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Lehrerin: Dann kannst Du mir sicher auch sagen, wieviel sieben und fünf ist.
Pippi: (sieht sie erstaunt an) Sieben und fünf. (lacht freundlich) Ja, wenn du das nicht einmal selbst weißt, so glaub nicht etwa, dass ich es dir sage.
Lehrerin: Pippi, so redet man nicht mit seiner Lehrerin! Aber jetzt will ich dir sagen, dass sieben und fünf zwölf ist.
...
Lehrerin: Kleines Dummerchen! Ich glaube nicht, dass du das hier verstehst. Übrigens, was meinst du, wieviel ist acht und vier?
Pippi: (genauso lachlustig) Du fragst nur und fragst nur! Was glaubst du denn? Siebenundsechzig vielleicht?
Lehrerin: Aber nein, acht und vier ist zwölf.
Pippi: Hör mal, kleines Schätzchen. Das geht zu weit. Eben erst hast du gesagt, sieben und fünf ist zwölf. Ordnung muss sein, selbst in einer Schule.
...aus: Astrid Lindgren: Pippi Langstrumpf
Zahlen als kulturelle Konvention
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Begriffsklärung Rechenschwäche
Die WHO definiert: Die Rechenstörung“… beinhaltet eine umschriebene Beeinträchtigung von Rechenfertigkeiten, die nicht allein durch eine allgemeine Intelligenzminderung oder eine eindeutig unangemessene Beschulung erklärbar ist. Das Defizit betrifft die Beherrschung grundlegender Rechenfertigkeiten wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, weniger die höheren mathematischen Fertigkeiten, die für Algebra, Trigonometrie, Geometrie und Differential- sowie Integralrechnung benötigt werden.“
ICD 10: F 81.2
Diskrepanzkriterium mittlerweile umstritten
• Unabhängige Messung von Intelligenz und Rechenleistung problematisch
• Gruppen diskrepanter von nicht-diskrepanter Schüler mit Rechenschwäche im Symptombild nicht verschieden (Ehlert, Schroeders, & Fritz-Stratmann, 2012).
• DSM 5 verzichtet auf Diskrepanzmessung zur Intelligenz zugunsten einer differenzierten Beschreibung auf Symptomebene bei bezogen auf Alter oder Klassenstufe unterdurchschnittlicher Leistung (Voraussetzung: keine generelle kognitive Minderbegabung)
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Begriffsklärung Rechenschwäche
Nach den Leitlinien der Dt. Gesellschaft für Kinder-und Jugendpsychiatrie und Psychotherapie (2003) sind betroffen:
• Zahlensemantik:– Inhaltliches Verständnis der Rechenoperationen – Mengenverständnis sowie Mengenrelationen– Zahlenstrahl- oder Zahlenraumvorstellungen und damit die Fähigkeit des
Überschlagens und Schätzens von Mengen und Rechenergebnissen
• Sprachliche Zahlenverarbeitung: Erwerb der Zahlwortsequenz und der Zählfertigkeiten sowie Speichern von Faktenwissen (Einmaleins)
• Erwerb des arabischen Stellenwertsystems und seiner syntaktischen Regeln sowie der hierauf aufbauenden Rechenprozeduren
• Das Übertragen von Zahlen aus einer Kodierung in eine andere(Zahlwort - arabische Ziffer - analoge Mengenrepräsentation)
Wichtige Vorläuferfähigkeiten für den Rechenerwerb
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• visuell-räumliche (konstruktive) Verarbeitungs-prozesse
• Sprachverständnis • gedächtnisbezogene Verarbeitungsprozesse (jeweils
Barth, 2003; Kaufmann, 2003)• Fertigkeiten zum Mengen- und Zahlenwissen
(Krajewski, 2003, 2005a, 2005b).
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Ausgangspunkt: Zwei Untersuchungen zum Zahlbegriff
Bestandsaufnahme von Rechenschwächen:• Moog, 1993 & Schulz / van Bebber / Moog,
1998: • jeweils an Sonderschülern (Lb), Klasse 2 & 3
– Hohe Fehlerzahlen beim Plusrechnen gingen einher mit vermehrtem Fingerrechnen
– Fehlerschwerpunkte:• Unzureichende Zählfertigkeiten
• Undeutliche Zahlraumvorstellungen
• Strategiedefizite beim einfachen Plusrechnen
Fehlende ZahlvorstellungNicht nur, dass unsystematisch zählend addiert wurde,
sondern:Einseitig ordinales Zahlenverständnis:
Die Zahl bezeichnet nicht die gesamte gezählte Menge,sondern den Rangplatz bzw. das letzte gezählteElement
Wo also ansetzen? Mengen erkennen
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Wo also ansetzen? Repräsentanz für gleichmächtige
Mengen
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Wo also ansetzen? Einer Zahl eine Menge
zuordnen
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Wo also ansetzen? Mengen numerisch erfassen
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Simultanes Erfassen einer ungegliederten Menge
Simultanes Erfassen einer gegliederten Menge
Bestimmen der Menge durch Abzählen der Elemente
Wo also ansetzen? Gleichheit von Mengen erkennen
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Übereinstimmung der Elemente zweier Mengen durch simultane Überprüfung
Eins-zu-eins- Korrespondenz
Prüfen durch Zählen
Wo also ansetzen? Invarianz erkennen
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Wo also ansetzen? Die Zahl als Ordnungszahl
erkennen
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Wo also ansetzen? Sich im Zahlenraum
orientieren
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Test und Training des Zahlbegriffs-
verständnis
Beltz VerlagISBN 3-407-62530-8 2. Auflage, 144 Seiten€ 25,90
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DORT-E: Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe
• Ist inhaltsanalog zum Zahlbegriffstraining aufgebaut
• 99 Aufgaben gemischt auf konkreter, bildlicher und symbolischer Ebene
• Durchführungszeit: 40 - 64 Minuten• Beantwortung erfolgt verbal; Testleiter
notiert Ergebnisse und Beobachtungen in einem strukturierten Protokollbogen
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DORT-E: Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe
• überprüft: – Zähl- und Abzählfertigkeiten– Zahlraumvorstellung von 0 bis 20– Mengen- und Zahlrelationsverständnis– Verständnis von Mengenoperationen– Numerisches Rechnen
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DORT-E: Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe
Alle aus: Moog/Schulz (2005): Zahlen begreifen.
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Dortmunder ZahlbegriffstrainingBEREICH I: Zähl- &
Abzählfertigkeiten• Stufe 1: Zählen und
Abzählen• Stufe 2: Abzählen mit den
Augen• Stufe 3: Taktiles und
auditives Abzählen• Stufe 4: Zählen in Einheiten
größer Eins• Stufe 5: Festigung interner
Zahlraumvorstellungen
BEREICH II & III: Mengen-& Zahlrelationen/-operationen; Vertiefungsphase
• Stufe 6: Mengen- & Zahlzerlegung, -vereinigung, -ergänzung mit visueller Kontrolle
• Stufe 7: Mengen- & Zahlzerlegung, -vereinigung, -ergänzung mit eingeschränkter/fehlender visueller Kontrolle
• Stufe 8: Anwendung bisheriger Lösungsprinzipien auf numerische Addition
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Förderprinzipien• Veranschaulichung von Zahlen und
Rechenwegen (aber Vorsicht: Im Material liegt nicht die mathematische Einsicht begründet.)
• Nur wenige und für den Rechenweg eindeutige Materialien einsetzen
• Über das Lösungsvorgehen sprechen
• Das Lösungsvorgehen ist zunächst wichtiger als die Ergebnispräsentation.
• Falsche Lösungen als falsches Denken erkennen.
• Systematisches Aufarbeiten abgekoppelt vom aktuellen Schulstoff.
Als Basis gilt das Verständnis des Zahlbegriffs. Liegen hier Lücken vor, muss die Förderung hier beginnen unabhängig davon, welcher Schulstoff in der Klassenstufe gerade behandelt wird.
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Prinzipien des Trainings• Sukzessiver Übergang von konkret-manipulativer über
visuell-statischer zu sprachlich-symbolischer Zählweise• Allmähliche Steigerung der Aufgabenkomplexität (z.B.
Anzahl und Ungeordnetheit der Zählelemente)• Bewegungsrichtungen von Abzählhandlungen im Raum
wechseln• Inverse Operationen mit Mengen und Zahlen ausführen• Übersetzungen zwischen den Repräsentationsebenen
von Aufgaben durchführen• Aufmerksamkeitsfokussierung durch grafische
Transformation unterstützen• Über das Lösungsvorgehen sprechen
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Zentrale Veranschaulichungsmittel
im Dortmunder Zahlbegriffstraining
• Muggelsteine• Kuehnelbilder • Rechenketten• Zahlenkarten
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Evaluation- Forschungsmethode -
• Ziel: Replikation der positiven Ergebnisse einer Vorläufer-Untersuchung, die an Schulen mit Förderschwerpunkt Lernen durchgeführt wurde
• Stichprobe: 7 Trainings- und 7 Kontrollkinder (Grundschüler) mit vergleichbaren mathematischen Ausgangsleistungen
• Kontrollkinder bekamen statt Rechentraining Lese-Rechtschreib-Förderung
• Messinstrument: Vorform des DORT-E• Messungen vor, während und nach Trainingsabschluss
sowie nach weiteren 5-6 Wochen
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Evaluation: Ergebnisse Ablösung Anschauungsgebundenheit
Nach Trainings-abschluß
abgelöst von Anschauungs-gebundenheit
weiterhin anschauungs-
gebunden Trainingsgruppe 6 1 Kontrollgruppe 3 4
Nach weiteren 5-6 Wochen
abgelöst von Anschauungs-gebundenheit
weiterhin anschauungs-
gebunden Trainingsgruppe 5 2 Kontrollgruppe 1 6
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Evaluation: Ergebnisseipsative Noten
Nach Abschluß Trainingsgruppe Kontrollgruppe 25. Perzentil 1,40 1,42 M edian 1,82 2,65 75. Perzentil 2,05 2,89
Nach Abschluß Trainingsgruppe Kontrollgruppe Obere Rangplätze 5 2 untere Rangplätze 2 5
Signifikanzprüfung nach Residual-Transformation der Rohwerte: U = 0; p = .00085
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Was ist das Ziel?
Einen gesicherten Zahlbegriff zuvermitteln,um Rechen-operationeninhaltlich ver-stehen zu können.
