Die PtParamter m und s siddi M t dind die Momente der ... · Momente der Logarithmischen...

Momente der Logarithmischen Normalverteilung

Di P t d i d di M t dDie Paramter m und s sind die Momente der Logarithmierten Verteilung, also

))(ln(XEm = Var(ln(X)) s2 =und

Es gilt jedoch:

2

2

)(sm

eXE+

= und )1()(222 −= + ssm eeXVar

Es gilt jedoch:

)( )()(

16

Beispiel zur Logarithmischen Normalverteilung

X sei logarithmisch normalverteilt mit

3,2))(ln( == XEm 0,8Var(ln(X)) s2 ==und

Dann ergibt sich: Geometrisches Mittel von XGeometrisches Mittel von

[Warum?]

X

)(974,9)3,2exp(3,2 XMediane ====

880,14)7,2exp(8,03,2exp)( ==⎟⎞

⎜⎛ +=XE

)(,),p(

880,14)7,2exp(2

3,2exp)( ⎟⎠

⎜⎝

+XE

17


))11ln()(ln()11( >=> XPXP

⎞⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>

−=

8,03,2)11ln()ln(

smXP

)109,0(180

3,2)11ln(1 Φ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ−=

8,0 ⎠⎝

4562,05438,01 =−=

( ) ( ) 45456961exp67508032exp ==⋅−=QUnteres Quartil von X:

– 0,675 ist das untere Quartil der Standardnormalverteilung

( ) ( ) 454,5696,1exp675,08,03,2exp1 ===Q

18


Oberes Quartil von X:

( ) ( ) 242,18904,2exp675,08,03,2exp3 ==⋅+=Q

Interquartilsabstand: 788,1213 =−QQ

520,4454,5974,9268,8974,9242,18

1

3

=−=−=−=−

QMedianMedianQ

Hieraus ist erkennbar, dass X eine rechtsschiefe Verteilung

,,,1Q

Hieraus ist erkennbar, dass X eine rechtsschiefe Verteilung aufweist.

19

Zusatzfolie zur Lognormalverteilung

Q1 = exp[Q1(ln(X)]

ln(x) = Y ∼ N(m, s2)

Q1(Y ) = y[0,25]

y[0,25]−m

S = z[0,25] = Q1(Z)→N(0, 1)

y[0,25] = m+ s z[0,25]︸︷︷︸−0,675

= 2, 3−√0, 8 ∗ 0, 675

Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt z[0, 25] = −z[0, 75]

FSt(0, 67) = 0, 7486↘FSt(z[0,75]) = 0, 75

FSt(0, 68) = 0, 7514↗

z[0,75] = 0, 67 · 0,00170,0031 + 0, 68 · 0,00140,0031 ≈ 0, 675

Abteilung EmpirischeWirtschaftsforschung

Okonometrie WS 2013/14Prof. Fitzenberger, Ph.D.

Lineare Interpolation einer Funktion

- Kenne f(a) = c und f(b) = d

- Gesucht ist Funktionswert f(e) an der Stelle e, fur die a < e < b gilt.

Approximiere f(e) durch Wert z auf der Gerade, die die Punkte (a,c) und (b,d) verbindet.

Dreisatz (Strahlensatz):

z − c

e− a=

d− c

b− a= Steigung des Steigungsdreiecks

Daraus ergibt sich fur z:

(1)

z = c+d− c

b− a(e− a)

oder

(2)

z =b− e

b− ac+

e− a

b− ad

Zwei Interpretationen

(1) : z entspricht c plus Steigung der Gerade mal Lange der Strecke (e-a)

(2) : z entspricht gewichtetes arithmetisches Mittel zwischen c und d. Die Gewichte sind die Strecken-anteile (b-e) bzw. (e-a) an der Gesamtstrecke (b-a).

1



Stetigkeitskorrektur

Stetige Normalverteilungen schneidet Treppenstufen von FBi ungefahr in der Mitte.

Stetigkeitskorrektur immer angebracht, wenn eine im Prinzip diskrete Variable durch einestetige approximiert wird.

Sk =Schrittweite

2”Halfte der Schrittweite der diskreten Variablen.”

Addition vor Standardisierung:

P (Sn ≤ sn) ≈ FSt

(sn + Sk − nµ

σ√n

)Sn =

n∑i=1

Xi

P (Xn ≤ xn) ≈ FSt

(xn + Sk

n− µ

σ√n

)

→ Korrektur gegenuber Lehrbuch!

Große von n: n ≥ 30 als Faustregel.

T^{t / 1,oLctzo4 ru ? ux; 0 ;* s2a4iob( cQ

trst lL

y60 /O,!7f / =wro(*/

\

.//

\z 4,€?7T1? (O,g7r) =' 60

Tg: fur?V)-/_-! fa I

c- 41 63-Q6 tt

7,?2

416v

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:i*?O .4 = (Oa€ G +'qY t t-o + c,r Ff: -r;!t

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I 4,Vtt o.f ,(:,op +)+qf '(-opfj

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ffit'h{-,^I r Lr;L WtnO sin,l et.( epb*) C(e 1"(*70("d)or. q ,}{ drd,4?*{oil,, 4n'^ ,l"a Qb;rL rd,tra hoo-*f.

3 Die Chi Quadrat Verteilung Forts3. Die Chi-Quadrat-Verteilung – Forts.

Eigenschaften:Eigenschaften:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21122

221 ... ZEZVarZEZEZE n +====

101 =+=

( )ZE 34 K i d S d d l il( ) ZE 31 = Kurtosis der Standardnormalverteilung

( ) ( ) ( )[ ] 213 22242 === ZEZEZVar( ) ( ) ( )[ ] 213111 =−=−= ZEZEZVar

( ) ( ) nZEnE =⋅= 21

2χ( ) ( ) nZEnE n 1χ

( ) ( ) nZVarnVar n 221

2 =⋅=χ26© Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL (Pearson Studium 2009)

Motivation für Chi-Quadrat-Verteilung und t-Verteilung

Die standardisierte Stichprobenvarianz ist -verteilt.

( ) 22 ⎞⎛

2χ

( ) verteiltXXXXnnnS

n

n

i

in

i

i 21

1

2

12

2

2

2

−==

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−= ∑∑ χ

σσσ

Der standardisierte Mittelwert ist t-verteilt, wenn die geschätzte Standardabweichung für die Standardisierung verwendet wirdStandardabweichung für die Standardisierung verwendet wird.

( ) 2

XnX −− μσμ n( )2

2

21

11S

nn

XS

nn

nTn

−

==−μ

σ

μ22

1S

nnwobei−

=σ

Hinweis: Diese Verteilungsergebnisse sind nur dann exakt, wenn normal-verteilt ist

iX

11 nn − σ

30

© Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL (Pearson Studium 2009)

verteilt ist.



Praxisbeispiel

Aktuelles Fallbeispiel: Leukamie-Neuerkrankungen in der Nahe des Atommullagers Asse

Im November 2010 teilte das Niedersachsische Ministerium fur Soziales, Frauen, Familie,Gesundheit und Integration mit: ”Im Untersuchungszeitraum 2002 bis 2009 wurden in derSamtgemeinde Asse mehr als doppelt so viele Leukamie-Neuerkrankungen festgestellt wieerwartet. Betrachtet man gemessen an der Bevolkerung die Leukamieneuerkrankungenin der Samtgemeinde Asse wurde man einen Fall im Jahr erwarten. Betrachtet man denZeitraum 2002 - 2009 (8 Jahre, 8 erwartete Leukamieneuerkrankungen), sind tatsachlich18 Menschen erkrankt... .”

Wir fuhren einen statistischen Hypothesentest durch, um zu uberprufen, ob eine signifi-kante Erhohung der Leukamie-Neuerkrankungen vorliegt. Wir operationalisieren dies wiefolgt.

X: Anzahl Leukamie-Neuerkrankungen in Asse

Wenn p die Wahrscheinlichkeit einer Leukamie-Neuerkrankung fur eine Person ist und ndie Große der Bevolkerung von Asse ist (wir unterstellen, dass die Bevolkerung zeitkon-stant ist), dann folgt X einer Binomialverteilung:

X ∼ Bi(n, p)

Da n groß und p klein ist, lasst sich die Verteilung sehr gut durch eine Poisson-Verteilungmit Parameter λ = np approximieren, d.h. X ∼ Poisson(λ) und E(X) = λ.

Unter der Nullhypothese entspricht der Erwartungswert von X dem Wert 8.

H0 : E(X) = λ = 8

H1 : E(X) = λ > 8



Das zugehorige TSP-Programm berechnet die Verteilungsfunktion einer Poisson(8)-verteiltenZufallsvariable, da diese nicht im Lehrbuch von Schira tabelliert ist.

Das Stichprobenergebnis ist X = 18. Der Wert der Verteilungsfunktion betragt an dieserStelle F (18) = 99, 935%. Der Wert der Uberschreitungswahrscheinlichkeit (p-Wert) be-tragt jedoch 1 − F (17) = 1 − 0, 9984 = 0, 16%, da 18 schon im Ablehnungsbereich beixoben = 17 liegt.

Der kritische Wert xoben, oberhalb dessen H0 verworfen wird, bei einem Signifikanzniveauvon α = 5% betragt xoben = 13, da Pr(X > xoben) = 1 − F (13) = 1 − 0, 9658 = 0, 0342 ≤5% (siehe Schira, Binomialtest, Abschnitt 15.3).

Da 18 Falle mehr als 14 Falle sind (und der p-Wert kleiner als α ist) kann die Nullhypo-these auf einem Signifikanzniveau von α = 5% verworfen werden. Dies gilt bis zu einemSignifikanzniveau von 0, 16%. Wenn man bspw. ein niedrigeres Signifikanzniveau in Hohevon 1 Promille zu Grunde legt, dann wurde die Nullhypothese nicht abgelehnt.



TSP-Programm und Output:

PROGRAM

COMMAND ***************************************************************

1 ?------------------------------------------

1 ? Programm zur Berechnung der Verteilungsfunktion

1 ? einer Poisson-Verteilung

1 ?------------------------------------------

1

1 options crt, double;

2

2 supres smpl;

3

3 set lam = 8; ? Parameter lambda der Poisson-Verteilung, Erw.wert

und Varianz

4

4 freq n;

5

5 set nmax = 20; ? maximale Anzahl x fur die f(x), F(x) berechnet

werden

6

6 set np1 = nmax+1;

7 smpl 1 np1;

8

8 trend x; x = x-1;

10

10 ?print x;

10

10 fx = lam**x * exp(-lam) / fact(x);

11

11 cdf = fx;

12

12 smpl 2 np1;

13

13 cdf = cdf(-1) + fx;

14

14 smpl 1 np1;

15

15 title ’Poisson Distribution for ’;

16 print lam;

17

17 print x fx cdf;

18



EXECUTION

*******************************************************************************

Poisson Distribution for

========================

LAM = 8.00000

X FX CDF

1 0.00000 0.00033546 0.00033546

2 1.00000 0.0026837 0.0030192

3 2.00000 0.010735 0.013754

4 3.00000 0.028626 0.042380

5 4.00000 0.057252 0.099632

6 5.00000 0.091604 0.19124

7 6.00000 0.12214 0.31337

8 7.00000 0.13959 0.45296

9 8.00000 0.13959 0.59255

10 9.00000 0.12408 0.71662

11 10.00000 0.099262 0.81589

12 11.00000 0.072190 0.88808

13 12.00000 0.048127 0.93620

14 13.00000 0.029616 0.96582

15 14.00000 0.016924 0.98274

16 15.00000 0.0090260 0.99177

17 16.00000 0.0045130 0.99628

18 17.00000 0.0021238 0.99841

19 18.00000 0.00094389 0.99935

20 19.00000 0.00039743 0.99975

21 20.00000 0.00015897 0.99991

*******************************************************************************



Berechnung zum Praxisbeispiel Schira Kapitel 12:

Berechnung der ”Wahrscheinlichkeit, obwohl p = 0, 5” in der vierten Spaltevon Tabelle 12.3 in Schira.

Dies ist die Wahrscheinlichkeit P (|Z| ≥ z800) fur standardnormalverteiltesZ, d.h. dass h800 mindestens z800 Standardabweichungen von p = 0, 5 ent-fernt liegt.

P (|Z| ≥ |z800|) = P (Z ≤ −|z800|) + P (Z ≥ |z800|)= 2 · P (Z ≥ |z800|)= 2 · (1− FSt(|z800|)

Im Beispiel: z800 = 0, 4243

P (|Z| ≥ |z800|) = 2 · (1− FSt(0, 4243)

= 2 · (1− 0, 43 · 0, 6664− 0, 57 · 0, 6628)= 0, 6713

Berechnung durch Interpolation der Tabellenwerte. Schira weist im Lehrbuchden exakten (gerundeten) Wert 0,6714 aus.

Date post:	26-Oct-2019
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