Date post: | 06-Apr-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | hanke-simon |
View: | 107 times |
Download: | 3 times |
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 1
Einleitung
Die naheliegendsten Anwendungen der
Differentialrechnung bestehen darin,
Eigenschaften einer gegebenen reellen
Funktion herauszufinden, die mit ihrer
Ableitung, d.h. ihrer Änderungsrate zu tun
haben.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 2
Übersicht
Wie lautet ihr Definitionsbereich?
Existenz und Lage von Nullstellen
In welchen Intervallen steigt oder fällt sie?
Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und
wenn ja, wo?
Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo?
Wie verläuft die Wendetangente der Funktion?
Ist die Funktion differenzierbar und/oder stetig?
• Wie lautet das Krümmungsverhalten?
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 3
Typ der Funktion
Handelt es sich um einen bekannten Funktionstyp?• Parabel,• Hyperbel, • ...Wenn ja, können vielleicht Rückschlüsse auf• Definitionslücken,• Nullstellen, • Pole • und Asymptoten gezogen werden.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 4
Definitionsbereich
Als erstes ist der Definitionsbereich einer Funktion anzugeben:
einer Funktion f :Menge aller x-Werte, für die die Funktion f(x) mathematisch erklärt ist.z.B.Definitionslücken treten z.B an Stellen auf, an denen durch 0 geteilt würde oder die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde.
RDf
RDf
0. inkl. Zahlen reellen positiven alleRDxf(x)
0. außer Zahlen reelen alleRDx1
)x(f
0f
*f
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 5
Wertebereich - Grenzwerte
Wo gegen strebt der Graph?Welche Funktionswerte hat die Funktion?
Grenzwertbetrachtung z.B.
x
x
2
lim
lim
x)x(f
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 6
Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind ganz allgemein
durch die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 gegeben.
Sie entsprechen jenen Punkten, an denen der Graph
die x-Achse schneidet.
Altbewährte Methoden:• pq-Formel• quadratische Ergänzung• Polynomdivision• Substitution
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 7
Differenzierbarkeit
Falls die Ableitung existiert, heißt die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, wenn Sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Ableitungsfunktion
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 8
Lokale Extrema
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 9
Lokale Extrema
Ist f differenzierbar, so ist an all diesen Stellen
(sofern sie nicht am Rand des Definitionsbereichs
liegen) die Tangente an den Graphen parallel zur x-
Achse, d.h. hat den Anstieg 0. Der Graph hat dort ein
Extremum. Da die Ableitung den Anstieg der
Tangente an den Graphen ausdrückt, sind die
Kandidaten für lokale Extrema die Lösungen der
Gleichung
f ‘(x) = 0.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 10
Lokale Extrema
f ‘(x) = 0 dann Nullstellen in f ‘‘(x) einsetzen, wenn
f ‘‘(x) < 0 dann lokales Maximum
f ‘‘(x) > 0 dann lokales Minimum
(f ‘‘(x) =0 dann Sattelpunkt - vgl. Folie 11 Sattelpunkte)
Grenzwerte mit in Betracht ziehen, um zu sehen, ob
lokale Extrema auch globale Extrema sind.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 11
Sattelpunkte
Ist x eine Lösung der Gleichung f ‘(x) = 0 und ist die Ableitung links und rechts von x ungleich 0 und hat in beiden Bereichen dasselbe Vorzeichen, so ist x eine Sattelstelle. Der entsprechenden Punkt am Graphen heißt Sattelpunkt.
tSattelpunk ist Extremum
n Vorzeichepositives auch hat 1)(' f
n Vorzeichepositives hat (-1)' f
: xvon Umgebung der aus WerteZwei
0x0x3)x('f
x)x(f2
3
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 12
Wendepunkte
Eine Tangente kann sich an den Graphen an
bestimmten Punkten von der einen Seite zur anderen
''wenden''. Die Punkte, an denen das passiert, heißen
Wendepunkte, die entsprechenden Stellen sind die
Wendestellen.
Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die
Wendepunkte dar.
f ‘‘(x) = 0
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 13
Kurvenverhalten
Wechselt f ‘‘(x) an der Stelle x=a das Vorzeichen von:
1) +nach - , dann wechselt der Graph von einer Links-
in eine Rechtskurve.
2) - nach + , dann wechselt der Graph von einer
Rechts- in eine Linkskurve.
D.h. man setzt Werte in f ‘‘(x) ein, die zum einen größer
und zum anderen kleiner sind als die Nullstelle der
zweiten Ableitung.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 14
Wendetangentensteigung
Um die Steigung der Wendetangente zu bestimmen,
nutzt man natürlich wiederum die erste Ableitung.
Dazu werden die Nullstellen von f ‘‘(x) in f ‘(x)
eingesetzt.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 15
Monotonie
Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt).
f ‘(x) = 0 setzen Werte die links bzw. rechts der Nullstelle liegen in f ‘(x) einsetzen:Wenn <0 => f(x) streng monoton fallendWenn >0 => f(x) streng monoton steigend
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 16
Krümmungsverhalten
Konvex = linksgekrümmt ( )Konkav = rechtsgekrümmt ( )
Krümmung von ff‘‘(x) > 0 => f streng konvex im Intervallf‘‘(x) < 0 => f streng konkav im Intervall
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 17
Symmetrie
achsensymmetrischf(x) = f(-x)
punksymmetrischf(-x) = - f(x)
Beispielf(x) = x2
f(x) = f(-x) => x2 = (-x)2 Dies können wir bestätigen.
f(x) = x3
f(-x) = - f(x) =>(-x)3 = - (x)3 Dies können wir auch bestätigen.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 18
Wichtige Funktionen !!!
Kostenfunktion K(x) x = (Produktions-) menge
Durchschnittskostenfunktion (Stückkosten) x = (Produktions-) menge
x)x(K
Nachfragefunktion N(p) p = Preis je Mengeneinheit
Angebotsfunktion A(p) p = Preis je Mengeneinheit
Erlösfunktion E(p) = p * N(p) p = Preis je MEE(x) = x * p(x) p = Preis x = Menge
Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x)
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 19
Wichtige Funktionen !!!
2x
)x(K)x('Kx'
x)x(K
Grenzkosten: K‘(x)
Grenznachfragefunktion: N‘(p)
Grenzerlösfunktion: E‘(p) = N(p)+p*N‘(p)
Grenzdurchschnittskostenfunktion:
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 20
Beispiel
Gegeben Kostenfunktion K(x) = (x-2)3+10
Grenzkostenfkt. und Durchschnittskostenfkt. gesucht
K(x) = (x-2)3+10 = x3 – 6x2 +12x - 8 + 10 = x3 – 6x2 +12x + 2
Grenzkostenfunktion = K‘(x) = 3x2 – 12x + 12
Durchschnittskostenfunktion =x
2x12x6xx
)x(K 23
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 21
Differential
Ziel: näherungsweises Berechnen der Änderung eines Funktionswertes f(x0) bei Variation von x0.
Anwendung: Die Preiselastizität der Nachfrage gibt näherungsweise an, um wieviel % sich die Nachfrage ändert bei der Variation des aktuellen Preises p0 um 1%.
Idee: Der Graph einer Funktion f lässt sich in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes (x0,f(x0)) relativ gut durch die Tangente an die Kurve annähern.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 22
Differential
Differential: Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich f(x0) um
Einheiten.
Die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (x0,f(x0)) besitzt die Steigung
Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich der Funktionswert auf der Tangente um df = f‘(x0)*dx Einheiten.Für kleine Variationen dx stimmen gutüberein.
)x(f)dxx(ff 0o
dxdf
)x('f 0
df und f
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 23
Differential
df und dx bezeichnet man als Differentiale
auch als Differentialquotientdxdf
)x('f 0
t)(angenäher 2,12,062,0)3('fdx)(xf'df
(exakt) 24,1924,10)3(f)2,3(f)x(f)dxf(xf
2x(x)f' 0,2dx und 3x ,x)x(f
0
00
02
Variiert man x0=3 um dx=0,2 Einheiten, so ändert sich f(3) um 1,24 Einheiten
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 24
Beispiel
K o s t e n f u n k t i o n K a b h ä n g i g v o n P r o d u k t i o n s m e n g e x :
K ( x ) = 1 + x , P r o d u k t i o n g e h t v o n x = 4 0 0 n a c h x = 4 0 1
W i e h o c h i s t d i e S t e i g u n g d e r K o s t e n ?
d f = d K ( x ) = K ‘ ( x ) d x = x2
1 d x =
= 40
1
202
11
4002
1
= 0 , 0 2 5
Exakte Kostensteigungy=K(401)-K(400)=0,024984...
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 25
Differential
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 26
Wachstumsrate
Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative
Änderung von f(x0):
Dies entspricht für kleine dx näherungsweise der relativen Änderung auf der Tangenten
Die Funktion bezeichnet man als
Wachstumsrate von f.
.)x(f
f
0
dx)x(rdx)x(f)x('f
)x(fdf
0f0
0
0
f'f
rf
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 27
Wachstumsrate
Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative
Änderung von f(x0): .
)x(ff
0
t)(angenäher %33,131333,02,032
dx)(xr)x(f
df
(exakt) %78,131378,0924,1
)x(ff
x2
x
x2)x(f)x('f
)x(rist Dann
2x(x)f' 0,2dx und 3x ,x)x(f
0f0
0
2f
02
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 28
Elastizität
Variiert man x0 um s %, so ändert sich f(x0) relativ um:
Die Variation von x0 um s %entspricht einer Änderungvon x0 um dx= x0 *s % Einheiten.
Für kleine Variationen von s% ergibt sich die Annäherung
bezeichnet man als Elastizität
)x(f)x(f%)sxx(f
0
000
%s)x(%sx)x(r%sx)x(f)x('f
0f00f00
0
)x(f)x('f
x)xf
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 29
Elastizität
t)(angenäher %10%52%s)x(
(exakt) 10,25%0,1025 9
9)15,3(f
)3(f)3(f%)533(f
)x(f)x(f%)sxx(f
2x
x2x
)x(f)x('f
x)x(ist Dann
2x(x)f' 5s und 3x ,x)x(f
0
0
000
2f
02
S =1: Die Elastizität an einer Stelle x0 gibt näherungs- weise an, um wieviel % sich f(x0) ändert, wenn x0 um 1% variiert.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 30
Beispiel
f ( x ) = 2 x 2 - 1 0 x + 2 0 f ' ( x ) = 4 x - 1 0
f ( 1 0 ) = ?
f ( x ) = f ' ( x )
)x(fx
20x10x2
x)10x4(
2
20x10x2
)10x4(x2
f ( 1 0 ) = 5,2
410
120300
20100200)1040(10
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 31
Integralrechnung
Ziel: 1) Umkehren des Differenzierens
(unbestimmtes Integral) 2) Flächenberechnung (bestimmtes Integral)
das unbestimmte Integral:Wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist, dann ist:
f(x)dx = {F(x) + c} ; cR
Menge aller Stammfkt. F(x) von f(x). Dabei muss f in einem Intervall [a,b] stetig und F dort differenzierbar sein.
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 32
Die Stammfunktion
)1n( cF(x) cx1n
1dxx 1nn
x3 ist eine Stammfunktion von 3x2, denn die Ableitung von x3 ist 3x2. Aber auch x3 + 17 oder auch x3 - 1 sind Stammfunktionen von 3x2.
Die Menge aller Stammfunktionen von 3x2 => 3x2dx = {x3 + c}
Zwei Stammfkt. der gleichen Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante (,die beim Ableiten wegfällt).
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 33
Stammfunktionen
Beispiele:
x2dx = 1/3x3 + c
(5x2+1)dx = 5/3x3 + x + c
dx = 1dx = x + c
exdx = ex + c
(30x2 + 2x)dx = 10x3 + x2 + c
c|x|lndxx
1
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 34
Stammfunktionen
dxxdxx
1 22
cx
1cx
12
1 12
dx)5x(dx5x 21
c)5x(3
2c)5x(
1
121
21 11
21
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 35
Integral und Flächeninhalt
Der Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Senkrechten x = a, x = b, der x-Achse und des Graphen der Funktion f ist
A = b
a
dx)x(f
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 36
Das bestimmte Integral
b
a
dx)x(f mit a,bR wird ein bestimmte Integral genannt.
b
a
dx)x(f = F(b) - F(a) = |b
a
)x(F
3
1
3
1
32 |xxdx)1x3(
(27 + 3) - (1 + 1) = 30 - 2 = 28
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 37
Beispiele
3
2
3
2
32 |xxdx)1x3(
(27 + 3) - (8 + 2) = 30 - 10 = 20
04
1
4
1x
4
1dxx
1
1
1
1
43 |
2ln2ln1lnxlndxx
11
2
1
2
|
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 38
Beispiele
1
1
dxx
1 nicht definiert, denn
x
1ist nicht definiert wenn x=0
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 39
Flächen
Beispiel 1Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien x=0, x=1, der x-Achse und dem Graphen von x3
A = 4
10
4
1|x
4
1dxx
1
0
1
0
43 Beispiel 2Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien y=0, y=1, der y-Achse und Grafik von x3
A = 1 – A von Beispiel 1 = 1 - 1/4 = 3/4
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 40
Flächen
Beispiel 3Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Graphenf(x)=x2+8x+22 undg(x)=-x2+4x+38
Schnittpunkte:f(x)=g(x) x2+8x+22 = -x2+4x+38 2x2+4x-16 = 0 x2+2x-8 = 0 (x+4)(x-2) = 0 x = - 4 x = 2
A =
2
4
dx)x(g -
2
4
dx)x(f
=
2
4
dx))x(f)x(g(
Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren 41
Flächen