Didaktik der Physik

Thema: Geometrische OptikLinsen, Fernrohr und Mikroskop

Vortragender: Markus Kaldinazzi

GliederungAllgemeines zur geometrischen Optik Aufbau des Strahlenganges an dünnen Linsen;

Arten von Linsen Die Linsengleichung Linsensysteme Linsenmachergleichung Vergrößerungsgläser; WinkelvergrößerungFernrohreMikroskopeAbbildungsfehler

Geometrische Optik (auch Strahlenoptik)

• Näherung der Optik; Welleneigenschaften des Lichtes werden vernachlässigt da die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel, Linsen) groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind.

• Wellenlänge von sichtbarem Licht ca. 400 – 750nm << Maße von Alltagsgegenständen und optischen Bauteilen

• Licht wird als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet

• Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsgesetz, d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören

• Geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium

• Reflexion an verspiegelten Flächen

• Brechung an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlicher Brechzahl nach Snellius

Allgemein gilt das Fermat`sche Prinzip:

Das Licht wählt auf dem Weg von einem

Punkt P1 zu einem Punkt P2 immer den

zeitlich kürzesten Weg.

Was versteht man unter einer Linse?

Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist.

Linsenformen

•Einfache Linsen: beide optisch aktiven Flächen sind sphärisch

(Oberflächenausschnitt einer Kugel)

Unterschied Sammellinsen/Zerstreuungslinsen

Im Bereich der optischen Achse sind

Sammellinsen dicker als Zerstreuungslinsen.

• Asphärische Linsen:

• meist rotationssymmetrisch

• Flächen sind nicht Ausschnitte von Kugeloberflächen

• Form wird durch Kegelschnitt plus eine Potenzreihe für Deformationen höherer Ordnung bestimmt

R...Scheitelradius, k...konische Konstante,

A4,A6... Asphärische Parameter

...

)1(11

)( 66

44

2

2

hAhA

Rh

kR

hhfz

Anwendung asphärischer Linsen

• Ziel: Abbildungsfehler reduzieren

• Ersatz: 2 – 3 sphärische Linsen

• Nachteil: teure Herstellungskosten

• Kurzbrennweitige Objektive und Okulare

• Flachbettscanner

• Linsen in Projektoren und Scheinwerfern

• Ideale Linse

- Paraboloidform

- Parallel einfallende Lichtstrahlen werden in einem Punkt (Fokus) gebündelt

- Zu den Rändern hin weniger stark gekrümmt als sphärische Linse

- Achsennahe Bereiche der sphärischen Linse können für Sammellinsen verwendet werden

Strahlengang für Sammel- bzw. Zerstreuungslinsen

Sammellinsen

• Auf Grund des Snellius´schen Brechungs-gesetzes werden Strahlen in Richtung der optischen Achse abgelenkt.

F...Brennpunkt

f...Brennweite

• Die von einem Punkt eines weit entfernten Objekts ausgehenden Strahlen verlaufen nahezu parallel.

• Der Brennpunkt kann somit als Bild eines unendlich weit auf der optischen Achse entfernten Objektes aufgefasst werden.

• Parallele Strahlen unter beliebigem Winkel

werden in Fa fokussiert.

• Die Menge aller Fa bilden die Brennebene.

Bestimmung des von einer Sammellinse

erzeugten Bildes durch Strahlverfolgung

• Entstehen eines realen, invertierten Bildes

• Auf Schirm projizierbar (a)

• Dieses reale Bild ist auch für das Auge sichtbar (b)

Zerstreuungslinsen

• Parallel einlaufende Lichtstrahlen divergieren.

• Brennpunkt als derjenige Punkt, von dem die gebrochenen Lichtstrahlen scheinbar ausgehen.

Erzeugung des Bildes einer Zerstreuungslinse durch Verfolgung des Strahlenverlaufs

Strahl1: Parallel zur optischen Achse, scheint von F auszugehenStrahl2: zeigt in Richtung F`, parallel zur optischen AchseStrahl3: direkt durch den Mittelpunkt der Linse

• Virtuelles, aufrechtes Bild

• Virtuell, da die Strahlen nicht durch das Bild gehen (nur Verlängerungen, strichliert)

• Nicht auf einen Schirm projizierbar ABER

• sichtbar!

• Das Gehirn interpretiert alle Strahlen, die das Auge erreichen so, als hätten sie einen geradlinigen Weg zurückgelegt.

• Auge unterscheidet nicht zwischen realen und virtuellen Bildern! Beide sichtbar!

Herleitung der Linsengleichung:

a) Sammellinse

dO...Objektweite

dB...Bildweite

hO...Höhe Objekt

hB...Höhe Bild

FI‘I ~ FBA hB/hO =(dB-f)/f

OAO‘ ~ IAI‘ hB/hO =dB/dO

Gleichsetzen und dividieren durch dB liefert

die Linsengleichung: fdd BO

111

b) Zerstreuungslinsen:

IAI‘ ~ OAO‘ hB/hO = dB/dO

IFI‘~ AFB hB/hO = (f – dB)/f

Daraus resultiert: fdd BO

111

Vorzeichenkonventionen

f > 0 für Sammellinsen, f < 0 für Zerstreuungslinsen

dO > 0: Objekt auf lichteinfallenden Seite der Linse

dB > 0: Bild auf gegenüberliegenden Seite bzgl. Lichteinfall

hO > 0 (immer), hB > 0: aufrecht; hB < 0: invertiert

bzgl. h0

fdd BO

111

fdd BO

111

• Optiker und Augenärzte verwenden anstelle

der Brennweite deren Kehrwert um die Stärke

von Brillengläsern oder Kontaktlinsen

anzugeben.

• Brechkraft B =1/f

• Einheit: 1 Dioptrie = 1m-1

• Brechkraft einer Sammellinse positiv

Brechkraft einer Zerstreuungslinse negativ

Lateralvergrößerung einer Linse

Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe

v = hB/hO = -dB/dO

Aufrechtes Bild: v > 0

Invertiertes Bild: v < 0

Linsensysteme

Das durch die erste Linse erzeugte Bild wird

zum Objekt für die zweite Linse.

Beispiel: Messung von f für

Zerstreuungslinsen

• Sammellinse wird in unmittelbaren Kontakt mit Zerstreuungslinse gebracht.

• Beispiel: Sonnenstrahlen werden 28,5cm hinter der Linse fokussiert. Brennweite der Sammellinse fC = 16cm.

Linsengleichung (Zerstreuungslinse):

-1/f = 1/dO – 1/dB

-1/f = 1/(16cm) – 1/(28,5cm) = 0,0274cm-1

f = -36,5cm

Linsenmachergleichung

• Zusammenhang zwischen der Brennweite

einer Linse und den Krümmungsradien ihrer

beiden Oberflächen.

• Näherung für dünne Linsen und Winkel zwischen Strahlen und der Achse sehr klein

1 = n2, 4 = n3

1 sin1=h1/r1, h2/r2, h2/f = 1 - 2, = 3 - , 4 = + = 3 - = 4/n – (1- 2) = /n + /n - 1 + 2

h2/r2 = h2/(nr2) + h2/(nf) – h1/r1 + h1/(nr1)

h1 h2:

21

11)1(

1

rrn

f

• LMG setzt die Brennweite einer Linse mit den Krümmungsradien ihrer beiden Oberflächen und ihrem Brechungsindex in Beziehung.

• f hängt nicht von h1 oder h2 ab.

Daher werden alle Strahlen die parallel zur

optischen Achse verlaufen in F fokussiert.

• LMG gilt auch für konkave Flächen

Vergrößerungsgläser (Lupen)

• Eine Lupe ist eine Sammellinse

• Wie groß Objekt erscheint, abhängig von Größe des Bildes auf der Netzhaut.

• Allerdings kann Auge nur bis 25cm akkommodieren (Nahpunkt)

• Lupe:Bild wird erzeugt, das min. 25cm vom Auge entfernt sein muss, dass es vom Auge fokussiert werden kann.

Winkelvergrößerung v

v:= ‘/

‘...Winkel, der bei Verwendung

der Lupe überdeckt wird

... Winkel, der ohne Verwendung der Lupe

überdeckt wird; Objekt im Nahpunkt!

Bei entspanntem Auge:• Objekt liegt im Brennpunkt• Bild erscheint bei unendlich

v = ‘/ = = N/f N = 25 cm

Bei Fokussierung auf den Nahpunkt:

dB = -N, 1/dO = 1/f – 1/dB = 1/f + 1/N

‘ = h/dO

v = ‘/ = = N/dO = N(1/f + 1/N)v = N/f + 1

Nh

fh

/

/

Nh

dh O

/

/

Fernrohre

Linsenfernrohre (Refraktoren)

• weit entfernte Objekte werden vergrößert1. Kepler- Fernrohr: (astronomisches FR) Kepler beschrieb 1611 den

Strahlengang, hat es aber nicht selbst gebaut Aufbau: Langes Rohr, an beiden Enden sind Sammellinsen Objektiv: näher am Objekt Okular: zweite S – Linse

Strahlengang durch ein Kepler – Fernrohr undWinkelvergrößerung

Auge entspannt:

I1 in Fe‘, I2 bei

h/fO h... Höhe I1 ‘ h/fe

v = ‘/ = -fO/fe

Terrestrische Fernrohre

• Objekte auf der Erde werden beobachtet

• Erwünscht: Aufrechtes Bild

Zwei Arten von Fernrohren

1. Galilei Fernrohr od. holländisches FR:

Okular =Zerstreuungslinse, Objektiv = Sammellinse Okular innerhalb der Brennweite des

Objektivs Kein Zwischenbild

2. Fernglas od. Feldlinsentyp:

• Insgesamt 3 Sammellinsen

• Grund: Bild soll aufrecht sein

• Nachteil: Fernglas muss lang sein

Daher Verwendung des binokularen Prismas:

• Objektiv und Okular sind Sammellinsen

• Prismen: Totalreflexion -> Verkürzung der Bauweise und aufrechtes Bild

Spiegelteleskop (= Reflektor)

Prinzipieller Aufbau:

• Hauptspiegel und Fangspiegel

• Einfallendes Licht wird nicht am Objektiv gebrochen

• Einfallendes Licht wird vom Hauptspiegel reflektiert

• Vermeidung von Farbfehlern

• Vorteil der Reflektoren gegenüber Refraktoren: Spiegel in fast jeder beliebigen Größe anfertigbar

• Derzeit größter Spiegeldurchmesser: 10m (Keck-Teleskop auf Hawaii)

Kerzenlicht in mehreren millionen km noch Entfernung wahrnehmbar

1. Newton - Teleskop

• von Isaac Newton 1668 entwickelt

• besteht aus konkavem Hauptspiegel (Rotationsparaboloid) und

einem flachen Fangspiegel (lenkt Licht unter 90° ins Okular)

• Blick von der Seite ins Teleskop

2. Cassegrain – Teleskop

• 1672 entwickelt

• einfallendes Licht auf konkav-parabolischen Hauptspiegel

• Reflexion zum konvex-hyperbolischen Fangspiegel

Mikroskop:

• Betrachten sehr naher Objekte: dO klein• Platzieren des Objekts unmittelbar hinter dem

Brennpunkt• I1 real, stark vergrößert• I2 sehr groß, virtuell, invertiert

Vergrößerung eines Mikroskops:

Gesamtvergrößerung = vOve

Auge entspannt: I1 in Fe

vO = hB/hO = dB/dO = (l – fe)/dO

l...Abstand der Linsen

Okular wirkt wie Lupe: ve = N/fe

vges = N(l – fe)/(fedO) Nl/(fefO), da

l – fe l und dO fO

Abbildungsfehler von Linsen

1. Sphärische Aberration

• Achsenparallele Strahlen oder Strahlen von einem Punkt der opt. Achse haben nach Durchgang durch Linse nicht die gleiche Schnittweite

• Abweichung am Rand stärker als in der Mitte• Korrigierbar durch asphärischen Linsen• Einschränken der SA durch Verwendung des

zentralen Teils

2. Bildfeldwölbung

• ebenes Objekt wird nicht auf einer Ebene, sondern auf einer gewölbten Fläche abgebildet

• Mit ebenen Film Bild nicht überall scharf auffangbar

• Netzhaut gekrümmt: Kompensierung dieses Effekts

3. Chromatische Aberration

• Entsteht durch Dispersion (d.h. durch unterschiedliche Brechungsindizes eines transparenten Mediums für verschiedene Wellenlängen)

• Farbige Streifen im Bild

• Behebung: Zweiteiliger Achromat

Sammellinse mit Zerstreuungslinse kombiniert