Fallgesetze

Zwei Bereiche:

2. Fallende Objekte auf der Erde

1. Gravitationskraft(„Die Ursache des Fallens“)

1. Gravitationskraft

Allgemein

• Die Gravitationskraft, die auf einen Körper wirkt, wird von einem zweiten Körper verursacht, der den ersten Körper zu sich hin zieht.

• Sie ist proportional zum (Abstand)^2

• Es gilt das Superpositionsprinzip

• Eine homogene materielle Kugelschale zieht ein Teilchen mit derselben Kraft an, die auch wirken würde, wenn die gesamte Kraft auf dessen Massenmittelpunkt konzentriert wäre.

Wieso kann Fgrav überall auf der Erde als konstant angenommen werden?

Gründe dagegen:

1) Die Erde ist nicht homogen

2) Die Erde ist keine Kugel

3) Die Erde rotiert

Wieso können wir diese drei Gründe vernachlässigen?

Zu 1) Die Erde ist nicht homogen

Die Dichteunterschiede sind zum Großteil symmetrisch (schwerer Erdkern, leichterer Mantel) und haben daher kaum Auswirkungen

Die Unebenheit der Oberfläche kann gegen Punkt 2) vernachlässigt werden

Punkt 1) ist vernachlässigbar

Zu 2) Die Erde ist keine Kugel

Der Radius am Äquator ist um rund 20 km größer als der Abstand der Pole zum Erdmittelpunkt.

Berechnung der Differenz:

ME=5,98 * 1024 kg G =6,67 * 10-11 Nm2/kg2

Fg m g

FgG m M

R2 g

G M

R2

Mit Rm =6,375*106: gm =9,814 m/s2

Mit Rpol =6,365*106:gPol =9,845 m/s2

Mit RÄqu=6,385*106:gÄqu=9,784 m/s2

Zu 2) Die Erde ist keine Kugel

Die Berechnungen stimmen nur näherungsweise, denn:

Die Differenz des Pol- und Äquatorradius zum mittleren Erdradius wurde gemittelt (+/-10 km)

Die Erde wird nicht als Kugel angenommen (unterschiedliche Radien) aber g wird aus einer Kugelsymmetrie berechnet

gPol = 9,83 m/s2

gÄqu = 9,78 m/s2

Genaue Werte aus der Literatur

Zu 3) Die Erde rotiert

Es benötigt eine Kraft damit ein Objekt auf einer Kreisbahn bleibt und nicht geradeaus fliegt. Diese Kraft wird von der Gravitationskraft aufgebracht.

Gemessen wird jedoch die Normalkraft FN=-m*geff, die bereits um die „Zentripedalkraft“ reduziert ist.

Berechnung der Differenz:m*geff=m*g-mω2R

geff=g-ω2R

43200RÄqu=6,385*106 m

Δg=g-geff=ω2R=0,034 m/s2

Insgesamt: 2) + 3)

ΔgKeineKugel = gPol - gÄqu = 9,83 - 9,78 = 0,05 m/s2

ΔgErderotiert = 0,034 m/s2

Δggesamt = 0,084 m/s2

Max. Abweichung von g ˜ 0,05 m/s2 0,51

%Der Unterschied ist also meist vernachlässigbar.

Näherung für das Problem:

Die Erde wird als Kugel mit homogener Dichteverteilung (ρ=konstant) angenommen.

Wie sieht das Gravitationsfeld innerhalb der Erde aus?

F=??

Idee: Lege eine Kugel in die Erde

F=??

Behauptung:

Eine gleichförmige materielle Kugelschale übt auf ein Teilchen innerhalb dieser Schale keine Gesamtgravitationskraft aus.

Gravitationsfeld innerhalb der Erde

Anwendung des Gaußschen Satzes (Vgl. Elektrostatik):

Konstante (analog zu ε0 aus Elektrostatik)

Integral über „Gravitationsfeld“

Integration über Kugeloberfläche:

:= FG ( )M ein m

r2

4 G ( )M ein d

F

mA ...über geschlossene

Fläche

4 G ( )M ein4 F r

2

m

Berechne M(ein):

( )M ein4 r3

3

:= FG ( )M ein m

r2

Setze ein in:

F4 r G

3

Die Kraft nimmt also Proportional zum Abstand vom Erdmittelpunkt zu!

Gravitationsfeld innerhalb der Erde

Gravitationsfeld innerhalb der Erde

Wie sieht also der Potenzialverlauf aus? U d

F

mr

Innerhalb der Erde:

d

4 G r

3r

2 G r2

3

Außerhalb der Erde:

d

G M

r2

r G M

r

A:=plot(-G*M/x,x=6,37*10^6..12^8):

B:=plot(M/2/R^3*G*x^2-8.68*10^7,x=0.. 6,37*10^6):

Umlaufbahn eines Satelliten

2 Fragen zum Satelliten:

- Wieso fliegt er nicht weg?- Wieso fällt er nicht hinunter?

Ohne Fgrav würde der Satellit geradeaus fliegen (irgendwohin ins Weltall). Durch Fgrav kommt es zu einer Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt -> Fgrav bewirkt eine Richtungsänderung von v in Richtung Erdmittelpunkt.Ist nun v groß genug, dann reicht diese Richtungsänderung nicht aus um den Satelliten auf die Erde stürzen zu lassen.

Ist nun v klein genug, dann reicht diese Richtungsänderung aber aus, um den Satelliten auf einer konstanten Bahn zu halten.

Umlaufbahn eines Satelliten

Mit anderen Worten:

Der Satellit fällt ja hinunter nur er fällt nicht auf die Erde sondern „in die Umlaufbahn“

Vergleiche mit Wurfbahn eines Steines -> er fällt auch hinunter, nur weiter drüben ->beim Satelliten ist die Erde eben „zu kurz“

Umlaufbahn eines Satelliten

Wie schnell muss ein Satellit sein, damit er in der Umlaufbahn bleibt?

G M m

r2

m v2

r

G M

rv

2

vG M

r

Der Satellit befindet sich auf einer Kreisbahn, da ihn die Gravitationskraft nach innen zieht:

Das geht doch auch anders???

Umlaufbahn eines Satelliten

Berechnung (in Polarkoordinaten):

Ansatz mit Polarkoordinaten (r konstant, ω konstant):x(t)=r*er(t)

x(t)=r*er(t)=r*ω*eφ (t)

X(t)=r*ω*eφ (t) = -r*ω^2*er(t)=-v^2/r* er(t)

Die einzig wirkende Kraft ist Fgrav und wir erhalten mit Masse * Beschleunigung = Summe aller Kräfte (=Fgrav) dieselbe Lösung.

v= ω*r

Umlaufbahn eines Satelliten

Was passiert, wenn wir nun eine kleine Luftreibung berücksichtigen?

Ist v(t+Δt)<v(t) oder v(t) < v(t+Δt) ???

siehe Physlets

Die 2. Kraft ist also am Größten!

Noch ein kleines Bsp:

Auf welchen Massenpunkt wirkt die größte Kraft?

F1

G M m

r2

0

F2

G M m

r2

G M m

r2

F3

0

G M m

r2

F4

0

0

Massenpunkt

2. Fallen auf der Erde

Allgemein

• Die Erde wird als Kugel genähert

• Die Fallhöhen sind sehr klein gegen den Erdradius

• Die Masse des fallenden Objektes ist viel kleiner als die Erdmasse

• Vernachlässigung des Luftwiderstandes

g ist konstant

Latte vs Ball

Was fällt schneller(bzw. wann fällt was schneller)?Wir haben hier das Problem eines physikalischen Pendels.

Dieses kann für kleine Auslenkungen von der Ruhelage analytisch gelöst werden. Dabei wird bei der Berechnung der rücktreibenden Kraft näherungsweise sin(α) = α gesetzt.

Bei der fallenden Latte befindet sich α jedoch im Bereich 90 - 180 Grad!

Das macht die Berechnung wesentlich schwieriger (erhalte Differenzialgleichung, die nur numerisch gelöst werden kann)!

Latte vs Ball

Zuerst ein Spezialfall

Die Latte sei drehbar fixiert und stehe gerade horizontal.Wer startet schneller los, das Ende der Latte oder die Kugel?Es gilt allgemein: Trägheitsmoment*Winkelbeschleunigung = Drehmoment

J 1

2m g ( )sin L Wobei

J...Trägheitsmoment

L...Länge der LatteHier haben wir den Spezialfall: alpha=Pi/2 ->

sin(alpha)=1J

2

t2

m g L

2

Latte vs Ball

Erhalte wegen:

2

t2

r a

Trägheitsmoment einer Latte mithomogen verteilter Masse:

:= Jm L

2

3

m L2a

3 r

m g L

2

:= a3 g r

2 Laufgelöst nach a:

Somit wird das Ende der Latte (r=L) mit 1,5 g beschleunigt.

Wie sieht aber die Fallzeit von Latte und Ball im Allgemeinen aus?

Latte vs Ball

t 2h

gh...Abwurfhöhe

Fallzeit Ball:

g

Fallzeit Latte:

g

Löse hierzu die Differenzialgleichung:

Wobei J...Trägheitsmoment

L...Länge der Latte

J 1

2m g ( )sin L

Latte vs Ball

Grafische Darstellung der Lösung:

http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/latte_Boden.htm

Kugelstoßer

Wie wirft ein Kugelstoßer?

Es ist (hoffentlich) bereits bekannt, dass ein Abwurfwinkel von 45 Grad zur Ebene ideal ist, um möglichst weit zu werfen.

Ein Kugelstoßer wirft aber wesentlich flacher ab. Wieso?

Antwort:

Der Kugelstoßer wirft nicht vom Boden, sondern höher ab. Dabei ändert sich der perfekte Abwurfwinkel!

Kugelstoßer

Berechnung vom besten Abwurfwinkel:

Der Kugelstoßer wirft von der Höhe h ab.

:= ( )x t v ( )cos t

:= ( )y t h v ( )sin tg t

2

2

y(tfall)=0 -> Auflösen nach tfall:

:= tfallv ( )sin v

2( )sin 2

2 g h

g

Einsetzen in x(t) liefert:

:= xaufprallv ( )cos ( )v ( )sin v

2v

2( )cos 2

2 g h

g

Kugelstoßer

Besonders interessant:

Die Abhängigkeit des Winkels von v!

Ableiten nach alpha liefert:

Nullsetzen liefert den bzw. die gesuchten Abwurfwinkel:

xaufprall v ( )sin ( )v ( )sin v

2v

2( )cos 2

2 g h

g

v ( )cos

v ( )cos v2

( )cos ( )sin

v2

v2

( )cos 22 g h

g

alpha_max

arctan

v

v2

2 g h

Kugelstoßer

Alpha für ein paar Zahlenwerte von v (bei h=2m):

Was fällt hier auf?

( )alpha_max20 0.761

( )alpha_max5 0.559 ( )alpha_max10 0.703

limv

( )alpha_maxv limv

arctan

v

v2

2 h g

limv

arctan

v

v2

2 h g

4lim

v

arctan

v

v2

2 h g

( )arctang 1

Flüchtender Verbrecher

Schafft er den Sprung?Der selbe Ansatz wie vorher (nur mit Spezialfall:alpha=0°; h=4,8 m; v=4,5 m/s)

:= ( )x t v t := ( )y t 4.8g t

2

2

y=0 setzen liefert:

:= tfall 0.99

:= xaufprall 4.45in x(t) einsetzen:

Der Verbrecher kann also nur noch auf eine weiche Mülltonne am Boden hoffen!

elastischer Ball

Bahn des Balles: Geschwindigkeit

Wodurch werden die Bälle mehr gebremst?

LuftreibungEnergieverluste durch elastische Deformation

http://hep2.uibk.ac.at/p1e/ViMPS/ball780.divx

elastischer Ball

Betrag der Geschwindigkeit

Der Geschwindigkeitssprung am Boden zeigt, dass die elastische Deformation wesentlich mehr als der Luftwiderstand ausmacht.

kann man hieraus g ermitteln???

elastischer Ball

Experimentelle Bestätigung:

Die Symmetrie der Parabeln zeigt auch, dass der Energieverlust bei der Reflexion vom Boden wesentlich höher ist als der durch den Luftwiderstand.

elastischer Ball

Für g einfach noch mal ableiten...

Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:

mgbvFym

bvFxm

yy

xx

vbF

Reibung des Balles proportional zu v:

mgyyxbFym

xyxbFxm

y

x

22

22

Reibung des Balles proportional zu v^2:

2vbF

?? Brauche RichtungvvbF

Komponentenweise Betrachtung:

grundlegender Unterschied:Im 2. Fall sind die Differenzialgleichungen gekoppelt.

Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:

Reibung des Balles proportional zu v^2:

Reibung des Balles proportional zu v:

Auswirkungen dieses Unterschieds:

Danke für eure Aufmerksamkeit