Date post: | 18-Sep-2018 |
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Paul Pfinzing GymnasiumHersbruck
Kollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005
FACHARBEITaus der Mathematik
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FR DIE KONSTRUKTION VON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHREN
Verfasser: Sebastian Ullherr
Leistungskurs: Mathematik
Kursleiter: OStR T. Blassl
Abgabetermin: 28.01.2005
Schriftliche Wertung: _______________
Mndliche Wertung: _______________
Gesamtwertung (einfach): _______________
Gesamtwertung (doppelt): _______________
Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________
------------------------------------------------------- (Unterschrift des Kursleiters)
-2-
Gliederung
1. Einleitung 3
2. Zeitformen und ihr Zusammenhang 3
2.1. Sternzeit 3
2.2. Wahre Ortszeit 3
2.3. Mittlere Ortszeit 4
3. Bewegung der Erde 5
3.1. Exzentrizitt der Erdbahn 5
3.2. Schiefe der Ekliptik 8
3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung 11
3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma 13
3.5. Erdrotation, Przession und Nutation 14
3.6. Die Deklination und der Tagbogen 15
4. Sonnenuhren 17
4.1. Definition und Aufgaben 18
4.2. Sonnenuhrentypen 19
4.3. Zifferbltter 19
4.4. Die Analemma auf der Uhr 22
5. Faszination Sonnenuhr 23
6. Literaturverzeichnis 24
7. Selbststndigkeitserklrung 25
-3-
1. Einleitung
Sonnenuhren scheinen heutzutage als Zeitmesser ungeeignet, da sie in Deutsch-
land bis zu 45 Minuten falsch gehen. Tatschlich muss man beim Ablesen der
Zeit an einer Sonnenuhr fast immer betrchtliche Korrekturen vornehmen, um
ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Warum Sonnenuhren aber, wenn sie einen
solchen Unterschied zur mitteleuropischen Zeit aufweisen, eigentlich genau
richtig gehen und woher diese Zeitdifferenz kommt mchte ich im folgenden so
anschaulich wie mglich erklren.
2. Zeitformen und ihr Zusammenhang
2.1. Sternzeit
Ein Sterntag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgngen eines Fixsternes.
Definiton: Meridiandurchgang
Der Zeitpunkt, an dem sich aus dem Mittelpunkt des jeweiligen
Objekts, dem Erdmittelpunkt und einem Punkt des Lngengrads
der momentanen Position eine Linie bilden lassen.
Das heit gegenber der praktisch unbeweglichen Sphre der Fixsterne findet
eine Rotation der Erde um 360 statt. Ein Sterntag dauert bezogen auf Sonnen-
zeit 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden (s.u.). Dadurch erhht sich die
Winkelgeschwindigkeit der Sonne (von der Erde aus gesehen) von 15 auf
15.04. Die Dauer eines Sternjahres betrgt 365.26 Tage.
2.2. Wahre Ortszeit
Eine Sonnenuhr zeigt stets die wahre Ortszeit, die wirkliche
Sonnenzeit, an. Die Beobachtung des Sonnenstandes im Tages-
verlauf liefert uns der Ortsstundenwinkel der Sonne, die wahre
Ortszeit (WOZ). [Quelle 1, Seite 38]
Die wahre Ortszeit ist fr jede geographische Lnge (siehe Kasten) verschieden,
die geographische Breite spielt dabei keine Rolle.
-4-
Definiton: geographische Lnge
Der Lngengrad beschreibt eine der beiden Koordinaten eines
Ortes auf der Erdoberflche, und zwar seine Position stlich oder
westlich vom Nullmeridian durch den Ort Greenwich bei London.
Dabei erfolgt die Angabe des Lngengrads durch einen Winkel von
0 am Nullmeridian bis 180 in stlicher und westlicher Richtung.
[nach Quelle 5.1]
Definition: geographische Breite
Der Breitengrad (auch: die geografische Breite) beschreibt die
zweite der beiden Koordinaten eines Ortes, und zwar ihre Position
nrdlich oder sdlich des quators. Der Breitengrad ist eine
Winkelangabe im Wertebereich von 0 (am quator) bis +90
oder -90 (am Nord- bzw. Sdpol) der Erde. [nach Quelle 5.2]
Eine Differenz von 15 Lnge machen eine Stunde wahrer Ortszeit aus
( 360 /24h ), Orte mit gleicher Lnge haben zum selben Zeitpunkt die selbe
Ortszeit.
Beispiel
Hersbruck hat die geographische Lnge 11.45, Nrnberg 11.05.
Der Unterschied WOZ ist damit 60min /1511.4511.05=1.6
Minuten. Das heit die Sonne kulminiert (sie steht im Sden) in
Hersbruck 1 Minute und 36 Sekunden frher als in Nrnberg.
2.3. Mittlere Ortszeit
Mit der mittleren Ortszeit (MOZ) verhlt es sich im Prinzip genau so wie mit der
wahren Ortszeit - nur dass man hier von einer mittleren Erde (siehe 3.1.) aus-
geht, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Kreisbahn um die Sonne
bewegt. Damit wird das Zeitma vom Jahresverlauf unabhngig, ein Sonnentag
dauert genau 24 Stunden. Da die Erde aber in der Realitt eine elliptische Bahn
hat und die Ebene der Erdbahn schief steht, gibt es einen Unterschied zwischen
wahrer und mittlerer Ortszeit: Die sog. Zeitgleichung:
WOZMOZ=Zeitgleichung
Genauer wird darauf weiter unten eingegangen.
-5-
3. Die Bahn der Erde um die Sonne
3.1. Exzentrizitt der Erdbahn
Abbildung A:Erluterung der Keplerschen Formel [nach Quelle 6, Seite 4]
Die Erde beschreibt in ihrer Bahn um die Sonne eine Ellipse, in deren einen
Brennpunkt sich die Sonne befindet (1. Kepler-Gesetz). Dadurch ergibt sich eine
nicht konstante Distanz Erde - Sonne, die ihr Maximum in aea hat. Die
zugehrige Position der Erde wird als Aphel, die gegenberliegende als Periphel
bezeichnet. Das Verhltnis ZS zur groen Halbachse a bezeichnet man als
numerische Exzentizitt e . Ihr Wert ist mit
e= ZSa=1,7102 [Quelle 12, Seite 84]
sehr gering, was darauf schlieen lsst dass sich die Umlaufbahn der Erde um
die Sonne an einen Kreis annhert.
Nach dem 2. Kepler-Gesetz berstreicht der von der Sonne nach der Erde gezo-
gene Ortsvektor in gleichen Zeiten jeweils gleiche Flchen. Da die Bahn aber
eine Ellipse ist (mit der Sonne in ihrem Brennpunkt), folgt daraus dass die
Bahngeschwindigkeit der Erde ebenfalls nicht konstant ist. Sie erreicht im
Periphel ihr Maximum (30,29km/sec) und im Aphel ihr Minimum
(29,29km/sec). Die mittlere Bahngeschwindigkeit betrgt 29,79km/sec.
A
SonneBE M R
mittlere Erdewahre Erde
ea PeriphelAphel a
b
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JOHANNES KEPLER erdachte eine mittlere Erde, die die Sonne auf einer perfekten
Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit umkreist (-> Abbildung A). Die
Abweichung der realen Erdbahn von der Bahn der mittleren Erde ist einer der
Grnde warum Sonnenuhren falsch gehen, da Sonnenuhren auf der Basis
einer mittleren Erde arbeiten. Eine Funktion dieser Abweichung wrde uns also
einen ersten Hinweis auf die Form der Zeitgleichung geben. Nach der Kepler-
Gleichung ist E=Mesin E , was sich als z=x yf z ausdrcken lsst.
LAGRANGE stellte fest, dass man jede Funktion g z durch eine Serie, die von x
und y abhngt, ersetzen kann:
g z =g y xg ' y f y x2
2! y
g ' y [ f ' y]2...
Im Falle der Kepler-Gleichung setzen wir
z=E ; y=M ; x=e ; f z =sin E ; f y =sin M ; g z =z
und erhalten:
E=Me sin M e2
2
Msin2M ...
Man kann damit R, den wahren Winkel (dessen Abweichung wir im Bezug auf
M erhalten wollen) ausdrcken als
R=M2e sinM54e2sin 2M ...
Anmerkung
Eine ausfhrlichere Lsung findet sich in der Arbeit Equation of
time-- Problem in Astronomy von M. MLLER [Quelle 2, Schritte
(28) bis (36)], wrde aber den Rahmen einer Facharbeit sprengen.
Diese Arbeit wurde im Rahmen eines Wettbewerbes namens First
Step to Nobel Prize in Physics erstellt, ausgezeichnet und verf-
fentlicht.
Die Genauigkeit des 2. Grades reicht dabei fr unsere Zwecke aus.
-7-
Man kann nun e=1,7102 (s.o.), die numerische Exzentizitt der Erdbahn
einsetzen und bekommt:
R=M0.034sinM0.0003sin 2M ...
Nun multiplizieren wir die obige Gleichung mit 180/ , um Angaben in Grad
zu erhalten und teilen durch die Rotationsgeschwindigkeit 0.25067/min.
Dadurch erhalten wir eine Formel fr die Abweichung der wahren Erdbahn von
der mittleren Erdbahn in Minuten:
MR7.771sin M 0.068sin 2M [min]
Um die Abweichung in Abhngigkeit vom Tag des Jahres zu bekommen, muss
man nun M durch t1.0420.986 ersetzen. -1,042 ist erforderlich, um den
Startpunkt, das Periphel, auf der x-Achse auf den 2. Januar um 1 Uhr GMT
(Greenwich Mean Time, also MEZ - 1 Stunde) zu verschieben. An diesem Zeit-
punkt befindet sich laut dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] die Erde 2005 im
Periphel. Der Faktor 0.986 kommt vom Term 360/365.24, der ntig ist um
vom Gradma auf Tage zu kommen. Der Graph der entstehenden Funktion
E t =7.771sin t1.0420.9860.068sin 2t1.0420.986 [min]
veranschaulicht die Abweichung von einer kreisfrmigen Erdbahn:
Abbildung B: Auswirkungen der Exzentrizitt der Erdbahn im Jahresverlauf
(t) in Minuten
t in Tagen
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
+7.8
-12
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
G
-7.8
-8-
Nach dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] steht die Erde am 5. Juli um 5 Uhr
im Aphel. Das entspricht einer Tagesnummer von 186.21. In obige Gleichung
eingesetzt ergibt das 0.05 Minuten. Eigentlich msste das Einsetzen zwar
0 Minuten ergeben, die Genauigkeit ist aber trotzdem recht hoch.
Der Unterschied der noch vorhanden ist lsst sich vermutlich darauf zurck-
fhren, dass beim U.S. NAVAL OBSERVATORY
1. mit exakteren Werten
2. unter Bercksichtigung der Przession und der Nutation (siehe 3.4.
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