DiskussionDie durch den Strahl verursachte Kraft ist so groß, dass ein Feuerwehrmann dieDüse nicht festhalten könnte. Sie muss mit einer entsprechenden Halterung kon-zipiert werden. Düsen, die ohne Hilfseinrichtungen festgehalten werden können,müssten bei den gegebenen Drücken kleinere Durchmesser als 25mm haben.
Beispiel 5.3 Schubkraft einer RaketeIm Weltraum strömt aus einer Rakete der Triebstrahl mit konstanter Geschwindig-keit von 600m/s. Die Dichte des ausströmenden Strahls ist 0,02 kg/m3. Die Flächeder Austrittsöffnung beträgt 1,4m2. Bestimmen Sie die Schubkraft der Rakete.
Lösung
• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei.– Die Geschwindigkeit ist uniform.– Die Strömung ist stationär.
86 5 Impulssatz
• AnalyseDie Schubkraft erhält man aus dem Impulssatz. Da die Geschwindigkeit konstantist, ändert sich mit der Zeit nur die Masse der Rakete. Diese Änderung entsprichtdem austretenden Massenstrom. Damit ist die Schubkraft:
F =dIdt=
d(m ⋅ ca)dt
= m ⋅ ca = ρ ⋅A ⋅ ca = 0,02 ⋅kgm3 ⋅1,4 ⋅m
⋅600 ⋅
m
s= ,kN
• DiskussionDie Schubkraft einer Rakete kann bei bekannter Geschwindigkeit und Dichte desGases im Triebstrahl mit dem Impulssatz bestimmt werden.
5.2.2.1 Strahlstoßkräfte auf eine senkrechte WandEin Strahl, der mit Geschwindigkeit c auf eine feste Wand trifft, übt auf diese eine KraftF aus (Abb. 5.4). Die Fluidteilchen ändern an der Wand die Richtung ihrer Strömungs-geschwindigkeit und strömen parallel zur Wand. Die Kraft lässt sich aus dem Impulssatzermitteln. Die x-Achse legt man in die Strahlmitte. Kontrollfläche 1 schneidet den Strahlsenkrecht direkt hinter der Mündung, Kontrollfläche 2 ist senkrecht zur Wand und bildeteinen Ring. Sie wird so gewählt, dass die Geschwindigkeit gleich groß wie an Stelle 1 bleibt.Damit sind die Strömungsquerschnitte A1 und A2 gleich groß wie A. Der Winkel α1 ist 0°und α2 90°. Der Druck ist überall gleich groß wie der Außendruck. Damit ergibt Gl. 5.7:
Fx = ρ ⋅ Aa ⋅ c Fy = (5.16)
Mit dem Strahl könnte eine „Maschine“ betrieben werden. Durch die Kraft des Strahlskann die Wand verschoben und damit Arbeit geleistet werden (Abb. 5.5). Bewegt sich dieWand mit einer Geschwindigkeit u, hat der Strahl die Relativgeschwindigkeit zur Wandc′ = c – u. Geht man weiter davon aus, dass sich der Druck bei der Strömung an der Plat-te nicht ändert, bleibt die Geschwindigkeit c′ am Austritt dem Betrage nach gleich. Für
Abb. 5.4 Stoß gegen einesenkrechte Wand
c
Düse1
Freistrahl
c
2
c
2
5.2 Anwendungen des Impulssatzes 87
Abb. 5.5 Stoß gegen einebewegte senkrechteWand
Freistrahl
c
Düse
uc'
2
c'
u1 2
c' = c - u
den mitbewegten Beobachter wird der Massenstrom ebenfalls mit der Geschwindigkeit c′
bestimmt. Die Stoßkraft ist:
Fx = m ⋅ (c − u) = ρ ⋅ A ⋅ (c − u) Fy = (5.17)
Die Leistung P des Strahls ist das Produkt aus Stoßkraft und Wandgeschwindigkeit:
P = ρ ⋅ A ⋅ (c − u) ⋅ u = ρ ⋅ A ⋅ (c ⋅ u − ⋅ c ⋅ u+ u) (5.18)
Die maximal mögliche Leistung Pmax lässt sich ermitteln, wenn Gl. 5.18 nach u abge-leitet und zu null gesetzt wird.
dPdu= ρ ⋅ A ⋅ (c − ⋅ c ⋅ u + ⋅ u
) = (5.19)
Die Geschwindigkeit u, bei der die maximale Leistung erreicht wird, ist:
u = c/ (5.20)
Für Pmax ergibt sich:
Pmax =⋅ ρ ⋅ A ⋅ c = ⋅ ρ ⋅ A ⋅ u (5.21)
Die spezifische kinetische Energie des Strahls ist:
ekin =⋅ c (5.22)
Die mit dieser kinetischen Energie theoretisch erreichbare „Leistung“ wäre:
Pkin = m ⋅⋅ c =
⋅ A ⋅ ρ ⋅ c (5.23)
88 5 Impulssatz
c F
2
d
Freistrahl1
Düse 2
c
2d
F
FreistrahlDüse1 2
Abb. 5.6 Gerader Stoß gegen eine gewölbte Platte
Der Wirkungsgrad dieser „Maschine“ beträgt:
Pmax
Pkin=
= , (5.24)
Die im Strahl gespeicherte und ungenutzte kinetische Energie wird mit zunehmenderLänge des Strahls immer größer und dadurch ist derWirkungsgrad relativ schlecht. Indemimmer wieder eine neue Wand in den Strahl gebracht wird (Schaufelrad), kann die kine-tische Energie des Strahls wesentlich besser genutzt werden, was später noch besprochenwird.
5.2.2.2 Schiefer Stoß gegen eine WandDie Impulsänderung eines Strahls, der auf eine schiefe Wand unter demWinkel d auftrifft,übt nur eine zurWand senkrecht gerichtete Kraft aus. Es genügt daher, die Normalkompo-nente cn der Geschwindigkeit zu ermitteln. Damit ist die Strahlstoßkraft:
F = m ⋅ cn = A ⋅ ρ ⋅ c ⋅ cos δ (5.25)
Ähnlich wie bei der senkrechten Wand kann die Leistung auch für eine bewegte schiefeWand hergeleitet werden.
5.2.2.3 Gerader Stoß gegen eine gewölbte PlatteIn Abb. 5.6 sind die Verhältnisse eines Strahlstoßes gegen eine nach außen und innen ge-wölbte Platte dargestellt. Die Stoßkraft kann unter den gleichen Voraussetzungen wie beider senkrechten Platte hergeleitet werden. An Stelle des Winkels α2 wird hier derWinkel deingesetzt. Damit ist die Stoßkraft F:
F = Fx = m ⋅ c ⋅ ( − cos δ) = A ⋅ ρ ⋅ c ⋅ ( − cos δ) (5.26)
Die größte Stoßkraft lässt sich bei einem Winkel von 180° erzielen. Schaufeln mit ge-wölbten Wänden von beinahe 180° Umlenkung werden bei Freistrahlwasserturbinen mitPeltonrädern verwendet. Das Turbinenrad ist nicht feststehend, sondern es bewegt sichmit
5.3 Vereinfachte Propellertheorie 89
der Geschwindigkeit u. Damit ist die Stoßkraft:
F = A ⋅ ρ ⋅ (c − u) ⋅ ( − cos δ) (5.27)
Wie bei der senkrechten Wand ist die maximale Leistung dann zu erzielen, wenn dieGeschwindigkeit der Schaufel 1/3 der Strahlgeschwindigkeit ist. Bei dieser Betrachtung be-wegt sich die Turbinenschaufel mit der Geschwindigkeit u vom Strahlaustritt weg. Damitwird die im Strahl gespeicherte kinetische Energie immer größer. DerWirkungsgrad ist beiδ = 180° doppelt so groß wie bei der bewegten ebenenWand. Bei der späteren Betrachtungmit dem Drallsatz, der berücksichtigt, dass immer wieder neue Schaufeln in den Strahltreten, wird gezeigt, welche Wirkungsgrade tatsächlich erreicht werden können.
5.3 Vereinfachte Propellertheorie
Propeller sind Vortriebsorgane für Flugzeuge und Schiffe, in denen sich das Motordreh-moment zur Beschleunigung des Fluids und damit zum Antrieb des Fahrzeugs verwendenlässt. Ohne Berücksichtigung der Form und Gestaltung des Propellers kann die Schubwir-kung mit einer stark vereinfachten Strahlentheorie verdeutlicht werden. Mit der Umdre-hung des Propellers wird das Fluid ständig angesaugt und in einem den Propeller umhül-lenden Strahl nach hinten beschleunigt, wie in Abb. 5.7 gezeigt. Zur Berechnung nimmtman an, dass das Fluid mit einer konstanten Geschwindigkeit über den gesamten Pro-pellerquerschnitt strömt. Das Fahrzeug bewegt sich mit der Geschwindigkeit ce, die dieEintrittsgeschwindigkeit des Fluids zum Propeller ist. Durch ihn wird das Fluid auf dieGeschwindigkeit ca beschleunigt.
Abb. 5.7 Zur Erklärung dervereinfachten Propellertheorie
Kontrollraum
D
pe
1p
ce
F
Propellerstrahl
21
p
p2
cS
ca
ce
90 5 Impulssatz
Bei der Berechnung werden Reibung, Drehbewegung des Fluids und Einfluss des Fahr-zeugs vernachlässigt. Für den Kontrollraum zwischen Ein- und Austritt wird nach demImpulssatz, da der Druck am Ein- und Austritt gleich groß ist, die Schubkraft F wie folgtberechnet:
F = ρ ⋅ V ⋅ (ca − ce) = m ⋅ (ca − ce) (5.28)
Der vom Propeller erfasste Volumenstrom ist , die in der Propellerebene herrschendeStrömungsgeschwindigkeit cS. Damit erhält man für Gl. 5.28:
F = ρ ⋅ AS ⋅ cS ⋅ (ca − ce) (5.29)
Vor und hinter dem Propeller, zwischen den Stellen 1 und 2, ist der Druck unterschied-lich groß. Er kann mit der Energiegleichung bestimmt werden:
peρ+
ce=
pρ+
cS
paρ+
ca=
pρ+
cS
(5.30)
Da der Druck am Ein- und Austritt gleich groß ist, wird die Druckdifferenz Δp:
Δp = p − p =ρ⋅ (ca − c
e) (5.31)
Diese Druckdifferenz wirkt auf die Propellerfläche. Die dadurch erzeugte Kraft ent-spricht der Schubkraft F.
F = Δp ⋅ AS (5.32)
Durch Gleichsetzen der Gln. 5.29 und 5.32 ergibt sich zwischen den Geschwindigkeitenfolgender Zusammenhang:
⋅ (ca − c
e) =
⋅ (ca − ce) ⋅ (ca + ce) = cS ⋅ (ca − ce) (5.33)
cS =ca + ce
(5.34)
Damit erhält man aus Gl. 5.29 für die Schubkraft:
F = (cace− ) ⋅ AS ⋅
ρ⋅ ce (5.35)
Die Schubkraft des Propellers wird nur durch die Fahrzeuggeschwindigkeit und Aus-trittsgeschwindigkeit des Strahls bestimmt. Die Nutzleistung des Propellers ist das Produktaus Fahrzeuggeschwindigkeit und Schubkraft.
PNutz = ce ⋅ F (5.36)
5.3 Vereinfachte Propellertheorie 91
Den Leistungsaufwand des Propellers erhält man als Produkt aus der Schubkraft undGeschwindigkeit cS des Fluids im Propellerquerschnitt.
PProp = cS ⋅ F (5.37)
Der theoretischeWirkungsgrad des Propellers ist der Quotient aus Nutz- und Propeller-leistung.
ηth =PNutzPProp
=
cecS=
⋅ ceca + ce
=
ca/ce +
(5.38)
Die nutzbare Leistung des Propellerantriebs wird durch die Fahrzeug- und Fluidge-schwindigkeit im Austrittsquerschnitt bestimmt. Mit zunehmender Austrittsgeschwin-digkeit nimmt der theoretische Wirkungsgrad ab. Den besten Wirkungsgrad erhält man,wenn die Austrittsgeschwindigkeit gleich der Eintrittsgeschwindigkeit ist. Die Schubkraftist dann allerdings null. Um den Wirkungsgrad und die Schubkraft zu erhöhen, wirdder Massenstrom erhöht. Damit erreicht man die erforderliche Schubkraft bei kleinererAustrittsgeschwindigkeit. Der Wirkungsgrad ist vomMassenstrom unabhängig.
Der tatsächlicheWirkungsgrad eines Propellers ist wegen Reibungsverlusten und Dralldes Fluids geringer: Gute Propeller erreichen etwa das 0,85 bis 0,9-fache des theoretischenWirkungsgrades. Gleichung 5.38 zeigt aber, dass, abhängig von der Ein- und Austrittsge-schwindigkeit, nicht die gesamte Leistung des Antriebmotors genutzt werden kann. Dertheoretische Wirkungsgrad wird zur Beurteilung von Propellern verwendet.
Beispiel 5.4 Berechnung eines PropellersDer Propeller eines Flugzeugs, das mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h fliegt,erhöht die Geschwindigkeit des Luftstrahls auf 500 km/h. DerDurchmesser des Pro-pellers ist 2m. Die Dichte der Luft kann als konstant mit 1,1 kg/m3 angenommenwerden. Zu berechnen sind:
a) die Schubleistung, die Antriebsleistung und der Wirkungsgrad des Propellersb) die Änderung des Wirkungsgrades mit einem Propeller gleicher Schubleistung,
aber 2,3m Durchmesser.
Lösung
• Schema: siehe Abb. 5.7.• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei und stationär.– Die Luft ist inkompressibel.
92 5 Impulssatz
• Analysea) Schub- und Antriebsleistung können nach den Gln. 5.36 und 5.37 berechnet
werden. Die Schubkraft F des Strahls erhalten wir mit Gl. 5.35. Zunächst be-stimmen wir die Ein- und Austrittsgeschwindigkeit in m/s.
ce = /, = ,m/s ca = /, = ,m/sAS = , ⋅ π ⋅ d
= ,m
F = (cace− ) ⋅ AS ⋅
ρ⋅ ce = (
,
,− ) ⋅
⋅ , ⋅m⋅
, ⋅ kg/m3
⋅ , ⋅
m
s= , kN
Die Antriebsleistung PProp mit der Geschwindigkeit cS = (ce + ca) / 2 = 125m/sberechnet, ergibt sich zu:
PProp = cS ⋅ F = ⋅m/s ⋅ ⋅ kN = kW
Die Schubleistung PNutz ist:
PNutz = ce ⋅ F = , ⋅m/s ⋅ ⋅ kN = kW
Der theoretische Propellerwirkungsgrad beträgt:
ηth =PNutzPProp
=
13331500
= ,
b) Um bei der vergrößerten Querschnittsfläche von 4,155m2 die gleiche Schub-kraft zu erhalten, kann die Austrittsgeschwindigkeit verringert werden. Zuihrer Berechnung wird Gl. 5.35 umgeformt.Da die Schubleistung gleich bleibt, muss nur die Antriebsleistung bestimmtwerden. Die Geschwindigkeit cS beträgt jetzt 121,9m/s. Damit ist die Antriebs-leistung 1462kW und der Wirkungsgrad 0,91.
• DiskussionDer Einfluss des Massenstromes auf den Wirkungsgrad kann anhand einfacherPropellertheorie demonstriert werden. Wirkliche Propeller benötigen wesentlichkomplexere Berechnungen.
5.5 Drallsatz 93
5.4 Schub der Strahl- und Raketentriebwerke
Raketen- und Strahltriebwerke bewegen ein Flugzeug durch das Hinausstoßen von Ver-brennungsgasen. Bei Raketen sind Treibstoff und der zur Verbrennung notwendige Sau-erstoff im Raketenkörper vorhanden. Durch die Verbrennung wird eine starke Volumen-vergrößerung der Ausgangsstoffe bewirkt und damit ein Strahl mit hoherGeschwindigkeiterzeugt. Die Schubkraft eines Raketentriebwerks ist gleich wie die eines ins Freie tretendenStrahls:
F = mG ⋅ ca = ρa ⋅ Aa ⋅ ca (5.39)
Index G bezeichnet das Verbrennungsgas, das aus dem Triebwerk strömt und a denAustrittsquerschnitt des Triebwerks.
Bei einem Strahltriebwerk wird in der Brennkammer der angesaugten und verdichte-ten Luft Brennstoff zugegeben und verbrannt. Das heiße Verbrennungsgas verlässt wegenseiner geringeren Dichte das Triebwerkmit einer höherenAustrittsgeschwindigkeit ca. DerMassenstrom des austretenden Abgases ist die Summe der Massenströme des Brennstoffsund der angesaugten Luft. Aus dem Impulssatz ergibt sich folgende Schubkraft:
F = (mL + mB) ⋅ ca − mL ⋅ ce (5.40)
Der Massenstromder angesaugten Luft ist viel größer als der des Brennstoffs (ca. 30 bis50 mal größer). Deshalb kann er für die überschlägige Berechnung vernachlässigt werden.
F ≈ mL ⋅ (ca − ce) = ρe ⋅ Ae ⋅ ce ⋅ (ca − ce) (5.41)
Die Dichte der Luftwird beim Zustand amEintritt bestimmt. Das Raketentriebwerk hateine von der Fluggeschwindigkeit unabhängige Schubkraft. Nimmt man bei einem Strahl-triebwerk eine konstante Differenz zwischen der Ein- und Austrittsgeschwindigkeit an,wächst die Schubkraft mit zunehmender Fluggeschwindigkeit.
5.5 Drallsatz
In einer Strömung bleibt der Impuls eines Fluidelements so lange konstant, bis eine Kraftauf das Element wirkt. Der Impulssatz zeigt, dass bei der Strömung durch gekrümmteStromröhren Kräfte auf das Fluidelement wirken. Bei Strömungsmaschinen (Pumpen undTurbinen) durchströmt das Fluid rotationssymmetrische, durch Leit- und Laufschaufelngebildete krumme Strömungsbahnen. In Abb. 5.8 sieht man das Durchströmen der Lauf-schaufel einer Strömungsmaschine, die zunächst festgehalten wird.
Wir betrachten eine gekrümmte Stromröhre, durch die ein kleiner infinitesimaler Teildm des Massenstromes fließt. Rotationssymmetrisch sind gleiche Stromröhren um denMittelpunkt angeordnet. Das Fluid fließt beim Radius r1 in den Strömungsraum und ver-lässt ihn beim Radius r2. Der Massenstrom bleibt in der Stromröhre unverändert.
94 5 Impulssatz
Leitbleche
AustrittAustritt
Eintritt
rr
2 M
Eintritt
dF
cm 1
1
dFIm 1
Austritt
cu 1Iu 1
dmcu2
-dFIm 2
c1
dFIu 2 c 2
cm 2
Abb. 5.8 Zur Erklärung des Drallsatzes
Die Impulskraft des eintretenden Massenstromelements auf den Strömungsraum ist:
d FI =dIdt= dm ⋅ c (5.42)
die des austretenden Massenstromelements:
d FI =dIdt= −dm ⋅ c (5.43)
Impulskräfte können in radiale (meridiane) und tangentiale Komponenten zerlegt wer-den. Die insgesamt wirkende Impulskraft in radialer und tangentialer Richtung kann durchIntegration der differentiellen Impulskräfte über den Umfang für den gesamten rotati-onssymmetrischen Strömungsraum bestimmt werden. Die Integration der radialen Kräfteüber den Umfang ergibt null, da sich jeweils zwei diametral gegenüberliegende Kräfte auf-heben. In der Umfangsrichtung (tangential) bestimmen wir an Stelle der Impulskraft dasMoment, welches von der Impulskraft ausgeübt wird. DasMoment ist das Produkt aus tan-gentialer Komponente der Impulskraft und dem Radius. Damit ist das Moment MI1 undMI2 am Ein-, bzw. Austritt des Strömungsraums:
MI =
π
∫
dFIu ⋅ r =π
∫
dm ⋅ cu ⋅ r = cu ⋅ r ⋅π
∫
dm = m ⋅ cu ⋅ r (5.44)
MI =
π
∫
dFIu ⋅ r = −π
∫
dm ⋅ cu ⋅ r = −cu ⋅ r ⋅π
∫
dm = −m ⋅ cu ⋅ r (5.45)
Die Summe der durch Impulskraft bewirkten Momente auf den Strömungsraum mussmit dem Drehmoment M, das auf die Strömungsbegrenzungen (Leitkanäle) wirkt, im
5.5 Drallsatz 95
a
Eintritt
2u
c1
1
r
r
2
1u
02u
Austritt
w1
c2
c2w 2
ba
b
1u
c1
1
uc 1
uc 2
2
w1
1
2
2w
Abb. 5.9 Strömung im Laufrad einer Pumpe
Gleichgewicht sein.MI +MI +M = (5.46)
m ⋅ cu ⋅ r − m ⋅ cu ⋅ r +M = (5.47)
▸ Der Drallsatz sagt aus, dass die Summe aller durch die Impulsänderung bewirk-ten Momente dem Moment, das auf die Strömungsbegrenzung wirkt, entge-gengesetzt gleich groß ist.
5.5.1 Kraftwirkung auf die Laufräder der Strömungsmaschinen
Mit dem Drallsatz lassen sich die für die Technik wichtigen Strömungsmaschinen berech-nen. Bei Turbinen wird das Laufrad durch Energieverminderung des Fluids angetrieben.Bei Pumpen und Verdichtern bringt ein von außen angetriebenes Laufrad das Fluid aufein höheres Energieniveau. Bei Strömungsmaschinen wird die vom ruhenden Beobachtergesehene Strömungsgeschwindigkeit mit c, die von demmit dem Laufradmitbewegten Be-obachter gesehene relative Geschwindigkeit mit w und die Umfangsgeschwindigkeit derLaufschaufel mit u bezeichnet. Abbildung 5.9 zeigt das Laufrad einer radialen Pumpe,Abb. 5.10 das einer radialen Turbine.
Die Leistung einer Maschine mit drehender Welle ist das Produkt aus DrehmomentMund Winkelgeschwindigkeit.
P = M ⋅ ω = m ⋅ ω ⋅ (cu ⋅ r − cu ⋅ r) = m ⋅ Yth (5.48)
Dabei ist Yth die spezifische Arbeit der Strömungsmaschine. Berücksichtigt man,dass ω ⋅ r1 = u1 und ω ⋅ r2 = u2 ist, kann die spezifische Arbeit aus den Geschwindigkeits-dreiecken der Abb. 5.9 bzw. 5.10 bestimmt werden. Die auf den Massenstrom bezogene
96 5 Impulssatz
u1u11
2r Austrittc1
1w
r 02
c2
w
u2
Eintritt
β
u2
βα 2 2
c2
cu 2
w2
c1
α 1
cu1
1
w1
Abb. 5.10 Strömung im Laufrad einer Turbine
spezifische Arbeit Yth ist damit:
Yth = cu ⋅ u − cu ⋅ u (5.49)
Gleichung 5.49 ist die Euler’sche Strömungsmaschinenhauptgleichung. Der Index th be-deutet, dass die ermittelte spezifischeArbeit die theoretischmögliche,maximale spezifischeArbeit ist. Bei wirklichen Strömungsmaschinen wird die erzielte spezifische Arbeit we-gen der Reibung innerhalb des Fluids und an den Wänden geringer. Bei der Pumpe gibtGl. 5.49 einen positiven und bei der Turbine einen negativen Wert an. Dies ist in Über-einstimmung mit den Vereinbarungen in der Thermodynamik. Bei axial angeströmtenStrömungsmaschinen ist die Umfangsgeschwindigkeit am Ein- und Austritt gleich groß.Für diese Maschinen vereinfacht sich Gl. 5.49 zu:
Yth = (cu − cu) ⋅ u (5.50)
Bei Pumpen wird mit drallfreier Zuströmung, d. h., die tangentiale Komponente derabsoluten Geschwindigkeit c1u ist null, eine möglichst große spezifische Arbeit erzielt. BeiTurbinen strebt man an, dass am Auslegungspunkt die tangentiale Komponente der abso-luten Austrittsgeschwindigkeit null ist. Die Geometrie des Strömungsraums bestimmt dieabsolute Geschwindigkeit des Fluids am Eintritt. Die Form der Laufschaufeln ist maßge-bend für die Relativgeschwindigkeit am Austritt.
Bei einer Pumpe, in der die Flüssigkeit als inkompressibles Fluid angenommen wer-den kann, lässt sich die Druckerhöhung aus der Energiebilanzgleichung (Gl. 4.5) und mitGl. 5.48 bestimmen. Der Pumpvorgang ist inkompressibel. Die Leistung, die an die Pumpeabgegeben wird, wird aus Gl. 5.48 in Gl. 4.5 eingesetzt.
Die Höhendifferenz z2 – z1 der Pumpenstutzen kann meist vernachlässigt werden. Mitρmultipliziert und umgeformt erhält man für die Druckerhöhung Δp= p2 – p1:
Δp = ρ ⋅ (cu ⋅ u − cu ⋅ u) −(c − c ) ⋅ ρ
(5.52)
Die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Ein- und Austrittsstutzen ist in vielen Fällenebenfalls vernachlässigbar.
Beispiel 5.5 Berechnung einer RadialpumpeAus nachstehender Skizze können die geometrischen Daten des Rotors einer Pumpeentnommen werden. Die Drehzahl der Pumpe beträgt 1500min–1. Die Geschwin-digkeit c1 amEintritt ist 3m/s und steht senkrecht zurUmfangsgeschwindigkeit. DerWinkel α2 der Geschwindigkeit c2 zur Umfangsgeschwindigkeit ist 10°. Durch dieLeitbleche werden 10% des Strömungsquerschnitts versperrt. Die Dichte des Was-sers beträgt 1000 kg/m3, die Geschwindigkeit am Eintrittsstutzen 1m/s, am Austritt4m/s.
Zeichnen Sie die Geschwindigkeitsdreiecke und berechnen Sie:
a) die Geschwindigkeiten am Ein- und Austrittb) die spezifische Arbeit, die Antriebsleistung und den Differenzdruck.
Lösung
• Schema
360 mm
160 mm
40 m
m
100
mm
• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei und inkompressibel.– Die geodätischen Höhen der Pumpenstutzen können vernachlässigt werden.– Die Strömung ist stationär.
• AnalyseZunächst werden die Umfangsgeschwindigkeiten berechnet.
u = π ⋅ d ⋅ n = π ⋅ , ⋅m ⋅ 25 ⋅ s−1 = ,m/s
u = π ⋅ d ⋅ n = π ⋅ , ⋅m ⋅ ⋅ s−1 = ,m/s
98 5 Impulssatz
Die Meridiankomponenten der Geschwindigkeiten c1 und c2 ergeben sich ausdem Massenstrom, der am Ein- und Austritt jeweils gleich groß sein muss. DieMeridiankomponente amEintritt entspricht der Strömungsgeschwindigkeit c1 , dasie senkrecht zur Umfangsgeschwindigkeit ist. Die vommitbewegten Beobachtergesehene Geschwindigkeit w1 beträgt:
w =
√
c + u =√
+ , = ,m/s
Mit der Versperrung τ = 0,9 erhält man den Massenstrom am Eintritt.
m = c ⋅ ρ ⋅ A = c ⋅ ρ ⋅ π ⋅ d ⋅ a ⋅ τ == ⋅m/s ⋅ 1000 ⋅ kg/m3
⋅ π ⋅ , ⋅m ⋅ , ⋅m ⋅ , = , kg/s
Mit demMassenstromkann dieMeridiankomponente derGeschwindigkeit c2 be-stimmt werden.
cm =m
ρ ⋅ π ⋅ d ⋅ a ⋅ τ=
, kg/s1000 ⋅ kg/m3
⋅ π ⋅ , ⋅m ⋅ , ⋅m ⋅ ,= ,m/s
Mit dem gegebenenWinkel α2 kann die Geschwindigkeit c2 und deren Umfangs-komponente berechnet werden.
c = cm/ sin α = ,m/s cu = c ⋅ cos α = ,m/s
Die Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt konstruiert man mit den er-rechneten Werten.
= 3,33 m / sc = 3 m / s
u = 12,57 m / s1
1
w = 12,92 m / s1
Eintritt= 47.30 m / sw2
cm2
= 28,27 m / su2 = 18,90 m / sc 2u
= 19,20 m / sc2
Austritt
Die Geschwindigkeit w2 berechnet sich aus den geometrischen Zusammenhän-gen.
w =√
wu +w
m =
√
(cu − u)+ cm =
√
(, − ,) + , = ,m/s
b) Die theoretische spezifische Arbeit ist nach Gl. 5.49:
Yth = cu ⋅ u − cu ⋅ u = , ⋅ , = , J/kg
5.5 Drallsatz 99
Die notwendige Leistung wird mit Gl. 5.48 berechnet.
P = m ⋅ Yth = 135,72 ⋅ kg/s ⋅ 534,3 ⋅ J/kg = ,kW
Die Druckdifferenz über der Pumpe ist nach Gl. 5.52:
• DiskussionDie Arbeit an der Pumpenwelle und die erzeugte Druckdifferenz könnenmit demDrallsatz einfach bestimmt werden. Bisherige Kenntnisse erlauben nur die Be-rechnung inkompressibler, reibungsfrei strömender Fluide. Die Anwendung desDrallsatzes auf die Strömung reibungsbehafteter Fluide ist durch einfache Rei-bungsterme möglich. Eine genaue Berechnung ist ausschließlich mit empirischenAnsätzen oder mit 3D-Computerprogrammen durchführbar.
Beispiel 5.6 Berechnung einer AxialturbineEine Axialturbine wird vom Wasser mit der Geschwindigkeit von 3m/s paral-lel zur Turbinenachse angeströmt. Die Laufschaufeln auf dem Rotor der Turbinesind relativ kurz. Dadurch kann mit einer konstanten Umfangsgeschwindigkeit von2m/s gerechnet werden. Die Schaufeln sind 0,5m hoch und auf einem Rotor mit1m Durchmesser montiert. Ihre Anordnung ist so, dass die vom mitbewegten Be-obachter gesehene Geschwindigkeit w2 am Austritt einen Winkel von 142° zurUmfangsgeschwindigkeit bildet. Die Versperrung durch die Schaufeln beträgt 10%.Dichte des Wassers: 1000 kg/m3.
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten am Ein- und Austritt und zeichnen Sie Ge-schwindigkeitsdreiecke.
b) Berechnen Sie die spezifische Arbeit und die Leistung der Turbine.
100 5 Impulssatz
Lösung
• Schema
Rotor mitLaufschaufeln
142°
u1
c1
w1
2u
Strömungsverlauf zwischenden Laufschaufeln
w2
• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei und inkompressibel.– Die Turbine ist waagerecht.– Die Strömung ist stationär.– Für die Berechnung wird die Umfangsgeschwindigkeit der Schaufeln mit ei-nem mittleren Wert als konstant angenommen.
• Analysea) Die Eintrittsgeschwindigkeit ist senkrecht zur Umfangsgeschwindigkeit und
damit auch gleich der Meridiankomponente der Geschwindigkeit. Die vommitbewegten Beobachter gesehene Geschwindigkeit beträgt:
w =
√
c + u =√
+ = ,m/s
Da sich der Massenstrom in der Turbine nicht verändert, muss die Meri-diankomponente der Geschwindigkeiten w2 und c2 am Austritt gleich großsein wie die Meridiankomponente der Geschwindigkeiten am Eintritt. ZurBerechnung der Geschwindigkeiten w2, c2 und cu2 konstruiert man derÜbersichtlichkeit halber die Geschwindigkeitsdreiecke. Für die Geschwin-digkeit w2 gilt:
w = w
m +w
u = c
m +w
⋅ cos
○ w =
√
c − cos○
= ,m/s
Die anderen Geschwindigkeiten können aus den geometrischen Zusam-menhängen bestimmt werden.
5.5 Drallsatz 101
c
Austrittw1
u1
c1
Eintritt
w2
142°
cu2 u2
2 m2c
cu = wu + u = w ⋅ cos ○ + u = −,m/s
c =√
cm + cu = ,m/s
b) Die spezifische Arbeit und Leistung werden mit den Gln. 5.48 und 5.50 be-rechnet.
Yth = u ⋅ cu = − ⋅ 1,838 ⋅m/s = −, J/kg
Zur Berechnung der Leistung ist zunächst der Massenstrom zu bestimmen.
• DiskussionBei axial durchströmtenApparaten kann amEin- undAustrittmit gleicherUm-fangsgeschwindigkeit gerechnet werden. Aus den Geschwindigkeitsdreieckenist zu sehen, dass eine hier dargestellte Turbine wegen der achsparallelen An-strömung mit cu1 = 0 nur dann Arbeit liefern kann, wenn die Geschwindigkeitc2 eine negative Umfangskomponente cu2 hat. Bei Wasserturbinen werden amEintritt Leitschaufeln angebracht, mit denen die Strömung in Rotation ver-setzt wird, dieGeschwindigkeitskomponente cu1 eine positiveGröße hat und sozur spezifischen Arbeit beiträgt. Dadurch ist eine größere Nutzung der kineti-schen Energie möglich, die hier c2 / 2 = 4,5 J beträgt. Davon werden nur 3,675 Jgenutzt. Dies wäre einWirkungsgrad von 0,82. Bei der theoretischen, reibungs-freien Turbine könnten mit Leitschaufeln Wirkungsgrade von über 0,97 erzieltwerden. Die wirklichen modernenWasserturbinen habenWirkungsgrade vonetwas über 0,90.
102 5 Impulssatz
Beispiel 5.7 Berechnung einer PeltonturbineEine Peltonturbine wird aus einem Speichersee, der 500m oberhalb des Turbinen-eintritts liegt, mit Wasser versorgt. Der Durchmesser des Eintrittstutzens beträgt100mm. In der Skizze ist die Strömung in den Schaufeln dargestellt. Die vommitbe-wegten Beobachter geseheneGeschwindigkeit ändert ihren Betrag nicht. Die Dichtedes Wassers beträgt 1000 kg/m3.
a) Berechnen Sie, bei welcher Umfangsgeschwindigkeit die Turbine eine maximaleLeistung liefert.
b) Berechnen Sie die Leistung und den Wirkungsgrad der Turbine.
Lösung
• Schema
500 m
1
Düse
0
Düse
cc1
170°
1
w2
2w1
w1u
2
Strömungsverlauf in den Lauf-schaufeln
• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei und inkompressibel.– Die Strömung ist stationär.– Für die Berechnungwird dieUmfangsgeschwindigkeit der Schaufelnmit einemmittleren Wert als konstant angenommen.
– Der Druck ist über dem Speichersee und am Austritt der Düse gleich groß.• Analyse
a) Um die Leistung der Turbine zu berechnen, müssen die spezifische Arbeit unddieGeschwindigkeit in derDüse bestimmtwerden.DieGeschwindigkeit in der
5.5 Drallsatz 103
Düse wird mit der Bernoulli-Gleichung berechnet. Da der Druck am Austrittder Düse und über dem Speichersee gleich groß ist, gilt nach Gl. 4.5:
c =√
⋅ g ⋅ (z − z) =√
⋅ , ⋅m/s ⋅ 500 ⋅m = ,m/s
Zur Berechnung der spezifischen Arbeit müssen die Umfangskomponenten derGeschwindigkeiten c1 und c2 bestimmt werden. Die Geschwindigkeit c1 ist par-allel zur Umfangsrichtung, damit entspricht sie ihrer Umfangskomponente. DieGeschwindigkeit w1 ist gleich der Differenz aus den Geschwindigkeiten c1 und u.Der Betrag derGeschwindigkeitw2 ist gleich demBetrag der Geschwindigkeitw1,nur ist ihr Abströmwinkel β2 170° zur Umfangsgeschwindigkeit. Die Berechnungder Umfangskomponente kann aus dem Geschwindigkeitsdreieck am Austritt er-folgen.
u
170°
w2
c 2
cu2
Für die Umfangskomponente der Geschwindigkeit w2 gilt:
wu = ∣w ∣ ⋅ cos ○ = w ⋅ cos ○ = (c − u) ⋅ cos ○ = u − cu
Damit ist die Umfangskomponente der Geschwindigkeit c2:
cu = u + (c − u) ⋅ cos ○
Die spezifische Arbeit Yth beträgt:
Yth = u ⋅ (cu − cu) = u ⋅ [u + (c − u) ⋅ cos ○ − c]
= (u− c ⋅ u) ⋅ ( − cos ○)
Um die maximale spezifische Arbeit zu bestimmen, wird die Gleichung nach uabgeleitet und zu null gesetzt.
dYth
du= ( ⋅ u − c) ⋅ ( − cos ○) = u =
c= ,m/s
b) Die Zahlenwerte eingesetzt, ergeben für die spezifische Arbeit:
Bei idealen Bedingungen könnte die kinetische Energie des Wasserstrahls in Ar-beit umgesetzt werden. Deshalb ist der Wirkungsgrad:
ηth = ⋅ ∣Yth∣
c=
⋅ u⋅ ( − cos ○)
c=
− cos ○
= ,
Zur Berechnung der Leistung muss noch der Massenstrom aus der Düse be-stimmt werden.
m = ρ ⋅ c ⋅ π/ ⋅ d= 1000 ⋅ kg/m3
⋅ , ⋅m/s ⋅ π/ ⋅ , ⋅m= ,kg/s
P = m ⋅ Yth = −, ⋅ kg/s ⋅ ⋅ J/kg = −kW
• DiskussionIm Vergleich zum Ergebnis in Abschn. 5.2.2.3 ist der Wirkungsgrad wesentlichgrößer als der dort mit 0,6 ermittelte. Bei der idealen Peltonturbine mit reibungs-freien inkompressiblen Fluiden hängt derWirkungsgrad nur vomAbströmwinkelβ2 ab. Bei einemWinkel von 180° könnte derWirkungsgrad 1 erreicht werden. Al-lerdings ist die Geschwindigkeit c2 dann gleich null, d. h., das Wasser kann nichtabströmen. Diese Wirkungsgradverbesserung erzielt man, weil immer wieder ei-ne neue Umlenkschaufel in die Strömung gebracht und so die kinetische Energiedes Wasserstrahls optimal genutzt wird.
Literatur
[1] Böckh P von, Cizmar J., SchlachterW (1999) Grundlagen der technischenThermodynamik, Bil-dung Sauerländer Aarau, Bern, Fortis FH, Mainz, Köln, Wien
