Charakterisierung von Porenraumeigenschaften in unkonsolidierten Sedimenten (Laboruntersuchungen und modifizierte Kapillarmodelle)
Edith Müller-Huber · Jürgen Schön
Grundwasser – Zeitschrift der Fachsektion HydrogeologieDOI 10.1007/s00767-014-0254-8
Characterization of pore space characteristics in unconsolidated sediments (laboratory measurements and modified capillary tube models)
Abstract Quantitative description and characterization of hydraulic processes is of specific interest for a wide range of issues ranging from ground water storage and protec-tion to contaminant transport and resulting environmental hazards or for shallow geothermal projects. Therefore, the aim of this study is to achieve a detailed characterization of sediment pore space and fluid flow based on laboratory tests on disturbed sediment samples and novel modified capillary tube models for different pore geometries. Our model calculations show that the capillary tube models cover four major influences, namely porosity (linear depen-dence), pore body radius (exponent of about 2), the ratio of pore body to pore throat radius and tortuosity. The most critical influence on permeability can be attributed to the ratio of pore body to pore throat radius while pore shape seems to exert only minor influences on permeability.
Genaue Kenntnis des Porenraumes und der Auswirkung dessen Charakteristika besonders auf die hydraulischen Eigenschaften ist von enormer Bedeutung für eine Vielzahl von Fragestellungen. Im Rahmen eines Forschungsprojek-tes wurde ein experimentelles Untersuchungsprogramm durchgeführt. Basierend auf diesen Untersuchungsergebnis-sen und neu entwickelten, modifizierten Kapillarmodellen für verschiedene Porengeometrien sollte versucht werden,
Zusammenfassung Kenntnis und quantitative Beschrei-bung hydraulischer Prozesse sind für eine Vielzahl von Fra-gestellungen – von Grundwasserspeicherung und Grund-wasserschutz über Schadstofftransport und daraus resul-tierenden Umweltproblemen bis hin zu oberflächennaher Geothermie – von entscheidender Bedeutung. Bestandteil der Untersuchungen ist eine umfassende Charakterisierung des Sedimentporenraumes und der Fließeigenschaften. Ba-sierend auf Laboruntersuchungen an gestört entnommenem Probenmaterial und neu entwickelten modifizierten Kapil-larmodellen für unterschiedliche Porengeometrien werden hierzu Untersuchungen vorgestellt. Die Modellrechnungen zeigen, dass mit den modifizierten Kapillarmodellen vier Einflüsse auf die hydraulische Durchlässigkeit, formuliert als Produkt, betrachtet werden können: Porosität (linea-re Abhängigkeit), Porenkörperradius (Abhängigkeit vom Quadrat), das Verhältnis von Porenkörper- zu Porenhals-radius und die Tortuosität (Betrachtung zu einem späteren Zeitpunkt). Der größte Einfluss wird vom Verhältnis von Porenkörper- zu Porenhalsradius ausgeübt; die tatsächliche Porenform hat nur geringe Auswirkungen auf die hydrau-lischen Eigenschaften.
Dipl.-Ing. E. Müller-Huber ()Lehrstuhl für Tiefbohrtechnik, Montanuniversität Leoben,Erzherzog-Johann-Straße 3, 8700 Leoben, ÖsterreichE-Mail: [email protected]
Prof. Dr. J. SchönLehrstuhl für Angewandte Geophysik, Montanuniversität Leoben,Peter-Tunner-Straße 25, 8700 Leoben, Österreich
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eine umfassendere Charakterisierung des Sedimentporen-raumes zu ermöglichen. Insbesondere wurde das Kapillar-modell modifiziert, um damit den Einfluss unterschiedlicher Porenradien (Porenhals, Porenkörper) zu modellieren und mit experimentellen Ergebnissen zu vergleichen.
Geologischer Überblick
Das Untersuchungsgebiet (siehe Abb. 1) befindet sich geo-graphisch betrachtet im oberösterreichischen Alpenvorland im oberösterreichisch-bayerischen Grenzgebiet. Die geolo-gischen Einheiten, die in diesem Gebiet an der Oberfläche anstehend angetroffen werden können, sind die känozoi-schen Sedimente des Alpenvorlandes.
Über den gezeiten- und strömungsbeeinflussten marinen Ablagerungen der Innviertel-Gruppe (unteres bis mittleres Ottnang) im Liegenden (Piller et al. 2004, 2007) beginnt ab dem mittleren Ottnang die Aussüßung und Verlandung des oberösterreichischen Molassebeckens durch Auffüllen mit groben Flusssedimenten (Rupp 2008) und fluviatil-lakus-trinen Ablagerungen der Oberen Süßwassermolasse (Piller et al. 2007). Nach dem völligen Aussüßen des oberöster-reichischen Molassebeckens kam es vom Karpat bis zum Baden (Rupp 2008) zur Ablagerung limnisch-fluviatiler Sedimente (Aberer 1957) gefolgt von limnisch-fluviatilen bis terrestrischen Ablagerungen im Pannon (Rupp & Van Husen 2007). Des Weiteren treten diverse quarz- und quar-zitreiche Kiesvorkommen aus dem Plio- bis Altpleistozän (Götzinger 1935, 1936) auf.
Das nördliche Alpenvorland war im Pleistozän von zumindest vier großen Vereisungsperioden (Günz, Mindel, Riß und Würm) betroffen (Penck & Brückner 1909). Jede dieser Vereisungsphasen führte zu einem Vorstoß der Glet-scherzungen des Salzach-, Traun- und Kremsgletschers, der bis weit über den Alpennordrand hinausreichte und Grundmoränen, Wallmoränen und glazifluviatile, aus den Moränen hervorgehende Schotterterrassen, entstehen ließ (Vorhyzka 1973). Lösse sind im Hangenden der glazialen Schotterterrassen zu finden (Aberer 1957).
Die Pleistozänen Ablagerungen umfassen laut Penck & Brückner (1909):
● Günzmoräne und Ältere Deckenschotter ● Mindelmoräne und Jüngere Deckenschotter ● Rißmoräne und Hochterrassenschotter, sowie ● Würmmoräne und Niederterrassenschotter
Des Weiteren sind spät- und postglaziale Schutt- und Delta-kegel, Schotterterrassen und mächtige spätglaziale Seetone mit Moor- und Torfüberlagerungen sowie postglaziale See-aufschüttungen zu finden (Aberer 1957; Rupp 2008).
Vorliegendes Probenmaterial
Im Raum Obernberg am Inn (Oberösterreich) wurde im Jahr 2007 eine Bohrung mit einer Tiefe von 30 m unter GOK zur Grundwassererschließung errichtet. Eine statische För-derleistung von etwa 5 l/s konnte erzielt werden, wobei der Ruhewasserspiegel bei etwa 8,25 m unter GOK liegt. Bei der Errichtung wurden im Abstand von je 1 m Bodenproben entnommen.
Anhand der bei der Brunnenerrichtung angefertigten Beschreibung der angetroffenen Schichten und der Anspra-che des vorliegenden Probenmaterials konnte folgender Aufbau festgehalten werden:
● 0–5 m: Löss bzw. Lösslehm; sandig; Farbe: ocker bis braun; kompakt gelagert
● 9–11 m: Mittel- bis Grobkies/Tonsilt (Tonmergel); stark sandig; Farbe: grau bis graublau; Komponenten: gedrun-gen, kantengerundet; kompakt gelagert
● 11–27 m: Tonsilt (Tonmergel); stark kiesig, schwach sandig; Farbe: grau bis graublau; Komponenten: gedrun-gen, kantengerundet bis angerundet; mitteldicht gelagert
● 27 m bis Endteufe: Tonsilt (Tonmergel); Farbe: dunkel-grau bis graublau
Diese Sedimente können den regional verbreiteten geologi-schen Einheiten zugeordnet werden:
● 0–5 m: Löss bzw. Lösslehm im Hangenden der Riss-Hochterrasse
● 5–11 m: Riss-Hochterrasse ● 11 m bis Endteufe: Braunau-Formation
In Hinblick auf die untersuchten Bodenproben werden im Folgenden kurz die Braunau-Formation (liegend) und die pleistozänen Ablagerungen (hangend) vorgestellt:
Die Braunau-Formation (Braunauer Schlier), ein Schicht-glied der Innviertel-Gruppe, setzt sich aus marinen Peliten zusammen, die durch fein geschichtete, graublaue bis grau-grüne oder bräunliche, feinsandig-glimmerige, festgelagerte und schlecht sortierte, sandige Tonsilte charakterisiert sind. Im cm- bis dm-Bereich können geringmächtige, glimme-rige, glaukonitische Feinsandlagen, -linsen und -bestege, Schichtung und Bioturbation auftreten (Aberer 1957; Rupp 2008). Als Mineralbestand werden Quarz, Calcit, Dolomit, Feldspat und Schichtsilikate angegeben (Wimmer-Frey 2007). Als Ablagerungsraum wird ein mariner, flachneriti-scher Bereich angenommen (Rupp 2008).
Da die Braunau-Formation mit ihren pelitreichen Sedi-menten als Wasserstauer zu betrachten ist, treten in Berei-chen, in denen die durchlässigeren Sande innerhalb der Innviertel-Gruppe von der Braunau-Formation überlagert werden und auch mit diesen verzahnen, häufig gespannte
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an. Vereinzelt treten auch Klüfte in den sandigen, vor allem aber in den tonig-mergeligen Schichtgliedern der Innviertel-Gruppe auf (Vohryzka 1973).
und artesische Wässer auf (Rupp 2008). Das Bayerische Landesamt für Umwelt (2007b) gibt den kf-Wert für diesen Grundwassergeringleiter als sehr gering mit 10−9−10−7 m/s
Abb. 1 Lage und geologische Karte des Untersuchungsgebietes. (Quellen: www.maps.google.at, www.doris.ooe.gv.at, Fachinformation Wasser & Geologie, Maßstab: 1:75000; aufgerufen am 12.04.2013)
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Experimentelle Untersuchungen zur Bestimmung der Bodeneigenschaften
Zielstellung und Datengrundlage
Die Zielstellung der experimentellen Untersuchungen bestand darin, mit Laboruntersuchungen eine Charakterisie-rung des Porenraumes und der hydraulischen Eigenschaften der Aquiferbereiche anhand der Korngrößenverteilung, der Korndichte, der Porosität bei lockerster und dichtester Lage-rung und des kf-Werts bei dichtester Lagerung vorzunehmen. Als Datengrundlage diente das gestörte Sedimentprobenma-terial der oben beschriebenen Bohrung. Tabelle 1 und die Kornverteilungskurve in Abbildung 2 geben einen Überblick über die im Rahmen dieser Studie ermittelten Werte.
Porosität
Die Porosität wurde für den Sand/Kies nach der in der Bodenmechanik gebräuchlichen Technik der lockersten (10 Versuche) und dichtesten Lagerung (4–7 Versuche) bei Vor-liegen gestörter Proben, beschrieben in DIN 18126 (Deut-sches Institut für Normung e. V. 1996), bestimmt.
Die Löss(lehm)- und Tonmergelproben wurden – da sie ausgetrocknet waren – zunächst wassergesättigt und anschließend einer Belastung von 0,5 kg bei gleichzeitiger Drainage bis zum Ende des Wasserverlustes unterzogen. Tabelle 1 im Anhang gibt einen Überblick über die ermit-telten Porositäten.
Die aus den Alpentälern vorstoßenden Gletscher brach-ten große Mengen an bereits aus dem Verband gelöstem und weitgehend zerkleinertem Material mit sich, das heute als mehr oder weniger miteinander in Verbindung stehende Schotterkörper vorliegt. Diese sind meist wenig verfestigt und führen große Mengen an Grundwasser in zusammen-hängenden und ausgedehnten Grundwasserströmen (Voh-ryzka 1973). Die Komponenten der Hochterrasse setzen sich nördlich des Hausruck und Kobernaußerwaldes aus Quarz- und Quarzitschotter mit wenig Kristallin- und kaum Kalkgeröllen zusammen. Häufig weisen die Kiese viel Fein-anteil (Schluff, Sand) auf (Rupp 2008).
Die Terrassenschotter der Würm- und Rißeiszeit sind in Oberösterreich die größte und verlässlichste Quelle zur Gewinnung von hygienisch einwandfreiem Grundwasser (Vohryzka 1973). Die Durchlässigkeit der Niederterrassen-schotter gibt Vohryzka (1973) mit kf-Werten von 6 · 10−3 m/s an, während er für die der Hochterrasse etwas niedrigere Werte vermutet. Das Bayerische Landesamt für Umwelt (2007a) gibt den kf-Wert für die Hochterrassenschotter als hoch mit > 10−3−10−2 m/s an.
Die Löss- und Lösslehmbedeckung über den Terrassen-schottern kann bis zu 8 m Mächtigkeit erreichen (Vohryzka 1973). Lösse treten als Schwemmlöss (umgelagerte und verwitterte schluffige Deckschichten) auf, sind laut Rupp (2008) meist eher kalkarm und fossilfrei und weisen häufig sandige Lagen und einzelne Gerölle auf. Generell sind sie als Grundwassergeringleiter zu betrachten.
Abb. 2 Körnungslinie einer untersuchten Sand/Kiesprobe.
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(entspricht rund 10,3 D) mit einer Standardabweichung von 0,37 · 10−4 m/s. Für den Tonmergel ergeben sich 1,15 · 10−8 m/s als Mittelwert aus 5 Versuchen und eine Stan-dardabweichung von 0,43 · 10−8 m/s. Diese Werte stehen in guter Übereinstimmung mit Daten aus der Literatur (z. B. Heath 1988; Hölting 1989; Hölting & Coldewey 2008).
Korngrößenverteilung
Die Korngrößenverteilung von Böden mit Korngrößen über 0,063 mm wurde durch Siebung nach ÖNORM B 4412 (Österreichisches Normungsinstitut 1974) bestimmt. Bei der vorliegenden Kiesprobe wurde eine Nasssiebung zum besseren Abtrennen der Feinanteile durchgeführt. Nach dem Trocknen der Probe bis zur Massenkonstanz bei 105 °C wurde die Probe auf 0,1 % der Probenmenge einge-wogen und durch den Siebsatz gesiebt. Siebe mit folgen-den Maschen- bzw. Lochweiten wurden verwendet: 0,063, 0,125, 0,25, 0,5, 1,0, 2,0, 4,0, 8,0 mm. Die getrennten Kornfraktionen und der Siebrückstand wurden abschlie-ßend erneut bis zur Massenkonstanz bei 105 °C getrocknet und gewogen. Dabei lag der Massenunterschied zwischen Einwaage und der Summe der Rückstände unter der gefor-derten 1 %-Grenze. Für Korngrößen kleiner als 0,063 mm wurde eine Schlämmanalyse mit der Aräometermethode nach ÖNORM B 4412 (Österreichisches Normungsinstitut 1974) durchgeführt.
Als Ergebnis ist die Korngrößenverteilung als Körnungs-linie (Summenkurve) in Abbildung 2 dargestellt. Es wird deutlich, dass die Fraktion < 0,063 mm einen beträchtlichen Anteil an der Gesamtmasse einnimmt. Bei der Probe han-delt es sich nach ÖNORM B 4400–1 (Österreichisches Nor-mungsinstitut 2010) um einen gemischtkörnigen Boden: Feinkies und Grobsand, gering mittelkiesig, gering mittel-sandig, gering feinsandig, gering schluffig.
In der hydrogeologischen Praxis wird häufig der kf-Wert aus der Kornverteilungskurve abgeleitet. Hazen (1893) fand eine empirische Beziehung zwischen dem kf-Wert und dem wirksamen Korndurchmesser dw, der von Jordan & Weder (1995) als ein mittlerer äquivalenter Kugeldurchmesser eines Einkorngemisches, das die gleiche spezifische Ober-fläche hat, wie das Vielkorngemisch, das es repräsentiert, definiert wurde. Hazen (1893) verwendet die Korngröße d10 (Korngröße im Schnittpunkt der 10 % Linie mit der Sum-menkurve) mit kf [m/s] und d10 [mm]:
[1]
Die Gleichung von Hazen wird für Bodenmaterial mit einem Ungleichförmigkeitsgrad U = d60/d10 < 5 empfohlen. Für das vorliegende Material ergibt sich aus der Kornver-teilungskurve folgender Ungleichförmigkeitsgrad:
Die Korndichte wurde mit einem Helium-Ultrapyknometer 1000 (Quantachrome Instruments) bestimmt. Beim ver-wendeten Messsystem wird Helium verwendet, da es eine besonders kleine Molekülgröße besitzt und das Verhal-ten eines idealen Gases zeigt. Beim Fluten der Messzelle mit einem definierten Gasvolumen kann das Volumen des festen Korngerüsts der Gesteinsprobe bestimmt werden und die Korndichte wird aus Volumen und Masse berechnet. Es wurden je zwei Lösslehm- und Tonmergelproben (je 3 Messdurchläufe) und je drei bis vier Proben Sand/Kies (je 3–5 Messdurchläufe) pro Bohrmeter untersucht.
Die gemessenen Werte sind in Tabelle 1 im Anhang zu finden. Es ergeben sich folgende Mittelwerte:
● Lösslehm: 2,74 g/cm3
● Sand/Kies: 2,65 g/cm3
● Tonmergel: 2,77 g/cm3
Hydraulische Durchlässigkeit/Permeabilität
Bei hydrologischen Untersuchungen wird die hydraulische Durchlässigkeit meist mit dem Durchlässigkeitsbeiwert kf in m/s angegeben. Die Reservoircharakterisierung im Bereich der Erdöl- und Erdgasexploration verwendet als Maß für die Durchlässigkeit die Permeabilität k mit der Einheit mD (Millidarcy). Folgende Umrechnung gilt: 1 mD ≈ 10−8 m/s oder 1 D ≈ 0,9869 · 10−12 m2 (z. B. Schön 2011).
Die Permeabilität der Sand/Kies-Probe (Mischung der Proben aus Bohrmeter 7 und 8) wurde nach ÖNORM B 4422–1 (Österreichisches Normungsinstitut 1992) in einer Messzelle bei aufsteigender Fließrichtung und konstan-ter Druckhöhe bestimmt. Der Versuchsaufbau besteht aus einem Wasservorratsbehälter mit Überlauf zur Gewährleis-tung des konstanten hydraulischen Gefälles, der hydrauli-schen Messzelle (8 cm Durchmesser) mit einer beweglichen perforierten Platte zum Einspannen der Probe und einem Ablaufbehälter. Um eine gleichmäßige Durchströmung des Probenmaterials zu gewährleisten, ohne das Korngefüge dabei zu verändern und eine Auswaschung feiner Bestand-teile zu verhindern, wurden Filterkies und Filterplatten ver-wendet und die Probe beim Einbau händisch verdichtet.
Für die Bestimmung der extrem geringen Durchlässig-keit der Tonmergelprobe wurde das Material mit vermin-derter Schichtdicke (3,75 cm) in eine modifizierte Prüfzelle (4,5 cm Durchmesser) eingebracht und der Versuch mit auf-steigender Fließrichtung, aber fallender Druckhöhe durch-geführt. Beim Einbau wurden Filterkies und Filterpapier verwendet und die Probe verdichtet.
Aus einer Versuchsreihe (10 Versuche; 3 Werte wur-den nach einer Qualitätskontrolle ausgeschieden) ergibt sich für den Sand/Kies ein Mittelwert von 1,03 · 10−4 m/s
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A bezeichnet die Querschnittsfläche L · L des betrachteten Gesteinsmodells.
Daher kann der folgende Ausdruck für die Permeabili-tät eines zylindrischen Porenkanals im Querschnitt A auf-gestellt werden:
[6]
Mit der Porosität des Gesteinsmodells
[7]
resultiert daraus der folgende Ausdruck für die Permeabili-tät eines Porenkanalmodells:
[8]
Gleichung 8 ist ein Ausdruck für die Abhängigkeit der Per-meabilität eines Porenkanals von der Porosität (linear), dem Quadrat des Porenradius und der Tortuosität. Dieses Modell stellt eine grobe Vereinfachung dar, da in realen Gesteinen der Querschnitt eines Porenkanals variiert. Dies wird häufig durch die Unterscheidung zwischen Porenhals und Poren-körper erfasst.
Da allerdings der Radius r des Porenkanals schwierig zu bestimmen ist, wird dieser Einfluss häufig mit der auf das Porenvolumen bezogenen inneren Oberfläche Spor ausge-drückt (Schön 2011):
[9]
Die Permeabilität kann somit wie folgt formuliert (Kozeny 1927; Carman 1937) werden:
[10]
Bei einem zwischen rPorenhals und rPorenkörper variierenden Porenradius führt die Berechnung nach dem Hagen-Poiseul-le-Gesetz für laminaren Fluss zu einer Integration entlang der Achse des Porenkanals.
Um den Einfluss der Geometrie des Porenkanals auf die Permeabilität zu untersuchen, wurden daher zwei Porenmo-delle basierend auf dem Kapillarmodell entwickelt (Abb. 3). Die Tortuosität wurde in dieser ersten Studie konstant mit τ = 1 angenommen.
Das erste Modell stellt die einfachste Geometrie einer kegelstumpfförmigen Pore (Abb. 3, oben) dar:
Der Radius r(x) kann unter Verwendung des Porenhalsra-dius rt [m] und eines Parameters a folgendermaßen definiert werden:
[11]
kA
r= ⋅= ⋅ ⋅π
τ8
14 .
Φ = =π π τr lπ πr lπ πL
r
A
2 2r l2 2r l
³
kr
= ⋅= ⋅ ⋅1
8
2
2Φτ.
Srl
r l rpor= == =
2 2rl2 2rlπ2 2π2 2
πr l²r l.
kS
por
= ⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅1
2
1 12 2S2 2S
Φτ
.
r x r axr axr at
( )r x( )r x .= +r a= +r a
[2]
Aufgrund des hohen Ungleichförmigkeitsgrades von 53 ent-fällt damit die Gleichung von Hazen.
Nach dem Verfahren von Beyer (1964) ergibt sich der kf-Wert wie aus der Hazen-Gleichung, jedoch mit einem vom Ungleichförmigkeitsgrad abhängigen Koeffizienten C, der für U > 20 bei 60 · 10−4 liegt; somit ergibt sich ein Wert von kf = 6,5 · 10−5 m/s.
Eine von Bialas & Kleczkowski (1970) empfohlene Glei-chung lautet:
[3]
Es ergibt sich mit d20 = 0,25 mm ein Wert von kf = 1,48 · 10−4 m/s, der eine sehr gute Übereinstimmung mit dem experimentell bestimmten Durchlässigkeitsbeiwert zeigt. Daher wird als wirksamer Korndurchmesser in den folgenden Betrachtungen d20 gewählt.
Entwicklung modifizierter Kapillarmodelle für unterschiedliche Porengeometrien
Das häufig verwendete Kapillarmodell (z. B. Poiseulle 1838; Hagen 1839) beschreibt den laminaren Fluss durch eine zylindrische Röhre. Dieses Konzept kann für klastische Sedimente verwendet werden, wo verbundene zylindrische Poren in einer impermeablen Gesteinsmatrix angenommen werden. Voraussetzungen für die Gültigkeit des Modells sind ein viskoses, inkompressibles Fluid, laminarer Fluss durch den Porenkanal und ein konstanter, kreisförmiger Porenquerschnitt.
Gleichung 4 stellt das Hagen-Poiseulle’sche Gesetz dar:
[4]
Der Druckgradient grad p beschreibt den Druckabfall Δp [Pa] zwischen den Enden des Porenkanals dividiert durch dessen Länge l [m], q bezeichnet den Volumensstrom pro Zeiteinheit [m3/s] und r den Radius der Kapillare [m]. Die Tortuosität des Porenkanals τ charakterisiert das Verhältnis der wahren Länge des Porenkanals zur Länge des betrachte-ten Modellgesteins.
Mit dem Gesetz von Darcy (1856) für laminaren Fluss eines nicht-reaktiven Fluids in einem porösen Material kann mit der Permeabilität k der Volumenstrom pro Zeiteinheit folgendermaßen beschrieben werden:
Die Flussrate durch eine Gesteinsprobe mit Querschnitt A und Länge l mit einer kegelstumpfförmigen Pore ist dann durch das folgende Integral gegeben:
[13]
Integration liefert:
[14]
Damit ergibt sich die Permeabilität zu
[15]
Das Modellporenvolumen kann berechnet werden als:
ar
l
r r
lb t
r rb t
r r=
∆=
r r−r r.
q l x dxx dxx dp
l
l
= +q l= +q lq l= +q l ( )r a( )r ax d( )x dr ax dr a( )r ax dr at( )t
= +( )= +r a= +r a( )r a= +r a
= += +
∆p∆p∫= +∫= +
−−
πq l
πq l
η8q l
8q l
0
41
.
q rq r
rr
rr
p
lbq r
bq r
t
brb
r
brb
r
t
q r= −q r
−
−
∆p∆p3
8q r
8q r
1
1
4
3
πη
.
kA
r
rr
rr
brb
r
t
brb
r
brb
r
t
= −−
−
3
8
1
1
4
3
π.
Abb. 3 Basierend auf dem Modell einer kapillaren Röhre (links) wur-den zwei Porengeometrien untersucht: Kegelstumpfform (oben rechts) und gekrümmte Porenform (unten rechts). L = Länge [m] des betrach-teten Gesteinsmodells, l = Länge [m] der betrachteten Kapillare bzw. der kegelstumpfförmigen oder gekrümmten Pore, r = Radius [m] der
Kapillare, r(x) = Radius [m] der kegelstumpfförmigen bzw. gekrümm-ten Pore, rt = Radius [m] des Porenhalses, rb = Radius [m] des Poren-körpers, Δr = Differenz [m] zwischen rb und rt; Parameter a beschreibt die Abhängigkeit der Porenform von der Länge l
8
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Die Oberfläche einer Modellpore ist:
[26]
Somit kann wieder die spezifische innere Oberfläche der Pore als Verhältnis ihrer Oberfläche zu ihrem Volumen (Gl. 24) angegeben werden:
[27]
Für beide Modelle kann Spor nach rb aufgelöst und in die Permeabilitätsgleichungen (Gl. 17 und 25) eingesetzt wer-den, sodass die modellierte Permeabilität in Analogie zu Gleichung 10 von Spor abhängig ist. Daraus resultiert für die kegelstumpfförmige Porenform
[28]
und für die gekrümmte Pore
[29]
Die Terme in eckiger Klammer [·] kennzeichnen den Ein-fluss des Verhältnisses von rb zu rt auf die Permeabilität. Diese ergibt sich nunmehr für das entwickelte Modell als Produkt aus vier Faktoren:
Spor ● Porengeometrie, ausgedrückt mit dem Verhältnis rb/rt.
S r e dx le dx le d r
rr
lnr
r
t
laxe daxe d
t
brb
r
t
brb
r
t
S r= =S r
−
∫e d∫e d∫e d∫e de d2 2e dx l2 2x le dx le d2 2e dx le de daxe d2 2e daxe d2 2S r2 2S rS r= =S r2 2S r= =S r ∫2 2∫e d∫e d2 2e d∫e d
1
0
e dπ πe dx lπ πx le dx le dπ πe dx le dπ πS rπ πS r ∫π π∫e d∫e dπ πe d∫e de d2 2e dπ πe d2 2e dx l2 2x lπ πx l2 2x le dx le d2 2e dx le dπ πe dx le d2 2e dx le de d= =e d2 2e d= =e dπ πe d= =e d2 2e d= =e dx l= =x l2 2x l= =x lπ πx l= =x l2 2x l= =x le dx le d= =e dx le d2 2e dx le d= =e dx le dπ πe dx le d= =e dx le d2 2e dx le d= =e dx le d2 2π π2 2S r2 2S rπ πS r2 2S r= =2 2= =π π= =2 2= =S r= =S r2 2S r= =S rπ πS r= =S r2 2S r= =S r ∫2 2∫π π∫2 2∫e d∫e d2 2e d∫e dπ πe d∫e d2 2e d∫e d= =∫= =2 2= =∫= =π π= =∫= =2 2= =∫= =e d= =e d∫e d= =e d2 2e d= =e d∫e d= =e dπ πe d= =e d∫e d= =e d2 2e d= =e d∫e d= =e d ...
SS
V r r r
r
porb
V rb
V rb
t brb
r
t
= == =
+
4 1r4 1rb4 1b
rb
r4 1rb
r4 1 4 1 4 1
1
.
kS
rr
rr
rr
rr
por
t
brb
r
brb
r
t
t
brb
rt
brb
r
=−
−
+ ++ +t+ +t
1
2
9
4
1
1 11 11 1
2 3 23 23 23 23 2 3 2
3 2
3 2Φ
1 11 1
1 11 1
1 11 1
+
+ ++ +
3
1
12
rr
rr
rr
t
brb
r
t+ +t+ +b
rb
rt
brb
r
2
kS
rr
rr
rr
por
brb
r
t
brb
r
t
brb
r
t
=
−
1
22
1
2
2
2
Φln
−
2 22 2
2 2
2 2
4
1
rr
r
r r
rt
brb
r
brb
r
t brb
r
t
+
1
2
.
[19]
Als weitere mögliche Porengeometrie wurde eine gekrümmte Porenform angenommen, wie sie etwa zwi-schen gerundeten Sedimentkomponenten entstehen könnte (Abb. 3, unten). In diesem Fall wird der Radius r(x) unter Verwendung des Porenhalsradius rt [m] und eines Faktors a in folgender Weise definiert:
[20]
Der Parameter a ist gegeben durch:
[21]
Die Flussrate durch das Modellgestein ist dann:
[22]
Unter Verwendung von Darcys Gesetz (Gl. 5) und durch Umformen von Gleichung 22 erhält man den folgenden Ausdruck für die Permeabilität:
[23]
Das Modellporenvolumen kann mit dem folgenden Aus-druck berechnet werden:
[24]
Die Modellporosität ist somit gegeben als das Modellporen-volumen dividiert durch das Modellvolumen A · l.
Als Ergebnis kann nun die Permeabilität in Abhängigkeit von Porosität Φ, rb und rt definiert werden:
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Werte aus der Literatur gewählt (z. B. Beard & Weyl 1973). Die Tortuosität wurde vorerst konstant mit τ = 1 angenom-men, da ausschließlich der Effekt von Porendimension (Querschnitt und Radien) und der Porosität untersucht wer-den sollte.
Wie erwartet, sind die Permeabilitäten der kegelstumpf-förmigen und gekrümmten Pore in folgender Weise von der Porosität Φ, dem Porenkörperradius rb und dem Verhältnis rb/rt abhängig: Mit zunehmendem rb und Φ steigt die Permea-bilität, während sie mit steigendem Verhältnis rb/rt abnimmt.
Modellrechnungen – Diskussion der Ergebnisse
Abbildung 4 zeigt Diagramme, die basierend auf den oben angeführten Modellbetrachtungen erzeugt wurden, um mit-hilfe von Gleichung 17 und 25 die Auswirkungen des Poren-körperradius, des Verhältnisses von Porenkörperradius zu Porenhalsradius und der Porosität auf die Permeabilität zu studieren. Die Abhängigkeit von Spor wurde in einem zwei-ten Schritt betrachtet (Abb. 5). Der Wertebereich der Ein-gangsparameter wurde mit Hinblick auf charakteristische
.
Abb. 4 Modellergebnisse im Überblick. Oben: Modellierte Perme-abilitäten k [m2] der gekrümmten (links) und kegelstumpfförmigen Pore (rechts) aufgetragen gegen die Porosität Φ [−]. Strichfarben und -typen repräsentieren verschiedene Kombinationen von Porenkörper-radius und Verhältnis von Porenkörper- zu Porenhalsradius rb/rt. Unten
links: Verhältnis der modellierten Permeabilität zur Permeabilität der Kapillare aufgetragen gegen das Verhältnis rb/rt für die gekrümmte (schwarz) und die kegelstumpfförmige Pore (rot). Unten rechts: Exponentielle Annäherung an die Abnahme des Eingangsparameters f(rb/rt) für die Permeabilitätsberechnung aufgetragen gegen rb/rt
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[33]
Das Diagramm der modellierten Permeabilität einer gekrümmten Pore, aufgetragen gegen das Verhältnis von Porosität zum Quadrat der spezifischen inneren Oberfläche (Abb. 5), zeigt, dass diese Beziehung wie erwartet nur vom Verhältnis rb/rt bestimmt wird und nur untergeordnet vom Porenkörperradius rb selbst.
Anwendung – Interpretation der experimentellen Daten
Abschließend werden die berechneten Abhängigkeiten mit den experimentellen Daten verglichen.
Für die Modellberechnungen wird angenommen, dass mit dem aus der Sieblinie ermittelten wirksamen äqui-valenten Korndurchmesser d20 = 0,25 mm, der die beste Übereinstimmung zwischen abgeschätzter und gemesse-ner Permeabilität liefert, der Radius des Porenkörpers etwa der Hälfte diese Wertes (wirksamer Kornradius) ist, d. h. rb ≈ 0,125 mm. Mit dieser Annahme wurden die Kurven in Abbildung 5 berechnet.
Zum Vergleich mit den experimentellen Daten wird der aus der Sieblinie ermittelte wirksame äquivalente Korn-durchmesser d20 = 0,25 mm zur Abschätzung von Spor nach der strenggenommen für Kugeln geltenden Beziehung Spor = 3/(d20/2) verwendet. Es ergibt sich Spor ≈ 2,4 · 104 m−1. Für den Wertebereich der Porosität, der basierend auf den Ergebnissen der Porositätsbestimmung bei lockerster und dichtester Lagerung mit Φ = 0,40 … 0,50 angenommen wurde, resultieren Werte für Φ/Spor
2 zwischen 6,9 · 10−10 m2 und 8,7 · 10−10 m2. Für ein Verhältnis rb/rt von etwa 7 bis 10 kann mit Gleichung 33 die Funktion f (rb/rt) berechnet wer-den und für f (rb/rt) wäre in diesem Fall ein Wertebereich von 0,012–0,051 anzusetzen. Mit Gleichung 32 können Perme-abilitäten zwischen 8,4 · 10−10 m2 und 3,5 · 10−10 m2 bestimmt werden. Diesem Wertebereich entsprechen die gemessenen Permeabilitäten von kf = 1,03 · 10−4 ± 0,37 · 10−4 m/s.
Die grau hinterlegten Bereiche im Diagramm k vs. Φ/Spor2
(Abb. 5) geben die möglichen Wertekombinationen für das untersuchte Probenmaterial für die Grenzen
● Φ/Spor2 zwischen 6,9 · 10−10 m2 und 8,7 · 10−10 m2 sowie
● kf zwischen 6,6 · 10−5 und 1,4 · 10−4 m/s.
Durch diese Betrachtung wird deutlich, dass der Porenhals-durchmesser die für die hydraulische Durchlässigkeit aus-schlaggebende Größe ist und in diesem Fall bei 12,5 · 10−6 bis 17,8 · 10−6 m liegt.
Diese Erkenntnisse sind in guter Übereinstimmung mit den Ergebnissen von Nelson (2009), der für Sande ein rt von 5 · 10−6 bis 20 · 10−6 m angibt. Dann et al. (2011) bestimm-
fr
reb
rb
r
t
rr
brbr
trtr
= ⋅−
1= ⋅1= ⋅3916= ⋅3916= ⋅
0 473
, .e, .e3916, .3916,
Einen starken Einfluss übt dabei das Verhältnis rb/rt aus, wo ein Anstieg um einen Faktor 2 zu einer Abnahme der Perme-abilität um einen Faktor 2,93 für die gekrümmte bzw. 3,50 für die kegelstumpfförmige Pore führt oder ein Anstieg um einen Faktor von 3 zu einer Abnahme um einem Faktor von 7,36 bzw. 8,19.
Der nächst wichtige Einfluss wird von rb ausgeübt, der mit der zweiten Potenz in Gleichung 17 und 25 eingeht; somit resultiert eine Zunahme des Radius um einen Faktor 2 in einer gleichzeitigen Permeabilitätszunahme um einen Fak-tor 4. Der geringste Einfluss wird von Φ ausgeübt, da sich hier nur eine lineare Abhängigkeit ergibt – dies steht wie bei allen auf dem Kapillarmodell beruhenden Berechnungen nicht in Übereinstimmung mit den wesentlich stärkeren experimen-tell gefundenen Abhängigkeiten. Möglicherweise resultiert die experimentell gefundene, stärkere Porositätsabhängig-keit aus der mit der Porosität korrelierenden Tortuosität.
Im direkten Vergleich der beiden Modelle (Abb. 4, oben) kann festgehalten werden, dass die beiden unterschiedli-chen Porengeometrien die Permeabilität nahezu gleichartig beeinflussen. So sind z. B. die berechneten Permeabilitäten der gekrümmten Pore bei rb/rt = 2 um 20 % höher, als die der kegelstumpfförmigen Pore, bei rb/rt = 3 um 11 % höher und bei rb/rt = 5 um 7 % niedriger. Diese Trendumkehr mit steigendem rb/rt kann besonders gut in einem Vergleich der modellierten Permeabilitäten (Gl. 17 und 25) mit denen der Kapillare (Gl. 8) nachvollzogen werden (Abb. 4, unten links) und beträgt für die kegelstumpfförmige Pore
[30]
und für die gekrümmte Porenform
[31]
In Hinblick auf eine Abhängigkeit der Permeabilität vom Verhältnis rb/rt kann Gleichung 10 bei τ = 1 in folgender Weise umformuliert werden
[32]
wobei die Abhängigkeit von f(rb/rt) vom Verhältnis rb/rt mit guter Annäherung durch eine Exponentialfunktion ausge-drückt werden kann (siehe Abb. 4, rechts unten):
k
k
rr
rr
rr
Kek
Kek
gelstumpKegelstumpKe fgelstumpfgelstump
Kapillarek
Kapillarek
t
brb
r
brb
r
t
t
brb
r
=−
−
+ ++ +t+ +t
9
1
1 11 11 1
3rrr
rt
brb
r
1 11 1
1 11 1
1 11 1
2
k
k
rr
rr
gekrummt
Kapillarek
Kapillarek
brb
r
t
brb
r
t
�� =
−
8
1
2
2
ln
−
rr
rr
brb
r
t
t
brb
r
2 22 2
2 2
2 2
k fr
r Sb
rb
r
t por
k f=k f
⋅Φ2,
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● Porosität, ● Spezifische innere Oberfläche Spor und ● Porengeometrie, ausgedrückt mit dem Verhältnis rb/rt.
Aus den experimentellen Daten wurde für das Verhältnis rb/rt ein Wert von etwa 7,0–10,0 ermittelt, was in guter Überein-stimmung mit Literaturdaten steht.
Weiterführende Untersuchungen sollen an einer Serie unterschiedlicher Sedimenttypen durchgeführt und um eine Studie des Einflusses der Tortuosität erweitert werden.
Danksagung Diese Arbeit wurde im Rahmen des Projektes GeoWSP (PNr.: 834533) von der österreichischen Forschungsförderungsgesell-schaft (FFG) durch das Forschungs- und Technologieprogramm des Klima- und Energiefonds „NEUE ENERGIEN 2020“ gefördert. Be-sonderer Dank gilt Herrn Dr.-Ing. Christian Koller (ADS Advanced Drilling Solutions GmbH, Leoben/Österreich) für die gründliche Durchsicht des Manuskripts. Wir danken zwei anonymen Reviewern für wertvolle Hinweise.
Anhang: Tabelle 1
Alle Teufenangaben in Tabelle 1 beziehen sich auf m unter Geländeoberkante.
ten mit computertomographischen Untersuchungen für einen Küstensand rt < 1,0 · 10−4 m und für das Verhältnis vom mittleren Korndurchmesser zu rt einen Wertebereich von 18,0–26,0.
Fazit
Ziel war es, mithilfe von Labormessungen und modifizier-ten Kapillarmodellen, eine genaue Beschreibung des Sedi-mentporenraumes zu ermöglichen. Die Studie zeigt anhand von modifizierten Kapillarmodellen, dass der Durchmes-ser des Porenhalses für die hydraulische Durchlässigkeit den entscheidenden Einfluss ausübt. Bei den untersuchten Porenmodellen mit variablem Porenradius konnte gezeigt werden, dass folglich das Verhältnis von Porenkörper- zu Porenhalsradius rb/rt die wichtigste Einflussgröße ist, gefolgt vom Radius des Porenkörpers rb. Der Effekt konnte an zwei Modellen nachgewiesen werden. Unterschiedliche Poren-formen spielen offenbar nur eine untergeordnete Rolle. Basierend auf diesen Erkenntnissen konnte die Permeabili-tät nunmehr als das Produkt aus folgenden Einflussfaktoren dargestellt werden:
Abb. 5 Modellierte Permeabili-tät der gekrümmten Pore mit einem rb von 1,25 · 10−4 m gegen das Verhältnis Φ/Spor
2 [m2]. Der grau hinterlegte Wertebereiche gibt die möglichen Werte-kombinationen für das unter-suchte Probenmaterial für die Grenzen Φ/Spor
2 = 6,9 · 10−10 bis 8,7 · 10−10 m2 und kf = 7,1 · 10−12 bis 1,87 · 10−11 m2. Strichtypen repräsentieren verschiedene Verhältnisse von Porenkörper- zu Porenhalsradius rb/rt
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MW Mittelwert, STABW StandardabweichungaMittelwert aus Porosität bei lockerster und dichtester LagerungbMittelwert aus 4 EinzelversuchencMittelwert aus 21 Einzelversuchen
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