Reinhard Hölzl

Dynamische Geometrie-Software als integraler Bestandteil des Lern- und Lehrarrangements

Zusammenfassung. Es werden Ergebnisse zweier Unterrichtsprojekte referiert. in denen dynamische Geometrie-Software (DGS) einen integralen Bestandteil des Lehr- und Lernar­rangements darstellte. Die Projekte sollten Anhaltspunkte und Entscheidungshilfen liefern: Anhaltspunkte für eine didaktische Beurteilung des dynamischen Zeichenblattes und Ent­scheidungshilfen zu seiner Verwendung.

Abstract. Some results of two research projects are reported in which dynamic geometry software played a key role in the pedagogical setting. The projects aimed at both clues for a didactical appraisal ofthe dynamic sheet and criteria for its use.

1 Einleitung

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Der vorliegende Text referiert Ergebnisse zweier Unterrichtsprojekte, in denen dynami­sche Geometrie-Software (DGS) ein integraler Bestandteil des Lehr- und Lemarrange­ments war l

. Er ist aus der Fortführung und Weiterentwicklung meiner empirischen Arbeit zum Geometrielernen mit dem Computer hervorgegangen. Anders als in den früheren Unterrichtsversuchen, in denen ich Schülerpaare außerhalb des regulären Unterrichts beim eigenständigen Lösen geometrischer Problemaufgaben mit Cabri-geometre beob­achtet habe (Hölzl 1994), wurde nunmehr auch die Lehrperson in das Versuchsdesign mit aufgenommen.

Der ursprüngliche Verzicht auf eine Lehrerin oder einen Lehrer hatte methodische Gründe: Das Interesse an subjektiven Schülervorstellungen stand im Vordergrund, und deren Rekonstruktion schien einfacher, wenn keine pädagogische Agenda vorgegeben

war, die das Schülerhandeln beeinflusst hätte. Unbeschadet dieser forschungsmethodi­schen Vorgehensweise führten empirische Befunde - vor allem aus der Logo-Forschung - deutlich vor Augen, warum das Vorhandensein oder vielmehr das Nicht­Vorhandensein einer lehrergeführten Interventionspraxis ein ausschlaggebender Faktor für den Lernerfolg ist.

Weiterführende Studien zum Einsatz des Computers sollten daher dem Rechnung tra­gen. Dies umso mehr, als viele internationale Publikationen auf diesem Gebiet sich unter

I Mein besonderer Dank gilt all denen, die mich dabei begleitet haben: Frau Prof. Dr. Lisa Hefen­dehl-Hebeker für ihre jahrelange Förderung und Unterstützung, Herrn Prof. Dr. Rudolf vom Hofe für seinen fachlichen Rat und seine Hilfsbereitschaft, Herrn Dr. Wolfgang Schneider für seine verlässliche Kooperation. Mein Dank geht ferner an Siemens-Nixdorf, Augsburg, deren reichhalti­ge Computerausstattung das zweite der bei den Unterrichtsprojekte im Klassenzimmer ermöglichte, sowie an die Universität Augsburg für materielle und personelle Unterstützung im Rahmen ihrer Typ-ß-Forschllngsförderllng.

(JMD 21 (2000) H. 2, S. 79-100)

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einem generischen Titel wie The Impact 0/ Computer Technology on the Mathematics Classroom zusammenfassen ließen. Der Schwerpunkt liegt dabei meist auf der "technology" und ihren vielversprechenden Möglichkeiten, der "impact" ist dagegen weniger deutlich zu erkennen und der "classroom" (verstanden als Unterricht) schimmert bisweilen nur noch blass hindurch.

Die qualitativen Unterrichtsstudien, auf denen dieser Text basiert, verstehen sich als empirischer Beitrag mathematikdidaktischer Forschung zum Computereinsatz im Geo­metrieunterricht. Sie verbinden gegenstandsbezogene und interpretative Analysen zu einem methodischen Instrument, das die subjektive Schüler- und Unterrichts logik nach­zeichnet, ohne dabei auf die Verwendung zuhandener stoffdidaktischer Kategorien zu verzichten.

Im Folgenden beschränke ich mich aus Platzgründen auf konzeptionelle Aspekte der Unterrichtsprojekte und auf die aus der Durchfuhrung gewonnenen Aufschlüsse. Für die dabei wesentlich zu kurz gekommenen Unterrichtsbeispiele und Fallstudien sei auf die Originalarbeit verwiesen (Hölzl 1999).

2 Konzeptionen

Ausgehend von einigen empirischen Befunden zum Mathematiklernen mit dem Compu­ter (2.1) sowie lerntheoretischen Grundannahmen wird eine didaktische Konzeption des Computereinsatzes vorgestellt, wie sie den Unterrichtsprojekten zugrunde lag (2.2). Die damit verbundenen Forschungsziele (2.3) und das dabei gewählte methodische Vorgehen werden im Anschluss erläutert (2.4).

2.1 Lernen mit dem Computer

Blickt man auf die bisherige internationale Entwicklung zum computergestützten Ma­thematikunterricht, so lassen sich genügend empirische Befunde finden, um darin eine Geschichte enttäuschter Hoffnungen zu sehen. Aus dieser Sicht konnte der Computer, die mit ihm verbundenen Verheißungen auf wirkungsvolles selbstbestimmtes Lernen bislang nicht erfullen2

. Insbesondere in den SO-er Jahren bündelte sich die Kritik in der Debatte um Logo (Graumann et al. 1996, 195 ff.).

Obwohl Programmiersprache verstand Logo sich als ein allgemeines mathematikna­hes Medium, das von Anfang an in den Dienst einer umfassenderen Bildungsidee gestellt wurde, die in Umrissen in Mindstorms (Papert 1980) erkennbar war.

Die Ausfuhrungen darin schienen unmissverständlich: Der Computer wurde als Mittel ausgewiesen, mit dem es gelinge, effektivere Lernumgebungen, sogenannte microworlds, zu schaffen, in denen Lernen ohne organisierte Belehrung stattfinden könne. Jenem nicht verschulten und vielfaltigeren Lernen ähnlich, das außerhalb des Klassenzimmers statt­finde. Exploration einer computergestützten Mikrowelt statt Instruktion in einer Schul-

2 ,.Computer" als allgemeines Produkt der Computertechnologie verstanden, ähnlich wie sich von dem Taschenrechner reden lässt. Allerdings ignoriert dieser bequeme, zuweilen aber fahrlässige Sprachgebrauch Qualität und Wirkung der jeweils beteiligten Software.

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welt, so ließe sich Paperts Bildungsprogramm rhetorisch zuspitzen - und wie sich in der nachfolgenden Entwicklung zeigte, entsprach dem auch die gängigste Lesart.

Dagegen waren die etwa drei Jahre nach Erscheinen von Mindstorms aufkommenden empirische Befunde zum Lernen mit Logo bzw. dem Lernen in Mikrowelten ernüchternd. Insbesondere die kognitionsorientierte Forschungen von Pea & Kurland (1984) und Pea, Kurland & Hawkins (1987) hatten eine weitreichende psychologische Wirkung und brachten in der Folgezeit ein wiederkehrendes Grundthema: 'Logo did not deliver what it promised'. Aus Sicht der Pea-Kurland-Studien und darauf verweisender Rezipienten konnte Logo - pars pro toto für den Computer - die ins Leben gerufenen Erwartungen nicht annähernd erfüllen. Doch waren diese Erwartungen, soweit allgemeiner Natur, nicht überzogen und in Fällen des speziell gewählten Untersuchungs-Designs sogar wenig realistisch?

Die Ausgangslage schien jedenfalls klar zu sein: Die Befürworter des Computers hatten die Messlatte für die Qualität des mit ihm erreichbaren Lernens hoch gehängt und damit die empirischen Kontrolleure auf den Plan gerufen. We see it at its extreme when teachers talk excitedly about how Logo can be used in 'stand alone' centres within classrooms schrieben Pea & Kurland (1984, 4), und gaben dadurch indirekt zu erkennen, dass ein Motiv ihrer Untersuchungen in der Überprüfung euphorisch klingender Über­zeugungen lag. Aber eine extreme Auslegung von Mindstorms, nach der Lehrende ent­behrlich seien, weil das favorisierte "piagetsche Lernen" ohne Belehren auskomme, kann sich nicht mit vollem Recht auf Papert (1980, 31 f.) berufen und genau dort setzt auch die Kritik derjenigen ein, für die die empirischen Befunde zu Logo weniger etwas über die Versprechungen aussagten, die Logo nicht halten konnte, als vielmehr etwas über die Erwartungen der Forscher, mit denen sie an Logo herangegangen waren.

Die detaillierteste, aber späte Kritik der Pea-Kurland-Studien stammte von Hoyles & Noss (1996, 173 ff.). Sie widmeten ihr einen eigenen, 14-seitigen Abschnitt, in dem sowohl das Design der Untersuchungen als auch deren methodische Durchführung und Ergebnisse bemängelt wurden. Aus Sicht des englischen Forscherpaares waren die Pea­Kurland-Studien im Kern fehlgeleitet, weil sie ein Transfer-Verhalten der Probanden untersuchten, dessen Auftreten bei dem gewählten Lernarrangement kaum zu erwarten war.

In der Tat erweist sich der Ansatz der Studien (ironischerweise) nahezu als techno­kratisch, wenn man aus mehr als zehn Jahren Abstand darauf zurückblicken kann: Offen­bar wurde Logo nach einem treatment model verwendet, der Computer in eine bestehen­de Lernsituation von außen eingeführt - injiziert gewissermaßen - und als deren einzi­ge Veränderung für eine bestimmte Zeit verwendet. Eine bewusst gestaltete, vorgängige Reorganisation der Lernumgebung fand im Falle der Pea-Kurland-Studien soweit er­kennbar nicht statt. Insofern sind die negativen Befunde, die aus den Studien hervorgin­gen, auch schwierig zu interpretieren, denn sie zeigen zuallererst, was der Experimenta­tor nicht erreichen und daher auch nicht beobachten konnte (vgl. die Gegenkritik in Pa­

pert 1987).

Es ist für den Zweck dieses Abschnittes nicht notwendig, die Diskussion um Logo nach Kritik und Gegenkritik weiter zu verfolgen, denn aus der älteren zu Logo bestehen-

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den Forschungspraxis lassen sich in Verbindung mit neueren lerntheoretischen Einsich­ten bereits wichtige Aufschlüsse über die didaktische Beurteilung des Computers ent­nehmen.

2.2 Der Computer als integraler Bestandteil des Lehr- und Lernarrangements

Sämtliche der mir bekannten empirische Befunde aus der Logo-Forschung weisen auf den überragenden Einfluss der ganzen Lernumgebung hin, in der der Computer eine technische Komponente neben anderen ist (Hoyles & Noss 1987) - als solche bedeut­sam, aber in ihren Möglichkeiten beschränkt:

• Im Lichte kognitionspsychologischer Theorien, die die Bereichspezifität des Wis­senserwerbs betonen (z. B. Bauersfeld 1983) ist erklärlich,

- dass es keine offensichtliche Verbindung zwischen den Begriffen aus einer Microworld und den ihnen entsprechenden mathematischen Begriffen gibt, die es zu erlernen gilt;

- dass auch vermeintlich situationsübergreifende Regeln und allgemeine kognitive Strategien an die Inhalte ihres Erwerbs gebunden sind und eigene subjektive Er­fahrungsbereiche begründen.

• Vom Standpunkt bestimmter erkenntnistheoretischer Positionen aus, insbesondere des radikalen Konstruktivismus (von Glasersfeld 1987, 1995) oder des symbolischen Interaktionismus (Mead 1968) sind Wissenserwerb und Erkenntnis grundsätzlich subjektabhängig und sozial vermittelt. Demnach gibt es keinen Transport stabiler In­formationen zwischen Individuen im Sinne eines Sender-Empfanger-Modells; Wissen kann in der menschlichen Kommunikation nicht einfach ausgetauscht werden, viel­mehr wird in komplizierten Interpretations- und Anpassungsprozessen ein gemeinsam geteiltes Wissen hergestellt (Bauersfeld 1998).

Das Ernstnehmen konstruktivistischer bzw. interaktionistischer Erkenntnispositionen in der Mathematikdidaktik ftihrt somit zu einem Verständnis von Lehren und Lernen, das Lernende nicht mehr als Objekte der Belehrung, sondern als Subjekte ihres Lernens auffasst. Auf neurobiologischen Grundlagen beruhend (Varela & Maturana 1987), er­kenntnistheoretische Einsichten nutzend (von Foerster 1985), kann der Konstruktivismus untermauern, was schon von Vertretern der Reformpädagogik Anfang des Jahrhunderts gefordert wurde: "Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet (Kühne I zit. n. Wittmann 1997,45).

Soll daher der Einsatz des Computers den in der Vergangenheit gemachten Erfahrun­gen Rechnung tragen, soll er Teil einer Lernumgebung sein, die eine konstruktivistische Ausrichtung besitzt, so wird darauf zu achten sein,

dass Lehren

• sich nicht auf die Wirksamkeit direkter Vermittlung von Wissen und Fertigkeiten verlassen kann, sondern Spielräume schafft, "in der das subjektive Konstruieren sich angeregt und gefördert findet, sowie zu Auseinandersetzung, Anpassung und Kor­rektur gefordert wird" (Bauersfeld 1998, 2);

Dynamische Geometrie-Software 83

dass Lernen

• in selbstständig-aktiver Auseinandersetzung mit den Lerninhalten stattfindet (Wittmann 1997); daher

• sich in Situationen vollzieht, in denen sich der Lerner die Aufgabe zu eigen macht, Autonomie in der Bearbeitung empfindet und sich sozial eingebunden erlebt;

• Lernen, ob entdeckend, ob in einer Microworld, organisiert werden muss und aus der Form der Organisation nicht schon auf gesteigerte Aufmerksamkeit, erhöhte kognitive Aktivität, Motivation und subjektiv empfundene Autonomie geschlossen werden kann; deshalb

• Lernen in offenen oder geöffneten Lernumgebungen auch und gerade auf HilfesteI­lungen angewiesen ist, und der Lernerfolg mit von der Qualität der vorab zu leisten­den Strukturierung abhängt;

Für die praktische Umsetzung deutet sich dabei schon an, dass es kein pädagogisches Entweder-Oder gibt: Der Unterricht in einer solchermaßen verstandenen computerge­stützten Lernumgebung wird nicht in Partner- oder Einzelarbeit vor dem Bildschirm aufgelöst, noch kommt dem Computer die alleinige Rolle eines Veranschaulichungsmit­tels im lehrerzentrierten Frontalunterricht zu. Eine Balance der Arbeitsformen wird anzu­streben sein, deren jeweilige Wahl von den Zwecken und Erfordernissen des Lernens bestimmt ist:

• Partnerarbeit beispielsweise sollte ausreichend Gelegenheit geben, sich mit anregen­den Aufgabensituationen auseinanderzusetzen. Sie ermöglicht den Lernenden, die Auseinandersetzung mit dem jeweiligen Thema zunächst mit ihren Mitteln und Mög­lichkeiten zu fuhren und verschafft in günstigen Fällen den !:ehrenden Einblick in die Darstellungs-, Lösungs- und Begründungs-Gewohnheiten - in das, was schon geläu­fig ist, und das, was noch nicht aktiv genutzt wird.

• Sammelphasen zur Darstellung und Diskussion der versuchten Ansätze im Klassen­verband stellen die individuellen Lösungen und Begründungen der Lernenden auf die Probe: "Sie haben damit aber auch teil an der Aushandlung des als geteilt-geltenden Wissens sowie an Vergleichen mit den Lösungswegen und Begründungen anderer. Der Lehrer funktioniert gewissermaßen als Agent der erwünschten Kultur, und zwar der mathematischen wie gleichermaßen der sozial-interaktiven Dimension" (Bauersfeld 1998, 20).

Ausgehend von den hier dargestellten Grundannahmen zum Lernen und Lehren, lässt sich abschließend das Konzept eines Computereinsatzes umreißen, wie es den Unter­richtsprojekten zugrunde lag. Das Konzept fasst den Computer als integralen Bestandteil des Lehr- und Lernarrangements auf und sieht eine so verstandene Nutzung neben einer konstruktivistischen Grundausrichtung im obigen Sinne um folgende softwarespezifische, unterrichtsorganisatorische und mediendidaktische Merkmale und Ausprägungen er­gänzt:

• soJtwarespezijisch: Es wird ein offenes System verwendet, das den jeweiligen Inhal­ten und Zielen des Unterrichts flexibel angepasst werden kann (Biehler, Rach &

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Winkelmann 1988). Eine DGS beispielsweise erfullt diese Anforderung durch die Möglichkeit der Makrokonstruktion und der benutzerdefinierten Veränderung der Menüstruktur.

• unterrichtsorganisatorisch: Der Computer ist rur Lehrende wie fur Lernende um­standslos verrugbar. In den Projekten dadurch errullt, dass im einen Fall der Unter­richt stets im Fachsaal stattfand, im anderen Fall sogar stets im Klassenzimmer, da ein Satz Notebooks verrugbar war.

• mediendidaktisch: Der Unterricht nutzt die interaktiven Möglichkeiten des Mediums und enthält längere Explorationsphasen fur die Lernenden.

Dies unterscheidet ihn von konventionellen Einsatzformen mit den mehr oder weniger stark ausgeprägten Merkmalen:

• Verwendung geschlossener Systeme, d. h. solche, die stark inhaltsspezijisch angelegt und beispielsweise nicht durch Prozeduren ode!' Makros erweiterbar sind;

• der Einsatz erfolgt sporadisch, stoßweise und von außen. Es besteht die Gefahr, dass die räumliche und zeitliche Abtrennung des Computers vom alltäglichen Mathema­tiklernen seine Verwendung zu isolierten Ereignissen macht, die den Unterricht punktuell anreichern mögen, jedoch kaum Eintluss auf längerfristiges Lehren und Lernen besitzen.

• die Möglichkeiten der Mediums werden dem vorhandenen Unterrichtsstil angepasst. Aus fachdidaktischer Sicht problematische Unterrichtsstrukturen - etwa zu eng­schrittiges, kurztaktiges Vorgehen - werden technologisch eher perpetuiert statt verbessert (Jungwirth 1990, Krummheuer 1989).

Dem Konzept des Computereinsatzes entsprechend lag in den Unterrichtsprojekten der methodische Schwerpunkt deshalb auf einem tlüssigen Wechsel zwischen Partnerarbeit und lehrerzentriertem Unrerricht, zwischen Erkundungs- und Sammelphasen, Analyse­und Retlexionsphasen, wobei insbesondere dem Eingehen auf heuristische Aspekte ma­thematischer Problemlösungen größeres Gewicht als üblich beigemessen wurde.

2.3 Forschungsgegenstand und Forschungsziel

Gegenstand der Forschung war der vom Verfasser konzipierte und selbst durchgeruhrte Geometrieunterricht in der gymnasialen Sekundarstufe I mit dynamischer Geometrie­Software als integralem Bestandteil des Lehr- und Lernarrangements (2.2). Realisiert wurde der Unterricht in zwei verschiedenen Projekten an einem Augsburger Gymnasium rur Mädchen: einem

• wahlfreien Erweiterungskurs rur die 10. - 12. Jahrgangsstufe;

• regulären Ptlichtunterricht in der 7. und 8. Jahrgangsstufe.

Was die notwendigen Hardware-Voraussetzungen betraf, so konnte im Falle des Erweite­rungskurses auf die Geräteausstattung des Informatik-Fachsaales der Schule zurückge­griffen werden, wo auch der Unterricht durchgängig stattfand. Dagegen stand im Falle des regulären Ptlichtunterrichts ein Satz portabler Rechner zur Verrugung, sodass ein Wechsel des Klassenzimmers zu keinem Zeitpunkt notwendig war. Der verwendeten

Dynamische Geometrie-Software 85

Software entsprach Cabri-geometre im Erweiterungskurs und Thales im Pflichtunter­richt.

Das Erkenntnisinteresse der Studien war in dreierlei Hinsicht aus geformt:

1. fachlich-kognitiv: Wie prägen sich mathematische Denk- und Lernprozesse bei Schülerinnen und Schülern in der konzipierten Lernumgebung aus?

2. fachlich-epistemologisch: Wie beeinflussen Spezifika dieser Lernumgebung das Wis­sen der Schülerinnen und Schüler, und zwar in Bezug auf begriffliches Verständnis und heuristisches Vorgehen?

3. unterrichtskonzeptionell: Welche Aufschlüsse ergeben sich hinsichtlich der Passung zwischen Medium und Inhalt bzw. der Passung zwischen Medium und Unterrichts­form?

Die Wahl des Erkenntnisinteresses stand in unmittelbarem Zusammenhang mit eigenen Sachanalysen zur dynamischen Geometrie und Aufschlüssen aus der fachdidaktischen Diskussion (Kapitel I der Originalarbeit). Beispielsweise wird das Produkt des Zeich­nens auf der Ebene der klassischen Zeichenwerkzeuge zum bearbeitbaren Objekt auf der Ebene einer DGS. Die Werkzeuge der Software unterstützen insofern die kognitive Re­organisation bisheriger Tätigkeiten. Inwieweit sie diese in konkreten Lernprozessen auch anstoßen, ist Gegenstand einer Fallstudie (in Abschnitt 4.1 der Originalarbeit), die dem fachlich-kognitiven Erkenntnisinteresse diente.

Das fachlich-epistemologische Erkenntnisinteresse trägt der computational transpo­sition Rechnung, also dem Umstand, dass das zu erschließende Wissensgebiet unter dem Einfluss des Mediums eine Veränderung erfahrt (Balacheff 1993). Es schließt daher an frühere Untersuchungen an (Hölzl 1994) und fuhrt diese unter Bedingungen fort, die mehr dem alltäglichen schulischen Lernen entsprechen. Konkret wurde ein Unterrichts­verlauf analysiert, in dem der Lehrer mit der 7. Klasse die Erhaltungseigenschaften zwei­er geometrischer Abbildungen mit Hilfe einer DGS untersucht (s. 3.1 u. 3.2). Ziel der Analyse war, welche Bedeutung der Abbildungsbegriff fur die Schülerinnen gewinnt und in welchem Verhältnis dabei der GestaItcharakter einer geometrischen Figur zur Auffas­sung als Punktmenge steht.

Das unterrichtskonzeptionelle Erkenntnisinteresse untersucht exemplarisch, wie Re­sultate aus den Sachanalysen in konstruktive Unterrichtsbeispiele umgesetzt werden können, in denen der Einsatz des dynamischen Zeichenblattes dem Inhalt wie auch den Wegen seiner Erschließung angemessen ist. Insbesondere das Projekt im Erweiterungs­kurs war von diesem Erkenntnisinteresse getragen, während im Projekt in der 7. und 8. Jahrgangsstufe das kognitive und epistemologische Erkenntnisinteresse im Vordergrund stand (s. a. die Einleitung zu Beginn des dritten Abschnitts).

Der forschungslogische Charakter der Untersuchungen war phänomenologisch aus­gerichtet und nicht auf die Entwicklung theoretischer Modelle zur Erklärung der beob­achteten Phänomene. Obwohl die Untersuchung keinen globalen Anspruch auf Theorie­bildung erhob, sollten lokal deskriptive Theorieelemente entwickelt werden, die eine

Perspektive fur

I. eine Beurteilung der didaktischen Bedeutung des dynamischen Zeichenblattes bieten;

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2. Entscheidungshilfen zu seiner Verwendung im Geometrieunterricht der Sekundarstu­fe geben.

Die Aufschlüsse aus den Untersuchungen, die im vorliegenden Text referiert werden, betreffen nur den ersten Punkt.

2.4 Methodisches Vorgehen

Das methodische Vorgehen orientierte sich an Verfahren der interpretativen Unterrichts­. forschung. Kernstück ist dabei die methodisch kontrollierte Analyse von Verschriftli­chungen (Transkripten), die aus dem audio- und videodokumentierten Unterrichtsge­schehen hervorgehen.

"Methodisch kontrollierte Analyse" hieß im Falle der eigenen Unterrichtsstudien

I. Transkription, zeitliche und inhaltliche Gliederung bzw. Beschreibung der computer­gestützten Unterrichtsstunden.

2. Auswahl von transkribierten Unterrichtseinheiten oder Episoden unter einem pro­jektspezifischen Erkenntnisinteresse (s. 2.3).

3. Interpretative Analyse durch Rekonstruktion des Unterrichts geschehens auf sach-, subjekt- und interaktionsbezogener Ebene.

4. Rückgriff auf verwandte verschriftlichte und/oder videodokumentierte Episoden sowie Unterrichtsprotokolle.

Für weitergehende methodische Fragestellungen wird auf die mittlerweile zahlreichen Erscheinungen zur interpretativen Unterrichtsforschung in der Mathematik-Didaktik verwiesen, insbesondere auf die Musteranalyse in Bauersfeld, Krurrunheuer & Voigt (1986), die Überblick gebenden Bände von Maier & Voigt (1991, 1994) sowie die theo­retisch wie methodisch grundlegende Arbeit von Voigt (1984).

Der methodologische Charakter der Untersuchungen lässt sich folgendermaßen cha­rakterisieren:

I. Interpretative Fallstudien bildeten im Falle der angestrebten Untersuchungsziele ein Mittel zur Erkenntnisgewinnung, um Bedingungen und Besonderheiten von Lehr­und Lernprozessen aufzuspüren, die einer ausschließlich fachlich-methodischen Be­trachtungsweise entgehen würden.

Insbesondere mathematikdidaktische Publikationen zum Computereinsatz im Mathe­matikunterricht konzentrieren sich oftmals nur auf die sachlogische Seite der jeweili­gen Software, zeigen deren Stärken oder Schwächen auf und weisen auf mögliche Anwendungen und Implikationen fiir den Mathematikunterricht hin, sie lassen jedoch das komplexe Zusammenwirken von Schüler, Lehrer und dem Medium Computer au­ßer Acht.

2. Die Fallstudien verbinden gegenstandsbezogene und interpretative Analysen zu einem methodischen Instrument, das - deskriptiv verfahrend - die subjektive Schüler- oder Unterrichtslogik in einer computergestützten Lernumgebung nach­zeichnet, ohne dabei auf die kontrollierte Verwendung vorjindlicher stoff didaktischer (präskriptiver) Kategorien zu verzichten.

Dynamische Geometrie-Software 87

Mittels interpretativer Verfahren kann die ältere Tradition der stoffdidaktischen Analyse, die themenbezogene Entscheidungshilfen gibt, wie der entsprechende Unter­richt sein soll, empirisch damit abgeglichen werden, wie der Unterricht konkret ver­lief und welche Faktoren dabei auf die Entwicklung des Themas Einfluss ausübten. Umgekehrt tragen interpretative Fallstudien, sofern sie allein beschreiben, wie Unter­richt ist, nicht dem Bedürfnis nach konstruktiven - und meist auch sachspezifischen - Veränderungsvorschlägen genügend Rechnung.

3. Die Unterrichtsstudien sollten Aufschlüsse ergeben, als Grundlagenfür eine didakti­sche Beurteilung dienen und Entscheidungshilfen zur Verwendung dynamischer Geometrie-Software im Unterricht geben können. Sie suchen nicht die Verallgemei­nerung empirischer Erkenntnisse.

Obwohl interpretative Studien zum Teil den Anspruch erheben, das Allgemeine im Be­sonderen erkennen zu wollen, können sie die Typizität der von ihnen aufgeworfenen Deutungshypothesen in der Regel nicht in einem statistischen Sinne sichern - große Stichprobenumfange sind bei dieser forschungsmethodischen Vorgehensweise praktisch ausgeschlossen. Dieser Schwierigkeit lässt sich ansatzweise begegnen, indem sich einmal entwickelte Deutungshypothesen an weiteren oder künftigen Unterrichtsepisoden mit ähnlichen Kontextbedingungen bewähren müssen. Erfahrungen aus der fachdidaktischen Diskussion lehren allerdings, dass sich damit der Einwand kaum entkräften lässt, den Kritiker interpretativer Verfahren des Öfteren erheben: Ob nämlich mit der jeweils aus­gewählten Unterrichtsepisode nicht "eine Menge vom Maß null" getroffen wurde.

Hervorgehoben seien daher zwei Punkte, die fiir den Verfasser in seinem eigenen Umgang mit interpretativen Studien und der sich dabei einstellenden inneren Kontrover­se zwischen Repräsentativität und Singularität bedeutsam waren:

1. Die Messlatte interpretativer Studien sollte nicht ihre Beweiskraft, sondern ihre Aus­sagekraft sein.

2. Interpretative Studien sind konsensual ausgerichtet. Das jeweilige Gegenüber des Interpreten entscheidet, wie überzeugend seine Studie, wie aufschlussreich sein Er­gebnis ist.

Letzteres hat bereits Voigt (1984) hervorgehoben; m. E. eröffnen seine Ausfiihrungen ein angemessenes Verständnis des Generalisierungsproblems. Im Zusammenhang mit den von ihm rekonstruierten Interaktionsmustern, die den fragend-entwickelnden Unterricht bis hin zu seiner Ritualisierung bestimmen können, schreibt Voigt zur Frage der Reprä­sentativität seiner Analysen:

"Trotzdem wird hinsichtlich einer Generalisierung das Vertrauen in den Leser gelegt. Er entscheidet letztlich, ob ein an einzelnen Episoden illustriertes Interaktionsmuster ihm sinnvoll erscheint. Die beschriebene Interpretation einer einzelnen Episode beweist nichts; die Verwendung der Sprache der Beteiligten in den Interpretationen, der theoreti­sche Unterbau, die Bezüge auf andere wissenschaftliche Arbeiten oder die Darstellung der Interpretationsmaximen sollen nur den Prozeß der Generalisierung 'im Kop!, des Lesers unterstützen. ( ... ) Die Intersubjektivität der Erkenntnisse dieser Arbeit wird also nicht po­stuliert, sondern kann sich erst in einem fiktiven Dialog mit dem Leser herstellen lassen, .. :' (ibid., 115; m. Hervorh.).

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3 Aufschlüsse aus den Unterrichtsstudien

Im Folgenden werden die Unterrichtsprojekte unter didaktischen Gesichtspunkten cha­rakterisiert und zusammengefasst (3.1). Die Darstellung stützt sich dabei auf die Fallstu­dien der Originalarbeit, auf die im Folgenden In der Zitierform "FS <Abschnittsnummer>" verwiesen werden.

Bei den Fallstudien handelt es sich um detaillierte Analysen ausgewählter Unterrichtsein­heiten oder Episoden. So wurden im Falle des Unterrichtsprojektes in der 7. und 8. Jahr­gangsstufe sechs Fallstudien entwickelt, je drei zu Phasen von Partnerarbeit und lehrer­zentriertem Unterrichtsgespräch. Die ersten beiden Studien sind vor dem curricularen Hintergrund der Abbildungsgeometrie entstanden und behandeln im einen Fall epistemo­logische Aspekte computermediatisierter Geometrie (FS 4.1), im anderen Fall kognitive Aspekte (FS 4.2). In FS 4.3 werden heuristische Verwendungsweisen anhand eines kon­kreten Problemlöseprozesses eingehender studiert, während FS 4.4 nochmals ein episte­mologische Perspektive im Hinblick auf den Zugmodus einnimmt. Den Abschluss bilden die unterrichtsmethodisch orientierten Analysen FS 4.5, und 4.6. Stets wird so vorgegan­gen, dass zunächst Theoriegrundlagen zu spezifischen Aspekten der jeweiligen Untersu­chungsziele expliziert, das bisherige Unterrichtsgeschehen als Bezugsrahmen verankert sowie das Sachgerüst und die Intentionen des Lehrers dargestellt werden. Danach folgt die Interpretation der ausgewählten Episoden. Eine abschließende Reflexion, in der zum Teil verfeinerte Gesichtspunkte zur Sprache kommen, rundet die Analyse ab.

In die Darstellung fließen aber auch ergänzende Beobachtungen aus den Videodoku­menten und den Unterrichtsprotokollen ein, soweit sie in Zusammenhang mit den Auf­schlüssen aus den Fallstudien stehen.

Betrachtungen zu abbildungsgeometrischen Verwendungsweisen einer DGS (3.2) fUhren zu einer Beschreibung unterschiedlicher Verständnisebenen des Zugmodus (3.3) und münden schließlich in einen curricular-unterrichtspraktischen Ausblick (3.4).

3.1 Zusammenfassung der Unterrichtsprojekte

Die Rahmenbedingungen, unter denen das Unterrichtsprojekt in der 7. und 8. Jahr­gangsstufe durchgefuhrt wurde, entsprachen den üblichen landesspezifischen curricula­ren und schulischen Gegebenheiten fur Gymnasien:

• Das Projekt war längerfristig angelegt (63 Std., davon 27 Std. mit Computereinsatz).

• Die Lemergruppe besaß Klassenstärke (27 - 31) und eine durchschnittliche Vertei­lung der Leistungsstärke, nimmt man die Zensuren als Maß.

• Stoffliche Vorgaben resultierten aus dem Lehrplan, die zu erfullen, gegenüber der Schuladministration zugesichert wurde.

• Die Prüfungsdichte war in der 7. Jahrgangsstufe mit funf Klausuren hoch und redu-zierte sich erst in der nachfolgenden Jahrgangsstufe auf vier.

Die Rahmenbedingungen, unter denen das Unterrichtsprojekt im Erweiterungskurs durchgefuhrt wurde, entsprachen Sonderbedingungen:

• Das Projekt war zeitlich wie thematisch eng begrenzt (16 Std., Inversion am Kreis).

Dynamische Geometrie-Software 89

• Die Lemergruppe war klein (15), fortgeschritten (10. - 12. Jgst.) und leistungsstark.

• Es bestanden keinerlei Lehrplan- oder Prüfun~szwänge.

In beiden Projekten wurde der Computer als integraler Bestandteil des Lern- und Lehr­arrangements betrachtet - als technische Komponente einer Lernumgebung mit kon­struktivistischer Ausrichtung (2.2). Eigenständige Partnerarbeit und lehrerzentriertes Unterrichtsgespräch wechselten einander ab, entsprechend Erkundungs- und Sammelpha­sen, Analyse- und Reflexionsabschnitte. Dynamik auf dem Zeichenblatt wurde nicht als Vorteil per se aufgefasst, sondern als Chance, die Erschließung des Stoffgebietes in ei­nem heuristischen Kontext betreiben zu können.

Die Schülerinnen der 7. Jahrgangsstufe beherrschten nach sechs Einfiihrungsstunden das verwendete Programm für die weiteren Unterrichtszwecke in technischer Hinsicht zufriedenstellend, doch ließ sich im weiteren Verlauf beobachten - häufiger als im Erweiterungskurs und weitaus stärker ausgeprägt -, dass in Lernsituationen, die die Schülerinnen in inhaltlicher Hinsicht forderten, das Verständnis der Software nicht dem entsprach, das sie in programmtechnischen Phasen (z. B. Systemübungen mit bekannten Inhalten) zeigten3 Offenbar entstand für die Schülerinnen eine doppelte Beanspruchung durch Inhalt und Software, die sich durch mehr Übung im Umgang mit dem Programm zwar mildern, letztlich aber nicht vollständig beheben ließ. Während die Entwicklung programmtechnischer Fertigkeiten weitgehend kumulativ verlief, wies die Verständni­sentwicklung, insbesondere zum Zugmodus, bis zuletzt immer wieder Brüche auf.

Beispiel. Aufschlussreich war in dieser Hinsicht die erste Wiederholungsphase zu Thales in der 8. Jahrgangsstufe: Obwohl fast vier Monate vergangen waren, seit die Schüle­rinnen zuletzt mit dem Programm gearbeitet hatten, erwiesen sich die Kenntnisse sei­ner Bedienung als durchaus stabil. Als den Schülerinnen dagegen die Aufgabe gestellt wurde, eine Raute zu konstruieren, wurde dies überraschend durch Längenmessung bewerkstelligt4

. Der anschließende Test durch Bewegen verfehlte die intendierte Kor­rekturwirkung, da das Ergebnis auf dem Bildschirm nicht (mehr) im Widerstreit mit dem Aufgabenerfordernis gesehen wurde: Da bleibt 's dann halt nicht eine Raute. Hier zeigten sich die Grenzen der klassischen lernpsychologischen Denkfigur -Fortschritt im Verständnis infolge kognitiven Konflikts -: [It] only makes sense when there is amismatch between the results of the pupil 's action and his/her in­tended and personal goal (Hoyles & Noss 1992, 452).

In lehrerzentrierten Unterrichtsphasen sollten die Möglichkeiten des dynamischen Zei­chenblattes genutzt werden, um geometrische Begriffe intensiver zu behandeln. Dabei wurde der curriculare Rahmen an einigen Stellen auch gezielt erweitert, etwa im Falle der Achsenspiegelung, deren Erhaltungseigenschaften durch einen Vergleich mit denen der Schräg- bzw. Stauchspiegelung herausgestrichen werden sollten.

) Das betraf insbesondere den Unterschied zwischen (Basis- )Punkten, Objekt-Punkten und

Schnittpunkten. 4 Überraschend deshalb, weil das Schuljahr thematisch mit der Viereckslehre, insbesondere den Viereckskonstruktionen begann. Das Programm Thales wurde dazu allerdings nicht verwendet.

90 R. Hölzl

Beispiel. Die Schrägspiegelung steht in naher Verwandtschaft zur Achsenspiegelung und stellt flir den Unterricht in einer 7. Klasse keine zu-sätzlichen konstruktiven Hürden auf. Punkt und Bild-punkt haben bei der Schrägspiegelung zwar noch glei­chen Abstand von der Achse, allerdings schneidet ihre Verbindungsstrecke die Achse im Allgemeinen nicht mehr im rechten Winkel (Abb. I). Im Gegensatz zur Achsenspiegelung ist die Schrägspiegelung nicht mehr

P'

längen-, winkel- und kreistreu. Im Unterricht wurde das schräggespiegelte Bild eines Kreises durch das Zusam-menspiel von Zugmodus und DGS-Ortslinie erzeugt. Während ein Punkt P entlang des Kreises gezogen wird, zeichnet die Ortslinie des Bildpunktes pi das Bild des

Abb.l

Kreises nach (Abb. 2). Es handelt sich um eine Ellipse und nicht, wie auf Schülerseite erwartet, um einen Kreis (kl

Zusammenfassend lässt sich zu den lehrerzentrierten computergestützten Phasen Folgen­des feststellen: Das dynamische Zeichenblatt bot dem Lehrer weitreichende Möglichkei­ten,

'a'

,p,

Abb.2

-Q-

'H'

<k'

\

• geometrische Inhalte zu erarbeiten und zu veran­schaulichen;

• Problemsituationen in einen heuristischen Kontext zu betten;

• flexibel auf Fragen, Vor­schläge und Vermutungen der Schülerinnen zu reagie­ren.

HQütung zur ACJ1SR Diesem erweiterten und vom

Lehrer genutzten Handlungs­spektrum stand indes oftmals ein erhöhter Erklärungsbedarf

gegenüber. Denn die Sachlogik der Software ist nicht deckungsgleich mit der Sachlogik des Inhalts, sodass sich im Unterricht zum Teil softwarespezifische und inhaltsspezifi­sche Sachverhalte vermischten und gegebenenfalls im Wechsel zu erläutern waren (FS 4.1).

Beispiel. Als im Unterricht die Erhaltungseigenschaften der Schrägspiegelung qualitativ untersucht werden sollten, warf der Lehrer anhand einer DGS-Figur die Frage auf, wie die gegebene Gerade g schräg gespiegelt werden könnte (Abb. 3, links). Von Schülerinnenseite aus wurde vorgeschlagen, zwei Punkte (P und Q) auf der Geraden zu erzeugen, diese anschließend schräg zu spiegeln und die Bildpunkte (P' und Q') wieder durch eine Gerade zu verbinden.

Dynamische Geometrie-Software 91

It(R)

"-,.~ / ,/

,~~ / / 'Q~~

~ (P'J~

(Q') -

~ " ......... __ ..

Abb.3

Im weiteren Verlauf problematisierte der Lehrer dieses Vorgehen, weil es die Gera­dentreue der Schrägspiegelung bereits unterstelle. Der von ihm schließlich geforderte Test, einen dritten Punkt Rauf g zu erzeugen und seinen Bildpunkt R' zu beobachten (Abb. 3, rechts), während Rentlang g gezogen wird, stieß bei den Schülerinnen auf Unverständnis: Des hätte man mit den beiden anderen Punkten doch genauso ma­chen können. Dieser Einwand bringt den Unterricht in eine kritische Phase, denn mit einem Schlag macht sich die verborgene Objekte-Hierarchie einer DGS im Argu­mentationsprozess bemerkbar. Vom logischen Standpunkt aus ist der Schülereinwand zirkulär (F' und Q' werden sich immer auf der eingezeichneten Geraden bewegen, weil diese ja durch sie definiert ist) - de facto allerdings ist die Gerade auf der lin­ken Hälfte des Bildschirms die gesuchte Bildgerade. Bewegt man einen der Urbild­punkte (P oder Q), so wird auf dem Bildschirm der Eindruck vermittelt, als bewege sich der entsprechende Bildpunkt auf der Geraden. Blickt man genau hin, so sieht man, dass die Gerade leicht flackert, was daher rührt, dass sie in schneller Abfolge neu berechnet und eingezeichnet wird.

Eine derart gestiegene unterrichtliche Komplexität aber, so hat sich vor allem im Projekt der 7. und 8. Jahrgangsstufe gezeigt, ist umso anfälliger für ritualisierte Schüler-Lehrer­Handlungsmuster, die den Unterricht vor seiner latenten Brüchigkeit durch Handlungs­verengung und Kurzschrittigkeit bewahren sollen. Die gestiegene Komplexität der Un­terrichtssituation, basierend auf den erweiterten Möglichkeiten durch die Software, wurde vom Lehrer teilweise dadurch reduziert, dass er stärker auf das intendierte Ziel hinsteuerte. Zur Sachlogik von Inhalt und Software tritt die Interaktionslogik hinzu und droht erstere zu ersetzen. In dieser Hinsicht erhöhten sich die Anforderungen an die Unterrichtsbeteiligten teils beträchtlich (FS 4.1,4.4).

Den möglichen unerwünschten Auswirkungen eines kurztaktigen, kleinschrittigen Unterrichtsverlaufes sollte u. a. dadurch begegnet werden, dass in der 7. und 8. Jahr­gangsstufe mehr als ein Drittel und im Erweiterungskurs mehr als die Hälfte des compu­tergestützten Unterrichts in Partnerarbeit angeboten wurde. Den Schülerinnen wurde dadurch mehr Eigenständigkeit im Untersuchen geometrischer Sachverhalte eingeräumt (aber auch abverlangt). Die inhaltliche Ausrichtung solcher Unterrichtsphasen galt der

• Festigung oder Vertiefung eines vorher behandelten Themas;

• Einarbeitung in ein neues Thema;

92 R. Hölzl

• Auseinandersetzung mit geometrischen Problemen.

Eine bedeutsame Rolle fiel dabei den zugehörigen Arbeitsblättern zu, die den Schüler­paaren die angeleitete Erkundung des jeweiligen Inhalts ermöglichen sollte. Charakteri­stisch für die Anlage der Arbeitsblätter im Unterrichtsprojekt der 7. und 8. Jahrgangsstu­fe waren enggefuhrtere Handlungsanweisungen zu Beginn, um auch leistungsschwäche­ren Schülerinnen einen Einstieg zu ermöglichen, während offenere oder fortgeschrittene­re Fragestellungen meist am Ende oder als Zusatz fur leistungs stärkere Schülerinnen erschienen.

Als Folge dieses Unterrichtsentwurfes ergab sich eine stärkere Binnendifferenzierung innerhalb der Klasse, als dies im herkömmlichen lehrerzentrierten Unterricht der Fall ist. Die Unterschiede in der Bearbeitung der Arbeitsblätter waren zum Teil gravierend, so­dass die nachfolgenden lehrerzentrierten Sammelphasen, die den Inhalt der Arbeitsblätter aufgriffen und zum Thema des weiterfuhrenden Unterrichts machten, auf qualitativ sehr unterschiedlichen Ergebnissen bei den Schülerinnen aufzubauen hatte. Vergleichbare Anforderungen an die steuernde Funktion der Arbeitsblätter stellten sich im Erweite­rungskurs nicht: Zum einen war die Teilnehmergruppe, was die ohnehin schon entwik­kelte Leistungsstärke betraf, homogener; zum anderen stand der Lehrer wegen der gerin­geren Schülerzahl schneller zur Verfugung, sobald Fragen während des Bearbei­tungsverlaufes auftraten.

In gelungenen Fällen gemeinschaftlicher Arbeit erwies sich der Computer als neuar­tiges Erfahrungsfeld im Umgang mit Mathematik, das facettenreiche Lernprozesse initi­ieren und unterstützen half (vom Hofe 1999). Die sich bietenden experimentellen Mög­lichkeiten wurden dabei auf erstaunliche Art und Weise selbstständig genutzt und gaben den Lernprozessen eine eigene Erkenntnisqualität (FS 4.3). Allerdings: Solch ertragrei­che Fälle blieben in der 7. und 8. Jahrgangsstufe Ausnahmen. Die zentrale Schwierigkeit in den Phasen selbstständiger Partnerarbeit war, den Schülerinnen eine mathematische Perspektive auf das dynamische Zeichenblatt zu eröffnen (FS 4.2).

3.2 DGS und Abbildungen

Thema im ersten Unterrichtsprojekt, dem Erweiterungskurs, war die Invervison am Kreis. Es handelt sich dabei um eine Abbildung, bei der ein Punkt P und ein Kreis k vorgegeben sind und der Bildpunkt P' so zu wählen ist, dass QPT ein rechtwinkliges Dreieck bildet und pt symmetrisch zu Q bzgl. der Senkrechten MTliegt (Abb. 4)5.

5 Diese Konstruktion des inversen Punktes hat gegenüber der üblicheren mittels zweier Kreistan­genten den Vorteil, dass sie direkt in ein DGS-Makro übersetzt werden kann, da keine Fallunter­scheidung notwendig ist, ob P außerhalb von k liegt oder innerhalb.

Dynamische Geometrie-Software

Die Inversion, auch Kreisspiegelung genannt, ist gewöhnlich kein Gegenstand des Geometrieunterrichts der Sekundarstu­fe. Dabei gibt es m. E. durchaus gute Grün­de, curriculare wie didaktische, die das Thema rur den Geometrieunterricht loh­nenswert erscheinen lassen:

• Die elementargeometrische Behandlung der Inversion führt grundlegende In­halte, die über die Sekundarstufe ver-streut liegen, zu einem reizvollen Pro­

93

T

p

Abb.4

blemkreis zusammen. Da vielfach Bezüge zu anderen, teilweise länger zurückliegen­den Begriffen und Verfahren hergestellt und vertieft werden können, bietet die Inver­sion eine wertvolle Chance zur vertikalen Stoffwiederholung. Insofern erscheint die Inversion geeignet, die fachinterne Kohärenz der Unterrichtsstoffe zu stärken - ein Aspekt, der in den Befunden der TIMSS-Studie mehrfach betont wurde (Baumert et al. 1997, 114).

• In stoffdidaktischer Hinsicht erscheint die Inversion deshalb interessant, weil sie ein Gegenbeispiel zur Geraden- und Teilverhältnistreue der lehrplanüblichen Kongruenz­und Ähnlichkeitsabbildungen darstellt. Ihr Abbildungsverhalten bietet daher den scharfen Kontrast, der manche Begriffsbildung eines abbildungsgeometrisch ausge­richteten Unterrichts erst bedeutsam erscheinen lässt.

Ein wesentlicher Grund dafür, dass die Inversion im Geometrieunterricht nicht behandelt wird, ist vermutlich der konstruktive Aufwand, der mit ihrer Abbildungsvorschrift ver­bunden ist: Inverse Bilder von Geraden, Kreisen oder anderen geometrischen Figuren sind nur mühsam herzustellen, wenn sie Punkt rur Punkt konstruiert werden müssen. Erst die Analyse des Abbildungsverhaltens gibt hilfreiche Aufschlüsse, wie das Bild einer Geraden oder eines Kreises in wenigen Schritten gewonnen werden kann. Dagegen redu­ziert dynamische Geometrie-Software den zeichnerischen Aufwand bei der Inversion erheblich und ermöglicht so einen Zugang, bei dem der experimentellen Erkundung die­ser Abbildung eine große Bedeutung zukommen kann.

Beispielsweise erhält man folgendermaßen Aufschlüsse über das inverse Bild einer Geraden g (Abb. 5): Ein Punkt P, der auf der Geraden erzeugt wurde, wird am Kreis k gespiegelt. Sein Bildpunkt P' bewegt sich entsprechend der Konstruktionsvorschrift mit P, wenn dieser auf g variiert wird. Da P die Gerade durchlaufen kann, wird P' das inver­se Bild dieser Geraden durchlaufen. Die Bahn von pi lässt sich aber - als sogenannte Orts linie - aufzeichnen. Als Ergebnis erhalten wir augenscheinlich einen Kreisbogen. Könnten wir P auf längeren Abschnitten von g variieren würde sich der Bogen immer mehr schließen, ohne aber M jemals zu erreichen. Der Grund ist aus der Abbildungsglei-

- - 2 chung der Inversion ( MP x MP' = r ) zu ersehen: Je kleiner der Abstand von pi zu M sein soll, desto größer muss der Abstand von P zu M werden, im Grenzfall unendlich groß.

94

P'

M

....... ... • .. .

R. Hölzl

In diesem abbildungsgeometrischen Kon­text ließ sich nun - projektübergreifend -Folgendes beobachten: Das Erzeugen von Abbildern mit Hilfe des Zugmodus und Orts­linien erwies sich fur die Schülerinnen gewis­sermaßen als Umgang mit einem mechani­schen Modell: Der gezogene Punkt tastet gewissermaßen das abzubildende Objekt ab, während der zugeordnete abhängige Punkt die Bildspur aufzeichnet. Diese Analogie tritt ja anhand realistischer Modelle wie beispiels-weise des Storchschnabels oder der Inversors

Abb.5 besonders gut zutage. Die Interpretation der

rtslinien als Abbilder lag dagegen weitaus we 'ger nahe, wie sich auch bei den älteren

Schülerinnen des Erweiterungskurses zeigte (FS in 3.2).

Denn eine beide Unterrichtsprojekte übergreifende Beobachtung war, dass sich flir die Schülerinnen vor allem das Verhalten der Ortslinien als auffällig und weiter beach­tenswert erwies: So als ginge es ihnen auch um deren Mechanik, wie sie entstehen, weI­che Lagen sie erreichen, ob sie schnell oder langsam erzeugt werden. Nicht den Erhal­tungseigenschaften einer Abbildung galt die Aufinerksarnkeit, sondern den Verhaltensei­genschaften der Abbilder (FS in 3.4, FS 4.1).

Im obigen Beispiel der Inversion einer Geraden lässt dieser Befund folgendermaßen verdeutlichen: Bei der Erkundung des inversen Bildes der Geraden war flir das gerade beobachtete Fallstudienpaar Maria und Michaela zu keinem Zeitpunkt bemerkenswert, dass die Gerade scheinbar auf einen Kreis abgebildet wird. Auffällig und weiter beden­kenswert war stattdessen

• dass die Ortslinie, genauer: der sie erzeugende Punkt P', mal schneller und langsa­mer läuft (ein kinematischer Aspekt). So scheint der Bildpunkt P' um so stärker abzu­bremsen, je weiter sich P auf den rechten Rand des Bildschirms zubewegt. Umge­kehrt zeichnet der Bildpunkt die Ortslinie rasch ein, wenn P sich in die andere Rich­tung bewegt, insbesondere, wenn der Punkt das Innere des Inversionskreises durch­quert. Dann nämlich bewegt sich P' so schnell, dass die Ortslinie nur noch punktiert erscheint.

• oder: dass der Aufbau der Orts linie asymmetrisch vonstatten geht: Der rechten, unte­ren Hälfte der Geraden - bezogen auf die Bildschirmmitte - entspricht ein wesent­lich kürzeres Stück der Ortslinie als der linken, oberen Hälfte.

• und schließlich: dass sich die Ortslinie einfach nicht im Zentrum schließen lässt

Zudem waren bei den Schülerinnen der 7. Jahrgangsstufe die Vorstellungen über Erhal­tungseigenschaften einer Abbildung noch ganz und gar von der Dominanz der Gestalt­eindrücke bestimmt: Figuren werden als Ganzes abgebildet, auch wenn zeichnerisches Handeln es erforderlich macht, einzelne, charakteristische Punkte abzubilden. Diese

Dynamische Geometrie-Software 95

Vorstellung brachte mit sich, dass beispielsweise ein Kreis und ein dazugehöriger Punkt in ihren Bildern nicht mehr zusammenfallen müssen, sollte dies nur auf Kosten der Formtreue möglich sein (FS 4.1).

Beispiel. Im Falle der Schrägspiegelung (3.1) erwarteten die Schülerinnen, dass ein Kreis wieder auf einen Kreis abge­bildet würde (k' in Abb. 6). Der vom Lehrer vorgeführte Test, der zeigte, dass das Bild eines Kreispunktes P nicht auf dem vermeintlichen Bildkreis lag, ver­fehlte seine intendierte Korrekturwir-kung. Die Schülerin Ruth deutete stell­vertretend für die Klasse das Ergebnis folgendermaßen: Dann isser [P1 halt nicht kreisgetreu.

3.3 Verständnisebenen des Zugmodus

• (M' )

(~ \" ,!, )

'", / ',.~

Abb.6

Die Entwicklung eines sachadäquaten Verständnisses des Zugmodus kristallisierte sich vor allem im Unterrichtsprojekt der 7. und 8. Jahrgangsstufe immer stärker als eine ent­scheidende Lehr- und Lernaufgabe heraus.

Aus einer fachlich entwickelten Sichtweise kann die Bedeutung des Zugmodus fol­gendermaßen charakterisiert werden: Eine geometrische Zeichnung ist die materielle Repräsention einer idealen geometrischen Figur, die allein durch ihr Relationengefiige ausgezeichnet ist (Strässer 1991). Der Zugmodus ist ein dynamisches Werkzeug, um verschiedene zeichnerische Darstellungen ein und derselben Figur in quasi stetigen Übergängen herzustellen. Da sein Zugriff auf eine Zeichnung erfolgt, seine Wirkung aber durch die Figur bestimmt ist, resultiert eine vermittelnde Funktion des Zugmodus. Sie kann in zweierlei Hinsicht in Anspruch genommen werden:

1. der Zugmodus als Testmodus;

2. der Zugmodus als Suchmodus.

Im ersten Fall wird eine Konstruktion auf gewünschte Eigenschaften hin überprüft, im zweiten Fall sollen neue Eigenschaften erkannt werden. Die Anforderungen an Lernende, die aus der jeweiligen Verwendungsweise resultieren, sind unterschiedlich: Im ersten Fall besteht eine Erwartung an das Verhalten der Zeichnung, bevor sie im Zugmodus variiert wird. Sie kann erfiillt werden oder nicht. Dagegen muss im zweiten Fall das sich verän­dernde Aussehen der Zeichnung unter noch unbekannten Gesichtspunkten beurteilt wer­den: Es sind die Invarianten der Figur zu erkennen, also das, was sich in der Zeichnung gerade nicht verändert (FS 4.2).

Die Analysen (FS 4.5, 4.6) und ergänzenden Beobachtungen aus beiden Unterrichts­projekten weisen daraufhin, dass ein derart entwickeltes Verständnis für die Bedeutung des Zugmodus keine kurzfristige Angelegenheit ist, sondern sich in wechselseitiger Ab­hängigkeit mit dem Erfassen geometrischer Situationen entwickelt und dabei durch un-

96 R. Hölzl

terschiedliche Vorstellungsebenen und Fähigkeitsniveaus gekennzeichnet ist. Folgende drei sich überlappende Niveaus scheinen mir zur Beschreibung von Schülervorstellungen in diesem Zusammenhang hilfreich:

• Auf einer elementaren Stufe sehen Lernende im Zugmodus eine Art Zeichenwerk­zeug, mit dem sich das Aussehen einer DGS-Figur auch nachträglich noch verändern lässt. Die Zeichnung auf dem Bildschirm ähnelt der Darstellung eines mechanischen Modells: Zwischen ihren Teilen, bestehen (je nach Konstruktion) starre oder elasti­sche Verbindungen, die ihr Verhalten beim Bewegen bzw. Ziehen - auch dies meta­phorische Anleihen aus der Mechanik - bestimmen. Desweiteren besteht ein softwa­respezijisches Verständnis für den Begriff der Konstruktion: Ein Quadrat nach Au­genmaß gezeichnet, bleibt kein Quadrat, wenn es im Zugmodus variiert wird, statt­dessen ist das Quadrat mit den geeigneten Befehlen der Software herzustellen. Ziel einer Konstruktionsaufgabe ist es daher, durch den richtigen Gebrauch der Software­werkzeuge eine zugrobuste Bildschirmfigur herzustellen. Das so umrissene Verständ­nis des Zugmodus bzw. einer DGS-Figur ließ sich vor allem in der Phase der Pro­gramm-Einführung rekonstruieren. In der 7. Jahrgangsstufe erstreckte sich diese Vor­stellungsebene zum Teil noch weit über die Einfiihrungsphase hinaus - bei schwä­cheren Schülerinnen sogar bis in die 8. Jahrgangsstufe.

• Auf einer mittleren Stufe verwenden Lernende den Zugmodus auch ohne äußeren Anstoß, um in einer problemhaltigen geometrischen Situation eine Vermutung über­prüfen - und nicht nur, um die Richtigkeit einer Konstruktion abschließend zu te­sten. Der Zugmodus wird als Testmodus begriffen, ohne dass jedoch sein Gebrauch in dieser Hinsicht schon gefestigt wäre. Auch das oben erwähnte mechanische Mo­dell entfaltet noch seine Wirkung, etwa dann, wenn der Zugmodus vorrangig verwen­det wird, um die Bewegungseigenschaften einer Zeichnung zu studieren und nicht die relationalen Eigenschaften einer Figur (FS 4.5). Untersucht wird also, welche Teile einer Zeichnung sich bewegen/ziehen lassen und ob die Bewegung eingeschränkt ist. Vergleichbares ließ sich auch bei älteren Schülerinnen feststellen, angedeutet in 3.2, wo das beobachtete Paar das Verhalten einer Orts linie unter kinematischen Gesichts­punkten erfasst. Die meisten der beobachteten Bearbeitungsverläufe in der 7. und 8. Jahrgangsstufe lassen sich dieser Entwicklungsstufe zuordnen.

• Erst auf einer dritten Stufe wird die betrachtete geometrische Situation variabel er­fasst. Eine Zeichnung, die variiert wird, ist nicht mehr nur eine Zeichnung, die sich bewegt und verformt, sondern eine Folge unterschiedlicher Zeichnungen mit gewis­sen gemeinsamen Eigenschaften. Es ist ein Blick fiir Invarianten vorhanden, eine An­schauung im Detail, welche die globalen Gestalteindrücke einer Zeichnung zurück­drängen und sich auf lokale Beziehungen zwischen den Teilen einer Figur konzentrie­ren kann. Anders als im Erweiterungskurs ließ sich auch am Ende der 8. Jahrgangs­stufe diese Stufe in den beobachteten Bearbeitungsverläufen nicht als gefestigt er­kennen.

Diese Ergebnisse korrespondieren mit den Hinweisen von Laborde (1993), die auf hier­archische Kompetenzen im problemlösenden Gebrauch des Zugmodus hinweist und sie in Bezug zu den van Hieleschen Lernstufen setzt.

Dynamische Geometrie-Software 97

Es erscheint daher erforderlich, dem Verhältnis Zeichnung - Figur - Zugmodus im Unterricht eine mehr oder weniger direkte Aufmerksamkeit zu widmen:

I. Bequeme, handlungsnahe, das Bildschirmgeschehen beschreibende Metaphern wie Bewegen bzw. Ziehen sollten um sprachlich differenziertere Ausdrucksmittel ergänzt werden, die dem Verhältnis von Zeichnung und Figur angemessener erscheinen. Statt beispielsweise nur davon zu sprechen, dass der Punkt A des Dreiecks ABC be­wegt/gezogen/variiert werde, ist es je nach Unterrichtssituation möglicherweise ange­brachter zu sagen: "Wir erzeugenIbetrachten nun ein anderes Dreieck, bei dem der Punkt A diese/folgende Lage besitzt."

2. Die vermittelnde Funktion des Zugmodus kann in zweierlei Hinsicht problembezogen betont werden: Beispielsweise wenn a) Zeichnung und Figur vorgegeben sind und die Lernenden die Wirkung des Zugmodus vorhersagen sollen. Oder es ist b) die Zeich­nung und ihr Verhalten im Zugmodus bekannt und die Lernenden sollen den Aufbau der Figur erschließen.

Zu 2: Beide Varianten kamen in den Unterrichtsprojekten zum Zuge. Erstere im Er­weiterungskurs, als die Figur als Konstruktionsprotokoll und eine entsprechende Zeich­nung auf Papier gegeben waren (Abb. 7). Dieser Zugang erwies sich zur Untersuchung des Schülerverständnisses als effektiver als der direkte Versuch, geometrische Beziehun­gen explizit anzusprechen. M. E. sind solche Aufgaben nicht nur diagnostische Hilfsmit­tel, sondern auch der Verstehensentwicklung dienlich.

A, B, C: PUNKT h

DREIECK ABC m

m: MITTELSENKRECHTE von C und B

h: GERADE

M: SCHNITT Strecke [CB] und M

GERADE m

P: PUNKT A~~--------~B

/ Abb.7

Die zweite Variante wurde in der 7. Jahrgangsstufe während der Programm-Einführung benutzt, als die Zeichnung gewissermaßen als zu entschlüsselnde, sprich re­konstruierende black box auf dem Bildschirm vorlag. Dass hierbei mindestens ansatzwei­se schon ein Blick fur festbleibende geometrische Beziehungen erforderlich ist und diese den Nachbau der Figur bestimmen, weist auf die Anforderungen und die latente Zirkula­rität dieses Zugangs hin. Mit Blick auf die zeitliche Ausdehnung des zweiten Projekts erscheint der Hinweis gerechtfertigt: Ein dauerhaftes handlungswirksames Verständnis des Zugmodus lässt sich in der Einjührungsphase kaum erzielen, notwendig erscheinen systematische wiederholende Bezüge aujseine Wirkungs- und Verwendungsweisen.

98 R. Hölzl

4 Ausblick

Urteile im Geiste idealtypischer Proponenten und Opponenten des Computereinsatzes im Geometrieunterricht, wonach sich das Erlernen der Geometrie erleichtern lasse bzw. erschwere, das Lehren wirkungsvoller bzw. ineffektiver gestalte; dass der Computer also fester Bestandteil des Geometrieunterrichts sein sollte bzw. besser außen vor bliebe -derart allgemeine Schlussfolgerungen sind aus den vorliegenden Untersuchungen nicht zu rechtfertigen.

Stattdessen lässt sich aus den Unterrichtsstudien erkennen, dass Wirkung und Ein­fluss einer Lernumgebung, die den Computer als integralen Bestandteil betrachtet, viel­schichtig sind und 'durch grobe Kategorien, die nur auf Pro und Kontra zielen, unzurei­chend erfasst werden. Ein differenzierter Blick, wie ihn der Verfasser versucht hat, in der Originalarbeit einzunehmen, wird, wenn auch nur unvollständig, veränderte epistemolo­gischen Bedingungen aufzeigen, hinzukommende kognitive Anforderungen erkennen, wird heuristische Chancen ausloten und die damit verbundenen unterrichtsmethodischen Ansprüche im Auge behalten.

Vor diesem Hintergrund und den zugehörigen Aufschlüssen, die sich im Zuge dieser Arbeit ergeben haben, erscheinen mir abschließend folgende curricular­unterrichtspraktischen Einschätzungen gerechtfertigt:

• Die Verwendung des dynamischen Zeichenblattes sollte mit einem bedachtsamen Blick auf die vom ihm auszuftillende Rolle geschehen. Dynamik per se liefert keinen didaktischen Vorsprung gegenüber den traditionellen Werkzeugen der Geometrie. Es sind ins Einzelne gehende Abwägungen erforderlich, wo und warum der Computer zum Zuge kommen soll. Mögliche Leitfragen dazu finden sich in der Originalarbeit im Kontext von Problemlösen und Beweisen.

• Dynamische Geometrie-Software besitzt in abbildungsgeometrischen Zusammenhän­gen ein bedeutsames heuristisches Potential. Allerdings sind die damit einhergehen­den epistemologischen Verschiebungen und kognitiven Ansprüche auf einer frühen Stufe des systematischen Geometrietreibens beträchtlich. Aufgrund der dabei festge­stellten erhöhten Anforderungen an alle Unterrichtsbeteiligten, erscheint in Jahr­gangsstufe 7 und 8 nur ein zurückhaltender, wenngleich eigenständiger Gebrauch des Computers ratsam.

• Eine intensive Verwendung des dynamischen Zeichenblatts, etwa im Sinne des hier vorgestellten Konzepts erwies sich dort als besonders gewinnträchtig, wo ein aus der Sache resultierendes instrumentelles Erfordernis (wie bei der Inversion am Kreis) auf eine schon fortgeschrittene mathematische Lernerfahrung traf (wie bei den Teilneh­merinnen des Erweiterungskurses).

In solchen Lehr- und Lernarrangements, wie sie im ersten Projekt auftraten, sehe ich den geeignetsten Rahmen für den Computer als integralen Bestandteil des Geometrieunter­richts in der Sekundarstufe.

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Anschrift des Verfassers

Dr. Reinhard Hölzl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg

0-86135 Augsburg

Manuskripteingang: 9.4.1999 Typoskripteingang: 22.9.1999