Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis
Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung
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Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung
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Luft 1 Wasser 2
A
A
2 1
sin sin
Ablenkwinkel des einfallenden Strahls
2 Beobachtungswinkel des Regenbogens
2
AOB: 2 , AOP:
n n
Dreieck Dreieck
René Descartes
(1596-1650)
Theorie des Regenbogens: zum Selbststudium
Frage: Wieso erscheint der
Regenbogen gerade unter
einen Winkel von ca. 42° ?
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2 1
1 1 2 2 1
A 2 1
LuftA 1 1
Wasser
AOB: 2 , AOP:
( 2 ) 2
2 4 2
2 4arcsin sin
Dreieck Dreieck
n
n
René Descartes
(1596-1650)
Brechung beim Eintritt
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LuftA 1 1
Wasser
1 1
LuftA
Wasser
2 4arcsin sin
sin arcsin
( ) 2arcsin 4arcsin
n
n
x R x R
nx xx
R n R
x R
René Descartes
(1596-1650)
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LuftA
Wasser
LuftA
Wasser
( ) 2arcsin 4arcsin
(2 ) ( ) 4arcsin 2arcsin
nx xx
R n R
n x xx
n R R
x R
René Descartes
(1596-1650)
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2
x R
max(2 ) 42
Luft
Wasser
(2 ) 4arcsin 2arcsinn x x
n R R
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Analytische Lösung:
Luft
Wasser
Luft
2 22Wasser
Luft Wasser
2 2
2 2Luft Luft
Wasser Wasser
2 2
max Wasser Luft
max max max
( ) 2 4arcsin 2arcsin ,
( ) 1 14 2 0
11
4 1 1
14
3
0.86238 ( )
n xf y y y y
n R
ndf y
dy n yn n y
n ny y
n n
x y R R n n
y x R f y
max(2 ) 0.7420rad 42
Natürlich kommen alle x/R beim Lichteintritt in den Wassertropfen vor, aber die
reflektierte Intensität ist in der Umgebung des Maximums besonders groß!
~
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Zweiter Regenbogen mit entgegen-
gesetzter Farbreihenfolge!
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10
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Beim Hauptregenbogen werden
die Lichtstrahlen einmal reflektiert: Beim sekundären Regenbogen
werden die Lichtstrahlen zweimal
im Wassertropfen reflektiert:
2 2
max Wasser Luft
14
3x R n n
2 2
max Wasser Luft
19
8x R n n
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Optische Abbildungen
Gegenstand
optisches
Gerät
Bild
Von jedem Punkt eines
Gegenstandes gehen
viele Lichtstrahlen in
verschiedene Richtungen
Alle Strahlen, die auf einen
Bildpunkt fallen, müssen
von einem Gegenstands-
punkt ausgegangen sein.
(z.B.
Linse)
Punkt – zu – Punkt - Abbildung
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G
B
h
H
Gegen- stand
Bild
Lochblende
Einfachste Abbildung: Prinzip der Lochkamera
Nach dem Strahlensatz gilt:
h
H
G
B
Ein kleiner Lochdurchmesser lässt nur ein eng begrenztes Strahlen- bündel durch. Dies ergibt zwar eine scharfe Abbildung, andererseits kommt aber nur wenig Licht durch, sodass das Bild sehr dunkel wird. Hier muss ein Kompromiss zwischen Helligkeit und Schärfe gefunden werden.
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Experiment zur Lochkamera
Dia Loch- blende
große Öffnung mittlere Öffnung kleine Öffnung
Herr Knopp
Original
von
Wilhelm
Busch Schirm
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Konstruktion des virtuellen
Spiegelbildes
Spiegel a) Spiegel
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Strahlengang bei einem ebenen
Spiegel
Quelle virtuelles Bild
der Quelle
Q Q
21
Spiegel
2
1
b) Hohlspiegel:
M F
r
s
P
d << r
f
s
s
Parallele Strahlen werden durch einen
Hohlspiegel im Brennpunkt F zu-
sammengeführt.
Hohlspiegel mit Krümmungsradius r.
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Für den Strahlengang erhält man
cos2cos
2
rs
s
r
Man entwickelt nun ( im Bogenmaß)
1wenn2
1
21
cos
1
2
2
Damit erhält man
21
2
2rs
Die Brennweite f des Hohlspiegels
erhält man dann zu
21
2
2rrsrf
und schließlich
21
2
2rf
oder für achsnahe Strahlen, d.h. << 1
2
rf
M F
r
s
P
d << r
f
s
s
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Experiment: Fokussierung von Lichtstrahlen durch einen Hohlspiegel
parallele
Lichtstrahlen
Hohlspiegel Brennpunkt
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r1
n
2
13
d
Kugel-
oberfläche mit Krümmungsradius r1
1
Ein parallel zur Achse auf eine Kugel-
oberfläche treffender Strahl wird um
den Winkel 3 zur Achse hin abge-
lenkt. Aus der Geometrie der Anord-
nung folgen die Relationen:
213
1
1
13211
,sin
,sin
r
d
rd
Nach dem Brechungsgesetz gilt
21 sinsin n
Nun betrachten wir nur achsennahe
Strahlen, also d << r1, d.h. 1 << 1
und 2 << 1. Dann folgt
1
12
1
1
1,
rn
d
nr
d
Damit erhält man
nr
d
nr
d
r
d 11
111
3 (*)
c) Linse (konvex):
Eintrittsseite
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Für den durch die Kugeloberfläche
austretenden Strahl gilt entsprechend
11
2
12 sinsin r
drd
und nach dem Brechungsgesetz:
4113 sinsin n
Daraus folgt für achsennahe Strahlen:
134
4113
)1(
nn
n
Setzt man 3 aus (*) ein, erhält man:
21
21
4
111
11
1
rrnd
r
dn
nr
dn
Der gesamte Ablenkwinkel ist damit:
44tan f
d
21
111
1
rrn
f
Es folgt die Linsenschleiferformel:
r2
n
d F
f
1
13
4
4
Austrittsseite
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Bei dieser Ableitung ist eine dünne Linse
vorausgesetzt worden, bei der sich die trans-
versale Position d des Lichtstrahls in der Linse
kaum ändert. Außerdem gilt die Beziehung nur
für achsennahe Strahlen, d.h. d << r1 , r2 .
Parallele Strahlen werden also in einem Punkt,
dem Brennpunkt F vereinigt, der im Abstand f ,
der Brennweite, von der Linsenfläche liegt.
Mit diesen Eigenschaften des Strahlen-
ganges durch eine dünne Linse können die
Abbildungseigenschaften beliebiger
optischer Systeme ermittelt werden.
12
n
rf
Für eine Linse mit gleichen Kugelflächen auf
beiden Seiten, d.h. r1 = r2 = r, folgt sofort:
dünne Linse
f
f
F
F
Hinweis: bei konvexen Oberflächen ist der
Krümmungsradius positiv, bei konkaven
Oberflächen negativ!
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Beispiel: Fokussierung von Lichtstrahlen durch eine Bikonvexlinse
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f
„virtueller“
Brennpunkt
d) Sphärischer Spiegel
e) Linse (konkav)
F F
f f „virtueller“
Brennpunkt
Die Ursache liegt in der Auffächerung der
Lichtstrahlen an der Oberfläche des
sphärischen Spiegels.
sphärischer
Spiegel
Es gibt auch Zerstreuungssysteme. Das
Spiegelbild an einem sphärischen
Spiegel erscheint beispielsweise
verkleinert.
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Beispiel: Strahlengang am sphärischen Spiegel
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Beispiel: Strahlengang bei einer Bikonkavlinse
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Beispiel: Strahlengang bei einer bikonvexen „Luftlinse“
n = 1
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Beispiel: Strahlengang bei einer bikonkaven „Luftlinse“
n = 1
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Die Abbildungsgesetze
Parallele Strahlen werden hinter einer
konvexen dünnen Linse immer in
einer Ebene mit dem Abstand f
fokussiert, der so genannten
Brennebene. Für Strahlen, die unter
einem beliebigen Winkel zur
optischen Achse eintreffen, gilt
immer:
f
xtan
F
f
Bre
nn
eben
e
x optische Achse
Fokussierung paralleler Strahlen in der
Brennebene:
Hinweis: Diese Beziehung gilt
aber nur für achsennah ein-
fallende Strahlen !
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Zur Abbildung müssen die drei vom Gegenstand G ausgehenden Strahlen wieder in
einem Punkt des Bildes B zusammenlaufen. Ein paralleler Strahl (1) geht hinter der der
Linse durch deren Brennpunkt F. Ein durch den vorderen Brennpunkt F einfallender
Strahl (3) verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Der durch das
Zentrum der Linse laufende Strahl (2) bleibt unbeeinflußt. Mit diesen drei Strahlen
(eigentlich sind schon zwei ausreichend) wird die Abbildung konstruiert.
f f x´ x
G
B
b g
F F
B
G
1
2
3
optische Achse
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f f x´ x
G
B
b g
F F
B
G
1
2
3
optische Achse
Mit dem Strahlensatz für die entsprech-
enden Längen folgt sofort:
1
f
g
f
fg
f
x
b
g
B
G
Daraus ergibt sich:
gfb
gf
g
b
g
111
:1
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f f x´ x
G
B
b g
F F
B
G
1
2
3
optische Achse
Man erhält also sofort die wichtige
Linsengleichung:
bgf
111
Leicht folgt mit dem Strahlensatz
auch noch eine andere Beziehung:
x
f
f
x
B
G
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f f x´ x
G
B
b g
F F
B
G
1
2
3
optische Achse
xxf 2
Daraus folgt direkt die „Newton-
Gleichung“:
Definition der Brechkraft D einer Linse:
1
1 m 1 Dioptrie
1
D Df
dpt
Die Gesamtbrechkraft mehrerer dicht
hintereinander angeordneter dünner
Linsen ist:
n321ges DDDDD
ges 1 2 3 n1 1 1 1 1f f f f f
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Dia Linse
Schirm
Lampe
g b
Das Bild auf dem Schirm,
ist nur scharf, wenn:
bgf
111
Experiment: Versuch zum Linsengesetz
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a) Die Lupe
s0 = deutliche Sehweite, die Entfernung,
unter der man normalerweise Objekte
aus der Nähe betrachtet (25 cm).
Auge
s0
G
Der Winkel, unter dem der Gegenstand G für
das normale Auge erscheint, folgt zu
0
tans
G
Hält man eine Linse zwischen das Auge
und den Gegenstand, dann wird der
Winkel
L
tanf
G
G
fL fL
Verwendung einer Lupe:
Da fL < s0 erhält man die
Vergrößerung der Lupe:
0
L L
tan 25cm
tanLupe
sV
f f
Optische Geräte
Die Vergrößerung eines optischen
Gerätes ist wie folgt definiert:
Sehwinkel mit Gerät
Sehwinkel ohne GerätV
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fobj fobj fok fok
D G
Objektiv Okular
z
Zwischen-
bild
Es gelten folgende Beziehungen
obj
ok obj
tan ,fz D G D
zf z G f
ok obj
tanG D
f f
und weiter:
Die Vergrößerung V berechnen wir wieder
über das Verhältnis der Sehwinkel, also:
0
ok obj
tan
tanMikroskop
D sV
f f
b) Das Mikroskop (Betrachtungen sehr kleiner Objekte aus der Nähe)
Die Vergrößerung ist also umso größer,
je kleiner die Brennweiten von Okular
und Objektiv sind.
0
tanG
s mit
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Okular
fok fok
Objektiv
z
Zwischen-
bild
fobj
Für die Winkel gilt hier:
obj
ok
tan
tan
f
z
f
z
Daraus folgt die Vergrößerung:
obj
ok
tan
tanFernrohr
fV
f
Astronomische Fernrohre sollten daher eine
möglichst große Brennweite des Objektivs
haben.
c) Das astronomische Fernrohr (Betrachten von Objekten in der Ferne)
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fs
z
fok fok
Spiegel
Okular
Es gilt wieder:
oks
tan,tanf
z
f
z
Daraus folgt die Vergrößerung:
s
ok
tan
tanSpiegelteleskop
fV
f
d) Das Spiegelteleskop
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5 m Palomar-Teleskop
Beispiele von Spiegelteleskopen
Universität München
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Anwendung in der Radioastronomie für Radiowellen:
Hohlspiegel
Empfangsantenne
= Okular
Sie liegt im Brenn-
punkt des Hohl-
spiegels.
Das Radioteleskop
Effelsberg
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Nur achsennah einfallende Strahlen werden im Brennpunkt fi fokussiert.
Strahlen, die am Rand einfallen, werden stärker gebrochen und im Punkt
fa gesammelt. Insgesamt werden Strahlen in den ganzen Bereich zwischen
fi und fa fokussiert und nicht nur in einem Brennpunkt.
i
af
f
Abhilfe:
• Ausblenden der Randstrahlen
(Verlust an Lichtstärke)
• angepasster Krümmungsradius
(teuer)
Kurze Einführung in die Linsen- und Abbildungsfehler
a) Aberration
Ursache ist der konstante
Krümmungsradius der Linse
(sphärische Aberration)
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Sphärische Abberation / achsennahe Strahlen
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Sphärische Abberation / achsenferne Strahlen
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Beispiel: Die sphärische Abberation für eine plankonvexe Linse
f
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rot
blauf
f
weißes Licht
Licht unterschiedlicher Wellenlänge wird unterschiedlich stark gebrochen. Da blaues
Licht stärker als rotes gebrochen wird, ist die Brennweite fblau kleiner als frot.
b) Chromatische Aberration
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Chromatische Aberration
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Ausschnitt
(vergrößert) blau
rot