F 36Wellenfrontanalyse

Christina Schwarz ∗ Martin-I. Trappe †

(Dated: 7. Marz 2006)

∗Ch.Schwarz@urz.uni-hd.de†Martin-Isbjoern.Trappe@gmx.de

1 Charakteristik der CCD-Kamera

Um die Eigenschaften der CCD-Kamera zu bestimmen, benotigt man zuerst Flatfieldaufnahmen, umdie Effekte der physikalischen Eigenschaften wie Kapazitat und Empfindlichkeit (Quanteneffizienz) dereinzelnen Pixel zu erhalten und in die spateren Aufnahmen einzubeziehen. Diese Aufnahmen konnten wirnicht erstellen, da wir keine geeigneten Flatfield-Quellen zur Verfugung hatten. Im folgenden nehmen wiralso an, daß alle Pixel die gleiche Empfindlichkeit haben und in ihrem Aufbau nicht unterscheidbar sind.

1.1 Linearitat

Jedem Pixel sind 16 bit zugeordnet, d.h. wir konnen Werte zwischen 0ADU und 65535 ADU erhalten.Im Idealfall wurde ein Photon ein Elektron auslosen, man hatte also 100% Quanteneffizienz und dieKapazitat (in C) ware 65535 · 1.6 · 10−19C ≈ 10−14C. Da wir keine besseren Informationen uber die Pixelhaben, benutzen wir im folgenden diese Annahmen.Zur Messung der Linearitat variieren wir bei konstanter Beleuchtung des CCD-Chips die Belichtungszeitzwischen 2ms und 7s und tragen die gemessenen Signale uber diesen Belichtungszeiten in den Abb. 1 und2 auf. Dabei wahlen wir einen Bereich von 32×32 Pixel der Gesamtaufnahme ohne offensichtliche Fehler,welche etwa durch kosmische Strahlung verursacht werden.Wenn man eine einzelne Aufnahme hat, bildet man den Mittelwert uber die 32× 32 Pixel xi und erhaltals Fehler des aufzutragenden Signals x den Fehler des Mittelwerts σx uber

σx =

√√√√ 1322 · (322 − 1)

322∑i=1

(xi − x)2 (1)

Die Mittelwerte und die entsprechenden Fehler haben wir mit IDL ausgewertet und das Resultat ist inden Abb. 1 und 2 zu sehen.Fur kurze Belichtungszeiten kommt der Wert des gemessenen Signals in die Großenordnung des Bias.Statt eines weiteren linearen Verlaufs erkennt man ein Abflachen der Kurve, welches auf eben diesen Biaszuruckzufuhren ist. Deshalb liegen die Meßpunkte fur kurze Belichtungszeiten uber dem linearen Verlauf(siehe Abbildung 1).Auch an der Sattigungsgrenze sollte das gemessene Signal in einen konstanten Wert ubergehen. Theore-tisch hat der Graph an dieser Stelle eine unstetige Ableitung, aber durch die Mittelung der Pixel uber diegesamte Aufnahme fuhren die statistisch immer auftretenden ungesattigten Pixelwerte zu einem stetigenAbflachen der Kurve. Da wir bei unserem Experiment im Bereich der Sattigung zu wenig Aufnahmengemacht hatten, kann man dieses Abflachen in Abb. 2 nicht erkennen. Ein Indiz ist allerdings das Signalvon 65329 ADU bei 7s, welches schon signifikant von der linearen Fitfunktion S(t) = 9.48(2) t+1150(20)abweicht. Wir konnen also zumindest im Bereich [0.1s, 6, 5s] einen linearen Verlauf zwischen Signal undBelichtungszeit annehmen.Fur extrem lichtschwache Objekte ist das Signal-Rausch-Verhaltnis klein, aber gaußsche Fehler, z.B. dasAusleserauschen, werden beim Addieren vieler Bilder eliminiert und die Qualitat der Aufnahme kann soverbessert werden. Der Dunkelstrom fallt beim Mitteln nicht weg, der Bias wird als konstant angenom-men. Diese beiden Großen werden weiter unten behandelt.

1.2 Ausleserauschen

Fur die Bestimmung des Ausleserauschens mussen die Effekte des Dunkelstroms und des Photonenrau-schens korrigiert werden. Letzteres erreicht man durch Abschalten der Lichtquelle. Unter der Annahme,daß der Dunkelstrom fur zwei aufeinanderfolgende Messungen fur jedes einzelne Pixel konstant ist, kannman den Dunkelstrom durch Differenzbildung zweier Aufnahmen ebenfalls korrigieren. Diese Annahmeist nur unzureichend erfullt, es ist also auch nach der Differenzbildung ein Restrauschen vorhanden. Die-sen kleinen Fehler kann man dann noch minimieren, wenn man einen kleinen Dunkelstrom wahlt. Einenkleinen Dunkelstrom - und damit auch einen fur diese Messung hinreichend konstanten Dunkelstrom -erreicht man fur niedrige Temperaturen der Pixel, die in unserem Experiment durch ein Peltier-Elementerzeugt werden, welches in die CCD-Kamera integriert ist. Die Differenz von zwei Aufnahmen beinhaltetalso den Dunkelstrom in guter Naherung nicht mehr, genausowenig wie den Bias. Die Flatfieldeffektegehen auf die physikalischen Eigenschaften der einzelnen Pixel zuruck, von denen wir annehmen, daßsie sich zwischen zwei Aufnahmen nicht andern. Ohne Belichtung werden also auch diese Effekte beimSubtrahieren herausfallen. Falls in den Aufnahmen ein Gradient uber den ganzen Bereich des CCD-Chipszu sehen ware, wurde dies zu einer Standardabweichung fuhren, die nicht nur das Ausleserauschen bein-haltet. Da dieser Effekt durch die Subtraktion zweier Aufnahmen korrigiert wird, liefert die Differenz also

2

Abbildung 1: Hier erkennt man die Abweichung der Signale vom linearen Verlauf bei kurzen Belichtungs-zeiten. Der lineare Zusammenhang zwischen Signal und Belichtungszeit beginnt bei unserem Versuchsauf-bau bei etwa 100ms.

Abbildung 2: Hier erkennt man die Abweichung der Signale vom linearen Verlauf bei großen Belichtungs-zeiten. Der lineare Zusammenhang zwischen Signal und Belichtungszeit endet bei unserem Versuchsaufbaubei etwa 7s.

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direkt das Ausleserauschen.Wir erstellen sechs Aufnahmen imgi=1..6 des gesamten Pixelbereichs von 418× 578 Pixeln mit minimalerBelichtungszeit von jeweils 1ms und subtrahieren drei der Aufnahmen jeweils von den anderen drei. Diedrei entstandenen Differenzen imgij = imgi − imgj haben eine Standardabweichung von Rij , welchedas Ausleserauschen darstellt. Da wir zwei Aufnahmen voneinander subtrahiert haben, beinhaltet Rij

allerdings einen Faktor√

2: Rij = Rij ·√

2. Damit erhalt man fur das Ausleserauschen

R =13(R12 + R34 + R56) (2)

= 9.26ADU (3)

und der letztliche Fehler von R betragt

∆R =

√1

3 · 2[(R12 −R)2 + (R34 −R)2 + (R56 −R)2] (4)

= 0.05ADU (5)

1.3 Bias-Level

Die sechs Aufnahmen fur die Bestimmung des Ausleserauschens beinhalten den Dunkelstrom, der wegenseiner Linearitat vernachlassigt werden kann, da die Aufnahmezeit 1ms betragt, aber die Aufnahmezeitender meisten Messungen um Großenordnungen daruberliegen. Das Ausleserauschen der sechs Messungenist ein statistischer Prozeß, der von den verschiedenen Einzelpixeln unabhangig ist und als normalverteiltangenommen wird. Es ergeben sich 32 · 32 · 6 Einzelmessungen und die Mittelwertbildung uber dieseEinzelmessungen der Pixel wird das Ausleserauschen großtenteil korrigieren. Man erhalt damit ein Bias-level von 1012(7) ADU.

1.4 Dunkelstrom

Fur die Bestimmung des Dunkelstroms wird die Blende der CCD-Kamera vollstandig geschlossen und vonzehn Aufnahmen des gesamten Pixelbereichs zwischen 1ms und 300s wird das jeweilige Mittel gebildet.Der Bias ist konstant, das Ausleserauschen ist ein Fehler, der durch die Mittelwertbildung großtenteilskorrigiert wird, Flatfield-Effekte werden vernachlassigt. Der Dunkelstrom sollte also linear in der Belich-tungszeit sein und wie in Abb. 3 zu sehen ist, liegt eine Linearitat von S(t) = 4.31(2) · 10−3 t + 1005.4(2)fur unseren gesamten Meßbereich vor. Der Dunkelstrom betragt also 4.31(2)ADU

s . Bei einer Belichtungs-zeit von t < 2s liegt der Beitrag des Dunkelstroms in der Großenordnung des Ausleserauschens, ist alsonur fur Einzelaufnahmen mit Belichtungszeiten t < 2s vernachlassigbar.

1.5 Verstarkung

Nun erstellen wir die Photonentransferkurve fur die CCD-Kamera, indem die Lichtstarke bei konstanterBelichtungszeit variiert wird. Bei jeder gewahlten Lichtstarke werden zwei Aufnahmen gemacht und einQuadrat von 50×50 Pixeln Große ohne Defekte betrachtet. Durch die Differenzbildung beider Aufnahmenbei einer bestimmten Lichtsarke hangt die Varianz der Differenz nur noch von Auslese- und Poissonrau-schen ab, Bias und Dunkelstrom sind eliminiert. In Abb. 4 ist der Mittelwert S in ADU der beiden Aufnah-men gegen die Varianz N2 der Differenz aufgetragen und der lineare Teil gibt die Verstarkung an. Hier istdas Gesamtrauschen durch das Photonenrauschen dominiert und fur das tatsachliche Signal der Photonengilt SPh ≡ N2

Ph ≡ N2. Durch die Verstarkung g erhalten wir die Werte S = g ·SPh = g ·N2Ph = g N2

g2 = N2

g .Die Fitfunktion im dafur gultigen Bereich ist S(N) = 0.990(3)N2 + 1126(42), d.h. die Verstarkung be-tragt g = 1.010(3) 1

ADU .Das Poissonrauschen ist proportional zu

√S, fur sehr kleine Signale - also auch fur kleine Differenzen

- ist das Poissonrauschen ebenfalls klein. In diesem Bereich bildet das Ausleserauschen die Untergrenzedes Gesamtrauschens. Bei kleiner werdendem Signal sollte die dargestellte Kurve in Abb. 4 also strengmonoton gegen den Punkt (R2, 0) gehen. Dieses Verhalten sieht man in Abb. 4 als Abweichung der Meß-punkte vom linearen Verlauf der Fitgeraden angedeutet.Im linearen Bereich ist das Ausleserauschen gegenuber dem Poissonrauschen vernachlassigbar, denn hiergilt S ∝ N2 wie man in Abb. 4 erkennen kann. Das Poissonrauschen ist in diesem Bereich die einzigerelevante Storquelle.Fur große Signale geht das gemessene Rauschen gegen null, weil die Sattigungsgrenze erreicht wird. ImGrenzfall haben alle Pixel den Wert 65535 und die Varianz verschwindet.

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Abbildung 3: Der Dunkelstrom geht fur den Meßbereich zwischen 1ms und 300s linear mit der Belich-tungszeit.

Abbildung 4: Das gemessene Signal S ist etwa im Bereich zwischen N2 = 2000 ADU2 und N2 =25000 ADU2 proportional zur Varianz N2 der Differenz.

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2 Shack-Hartmann-Sensor

Der Versuchsaufbau unseres Experiments zur Analyse der durch Aberrationen entstehenden Wellenfron-ten ist schematisch in Abb. 5 dargestellt. Wir untersuchen hier eine Verzerrung der Wellenfront, die eineastigmatische Linse hervorruft.

Abbildung 5: Versuchsaufbau zur Untersuchung von Wellenfronten durch einen Shack-Hartmann-Sensor.

Dazu werden mit der CCD-Kamera sowohl zehn Aufnahmen mit der astigmatische Linse als auch zehnReferenzaufnahmen ohne Aberration gemacht. Das aus 28 Mikrolinsen bestehende Linsenfeld des Shack-Hartmann-Sensors bildet einen Teil der Wellenfront als Spots auf das Pixelfeld der CCD-Kamera ab. DieForm dieser Spots kann wegen der geringen Pixelanzahl nicht eindeutig bestimmt werden. Eine Moglich-keit, die auch wir verwendet haben, ist die Annahme, daß die Intensitatsverteilung der Spots im Pixelfeldnaherungsweise gaußverteilt ist. Andererseits kann man auch von anderen Verteilungen ausgehen. Bei-spielsweise konnten wir in der Aufnahme einen Beugungsring um den Spot erkennen, was fur eine praziseBetrachtung eine Gaußverteilung ausschließt. Andere Moglichkeiten waren Schwerpunktsbildung bzw.Maximumsbestimmung uber die gemessenen Signale in einem ausgewahlten Bereich der Spots. Diese Me-thoden liefern dann auch unterschiedliche Mittelpunkte und Fehler der Spots. Letztlich mußte man unterall diesen Verfahren dasjenige mit minimalem Fehler auswahlen. Allerdings konnten wir innerhalb desvorgegebenen Zeitrahmens nicht alle Betrachtungen durchfuhren und haben uns auf die Annahme einerGaußverteilung konzentriert. Die Positionen der Spots im Pixelfeld werden mit (xij , yij) bezeichnet, wo-bei der Index i = 1..10 die zehn Aufnahmen und der Index j = 1..28 die einzelnen Spots charakterisiert.Man erhalt also zwei Stichproben aus jeweils zehn Vektoren

xij =(

xij

yij

)(6)

fur jede der 28 Zufallsvariablen Sj (Spots). Aus den 10 Werten der Stichprobe berechnet man zu jedemSpot Sj das Stichprobenmittel

xj =10∑

i=1

xij (7)

Die Stichprobenvarianz ist

σ2j =

110− 1

10∑i=1

(xij − xj)2 (8)

und damit berechnet sich die Standardabweichung von xj zu

σxj=

σj√10

(9)

Damit erhalt man die Position der Spots xj mit dem entsprechenden Fehler σxj , der in der Großenordnungvon 10−3px liegt wie man in den Tabellen I-IV sehen kann. Nun berechnet man den Schwerpunkt dieserSpots

CMAst =(

190.299(1)241.866(1)

)(10)

6

fur die Messungen mit Astigmatismus und entsprechend

CMoA =(

188.118(1)241.471(1)

)(11)

ohne Abberation als Mittelwert

CM =128

28∑j=1

xj) (12)

mit dem Fehler

∆(CM) =128

√√√√ 28∑j=1

(σxj)2 (13)

Die systematische Verschiebung ist dann

V = CMAst −CMoA =(

2.181(1)0.395(1)

)(14)

mit dem Fehler

∆(V) =√

∆(CMAst)2 + ∆(CMoA)2 (15)

Die systematische Verschiebung entsteht eventuell durch das Einbauen der astigmatischen Linse in dieApparatur. Nun bildet man o.B.d.A. die Differenzen

Sj,Ast = xj,Ast −(

2.181(1)0.395(1)

)(16)

fur alle Spots Sj,Ast, um die systematische Verschiebung zu korrigieren und erhalt dann die korrigiertenPositionen Sj,Ast der astigmatischen Spots. Die Fehler von Sj,Ast berechnen sich aus

∆(Sj,Ast) =√

(σxj,Ast)2 + ∆(V)2 (17)

Sowohl die Fehler der Spots ohne Aberration als auch die Fehler der korrigierten astigmatischen Spotssind bei der Darstellung des Vektorfeldes in Abb. 6 vernachlassigbar. Dort ist die Darstellung reskaliert,um die Verschiebung der Spots zu verdeutlichen, welche beim Einsetzen der astigmatischen Linse beob-achtet werden kann. Zur Berechnung der raumlichen Gestalt der Wellenfront benotigt man noch einigetechnische Angaben der Meßapparatur. Wie in Abb. 5 gezeigt ist, ist aus technischen Grunden zwischenShack-Hartmann-Sensor und CCD-Kamera eine Linse so eingesetzt, daß sie das Bild mit 1.5-facher Ver-großerung auf das CCD-Feld abbildet.Im Folgenden sind einige Daten der Apparatur angegeben, die in Abb. 7 schematisch dargestellt ist. DiePixel der CCD-Kamera haben eine Kantenlange von d1 = 24µm. Die Mikrolinsen des Shack-Hartmann-Sensors haben einen Durchmesser von d2 = 0.7mm und eine Brennweite von f = 45mm. Damit ergibtsich folgender Zusammenhang zwischen den optischen Weglangen dVj , dWj und den gemessenen Ver-schiebungen ∆xj , ∆yj :

dVj = d2 ·d1∆xj

1.5 · f(18)

dWj = d2 ·d1∆yj

1.5 · f(19)

Im Histogramm (siehe Abb. 8) ist die Große

∆zj =1λ

√(∆dVj)2 + (∆dWj)2 (20)

=1

637.5nmd1d2

1.5 f

√(∆xj)2 + (∆yj)2 (21)

uber den Positionen der Spots ohne Aberration aufgetragen. Hierbei bezeichnet ∆xj die Differenz xj,Ast−xj,oA und ∆z kann man als gemittelten optischen Gangunterschied der Wellenfront zur ebenen Welleansehen. Zum Vergleich sieht man in Abb. 9 das dem Astigmatismus entsprechende Zernicke-PolynomZ5(x, y) = 2xy.

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Abbildung 6: Reskalierte Darstellung der gemessenen Spots mit Aberration (+) und ohne Aberration (+)

Abbildung 7: Schematische Darstellung der Wirkung eines Shack-Hartmann Linsenfeldes mit und oh-ne Aberration. In unserem Versuch ist zwischen dem Mikrolinsenfeld und der CCD-Kamera noch eineVergroßerungslinse platziert.

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Abbildung 8: Rekonstruktion der verzerrten Wellenfront aus den Verschiebungen der Spots.

Abbildung 9: Darstellung des astigmatischen Zernicke-Polynoms Z5(x, y) = 2xy mit Mathematica alsVergleich zu Abb. 8.

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Tabellen der Meßwerte und berechneten Großen

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x σx

Punkt

1 168.74 168.752 168.737 168.755 168.748 168.763 168.749 168.721 168.749 168.75 168.7464 0.0036276712 226.565 226.571 226.558 226.579 226.581 226.585 226.576 226.549 226.571 226.574 226.5709 0.0034687493 279.27 279.281 279.26 279.285 279.287 279.293 279.286 279.26 279.28 279.284 279.2786 0.0036153994 319.793 319.793 319.782 319.806 319.809 319.805 319.803 319.778 319.802 319.801 319.7972 0.0033058875 342.539 342.543 342.52 342.553 342.555 342.556 342.546 342.526 342.541 342.548 342.5427 0.0037772716 344.428 344.442 344.423 344.448 344.448 344.449 344.445 344.421 344.439 344.443 344.4386 0.003370467 325.32 325.335 325.308 325.346 325.349 325.344 325.345 325.313 325.335 325.34 325.3335 0.0046410018 287.398 287.409 287.39 287.42 287.425 287.428 287.424 287.389 287.408 287.418 287.4109 0.0045836679 236.026 236.04 236.019 236.052 236.057 236.059 236.056 236.014 236.039 236.043 236.0405 0.00513214310 178.234 178.237 178.219 178.25 178.25 178.252 178.255 178.217 178.237 178.243 178.2394 0.00421426211 121.971 121.98 121.953 121.981 121.981 121.986 121.986 121.955 121.972 121.974 121.9739 0.003707212 74.32 74.329 74.304 74.328 74.332 74.34 74.341 74.301 74.323 74.322 74.324 0.0042163713 42.271 42.28 42.261 42.286 42.284 42.291 42.294 42.252 42.278 42.28 42.2777 0.00414474214 30.197 30.211 30.19 30.212 30.207 30.22 30.218 30.178 30.202 30.2 30.2035 0.00409945815 39.287 39.304 39.279 39.304 39.3 39.313 39.308 39.275 39.298 39.295 39.2963 0.0039329116 68.269 68.281 68.259 68.283 68.282 68.293 68.288 68.255 68.273 68.276 68.2759 0.00384548817 113.643 113.661 113.644 113.659 113.655 113.667 113.661 113.629 113.649 113.649 113.6517 0.00355293318 140.417 140.431 140.412 140.425 140.432 140.441 140.439 140.403 140.424 140.425 140.4249 0.00373407719 195.908 195.926 195.908 195.931 195.927 195.937 195.931 195.902 195.923 195.931 195.9224 0.00380116920 249.207 249.216 249.199 249.222 249.219 249.225 249.218 249.195 249.213 249.212 249.2126 0.00307390521 282.809 282.817 282.801 282.832 282.823 282.831 282.826 282.794 282.819 282.821 282.8173 0.00395263622 286.644 286.657 286.637 286.665 286.664 286.663 286.662 286.634 286.65 286.651 286.6527 0.00360878623 259.081 259.096 259.075 259.105 259.105 259.109 259.104 259.071 259.095 259.097 259.0938 0.00426822924 208.897 208.905 208.882 208.914 208.912 208.915 208.916 208.885 208.902 208.906 208.9034 0.00384187525 151.922 151.921 151.907 151.931 151.936 151.938 151.941 151.9 151.927 151.924 151.9247 0.00416346526 106.735 106.749 106.722 106.746 106.748 106.757 106.757 106.718 106.741 106.74 106.7413 0.00418476127 87.312 87.321 87.292 87.321 87.328 87.331 87.332 87.296 87.314 87.318 87.3165 0.00431083928 99.875 99.888 99.863 99.885 99.887 99.893 99.894 99.855 99.878 99.878 99.8796 0.00401165

Tabelle I: x-Positionen der Spots ohne Aberration.

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y σyPunkt

1 398.428 398.414 398.395 398.417 398.435 398.42 398.417 398.422 398.414 398.404 398.4166 0.0035721142 394.86 394.843 394.822 394.851 394.857 394.851 394.835 394.846 394.844 394.836 394.8445 0.0035815893 370.516 370.506 370.487 370.517 370.528 370.516 370.495 370.509 370.505 370.497 370.5076 0.0038764244 328.949 328.942 328.916 328.946 328.957 328.945 328.937 328.941 328.939 328.932 328.9404 0.0034711515 275.249 275.238 275.215 275.243 275.249 275.241 275.231 275.238 275.232 275.227 275.2363 0.0033033656 217.145 217.14 217.11 217.141 217.144 217.133 217.128 217.136 217.127 217.122 217.1326 0.0034903047 162.071 162.066 162.035 162.074 162.073 162.061 162.058 162.063 162.056 162.056 162.0613 0.0036149388 117.835 117.834 117.803 117.845 117.839 117.834 117.833 117.835 117.828 117.82 117.8306 0.0036914329 90.236 90.236 90.203 90.244 90.248 90.237 90.235 90.236 90.228 90.226 90.2329 0.0038971510 82.98 82.983 82.947 82.989 82.987 82.976 82.981 82.982 82.973 82.974 82.9772 0.00373511911 97.706 97.707 97.67 97.711 97.712 97.706 97.711 97.706 97.696 97.699 97.7024 0.00394743212 131.46 131.459 131.422 131.459 131.467 131.462 131.461 131.456 131.449 131.449 131.4544 0.00400610613 179.8 179.791 179.756 179.797 179.802 179.789 179.796 179.79 179.781 179.78 179.7882 0.00426301914 236.789 236.777 236.748 236.783 236.792 236.775 236.785 236.781 236.771 236.768 236.7769 0.00400957215 294.389 294.377 294.35 294.384 294.394 294.385 294.383 294.379 294.37 294.369 294.378 0.00396932716 344.503 344.488 344.459 344.497 344.503 344.493 344.496 344.495 344.486 344.477 344.4897 0.004224417 380.752 380.738 380.712 380.749 380.752 380.742 380.742 380.739 380.743 380.732 380.7401 0.00371019618 330.75 330.741 330.716 330.748 330.752 330.744 330.744 330.741 330.735 330.726 330.7397 0.00355605919 342.304 342.295 342.271 342.301 342.307 342.299 342.29 342.299 342.293 342.285 342.2944 0.00332398720 322.071 322.063 322.038 322.068 322.073 322.066 322.058 322.069 322.056 322.058 322.062 0.0032455121 276.175 276.169 276.142 276.176 276.18 276.17 276.165 276.169 276.161 276.159 276.1666 0.00342928622 219.35 219.338 219.311 219.35 219.347 219.34 219.339 219.336 219.331 219.33 219.3372 0.00367211723 169.616 169.614 169.58 169.618 169.619 169.611 169.614 169.609 169.604 169.604 169.6089 0.00361309324 142.623 142.62 142.58 142.627 142.624 142.615 142.617 142.618 142.611 142.609 142.6144 0.00421689725 147.106 147.105 147.069 147.11 147.114 147.104 147.106 147.106 147.094 147.096 147.101 0.00401109626 181.689 181.685 181.649 181.691 181.692 181.684 181.689 181.681 181.676 181.675 181.6811 0.00402616427 235.298 235.29 235.257 235.306 235.305 235.297 235.301 235.291 235.284 235.285 235.2914 0.0045294128 290.791 290.776 290.747 290.781 290.788 290.778 290.783 290.781 290.771 290.766 290.7762 0.003996665

Tabelle II: y-Positionen der Spots ohne Aberration.

10

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xast σxastSpot

1 172.11 172.086 172.05 172.064 172.078 172.075 172.08 172.073 172.073 172.065 172.075400 0.0049802 230.378 230.368 230.323 230.339 230.356 230.357 230.348 230.353 230.343 230.341 230.350600 0.0049243 283.233 283.174 283.138 283.15 283.164 283.156 283.153 283.161 283.156 283.149 283.163400 0.0083084 323.632 323.606 323.581 323.595 323.6 323.596 323.592 323.6 323.594 323.593 323.598900 0.0042155 346.071 346.046 346.027 346.038 346.046 346.041 346.037 346.042 346.036 346.033 346.041700 0.0037366 347.524 347.47 347.457 347.473 347.477 347.469 347.472 347.472 347.465 347.465 347.474400 0.0057827 327.851 327.814 327.809 327.82 327.819 327.818 327.818 327.825 327.818 327.816 327.820800 0.0035998 289.258 289.228 289.216 289.231 289.23 289.229 289.227 289.233 289.228 289.225 289.230500 0.0033849 237.349 237.301 237.29 237.305 237.31 237.306 237.306 237.306 237.305 237.299 237.307700 0.00490810 179.077 179.045 179.023 179.03 179.043 179.041 179.034 179.035 179.035 179.029 179.039200 0.00470611 122.55 122.526 122.507 122.506 122.526 122.517 122.514 122.511 122.513 122.514 122.518400 0.00411312 74.863 74.836 74.812 74.815 74.833 74.828 74.831 74.82 74.821 74.815 74.827400 0.00474513 42.979 42.956 42.93 42.927 42.952 42.955 42.95 42.941 42.94 42.932 42.946200 0.00493914 31.289 31.264 31.232 31.228 31.252 31.25 31.257 31.245 31.251 31.24 31.250800 0.00547515 40.862 40.837 40.806 40.814 40.832 40.828 40.83 40.827 40.826 40.821 40.828300 0.00470216 70.481 70.447 70.419 70.42 70.446 70.444 70.439 70.438 70.432 70.425 70.439100 0.00568517 116.462 116.438 116.399 116.414 116.425 116.41 116.419 116.422 116.42 116.408 116.421700 0.00558818 143.057 143.03 142.987 143.004 143.015 143.018 143.018 143.017 143.011 142.999 143.015600 0.00594819 199.036 199.011 198.973 198.987 199.001 198.998 199.002 198.999 198.995 198.982 198.998400 0.00542520 252.491 252.474 252.441 252.457 252.469 252.468 252.461 252.465 252.46 252.46 252.464600 0.00406421 286.013 285.99 285.965 285.975 285.984 285.979 285.976 285.986 285.979 285.971 285.981800 0.00416022 289.396 289.371 289.347 289.361 289.368 289.369 289.362 289.368 289.361 289.359 289.366200 0.00396923 261.19 261.16 261.137 261.152 261.161 261.151 261.156 261.161 261.152 261.152 261.157200 0.00427124 210.478 210.445 210.423 210.427 210.444 210.442 210.44 210.44 210.443 210.434 210.441600 0.00467425 153.202 153.169 153.15 153.152 153.174 153.166 153.157 153.162 153.161 153.154 153.164700 0.00479626 107.889 107.866 107.844 107.842 107.856 107.858 107.851 107.845 107.852 107.849 107.855200 0.00439427 88.725 88.701 88.671 88.671 88.696 88.694 88.689 88.685 88.686 88.678 88.689600 0.00506028 101.936 101.909 101.878 101.883 101.907 101.901 101.899 101.893 101.894 101.89 101.899000 0.005138

Tabelle III: x-Positionen der Spots bei Aberration.

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yast σyastPunkt

1 399.957 399.923 399.898 399.945 399.934 399.929 399.933 399.933 399.932 399.921 399.9305 0.004881372 396.775 396.742 396.724 396.772 396.748 396.752 396.755 396.758 396.75 396.741 396.7517 0.0047118063 372.765 372.716 372.695 372.74 372.726 372.726 372.73 372.726 372.718 372.714 372.7256 0.0057738884 331.103 331.061 331.041 331.098 331.075 331.078 331.09 331.078 331.073 331.058 331.0755 0.005961455 277.218 277.184 277.157 277.208 277.195 277.197 277.218 277.2 277.192 277.177 277.1946 0.0059183336 218.674 218.625 218.6 218.645 218.641 218.633 218.669 218.635 218.634 218.621 218.637700 0.0068857 163.005 162.987 162.947 163 162.99 162.987 163.031 162.985 162.984 162.968 162.988400 0.0069868 118.142 118.113 118.087 118.125 118.124 118.119 118.162 118.122 118.114 118.104 118.121200 0.0064209 89.904 89.87 89.842 89.882 89.881 89.871 89.921 89.877 89.874 89.86 89.878200 0.00691210 82.12 82.091 82.075 82.107 82.1 82.095 82.133 82.094 82.096 82.084 82.099500 0.00534811 96.494 96.453 96.444 96.488 96.481 96.468 96.508 96.458 96.474 96.457 96.472500 0.00641212 130.021 129.973 129.967 130.015 130.002 129.996 130.036 129.989 129.993 129.982 129.997400 0.00685313 178.531 178.485 178.476 178.526 178.509 178.505 178.54 178.507 178.508 178.493 178.508000 0.00638214 235.854 235.816 235.805 235.851 235.839 235.831 235.855 235.83 235.828 235.814 235.832300 0.00553015 293.982 293.949 293.937 293.979 293.965 293.971 293.981 293.964 293.961 293.95 293.963900 0.00476916 344.804 344.775 344.761 344.793 344.786 344.784 344.788 344.787 344.78 344.776 344.783400 0.00364617 381.665 381.627 381.609 381.648 381.639 381.646 381.643 381.641 381.633 381.624 381.637500 0.00484018 331.44 331.408 331.386 331.437 331.42 331.422 331.428 331.424 331.414 331.399 331.417800 0.00527219 343.547 343.511 343.486 343.539 343.526 343.523 343.536 343.526 343.525 343.506 343.522500 0.00560020 323.573 323.535 323.517 323.565 323.548 323.553 323.559 323.552 323.544 323.534 323.548000 0.00518321 277.616 277.579 277.547 277.609 277.597 277.586 277.61 277.596 277.583 277.581 277.590400 0.00635622 220.362 220.332 220.302 220.356 220.342 220.349 220.377 220.347 220.34 220.33 220.343700 0.00642423 169.979 169.938 169.916 169.976 169.963 169.954 169.996 169.962 169.955 169.934 169.957300 0.00746124 142.492 142.449 142.432 142.474 142.469 142.461 142.499 142.462 142.464 142.441 142.464300 0.00660325 146.435 146.39 146.377 146.426 146.41 146.407 146.446 146.406 146.403 146.392 146.409200 0.00671426 180.852 180.807 180.802 180.843 180.834 180.828 180.863 180.83 180.826 180.814 180.829900 0.00609827 234.806 234.764 234.756 234.795 234.792 234.783 234.809 234.785 234.785 234.767 234.784200 0.00554728 290.799 290.759 290.746 290.787 290.779 290.777 290.785 290.779 290.773 290.764 290.774800 0.004805

Tabelle IV: y-Positionen der Spots bei Aberration.

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Schwerpunkt mit astigmatischer Linse xast[px] σ(xast)[px] yast[px] σ(yast)[px]190.2988714 0.000932759 241.8657143 0.001121271

Schwerpunkt ohne astigmatische Linse x[px] σ(x)[px] y[px] σ(y)[px]188.1175321 0.000748162 241.4708071 0.000717791

systematische Verschiebung xsys[px] ∆xsys[px] ysys[px] ∆ysys[px]2.181339286 0.001195737 0.394907143 0.001331342

Tabelle V: Systematische Verschiebung aller astigmatischen Spots.

Spot xast −∆xsys ∆(xast −∆xsys) yast −∆ysys ∆(yast −∆ysys) x y ∆z

1 169.8940607 0.005121936 399.5355929 0.005059669 168.7464 398.4166 1.6028942982 228.1692607 0.005067413 396.3567929 0.004711806 226.5709 394.8445 2.2004060213 280.9820607 0.008393834 372.3306929 0.005773888 279.2786 370.5076 2.4950843614 321.4175607 0.004381249 330.6805929 0.00596145 319.7972 328.9404 2.3777804835 343.8603607 0.003922557 276.7996929 0.005918333 342.5427 275.2363 2.044609256 345.2930607 0.005903935 218.2427929 0.006884846 344.4386 217.1326 1.4009394327 325.6394607 0.003792215 162.5934929 0.006986018 325.3335 162.0613 0.6138739258 287.0491607 0.003588842 117.7262929 0.006420107 287.4109 117.8306 0.3764774779 235.1263607 0.005051711 89.48329286 0.006911826 236.0405 90.2329 1.18218505410 176.8578607 0.004856017 81.70459286 0.005348416 178.2394 82.9772 1.87834494611 120.3370607 0.004283146 96.07759286 0.006412228 121.9739 97.7024 2.30634812 72.64606071 0.004893398 129.6024929 0.006852737 74.324 131.4544 2.49900786613 40.76486071 0.005081864 178.1130929 0.006382267 42.2777 179.7882 2.25713682414 29.06946071 0.005603849 235.4373929 0.005529818 30.2035 236.7769 1.75508532215 38.64696071 0.004852011 293.5689929 0.004768997 39.2963 294.378 1.03736881816 68.25776071 0.005809552 344.3884929 0.003646002 68.2759 344.4897 0.1028198417 114.2403607 0.005714291 381.2425929 0.004840225 113.6517 380.7401 0.77396415218 140.8342607 0.00606729 331.0228929 0.005272149 140.4249 330.7397 0.49776941319 196.8170607 0.005554858 343.1275929 0.005600099 195.9224 342.2944 1.22254984820 250.2832607 0.004236194 323.1530929 0.005183307 249.2126 322.062 1.52865888521 283.8004607 0.004328562 277.1954929 0.006356449 282.8173 276.1666 1.42310417822 287.1848607 0.004144985 219.9487929 0.006424 286.6527 219.3372 0.81070392223 258.9758607 0.004435063 169.5623929 0.007461084 259.0938 169.6089 0.12677771724 208.2602607 0.004824798 142.0693929 0.006603114 208.9034 142.6144 0.84300707425 150.9833607 0.004942762 146.0142929 0.006714495 151.9247 147.101 1.43772461426 105.6738607 0.00455373 180.4349929 0.006098178 106.7413 181.6811 1.64079542927 86.50826071 0.005199445 234.3892929 0.005547372 87.3165 235.2914 1.21121758628 99.71766071 0.005275394 290.3798929 0.004804627 99.8796 290.7762 0.428116437

Tabelle VI: Die astigmatischen Spots ohne systematische Verschiebung xast−∆xsys, die Spotsohne Aberration x und ∆z fur die Erstellung des Histogramms in Abb. 8.

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