Differentialgeometrie - Uni Koblenz-Landau · Jürgen Roth Differentialgeometrie 3.9 Satz von...

Differentialgeometrie 3.1 Jürgen Roth

Inhaltsverzeichnis

Differentialgeometrie

1 Euklidische Geometrie

2 Kurventheorie

3 Klassische Flächentheorie

4 Innere Geometrie von Flächen

5 Geometrie und Topologie


Kapitel 3:

Klassische Flächentheorie

Differentialgeometrie

http://www.juergen-roth.de ► Lehre ► Differentialgeometrie


Inhaltsverzeichnis

Kapitel 3: Klassische Flächentheorie

3.0 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit

3.1 Reguläre Flächen

3.2 Die Tangentialebene

3.3 Die erste Fundamentalform

3.4 Normalenfelder und Orientierbarkeit

3.5 Die zweite Fundamentalform

3.6 Krümmung

3.7 Flächeninhalt und Integration auf Flächen

3.8 Einige Klassen von Flächen

3.8.1 Regelflächen

3.8.2 Minimalflächen

3.8.3 Drehflächen

3.8.4 Röhrenflächen


3.0 Partielle Ableitungen

und Differenzierbarkeit



Richtungsableitung

Bemerkung 3.0.1

Teilaspekte der Differenzierbarkeit von Funktionen 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ

lassen sich mit den Mitteln analysieren, die aus der Analysis einer

Variablen zur Verfügung stehen.

Man wählt dazu eine Richtung 𝑎 und definiert eine Funktion 𝑔(𝑕): 𝑔:ℝ → ℝ, 𝑕 ↦ 𝑔 𝑕 = 𝑓(𝑥 1 + 𝑕 ∙ 𝑎1, … , 𝑥 𝑛 + 𝑕 ∙ 𝑎𝑛)

Die Funktion 𝑔(𝑕) kann, wenn sie differenzierbar ist, nach dem

Argument 𝑕 abgeleitet werden.

Diese Richtungsableitung kann als Grenzwert geschrieben

werden: 𝜕𝑓

𝜕𝑎 ≔ lim

𝑕→0

𝑓 𝑥 1 + 𝑕 ∙ 𝑎1, … , 𝑥 𝑛 + 𝑕 ∙ 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑥 1, … , 𝑥 𝑛)

𝑕

Diese Größe lässt sich einfach graphisch deuten: Die Funktion 𝑓

bildet die Gerade 𝑥 + ℝ ∙ 𝑎 auf eine Kurve auf der Hyperfläche ab.

Diese Kurve ist der Graph einer Funktion ℝ → ℝ, an die man wie

gewohnt eine Tangente legen kann.


Richtungsableitung

𝑥 1𝑥 2

𝑓(𝑥 )+ 𝑕 ∙

𝑎1

𝑎2

𝜕𝑓

𝜕𝑎

𝑓(𝑥 )

𝑓(𝑥 + 𝑕𝑎 )

𝑥

𝑎


Partielle Ableitung

Bemerkung 3.0.2

Besonders praktisch sind die Ableitungen in Richtung der

Koordinatenachsen, die deshalb einen eigenen Namen haben.

Definition 3.0.3

Die partielle Ableitung einer Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ nach einer

Variablen 𝑥𝑘 im Punkt 𝑥 = 𝑥 1, … , 𝑥 𝑛𝑇 ist:

𝑓𝑥𝑘𝑥 ≡

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑘 𝑥

≔𝜕𝑓

𝜕𝑒𝑘 𝑥

= lim𝑕→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 ∙ 𝑒𝑘 − 𝑓(𝑥 )

𝑕

Bemerkung 3.0.4: Berechnung der partiellen Ableitung

Die partielle Ableitung 𝑓𝑥𝑘≡

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑘 der Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ nach der

Variablen 𝑥𝑘 berechnet man, indem man alle anderen Variablen

konstant hält und 𝑓 nach 𝑥𝑘 „normal“, also als Funktion ℝ → ℝ

ableitet.


Partielle Ableitung

Beispiel 3.0.5

𝑕:ℝ3 → ℝ, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = sin3(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑕

𝜕𝑥= 3𝑦𝑧 ∙ sin2 𝑥𝑦𝑧 ∙ cos(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑕

𝜕𝑦= 3𝑥𝑧 ∙ sin2 𝑥𝑦𝑧 ∙ cos(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑕

𝜕𝑧= 3𝑥𝑦 ∙ sin2 𝑥𝑦𝑧 ∙ cos(𝑥𝑦𝑧)

Beispiel 3.0.7

𝑓:ℝ3 → ℝ, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 𝑥2 + 𝑒𝑦𝑧

𝑓𝑥 =𝜕𝑓

𝜕𝑥= 2𝑥

𝑓𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑧 ∙ 𝑒𝑦𝑧

𝑓𝑧 =𝜕𝑓

𝜕𝑧= 𝑦 ∙ 𝑒𝑦𝑧

Bemerkung 3.0.6

Natürlich kann man auch

partielle Ableitungen höherer

Ordnung bilden.

Eine partielle Ableitung zweiter

Ordnung ist etwa:

𝑓𝑥𝑦 ≔𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑓𝑥𝑥 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥2 = 2

𝑓𝑦𝑥 =𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥= 0

𝑓𝑧𝑥 =𝜕2𝑓

𝜕𝑧𝜕𝑥= 0

𝑓𝑥𝑦 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0

𝑓𝑦𝑦 =𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 = 𝑧2 ∙ 𝑒𝑦𝑧 𝑓𝑦𝑧 =𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑧

= 𝑒𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 ∙ 𝑒𝑦𝑧

𝑓𝑥𝑧 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑧= 0

𝑓𝑧𝑦 =𝜕2𝑓

𝜕𝑧𝜕𝑦

= 𝑒𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 ∙ 𝑒𝑦𝑧 𝑓𝑧𝑧 =𝜕2𝑓

𝜕𝑧2 = 𝑦2 ∙ 𝑒𝑦𝑧


Satz von Schwarz

Satz 3.0.8: Satz von Schwarz

Ist eine Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ in einer Umgebung 𝑈 von 𝑥 mindestens 𝑝-mal

partiell differenzierbar und sind alle 𝑝-ten partiellen Ableitungen in 𝑈 stetig,

dann ist in 𝑥 die Differentationsreihenfolge in allen 𝑞-ten partiellen

Ableitungen mit 𝑞 ≤ 𝑝 unerheblich.

Bemerkung 3.0.9: Kurz: 𝑓 ∈ 𝐶𝑝(𝑈) ⇒

Definition 3.0.10

Eine Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ ist dann im Punkt 𝑥 = 𝑥 1, … , 𝑥 𝑛𝑇

differenzierbar, wenn es einen Vektor 𝑎 gibt, sodass man sie in der Form 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛

𝑇 = 𝑓 𝑥 + 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑥 + 𝑅(𝑥)

schreiben kann und der Fehler 𝑅(𝑥) von

höherer als erster Ordnung verschwindet:

Die Funktion 𝑓 heißt differenzierbar in 𝐵 ⊆ ℝ𝑛, wenn sie in jedem Punkt

𝑝 ∈ 𝐵 differenzierbar ist.

Alle partiellen Ableitungen bis zur

p−ten Ordnung sind vertauschbar.

lim𝑥→𝑥

𝑅(𝑥)

𝑥−𝑥 = 0


Gradient

Definition 3.0.11

Der Gradient einer im Punkt 𝑝

partiell differenzierbaren Funktion

𝑓:ℝ𝑛 → ℝ ist der Vektor der

partiellen Ableitungen in diesem

Punkt:

Bemerkung 3.0.12

Oft kann man den Gradienten allgemein, also ohne Bezug auf

einen bestimmten Punkt berechnen. Dann lässt man die

Kennzeichnung 𝑝 weg und schreibt einfach grad 𝑓.

Das zu grad alternative Zeichen 𝛻 wird „Nabla“ gesprochen.

Mit dem Gradient lässt sich die lineare Approximation

differenzierbarer Funktionen 𝑓 schreiben als:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑝 + grad 𝑓 𝑝

∙ 𝑥 − 𝑝 + 𝑅(𝑥)

𝛻𝑓 𝑝

≡ grad 𝑓 𝑝

≔

𝜕𝑓

𝜕𝑥1 𝑝

⋮𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛 𝑝


Gradient

Beispiel 3.0.13

𝑓:ℝ3 → ℝ, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 𝑥2 ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 2𝑥 ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 𝑥2 ∙ sin(𝑧) ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 𝑥2𝑦 ∙ cos(𝑧) ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

grad 𝑓 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑧

=

2𝑥 ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

𝑥2 ∙ sin(𝑧) ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

𝑥2𝑦 ∙ cos(𝑧) ∙ 𝑒𝑦∙sin(𝑧)

Bemerkung 3.0.14: Eigenschaften des Gradienten

Für eine differenzierbare Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ gilt für die

Richtungsableitung in eine beliebige Richtung 𝑎 :

𝜕𝑓

𝜕𝑎 𝑝

= 𝑎 ∙ grad 𝑓 𝑝 (*)


Gradient

Bemerkung 3.0.14: Eigenschaften des Gradienten (Fortsetzung 1)

Aus (*) folgt mit der Cachy-Schwarz‘schen Ungleichung:

𝜕𝑓

𝜕𝑎 𝑝

≤ 𝑎 ∙ grad 𝑓 𝑝 = grad 𝑓 𝑝

da 𝑎 ein Einheitsvektor ist.

Der Betrag der Änderung von 𝑓 kann also nie größer sein als

die Norm des Gradienten.

Anders formuliert gilt also: Die Norm des Gradienten gibt das

Ausmaß der maximalen Änderung von 𝑓 im Punkt 𝑝 an.

Für eine differenzierbare Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ mit grad 𝑓 ≠ 0 gibt

der Vektor 𝑒 ≔grad 𝑓

grad 𝑓 die Richtung des steilsten Anstiegs von 𝑓

an.

Entsprechend gibt −𝑒 die Richtung des steilsten Abfalls an.

Die Richtungsableitung wird also maximal, wenn man in

Richtung des Gradienten ableitet.


Gradient

Bemerkung 3.0.14: Eigenschaften des Gradienten (Fortsetzung 2)

Der Gradient erfüllt als linearer Differenzialoperator die Produkt

und Kettenregel. Für Funktionen 𝑓, 𝑔:ℝ𝑛 → ℝ und Zahlen 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

gilt:

grad 𝛼 ∙ 𝑓 + 𝛽 ∙ 𝑔 = 𝛼 ∙ grad 𝑓 + 𝛽 ∙ grad 𝑔

grad 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝑔 ∙ grad 𝑓 + 𝑓 ∙ grad 𝑔

Für 𝑔 ≠ 0 gilt weiter:

grad 𝑓

𝑔=

1

𝑔2∙ 𝑔 ∙ grad 𝑓 − 𝑓 ∙ grad 𝑔

Für jede (affin) lineare Funktion gilt

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑝 + grad 𝑓 𝑝

∙ 𝑥 − 𝑝

d. h. 𝑅 𝑥 ≡ 0.


Jakobi-Matrix

Bemerkung 3.0.15

Eine Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑚 kann als Vektor aufgefasst werden,

dessen Komponenten 𝑓𝑘(𝑥1, … , 𝑥𝑛) für alle 𝑘 = 1,… ,𝑚 Funktionen

der Bauart 𝑓𝑘: ℝ𝑛 → ℝ sind.

Um für solche Funktionen die wesentlichen Informationen über die

lineare Approximation zu erhalten, muss man alle 𝑓𝑘 nach allen

Variablen partiell ableiten, wenn diese partiellen Ableitungen

existieren.

Die Matrix, die alle diese partiellen Ableitungen an der Stelle 𝑝

enthält ist die sogenannte Jacobi-Matrix:

𝐷𝑝𝑓 ≡ 𝐽𝑓 𝑝

≡𝜕 𝑓1,…,𝑓𝑚

𝜕 𝑥1,…𝑥𝑛 𝑝

≔

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1(𝑝) ⋯

𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑛(𝑝)

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑚

𝜕𝑥1(𝑝) ⋯

𝜕𝑓𝑚

𝜕𝑥𝑛(𝑝)


Jacobi-Matrix

Beispiel 3.0.16

𝑓:ℝ3 → ℝ, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ↦ 𝑥12 + 𝑥2 ∙ 𝑒𝑥3

𝐷𝑓 = 2𝑥1, 𝑒𝑥3 , 𝑥2 ∙ 𝑒𝑥3 = grad 𝑓 𝑇

𝑔:ℝ2 → ℝ3, 𝑥1, 𝑥2 ↦

sin (𝑥1𝑥2)

𝑥12 − 𝑥2

2

cos (𝑥2)

𝐷𝑔 =

𝑥2 ∙ cos (𝑥1𝑥2) 𝑥1 ∙ cos (𝑥1𝑥2)2𝑥1 −2𝑥2

0 −sin (𝑥2)

Bemerkung 3.0.17

Wie schon der Gradient für

Funktionen ℝ𝑛 → ℝ existiert

auch die Jakobi-Matrix bereits,

wenn die Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑚

partiell differenzierbar ist.

Wirklich interessant sind hier

aber nur Funktionen die nicht

nur partiell differenzierbar,

sondern differenzierbar sind.

Auch hier wird in der folgenden

Definition 3.0.18 wieder über die

lineare Approximierbarkeit

argumentiert. Die dort

auftauchende Matrix 𝐴 ist

gerade die Jakobi-Matrix.


Differenzierbarkeit von

Funktionen 𝒇:ℝ𝒏 → ℝ𝒎

Definition 3.0.18

Eine Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ist dann im Punkt 𝑥 = 𝑥 1, … , 𝑥 𝑛𝑇

differenzierbar, wenn es eine 𝑚 × 𝑛 -Matrix 𝐴 gibt, sodass man

sie in der Form 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛

𝑇 = 𝑓 𝑥 + 𝐴 ∙ 𝑥 − 𝑥 + 𝑟(𝑥)

schreiben kann und der Fehler 𝑟(𝑥) von

höherer als erster Ordnung verschwindet:

lim𝑥→𝑥

𝑟(𝑥)

𝑥−𝑥 = 0

Die Funktion 𝑓 heißt differenzierbar in 𝐵 ⊆ ℝ𝑛, wenn sie in jedem

Punkt 𝑥 ∈ 𝐵 differenzierbar ist.

Bemerkung 3.0.19

Wenn die Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑚 im Punkt 𝑥 differenzierbar ist, dann

gilt:

𝐴 ≡ 𝐷𝑥 𝑓


3.1 Reguläre Flächen



Flächen im ℝ𝟑

Bemerkung 3.1.1

Flächen im dreidimensionalen Raum sind zweidimensionale

Objekte, d. h. die Punkte auf einer Fläche können durch zwei

unabhängige reelle Parameter beschrieben werden.

Die folgende Definition einer regulären Fläche ist lokal. Im

Gegensatz zu Kurven, die immer als Ganzes parametrisiert

wurden, wird bei Flächen nur verlangt, dass jeweils kleine Stücke

der Fläche durch eine Parametrisierung beschrieben werden

können.


Reguläre Fläche

Definition 3.1.2

𝑆 ⊂ ℝ3 heißt reguläre Fläche, wenn es zu jedem Punkt 𝑝 ∈ 𝑆 eine

offene Umgebung 𝑉 ⊂ ℝ3 von 𝑝, sowie eine offene Teilmenge

𝑈 ⊂ ℝ2 und eine glatte Abbildung 𝐹:𝑈 → ℝ3 gibt, so dass gilt:

(1) 𝐹 𝑈 = 𝑆 ∩ 𝑉 und 𝐹:𝑈 → 𝑆 ∩ 𝑉 ist ein Homöomorphismus

(d.h. 𝐹 ist bijektiv und sowohl 𝐹 als auch die

zugehörige Umkehrabbildung 𝐹−1 sind stetig).

(2) Die Jacobi-Matrix 𝐷𝑢𝐹 hat für jeden Punkt 𝑢 ∈ 𝑈

den Rang 2.

Bemerkung 3.1.3

Bedingung (1) bedeutet, dass die Punkte auf der Fläche 𝑆, die nahe bei 𝑝

liegen, die also auch in 𝑉 sind, über die Abbildung 𝐹 durch zwei Parame-

ter beschrieben werden, nämlich die Koordinaten der Punkte aus 𝑈 ⊂ ℝ2.

Bedingung (2) sorgt dafür, dass die beiden Parameter auch wirklich linear

unabhängig sind.


Reguläre Fläche


Lokale Parametrisierung

Definition 3.1.4

Die Abbildung 𝐹:𝑈 → 𝑆 ∩ 𝑉 aus Definition 3.1.2 bzw. das Tripel

𝑈, 𝐹, 𝑉 heißt lokale Parametrisierung von 𝑆 um 𝑝.

Die Menge 𝑆 ∩ 𝑉 heißt Koordinatenumgebung von 𝑝.

Die Komponenten 𝑢1 und 𝑢2 von 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 𝑇 heißen dann auch

Koordinaten des Punktes 𝐹 𝑢 ∈ 𝑆 bzgl. der Parametrisierung 𝐹.

Beispiel 3.1.5: Affine Ebene

Einfache Beispiele regulärer Flächen sind die affinen Ebenen. Die

affine Ebene durch den Punkt 𝑝 ∈ ℝ3, aufgespannt durch die linear

unabhängigen Vektoren 𝑋, 𝑌 ∈ ℝ3, ist folgende Menge:

𝑆 = 𝑝 + 𝑢1 ∙ 𝑋 + 𝑢2 ∙ 𝑌 𝑢1, 𝑢2 ∈ ℝ

Man kommt hier mit einer einzigen Parametrisierung für den

ganzen ℝ3 aus. Man kann nämlich setzen: 𝑉 ≔ ℝ3, 𝑈 ≔ ℝ2 und 𝐹:𝑈 → ℝ3, 𝑢1, 𝑢2 ↦ 𝑝 + 𝑢1 ∙ 𝑋 + 𝑢2 ∙ 𝑌


𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦

𝑦

𝑧

Beispiel: Funktionsgraphen

Beispiel 3.1.6: Funktionsgraphen

Sei 𝑈 ⊂ ℝ2 offen,

𝑓: 𝑈 → ℝ eine

glatte Funktion

und 𝑆 der Graph von 𝑓.

𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥, 𝑦 𝑇 ∈ U ∧ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Auch hier kommt man mit einer einzigen Koordinatenumgebung

aus, nämlich mit 𝑉 ≔ ℝ3 und 𝐹:𝑈 → ℝ3, 𝑥, 𝑦 𝑇 ↦ 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝑇.

Offensichtlich gilt Bedingung (1) von Definition 3.1.2:

𝐹 𝑈 = 𝑆 = 𝑆 ∩ 𝑉, 𝐹 ist glatt

Die Umkehrabbildung 𝐹−1: 𝑆 → 𝑈, 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝑇

↦ 𝑥, 𝑦 𝑇 ist stetig.

𝐹:𝑈 → 𝑆 ist ein Homöomorphismus.

Bedingung (2), dass die Jacobi-Matrix

𝐷(𝑥,𝑦)𝐹 für jedes 𝑥, 𝑦 𝑇 ∈ 𝑈 maximalen

Rang hat ist ebenfalls erfüllt.

𝐷(𝑥,𝑦)𝐹 =

1 00 1

𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦)


Beispiel: Sphäre

Beispiel 3.1.7: Sphäre

Die Sphäre ist gegeben durch:

𝑆2 =𝑥𝑦𝑧

∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

Hier kommt man nicht mehr mit

einer Koordinatenumgebung aus.

Es werden hier sogar sechs Koordinaten-

umgebungen verwendet, um die Sphäre zu überdecken. Es

handelt sich dabei (vgl. die Abbildung) jeweils um eine „Halbkugelschale“.

Erste Umgebung: 𝑉 ≔ 𝑉3+ ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑧 > 0

𝑆2 ∩ 𝑉3+ ist dann der Graph der Funktion

𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑥2 + 𝑦2 mit 𝑥2 + 𝑦2 < 1.

𝑈 ≔ 𝑥, 𝑦 𝑇 ∈ ℝ2 𝑥2 + 𝑦2 < 1

𝐹3+: 𝑈 → ℝ3, 𝑥, 𝑦 𝑇 ↦ 𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥2 + 𝑦2

𝑇

𝑈, 𝐹3+, 𝑉3

+ ist eine lokale Parametrisierung der Punkte aus 𝑆2 ∩ 𝑉3+.

𝐹3+ 𝑈 = 𝑆2 ∩ 𝑉3

+

𝐹3− 𝑈

𝐹1− 𝑈

𝐹1+ 𝑈 𝐹2

+ 𝑈

𝐹2− 𝑈


Beispiel: Sphäre

Beispiel 3.1.7: Sphäre (Fortsetzung 1)

Zweite Umgebung:

𝑉3− ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑧 < 0

𝑆2 ∩ 𝑉3− ist Graph der Funktion

𝑓 𝑥, 𝑦 = − 1 − 𝑥2 + 𝑦2 .

𝑈 ≔ 𝑥, 𝑦 𝑇 ∈ ℝ2 𝑥2 + 𝑦2 < 1

𝐹3−: 𝑈 → ℝ3, 𝑥, 𝑦 𝑇 ↦ 𝑥, 𝑦, − 1 − 𝑥2 + 𝑦2

𝑇

𝑈, 𝐹3−, 𝑉3

− ist eine lokale Parametrisierung der Punkte aus 𝑆2 ∩ 𝑉3−.

Es fehlen noch die Punkte 𝑝 ∈ 𝑆2 mit 𝑧-Koordinate 0. Diese kann man

erhalten, wenn man die Rolle der 𝑧-Koordinate mit der der 𝑥-Koordinate

bzw. der 𝑦-Koordinate vertauscht. Man erhält dann:

𝑉1+ ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥 > 0 und 𝑉1

− ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥 < 0 mit

𝐹1±: 𝑈 → ℝ3, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ ± 1 − 𝑦2 + 𝑧2 , 𝑦, 𝑧

𝑇

𝑉2+ ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑦 > 0 und 𝑉2

− ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑦 < 0 mit

𝐹2±: 𝑈 → ℝ3, 𝑥, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑥,± 1 − 𝑥2 + 𝑧2 , 𝑧

𝑇

𝐹3+ 𝑈 = 𝑆2 ∩ 𝑉3

+

𝐹3− 𝑈

𝐹1− 𝑈

𝐹1+ 𝑈 𝐹2

+ 𝑈

𝐹2− 𝑈


Beispiel: Sphäre


Es gilt:

∀𝑖=13 𝐹𝑖

± 𝑈 = 𝑆2 ∩ 𝑉𝑖±

𝐹𝑖± sind lokale

Parametrisierungen.

Jeder Punkt 𝑝 ∈ 𝑆2 liegt in

mindestens einer der Mengen

𝐹𝑖± 𝑈 .

Wie in Beispiel 3.1.6 zeigt man, dass 𝑆2 eine reguläre Fläche ist.

𝑆2 wurde hier mit 6 Koordinatenumgebungen überdeckt. Bei

Verwendung geeigneter lokaler Parametrisierungen kommt man

mit zwei Koordinatenumgebungen aus.

𝐹3+ 𝑈 = 𝑆2 ∩ 𝑉3

+

𝐹3− 𝑈

𝐹1− 𝑈

𝐹1+ 𝑈 𝐹2

+ 𝑈

𝐹2− 𝑈


Beispiel: Sphäre


Für viele Anwendungen ist es besser, Parametrisierungen der Sphäre 𝑆2

auf die geographischen Koordinaten von 𝑆2 zu beziehen.

Es gilt:

𝑈 = 𝜃, 𝜑 𝑇 ∈ ℝ2 0 < 𝜃 < 𝜋 ∧ 0 < 𝜑 < 2𝜋

𝐹1: 𝑈 → ℝ3,𝜃𝜑

↦sin𝜃 cos𝜑sin 𝜃 sin𝜑

cos 𝜃

𝜋

2− 𝜃 wird geographische Breite und

𝜑 geographische Länge genannt.

𝐹1(𝑈) lässt nur einen Halbkreis 𝐾 von 𝑆2

(einschließlich der beiden Pole) aus, nämlich

𝐾 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ 𝑆2 𝑦 = 0 ∧ 𝑥 ≥ 0 .

Vertauscht man die Rollen von 𝜃 und 𝜑 dann erhält man eine zweite

Koordinatenumgebung 𝐹2 die zusammen mit 𝐹1 die Sphäre 𝑆2 vollständig

überdeckt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Geografische_Breite

http://de.wikipedia.org/wiki/Geografische_Länge


Regularitätskriterium

für Flächen

Bemerkung 3.1.8

Das Finden von lokalen Parametrisierungen kann sehr mühsam

sein. Es ist deshalb hilfreich, wenn man für die Entscheidung, ob

eine Teilmenge 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche ist, weitere Kriterien

zur Verfügung hat.

Oft ist die Menge 𝑆 wie folgt über eine implizite Gleichung definiert

𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 . Das Kriterium in Satz 3.1.9

besagt: Wenn der Gradient von 𝑓 für keinen Punkt von 𝑆 gleich

Null ist, dann ist 𝑆 eine reguläre Fläche.

Satz 3.1.9: Regularitätskriterium für Flächen

Es sei 𝑉 ⊂ ℝ3 offen, 𝑓: 𝑉 → ℝ eine glatte Funktion und

𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 . Wenn gilt

∀𝑝∈𝑆 grad 𝑓 𝑝 ≠ 0,0,0 𝑇

dann ist 𝑆 eine reguläre Fläche.



für Flächen

Beispiel 3.1.10: Ellipsoid

𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1

mit 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ\*0+ ist ein Ellipsoid.

Mit 𝑉 ≔ ℝ3 und 𝑓:ℝ3 → ℝ,

𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 − 1

lässt sich 𝑆 schreiben als

𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 .

Um das Regularitätskriterium aus Satz 3.1.9 anwenden zu können,

muss der Gradient bestimmt werden:

grad 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2𝑥

𝑎2,2𝑦

𝑏2,2𝑧

𝑐2

𝑇

Der Gradient nimmt nur im Punkt 𝑝0 = 0,0,0 𝑇 den Wert Null an.

Da 𝑝0 ∉ 𝑆 (wegen 𝑓 0,0,0 ≠ 0), ist 𝑆 eine reguläre Fläche.



für Flächen

Bemerkung 3.1.11

Wenn 𝑆 in der Form 𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 gegeben

ist, dann ist ∀𝑝∈𝑆 grad 𝑓 𝑝 ≠ 0,0,0 𝑇 eine hinreichende aber

keine notwendige Bedingung dafür, dass 𝑆 regulär ist.

Man kann die Sphäre z. B. auch als Nullstellengebilde der

Funktion 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 2 schreiben:

𝑆2 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 2 = 0

Für den Gradienten von 𝑓 gilt:

grad 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 ∙ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 ∙2𝑥2𝑦2𝑧

Hier nimmt grad 𝑓 sogar für alle 𝑝 ∈ 𝑆 den Wert 0,0,0 𝑇 an.

Trotzdem ist die Sphäre 𝑆2 eine reguläre Fläche, die

beschreibende Funktion 𝑓 war nur ungeschickt gewählt.



für Flächen

Aufgaben 3.1.12

Zeigen Sie: Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche und 𝑊 ⊂ ℝ3 offen

ist, dann ist auch 𝑊 ∩ 𝑆 eine reguläre Fläche.

Die Eigenschaft „reguläre Fläche“ ist eine lokale Eigenschaft.

Zu zeigen ist also: Wenn es für jeden Punkt 𝑝 ∈ 𝑆 ⊂ ℝ3 in ℝ3 eine

offenen Umgebung 𝑉 von 𝑝 gibt, so dass 𝑉 ∩ 𝑆 eine reguläre

Fläche ist, dann ist auch 𝑆 selbst eine reguläre Fläche.

Lösungshinweise: Bär (2010, S. 299), Aufgaben 3.2 und 3.3

Beispiel 3.1.13: Doppelkegel

Ist der Doppelkegel

𝑆 =𝑥𝑦𝑧

∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2

=𝑥𝑦𝑧

∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0

eine reguläre Fläche?



für Flächen

Beispiel 3.1.13: Doppelkegel (Fortsetzung1)

Idee: Versuch der Anwendung des

Regularitätskriteriums (Satz 3.1.9)

grad 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = grad 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 2𝑥, 2𝑦,−2𝑧 𝑇

Der Gradient wird nur dann gleich

0,0,0 𝑇, wenn 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 0,0,0 𝑇.

Schränkt man 𝑓 auf die offene Teilmenge

𝑉0 ≔ ℝ3\* 0,0,0 𝑇+ ein, dann kann man

Satz 3.1.9 anwenden.

Es ergibt sich: 𝑆 ∩ 𝑉0 = 𝑆\* 0,0,0 𝑇+ ist eine reguläre Fläche.

Ist 𝑆 auch bei 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 0,0,0 𝑇


Satz 3.1.9 sagt dazu nichts aus. 𝑆 =𝑥𝑦𝑧

∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0

0,0,0 𝑇



für Flächen

Beispiel 3.1.13: Doppelkegel (Fortsetzung2)

Annahme: 𝑆 ist eine reguläre Fläche.

Dann gibt es eine lokale Parametrisierung um 𝑝 = 0,0,0 𝑇, d. h. eine

offene Teilmenge 𝑉 ⊂ ℝ3, eine offene Teilmenge 𝑈 ⊂ ℝ2 sowie eine

glatte Abbildung 𝐹:𝑈 → V mit 𝐹 𝑈 = 𝑆 ∩ 𝑉 und 𝐹:𝑈 → 𝑆 ∩ V ist ein

Homöomorphismus.

𝑢0 ≔ 𝐹−1 0,0,0 𝑇 ∈ 𝑈

Da 𝑈 eine offene Umgebung von 𝑢0 ist, existiert

eine offene Kreisscheibe 𝑈′ ⊂ 𝑈 mit Mittelpunkt 𝑢0.

Weil 𝐹:𝑈 → 𝑆 ∩ V ein Homöomorphismus ist,

ist 𝐹(𝑈′) eine offene Teilmenge von 𝑆 ∩ V.

Damit gibt es eine offene Menge 𝑉′ ⊂ 𝑉 ⊂ ℝ3 mit 𝐹 𝑈′ = 𝑆 ∩ 𝑉′.

Da 𝑉′ eine offene Umgebung von 0,0,0 𝑇 ist, sind alle Vektoren, mit

ausreichend kleiner Länge in 𝑉′ enthalten. Insbesondere liegen auch

Punkte 𝑝1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1𝑇 mit 𝑧1 > 0 und 𝑝2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2

𝑇 mit 𝑧2 < 0 in

𝑆 ∩ 𝑉′.



für Flächen

Beispiel 3.1.13: Doppelkegel (Fortsetzung 3)

𝐹 ∘ 𝛾 𝛾



für Flächen

Beispiel 3.1.13: Doppelkegel (Fortsetzung 4)

Sei ∀𝑖=12 𝑢𝑖 ≔ 𝐹−1(𝑝𝑖).

In der Kreisscheibe 𝑈′ werden 𝑢1 und 𝑢2 durch eine Kurve 𝛾

miteinander verbunden, der nicht durch den Mittelpunkt 𝑢0 der

Kreisscheibe verläuft.

Die Bildkurve 𝐹 ∘ 𝛾 muss wegen des

Zwischenwertsatzes durch den Punkt

0,0,0 𝑇 = 𝐹(𝑢0) verlaufen.

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme,

dass 𝑆 ist eine reguläre Fläche und

insbesondere 𝐹 bijektiv ist.

𝑆 ist also keine reguläre Fläche

sondern hat in 𝑝 = 0,0,0 𝑇 eine

sogenannte Singularität.

𝑆 =𝑥𝑦𝑧

∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0

0,0,0 𝑇


Glatte Abbildungen

Bemerkung 3.1.14

Im Folgenden wird die Differenzierbarkeit von Abbildungen untersucht,

deren Definitions- und/oder Wertebereich in einer regulären Fläche liegen.

„Glatt“ bedeutet immer „unendlich oft differenzierbar“.

Satz 3.1.15

Wenn

𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche,

(𝑈, 𝐹, 𝑉) eine lokale Parametrisierung von 𝑆,

𝑊 ⊂ ℝ𝑛 eine offenen Menge und

𝜑:𝑊 → ℝ3 eine Abbildung mit 𝜑 𝑊 ⊂ 𝑆 ∩ 𝑉

ist, dann gilt:

𝜑 ist genau dann eine glatte Abbildung,

wenn 𝐹−1 ∘ 𝜑:𝑊 → 𝑈 ⊂ ℝ2 glatt ist. Beweis: Vgl.

Bär (2010), S. 100f


Glatte Abbildungen

Bemerkung 3.1.16

Bei Fragen zur

Differenzierbarkeit

einer Abbildung mit

Werten in einer regulären

Fläche 𝑆 spielt es nach

Satz 3.1.15 also keine

Rolle, ob die Abbildung

mit Werten in ℝ3 oder

mittels Koordinaten als

Abbildung mit Werten

in ℝ2 betrachtet wird.


Glatte Abbildungen

Satz 3.1.17

Wenn 𝑆 eine reguläre Fläche ist und (𝑈1, 𝐹1, 𝑉1) sowie (𝑈2, 𝐹2, 𝑉2) lokale Parametrisierungen sind, dann ist folgende Abbildung glatt:

𝐹2−1 ∘ 𝐹1: 𝐹1

−1 𝑉1 ∩ 𝑉2 → 𝐹2−1 𝑉1 ∩ 𝑉2

Beweis:

Setz man

𝑊 = 𝐹1−1(𝑉1 ∩ 𝑉2),

𝜑 = 𝐹1 und

𝑈, 𝐹, 𝑉 = 𝑈2, 𝐹2, 𝑉2

dann liefert Satz 3.1.15

direkt die Behauptung.

#


Glatte Abbildungen

Beispiel 3.1.18

Wir betrachten eine solche Parametertransformation im Fall der

Sphäre 𝑆 = 𝑆2. Wie in Beispiel 3.1.7 ist:

𝐹1 = 𝐹1+: 𝑈 → ℝ3, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ 1 − 𝑦2 + 𝑧2 , 𝑦, 𝑧

𝑇

𝐹2 = 𝐹2−: 𝑈 → ℝ3, 𝑥, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑥, − 1 − 𝑥2 + 𝑧2 , 𝑧

𝑇

Dann ist 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑉1+ ∩ 𝑉2

− = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥 > 0 ∧ 𝑦 < 0

und damit 𝐹1−1 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ2 𝑦2 + 𝑧2 < 1 ∧ 𝑦 < 0

sowie 𝐹2−1 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑥, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ2 𝑥2 + 𝑧2 < 1 ∧ 𝑥 > 0 .

Für 𝐹2−1 ∘ 𝐹1 ergibt sich:

𝐹2−1 𝐹1 𝑦, 𝑧 = 𝐹2

−1 1 − 𝑦2 − 𝑧2, 𝑦, 𝑧 = 1 − 𝑦2 − 𝑧2

𝑧

Dies ist eine glatte Abbildung.


Differenzierbarkeit von

Abbildungen 𝑓 mit 𝔻𝒇 ⊂ 𝑺

Satz 3.1.19

Sei 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche, 𝑝 ∈ S und 𝑓: 𝑆 → ℝ𝑛 eine Abbildung.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) Es gibt eine offene Umgebung 𝑉 von 𝑝 in ℝ3 und eine

Fortsetzung 𝑓 von 𝑓 𝑆∩𝑉 auf 𝑉, die um 𝑝 glatt ist.

(2) Es gibt eine lokale Parametrisierung 𝑈, 𝐹, 𝑉 mit 𝑝 ∈ 𝑉, so dass

𝑓 ∘ 𝐹: 𝑈 → ℝ𝑛 um 𝐹−1(𝑝) glatt ist.

(3) Für alle lokalen Parametrisierungen (𝑈, 𝐹, 𝑉) mit 𝑝 ∈ 𝑉 ist

𝑓 ∘ 𝐹: 𝑈 → ℝ𝑛 um 𝐹−1(𝑝) glatt.

Definition 3.1.20

Gelten die äquivalenten Bedingungen (1) bis (3) aus Satz 3.1.19,

dann heißt 𝑓 glatt nahe 𝒑.


Diff‘barkeit von Abbildungen 𝑓

mit 𝔻𝒇 ⊂ 𝑺𝟏 ∧ 𝕎𝒇 ⊂ 𝑺𝟐

Definition 3.1.21

Seien 𝑆1, 𝑆2 ⊂ ℝ3

reguläre Flächen.

𝑓 heißt glatt nahe

𝒑, wenn es eine

lokale Parametri-

sierung 𝑈1, 𝐹1, 𝑉1

von 𝑆1 um 𝑝 und

eine lokale Para-

metrisierung

𝑈2, 𝐹2, 𝑉2 von 𝑆2

um 𝑓(𝑝) gibt, so

dass die Abbildung

𝐹2−1 ∘ 𝑓 ∘ F1: 𝐹1

−1 𝑓−1 𝑉2 ∩ 𝑉1 → 𝑈2

nahe 𝑝 glatt ist.


Diff‘barkeit von Abbildungen 𝑓

mit 𝔻𝒇 ⊂ 𝑺𝟏 ∧ 𝕎𝒇 ⊂ 𝑺𝟐

Bemerkung 3.1.22

Eine Abbildung zwischen zwei regulären Flächen wird also glatt

genannt, wenn sie ausgedrückt in geeigneten Koordinaten glatt ist.

Da nach Satz 3.1.17 Parametertransformationen immer glatt (𝐶∞)

sind, ist eine solche Abbildung unabhängig von den gewählten

Koordinaten glatt.

Sind neben 𝑈𝑖 , 𝐹𝑖 , 𝑉𝑖 auch (𝑈 𝑖, 𝐹 𝑖 , 𝑉 𝑖) lokale Parametrisierungen

von 𝑆𝑖, dann ist mit 𝐹2−1 ∘ 𝑓 ∘ 𝐹1 auch

𝐹 2−1 ∘ 𝑓 ∘ 𝐹 1 = 𝐹 2

−1 ∘ 𝐹2

𝐶∞

∘ 𝐹2−1 ∘ 𝑓 ∘ 𝐹1

𝐶∞

∘ 𝐹1−1 ∘ 𝐹 1

𝐶∞

eine glatte Abbildung.

Diese Bemerkung ist sehr hilfreich, weil sie bedeutet, dass man

die Differenzierbarkeit einer Abbildung 𝑓 in möglichst geschickt

gewählten Koordinaten überprüfen kann.


Diffeomorphismus

Definition 3.1.23

Die Abbildung 𝑓: 𝑆1 → S2 einer regulären Fläche 𝑆1 ⊂ ℝ3 auf eine

reguläre Fläche 𝑆2 ⊂ ℝ3 heißt Diffeomorphismus, wenn 𝑓 bijektiv

ist und sowohl 𝑓 als auch 𝑓−1 glatt sind.

Existiert ein solcher Diffeomorphismus 𝑓: 𝑆1 → S2, dann heißen die

regulären Flächen 𝑆1 und 𝑆2 diffeomorph.

Beispiel 3.1.24

Das Ellipsoid 𝑆1 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1 mit 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0

und die Sphäre 𝑆2 = 𝑆2 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 sind

diffeomorph.

Als Diffeomorphismus lässt sich z. B. folgende Abbildung

verwenden.

𝑓: 𝑆1 → 𝑆2, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦𝑥

𝑎,𝑦

𝑏,𝑧

𝑐

𝑇


Diffeomorphismus

Beispiel 3.1.24

𝑆1 = 𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦) 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥, 𝑦 𝑇 ∈ 𝑈 ⊂ ℝ2 ist

der Graph einer glatten Funktion 𝜑:𝑈 → ℝ.

𝑆2 = 𝑈 × 0 ⊂ ℝ3 ist das Ebenenstück 𝑈

aufgefasst als Fläche im ℝ3.

𝑆1 und 𝑆2 sind diffeomorph über folgenden Diffeomorphismus:

𝑓: 𝑆1 → S2,𝑥𝑦𝑧

↦𝑥𝑦0

𝑓−1: 𝑆2 → 𝑆1,𝑥𝑦0

↦

𝑥𝑦

𝜑(𝑥, 𝑦)


3.2 Die Tangentialebene



Reguläre Flächen durch

Ebenen annähern

Bemerkung 3.2.1

Die einfachsten regulären Flächen sind die Ebenen,

wie auch die einfachsten Kurven die Geraden sind.

Im Folgenden sollen zum Teil komplizierte reguläre

Flächen durch Ebenen angenähert werden.

Für eine glatte Abbildung 𝐹:𝑈 → ℝ𝑚 einer offenen

Teilmenge 𝑈 des ℝ𝑛 in den ℝ𝑚 ist die Abbildung

ℝ𝑛 → ℝ𝑚, 𝑥 ↦ 𝐹 𝑝 + 𝐷𝑝𝐹(𝑥 − 𝑝)

die erste (die affin-lineare) Näherung von 𝐹 im Punkt 𝑝.

Was ist das geometrische Äquivalent zu 𝐷𝑝𝐹 für



Tangentialebene

Definition 3.2.2

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche ist und 𝑝 ∈ 𝑆, dann heißt

𝑇𝑝𝑆 = 𝑋 ∈ ℝ3 ∃𝜀>0 ∃𝛾: −𝜀,𝜀 →𝑆 𝛾 0 = 𝑝 ∧ 𝛾 0 = 𝑋

die Tangentialebene von 𝑆 in 𝑝.

Die Elemente der Tangentialebene heißen Tangentialvektoren.

Bemerkung 3.2.3

Aus der Definition wird zunächst

noch nicht deutlich, dass 𝑇𝑝𝑆

tatsächlich eine Ebene ist.

Im Satz 3.2.4 wird die Tangential-

ebene mit lokalen Parametrisie-

rungen beschrieben.

𝑇𝑝𝑆

𝑝 𝑋 = 𝛾 (0)

𝛾(𝑡) 𝑆


Tangentialebene beschrieben

über lokale Parametrisierung

Satz 3.2.4

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche, 𝑝 ∈ 𝑆 und (𝑈, 𝐹, 𝑉) eine lokale

Parametrisierung von 𝑆 um 𝑝 ist, dann gilt mit 𝑢0 ≔ 𝐹−1 𝑝 ∈ 𝑈:

𝑇𝑝𝑆 = Bild 𝐷𝑢0𝐹 = 𝐷𝑢0

𝐹(ℝ2)

Beweis

a) Zu zeigen: 𝑇𝑝𝑆 ⊃ Bild 𝐷𝑢0𝐹

Sei 𝑋 ∈ Bild 𝐷𝑢0𝐹 , dann gilt ∃𝑌∈ℝ2 𝑋 = 𝐷𝑢0

𝐹(𝑌)

Sei 𝛾 𝑡 ≔ 𝐹(𝑢0 + 𝑡 ∙ 𝑌), dann gilt ∃𝜀>0 ∀ 𝑡 <𝜀 𝑢0 + 𝑡 ∙ 𝑌 ∈ 𝑈

𝛾 ist also auf (−휀, 휀) definiert.

Es folgt: 𝛾 0 = 𝐹 𝑢0 = 𝐹 𝐹−1(𝑝) = 𝑝

und 𝛾 0 =𝑑

𝑑𝑡𝐹 𝑢0 + 𝑡 ∙ 𝑌

𝑡=0= 𝐷𝑢0

𝐹 𝑌 = 𝑋

Also ist 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆.


Tangentialebene beschrieben

über lokale Parametrisierung

Beweis zu Satz 3.2.4 (Fortsetzung)

b) Zu zeigen: 𝑇𝑝𝑆 ⊂ Bild 𝐷𝑢0𝐹

Sei 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆, dann gilt ∃𝛾: −𝜀,𝜀 →𝑆, glatt 𝛾 0 = 𝑝 ∧ 𝛾 0 = 𝑋

Nachdem man 휀 evtl. verkleinert hat, verläuft 𝛾 ganz in 𝑉.

Nach Satz 3.1.15 ist

𝜑 ≔ 𝐹−1 ∘ 𝛾: −휀, 휀 → 𝑈

eine glatte (ebene) parametrisierte Kurve.

Mit 𝑌 ≔ 𝜑 0 ∈ ℝ2 gilt dann:

𝐷𝑢0𝐹 𝑌 =

𝑑

𝑑𝑡𝐹 ∘ 𝜑

𝑡=0=

𝑑

𝑑𝑡𝐹 ∘ 𝐹−1 ∘ 𝛾

𝑡=0=

𝑑𝛾

𝑑𝑡 𝑡=0

= 𝑋

Also ist 𝑋 ∈ Bild 𝐷𝑢0𝐹 . #

Satz 3.2.5

𝑇𝑝𝑆 ⊂ ℝ3 bildet einen zweidimensionalen Untervektorraum des ℝ3.


Tangentialebene

Beweis zu Satz 3.2.5

Die Behauptung folgt direkt aus 𝑇𝑝𝑆 = Bild 𝐷𝑢0𝐹 = 𝐷𝑢0

𝐹(ℝ2)

(Satz 3.2.4) und Rang 𝐷𝑢0𝐹 = 2 (Definition 3.1.2 (2)). #

Bemerkung 3.2.5a Wenn eine reguläre Fläche 𝑆 wie in Satz 3.1.9 als Nullstellenmenge

einer glatten Funktion 𝑓: 𝑉 → ℝ mit 𝑉 ⊂ ℝ3 offen gegeben ist, also

𝑆 ≔ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , dann kann die Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆 von

𝑆 in einem Punkt 𝑝 auch mit Hilfe dieser Funktion 𝑓 bestimmt werden.

Satz 3.2.5b

Sei 𝑉 ⊂ ℝ3 offen, 𝑓: 𝑉 → ℝ eine glatte Funktion und

𝑆 = 𝑓−1 0 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche. Wenn gilt

∀𝑝∈𝑆 grad 𝑓 𝑝 ≠ 0,

dann steht für 𝑝 ∈ 𝑆 der Gradient von 𝑓 senkrecht

auf der Tangentialebene.

𝑇𝑝𝑆 = grad 𝑓 𝑝 ⊥


Tangentialebene

Beweis zu Satz 3.2.5b

Sei 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 und 𝛾 eine glatte parametrisierte Kurve 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆 mit

𝛾 0 = 𝑝 und 𝛾 0 = 𝑋. Da 𝛾 in 𝑆 verläuft, gilt:

∀𝑡∈ −𝜀,𝜀 𝑓 ∘ 𝛾 𝑡 = 0

Differenzieren nach 𝑡 liefert:

0 =𝑑

𝑑𝑡𝑓 ∘ 𝛾

𝑡=0

= grad 𝑓 𝛾 0 , 𝛾 (0) = grad 𝑓 𝛾 0 , 𝑋

Da für alle 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 das Skalarprodukt von grad 𝑓 𝛾 0 und 𝑋 gleich Null

ist, stehen alle Vektoren 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 senkrecht auf grad 𝑓 𝑝 , es gilt also

𝑇𝑝𝑆 ⊂ grad 𝑓 𝑝 ⊥.

Da sowohl 𝑇𝑝𝑆 als auch grad 𝑓 𝑝 ⊥

Untervektorräume des ℝ3 sind und

beide die Dimension 2 haben, folgt:

𝑇𝑝𝑆 = grad 𝑓 𝑝 ⊥

Die Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆 im Punkt 𝑝 an die reguläre Fläche 𝑆 ist also das

orthogonale Komplement des Gradienten von 𝑓 an der Stelle 𝑝. #

Definition:

Für einen Untervektorraum 𝑉 ⊂ ℝ𝑛

ist das orthogonale Komplement

𝑉⊥ definiert durch:

𝑉⊥ ≔ 𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∀𝑦∈𝑉 𝑥, 𝑦 = 0


𝑺𝟐

𝒑

𝑻𝒑𝑺𝟐

Tangentialebene

Beispiel 3.2.6

Die Sphäre wird

beschrieben durch

𝑆2 = 𝑓−1 0 , mit

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1.

Aus

grad 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 ∙ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇

folgt:

Die Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆2

im Punkt 𝑝 der Sphäre 𝑆2

ist das orthogonale

Komplement des

Fußpunktvektors 𝑝.


Differential 𝒅𝒑𝒇

Bemerkung 3.2.7

Die linearen Approximationen

von glatten Abbildungen die auf offenen Teilmengen

des ℝ𝑛 definiert sind und

von regulären Flächen über ihre Tangentialebenen

lassen sich kombinieren zum Konzept linearer Approximationen

von glatten Abbildungen, die auf regulären Flächen definiert sind.

Die letzte lineare Approximation wird Differential genannt.

Definition 3.2.8

Seien 𝑆1, 𝑆2 ⊂ ℝ3 reguläre Flächen, 𝑓: 𝑆1 → 𝑆2 eine glatte

Abbildung, 𝑝 ∈ 𝑆1 und 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆1 eine glatte parametrisierte

Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 und 𝛾 0 = 𝑋, dann heißt die Abbildung

𝑑𝑝𝑓: 𝑇𝑝𝑆1 → 𝑇𝑓 𝑝 𝑆2, 𝑋 ↦ 𝑑𝑝𝑓 𝑋 ≔𝑑


𝑡=0∈ 𝑇𝑓 𝑝 𝑆2

das Differential 𝒅𝒑𝒇 von 𝑓 in 𝑝.



Satz 3.2.9

Das Differential 𝑑𝑝𝑓 ist wohldefiniert, d. h. 𝑑𝑝𝑓(𝑋) hängt nicht

von der speziellen Wahl der Kurve 𝛾 sondern nur von 𝑋 ab.

Das Differential 𝑑𝑝𝑓 ist linear.

Beweis

Zunächst wir 𝑑𝑝𝑓 mit Hilfe von lokalen Parametrisierungen ausgedrückt.

(𝑈1, 𝐹1, 𝑉1) ist eine lokale Parametrisierung von 𝑆1 um 𝑝 und

(𝑈2, 𝐹2, 𝑉2) ist eine lokale Parametrisierung von 𝑆2 um 𝑓(𝑝).

Ggf. nach Verkleinerung von 𝑈1 und 𝑉1 gilt: 𝑓 𝑆 ∩ 𝑉1 ⊂ 𝑉2

Wir definieren:

𝑓 ≔ 𝐹2−1 ∘ 𝑓 ∘ 𝐹1: 𝑈1 → 𝑈2

𝑢0 ≔ 𝐹1−1 𝑝 ∈ 𝑈1

𝛾: −휀, 휀 → 𝑆1 ist glatte param. Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 und 𝛾 0 = 𝑋

𝑢 ≔ 𝐹1−1 ∘ 𝛾: −휀, 휀 → 𝑈1




𝐷𝑢0𝐹1 𝑢 0 =

𝑑

𝑑𝑡𝐹1 ∘ 𝑢

𝑡=0

=𝑑

𝑑𝑡𝐹1 ∘ 𝐹1

−1 ∘ 𝛾 𝑡=0

= 𝛾 0 = 𝑋

Nun kann 𝑑𝑝𝑓 𝑋 berechnet werden:

𝑑𝑝𝑓 𝑋 =𝑑


𝑡=0

=𝑑

𝑑𝑡𝐹2 ∘ 𝑓 ∘ 𝑢

𝑡=0

= 𝐷𝑢0(𝐹2 ∘ 𝑓 )(𝑢 0 ) = 𝐷𝑢0

𝐹2 ∘ 𝑓 ∘ 𝐷𝑢0𝐹1

−1(𝑋)

Da der letzte Ausdruck die Kurve 𝛾 nicht mehr enthält, sondern nur

noch 𝑋, ist die Definition unabhängig von der speziellen Wahl von 𝛾.

Weil 𝑑𝑝𝑓 als Verkettung zweier linearer Abbildungen 𝐷𝑢0𝐹2 ∘ 𝑓

und 𝐷𝑢0𝐹1

−1 darstellbar ist, ist die Abbildung 𝑑𝑝𝑓 selbst linear. #

𝑓 ≔ 𝐹2−1 ∘ 𝑓 ∘ 𝐹1: 𝑈1 → 𝑈2

𝑢0 ≔ 𝐹1−1 𝑝 ∈ 𝑈1

𝛾: −휀, 휀 → 𝑆1 ist glatte param.

Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 und 𝛾 0 = 𝑋

𝑢 ≔ 𝐹1−1 ∘ 𝛾: −휀, 휀 → 𝑈1

=𝑑

𝑑𝑡𝑓 ∘ 𝐹1 ∘ 𝑢

𝑡=0



Bemerkung 3.2.10

Im Beweis zu Satz 3.2.9 wurde

gezeigt, dass das Differential 𝑑𝑝𝑓

mit Hilfe der lokalen Parametrisie-

rungen (𝑈1, 𝐹1, 𝑉1) und 𝑈2, 𝐹2, 𝑉2

durch die Jacobi-Matrix 𝐷𝑢0𝑓

beschrieben werden kann.

Beispiel 3.2.11

𝐴:ℝ3 → ℝ3 ist eine orthogonale lineare Abbildung, d. h. 𝐴 ∈ 𝑂(3).

𝑓: 𝑆2 → 𝑆2, 𝑓 ≔ 𝐴 𝑆2

𝛾: −휀, 휀 → 𝑆2 glatte param. Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 ∧ 𝛾 0 = 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆2.

Wegen der Linearität gilt:

𝑑𝑝𝑓 𝑋 ≔𝑑


𝑡=0=

𝑑

𝑑𝑡𝐴 ∘ 𝛾

𝑡=0= 𝐴 ∘

𝑑

𝑑𝑡𝛾

𝑡=0= 𝐴 𝛾 0 = 𝐴 𝑋

Also gilt: 𝑑𝑝𝑓 𝑋 = 𝐴 𝑇𝑝𝑆2: 𝑇𝑝𝑆2 → 𝑇𝐴𝑝𝑆2



Bemerkung 3.2.12

Man kann auch für glatte Abbildungen 𝑓: 𝑆 → ℝ𝑛 (𝑆 ist eine

reguläre Fläche; 𝑝 ∈ 𝑆) das Differential wie folgt definieren:

𝑑𝑝𝑓: 𝑇𝑝𝑆 → ℝ𝑛, 𝑋 ↦ 𝑑𝑝𝑓 𝑋 ≔𝑑


𝑡=0

Dabei ist 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆 glatte parametrisierte Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝

und 𝛾 0 = 𝑋.

Ist der Definitionsbereich eine offene Teilmenge 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 und

nimmt 𝑓: 𝑈 → 𝑆 ihre Werte in einer regulären Fläche 𝑆 an, dann

definiert man für 𝑝 ∈ 𝑈 das Differential wie folgt:

𝑑𝑝𝑓:ℝ𝑛 → 𝑇𝑓 𝑝 𝑆 ⊂ ℝ3, 𝑋 ↦ 𝑑𝑝𝑓 𝑋 ≔ 𝐷𝑝𝑓(𝑋)

Man kann zeigen, dass 𝐷𝑝𝑓(𝑋) im Unterraum 𝑇𝑓 𝑝 𝑆 liegt.

In beiden genannten Fällen ist die lineare Abbildung 𝑑𝑝𝑓

wohldefiniert.


3.3 Die erste

Fundamentalform



Erste Fundamentalform

Bemerkung 3.3.1

Um auf einer regulären Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 z. B.

Längen von Kurven die in 𝑆 verlaufen und

Winkel zwischen zwei Tangentialvektoren an die Fläche

messen können, benötigt man ein Skalarprodukt.

Da die Tangentialebene für jeden Punkt 𝑝 ∈ 𝑆 ein zweidimensionaler

Untervektorraum des ℝ3 ist, kann man das Standardskalarprodukt ∙,∙

des ℝ3 einfach auf 𝑇𝑝𝑆 einschränken um das euklidische Skalarprodukt

auf 𝑇𝑝𝑆 zu erhalten.

Definition 3.3.2

Die Abbildung, die jedem Punkt 𝑝 ∈ 𝑆 diese Einschränkung

𝑔𝑝 ≔ ∙,∙ 𝑇𝑝𝑆×𝑇𝑝𝑆 des Standardskalarprodukts zuordnet, heißt

erste Fundamentalform von 𝑆.

Mit 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑇𝑝𝑆 schreibt man für die erste Fundamentalform auch:

𝐼𝑝 𝑋, 𝑌 = 𝑔𝑝 𝑋, 𝑌 = 𝑋, 𝑌



Bemerkung 3.3.3

Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass nach der Wahl einer Basis

𝑏1, … , 𝑏𝑛 eines Vektorraums, jedes euklidische Skalarprodukt ∙,∙ auf

diesem Vektorraum durch eine positiv-definite symmetrische Matrix

𝑔𝑖𝑗 𝑖,𝑗=1,…𝑛 dargestellt werden kann.

Die Einträge der Matrix sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

∀𝑖,𝑗=1,…,𝑛 𝑔𝑖𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑏𝑗

Wenn die Vektoren bzgl. der Basis die Darstellung 𝑋 = 𝑥𝑖𝑏𝑖𝑛𝑖=1 und

𝑌 = 𝑦𝑗𝑏𝑗𝑛𝑗=1 besitzen, dann gilt:

𝑋, 𝑌 = 𝑥𝑖𝑏𝑖

𝑛

𝑖=1

, 𝑦𝑗𝑏𝑗

𝑛

𝑗=1

= 𝑥𝑖𝑦𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑏𝑖 , 𝑏𝑗 = 𝑥𝑖𝑦𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑔𝑖𝑗

Mit 𝑋 = 𝑥1, … , 𝑥𝑛𝑇 und 𝑌 = 𝑦1, … , 𝑦𝑛

𝑇 ergibt sich:

𝑋, 𝑌 = 𝑥𝑖𝑔𝑖𝑗𝑦𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

= 𝑥1, … , 𝑥𝑛

𝑔11 ⋯ 𝑔1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑔𝑛1 ⋯ 𝑔𝑛𝑛

𝑦1

⋮𝑦𝑛

∈ ℝ



Bemerkung 3.3.3 (Fortsetzung)

Nach der Wahl einer Basis des Vektorraums 𝑇𝑝𝑆 kann das Skalarprodukt

𝑔𝑝 auf 𝑇𝑝𝑆 durch eine positiv-definite symmetrische Matrix 𝐺 dargestellt

werden.

Eine Basis von 𝑇𝑝𝑆 erhält man in der Regel durch eine lokale

Parametrisierung 𝑈, 𝐹, 𝑉 von 𝑆 um 𝑝.

Sind 𝑒1, 𝑒2 die Standardbasisvektoren des ℝ2, dann wird eine Basis von

𝑇𝑝𝑆 von 𝐷𝑢𝐹 𝑒1 =𝜕𝐹

𝜕𝑢1 (𝑢) und 𝐷𝑢𝐹 𝑒2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢2 (𝑢), mit 𝑢 = 𝐹−1(𝑝) gebildet.

Bzgl. dieser Basis ist die Matrixdarstellung von 𝑔𝑝 gegeben durch:

𝑔𝑖𝑗 𝑢 ≔ 𝑔𝑝 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑗 =𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖𝑢 ,

𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑗(𝑢)

Die 2 × 2-Matrix 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗=1,2

=𝑔11(𝑢) 𝑔12(𝑢)𝑔21(𝑢) 𝑔22(𝑢)

ist also symmetrisch

und positiv definit. Offensichtlich hängen die Matrixeinträge 𝑔𝑖𝑗 glatt von 𝑢

ab, d. h. 𝑔𝑖𝑗: 𝑈 → ℝ ist für jedes 𝑖 und 𝑗 eine glatte Funktion.

∀𝑋∈𝑇𝑝𝑆 𝑋𝑇𝐺𝑋 > 0 𝐺𝑇 = 𝐺



Beispiel 3.3.4: Ebene

Eine Ebene 𝑆 ⊂ ℝ3 kann durch eine affin-lineare Parametrisierung

mit 𝑝0, 𝑋, 𝑌 ∈ ℝ3 beschrieben werden:

𝐹:ℝ2 → ℝ3, 𝑢1, 𝑢2 ↦ 𝐹 𝑢1, 𝑢2 = 𝑝0 + 𝑢1 ∙ 𝑋 + 𝑢2 ∙ 𝑌

𝑆 ist hier also die von den Vektoren 𝑋 und 𝑌 aufgespannte Ebene

durch den Punkt 𝑝0.

Für die erste Fundamentalform ergibt sich bzgl. dieser

Parametrisierung:

𝑔11 𝑢1, 𝑢2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢1 𝑢1, 𝑢2 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢1 𝑢1, 𝑢2 = 𝑋, 𝑋

𝑔12 𝑢1, 𝑢2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢1 𝑢1, 𝑢2 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢2 𝑢1, 𝑢2 = 𝑋, 𝑌

𝑔21 𝑢1, 𝑢2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢2 𝑢1, 𝑢2 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢1 𝑢1, 𝑢2 = 𝑌, 𝑋

𝑔22 𝑢1, 𝑢2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢2 𝑢1, 𝑢2 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢2 𝑢1, 𝑢2 = 𝑌, 𝑌

=



Beispiel 3.3.4: Ebene (Fortsetzung 1)

Wenn 𝑆 die 𝑥-𝑦-Ebene ist und (𝑢1, 𝑢2) kartesische Koordinaten

sind, d. h. 𝑝0 = 0, 𝑋 = 𝑒1 und 𝑌 = 𝑒2, dann wird die erste

Fundamentalform durch folgende Matrix beschrieben:

𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗

=1 00 1

Die Funktionen 𝑔𝑖𝑗: ℝ2 → ℝ sind in diesem Beispiel konstant.

Benutzt man jedoch eine andere lokale Parametrisierung für

dieselbe Fläche, dann ist das in der Regel nicht mehr so.

Zur Illustration wird die 𝑥-𝑦-Ebene im ℝ3 mit Polarkoordinaten

parametrisiert. Die Polarkoordinaten 𝑢 1, 𝑢 2 = (𝑟, 𝜑) liefern

folgende lokale Parametrisierung:

𝐹 : 0,∞ × 0,2𝜋 → ℝ3, 𝑟, 𝜑 ↦ 𝐹 𝑟, 𝜑 = 𝑟 ∙ cos𝜑 , 𝑟 ∙ sin𝜑 , 0 𝑇

Daraus lässt sich die erste Fundamentalform berechnen:



Beispiel 3.3.4: Ebene (Fortsetzung 2) 𝐹 𝑟, 𝜑 = 𝑟 ∙ cos𝜑 , 𝑟 ∙ sin𝜑 , 0 𝑇

𝑔 11 𝑟, 𝜑 =𝜕𝐹

𝜕𝑟𝑟, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝑟𝑟, 𝜑 =

cos𝜑sin𝜑

0,

cos𝜑sin𝜑

0

= cos2 𝜑 + sin2 𝜑 = 1

𝑔 12 𝑟, 𝜑 = 𝑔 21 𝑟, 𝜑 =𝜕𝐹

𝜕𝜑𝑟, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝑟𝑟, 𝜑

=−𝑟 ∙ sin𝜑𝑟 ∙ cos𝜑

0,

cos𝜑sin𝜑

0= 𝑟 ∙ (− sin𝜑 ∙ cos𝜑 + cos𝜑 ∙ sin𝜑) = 0

𝑔 22 𝑟, 𝜑 =𝜕𝐹

𝜕𝜑𝑟, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝑟, 𝜑 =

−𝑟 ∙ sin𝜑𝑟 ∙ cos𝜑

0,

−𝑟 ∙ sin𝜑𝑟 ∙ cos𝜑

0

= 𝑟2 ∙ sin2 𝜑 + 𝑟2 ∙ cos2 𝜑 = 𝑟2

Bzgl. Polarkoordinaten ist die erste Fundamentalform der 𝑥-𝑦-

Ebene durch folgende Matrix gegeben: 𝑔 𝑖𝑗 𝑟, 𝜑𝑖𝑗

=1 00 𝑟2



Bemerkung 3.3.5

Beispiel 3.3.4 zeigt, dass die Formeln für die erste

Fundamentalform stark von der Wahl der verwendeten

lokalen Parametrisierung abhängen.

Je ungeschickter die Parametrisierungen,

desto komplizierter werden die Formeln.

Beispiel 3.3.6: Zylinderfläche

𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 = 1

Lokale Parametrisierung:

𝐹: 0,2𝜋 × ℝ → ℝ3, 𝜑, 𝑕 ↦ 𝐹 𝜑, 𝑕 =

cos𝜑sin𝜑

𝑕

Bestimmen Sie die erste Fundamentalform

bzgl. der Koordinaten 𝑢1, 𝑢2 = (𝜑, 𝑕).



Beispiel 3.3.6: Zylinderfläche (Fortsetzung)

𝑔11 𝜑, 𝑕 =𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜑, 𝑕 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜑, 𝑕

=−sin𝜑cos𝜑

0,

− sin𝜑cos𝜑

0= sin2 𝜑 + cos2 𝜑 = 1

𝑔12 𝜑, 𝑕 = 𝑔21 𝜑, 𝑕 =𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜑, 𝑕 ,

𝜕𝐹

𝜕𝑕𝜑, 𝑕

=−sin𝜑cos𝜑

0,

001

= 0

𝑔22 𝜑, 𝑕 =𝜕𝐹

𝜕𝑕𝜑, 𝑕 ,

𝜕𝐹

𝜕𝑕𝜑, 𝑕 =

001

,001

= 1

Bzgl. der Koordinaten 𝜑, 𝑕 hat die erste Fundamental-

form der Zylinderfläche dieselbe Gestalt wie die der

Ebene in kartesischen Koordinaten, nämlich:

𝐹 𝜑, 𝑕 =

cos𝜑sin𝜑

𝑕

𝑔𝑖𝑗 𝑖𝑗=

1 00 1




Berechnung der ersten Fundamentalform der Sphäre

𝑆2 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

in Polarkoordinaten 𝑢1, 𝑢2 = 𝜃, 𝜑 :

𝐹: −𝜋

2,𝜋

2× 0,2𝜋 → ℝ3, 𝜃, 𝜑 ↦ 𝐹 𝜃, 𝜑 =

cos 𝜃 ∙ cos𝜑cos 𝜃 ∙ sin𝜑

sin 𝜃

Aus

𝜕𝐹

𝜕𝜃𝜃, 𝜑 =

− sin 𝜃 ∙ cos𝜑− sin 𝜃 ∙ sin𝜑

cos 𝜃

und 𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜃, 𝜑 =

− cos 𝜃 ∙ sin𝜑cos 𝜃 ∙ cos𝜑

0

ergibt sich:

𝑔𝑖𝑗 𝜃, 𝜑𝑖𝑗

=

𝜕𝐹

𝜕𝜃𝜃, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜃𝜃, 𝜑

𝜕𝐹

𝜕𝜃𝜃, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜃, 𝜑

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜃, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜃𝜃, 𝜑

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜃, 𝜑 ,

𝜕𝐹

𝜕𝜑𝜃, 𝜑

=1 00 cos2 𝜃



Bemerkung 3.3.8: Änderung der lokalen Parametrisierung

Was passiert mit der ersten Fundamentalform wenn man

die lokale Parametrisierung der regulären Fläche 𝑆 ändert?

Neben 𝑈, 𝐹, 𝑉 sei 𝑈 , 𝐹 , 𝑉 eine weitere lokale Parametrisierung von 𝑆

und 𝑔 𝑖𝑗 𝑖𝑗 die zugehörige Matrix, die die erste Fundamentalform

beschreibt. Wenn 𝜑 ≔ 𝐹 −1 ∘ 𝐹 die Parametertransformation zwischen

diesen beiden Parametrisierungen beschreibt, dann ergibt sich mit Hilfe

der Kettenregel:

𝑔𝑖𝑗 𝑢 =𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖 𝑢 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑗 𝑢 = 𝐼𝜕𝐹


𝜕𝑢𝑗 𝑢 = 𝐼𝜕(𝐹 ∘𝜑)

𝜕𝑢𝑖 𝑢 ,𝜕(𝐹 ∘𝜑)

𝜕𝑢𝑗 𝑢

= 𝐼 𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑘 𝜑 𝑢 ∙𝜕𝜑𝑘

𝜕𝑢𝑖 𝑢𝑘 , 𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑙 𝜑 𝑢 ∙𝜕𝜑𝑙

𝜕𝑢𝑖 𝑢𝑙

= 𝜕𝜑𝑘

𝜕𝑢𝑖 𝑢𝑘𝑙𝜕𝜑𝑙

𝜕𝑢𝑖 𝑢 ∙ 𝐼𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑘 𝜑 𝑢 ,𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑙 𝜑 𝑢

= 𝜕𝜑𝑘

𝜕𝑢𝑖 𝑢𝑘𝑙𝜕𝜑𝑙

𝜕𝑢𝑖 𝑢 ∙ 𝑔 𝑘𝑙(𝜑 𝑢 )

In Matrizenschreibweise ergibt sich: 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗

= 𝐷𝑢𝜑 𝑇 ∙ 𝑔 𝑘𝑙 𝜑 𝑢𝑘𝑙

∙ 𝐷𝑢𝜑



Aufgabe 3.3.9

Berechnen Sie die erste Fundamentalform der Sphäre bzgl. der

lokalen Parametrisierung (𝑈, 𝐹3+, 𝑉3

+) (vgl. Beispiel 3.1.7) mit

𝐹3+ 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥2 + 𝑦2

𝑇.

Aufgabe 3.3.10

Berechnen Sie die erste Fundamentalform eines

Funktionsgraphen der glatten Funktion 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ2 → ℝ bzgl. der

Parametrisierung 𝐹:𝑈 ⊂ ℝ2 → ℝ3, 𝑥, 𝑦 𝑇 ↦ 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦𝑇.

Aufgabe 3.3.11

Berechnen Sie die erste Fundamentalform des Kegels

𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ∧ 𝑧 > 0

bzgl. folgender Parametrisierung:

𝐹: 0,2𝜋 × 0,∞ → ℝ3, 𝐹 𝜑, 𝑟 = 𝑟 ∙cos𝜑sin𝜑

1

Lösungshinweise:

Bär (2010, S. 299)


3.4 Normalenfelder und

Orientierbarkeit



Normalenfeld

Definition 3.4.1

Ein Normalenfeld 𝑁 auf einer regulären Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3

ist eine Abbildung 𝑁: 𝑆 → ℝ3 mit folgender Eigenschaft:

∀𝑝∈𝑆 𝑁 𝑝 ⊥ 𝑇𝑝𝑆 ⇔ ∀𝑝∈𝑆 ∀𝑋∈𝑇𝑝𝑆 𝑁 𝑝 , 𝑋 = 0

Ein Normalenfeld auf 𝑆 heißt Einheitsnormalenfeld,

wenn zusätzlich gilt:

∀𝑝∈𝑆 𝑁(𝑝) = 1

Bemerkung 3.4.2

Mit 𝑁 ist auch −𝑁 ein (Einheits-)Normalenfeld auf 𝑆.

Stetige Einheitsnormalenfelder kann, muss es aber

auf einer regulären Fläche nicht geben.


Für die 𝑥-𝑦-Ebene 𝑆 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

ist 𝑁 𝑥, 𝑦, 0 = 0,0,1 𝑇 ein konstantes Einheits-

normalenfeld auf S.


Normalenfeld


Für die Sphäre 𝑆 = 𝑆2 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

ist 𝑁 = 𝐼𝑑 ein Einheitsnormalenfeld.

Beispiel 3.4.5: Zylinderfläche

Für die Zylinderfläche 𝑆 = 𝑆1 × ℝ = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 𝑥2 + 𝑦2 = 1

ist durch 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑇

ein Einheitsnormalenfeld definiert.

𝑁 𝑝 = 𝑝


Orientierbarkeit

Beispiel 3.4.6: Möbiusband

Das Möbiusband besitzt kein

stetiges Normalenfeld.

Dementsprechend hat das

Möbiusband nur eine Seite.

Fängt man irgendwo an, das

Möbiusband einzufärben, so

stellt man fest, dass das Band

überall farbig wird.

Definition 3.4.7

Eine reguläre Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 heißt

orientierbar, wenn es ein glattes

Einheitsnormalenfeld auf 𝑆 gibt.

http://www.youtube.com/watch?v=4bcm-kPIuHE&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=4bcm-kPIuHE&NR=1


Orientierbarkeit

Bemerkung 3.4.8

Die Ebene, die Sphäre und der Zylinder sind orientierbar,

während das Möbiusband nicht orientierbar ist.

Die wesentliche Bedingung in der Definition 3.4.7 der

Orientierbarkeit besteht darin, dass das Einheitsnormalenfeld

glatt ist.

Irgendein Einheitsnormalenfeld kann man immer finden.

Man muss nur in jedem Punkt 𝑝 einer regulären Fläche 𝑆

einen der beiden Einheitsnormalenvektoren zu 𝑇𝑝𝑆 ⊂ ℝ3

auswählen und ihn mit 𝑁(𝑝) bezeichnen.

In der Regel wird dieses 𝑁 aber nicht stetig, geschweige

denn glatt sein.

Man kann sogar die Bedingung glatt in der Definition durch

stetig ersetzen, ohne am Konzept der Orientierbarkeit etwas

zu verändern.


Orientierbarkeit

Bemerkung 3.4.9

Für das Einheitsnormalenfeld 𝑁: 𝑆 → S2 ⊂ ℝ3 einer regulären

Fläche 𝑆 ⊂ ℝ2 gilt: 𝑁 ist genau dann stetig, wenn 𝑁 glatt ist.

Begründung:

Wenn 𝑈, 𝐹, 𝑉 eine lokale Parametrisierung von 𝑆 ist, dann ist

𝑁 ≔

𝜕𝐹

𝜕𝑥×

𝜕𝐹

𝜕𝑦

𝜕𝐹

𝜕𝑥×

𝜕𝐹

𝜕𝑦

ein glattes Einheitsnormalenfeld auf 𝑆 ∩ 𝑉.

Damit ist 𝑁 = 𝑓 ∙ 𝑁 mit einer Funktion 𝑓: 𝑆 ∩ V → *−1,1+.

Eine solche Funktion 𝑓 ist genau dann stetig, wenn sie lokal

konstant ist, also genau dann, wenn sie glatt ist.


Orientierbarkeit

Bemerkung 3.4.10

Es soll gezeigt werden, dass eine regulär Flächen 𝑆 im Kleinen immer

orientierbar ist.

Wir betrachten dazu eine lokale Parametrisierung 𝑈, 𝐹; 𝑉 von 𝑆.

Mit Hilfe des Vektorprodukts erhält man ein Normalenfeld 𝑁 auf 𝑆 ∩ 𝑉:

𝑁 𝑝 = 𝐷𝐹−1 𝑝 𝐹 e1 × 𝐷𝐹−1 𝑝 𝐹(𝑒2)

Da 𝐷𝐹−1 𝑝 𝐹 maximalen Rang hat,

sind 𝐷𝐹−1 𝑝 𝐹 e1 und 𝐷𝐹−1 𝑝 𝐹 e2

linear unabhängig. Damit folgt:

𝑁 𝑝 ≠ 0,0,0 𝑇

Ein glattes Einheitsnormalenfeld

(ENF) auf 𝑆 ∩ 𝑉 erhält

man durch Normierung:

Neben 𝑁 𝑝 = 𝑁 (𝑝) 𝑁 (𝑝) ist auch 𝑁 ≔ −𝑁 (𝑝) 𝑁 (𝑝) ein ENF.

𝑁 𝑝 ≔𝑁 (𝑝)

𝑁 (𝑝)


Orientierbarkeit

Bemerkung 3.4.10 (Fortsetzung 1)

Führt man diese Konstruktion des Einheitsnormalenfeldes für zwei lokale

Parametrisierungen 𝑈1, 𝐹1, 𝑉1 und 𝑈2, 𝐹2, 𝑉2 durch, dann können die

zugehörigen Einheitsnormalenvektoren 𝑁1 𝑝 und 𝑁2 𝑝 in einem Punkt

𝑝 ∈ 𝑆 ∩ 𝑉1 ∩ 𝑉2 entweder

übereinstimmen 𝑁1 𝑝 = 𝑁2 𝑝 oder

entgegengesetzt orientiert sein 𝑁1 𝑝 = −𝑁2 𝑝 .

Dieser Zusammenhang lässt sich über eine Bedingung an die zugehörige

Parametertransformation 𝜑 ≔ 𝐹2−1 ∘ 𝐹1 ausdrücken.

Wir betrachten 𝑝 ∈ 𝑆 ∩ 𝑉1 ∩ 𝑉2 sowie ∀𝑖=1,2 𝑢𝑖 ≔ 𝐹𝑖−1 𝑝 und für alle

𝑖 = 1,2 den zu 𝑈𝑖 , 𝐹𝑖 , 𝑉𝑖 gehörigen Einheitsnormalenvektor 𝑁𝑖(𝑝) in 𝑝.

Nach Konstruktion bilden (𝐷𝑢𝑖𝐹𝑖 𝑒1 , 𝐷𝑢𝑖

𝐹𝑖 𝑒2 , 𝑁𝑖 𝑝 ) für 𝑖 = 1,2 jeweils

eine positiv orientierte Basis des ℝ3.

𝑁1 𝑝 und 𝑁2 𝑝 stimmen also genau dann überein, wenn

𝐷𝑢1𝐹1 𝑒1 , 𝐷𝑢1

𝐹1 𝑒2 und 𝐷𝑢2𝐹2 𝑒1 , 𝐷𝑢2

𝐹2 𝑒2 auf 𝑇𝑝𝑆

gleich orientiert sind. Andernfalls gilt 𝑁1 𝑝 = −𝑁2 𝑝 .


Orientierbarkeit

Bemerkung 3.4.10 (Fortsetzung 2)

Folglich gilt 𝑁1 𝑝 = 𝑁2 𝑝 genau dann, wenn 𝜑 in 𝑢1

orientierungserhaltend ist, d. h. wenn det 𝐷𝑢1𝜑 > 0.

Zusammenfassung:

𝑁1 𝑝 = 𝑁2 𝑝 ⇔ det 𝐷𝑢1𝜑 > 0

𝑁1 𝑝 = −𝑁2 𝑝 ⇔ det 𝐷𝑢1𝜑 < 0

Daraus folgt direkt:

Satz 3.4.11

Eine reguläre Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 ist genau dann orientierbar, wenn 𝑆

so durch lokale Parametrisierungen überdeckt werden kann, dass

für alle Parametertransformationen 𝜑 gilt:

det 𝐷𝜑 > 0


3.5 Die zweite

Fundamentalform



Weingarten-Abbildung

Bezeichnung 3.5.1

Das glatte Einheitsnormalenfeld 𝑁 einer orientierbaren regulären

Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 interpretiert als Abbildung 𝑁: 𝑆 → 𝑆2 zwischen

regulären Flächen wird auch Gauß-Abbildung genannt.

Bemerkung 3.5.2

𝑑𝑝𝑁:𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑁 𝑝 𝑆2 ist das Differential von 𝑁: 𝑆 → 𝑆2 in 𝑝 ∈ S.

Wegen 𝑇𝑁 𝑝 𝑆2 = 𝑁 𝑝 ⊥ = 𝑇𝑝𝑆 ist

𝑑𝑝𝑁 ein Endomorphismus von 𝑇𝑝𝑆.

Definition 3.5.3

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche mit einer durch das

Einheitsnormalenfeld 𝑁 gegebenen Orientierung ist, dann wird

folgender Endomorphismus Weingarten-Abbildung genannt:

𝑊𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑝𝑆, 𝑋 ↦ 𝑊𝑝 𝑋 = −𝑑𝑝𝑁(𝑋)

Ein Endomorphismus ist eine

strukturerhaltende Abbildung 𝑓: 𝐴 → 𝐴

einer Struktur 𝐴 in sich selbst.



Bemerkung 3.5.4

Das negative Vorzeichen in Definition 3.5.3 hat historische

Gründe.

Bei der Umkehrung der Orientierung, d. h. beim Ersetzen

von 𝑁 durch −𝑁, ändert auch die Weingarten-Abbildung 𝑊

ihr Vorzeichen.


Die zur Sphäre 𝑆 = 𝑆2 und ihrem äußeren Einheitsnormalenfeld

𝑁: 𝑆 → ℝ3, 𝑝 ↦ 𝑁 𝑝 = 𝑝 gehörige Weingarten-Abbildung ist:

𝑊𝑝 = −𝐼𝑑: 𝑇𝑝𝑆2 → 𝑇𝑝𝑆2, 𝑋 ↦ 𝑊𝑝 𝑋 = −𝑋

Beispiel 3.5.6: 𝑥-𝑦-Ebene

Die zur 𝑥-𝑦-Ebene 𝑆 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑇 ∈ ℝ3 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ und ihrem

Einheitsnormalenfeld 𝑁: 𝑆 → ℝ3, 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ↦ 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,0,1 𝑇

gehörige Weingarten-Abbildung ist: 𝑊𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑝𝑆, 𝑋 ↦ 𝑊𝑝 𝑋 = 0



Beispiel 3.5.7: Zylinder

Wir betrachten den Zylinder 𝑆 = 𝑆1 × ℝ und das zugehörige

Einheitsnormalenfeld 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑇.

In jedem Punkt 𝑝 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ 𝑆 wird die Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆

durch die Vektoren −𝑦, 𝑥, 0 𝑇 und 0,0,1 𝑇 aufgespannt.

Zum Bestimmen von 𝑊𝑝( 0,0,1 𝑇) wird 𝛾 𝑡 ≔ 𝑝 + 𝑡 ∙ 𝑋 gewählt.

𝑊𝑝

001

= −𝑑𝑝𝑁001

= −𝑑

𝑑𝑡𝑁 ∘ 𝛾

𝑡=0 = −

𝑑

𝑑𝑡𝑁 ∘

𝑥𝑦𝑧

+ 𝑡 ∙001

𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡𝑁

𝑥𝑦

𝑧 + 𝑡

𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡

𝑥𝑦0

𝑡=0

=000

𝑡=0

=000



Beispiel 3.5.7: Zylinder (Fortsetzung)

Zum Bestimmen von 𝑊𝑝( −𝑦, 𝑥, 0 𝑇) wird 𝑡0 ∈ ℝ so gewählt,

dass cos 𝑡0 , sin 𝑡0 = (𝑥, 𝑦).

Dann gilt für 𝛾 𝑡 ≔ cos 𝑡 + 𝑡0 , sin 𝑡 + 𝑡0 , 𝑧 𝑇:

𝛾 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 𝑝 ∧ 𝛾 0 = −sin 𝑡0 , cos 𝑡0 , 0 𝑇 und damit:

In der Basis −𝑦, 𝑥, 0 𝑇 und 0,0,1 𝑇 hat 𝑊𝑝 die Matrixdarstellung

−1 00 0

.

𝑊𝑝

−𝑦𝑥0

= −𝑑𝑝𝑁−𝑦𝑥0

= −𝑑


𝑡=0 = −

𝑑

𝑑𝑡𝑁

cos 𝑡 + 𝑡0sin 𝑡 + 𝑡0

𝑧

𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡

cos 𝑡 + 𝑡0sin 𝑡 + 𝑡0

0

𝑡=0

= −−sin 𝑡 + 𝑡0cos 𝑡 + 𝑡0

0

𝑡=0

=sin(𝑡0)

−cos (𝑡0)0

𝑡=0

= −−𝑦𝑥0


𝑾𝒑 ist selbstadjungiert bzgl. 𝑰𝒑

Satz 3.5.8

Für eine orientierbare reguläre Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 mit Weingarten-

Abbildung 𝑊𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑝𝑆 und 𝑝 ∈ 𝑆 gilt:

𝑊𝑝 ist selbstadjungiert, bzgl. der ersten Fundamentalform 𝐼𝑝, d. h.

𝐼𝑝 𝑋,𝑊𝑝(𝑌) = 𝐼𝑝 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑌

Beweis

𝑁 ist das Einheitsnormalenfeld von 𝑆, das zur

Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝 = −𝑑𝑝𝑁 führt,

(𝑈, 𝐹, 𝑉) eine lokale Parametrisierung um 𝑝,

𝑢 ≔ 𝐹−1(𝑝) ,

𝑋1 ≔ 𝐷𝑢𝐹 𝑒1 =𝜕𝐹

𝜕𝑢1 𝑢 ∧ 𝑋2 ≔ 𝐷𝑢𝐹 𝑒2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢2 𝑢 die zugehörigen

Basisvektoren von 𝑇𝑝𝑆.

Wegen ∀𝑝∈𝑆 𝑁(𝑝) ⊥ 𝑇𝑝𝑆 gilt: 𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑒𝑗 , 𝑁 𝐹 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑒𝑗 ≡ 0 (*)


𝑾𝒑 ist selbstadjungiert bzgl. 𝑰𝒑


Differentiation der Gleichung (*) liefert:

0 =𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑒𝑗 , 𝑁 𝐹 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑒𝑗 𝑡=0

Also gilt:

Nach dem Satz von Schwarz (3.0.8) folgt:

Für die Basisvektoren 𝑋1 und 𝑋2 von 𝑇𝑝𝑆 gilt also:

Wegen der Bilinearität von 𝐼 und der Linearität von 𝑊𝑝folgt daraus direkt:

=𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑒𝑗 𝑡=0

, 𝑁(𝑝) +𝜕𝐹

𝜕𝑢𝑖 𝑢 , 𝑑𝑝𝑁 ∘ 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)

=𝜕2𝐹

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖 𝑢 , 𝑁(𝑝) + 𝑋𝑖 , −𝑊𝑝(𝑋𝑗)

𝐼𝑝 𝑋𝑖 ,𝑊𝑝 𝑋𝑗 = 𝑋𝑖 ,𝑊𝑝(𝑋𝑗) =𝜕2𝐹

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖 𝑢 , 𝑁(𝑝)

𝐼𝑝 𝑋𝑖 ,𝑊𝑝 𝑋𝑗 =𝜕2𝐹

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖𝑢 , 𝑁(𝑝) =

𝜕2𝐹

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗𝑢 , 𝑁(𝑝) = 𝐼𝑝 𝑋𝑗 ,𝑊𝑝 𝑋𝑖

𝐼𝑝 𝑋𝑖 ,𝑊𝑝 𝑋𝑗 = 𝐼𝑝 𝑋𝑗 ,𝑊𝑝 𝑋𝑖 = 𝐼𝑝 𝑊𝑝 𝑋𝑖 , 𝑋𝑗

∀𝑋,𝑌∈𝑇𝑝𝑆 𝐼𝑝 𝑋,𝑊𝑝 𝑌 = 𝐼𝑝 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑌 , also ist 𝑊𝑝 selbstadjungiert bzgl. 𝐼. #

(**)


Zweite Fundamentalform

Definition 3.5.9

Die zur Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝 gehörige Bilinearform heißt

zweite Fundamentalform der regulären Fläche 𝑆 im Punkt 𝑝:

𝐼𝐼𝑝 𝑋, 𝑌 = 𝐼𝑝 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑌 mit 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑇𝑝𝑆

Bemerkung 3.5.10

Häufig wird der Fußpunkt 𝑝 in der Schreibweise weggelassen und

an Stelle von 𝐼𝐼𝑝 einfach 𝐼𝐼 und statt 𝑊𝑝 einfach 𝑊 geschrieben.

Bemerkung 3.5.11: Ausdruck in lokalen Koordinaten

Seien 𝑆 ⊂ ℝ3, 𝑝 ∈ 𝑆, (𝑈, 𝐹, 𝑉) eine lokale Parametrisierung von 𝑆

um 𝑝 und 𝑢 ≔ 𝐹−1(𝑝).

In der Basis 𝐷𝑢𝐹 𝑒1 =𝜕𝐹

𝜕𝑢1 (𝑢) und 𝐷𝑢𝐹 𝑒2 =𝜕𝐹

𝜕𝑢2 (𝑢) wird die erste

Fundamentalform durch die symmetrische Matrix 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗=1,2

beschrieben mit:

𝑔𝑖𝑗 𝑢 =𝜕𝐹


𝜕𝑢𝑗 𝑢 = 𝐼𝑝 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)



Bemerkung 3.5.11: Ausdruck in lokalen Koordinaten (Fortsetzung 1)

Nun wird definiert:

𝑕𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗=1,2

ist die symmetrische Matrix, die die zweite

Fundamentalform in den oben angegebenen Koordinaten beschreibt.

Die Matrixkoeffizienten für die Weingarten-Abbildung werden mit 𝑤𝑖𝑗

bezeichnet und wie folgt definiert:

Die Matrixkoeffizienten der Weingartenabbildung und der zweiten

Fundamentalform lassen sich wie folgt auseinander berechnen:

𝑕𝑖𝑗 𝑢 ≔ 𝐼𝐼𝑝 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)

= 𝐼𝑝 𝑊𝑝 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗) = (∗∗)

𝜕2𝐹

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖 𝑢 , 𝑁 𝑝 , 𝑖, 𝑗 = 1,2

𝑊𝑝 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 =: 𝑤𝑖𝑗(𝑢)2

𝑗=1 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)

𝑕𝑖𝑗 𝑢 ≔ 𝐼𝐼 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑗 = 𝐼 𝑊 𝐷𝑢𝐹 𝑒𝑖 , 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)

= 𝐼 𝑤𝑖𝑘(𝑢)2

𝑘=1 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑘), 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗)

= 𝑤𝑖𝑘(𝑢)2

𝑘=1 𝐼 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑘), 𝐷𝑢𝐹(𝑒𝑗) = 𝑤𝑖𝑘 𝑢 𝑔𝑘𝑗 𝑢2

𝑘=1



Bemerkung 3.5.11: Ausdruck in lokalen Koordinaten (Fortsetzung 2)

Die Matrix 𝑕𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗

entsteht also durch Matrixmultiplikation

aus den Matrizen 𝑤𝑖𝑘 𝑢

𝑖,𝑘 und 𝑔𝑘𝑗 𝑢

𝑘,𝑗.

Da die Matrix 𝑔𝑘𝑗 𝑢𝑘,𝑗

positiv definit und folglich insbesondere

invertierbar ist, lässt sich die Gleichung nach 𝑤𝑖𝑘 𝑢

𝑖,𝑘 auflösen.

Wenn 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗

die zu 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖,𝑗

inverse Matrix ist, wenn also gilt:

𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗

=1

𝑔11 𝑢 𝑔22 𝑢 −𝑔12 𝑢 2

𝑔22(𝑢) −𝑔12(𝑢)−𝑔21(𝑢) 𝑔11(𝑢)

Dann folgt direkt:

𝑕𝑖𝑘 𝑢 𝑔𝑘𝑗 𝑢 = 𝑤𝑖𝑗(𝑢)

2

𝑘=1


3.6 Krümmung



Krümmung von Kurven

in regulären Flächen

Bemerkung 3.6.1

In diesem Abschnitt geht es um verschiedene Konzepte zum

wichtigen Begriff der Krümmung von regulären Flächen.

Zunächst geht es um die Normalkrümmung, die über die

Krümmung von in der regulären Fläche verlaufenden

parametrisierten Kurven erklärt wird.

Wir betrachten eine orientierbare reguläre Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3, mit

glattem Einheitsnormalenfeld 𝑁, einen Punkt 𝑝 ∈ 𝑆 und eine nach

Bogenlänge parametrisierte Kurve 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆.

Als Raumkurve im ℝ3 hat 𝛾 in 0 die Krümmung 𝜅 0 ≔ 𝛾 (0) ,

die für 𝜅 0 ≠ 0 durch 𝛾 0 = 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 gegeben ist, wobei

𝑛(0) ≔ 𝛾 (0) 𝛾 (0) der Normalenvektor von 𝛾 ist.

Diese Krümmung wird nun in zwei Teile aufgespalten, nämlich

einen Teil der auf die Krümmung von 𝛾 innerhalb von 𝑆 zurückgeht

und einen Teil, der die Krümmung von 𝑆 im ℝ3 beschreibt.


Krümmung von Kurven

in regulären Flächen


Aus diesem Grund wird 𝑛(0) in einen Anteil tangential zu 𝑆 und

eine Anteil senkrecht zu 𝑆 zerlegt.

𝑛 0 = 𝑛 0 𝑡𝑎𝑛𝑔 + 𝑛 0 𝑠𝑒𝑛𝑘

Dabei ist

𝑛 0 𝑠𝑒𝑛𝑘 = 𝑛 0 ,𝑁(𝑝) ∙ 𝑁 𝑝 .

Daraus folgt:

𝛾 0 = 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 = 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 𝑡𝑎𝑛𝑔 + 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 , 𝑁(𝑝) ∙ 𝑁 𝑝

Der tangentiale Anteil, der angibt, wie sich 𝛾 innerhalb von 𝑆

krümmt, führt zur geodätischen Krümmung von 𝛾 in 𝑆, die

später (Differentialgeometrie II) thematisiert wird.

Im Augenblick interessiert die Krümmung von 𝑆 im ℝ3. Dazu

definieren wir die Normalenkrümmung 𝜿𝒏𝒐𝒓 einer orientierbaren

regulären Fläche.


Normalenkrümmung 𝜿𝒏𝒐𝒓

Definition 3.6.2

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine orientierbare reguläre Fläche mit glattem

Einheitsnormalenfeld 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑆 und 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆 eine nach

Bogenlänge parametrisierte Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 und

Normalenvektor 𝑛 ist, dann ist die Normalkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 von 𝑆 im Punkt 𝑝 in Richtung 𝛾 (0) wie folgt definiert:

𝜅𝑛𝑜𝑟 ≔ 𝛾 0 , 𝑁 𝑝 = 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 , 𝑁 𝑝 , falls 𝜅 0 ≠ 0

0, falls 𝜅 0 = 0

Bezeichnet 𝜃 im Fall

𝜅 0 ≠ 0 den Winkel

zwischen 𝑁(𝑝) und

𝑛(0) dann gilt:

𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝜅 0 ∙ cos 𝜃

Insbesondere gilt immer:

𝜅𝑛𝑜𝑟 ≤ 𝜅 0

𝛾



Satz 3.6.2: Satz von Meusnier

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Einheitsnormalenfeld

𝑁 und zweiter Fundamentalform 𝐼𝐼 ist, 𝑝 ∈ 𝑆 und 𝛾: −휀, 휀 → 𝑆 eine nach

Bogenlänge parametrisierte Kurve mit 𝛾 0 = 𝑝 ist, dann gilt für die

Normalenkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 von 𝛾:

𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝐼𝐼 𝛾 0 , 𝛾 0

Insbesondere haben alle nach Bogenlänge parametrisierten

Kurven in 𝑆 durch 𝑝 mit demselben Tangentialvektor dieselbe

Normalkrümmung. 𝜅𝑛𝑜𝑟 ist also unabhängig von der Wahl der Kurve 𝛾.

Beweis

Da 𝛾 in 𝑆 verläuft, gilt ∀𝑡∈ −𝜀,𝜀 𝑁 𝛾 𝑡 , 𝛾 (𝑡) = 0

Differentiation dieser Gleichung liefert:

0 =𝑑

𝑑𝑡𝑁 𝛾 𝑡 , 𝛾 (𝑡)

𝑡=0 =

𝑑

𝑑𝑡𝑁 𝛾 𝑡

𝑡=0, 𝛾 (0) + 𝑁 𝑝 , 𝛾 (0)

= 𝑑𝑝𝑁 𝛾 0 , 𝛾 (0) + 𝜅𝑛𝑜𝑟 = −𝑊𝑝 𝛾 0 , 𝛾 (0) + 𝜅𝑛𝑜𝑟

= −𝐼𝐼 𝛾 0 , 𝛾 0 + 𝜅𝑛𝑜𝑟 #



Bemerkung 3.6.3

Ein Orientierungswechsel der Kurve 𝛾 ändert den Wert der

Normalenkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 nicht, denn es gilt:

𝐼𝐼 −𝛾 0 , −𝛾 0 = 𝐼𝐼 𝛾 0 , 𝛾 0

Ein Orientierungswechsel der Fläche 𝑆, bei dem 𝑁 𝑝 durch

−𝑁(𝑝) ersetzt wird, führt dagegen zum Vorzeichenwechsel der

Normalenkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟: 𝛾 0 , −𝑁(𝑝) = − 𝛾 0 , 𝑁(𝑝)

Satz 3.6.4

𝑆 ⊂ ℝ3 ist eine orientierbare reguläre Fläche

mit Einheitsnormalenfeld 𝑁 und 𝑝 ∈ 𝑆.

𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 ist ein Tangentialvektor der Länge 1.

𝐸 ist die von 𝑁(𝑝) und 𝑋 aufgespannte Ebene,

die sogenannte Normalenebene.

Dann kann für eine Umgebung 𝑉 ⊂ ℝ3

von 𝑝 die Menge 𝑆 ∩ 𝐸 + 𝑝 ∩ 𝑉 durch

eine reguläre Kurve parametrisiert werden.



Bemerkung 3.6.5

Nach dem Satz von Meusnier (Satz 3.6.2) kann zur Berechnung

der Normalkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝐼𝐼(𝑋, 𝑋) die nach Bogenlänge

parametrisierte Kurve 𝛾 verwenden, die 𝑆 ∩ 𝐸 + 𝑝 ∩ 𝑉 beschreibt.

Fasst man 𝛾 als ebene Kurve in der Ebene 𝐸 + 𝑝 ≅ ℝ2 auf, dann

ist der Kurvennormalenvektor

𝑛 0 = ±𝑁(𝑝)

und somit die Normalenkrümmung

𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝐼𝐼 𝑋, 𝑋 = 𝜅 0 ∙ 𝑛 0 , 𝑁(𝑝) = ±𝜅(0),

wobei 𝜅 die Krümmung von 𝛾 als ebene Kurve ist.

Dies erklärt die Bezeichnung Normalkrümmung.

Die Normalkrümmung ist die Krümmung der ebenen Kurve

𝑆 ∩ 𝐸 + 𝑝 ∩ 𝑉 in der Ebene 𝐸 aufgespannt durch 𝑋 und den

Normalenvektor.




𝑆 = 𝑆1 × ℝ ist der Zylinder und 𝑝 ∈ 𝑆.

Die Schnittmenge von 𝑆 mit der

Normalenebene im Punkt 𝑝 ist

entweder ein Kreis, eine Ellipse

oder eine Gerade.

Die Normalenkrümmung variiert

dementsprechend je nach Richtung

zwischen 1 und 0.

Bemerkung 3.6.7

Da die Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑝𝑆 selbstadjungiert

ist, gibt es eine Orthonormalbasis 𝑋1, 𝑋2 von 𝑇𝑝𝑆, die aus

Eigenvektoren von 𝑊𝑝 besteht, d. h. es gilt:

∀𝑖∈ 1,2 𝑊𝑝 𝑋𝑖 = 𝜅𝑖 ∙ 𝑋𝑖


Hauptkrümmungen

Definition 3.6.8

Die Eigenwerte 𝜅1 und 𝜅2 der Weingarten-Abbildung

𝑊𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇𝑝𝑆 heißen Hauptkrümmungen von 𝑆 ⊂ ℝ3

im Punkt 𝑝.

Die zugehörigen Eigenvektoren ±𝑋1 und ±𝑋2 heißen

Hauptkrümmungsrichtungen.

Bemerkung 3.6.9

Im Folgenden soll in der Regel gelten: 𝜅1 ≤ 𝜅2

Jeder Einheitsvektor 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 kann mit einem geeigneten 𝜑 ∈ ℝ

in der Orthonormalbasis 𝑋1, 𝑋2 wie folgt ausgedrückt werden:

𝑋 = cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

Durch Einsetzen in die zweite Fundamentalform ergibt sich die

Euler-Formel für die Normalkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 in Richtung 𝑋:

𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝐼𝐼 𝑋, 𝑋 = 𝐼 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑋 = cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2


Eulerformel für die

Normalkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟

Euler-Formel für die Normalkrümmung 𝜅𝑛𝑜𝑟 in Richtung 𝑋:

𝜅𝑛𝑜𝑟 = 𝐼𝐼 𝑋, 𝑋 = 𝐼 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑋 = 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑋

= 𝑊𝑝 cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2 , cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

= cos 𝜑 ∙ 𝑊𝑝 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑊𝑝 𝑋2 , cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

= cos 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 𝑋1, cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

+ sin 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 𝑋2, cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

= cos 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 𝑋1, cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

+ sin 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 𝑋2, cos 𝜑 ∙ 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ 𝑋2

= cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 𝑋1, 𝑋1 + sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 𝑋1, 𝑋2

+ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 𝑋2, 𝑋1 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 𝑋2, 𝑋2

= cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 1 + sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝜅1 ∙ 0

+ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 0 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2 ∙ 1

= cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2


Hauptkrümmungen


Insbesondere sind 𝜅1 und 𝜅2 das Minimum und das Maximum aller

Normalkrümmungswerte von 𝑆 in 𝑝, wenn 𝑋 alle Richtungen

durchläuft, d. h. für alle Einheitsvektoren 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆.

Beispiel 3.6.10: 𝑥-𝑦-Ebene

𝑆 = ℝ2 × 0 ist die 𝑥-𝑦-Ebene im ℝ3. Es gilt:

∀𝑝∈𝑆∀𝑋∈𝑇𝑝𝑆 𝑊𝑝 𝑋 = −𝑑𝑝𝑁 𝑋 = −𝑑


𝑡=0= −

𝑑

𝑑𝑡

001

=000

Daraus folgt:

0 =000

, 𝑋 = 𝑊𝑝 𝑋 ,𝑋 = cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2

Also gilt: 𝜅1 = 0 und 𝜅2 = 0.

Folglich ist jede Richtung Hauptkrümmungsrichtung.


Hauptkrümmungen


Für die Sphäre 𝑆 = 𝑆2 ist bzgl. des inneren Einheitsnormalenfelds

∀𝑝∈𝑆 𝑁 𝑝 = −𝑝

die Weingarten-Abbildung

∀𝑝∈𝑆∀𝑋∈𝑇𝑝𝑆 𝑊𝑝 𝑋 = −𝑑𝑝𝑁 𝑋 = −𝑑

𝑑𝑡𝑁 ∘ 𝛾(𝑡)

𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡−𝛾 𝑡

𝑡=0= 𝛾 𝑡 𝑡=0 = 𝑋

die identische Abbildung.

Folglich gilt für jeden Einheitsvektor 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆:

1 = 𝑋, 𝑋 = 𝑊𝑝 𝑋 , 𝑋 = cos2 𝜑 ∙ 𝜅1 + sin2 𝜑 ∙ 𝜅2

Daraus folgt:

𝜅1 = 𝜅2 = 1

Damit ist jede Richtung 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝑆 Hauptkrümmungsrichtung.


Hauptkrümmungen


Der Zylinder 𝑆 = 𝑆1 × ℝ besitzt bzgl.

des Punktes 𝑝 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 und

des inneren Einheitsnormalenfelds 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = − 𝑥, 𝑦, 0 𝑇

sowie der Basisvektoren 𝑋1 = −𝑦, 𝑥, 0 𝑇 und 𝑋2 = 0,0,1 𝑇

der Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆

die Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝 mit der Matrixdarstellung

(vgl. Beispiel 3.5.7)

1 00 0

.

Dies bedeutet, dass 𝑋1 und 𝑋2 die Hauptkrümmungsrichtungen

zu den Hauptkrümmungen 𝜅1 = 1 und 𝜅2 = 0 sind.


Krümmungslinie

Definition 3.6.13

Wenn 𝑆 ⊂ ℝ3 eine reguläre Fläche und 𝛾: 𝐼 → 𝑆 eine nach

Bogenlänge parametrisierte Kurve ist, für die ∀𝑡∈𝐼 𝛾 (𝑡) eine

Hauptkrümmungsrichtung ist, dann heißt 𝛾 Krümmungslinie.

Beispiel 3.6.14

Auf dem Zylinder

𝑆 = 𝑆1 × ℝ sind die

Krümmungslinien

horizontale Kreislinien

bzw. vertikale Geraden

(oder Stücke davon).

Auf der Ebene oder der Sphäre sind alle nach Bogenlänge

parametrisierten Kurven Krümmungslinien.


Nichtorientierbare

reguläre Flächen

Bemerkung 3.6.15

Kehrt man auf einer orientierbaren regulären Fläche die

Orientierung um, d. h. ersetzt man 𝑁(𝑝) durch −𝑁 𝑝 ,

dann geht 𝑊𝑝 in −𝑊𝑝 über

und 𝜅1 sowie 𝜅2 werden durch −𝜅1 und −𝜅2 ersetzt.

Die Eigenvektoren von 𝑊𝑝 und damit die

Hauptkrümmungsrichtungen bleiben dagegen erhalten.

Aus diesem Grund sind Hauptkrümmungsrichtungen und

Krümmungslinien auch auf nichtorientierbaren regulären

Flächen definiert.

Die Hauptkrümmungen sind auf nichtorientierbaren regulären

Flächen dagegen nur bis auf das Vorzeichen definiert.


Satz von Rodriguez

Satz 3.6.16: Satz von Rodriguez

Wenn

𝑆 ⊂ ℝ3 eine orientierbare reguläre Fläche,

𝑁: 𝑆 → 𝑆2 die Gauß-Abbildung und

𝛾: 𝐼 → 𝑆 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist,

dann ist 𝛾 genau dann Krümmungslinie auf 𝑆, wenn es eine

Funktion 𝜆: 𝐼 → ℝ gibt, mit

∀𝑡∈𝐼 𝑑

𝑑𝑡𝑁 𝛾 𝑡 = 𝜆 𝑡 ∙ 𝛾 𝑡

In diesem Fall ist −𝜆 𝑡 die entsprechende Hauptkrümmung.

Beweis

Übungsaufgabe

Lösungshinweis: Bär (2010, S. 300, 3.10)


Gauß-Krümmung 𝑲 und

mittlere Krümmung 𝑯

Definition 3.6.17

𝑆 ⊂ ℝ3 ist eine reguläre Fläche, 𝑝 ∈ 𝑆 ein Punkt der Fläche,

und 𝜅1 sowie 𝜅2 sind die Hauptkrümmungen von 𝑆 in 𝑝.

Dann heißt

𝐾 𝑝 ≔ 𝜅1 ∙ 𝜅2 = det 𝑊𝑝

die Gauß-Krümmung 𝑲(𝒑) von 𝑆 in 𝑝 und

𝐻 𝑝 ≔𝜅1 + 𝜅2

2=

1

2∙ Spur(𝑊𝑝)

die mittlere Krümmung 𝑯(𝒑) von 𝑆 in 𝑝.

Bemerkung 3.6.18

Beide Krümmungsbegriffe stellen eine Mittelwertbildung der

Hauptkrümmungen 𝜅1 und 𝜅2 dar:

Die mittlere Krümmung 𝐻 ist das arithmetische Mittel,

die Gauß-Krümmung 𝐾 ist das Quadrat des geometrischen Mittels.


Mittleres Krümmungsfeld 𝓗

Bemerkung 3.6.19

Wenn man auf einer orientierten regulären Fläche die Orientierung

umkehrt, dann wechseln die Hauptkrümmungen ihr Vorzeichen.

Also geht auch 𝐻 𝑝 in −𝐻 𝑝 über, aber 𝐾 𝑝 bleibt unverändert.

Somit ist die Gauß-Krümmung auch für nichtorientierbare Flächen

definiert, die mittlere Krümmung dagegen nur bis auf das

Vorzeichen.

Um eine Version der mittleren Krümmung zu erhalten, die sich bei

Orientierungswechseln nicht ändert und auch auf nichtorientierten

Flächen definiert ist, betrachtet man statt der reellwertigen

Funktion 𝐻 häufig das mittlere Krümmungsfeld 𝓗, das wie folgt

definiert ist:

ℋ ≔ 𝐻 ∙ 𝑁

Im Gegensatz zur mittleren Krümmung 𝐻 ist ℋ also keine

reellwertige Funktion sondern ein Normalenfeld auf der Fläche 𝑆.


Elliptische, hyperbolische, parabo-

lische Punkte & Flachpunkte

Definition 3.6.20

Ein Punkt 𝑝 einer orientierten regulären Fläche 𝑆 ⊂ ℝ3 heißt

elliptischer Punkt, wenn 𝐾 𝑝 > 0,

hyperbolischer Punkt, wenn 𝐾 𝑝 < 0,

parabolischer Punkt, wenn 𝐾 𝑝 = 0 ∧ 𝑊𝑝 ≠ 0,

d. h. wenn eine der beiden Hauptkrümmungen

verschwindet, die andere aber nicht,

Flachpunkt, wenn 𝑊𝑝 = 0, d. h. 𝜅1 = 𝜅2 = 0.

Bemerkung 3.6.21

Die Begriffe elliptischer Punkt, hyperbolischer Punkt, parabolischer

Punkt und Flachpunkt sind auch auf nichtorientierbaren Flächen

erklärt, obwohl 𝑊𝑝 dort nur bis auf das Vorzeichen definiert ist.


Beispiele


Für die Ebene 𝑆 = ℝ2 × *0+ gilt: ∀𝑝∈𝑆 𝑊𝑝 = 0, also 𝜅1 = 𝜅2 = 0

Folglich sind alle Punkte der Ebene Flachpunkte.

Damit sind sowohl die Gauß-Krümmung 𝐾 = 𝜅1 ∙ 𝜅2 als auch

die mittlere Krümmung 𝐻 = 𝜅1+𝜅22

identisch gleich Null


Für die Sphäre 𝑆 = 𝑆2 mit der durch das innere Einheitsnormalenfeld

𝑁 𝑝 = −𝑝 gegebenen Orientierung gilt: ∀𝑝∈𝑆 𝑊𝑝 = 𝑖𝑑

Folglich gilt für die Vektoren 𝑋1, 𝑋2 der Orthonormalbasis von 𝑇𝑝𝑆:

𝜅1 ∙ 𝑋1 = 𝑊𝑝 𝑋1 = 𝑋1 ⇒ 𝜅1 = 1

𝜅2 ∙ 𝑋2 = 𝑊𝑝 𝑋2 = 𝑋2 ⇒ 𝜅2 = 1

Damit ist die Gauß-Krümmung 𝐾 = 𝜅1 ∙ 𝜅2 = 1 und

folglich sind alle Punkte der Sphäre elliptische Punkte.

Mittlere Krümmung: 𝐻 = 𝜅1+𝜅22

= 1

Mittleres Krümmungsfeld: ℋ 𝑝 = 𝐻 ∙ 𝑁 𝑝 = 1 ∙ −𝑝 = −𝑝


Beispiele


Für den Zylinder 𝑆 = 𝑆1 × ℝ mit der durch das

innere Einheitsnormalenfeld

𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = − 𝑥, 𝑦, 0 𝑇

gegebenen Orientierung wurden in Beispiel 3.6.12

folgende Hauptkrümmungen bestimmt:

𝜅1 = 1 ∧ 𝜅2 = 0

Damit ergibt sich:

Gauß-Krümmung (Wie bei der Ebene!) :

𝐾 = 𝜅1 ∙ 𝜅2 = 0

Mittlere Krümmung:

𝐻 =𝜅1 + 𝜅2

2=

1

2

Es sind also alle Punkte des Zylinders parabolische Punkte


Das hyperbolische Paraboloid

(die Sattelfläche)

Beispiel 3.6.25: Das hyperbolische Paraboloid (die Sattelfläche)


𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑧 = 𝑦2 − 𝑥2 ,

das auch Sattelfläche genannt wird,

ist der Graph einer Funktion

𝜑:ℝ2 → ℝ, 𝑥, 𝑦 𝑇 ↦ 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 − 𝑥2

und folglich eine reguläre Fläche.

Um ein Normalenfeld zu finden

schreiben wir

𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 ∈ ℝ3 𝑧 − 𝑦2 + 𝑥2 = 0

mit 𝑓:ℝ3 → ℝ, 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 − 𝑦2 + 𝑥2.

Für den Gradienten ergibt sich:

grad 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =2𝑥

−2𝑦1



(die Sattelfläche)

Beispiel 3.6.25 (Fortsetzung 1)

Da der Gradient nach Satz 3.2.5b überall senkrecht auf 𝑆 steht,

erhält man ein Einheitsnormalenfeld und damit eine Orientierung

durch: 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 =grad 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)

grad 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=

2𝑥,2𝑦,1 𝑇

4𝑥2+4𝑦2+1

Im Punkt 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑇 = 0,0,0 𝑇 =: 𝑝 ergibt sich: 𝑁 𝑝 = 0,0,1 𝑇

Bestimmung der Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝 für den Punkt 𝑝:

Die Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆 hat die Orthonormalbasis

𝑋1 = 1,0,0 𝑇 und 𝑋2 = 0,1,0 𝑇.

Die Kurve 𝛾:ℝ → 𝑆, 𝑡 ↦ 𝛾 𝑡 = 𝑡, 0, −𝑡2 𝑇 erfüllt die

Bedingungen 𝛾 0 = 0,0,0, 𝑇 = 𝑝 und 𝛾 0 = 1,0,0, 𝑇 = 𝑋1

Damit ergibt sich:

𝑊𝑝 𝑋1 = −𝑑𝑝𝑁 𝑋1 = −𝑑

𝑑𝑡𝑁 𝛾 𝑡

𝑡=0 = −

𝑑

𝑑𝑡𝑁 𝑡, 0, −𝑡2

𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡

2𝑡,0,1 𝑇

4𝑡2+1 𝑡=0

= −𝑑

𝑑𝑡4𝑡2 + 1 −

1

2 ∙ 2𝑡, 0,1 𝑇 𝑡=0



(die Sattelfläche)

Beispiel 3.6.25 (Fortsetzung 2)

Bestimmung der Weingarten-Abbildung 𝑊𝑝 für den Punkt 𝑝:

Damit ergibt sich:

Daraus folgt: 𝑊𝑝 𝑋1 = −2 ∙ 𝑋1 und 𝜅1 = −2

Analog ergibt sich mit Hilfe der Kurve 𝛾 𝑡 = 0, 𝑡, 𝑡2 𝑇:

𝑊𝑝 𝑋2 = 2 ∙ 𝑋2 und 𝜅2 = 2

Also ist 𝑝 = 0,0,0 𝑇 ein hyperbolischer Punkt mit

𝐾 = 𝜅1 ∙ 𝜅2 = −2 ∙ 2 = −4 und 𝐻 =𝜅1+𝜅2

2= 0.

𝑊𝑝 𝑋1 = −𝑑

𝑑𝑡4𝑡2 + 1 −

1

2 ∙ 2𝑡, 0,1 𝑇 𝑡=0

= − −1

24𝑡2 + 1 −

3

2 ∙ 8𝑡 ∙ 2𝑡, 0,1 𝑇 + 4𝑡2 + 1 −1

2 ∙ 2,0,0 𝑇 𝑡=0

= −1−12 ∙ 2,0,0 𝑇

= − 2,0,0 𝑇

= −2 ∙ 1,0,0 𝑇


Weiteres Programm

Bemerkung 3.6.26

Anhand von speziellen lokalen Parametrisierungen

von regulären Flächen lässt sich erkennen, dass

die zweite Fundamentalform näherungsweise angibt,

wie sich die Fläche in der Nähe eines Punktes von

der Tangentialebene entfernt.

Insbesondere ergibt sich, dass sich jede Fläche lokal

als Graph über der Tangentialebene angeben lässt.

Schließlich geht es um die Frage, was die Krümmungs-

eigenschaften über das lokale geometrische Verhalten

der Fläche aussagen.


Abweichung einer Fläche

von der Tangentialebene

Satz 3.6.27

Voraussetzungen:

𝑆 ⊂ ℝ3 ist eine reguläre Fläche und 𝑝 ∈ 𝑆.

𝑋1, 𝑋2 bilden eine Orthonormalbasis von 𝑇𝑝𝑆.

𝑁 ist ein glattes Einheitsnormalenfeld auf 𝑆 das in einer

Umgebung des Punktes 𝑝 so definiert ist, dass gilt:

𝑋1, 𝑋2, 𝑁(𝑝) ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis des ℝ3.

Dann gibt es eine lokale Parametrisierung 𝑈, 𝐹, 𝑉 von 𝑆 um 𝑝, mit:

0,0 𝑇 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 0,0 = 𝑝

∀𝑖,𝑗=12 𝑔𝑖𝑗 0,0 = 𝛿𝑖𝑗

∀𝑖,𝑗,𝑘=12

𝜕𝑔𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘 0,0 = 0

𝐹 𝑢 − 𝑝 = 𝑢1 ∙ 𝑋1 + 𝑢2 ∙ 𝑋2 +1

2 𝑕𝑖𝑗 0,02

𝑖,𝑗=1 𝑢𝑖𝑢𝑗 ∙ 𝑁 𝑝 + 𝑂 𝑢 3

Dabei sind (𝑔𝑖𝑗) und (𝑕𝑖𝑗) die lokalen Darstellungen der ersten bzw.

zweiten Fundamentalform bzgl. der lokalen Parametrisierung 𝑈, 𝐹, 𝑉 .

Beweis: Vgl.

Bär (2010, S.132ff)


Reguläre Flächen

sind lokal Graphen

Satz 3.6.28

Jede reguläre Fläche 𝑆 kann lokal als Graph über ihrer

affinen Tangentialebne 𝑇𝑝𝑆 + 𝑝 aufgefasst werden.

Beweis

𝑆 ⊂ ℝ3 ist eine reguläre Fläche und 𝑝 ∈ 𝑆 ein Punkt dieser Fläche.

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die Fläche so im ℝ3

gedreht und verschoben, dass 𝑝 = 0,0,0 𝑇 und die Tangential-

ebene 𝑇𝑝𝑆 von den ersten beiden Einheitsvektoren 𝑒1 und 𝑒2

aufgespannt wird.

Dan gibt es nach dem Satz 3.6.27 eine lokale Parametrisierung

𝑈, 𝐹, 𝑉 von 𝑆 und 𝑝 der folgenden Form:

𝐹 𝑢1, 𝑢2 = 𝑢1, 𝑢2,1

2∙ 𝑕𝑖𝑗 0,0 𝑢𝑖𝑢𝑗2

𝑖,𝑗=1

𝑇+ 𝑂 𝑢 3

𝜋:ℝ3 → 𝑇𝑝𝑆 = ℝ2 × 0 ≅ ℝ2 ist die Orthogonalprojektion

auf die Tangentialebene.


Reguläre Flächen

sind lokal Graphen


Wegen

𝜋 ∘ 𝐹 𝑢1, 𝑢2 = 𝑢1, 𝑢2 𝑇 + 𝑂 𝑢 3

gilt

𝐷 0,0 𝜋 ∘ 𝐹 =1 00 1

.

Also kann nach dem Umkehrsatz die Abbildung 𝜋 ∘ 𝐹 auf einer

evtl. kleineren Umgebung von 𝑝 umgekehrt werden, d. h. es gibt

eine glatte Abbildung

𝜑:𝑈 ⊂ 𝑇𝑝𝑆 → ℝ2

mit

𝜋 ∘ 𝐹 ∘ 𝜑 = 𝑖𝑑.

Dann gilt:

𝐹 𝜑 𝑣1, 𝑣2 = 𝑣1, 𝑣2, 𝐹 ∘ 𝜑 3 𝑣1, 𝑣2 𝑇

Dies bedeutet aber gerade, dass 𝑆 in der Nähe von 𝑝 genau der

Graph der 3. Komponentenfunktion von 𝐹 ∘ 𝜑 ist.


Gauß-Krümmung

Bemerkung 3.6.29

Nach diesen Vorbereitungen kann die Gauß-Krümmung

geometrisch interpretiert werden.

Wenn Terme dritter Ordnung vernachlässigt werden, kann die

reguläre Fläche 𝑆 in der Nähe eines Punktes 𝑝 ∈ 𝑆 über der

Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆 als Graph folgender Funktion angenähert

werden:

(𝑢1, 𝑢2) ↦1

2∙ 𝑕𝑖𝑗 0,0 𝑢𝑖𝑢𝑗

2

𝑖,𝑗=1

1. Fall: 𝑲 𝒑 > 𝟎 (𝑝 elliptisch)

In diesem Fall ist 𝑕𝑖𝑗 0,0𝑖𝑗

positiv

oder negativ definit. Folglich wird 𝑆

in der Nähe von 𝑝 durch einen

Paraboloiden angenähert.


Gauß-Krümmung

2. Fall: 𝑲 𝒑 < 𝟎 (𝑝 hyperbolisch)

𝑕𝑖𝑗 0,0𝑖𝑗

ist indefinit, aber

nicht ausgeartet. Folglich wird

𝑆 in der Nähe von 𝑝 durch eine

Sattelfläche angenähert.

3. Fall: 𝑲 𝒑 = 𝟎 ∧ 𝑾𝒑 ≠ 𝟎

(𝑝 parabolisch)

𝑕𝑖𝑗 0,0𝑖𝑗

ist ausgeartet,

aber nicht 0. Folglich wird

𝑆 in der Nähe von 𝑝 durch

die Zylinderfläche über

einer Parabel angenähert.


Gauß-Krümmung

4. Fall: 𝑾𝒑 = 𝟎 (𝑝 ist Flachpunkt.)

∀𝑖,𝑗=12 𝑕𝑖𝑗 0,0

𝑖𝑗= 0

Folglich stimmt 𝑆 in der Nähe von 𝑝 bis auf Terme dritter Ordnung

mit ihrer Tangentialebene 𝑇𝑝𝑆 überein.

Date post:	14-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	13 times
Download:	3 times

Differentialgeometrie - Uni Koblenz-Landau · Jürgen Roth Differentialgeometrie 3.9 Satz von...

Documents