Paul Pfinzing GymnasiumHersbruck

Kollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005

FACHARBEITaus der Mathematik

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FR DIE KONSTRUKTION VON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHREN

Verfasser: Sebastian Ullherr

Leistungskurs: Mathematik

Kursleiter: OStR T. Blassl

Abgabetermin: 28.01.2005

Schriftliche Wertung: _______________

Mndliche Wertung: _______________

Gesamtwertung (einfach): _______________

Gesamtwertung (doppelt): _______________

Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________

------------------------------------------------------- (Unterschrift des Kursleiters)

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Gliederung

1. Einleitung 3

2. Zeitformen und ihr Zusammenhang 3

2.1. Sternzeit 3

2.2. Wahre Ortszeit 3

2.3. Mittlere Ortszeit 4

3. Bewegung der Erde 5

3.1. Exzentrizitt der Erdbahn 5

3.2. Schiefe der Ekliptik 8

3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung 11

3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma 13

3.5. Erdrotation, Przession und Nutation 14

3.6. Die Deklination und der Tagbogen 15

4. Sonnenuhren 17

4.1. Definition und Aufgaben 18

4.2. Sonnenuhrentypen 19

4.3. Zifferbltter 19

4.4. Die Analemma auf der Uhr 22

5. Faszination Sonnenuhr 23

6. Literaturverzeichnis 24

7. Selbststndigkeitserklrung 25

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1. Einleitung

Sonnenuhren scheinen heutzutage als Zeitmesser ungeeignet, da sie in Deutsch-

land bis zu 45 Minuten falsch gehen. Tatschlich muss man beim Ablesen der

Zeit an einer Sonnenuhr fast immer betrchtliche Korrekturen vornehmen, um

ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Warum Sonnenuhren aber, wenn sie einen

solchen Unterschied zur mitteleuropischen Zeit aufweisen, eigentlich genau

richtig gehen und woher diese Zeitdifferenz kommt mchte ich im folgenden so

anschaulich wie mglich erklren.

2. Zeitformen und ihr Zusammenhang

2.1. Sternzeit

Ein Sterntag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgngen eines Fixsternes.

Definiton: Meridiandurchgang

Der Zeitpunkt, an dem sich aus dem Mittelpunkt des jeweiligen

Objekts, dem Erdmittelpunkt und einem Punkt des Lngengrads

der momentanen Position eine Linie bilden lassen.

Das heit gegenber der praktisch unbeweglichen Sphre der Fixsterne findet

eine Rotation der Erde um 360 statt. Ein Sterntag dauert bezogen auf Sonnen-

zeit 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden (s.u.). Dadurch erhht sich die

Winkelgeschwindigkeit der Sonne (von der Erde aus gesehen) von 15 auf

15.04. Die Dauer eines Sternjahres betrgt 365.26 Tage.

2.2. Wahre Ortszeit

Eine Sonnenuhr zeigt stets die wahre Ortszeit, die wirkliche

Sonnenzeit, an. Die Beobachtung des Sonnenstandes im Tages-

verlauf liefert uns der Ortsstundenwinkel der Sonne, die wahre

Ortszeit (WOZ). [Quelle 1, Seite 38]

Die wahre Ortszeit ist fr jede geographische Lnge (siehe Kasten) verschieden,

die geographische Breite spielt dabei keine Rolle.

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Definiton: geographische Lnge

Der Lngengrad beschreibt eine der beiden Koordinaten eines

Ortes auf der Erdoberflche, und zwar seine Position stlich oder

westlich vom Nullmeridian durch den Ort Greenwich bei London.

Dabei erfolgt die Angabe des Lngengrads durch einen Winkel von

0 am Nullmeridian bis 180 in stlicher und westlicher Richtung.

[nach Quelle 5.1]

Definition: geographische Breite

Der Breitengrad (auch: die geografische Breite) beschreibt die

zweite der beiden Koordinaten eines Ortes, und zwar ihre Position

nrdlich oder sdlich des quators. Der Breitengrad ist eine

Winkelangabe im Wertebereich von 0 (am quator) bis +90

oder -90 (am Nord- bzw. Sdpol) der Erde. [nach Quelle 5.2]

Eine Differenz von 15 Lnge machen eine Stunde wahrer Ortszeit aus

( 360 /24h ), Orte mit gleicher Lnge haben zum selben Zeitpunkt die selbe

Ortszeit.

Beispiel

Hersbruck hat die geographische Lnge 11.45, Nrnberg 11.05.

Der Unterschied WOZ ist damit 60min /1511.4511.05=1.6

Minuten. Das heit die Sonne kulminiert (sie steht im Sden) in

Hersbruck 1 Minute und 36 Sekunden frher als in Nrnberg.

2.3. Mittlere Ortszeit

Mit der mittleren Ortszeit (MOZ) verhlt es sich im Prinzip genau so wie mit der

wahren Ortszeit - nur dass man hier von einer mittleren Erde (siehe 3.1.) aus-

geht, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Kreisbahn um die Sonne

bewegt. Damit wird das Zeitma vom Jahresverlauf unabhngig, ein Sonnentag

dauert genau 24 Stunden. Da die Erde aber in der Realitt eine elliptische Bahn

hat und die Ebene der Erdbahn schief steht, gibt es einen Unterschied zwischen

wahrer und mittlerer Ortszeit: Die sog. Zeitgleichung:

WOZMOZ=Zeitgleichung

Genauer wird darauf weiter unten eingegangen.

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3. Die Bahn der Erde um die Sonne

3.1. Exzentrizitt der Erdbahn

Abbildung A:Erluterung der Keplerschen Formel [nach Quelle 6, Seite 4]

Die Erde beschreibt in ihrer Bahn um die Sonne eine Ellipse, in deren einen

Brennpunkt sich die Sonne befindet (1. Kepler-Gesetz). Dadurch ergibt sich eine

nicht konstante Distanz Erde - Sonne, die ihr Maximum in aea hat. Die

zugehrige Position der Erde wird als Aphel, die gegenberliegende als Periphel

bezeichnet. Das Verhltnis ZS zur groen Halbachse a bezeichnet man als

numerische Exzentizitt e . Ihr Wert ist mit

e= ZSa=1,7102 [Quelle 12, Seite 84]

sehr gering, was darauf schlieen lsst dass sich die Umlaufbahn der Erde um

die Sonne an einen Kreis annhert.

Nach dem 2. Kepler-Gesetz berstreicht der von der Sonne nach der Erde gezo-

gene Ortsvektor in gleichen Zeiten jeweils gleiche Flchen. Da die Bahn aber

eine Ellipse ist (mit der Sonne in ihrem Brennpunkt), folgt daraus dass die

Bahngeschwindigkeit der Erde ebenfalls nicht konstant ist. Sie erreicht im

Periphel ihr Maximum (30,29km/sec) und im Aphel ihr Minimum

(29,29km/sec). Die mittlere Bahngeschwindigkeit betrgt 29,79km/sec.

A

SonneBE M R

mittlere Erdewahre Erde

ea PeriphelAphel a

b

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JOHANNES KEPLER erdachte eine mittlere Erde, die die Sonne auf einer perfekten

Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit umkreist (-> Abbildung A). Die

Abweichung der realen Erdbahn von der Bahn der mittleren Erde ist einer der

Grnde warum Sonnenuhren falsch gehen, da Sonnenuhren auf der Basis

einer mittleren Erde arbeiten. Eine Funktion dieser Abweichung wrde uns also

einen ersten Hinweis auf die Form der Zeitgleichung geben. Nach der Kepler-

Gleichung ist E=Mesin E , was sich als z=x yf z ausdrcken lsst.

LAGRANGE stellte fest, dass man jede Funktion g z durch eine Serie, die von x

und y abhngt, ersetzen kann:

g z =g y xg ' y f y x2

2! y

g ' y [ f ' y]2...

Im Falle der Kepler-Gleichung setzen wir

z=E ; y=M ; x=e ; f z =sin E ; f y =sin M ; g z =z

und erhalten:

E=Me sin M e2

2

Msin2M ...

Man kann damit R, den wahren Winkel (dessen Abweichung wir im Bezug auf

M erhalten wollen) ausdrcken als

R=M2e sinM54e2sin 2M ...

Anmerkung

Eine ausfhrlichere Lsung findet sich in der Arbeit Equation of

time-- Problem in Astronomy von M. MLLER [Quelle 2, Schritte

(28) bis (36)], wrde aber den Rahmen einer Facharbeit sprengen.

Diese Arbeit wurde im Rahmen eines Wettbewerbes namens First

Step to Nobel Prize in Physics erstellt, ausgezeichnet und verf-

fentlicht.

Die Genauigkeit des 2. Grades reicht dabei fr unsere Zwecke aus.

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Man kann nun e=1,7102 (s.o.), die numerische Exzentizitt der Erdbahn

einsetzen und bekommt:

R=M0.034sinM0.0003sin 2M ...

Nun multiplizieren wir die obige Gleichung mit 180/ , um Angaben in Grad

zu erhalten und teilen durch die Rotationsgeschwindigkeit 0.25067/min.

Dadurch erhalten wir eine Formel fr die Abweichung der wahren Erdbahn von

der mittleren Erdbahn in Minuten:

MR7.771sin M 0.068sin 2M [min]

Um die Abweichung in Abhngigkeit vom Tag des Jahres zu bekommen, muss

man nun M durch t1.0420.986 ersetzen. -1,042 ist erforderlich, um den

Startpunkt, das Periphel, auf der x-Achse auf den 2. Januar um 1 Uhr GMT

(Greenwich Mean Time, also MEZ - 1 Stunde) zu verschieben. An diesem Zeit-

punkt befindet sich laut dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] die Erde 2005 im

Periphel. Der Faktor 0.986 kommt vom Term 360/365.24, der ntig ist um

vom Gradma auf Tage zu kommen. Der Graph der entstehenden Funktion

E t =7.771sin t1.0420.9860.068sin 2t1.0420.986 [min]

veranschaulicht die Abweichung von einer kreisfrmigen Erdbahn:

Abbildung B: Auswirkungen der Exzentrizitt der Erdbahn im Jahresverlauf

(t) in Minuten

t in Tagen

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

+7.8

-12

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

G

-7.8

-8-

Nach dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] steht die Erde am 5. Juli um 5 Uhr

im Aphel. Das entspricht einer Tagesnummer von 186.21. In obige Gleichung

eingesetzt ergibt das 0.05 Minuten. Eigentlich msste das Einsetzen zwar

0 Minuten ergeben, die Genauigkeit ist aber trotzdem recht hoch.

Der Unterschied der noch vorhanden ist lsst sich vermutlich darauf zurck-

fhren, dass beim U.S. NAVAL OBSERVATORY

1. mit exakteren Werten

2. unter Bercksichtigung der Przession und der Nutation (siehe 3.4.