¨ Ubungsblatt 5 Abgabe: 19.05./22.05. Theoretische Physik A, Laserphysik RWTH Aachen Prof. Dr. H.-J. Kull Theoretische Physik: Elektrodynamik SS 2006 (H1) Dipol im Mittelpunkt einer Kugel a) Im Mittelpunkt einer homogen geladenen Hohlkugel (Außenradius: R, Innen- radius: , Ladung: Q) befinde sich ein mathematischer Dipol mit dem Dipol- moment p. Zeigen Sie, daß die Hohlkugel keine Kraft auf den Dipol aus¨ ubt. Zeigen Sie dann, daß der Dipol keine Kraft auf die Hohlkugel aus¨ ubt, indem Sie explizit ¨ uber die Kraftdichte integrieren. b) Im Mittelpunkt einer homogen geladenen Vollkugel (Radius: R, Ladung Q) befinde sich ein mathematischer Dipol mit dem Dipolmoment p. Welche Kraft wirkt auf den Dipol? Welche Kraft wirkt auf die Vollkugel? Berechnen Sie bei- de Kr¨ afte explizit, indem Sie ¨ uber die entsprechenden Kraftdichten integrieren und im zweiten Fall das Volumenintegral in ein konvergentes Oberfl¨ acheninte- gral umformen. (H2) Dipolwechselwirkung Zwei mathematische Dipole mit den Momenten p 1 und p 2 seien im Abstand r vonein- ander drehbar um ihre Schwerpunkte gelagert. W¨ ahlen Sie ein Koordinatensystem mit Ursprung am Ort von p 1 , d.h. r 1 = 0, r 2 = r. a) Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie der Dipole? Betrachten Sie die Spe- zialf¨ alle p 1 ↑↑ p 2 , p 1 ↑↓ p 2 und p 1 ⊥ p 2 . Bestimmen Sie jeweils die Gleichge- wichtslage (Winkel zwischen p 1,2 und Verbindungsachse r) aus der Bedingung minimaler Wechselwirkungsenergie. b) Mit welcher Kraft ziehen sich die Dipole an? c) Berechnen Sie die Drehmomente, die jeweils auf die Dipolmomente wirken. Zeigen Sie, daß das gesamte Drehmoment der Anordnung verschwindet. (H3) Feldenergie einer geladenen Kugel Berechnen Sie die Energie des Feldes einer homogen geladenen Kugel mit Radius R und Ladung Q. Bestimmen sie den klassischen Elektronenradius R = R c aus der Bedingung, daß die Feldenergie einer kugelf¨ ormigen Elementarladung Q = e gleich der Ruhemassenenergie mc 2 des Elektrons ist.
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Ubungsblatt 5Abgabe:
19.05./22.05.
Theoretische Physik A, LaserphysikRWTH Aachen
Prof. Dr. H.-J. Kull
Theoretische Physik:Elektrodynamik
SS 2006
(H1) Dipol im Mittelpunkt einer Kugel
a) Im Mittelpunkt einer homogen geladenen Hohlkugel (Außenradius: R, Innen-radius: ε, Ladung: Q) befinde sich ein mathematischer Dipol mit dem Dipol-moment p. Zeigen Sie, daß die Hohlkugel keine Kraft auf den Dipol ausubt.Zeigen Sie dann, daß der Dipol keine Kraft auf die Hohlkugel ausubt, indemSie explizit uber die Kraftdichte integrieren.
b) Im Mittelpunkt einer homogen geladenen Vollkugel (Radius: R, Ladung Q)befinde sich ein mathematischer Dipol mit dem Dipolmoment p. Welche Kraftwirkt auf den Dipol? Welche Kraft wirkt auf die Vollkugel? Berechnen Sie bei-de Krafte explizit, indem Sie uber die entsprechenden Kraftdichten integrierenund im zweiten Fall das Volumenintegral in ein konvergentes Oberflacheninte-gral umformen.
(H2) Dipolwechselwirkung
Zwei mathematische Dipole mit den Momenten p1 und p2 seien im Abstand r vonein-ander drehbar um ihre Schwerpunkte gelagert. Wahlen Sie ein Koordinatensystemmit Ursprung am Ort von p1, d.h. r1 = 0, r2 = r.
a) Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie der Dipole? Betrachten Sie die Spe-zialfalle p1 ↑↑ p2, p1 ↑↓ p2 und p1 ⊥ p2. Bestimmen Sie jeweils die Gleichge-wichtslage (Winkel zwischen p1,2 und Verbindungsachse r) aus der Bedingungminimaler Wechselwirkungsenergie.
b) Mit welcher Kraft ziehen sich die Dipole an?c) Berechnen Sie die Drehmomente, die jeweils auf die Dipolmomente wirken.
Zeigen Sie, daß das gesamte Drehmoment der Anordnung verschwindet.
(H3) Feldenergie einer geladenen Kugel
Berechnen Sie die Energie des Feldes einer homogen geladenen Kugel mit RadiusR und Ladung Q. Bestimmen sie den klassischen Elektronenradius R = Rc aus derBedingung, daß die Feldenergie einer kugelformigen Elementarladung Q = e gleichder Ruhemassenenergie mc2 des Elektrons ist.
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Ein unpolarisierter Strahl von elektrischen Dipolmomenten p durchquere ein inho-mogenes elektrisches Feld E = E(z)ex. In welcher Richtung tritt eine Aufweitungdes Strahls ein? Welche Komponente des Dipolmoments ist fur die Ablenkung ver-antwortlich.
Anleitung:Berechnen Sie die Kraft auf ein Dipolmoment nach den Formeln
F1 =
∫dV %DipolE, %Dipol = −p · ∇δ(r),
F2 = −∇U, U = −p ·E .
Warum ist F1 6= F2? Welches Ergebnis ist richtig?
(H2) Wechselwirkungsanteil der Feldenergie
Die Ebene x = 0 sei die Oberflache eines Leiters mit dem Potential φ = 0. EinePunktladung q wird im Halbraum x > 0 aus dem Unendlichen bis auf den Abstanda an die Oberflache herangefuhrt. Berechnen Sie den Wechselwirkungsanteil ∆U derFeldenergie, den Sie erhalten, wenn Sie von der Feldenergie des Endzustandes U(a)die (divergente) Selbstenergie U(∞) des Anfangszustandes abziehen
∆U = U(a)− U(∞), U =
∫dV
1
8πE2
Wahlen Sie den Koordiatenursprung am Ort der Punktladung und fuhren Sie dieIntegration in Kugelkoordinaten durch.
(H3) Multipolmomente
a) Zeigen Sie, daß das Dipolmoment und alle Elemente des Quadrupoltensorseiner homogen geladenen Kugel verschwinden.
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Ubungsblatt 7Abgabe:02.06.
Theoretische Physik A, LaserphysikRWTH Aachen
Prof. Dr. H.-J. Kull
Theoretische Physik:Elektrodynamik
SS 2006
(H1) Vorgegebenes Potential auf Kugeloberflache
Auf einer Kugel mit Radius R sei ein zylindersymmetrisches Potential
φ(θ) = φ0 cos θ, φ0 = const, θ : Winkel zur z-Achse
vorgegeben. Bestimmen Sie das Potential im Außenraum r > R
a) mit der Bildladungsmethode,b) mit einer Entwicklung des Potentials auf der Kugeloberflache nach Legendre-
Polynomen.
(H2) Punktladung vor leitender Kugel
Eine Punktladung q befinde sich im Abstand a vom Mittelpunkt einer geerdetenMetallkugel mit Radius R. Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Bildladung q′,die im Abstand a′ auf der Verbindungslinie zwischen dem Kugelmittelpunkt und derLadung q angebracht ist, das Potential der Anordnung.
(H3) Vorgegebenes Potential auf ebener Flache
Auf der Flache x = 0 wird durch eine kreisformige Elektrode ein Potential
φ∣∣∣x=0
(y, z) =
{φ1 fur y2 + z2 ≤ R2
φ2 fur y2 + z2 > R2.
mit beliebigen Konstanten φ1, φ2 vorgegeben. Geben Sie das Randwertproblem furdas skalare Potential φ(x, y, z) im Halbraum x > 0 an und bestimmen Sie explizitdie Losung φ(x, 0, 0) auf der positiven x-Achse.Anleitung: Klassifizieren Sie die Randbedingung und bestimmen Sie eine entspre-chende Green-Funktion. Berechnen Sie dann das Potential auf der x-Achse mithilfedieser Green-Funktion durch Integration.
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|iQ40,Jr")BDynamik Ubung 7
Simon Saviallich (250840)
Moritz Waldorf (250780)
2. Juni 2006
(H1) a) Eine Punktladung reicht für die Bildladung nicht, da das Potential zylinder- aber nichtkugelsymmetrisch ist. Für einen Dipol gilt aber:
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Ist der Dipol zur z-Achse ausgerichtet gilt:
P ' L : c o s q - P r
Eingesetzt ergibt sich:
6 : \ c o s o
Daraus folgt für die betrachte?Oberfläche:
q = ficosoDurch Vergleich mit den Vorgaben ist sofort ersichtlich:
. pA o : N
P : ÖoR2
Einsetzen in (1) ergibt
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b) Für zylindersymmetrische FäUe gilt nach Skript:
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G-4IJ '^r
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qv 'o) :l) tl "-#6'r-(r+1)41cos d)
7-on!2Auf dem Rand der betrachteten Kugel gilt:
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' A ,n ( r t t ) 41cos0 ) :66 .cosd
-- | +1f
( 1 )
/?lt*'trn|r/
Hieraus folgt:
0o cosl : fir"a+oAr. R-2 coslh= öoR2Jl,ac41tl
-fG^,td_+
Alle weiteren ö7 verschwindeY Durch Einsetzen vo n \ in QQ,O) erhalten wir nun:
ö(,, o) :,1!* ^o",1 T,-2 .-so = öo#' "o", Lu1
(H2) Mit allgemeinen qr, a/ beträgt das Potential o.B.d.A.:
ö:#*t.#*t JDa q, g/ auf einer Geraden liegen ist der Winkel zwischen ihren Punlrten 'nd dem punkt r dergleiche. Nach dem Kosinussatz gilt:
, q'
lr2idr4ar cosc, JP +F -tAF cos dFür r : .B muss das Potentia.l 0 werden, da die Kugel geerdet ist.
n : 9 - - ' r I '
üc-atuet? " : f f i+ f f i V i l
AW"h-t *T
Tu*:1 wi a'(a, R,q) sowie g/(a,.R, q) bestirnmen. Dieses System hat also einen Fleiheits-
11t* ltJ.l grad. Zunächst wii.hlen wir at,daa'3 R
a : I t .
Durch Einsetzen und Auflösen nach o, erhalten wir:
P' : !
. a<1
, R va : -s-
Q
Daraus folgt für das Potential
(2)
teilt, mit
r2 + a'2 - 2a'r cos a
. r_ q Rq' r - 1r-a.f,- "V-+A
(H3) Die ,'Wände" im dnendlichen liefern keinen Beitrag zum Gesamtpotential, da ihr Potential 0 ist.Des weiteren liegt keine Ladungsverteilung im Volumen vor, auch hier rührt a,lso kein Potentialher. Für das Gesamtpotential gilt also:
ö: o, I as,ra^,c(r,r,) + öz I as,ra^,eg,r,1' J
' Aus der Bildlarlungsmethode folgt die Greenfunktion für die Fläche, die den Raumr : p + r e r :
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Da wir nur die x-Achse betrachten, setzen wir P : 0 :
1r / rG(r , r ' ) : -+ l -+
r r \ v \ f l ; - r r + - F 4 -
Die Ableitung rln'G la.utet:
JCTTY+aE+7- l I 1
: : - : ( - - -4n ',/A ^/B
von
2r
Für das Fltichenelement dS/ gilt in Polarkoordinaten:
Somit lautet das Integral aus (2):
ö :
- ^ - - L l , * ^ - s -1 . f r- 'pt 'T \v2 - vtt '
