Divisorfunktionen, Modulformen und modulare …...2015/10/19 · Vorspann Divisorfunktionen...

Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann

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Divisorfunktionen, Modulformenund

modulare Integrale

Tobias Mühlenbruch

Lehrgebiet StochastikFernUniversität in Hagen

[email protected]

19. Oktober 2015

http://www.fernuni-hagen.de/http://www.fernuni-hagen.de/stochastik/team/tobias.muehlenbruch.shtmlhttp://www.fernuni-hagen.de/WTHEORIE/http://www.fernuni-hagen.demailto:[email protected]


Vortragszusammenfassung in Bildern

Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim

† 18. November 1919 in Zürich

Ferdinand Gotthold MaxEisenstein? 16. April 1823 in Berlin

† 11. Oktober 1852 in Berlin

Martin Maximilian EmilEichler? 29. März 1912 in Pinnow

† 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel

Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale


Elementare zahlentheoretische Funktionen

N = {1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen ZahlenZ = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen

Elementare zahlentheoretische FunktionenEine elementare zahlentheoretische Funktion ist eine Funktion von dennatürlichen Zahlen N in die ganzen Zahlen Z.

Beispiele:

1 gerade(n) =

{1 n ist gerade

0 sonsttestet ob n gerade ist.

2 σ0(n): Anzahl der Teiler einer Zahl n ∈ N.σ0(p) = 2 für jede Primzahl p σ0(p) = ]{1, p}


Was ist eine Divisorfunktion

Divisorfunktion σkSei k ∈ Z≥0. Die Divisorfunktion σk ist definiert durch

σk(n) :=∑d|n

dk

für alle n ∈ N.

Beispiele:1 σ0(n) ist die Anzahl aller Teiler von n:

σ0(12) = 10 + 20 + 30 + 40 + 60 + 120

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 6

2 σ1(n) ist die Summe aller Teiler von n:

σ1(12) = 11 + 21 + 31 + 41 + 61 + 121

= 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12

= 28


Was ist eine Divisorfunktion

σ0(n) mit n zwischen 1 und 250 σ1(n) mit n zwischen 1 und 250


Eigenschaften der Divisorfunktion

Divisorfunktion σkSei k ∈ Z≥0. Die Divisorfunktion σk ist definiert durch

σk(n) :=∑d|n

dk

für alle n ∈ N.

Einige Eigenschaften:

σk(p) = 1 + pk für jede Primzahl p

Für jedes ε > 0 gibt es eine Konstante C > 0 mit

2 ≤ σ0(n) ≤ C · nε

für alle n ≥ 2.



Beispiel einer Identität zwischen denDivisorfunktionen σ7 und σ3:

Hurwitz-Identität

σ7(n) = σ3(n) + 120∑k,l∈Nk+l=n

σ3(k)σ3(l).

Beispiel (Fall n = 2):

σ7(2) = 17 + 27 = 1 + 128 = 129

σ3(2) = 17 + 23 = 1 + 8 = 9

σ3(1) = 1

120∑

k,l∈Nk+l=2

σ3(k)σ3(l)

= 120(σ3(1)σ3(1)

)= 120 · 1

σ7(2) = 129!

= 9 + 120 =σ3(2) + 120

(σ3(1)σ3(1)

) Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich



Hurwitz-Identität

σ7(n) = σ3(n) + 120∑k,l∈Nk+l=n

σ3(k)σ3(l).

Identitäten dieser Art wurden jeweils individuell gezeigt.

Kann man solche Identitäten aus einer abstrakteren Theorieableiten?


Was ist eine Eisensteinreihe

Eisensteinreihe

Für k ∈ 2N, k ≥ 4 definiere dieEisensteinreihe Ek durch

Ek(z) = 1 +

(2

ζ(1−k)

∞∑n=1

σk−1(n) e2πinz

)für alle z ∈ H := {z ∈ C; im(z) > 0}.

ζ(s) =∑∞

n=1 n−s ist die

Riemansche Zetafunktion2

ζ(1−k) ist eine explizit bekannte

Konstante

k = 4 E4(z) = 1 + 240∑∞

n=1 σ3(n) e2πinz

k = 8 E8(z) = 1 + 480∑∞

n=0 σ7(n) e2πinz

Ferdinand Gotthold Max Eisenstein

? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin


Was ist eine Eisensteinreihe

Warum betrachten wir nun Eisensteinreihen

Ek(z) = 1 +

(2

ζ(1− k)

∞∑n=1

σk−1(n) e2πinz

)

(z ∈ H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eisensteinreihen erfüllen

Ek(z + 1) = Ek(z) und Ek

(−1z

)= zk Ek(z).

Gibt es noch andere Funktionen die obige Funkionalgleichungerfüllen?

Theorie der Modulformen



Modulform

Eine Modulform f vom Gewicht k ∈ 2Z ist eine holomorphe Funktionf : H→ C mit

f (z + 1) = f (z) und f(−1

z

)= zk f (z) für alle z ∈ H,

”f ist meromorph in ∞“

Beispiel:

Eisensteinreihe Ek ist Modulform vom Gewicht k .

Satz

f Modulform von Gewicht k , g Modulform von Gewicht l=⇒ f · g Modulform vom Gewicht k + l .

Insbesondere gilt E4 · E4 = E8.



E4(z) · E4(z) = E8(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Was bedeutet obige Identität für die Koeffizienten von Ek?

E4(z) · E4(z)

=

[1 +

2

ζ(−3)

( ∞∑n=1

σ3(n) e2πinz

)][1 +

2

ζ(−3)

( ∞∑n=1

σ3(n) e2πinz

)]

= 1 +

∞∑n=1

4ζ(−3)σ3(n) + 4ζ(−3) ζ(−3) ∑k,l∈Nk+l=n

σ3(k)σ3(l)

e2πinz

!= 1 +

2

ζ(−7)

( ∞∑n=1

σ7(n) e2πinz

)= E8(z)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2ζ(−7)σ7(n) =

4ζ(−3)σ3(n) +

4ζ(−3) ζ(−3)

∑k,l∈Nk+l=n

σ3(k)σ3(l)

Hurwitz-Identität für σ3 und σ7!


Nutzen der Modulformen

Nutzen der Modulformen:

Ein theoretischer Rahmen, um gemeinsame Eigenschaften gewisserelementare zahlentheoretische Funktionen zu studieren.

Findet neue Identitäten zwischen elementare zahlentheoretischeFunktionen.

Findet neue Beweise bekannter Identitäten Beispiel: Hurwitz-Identität


Was ist ein modulares Integral

1 Divisorfunktionenσk(n) =

∑d|n d

k

2 Modulformenf (z)− f (z + 1) = 0 und f (z)− z−k f

(−1z

)= 0

3 Modulare Integrale. . .



Modulform f von Gewicht k :

f (z)− f (z + 1) = 0 und

f (z)− z−k f(−1z

)= 0.

Erste Identität folgt aus Entwicklung

f (z) =∑n

an e2πinz .

Mögliche Verallgemeinerung der zweiten Identität: Erlaube etwas andersals

”= 0“.

Führt zum Begriff der modularen Integrale



Modulares Integral

Eine holomorphe Funktion f auf Hheisst modulares Integral vom Gewichtk ∈ 2N falls:

Es gibt ein PolynomP(z) = a0 + a1 z + . . .+ ak z

k mit

f (z)− f (z + 1) = 0

und

f (z)− zk f(−1z

)= P(z),

”f ist meromorph in ∞“

Martin Maximilian Emil Eichler? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern




Wofür hat Martin Eichler die modularen Integrale betrachtet?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 g : H→ C holomorph erfülltg(z + 1) = g(z) und g

(−1z

)= zk g(z)

g(z)→ 0 für im(z)→∞

2 f (z) :=∫ z+i∞z

g(τ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt.f (z + 1) = f (z) undzk−2 f

(−1z

)− f (z) =: P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2)

3 P(z) =∫ i∞

0g(τ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt

P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2)zk−2 P

(−1z

)− P(z) = 0 und

(z + 1)k−2 P( −1z+1

)+ zk−2 P

(−z−1z

)− P(z) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eichler–Shimura–Theorie: Zusammenhang zwischen g und P


Modulare Integrale

Satz 1

Sei f : H→ C eine Modulform von Gewicht k ∈ 2Z


Modulare Integrale

Satz 2

Für k ∈ 2N (genügend groß) seien a−M , . . . , a−1 ∈ C beliebigeKoeffizienten (M Stück).

Dann ist die Funktion f gegeben durch

f (z) = a−M e2πi(−M)z + . . .+ a−1 e

−2πiz +∞∑n=0

bn e2πinz

mitbn = Hk(a−M , . . . , a−1; n) für alle n ∈ Z≥0

ein modulares Integral vom Gewicht k .

Zur Erinnerung: f modulares Integral von Gewicht k

=⇒ Es gibt ein Polynom P(z) mit f (z)− zk f(−1

z

)= P(z)

2Jose Gimenez, TM, Wissam Raji, Construction of vector-valued modular integralsand vector-valued mock modular forms. Ramanujan J., Published online 04.10.2014,doi:10.1007/s11139-014-9606-3 [B]

http:dx.doi.org/10.1007/s11139-014-9606-3


Modulare Integrale

f (z) = a−M e2πi(−M)z + . . . a−1 e

−2πiz +∞∑n=0

bn e2πinz

mit bn = Hk(a−M , . . . , a−1; n) für alle n ∈ Z≥0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Satz 1 Gegeben Modulform f von negativen Gewicht k

=⇒ Koeffizienten a−M , . . . , a−1 bestimmen bn.

Satz 2 Gegeben beliebige Koeffizienten a−M , . . . , a−1 undpositives Gewicht k

=⇒ f ist modulares Integral.


Vortragszusammenfassung in Bildern

Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim

† 18. November 1919 in Zürich

Ferdinand Gotthold MaxEisenstein? 16. April 1823 in Berlin

† 11. Oktober 1852 in Berlin

Martin Maximilian EmilEichler? 29. März 1912 in Pinnow


Hurwitz-Identität Eisensteinreihen Modulare Integralefür Divisorfunktionen Modulformen Konstruktionsformel

Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen

Warum ist Zahlentheorie von Interesse?

Zahlentheorie — Warum könnte uns das interessieren?

Grundlegene Struktureigenschaften der Zahlen

z. B. Primzahlen, Quadratzahlen, Anzahl der Teiler einer Zahl, etc

Moderne Anwendungen in der Kryptographie

z. B. Public-Key-Verschlüsselung, Protokolle zum Schlüsseltausch im

Internet, etc

Bekannte Vermutungen

z. B. Riemannsche Vermutung (offen), fermatsche Vermutung (1995), etc


Adolf Hurwitz

Adolf Hurwitz [3]

1877 Studium der Mathematik an derKöniglich Bayerischen TechnischenHochschule unter Felix Klein

1877–1878 Studium an derFriedrich-Wilhelms-Universität zuBerlin unter Ernst Eduard Kummer,Karl Weierstraß und LeopoldKronecker

1880 Studium in Leipzig

1881 Promotion bei Klein in Leipzig

Danach Wechsel an dieGeorg-August-Universität Göttingen,Habilitation, Privatdozent.

1884 Ruf an die Albertus-UniversitätKönigsberg

(lernte David Hilbert kennen)

1892 Ruf an die ETH Zürich.Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich



Ferdinand Gotthold Max Eisenstein [2]

Ab 1840 besuchte er Vorlesungen vonDirichlet an der Universität Berlin.

1842 Umzug (England, Wales, Irland)

1843 Umzug nach Berlin.

1843 Studium in Berlin

1844 erschien in Crelles Journal 25Arbeiten.

1845 wurde er als Student im drittenSemester Ehrendoktor der UniversitätBreslau.

1845 vorgeschlagen für den OrdenPour le Mérite.

1847 Habilitation und Privatdozentand der Berliner Universität

1850 für Professur vorgeschlagen –Abgelehnt wegen Zweifell anLehrbefähigung

1852 stirbt an Blutsturz (Tuberkulose)


? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin


Martin Maximilian Emil Eichler

Martin Maximilian Emil Eichler [1]

1930 Studium in Königsberg, Zürichund Halle

(Mathematik, Physik, Chemie)

1936 Promotion über”Zahlentheorie

der rationalen Quaternionenalgebren“

1936 Assistent in Halle

1939 Habilitation in Göttingen

Arbeitete in der HeeresversuchsanstaltPeenemünde und an der TUDarmstadt

1947 Versuchsanstalt der RoyalAircraft in Farnborough in England

1949 Professor an der WestfälischenWilhelms-Universität in Münster

1956 Professor in Marburg.

1959 Ruf nach Basel.

Martin Maximilian Emil Eichler? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern



Firoz Kaderali

Firoz Kaderali [4]

1969 Diplom an der TH Darmstadt /Theoretische ElektrotechnikAssistent an der TH Darmstadt

1974 Promotion an der TH Darmstadt/ Symbolische NetzwerkanalyseDozent an der TH Darmstadt

1976 ProjektleiterSEL-Forschungszentrum Stuttgart

1981 Entwicklungsleiter Großsystemebei Telenorma Frankfurt

1986 Ruf an die FernUniversitätHagen, Professor fürKommunikationssysteme

2007 Pensionierung Firoz Kaderali3

3Quellennachweis:[4] https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml

https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml


Abstrakt

Abstrakt

Mit zahlentheoretische Fragen beschäftigten sich Gelehrte seit der Existenz vonZahlen. Beispielsweise kannten schon die Babylonier das Konzept der Quadratzahlen.Im antiken Griechenland wurde die Entwicklung der Zahlentheorie systematischvorangetrieben. Stichwortartig wären hier Euklid und sein berühmtes Werk

”Elemente“ zu nennen, welches bis ins achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch

für Geometrie und Zahlentheorie verwendet wurde.

Dieser Vortrag setzt etwa in der frühen Neuzeit und dem neunzehnten Jahrhundert an.Zu dieser Zeit wurden viele elementare zahlentheoretische Funktionen gefunden undstudiert. Unser dominierendes Beispiel im Vortrag ist die Divisorfunktion und einigeihrer Eigenschaften.

Die Frage nach einem abstrakteren Rahmen, um gewisse Eigenschaften vonelementaren zahlentheoretischen Funktionen zu beschreiben und zu studieren, führtzum Konzept der Modulformen, welches am Beispiel der Eisensteinreihen erläutertwird.

Martin Eichler, dessen Foto Sie auf der Einladung abgebildet sehen, führte für seinStudium der Modulformen den Begriff der modularen Integrale ein. Für die Expertensei hier noch das Stichwort

”Eichler–Shimura–Theorie“ genannt. Dieses Konzept der

modularen Integrale aufgreifend stelle ich Ihnen zum Schluss ein Resultat aus meinerArbeit

”Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock

modular forms“ vor. Diese Veröffentlichung wurde mit dem Fakultätspreis 2015 für diebeste wissenschaftliche Arbeit ausgezeichnet.


Referenzen aus dem Web

Referenzen aus dem Web:Wikipedia, FernUniversität in Hagen und Bildernachweis

Seite”Martin Eichler“.

In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 25.September 2014, 14:54 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Martin_Eichler&oldid=134350705

Seite”Gotthold Eisenstein“.

In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11.Oktober 2014, 17:55 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gotthold_Eisenstein&oldid=134798801

Seite”Adolf Hurwitz“.

In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 30. März2015, 13:06 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Adolf_Hurwitz&oldid=140409247

FernUni PLUS – Schlusspunkt vom 19.10.2012.

”Weinprobe“.

https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Martin_Eichler&oldid=134350705https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gotthold_Eisenstein&oldid=134798801https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Adolf_Hurwitz&oldid=140409247https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml


Sonstige Referenzen

Sonstige Referenzen

J. Gimenez und W. Raji.q-Expansions of vector-valued modular forms of negative weight.The Ramanujan Jourbal 27 (2012), 1–13.doi:10.1007/s11139-011-9299-9

J. Gimenez, T. Mühlenbruch und W. Raji.Construction of Vector-Valued Modular Integrals and Vector-ValuedMock Modular Forms.The Ramanujan Journal, Online 04. Oktober 2014.doi:10.1007/s11139-014-9606-3

http://dx.doi.org/10.1007/s11139-011-9299-9http://dx.doi.org/10.1007/s11139-014-9606-3

DivisorfunktionenElementare zahlentheoretische FunktionenWas ist eine DivisorfunktionEigenschaften der Divisorfunktion

ModulformenWas ist eine EisensteinreiheTheorie der ModulformenNutzen der Modulformen

Modulare IntegraleWas ist ein modulares IntegralModulare Integrale

ZahlentheorieWarum ist Zahlentheorie von Interesse?

PersonenAdolf HurwitzFerdinand Gotthold Max EisensteinMartin Maximilian Emil EichlerFiroz Kaderali

AbstraktAbstrakt

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