Elektrische Messtechnik - Inhalt Grundlagen Messen von...

1 elektr. Messtechnik ,

Elektrische Messtechnik - Inhalt

1. Grundlagen

• Masseinheiten

• Messfehler

• dynamisches Verhalten

• Struktur von Messeinrichtungen

2. Messen von Strom und Spannung

• elektromechanische Messgeräte

• Oszilloskop

3. Messverstärker

• Operationsverstärker

• Grundschaltungen

4. Sensoren

• Temperaturmessung

• Messung von Magnetfeldstärken

• Messung mechanischer Grössen

• Messung von Licht

• Messung radioaktiver Strahlung

5. Digitale Messtechnik

• Frequenz und Zeitmessung

• digital/analog Umsetzer


6. Rechnergestützte Messdatenerfassung

• Grundstrukturen

• IEC Bus / VME Bus

• Datenübertragung

• Messen mit dem PC

7. Beispiele für Messeinrichtungen

• Maus

• Joystick

• Graphic Tablet

• GPS

• .........


Messtechnik - Literatur

1. E.Schrüfer Elektrische Messtechnik (Hanser)

2. R.Felderhoff Elektrische und Elektronische Messtechnik (Hanser)

3. W.Schmusch Elektronische Messtechnik (Vogel)

4. K.Bergmann Elektrische Messtechnik (Vieweg)

5. R.Lerch Elektrische Messtechnik (Springer)

6. H.Schwetlick PC Messtechnik (Vieweg)

7. H.J.Blank Sensoren am PC (Markt und Technik)


Grundlagen

Messen ist das quantitative Erfassen einer physikalischen Grösse. Dies geschieht durch den Messvorgang. Dabei wird der Wert X einer Grösse durch eine dimensionslose Zahl x und eine Vergleichsgrösse N angegeben:

X xN=

Messvorgang:

Messeinrichtungen enthalten:

• Messgeräte

• Verstärker

• Wandler

• Netzgeräte

Messwerte können dargestellt und erfasst werden mittels:

• Zeiger und Skala

• Ziffern

• Schreiber

• Drucker

MesseinrichtungMesswert

Prozess Regelung

MessgrösseProzess


• Rechnererfassung

Begriffe

Messgrösse: die physikalische Grösse, deren Wert erfasst

werden soll

Anzeige: das, was an einem Messgerät abgelesen wird, z.B. die Position eines Zeigers oder ein Zahlenwert

Anzeigebereich: der Bereich in dem die Messwerte liegen können

Messwert: aus der Anzeige ermittelter Wert der Messgrösse, bestehend aus Zahlenwert und Einheit.

Messergebnis: Ergebnis der Auswertung einer Messung bzw Messreihe.

Messeinrichtung: Alles, was man zum Messen braucht. (Sensoren, Wandler, Verstärker, Rechner, ....)

Messprinzip: der zur Messung benutzte physikalische Effekt

Empfindlichkeit: das Verhältnis der am Messgerät beobachteten Anzeigeänderung ∆xa zu der sie verursachenden Änderung der Messgrösse ∆xe

E = ∆∆∆∆xa /∆∆∆∆xe


Messverfahren

direktes Verfahren: der gesuchte Messwert wird unmittelbar mit einem Bezugswert derselben Messgrösse verglichen.

Bsp: Balkenwaage. Sie vergleicht Gewichte direkt miteinander

indirekte Verfahren: die Messgrösse wird auf andere Grössen zurückgeführt und aus deren Wert über eine Beziehung ermittelt:

Bsp: Quecksilber Barometer

p g h= ρ

g: Schwerebeschleunigung

ρ: Dichte

h: Höhe der Quecksilbersäule

Die Messwertangabe kann mittels Ziffern erfolgen (digital) oder mittels eines Zeigerstandes (analog).

Eigenschaften:

digital: kein Ablesefehler

wenig störempfindlich

analog: Ablesefehler

rauschempfindlich


Thematik der elektrischen Messtechnik

• Gewinnung eines elektrischen Messignals

• Struktur von Messeinrichtungen

• Eigenschaften von Signalen

• Übertragung und Verarbeitung der Messignale

• Ausgabe und Darstellung der Informationen

• leistungsarmes Erfassen von Messwerten

Die elektrische Messtechnik ist anderen (mechanischen) Verfahren überlegen durch

• hohes Auflölsungsvermögen

• gutes dynamisches Verhalten

• dauernde Messbereitschaft

• bequeme Datenübertragung

• leichte Verarbeitung der Messdaten


Umformung nichtelektrischer in elektrische Grössen

elektrische Grössennicht elektrische Grössen

VerarbeitungMessgrössechemischoptischthermischmechanischmagnetisch

U

i, Q

R,L,C

ϕϕϕϕ

f

verstärkenkompensierenlinearisierenumsetzen

filternspeichernrechnen

Anzeige

321 steuernregeln


Masseinheiten Eine physikalische Grösse ist die messbare Eigenschaft eines Objektes, Zustands oder Vorgangs.

physikalische Grösse = Zahlenwert ∗∗∗∗ Einheit

Internationales Einheitensystem:

1960 Systeme International d'Unites

Basisgrössen: m, kg, s, ...

abgeleitete Grössen: m/s, kg m/s2, .....

Basisgrösse Basiseinheit Länge Masse Zeit

l m t

Meter Kilogramm Sekunde

m kg s

Stromstärke I Ampere A Temperatur T Kelvin K Lichtstärke IL Candela cd Stoffmenge Mol mol

kohärentes Massystem:

Alle aus den Basiseinheiten abgeleitete Einheiten sind mit dem Faktor 1 versehen. z.B.

1 N = 1 kg m/s2

Einheitengleichung: gibt den Zusammenhang zwischen verschiedenen Einheiten an: 1Ws = 1 V A s


Grössengleichung: gibt die Beziehung zwischen physikalischen Grössen an. U = R I


Messfehler Messungen sind immer fehlerhaft. Die Ermittlung und die Angabe des Messfehlers gehört zu jeder Messung, damit aus dem Messergebnis abgeleitete Schlüsse bzw. Entscheidungen auf einer sicheren Grundlage basieren.

Woher kommen Messfehler ?

Hilfsenergie

Umwelt

VerarbeitungMessgerätMessobjekt

Eine Messung bedeutet immer einen Energie(Informations)fluss vom Messobjekt zum Messgerät.

Rückwirkung auf das Messobjekt:

• Belastung bei Strom/Spannungsmessung

• thermische Störung bei Temperaturmessung

Umwelteinflüsse:

• Fremdfelder

• Temperatur

• Feuchte


Die Rückwirkungen der Verarbeitungseinheit auf das Messgerät spielt eine untergeordnete Rolle.

Daraus ergeben sich folgende Schlüsse:

• Messgeräte müssen bestimmungsgemäss benutzt werden

• alle (bekannten) systematischen Einflussgrössen sind zu berücksichtigen. Sie sind nicht vermeidbar, aber in Grösse und Vorzeichen bekannt und damit korrigierbar.

• Messgeräte müssen nicht so genau wie möglich, sondern nur so genau wie nötig sein.

• Die Genauigkeit verschiedener Messgeräte in einem Messaufbau sollte zueinander passen.


Messfehler Als Messfehler ∆x bezeichnet man den Unterschied zwischen dem gemessenen Wert x und dem 'wahren' Wert xw.

∆x x xw= − (absolut)

∆xx

x xwx

=−

(relativ)

Messfehler werden in zwei Grundtypen eingeteilt:

systematische Fehler:

• bedingt durch den Aufbau

• immer gleich, reproduzierbar

• korrigierbar

zufällige Fehler:

• nicht vorhersagbar

• die Messwerte streuen bei wiederholter Messung in Betrag und Vorzeichen

• Behandlung über statistische Methoden

Manchmal wird noch nach statischen und dynamischen Fehlern unterschieden. Im statischen Zustand ist das System eingeschwungen, es gibt keine zeitlichen Änderungen mehr. Im dynamischen Fall treten zeitabhängige Änderungen auf, z.B. Veränderungen des Frequenzganges oder Verformungen des zeitlichen Signalverlaufs.


Fortpflanzung systematischer Fehler Wenn eine Grösse y nicht direkt gemessen wird, aber über die gemessenen Grössen xi durch eine Funktion

( )y f x x xn= 1 2, , ,L

ermittelt werden kann, dann muss aus den fehlerbehafteten Messungen xi mit dem Fehler ∆xi , der Fehler ∆y von y ermittelt werden. Die Einzelfehler ∆xi pflanzen sich zum Fehler ∆y fort.

( ) ( )∆

∆ ∆ ∆

y y ywf x x x x xn xn f x x xn

= −

= + + + −1 1 2 2 1 2, , , , , ,L L

Der Ausdruck wird ausgewertet, indem man y in eine Taylorreihe entwickelt. Mit der Annahme, dass die ∆xi klein gegen xi sind, können höhere Ordnungen in ∆xi vernachlässigt werden. Der Fehler ∆y wird dann durch

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

y fx

x fx

x fxn

xn

fxi

xiin

für xi xi

= + + +

==∑ <<

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

11

22

1

L

approximiert.


Zufällige Fehler

Wiederholte Messungen xi ein und derselben Grösse x ergeben immer verschiedene Resultate, die Messwerte streuen. Sie streuen aber nicht willkürlich. Unter der Annahme , dass unendlich viele voneinander unabhängige, rein zufällige Einflussgrössen wirksam sind und genügend Einzelmessungen vorliegen, beobachtet man eine Normal- oder Gaussverteilung der Messwerte.

Die Abweichungen sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert:

• positive und negative Abweichungen treten gleich häufig auf.

• Mit zunehmender Grösse der Abweichungen nimmt die Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten ab

N

U(mV)

6

4

8

2

4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0


( )( )xi xw

xi xw Minimum

−∑ =

− =∑

0

2


Die Häufigkeit des Auftretens wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) beschrieben. Sie entspricht einer Gauss oder Normalverteilung:

( )p x ex

=− −

1

2

12

2

σ π

µσ

Gaussverteilung:

µ µ+σµ+2σ

µ+3σµ−σµ−2σ

µ−3σ

68.3%

95.5%

99.7%

p(x)

x


Der gesuchte wahre Wert xw ergibt sich als arithmetischer Mittelwert µ (oder Erwartungswert) aller Messwerte.

xw Nxii

n

N= =

=∑

→ ∞µ lim 1

1

Ein Mass für die Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert ist die mittlere quadratische Abweichung oder Standardabweichung σ. (σ2 bezeichnet man als Varianz)

( )σ2 1 2

1= − → ∞

=∑N

xi xw für Ni

N

Die statistische Wahrscheinlichkeit P für das Auftreten eines einzelnen Messwertes in einem Intervall x x x1 2< < wird mittels p(x) wie folgt berechnet:

( )( )

( ) ( )

−−

−=

−=

==

∫∫

∫∫

−−−−

−−

2221

21

21

21

12

0

22

2

12

22

0

2

2

2

1

2

22

1

σµ

σµ

πσπσ

πσ

σµ

σµ

σµ

xerfxerf

dxedxe

dxedxxpP

x xx x

x

x

xx

x


Die Fehlerfunktion erf(w) ist wie folgt definiert:

( )erf w e cwdc mit c x= −∫ = −2 2

0 2πµ

σ

mit der Symmetrieeigenschaft

( ) ( )erf w erf w= − −

kann man sich die statistische Sicherheit P für das Auftreten eines Messwertes xi im Bereich − ≤ − ≤δ µ δx wie folgt berechnen:

( )P erfδ δσ

= ( )2

Die Fehlerfunktion kann nur tabellarisch angegeben werden. Hat man die Standardabweichung σ ermittelt, dann lässt sich aus einer Tabelle der zu einer bestimmten statistischen Sicherheit P gehörende Vertrauensfaktor ermitteln.

δ σ= t

Fehlerwahrscheinlichkeit P bei symmetrischem Intervall − ≤ − ≤δ µ δx :

δ 0.5σ 0.67σ 1.0σ 1.65σ 1.96σ 2.58σ 3.0σ 3.3σ

P[%] 38.3 50 68.3 90 95 99 99.73 99.9

Der zufällige Fehler Fx eines Einzelmesswertes xi liegt dann mit einer statistischen Sicherheit P im Intervall ± tσ

Fxit= ± σ


Die obigen Formeln gelten nur für unendlich viele Messwerte. In der Praxis hat man es aber immer mit endlich vielen zu tun. Wenn man eine Messgrösse nur N mal misst, dann nennt man das eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit der im prinzip unendlich vielen Messungen. Man bildet den Mittelwert wie oben, das Ergebnis

~xN

xii

N=

=∑

11

ist aber dann nur ein Schätzwert für den wahren Wert xw. An Stelle der Standardabweichung σ definiert mann die Schwankung s bzw. die Streuung s2.

( )sN

x xii

N2 2

1

11

=−

−=∑ ~

Interessant ist jetzt die Güte der Schätzwerte. Man muss dazu feststellen, wie nahe der Schätzwert ~x beim wahren Wert xw liegt. Man nimmt dazu aus der Grundgesamtheit N Stichproben mit z.B. jeweils N Einzelmesswerten. Daraus kann man N Schätzwerte ~xi ermitteln. Diese Werte verteilen sich mit einer Schwankung sx~ . Daraus erhält man den gesuchten Vertrauensbereich von ~x .

Mittelwert:

xN

xii

N

==∑

11

~

Schwankung (mit dem Gauss schen Fehlerfortpflanzungsgesetz):

s xx

sxi

ii

N

~ ~=

=∑

∂∂

2

2

1

mit


∂∂

∂∂

xx x N

xNi i

ii

N

~ ~~=

=

=∑

1 11

erhält man

sN N

sx ii

N

~ ==∑

1 1 2

1

Die Einzelschwankungen si streben gegen einen festen Wert s, wenn die Anzahl Messerte N genügend gross ist. Man kann dann zu

sN

sx~ = 1

vereinfachen.

Die vollständige Angabe eines Messergebnisses erfolgt dann in der Form

x x V x tsN

= ± = ±~ ~

Der Vertrauensfaktor ist aber von der Anzahl N der Messungen abhängig. Die entsprechende Fehlerverteilung ist die Student oder t Verteilung, die von der Gaussverteilung abweicht. Die t - Verteilung ist breiter als die Normalverteilung. Für N → ∞gehen aber beide ineinander über. Der Vertrauensfaktor t in Abhängigkeit von P und N ist in Tabellen gegeben.


Fortpflanzung zufälliger Fehler Betrachtet man eine Grösse y die sich aus den Messungen x1 bis xn errechnet:

( )y f x x xn= 1 2, , ,L

Die Grössen x1 bis xn wurden wiederholt gemessen und die Mittelwerte xi und Standardabweichungen si wurden berechnet. Aus den möglichen Kombinationen der x Werte lassen sich viele y Werte errechnen. Diese y Werte bilden eine Verteilung deren Mittelwert y und Standardabweichung σ y gesucht ist.

Der Mittelwert ergibt sich aus den Mittelwerten der gemessenen Grössen zu

( )y f x x xn= 1 2, , ,L

(unendlich viele Messungen !)

Die Standardabweichung (nach der Gauss'schen Fehlerfortpflanzung) zu

σ ∂∂

σyfxi

ii

n=

=∑

22

1


Bei endlicher Anzahl N hat man wieder nur Schätzwerte. So ergibt sich für den Mittelwert von y,

( )~ ~ ,..., ~y f x xn= 1

Für den Schätzwert der Standardabweichung sy erhält man:

syfxi

sii

n=

=∑

∂∂

22

1

Es ist angenommen, dass die Schwankungen si klein sind.


Genauigkeitsklassen bei Messgeräten Für Messgeräte wird vom Hersteller eine Genauigkeitsklasse, d.h. eine garantierte obere Fehlergrenze angegeben. Sie gibt den Betrag der auf den Messbereichsendwert bezogenen maximal möglichen Abweichung ∆x vom wahren Wert in Prozent an:

G xx

FehlangabeMessbereichsendwertend

= ∗ =∆ 100% 100%

Es gibt genormte Geneuigkeitsklassen nach VDE 0410

• Betriebsmessgeräte: 1 1,5 2,5 5,0

• Feinmessgeräte: 0,05 0,1 0,2 0,5

Der entsprechende maximale Fehler beträgt

∆xx

xx

Gend= ±100%

Der Fehler nimmt stark zu, wenn der Messbereich nur im unteren Teil genutzt wird. Der durch die Genauigkeitsklasse gegebene Fehler gilt nur, wenn das Messgerät bestimmungsgemäss benutzt wird.


Kenngrössen von Strom und Spannung Strom und Spannungswerte können sich mit der Zeit ändern. Sie können dann charakterisiert werden:

• durch Zahlenwerte

• durch das Zeitverhalten

• durch die Kurvenform

Sinusspannung

s(t)=Sssin(2ππππt/T+∆∆∆∆T)

Ss Amplitude

Sss Spitze - Spitze Amplitude

T Periode

s(t)

t

∆T

T

Ss Sss


∆T Phase

Pulskenngrössen

10%

90%

Tr Tf

Breite Amplitude

Überschwinger

Unterschwinger

Basislinie

führendeFlanke

folgendeFlanke

t

p(t)

50%


Tr Anstiegszeit

Tf Abfallzeit


'Beliebiges' Zeitverhalten Bei nicht sinusförmigem Zeitverhalten treten Änderungen von Amplitude,Phase und Form auf.Jeder praktisch relevante Kurvenverlauf kann aber mittels Fourireranalyse als eine i.a. unendliche Summe von Sinuskurven dargestellt werden. Die Charakterisierung erfolgt über das Amplitudenspektrum.

Beispiel: Rechteckspannung

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t u t t t t= + + + +

4 13

315

517

7π ω ω ω ω$ sin sin sin sin L

Amplitudenspektrum

1

9f7f5f3ff


Fourierzerlegung eines Rechteckpulses

sin(x) sin(x)+1/3*sin(3x)

sin(x)+1/3*sin(3x)+1/5*sin(5x) sin(x)+1/3*sin(3x)+1/5*sin(5x)+1/7*sin(7x)

Rechteck


Verhalten von Messgeräten

Ein Messgerät kann in seinen messtechnischen Eigenschaften charakterisiert werden durch:

• statisches Verhalten

• dynamisches Verhalten

• Genauigkeit

Statisches Verhalten von Messgeräten

Nach Ablauf aller Ausgleichsvorgänge wird ein stationärer Zustand erreicht, ein Zustand, in welchem kein zeitlichen Veränderungen mehr stattfinden. Dieser Zustand wird durch die Kennlinie beschrieben. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Eingangssignal xe und Ausgangssignal xa , bzw. Reaktion des Messgerätes.

( )ea xfx =

Daraus gewinnt man die Empfindlichkeit E:

[ ][ ]ee

aa

xEinheitdxxEinheitdxE =


Lineare Kennlinien sind vorteilhaft. Sind Kennlinien nichtlinear, dann versucht man häufig sie im sog. Arbeitspunkt zu linearisieren.

Xa

dxa

dxe

Xe

unterdrückterNullpunkt

lebenderNullpunkt


dynamisches Verhalten Ändert sich das Eingangssignal xe(t) mit der Zeit, dann ändert sich i.A. auch das Ausgangssignal xa(t) mit der Zeit. Das Ausgangssignal kann allerdings dem Eingang nicht beliebig schnell folgen. Die Ursachen dafür sind:

• mechanische Reibungs- und Dämpfungsverluste

• Beschleunigung von Massen

• Ladungstransport

• Energiespeicher (Kondensatoren, Induktivitäten)

Das dynamische Verhalten eines elektrischen Systems kann man experimentell ermitteln in dem man eine Spannung bestimmter Form auf den Eingang gibt und das Ausgangssignal analysiert. Oft untersucht man die dynamischen Eigenschaften eines Systems durch Analyse eines entsprechenden Modells. Das System wird dabei modelliert durch eine Zusammenschaltung (Ersatzschaltung) von:

• Widerstände

• Kondensatoren

• Induktivitäten

• Strom- und Spannungsquellen


typisches Zeitverhalten Die Systemtheorie hat gezeigt, dass man das dynamische Verhalten von Systemen aus der Reaktion auf wenige, typische Signale allgemein berechnen kann.

xe(t) xa(t)

Sinusfunktion

Sinusantwort

Frequenzgang

Phasengang

Amplitudengang

Sprungfunktion

Sprungantwort

Übergangsfunktion

Impulsfunktion

Impulsantwort

Übergangsfunktion

Xe(t) Xa(t)M


Dynamisches Verhalten von Tiefpass und Hochpass Tiefpass und Hochpass bestehen in der einfachsten Form aus je einem ohmschen Widerstand und einem Kondensator.

Bsp.: Tiefpass

C

R

Ohmscher Widerstand und Kapazitäten finden sich überall auch wenn sie nicht explizit als Bauteile vorhanden sind.

• Leitungen, Drähte haben ohmschen Widerstand

• Leitungen gegeneinander, gegen Potentialflächen bilden Kapazitäten

• Kabelverbindungen

Signale werden dadurch verändert. Um sinnvolle Messergebnisse zu erhalten, müssen diese Einflüsse kompensiert, oder zumindest analysiert werden, um Korrekturen vornehmen zu können.


Tiefpass

i

UR C

R

UaUe

Maschengleichung:

0=++− aRe UUU

Spannung über dem Kondensator:

dtdURCRiU

dtdUCi a

Ra === ;

Damit hat man eine Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung:

eaa UURCU =+ &

Zeitkonstante: τ = RC

mit zeitlich konstanter Eingangsspannung Ue ist die Lösung der Dgl.:

( )

−=

−τt

ea eUtU 1


Sprungantwort Eingangssignal:

0;0;0

0 >=≤=

tUUtU

e

e

Lösung:

( )

−=

−τt

a eUtU 10

t/T

Ua

U0

0.63U0

1 2 3 4 5

Nach einer Zeitkonstante sind am Ausgang 63% des Endwertes erreicht.

Übergangsfunktion:

( ) ( )

−==

−τt

a eU

tUth 10


Impulsantwort Eingangssignal:

00

0

00

00

>=

≤<=

≤=

tU

TtTAU

tU

e

e

e

Lösung der Dgl:

( )

( )

( )

( )ττ

ττ

τ

τ

00

0

1

1

01

00

0

0

0

00

TtT

tT

t

a

t

a

a

eeTA

eeTA

TtKetU

TteTAtU

ttU

−−−

−

−

−

−=

−=

>=

≤<

−=

≤=


t

Ua

A

T0

Lässt man die Impulsbreite T0 gegen 0 gehen, erhält man die Impulsantwort.

( ) ττ

τ

τ

tT

T

t

aTeA

TeAetU

−

→

−

→=−=

000

1limlim0

00

Gewichtsfunktion:

( ) τ

τt

eA

Utg a −== 1

Zwischen den Funktionen h(t) und g(t) besteht die Beziehung:

( ) ( )dt

tdhtg =


Sinusantwort Eingangssignal:

( ) tieeee euututu ωω ˆ);sin(ˆ ==

Ansatz:

( ) )(ˆ);sin(ˆ ϕωϕω +=+= tiaaaa euututu

Einsetzen in die Dgl:

( ) ea

eaa

uRCiuuuRCuˆ1ˆ =+

=+ω

&

Frequenzgang:

22

22

22

)(1Im

)(11Re

)(11

11

ˆˆ

)(

RCRCG

RCG

RCRCi

RCiuuiG

e

a

ωω

ω

ωω

ωω

+−=

+=

+−=

+==

Amplitudengang:

22 )(11)(

RCiG

ωω

+=

Phasengang:

( ) ( )RCGG ωωϕ 11 tan

ReImtan −− −=

=



Grenzfrequenz fg :

RCf

fRC

g

g

π

πωω

21

2;1

=

==

Bei der Grenzfrequenz ist das Amplitudenverhältnis auf 71.02

1 =

abgefallen.

Amplitudengang:

ua/ue

1

0.1

0.1 1 ω/ωg

Grenzfrequenz

Phasengang:


-90o

ϕ

00

0.11 ω/ωg

Grenzfrequenz

-45o

Zur Vermeidung von Amplituden und Phasenfehlern sollte die zu messende Frequenz etwa 10 mal kleiner sein als die Grenzfrequenz des Messgerätes.

Ein Tiefpass wirkt als Filter. Er lässt tiefe Frequenzen bevorzugt passieren und unterdrückt hohe Frequenzen.

Ein Tiefpass hat integrierende Wirkung:

( ) dttuRC

u

uubzw

ea

aag

∫≈

<<>>

1

. &ωω

Bemerkung:

Die Berechnung des Amplituden und Frequenzgangs kann man sich erleichtern, wenn man den Tiefpass als komplexen Spannungsteiler betrachtet und die entsprechenden Impedanzen für die Kapazität benutzt:


i

UR C

R

UaUe

( )RCi

CiR

CiuuiG

e

a

ωω

ωω+

=+

==1

11

1

Beziehungen zwischen den Antwortfunktionen

Die verschiedenen Antwortfunktionen sind nicht unabhängig. Für unendlich kurze Impulse (δ Funktion) gilt:

( ) ( )

( ) ( ) dtetgiG

thdtdtg

ti∫∞+

∞−

−=

=

ωω

Die Impulsantwort ist die Ableitung der Sprungantwort.

Der Frequenzgang ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort.

Das Frequenzverhalten des Tiefpasses ist in der Impulsantwort enthalten. Die FT zeigt, dass im Impuls alle Frequenzen enthalten sind.


Hochpass

i

UR C

R

UaUe

Frequenzgang:

( )RCi

RCi

CiR

RuuiG

e

a

ωω

ω

ω+

=+

==11

Amplitudengang:

( )22 )(1 RC

RCuuiG

e

a

ωωω

+==

Grenzfälle:

ea

a

uugrossuklein

≈→≈→

ωω 0

Differentialgleichung:

eaa uRCuRCu && =+

Differenzierer:

eaaa uRCuuu && =→>>

Date post:	10-Mar-2020
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