Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik Institut für Geometrie
Durch ebene Schnitte einer Drehkegelfläche induzierte
Ortskurven
27. Fortbildungstagung für Geometrie
Strobl, November 06 – 09, 2006
Marco Hamann
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 22
Aufgabe:
Man untersuche den geometrischen Ort aller Brennpunkte von (nicht-zerfallenden) Kegelschnitten, die durch ein Ebenenbüschel aus einer Drehkegelfläche geschnitten werden.
Der Einfluss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezug auf die Drehkegelfläche ist zu untersuchen.
Einleitung
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Aufgabe:
Man untersuche den geometrischen Ort aller Brennpunkte von (nicht-zerfallenden) Kegelschnitten, die durch ein Ebenenbüschel aus einer Drehkegelfläche geschnitten werden.
Der Einfluss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezug auf die Drehkegelfläche ist zu untersuchen.
Einleitung
Prof. Oliver Niewiadomski, Hochschule für Künste Bremen
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Gliederung
• Darstellungsgeometrische Erzeugung unter Verwendung derFigur von DANDELIN,
• Kennzeichnung der Kurven (im projektiv abgeschlosseneneuklidischen Raum), Varianten ihrer Konstruktion,
• Bemerkenswerte Eigenschaften und ihre Darstellung,
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Perspektivität zwischen Kegelschnitten
SS G↔
1P
2P
g
1k
2k
S…
g…
Spitze der - (Trägerdes Bündels
Erzeugende derKegelfläche(Bündelstrahl )
)SG
Zwei ebene Schnitteeiner (Dreh-)Kegelfläche sind perspektiv bezüglich ihrer Erzeugenden.
1,k 2k
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Die Brennpunkte der Kegelschnitte sind Begriffe der euklidischen Geometrie.
Brennpunkte eines Kegelschnittes
1. Planimetrische Definition der Kegelschnitteüber ihre Brennpunkte (und Leitlinie);z.B.: Gärtner-Konstruktion der Ellipse.
2. Die Brennpunkte lassen sich räumlich als Berührpunkte der DANDELIN-Kugeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deuten.
3. Projektive Kennzeichnung: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpunkte der aus den absoluten Punkten an ihn legbaren Tangenten.
E F
P k∈
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Die Brennpunkte der Kegelschnitte sind Begriffe der euklidischen Geometrie.
Brennpunkte eines Kegelschnittes
1. Planimetrische Definition der Kegelschnitteüber ihre Brennpunkte (und Leitlinie);z.B.: Gärtner-Konstruktion der Ellipse.
2. Die Brennpunkte lassen sich räumlich als Berührpunkte der DANDELIN-Kugeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deuten.
3. Projektive Kennzeichnung: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpunkte der aus den absoluten Punkten an ihn legbaren Tangenten.
E F
P k∈
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Darstellungsgeometrische Verfahren
Figur von DANDELIN
Quelle: R: Bereis: Darstellende Geometrie. Bd. 1
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Konstruktion im Grund – Aufriss –Verfahren
1. Die Aufrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an liegende) Trägergerade darin projizierend ist.O. B. d. A. wird die Grundrissebene parallel zur Achse von gewählt.
2. Die Aufrisse der Brennpunkte sind unter Verwendung der Figur vonDANDELIN als Berührpunkte der Kugelumrisse mit der (projizierenden) Ebene konstruierbar.
3. Ihre Grundrisse lassen sich über die Konstruktion der Fallgeraden durch den Schnittpunkt bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene
festlegen (wiederholtes Konstruieren der Normalebene).
Φ
Φ
a
: T aΠ = ⊥:T a= ε∩
ε
Darstellungsgeometrische Verfahren
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Konstruktion im Grund – Aufriss –Verfahren
1. Die Aufrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an liegende) Trägergerade darin projizierend ist.O. B. d. A. wird die Grundrissebene parallel zur Achse von gewählt.
2. Die Aufrisse der Brennpunkte sind unter Verwendung der Figur vonDANDELIN als Berührpunkte der Kugelumrisse mit der (projizierenden) Ebene konstruierbar.
3. Ihre Grundrisse lassen sich über die Konstruktion der Fallgeraden durch den Schnittpunkt bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene
festlegen (wiederholtes Konstruieren der Normalebene).
Φ
Φ
a
: T aΠ = ⊥:T a= ε∩
ε
Darstellungsgeometrische Verfahren
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Konstruktion im Grund – Aufriss –Verfahren
1. Die Aufrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an liegende) Trägergerade darin projizierend ist.O. B. d. A. wird die Grundrissebene parallel zur Achse von gewählt.
2. Die Aufrisse der Brennpunkte sind unter Verwendung der Figur vonDANDELIN als Berührpunkte der Kugelumrisse mit der (projizierenden) Ebene konstruierbar.
3. Ihre Grundrisse lassen sich über die Konstruktion der Fallgeraden durch den Schnittpunkt bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene
festlegen (wiederholtes Konstruieren der Normalebene).
Φ
Φ
a
: T aΠ = ⊥:T a= ε∩
ε
Darstellungsgeometrische Verfahren
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S ′
S ′′
M ′
M ′′
N ′
N ′′
Q′
Q′′
O′
O′′
P′
P s′′ ′′=
12x
1e
2e
a′′
a′
E′
E′′
F ′
F′′
v′′
u′′
u v′ ′=
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M ′
M ′′
N′
N ′′
P′
P′′
Q′′
Q′
O′′
O′
E′
E′′
F ′
F ′′
S ′
S′′
5′
5′′
1e
2e
7
u′′
u v′ ′=
v′′
r′
w′
s′′
12x
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Die Brennpunkte der Kegelschnitte sind Begriffe der euklidischen Geometrie.
Brennpunkte eines Kegelschnittes
1. Planimetrische Definition der Kegelschnitteüber ihre Brennpunkte (und Leitlinie);z.B.: Gärtner-Konstruktion der Ellipse.
2. Die Brennpunkte lassen sich räumlich als Berührpunkte der DANDELIN-Kugeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deuten.
3. Projektive Kennzeichnung: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpunkte der aus den absoluten Punkten an ihn legbaren Tangenten.
E F
P k∈
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Die Brennpunkte der Kegelschnitte sind Begriffe der euklidischen Geometrie.
Brennpunkte eines Kegelschnittes
! Beachte: Projektiver Abschluss und komplexe Erweiterung notwendig.
1. Planimetrische Definition der Kegelschnitteüber ihre Brennpunkte (und Leitlinie);z.B.: Gärtner-Konstruktion der Ellipse.
2. Die Brennpunkte lassen sich räumlich als Berührpunkte der DANDELIN-Kugeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deuten.
3. Projektive Kennzeichnung: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpunkte der aus den absoluten Punkten an ihn legbaren Tangenten.
E F
P k∈
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I J
E
E′
FF ′
u
U
Brennpunkte eines Kegelschnittes
Die zwei Paare von Tangenten an einen Kegelschnitt aus den absoluten Kreispunkten erzeugen ein (vollständiges) Viereck mit den Gegeneckenpaarenund
Die Punkte und heißen Brennpunkte des Kegelschnittes.
( ), ,E E′ ( ),F F′( ), .I J
,E ,E′ F F ′
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Eine Parabel berührt die uneigentliche Gerade in In diesem Fall existiert genau ein eigentlicher Brennpunkt
Die (uneigentlichen) Punkte undfallen mit und zusammen.
,E′ FF ′
u .U
.E
,U I J
Brennpunkte eines Kegelschnittes
JI
E
u U
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Mehrdeutige geometrische Verwandtschaften
Eine deutige Korrespondenz zwischen Grundgebilden liegt vor, wenn - vermittelt durch eine algebraische Korrespondenzgleichung - jedemElement des ersten Gebildes Elemente des zweiten Gebildes und jedem aus diesem Elemente aus jenem zugeordnet sind.
(R. STURM: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Bd. 1)
1[ , ]-n n
X 1n 1Xn
k 1k
X1X
Beispiel:Die Korrespondenz zwischen den Punkten und den Geraden (Tangenten an ).
2,21k k∧
1 1X k∈X k∈
1k
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 1919
c⊥
uk
uS
uA
uE
uF
uE′uF ′
I
J
ω
ue
Korrespondenz zwischen der Punktreihe und dem Tangentenbüschel
2,2∧
ukGc
P ⊥
Erzeugnis resultierender projektiver Verwandtschaft in ist Kurve Ordnung
ukG 4.
Perspektivität der Punktreihe vermöge des Geradenbüschels
I J∧
cP ⊥
uSG
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2020
Eine irreduzible Kurve der Ordnung kann nicht mehr als singuläre Punkte besitzen
(W. BURAU: AlgebraischeKurven und Flächen. Bd. 1)
12
n −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
nk
( 2).n >
n
Die Kurve Ordnung zerfällt in eine Kurve
Ordnung und ein Geradenpaar über
4.
2..C
2k
2l
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
2luS
uA
c⊥
ue
,u uE F
,u uE F′ ′
I
J
uk
ω
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2121
Es gelte zusätzlich
( Erzeugende).u us e S k⇔ ∉
Die Kurve berührt für die gewählten Lagen des Trägers des schneidenden Ebenenbüschels den uneigentlichen Kegelschnitt der Drehkegelfläche doppelt.
us
usE uk
2k
c⊥
uk
uS
uA
,u uE E
uF
uF ′
2l
ω
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
e…
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2222
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
ω
Der uneigentliche Punkt der Achse ist ein vierfach zu zählender Punkt der Kurve Ordnung. Sie zerfällt in eine doppelt zu zählende Gerade(absolute Polare zu und ein Geradenpaar über
uA
)uS2k
2l .C
a4.
uF
uF ′
uE
uA
uS
( )uA ⊥δ
c⊥
uk
2k
2l
Es gelte zusätzlich( ) .u us a S A ⊥⊥ ⇔ ∈ δ
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2323
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Folgerungen
• Verbindet man für die (reelle)nichtzerfallende Kurve Ordnungpunktweise mit der Spitze von ,so entsteht eine Kegelfläche
Ordnung. Diese ist Träger derBrennpunktkurve.
• Für ist zweifach zuzählende Ebene. Die Brennpunktkurveist dann eine ebene Kurve.
2.
S
s a⊥
2kΦ
s a⊥
2.
( )2k S∨2k
S
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2424
α
ns
S
ena A=
nf
(Kreisschnitt-) Ebene
Spur des Trägers
Spur einer Ebene des Büschels
α …
S …
e …
( ) ,aα ⊥
( ) ,s a⇔ ⊥
Ε
Die Hauptachsenregelflächebildet für ein orthogonales Hyperboloid. Jede (Schichten-) Ebene mit schneidet dieses in einem Kreis.
α aα ⊥
s a⊥
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2525
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Ergebnisse
• Für und tangential an entsteht die Brennpunktkurve alsteilweiser Schnitt beider Flächen Ordnung, die eine weitere Geradegemeinsam haben.Die Brennpunktkurve ist daher eine räumliche Kurve Ordnung.
• Liegt nicht tangential an , so ist die Brennpunktkurve imAllgemeinen als nichtzerfallende Schnittkurve zweier Flächen Ordnungerzeugbar, also von Ordnung.
• Für und (nicht) tangential an ist die Brennpunktkurve eineebene Kurve Ordnung.
3.
s a⊥
s a⊥/2.
s Φ
(4.)s Φ
s a⊥ Φ2.
4.
3.
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2626
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Ergebnisse
• Für und tangential an entsteht die Brennpunktkurve alsteilweiser Schnitt beider Flächen Ordnung, die eine weitere Geradegemeinsam haben.Die Brennpunktkurve ist daher eine räumliche Kurve Ordnung.
• Liegt nicht tangential an , so ist die Brennpunktkurve imAllgemeinen als nichtzerfallende Schnittkurve zweier Flächen Ordnungerzeugbar, also von Ordnung.
• Für und (nicht) tangential an ist die Brennpunktkurve eineebene Kurve Ordnung.
3.
s a⊥
s a⊥/2.
s Φ
(4.)s Φ
s a⊥ Φ2.
4.
3.
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2727
Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven
Ergebnisse
• Für und tangential an entsteht die Brennpunktkurve alsteilweiser Schnitt beider Flächen Ordnung, die eine weitere Geradegemeinsam haben.Die Brennpunktkurve ist daher eine räumliche Kurve Ordnung.
• Liegt nicht tangential an , so ist die Brennpunktkurve imAllgemeinen als nichtzerfallende Schnittkurve zweier Flächen Ordnungerzeugbar, also von Ordnung.
• Für und (nicht) tangential an ist die Brennpunktkurve eineebene Kurve Ordnung.
3.
s a⊥
s a⊥/2.
s Φ
(4.)s Φ
s a⊥ Φ2.
4.
3.
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2828
Eigenschaften und ihre Darstellung
Beispiel
Für sowie tangential an ist die Brennpunktkurve durch einen Zylinder Ordnung projiziert, dessen Erzeugende parallel zur Asymptotenrichtung sind.
2.
s a⊥ s Φ
Eine räumliche Kurve Ordnung wird aus allen ihren Punkten durch KegelOrdnung projiziert.
3.2.
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 2929
A B′′ ′′=
( )3A
( )3B
( )4B
( )4E
( )4A
( )4F
F ′′
M ′′ N ′′O′′
( )4O
( )3E e′′
E′′
s′′
( )4P
S′′
( )3S
( )4S
P′′
( )3P
23x
34x
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 3030
Für ist die aus den Haupt-achsen gebildete Regelfläche eine Drehzylinderfläche.
Die Brennpunktkurve ist Schnitt eines Kegels Ordnung (Spitze ) mit einer Dreh-zylinderfläche, von welcher eine Erzeugende mit zusammen-fällt; sie ist von Ordnung.
s a
2.S
a4.
Eigenschaften und ihre Darstellung
M ′
S ′
u′
u v′′ ′′=
v′s′
s′′
e′′
a′
E′′
E′
S M a′′ ′′ ′′= =
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 3131
Eigenschaften und ihre Darstellung
Ist ein Parallelebenenbüschel (genau dann wenn uneigentlicher Träger ist), so sind die ebenen Schnitte zueinander ähnlich und in ähnlicher Lage.
Die Brennpunktkurve ist ein sich in der Spitze der Drehkegelfläche schneidendes Geradenpaar.
S
usE
us
E′′F′′
e′′
S ′′
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 3232
Schlussbemerkungen
• Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach demgeometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittesausgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpunkt) inobiger Aufgabenstellung interessant,
• ... ebenso die Verwendung von Flächen zweiter Ordnung anstelle derDrehkegelfläche,
• Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlunginnerhalb der projektiven, algebraischen und darstellenden Geometrie.
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 3333
• Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach demgeometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittesausgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpunkt) inobiger Aufgabenstellung interessant,
• ... ebenso die Verwendung von Flächen zweiter Ordnung anstelle derDrehkegelfläche,
• Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlunginnerhalb der projektiven, algebraischen und darstellenden Geometrie.
Schlussbemerkungen
Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 3434
• Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach demgeometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittesausgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpunkt) inobiger Aufgabenstellung interessant,
• ... ebenso die Verwendung von Flächen zweiter Ordnung anstelle derDrehkegelfläche,
• Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlunginnerhalb der projektiven, algebraischen und darstellenden Geometrie.
Schlussbemerkungen