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Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz
Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall
Erwartungswert
Varianz
Der diskrete unendliche Fall
Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz II
Der stetige Fall
f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz III
Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé
Ein Tetraeder wird dreimal geworfen.Auf den 4 Flächen des Tetraeders sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4 aufgetragen. Jede Seite erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.
Die Zufallsvariable X gebe die Differenzzwischen der Summe der Augenzahlen der beiden ersten Würfe und der Augen-zahl des dritten Wurfes an.
Wir groß sind Erwartungswert undVarianz von X?
1
2
3
Die Binomialverteilung
Erwartungswert
Varianz
Die Poisson-Verteilung
Erwartungswert
Varianz
II. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-
lichkeiten
2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte
Wahrscheinlichkeit
3. Zufallsvariablen3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz
3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz
InsekteneierN : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legtM : Anzahl der Eier, die sich entwickelnN - M : Anzahl der Eier, die unentwickeltbleibenAnnahmen
Die Wahrscheinlichkeit, dass dasInsekt genau n Eier legt, beträgt
d. h.
Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit p
Die Eier beeinflussen sich nichtin ihrer Entwicklung
Dann gilt:
1
2
3
Beispiele Poisson-verteilterZufallsvariablen
Anzahl der pro Zeiteinheitabgestrahlten Teilchen eines
radioaktiven Präparats
Anzahl der pro Zeiteinheitan einer Tankstelle
tankenden PKW
Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto
Anzahl der pro Jahr voneiner Versicherung zu
regulierenden Schadensfälle
Anzahl der innerhalbeines Tages
geborenen Kinder
Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr
n : Anzahl der betrachteten Haushalte
Annahmen
Die Wahrscheinlichkeit p, dassein Haushalt zu der Zeit bei Bröseleinkauft, ist bei allen Haushaltengleich
Die Haushalte entscheiden unab-hängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht
Dann gilt:
d. h.
Nun wird die Anzahl n der betrachtetenHaushalte vergrößert.
Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“p hänge dabei so von n ab, dass gilt:
Dann konvergiert die Verteilung von X gegeneine Poisson-Verteilung.Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich:
Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)
(Gaußsche Glockenkurve)
Dichte
Verteilung
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
Der Zentrale Grenzwertsatz
Simulation
unter
http://illusion.fel.tno.nl/erwin/cenlim/cenlim.html
Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y
hat man
