Das Haushaltsoptimum Harald Wiese · Indifferenzkurve Budgetgerade A B Budget Indifferenzkurve...

MikroökonomikDas Haushaltsoptimum

Harald Wiese

Universität Leipzig

Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37

Gliederung

Einführung

HaushaltstheorieDas BudgetPräferenzen, Indi¤erenzkurven und NutzenfunktionenDas HaushaltsoptimumKomparative StatikEntscheidungen über Arbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse

UnternehmenstheorieVollkommene Konkurrenz und WohlfahrtstheorieMarktformenlehreExterne E¤ekte und ö¤entliche Güter

Pareto-optimaler RückblickHarald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 2 / 37

Überblick

Maximierungsproblem des Haushalts

Marginale Zahlungsbereitschaft versus marginaleOpportunitätskosten

Streng konvexe Präferenzen

Lagrange-Ansatz (Exkurs)

Konkave Präferenzen

Perfekte Komplemente

Bekundete Präferenzen

Die Ausgabenfunktion



Haushaltsoptimum =

Güterkombination, die den

Nutzen des Haushaltsunter Einhaltung seines Budgets

maximiert:

maxx1,x2

U (x1, x2)

u. d. N. p1x1 + p2x2 � m

bzw. bei Anfangsausstattung

u. d. N. p1x1 + p2x2 � p1ω1 + p2ω2



5

9

78

10

2x

1x

ProblemWelche Güterkombination ist das Haushaltsoptimum?



A

2x

1x

Haushaltsoptimum:Wähle ein Güterbündel auf der

höchsten (Maximierung)

erreichbaren (innerhalb desBudgets)

Indi¤erenzkurve!


Vier Maximierungsprobleme

(a) 1x

2x

(b) 1x

2x

(d) 1x

2x

(c) 1x

2x

Indifferenzkurve

Budgetgerade

A

BIndifferenzkurveBudget

gerade

Budgetgerade

Budgetgerade

Indifferenzkurve

A

A

B

A

Indifferenzkurve

ProblemSind die PunkteA oder B beimonotonenPräferenzenoptimal?


Marginale Zahlungsbereitschaft MZB versusmarginale Opportunitätskosten MOC

Marginale Zahlungsbereitschaft:Auf wie viele Einheiten von Gut 2 kann der Konsument beimKonsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 verzichten, damiter zwischen beiden Güterbündeln indi¤erent ist?

Marginale Opportunitätskosten:Auf wie viele Einheiten von Gut 2 muss der Konsument beimKonsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 aufgrund derBudgetrestriktion verzichten?


MZB versus MOC

MOCMZB

MOC

MZB

2x

1x

MOCxd

xd

xd

xdMZB

BGIK

=>=1

2

1

2

1 Einheitvon Gut 1

1 Einheitvon Gut 1

Erwerb von ...

Verzicht auf ...

Steigung der

Indifferenzkurve Budgetgeraden

Also: Es lohnt sich, den Konsum um eine Einheit auszudehnen.


MZB versus MOC

MRS > MOC ) erhöhe x1 (falls möglich)

Indifferenzkurven

Budgetgerade

Haushaltsoptimum

1x

2x


MZB versus MOC

Alternativ: der Haushalt möchte U�x1, mp2 �

p1p2x1�maximieren

Beim Konsum einer zustäzlichen Einheit von Gut 1 folgtNutzenerhöhung um ∂U

∂x1

Verringerung von x2 um MOC =�� dx2dx1 �� = p1

p2und daher

Nutzenreduktion um ∂U∂x2

�� dx2dx1 �� (Kettenregel)Erhöhe x1 solange wie

∂U∂x1|{z}

Grenznutzender Erhöhung von x1

>∂U∂x2

��dx2dx1��| {z }

Grenzkostender Erhöhung von x1

oder MRS =∂U∂x1∂U∂x2

>

��dx2dx1�� = MOC


Streng konvexe PräferenzenCobb-Douglas-Nutzenfunktion

A

1I

2I

3I

2x

1x

1 MRS!= MOC

2 p1x1 + p2x2!= m



Bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen U (x1, x2) = xa1x1�a2 lautet das

Verhältnis der Grenznutzen

MRS =∂U∂x1∂U∂x2

=axa�11 x1�a2

(1� a) xa1x�a2=x2x1

a1� a

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten liefern dasHaushaltsoptimum:

x�1 = amp1

x�2 = (1� a) mp2



ProblemOlaf hat die Nutzenfunktion U (D,C) =

pDC

D = Anzahl der Diskobesuche pro Monat und

C = Anzahl der Konzertbesuche pro Monat

Das Budget ist durch

pD = C= 2, 00/Diskobesuch,pC = C= 4, 00/Konzertbesuch undm = C= 64, 00

gegeben.Anstelle von U (D,C) =

pDC auch (U (D,C))2 = DC möglich?

Bestimmen Sie die von Olaf nachgefragten Mengen!Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 14 / 37


1. Gossen�sches Gesetz

∂

∂U∂x1∂x1

=∂2U(∂x1)2

< 0

Der Grenznutzen nimmt mit jeder konsumierten Einheit ab.Interpretation nur bei kardinaler Nutzentheorie möglich!2. Gossen�sches Gesetz

MU1p1

=MU2p2

Auch bei ordinaler Nutzentheorie sinnvolle Aussage!


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Nebenbedingung als Gleichung

ist ein Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen beiNebenbedingungen.

Annahme: monotone und konvexe PräferenzenMaximiere

U (x1, x2)

unter der Nebenbedingung

m� (p1x1 + p2x2) = 0

Bei m� p1x1 � p2x2 � 0 muss das so genannteKuhn-Tucker-Verfahren gewählt werden.


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Lagrangefunktion

L (x1, x2,λ) = U (x1, x2) + λ (m� p1x1 � p2x2)

Wenn man x1 erhöht,hat dies einen direkten (positiven) Ein�uss auf den Nutzen,∂U∂x1> 0,

und einen indirekten (negativen): Der reduzierteBudgetüberschuss

∂ (m� p1x1 � p2x2)∂x1

= �p1 < 0

wird von λ > 0 in reduzierten Nutzen übersetzt, insgesamt alsoλ (�p1).

Optimum: ∂U∂x1

!= λp1.


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Optimalitätsbedingungen

∂L (x1, x2,λ)∂x1

=∂U (x1, x2)

∂x1� λp1

!= 0,

∂L (x1, x2,λ)∂x2

=∂U (x1, x2)

∂x2� λp2

!= 0,

∂L (x1, x2,λ)∂λ

= m� p1x1 � p2x2 != 0.

Daher 2. Gossen�sches Gesetz:

∂U(x1,x2)∂x1p1

!= λ

!=

∂U(x1,x2)∂x2p2

und MRS!= MOC .


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Grenznutzen des Einkommens � Interpretation

λ kann als Grenznutzen des Einkommens interpretiert werden

λ =dUdm.

Dadurch ergibt sich für die Optimierungsbedingung

∂U (x1, x2)∂x1

!=dUdmp1.

aber: U hat m nicht als Argument ...


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Indirekte Nutzenfunktion

V (p1, p2,m) := U (x1 (p1, p2,m) , x2 (p1, p2,m)) .

x1 (p1, p2,m) ist die bei den Preisen p1 und p2 und beim Einkommenm nutzenmaximal nachgefragte Menge von Gut 1.

ProblemBestimmen Sie die indirekte Nutzenfunktion für dieCobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x1, x2) = xa1x

1�a2 (0 < a < 1)!


Lagrange-Ansatz (Exkurs)Grenznutzen des Einkommens � so richtig

V (p1, p2,m) := U (x1 (p1, p2,m) , x2 (p1, p2,m)) ergibt∂V∂m

=∂U∂x1

∂x1∂m

+∂U∂x2

∂x2∂m

= (λp1)∂x1∂m

+ (λp2)∂x2∂m

= λ

�p1

∂x1∂m

+ p2∂x2∂m

�p1x1 (p1, p2,m) + p2x2 (p1, p2,m) = m führt zu

p1∂x1∂m

+ p2∂x2∂m

= 1

also exakter∂V∂m

= λ.


Konkave Präferenzen

MOCMZB >

MOCMZB <

2x

1x

MRS > MOC ) erhöhe x1 (falls möglich)MRS < MOC ) reduziere x1 (falls möglich)


Konkave Präferenzenkonkretes Beispiel

U (x1, x2) = x21 + x22

Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls

x1x2=2x12x2

=∂U∂x1∂U∂x2

= MRS > MOC =p1p2

gilt. Also (fast immer) Randlösungen:

x� (m, p) =

8>>><>>>:�mp1, 0�, p1 < p2n�

mp1, 0�,�0, mp2

�op1 = p2�

0, mp2

�p1 > p2


Perfekte Substitutegraphische Lösung

1I2I

3I

A

MOCMZB <2x

1x

MRS < MOC ) reduziere x1 (falls möglich)


Perfekte Substituteanalytische Lösung

U (x1, x2) = ax1 + bx2 mit a > 0 und b > 0

Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls

ab= MRS > MOC =

p1p2

gilt. Also (fast immer) Randlösungen:

x� (m, p) =

8>>><>>>:�mp1, 0�, a

b >p1p2n�

x1, mp2 �p1p2x1�2 R2

+ : x1 2h0, mp1

ioab =

p1p2�

0, mp2

�ab <

p1p2



1I

2I

3I

A

B

2x

1x

1 Eckpunkte bestimmen!

2 p1x1 + p2x2!= m



U(x1, x2) = min(ax1, bx2)

Eckpunkte

ax1!= bx2 oder

x2!=abx1

Budgetgleichung

m!= p1x1 + p2x2 = p1x1 + p2

abx1 = x1(p1 +

abp2)

Für das erste Gut erhält man so

x�1 =m

p1 + abp2

.


Haushaltsoptima

ProblemBestimmen Sie Haushaltsoptima bei variablem Einkommen m

für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = 12x21 + x

22 und die Preise

p1 = 1 und p2 = 2;

für lexikographische Präferenzen mit 1 als wichtigem Gut unddie Preise p1 = 2 und p2 = 5;

für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = x1 + 2x2 und die Preisep1 = 1 und p2 = 3;

für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = min (x1, 2x2) und die Preisep1 = 1 und p2 = 3!



Üblicher Weg: Budget und Päferenzen ) Haushaltsoptimum

Alternative: tatsächliche Entscheidungen der Haushalte )Präferenzen.

=) Diese Präferenzen nennt man bekundet. (SH 18)



2x

1x

2x

1x

A

B

A

B

ProblemSind die angedeutetenEntscheidungen

bei der �acherenBudgetgeraden GüterbündelB und

bei der steilerenBudgetgeraden GüterbündelA

mit Monotonie vereinbar?


Maximierungs- und Minimierungsproblem

Maximierung: Finde dasGüterbündel, das den Nutzenbei gegebener Budgetliniemaximiert!

Minimierung: Finde dasGüterbündel, das dieAusgaben, die für einvorgegebenes Nutzenniveaunotwendig sind, minimiert.

A

B

C

Budgetgerade mitEinkommen m

Indifferenzkurve mitNutzenniveau U

2x

1x



e�p1, p2,U

�:= min

x1,x2mit U=U(x1,x2)

(p1x1 + p2x2)

Haushaltsoptimum: kompensierte Nachfrage

χ1�p1, p2,U

�und χ2

�p1, p2,U

�Kompensiert: Um bei Preiserhöhungen das Nutzenniveau zu halten,ist das Einkommen kompensierend zu erhöhen.



Funktion Argumente Optimum

Nutzenfunktion Gütermengenx1 (p1, p2,m) ,x2 (p1, p2,m)

AusgabenfunktionNutzenniveau,Preise

χ1�p1, p2,U

�,

χ2�p1, p2,U

�



χ1 und χ2 = Hicks�sche Nachfrage (kompensierte Nachfrage):gibt an, mit welchem Güterbündel ein angestrebtesNutzenniveau mit geringstmöglichen Ausgaben erreicht wird.

x1 und x2 = Marshall�sche Nachfrage:gibt an, mit welchem Güterbündel das maximale Nutzenniveaubei gegebenem Einkommen erreicht wird.

Fast immer gilt:

x1�p1, p2, e

�p1, p2,U

��= χ1

�p1, p2,U

�.



ProblemBestimmen Sie die Ausgabenfunktion für dieCobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x1, x2) = xa1x

1�a2 mit 0 < a < 1!

Geben Sie auch die Gütermengen an, die bei einem vorgegebenenNutzenniveau die Ausgaben minimieren! Hinweis: Sie können mit denGütermengen x�1 = a

mp1und x�2 = (1� a) mp2 arbeiten. Wählen Sie

den Ansatz U = U (x�1 , x�2 ) und ermitteln Sie das Budget

m = e�p1, p2,U

�, das für den vorgegebenen Nutzen U notwendig ist!


Zentrale Hörsaalübungen I

Aufgabe D.9.1.Ein Viehzüchter lebt von Milch (Gut 1) und Brot (Gut 2). Er melktjeden Tag seine Kuh und erhält dabei 10 Liter Milch, mit denen erauf den Markt geht, um Brot einzutauschen. Seine Nutzenfunktion istU(x1, x2) = ln x1 + 3 ln x2, wobei x1 und x2 den Konsum an Milchund Brot bezeichnen. Auf dem Markt beträgt der Preis für einen LiterMilch 1 Taler, für einen Laib Brot 5 Taler. Wie viel Milch und wie vielBrot konsumiert der Viehzüchter täglich?

Aufgabe D.9.2.Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion U(x1, x2) =

px1 + 2

px2 gibt

sein gesamtes Einkommen m = 16 für die beiden Güter mit denPreisen p1 = 1 und p2 = 4 aus. Bestimmen Sie dasHaushaltsoptimum!


Zentrale Hörsaalübungen II

Aufgabe D.9.3.U(x1, x2) = min

�x1, 12x2

�m = 15, p1 = 2 und p2 = 4Haushaltsoptima!

Aufgabe D.9.4.U(x1, x2) = 2x1 + 4x2m = 8, p1 = 2 und p2 = 4Haushaltsoptima!

Aufgabe D.9.5.U (x1, x2) = ln x1 + x2m, p1 und p2 mit mp2 > 1Haushaltsoptima!Ausgabenfunktion!


Date post:	31-Aug-2019
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