Bewegungen starrer Körper können in Translation und Rotation zerlegt werden. Die Rotation stellt einen inneren Freiheitsgrad des Körpers dar, der bei Punktmassen nicht existiert. Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt des Körpers, für dessen Bewegung bestimmte Zusammenhänge der Punktmechanik gelten. Versuch: Bewegung auf Luftkissentisch

Dynamik starrer Körper

152

Rotation um eine fest eingespannte Achse Zur Beschreibung einer Rotation definieren wir , so dass: Die Richtung von ist die Richtung der Achse mit rechtshändigem Drehsinn.

Der Betrag von ist der Winkel um den gedreht wurde.

Einheit von : rad (eigentlich keine Einheit) Eine volle Umdrehung hat den Betrag 2π.

rr ×= ϕdd

ϕd

rϕd

rd

Achse

ϕd

ϕd

ϕ

153

ϕd

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

ba ×

αa

b

Richtung von steht senkrecht auf und

Betrag:

ba × a b

αsin⋅⋅=× baba

In kartesischen Koordinaten:

−−

−

=×

xyyx

zxxz

yzzy

babababababa

ba

154

ϕd

rrd

Achse

Kreuzprodukt bei Drehungen

Die schraffierte Ebene liegt in beiden Bildern in der xz-Ebene. steht jeweils senkrecht auf der schraffierten Ebene und zeigt in y-Richtung.

ϕd

r

rd

Achse

Ebenso wie bei der linearen Verschiebung, erzeugt bei einer Drehung um die Achse eine Verschiebung des Punktes um

ϕd

rdrd

r

155

Beispiel 1 Beispiel 2

x

y z

x

y z

rd

Winkelgeschwindigkeit

hat die Richtung der Drehachse ebenso wie Der Betrag gibt die „Drehgeschwindigkeit“ an. Einheit: rad/s (oder besser 1/s)

Bei konstantem gilt:

Wenn die Achse durch den Ursprung des Koordinatensystems geht, ist die momentane Geschwindigkeit eines Punktes:

tddϕω

=

ϕd

ω

Tπω 2

=

rrtt

rv

×=×== ωϕ

dd

dd

156

T : Zeit für eine Umdrehung

ω

Energie eines rotierenden Körpers

Die kinetische Energie des Körpers berechnet sich als Summe seiner einzelnen Massepunkte Die Geschwindigkeit schreiben wir als Geschwindigkeit des Schwerpunktes plus Rotation um den Schwerpunkt ( : Ort bzgl. Schwerpunkt)

∑=i

iikin vmE 2

21

∑ ×+=i

iSikin rvmE 221 )( ω

∑ ×+×⋅+=i

iiSSi rrvvm )2( 2221 ωω

∑ ×+×⋅+=i

iiSiS rrvmvM )2( 2212

21 ωω

156b

ir

Für den letzten Term gilt:

Es folgt:

Weil auf den Schwerpunkt bezogen ist, gilt: damit folgt

Die Bewegungsenergie des Körpers ist daher die Summe aus der kinetischen Energie einer entsprechenden Punktmasse im Schwerpunkt und der Rotationsenergie.

Achse

rαsinrR

= m

α

Rarr ωωω ==× sin

157

ω

∑∑ +×⋅+=i

iii

iSiSkin RmrvmvME 22212

21 ωω

0=×=× ∑∑i

iii

ii rmrm ωω

∑+=i

iiSkin RmvME 22212

21 ω

∑=i

iiRot RmE 2221 ω

r

Trägheitsmoment Die Rotationsenergie kann geschrieben werden als

Wobei der Ausdruck in Klammern nur von der Geometrie des Körpers abhängt. Wir definieren daher das Trägheitsmoment und schreiben die Rotationsenergie als

Die gesamte Bewegungsenergie des Körpers ist dann gegeben als

∑=i

iiRmJ 2

157b

22

21 ω

= ∑

iiiRot RmE

2212

21 ωJvME Skin +=

221 ωJERot =

Massenelemente, die weiter von der Achse entfernt sind, tragen mehr Energie als achsnahe Massepunkte, da ihre Geschwindigkeit größer ist. Versuch: hgmJ =2

1121 ω hgmJ =2

2221 ω

mm

∑=i

iiRmJ 2

158

Integrale Schreibweise: beim Grenzübergang dm → 0 wird aus der Summe ein Volumenintegral: Hierbei ist ρ die Dichte = Masse / Volumen

Beispiel: Zylinder

VRJV

d2∫= ρ

Vm

=ρ

R: Abstand von der Achse

RVd

2max2

14max2

1

0

3

2

d2

dd2

max

MRRh

RRh

VRhRRJ

R

V

==

=

=

∫

∫

ρπ

ρπ

πρ

hRM 2maxπρ=Gesamtmasse:

159

Beispiele für Trägheitsmomente:

Zylinder, Scheibe

221 RMJ =

M: Gesamtmasse, R: Radius, L: Länge

Kugel

252 RMJ =

Stab - Achse am Ende

231 LMJ =

Stab - Achse in der Mitte

2121 LMJ =

Hohlzylinder

)( 2221

ia RRMJ +=

Hantel

241 LMJ =

160

Steinerscher Satz: Ist das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt bekannt, ergibt sich für eine andere dazu parallele Achse:

Achse durch Schwerpunkt

andere Achse

aiR

'iR

∑∑∑

∑

∑

∑

+

=

+=

+⋅+=

+=

=

iii

iii

ii

iii

i

iii

iii

maRmaRm

RRaam

Ram

RmJ

2'2'

2''2

2'

2

0

2

)2(

Das Trägheitsmoment bezüglich der neuen Achse:

2aMJJ S += a : Abstand der Achse vom Schwerpunkt 161

Drehimpuls und Drehmoment: Für eine Punktmasse multiplizieren Newtons Aktionsprinzip von links über das Kreuzprodukt mit dem Vektor Dann ist dies die zeitliche Ableitung der Gleichung denn

r

Frarm

×=×

prvrm ×=×

prprvrmvrm ×+×=×+×

prprvrmvmr ×+×=×+×⇒

prvrm ×=×⇒

Frarm

×=×⇒

162

Wir nennen den Term aus der zweiten Gleichung Drehimpuls und definieren: Den Term aus der ersten Gleichung nennen wir Drehmoment und definieren Es folgt unmittelbar

prL ×=

FrM

×=

tLM

dd

=

r

Achse

M

F

163

Wir übertragen die Definitionen nun auf einen ausgedehnten starren Körper. Wenn die Bewegung der Massenelemente als gemeinsame Rotation um eine feste Achse erfolgt . Daher gilt und somit Für einen Körper, der symmetrisch um die Rotationsachse ist, folgt Das Drehmoment auf einen Körper ist gegeben durch Die Kräfte müssen nicht notwendigerweise auf jedes Massenelement wirken Es können Volumen oder Oberflächenkräfte sein.

( ) ( )∑∑∑ ⋅⋅−=××=×=i

iiiii

iiii

iii rrrmrrmvrmL ωωω 2

ω

ii rv ×=ω

ω

JL =

∑ ×=i

ii FrM

164

Hier ohne Beweis. Für unsymmetrische Körper ergibt sich der Trägheitstensor (siehe hinten).

Aus folgt

Bei fester Achsrichtung in einem starren, rotationssymmetrischen Körper ist das Trägheitsmoment nicht zeitabhängig. Die Gleichung ist analog zu Newtons Aktionsprinzip

165

ω

JM =

ωω

tJ

tJM

dd

dd

+=

tLM

dd

=

vmF = ω

JM =

Translation Rotation

Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls wird für jedes abgeschlossene System von Massepunkten erhalten Wenn es nur innere Kräfte zwischen den Teilchen i und j gibt, dann gilt Wegen des Newtonschen Reaktionsprinzips heben sich die Terme paarweise auf und es gilt Somit beleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

166

∑ ×=i

ii FrtL

dd

∑≠

×=ji

iji FrtL

dd

0dd

=tL

Körper dessen Form sich ändert

Wenn J kleiner wird, muss ω größer werden. Energiebetrachtung:

Verrichtete Arbeit bei der Armbewegung:

0dd

dd

dd

=+= ωω

tJ

tJ

tL

vn

vnnnvv J

JJJ ωωωω =⇒=⇒

2212

21 , nnnvvv JEJE ωω ==

2

212

21

==⇒ v

n

vnnnn J

JJJE ωω

vn

vn E

JJE =⇒

RRmRFWR

R

R

R

dd2

1

2

1

2∫∫ −== ω167

Gleichgewicht: Wenn die Summe aller Drehmomente in Achsrichtung gleich null ist, tritt keine Drehbeschleunigung auf. Körper bleibt im Gleichgewicht. Hebel:

Übersetzung:

0=×= ∑∑i

iii

i FrM

1r

2r

2211 FrFr =

1F

2F

3F

1F 2F

1r

2r

2211 FrFr

×−=×

1F

2F

168

Versuch: Drehmomente durch Gewichtskraft

Gleichgewicht, wenn M = 0. Gleichgewicht immer dann, wenn Schwerpunkt über/unter Achse liegt.

Stabiles Gleichgewicht: Schwerpunkt unter Achse Bei Auslenkung Drehmoment in Richtung zur Gleichgewichtslage.

Labiles Gleichgewicht: Schwerpunkt über Achse Bei Auslenkung Drehmoment weg von der Gleichgewichtslage.

169

02211

=×=

×+×=

Fr

FrFrM

1F

2F

F

F

0≠×= FrM

0≠×= FrM

Stabiles Gleichgewicht

F

1r

1r

1r

r r r2r

2r

2r

170

Drehimpulserhaltung und Impulserhaltung eines einzelnen Körpers

Achse

r

v

const.=×= vrmL

mImpuls des Körpers wird erhalten: Drehimpuls des Körpers wird erhalten: Drehimpuls des Körpers wird erhalten: Impuls des Körpers wird nicht erhalten, da eine radiale Zwangskraft wirkt.

const.== vmp

vRmvrmL == αsin

Rα

Achse

r

v

const.=×= vrmL

171

Impuls und Drehimpuls Der Drehimpuls eines abgeschlossenen Systems wird immer bezüglich jeder Achse erhalten.

Wirken auf einen einzelnen Körper nur Radialkräfte, dann ändern diese seien Drehimpuls nicht. Der Drehimpuls des einzelnen Körpers bleibt erhalten. (Radialkräfte nimmt die Achse auf.)

Beim Impulserhaltungssatz werden alle Kräfte auf einen Körper berücksichtigt. Der Impuls eines Körpers wird nur erhalten, wenn er kräftefrei ist.

Der Drehimpuls eine einzelnen Körpers kann bezüglich einer bestimmten Achse erhalten sein, bezüglich einer anderen aber nicht (Radialkräfte sind jetzt keine Radialkräfte mehr).

Der Impuls hat eine andere Richtung als der Drehimpuls

171b

ω

r

Achse

M

F

Rotation um freie Achsen Achse nicht gelagert oder in einem Punkt gelagert (Kreisel) Das Drehmoment bewirkt eine Änderung der Richtung von Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von der Richtung der Achse ab. Also ändert sich auch das Trägheitsmoment. Die Richtungsabhängigkeit des Trägheitsmomentes wird mit einem Tensor (Matrix) beschrieben.

ω

171c

Trägheitstensor Im allgemeinen Fall ist der Drehimpuls nicht parallel zur Drehachse.

Man kann zeigen: Achse

ω

2m

1m

2L

1L

∑ ×=i

iii vrmL

ω

JL ~=

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

JJJJJJJJJ

J~

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

JJJLJJJLJJJL

ωωω

ωωω

ωωω

++=

++=

++=

172

Trägheitsellipsoid

Trägt man für jede mögliche Achse durch den Schwerpunkt auf, erhält man einen Ellipsoid.

oblate Form „Football“ (polate Form)

Der Ellipsoid hat drei Hauptachsen (die senkrecht zueinander stehen). Die Trägheitsmomente in diesen Richtungen nennt man „Hauptträgheitsmomente“.

173

J1

Mit einem kartesischen Koordinatensystem entlang der Hauptachsen ist der Trägheitstensor diagonal: Ja, Jb und Jc sind die Hauptträgheitsmomente.

=

c

b

a

JJ

JJ

000000

~

oblater Trägheitsellipsoid (größtes J bzgl. senkrechter Achse)

174

polater Trägheitsellipsoid (kleinstes J bzgl. senkrechter Achse)

Achse

ω

2m

1mDie eingezeichnete Drehachse kann nur durch Kräfte auf die Achse beibehalten werden, denn Nach Freigabe der Achse erfolgt die Drehung um die Richtung von Kräfte wirken nur noch entlang der Stange (innere Radialkräfte). Auf die Achse wirkt kein Drehmoment.

Solche Achsen bezeichnet man als „freie Achsen“

0dd

≠tL

L

kräftefreie Achse

ω

2m

1m

L

0dd

=tL

L

Freie Achsen

175

Freie Achsen

Achsen in Richtung der Hauptachsen des Trägheitsellipsoids sind freie Achsen.

Der Vektor hat nur eine Komponente, z.B. damit folgt also und damit . Also ist die Achse kräftefrei. L

||ω

),0,0( cωω =

ω

⋅

=

cc

b

a

c

b

a

JJ

J

LLL

ω00

000000

),0,0( ccJL ω=

176

Stabilität freier Achsen

Rotationen um die Achse mit dem größten und mit dem kleinsten Trägheitsmoment sind stabil. Rotation um die Achse mit dem mittleren Trägheitsmoment ist nicht stabil. (kleine Störungen führen zum torkeln). Versuch:

177