Boundary Element Method
Fabio Kaiser
4. Oktober 2011
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Uberblick
1 Einleitung
2 BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
3 BEM - Part II - Numerische Implementierung
4 Beispiele
5 Fazit
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Einleitung
Einleitung
• Wellengleichung
1
c2∂2p
∂t2−∇2p = 0 (1)
• Berechnung der Schallausbreitung
• Analytische Methoden zur Losung verfugbar
• Numerische Methoden
- Finite Elemente Methode (FEM)- Finite Differenzen Methode (FDM)- Randelementemethode (BEM)
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Einleitung
BEM Ubersicht
Abb.: Funf Schritte zum Erfolg
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Einleitung
Anwendugen
• Abstrahl-, Streuungs-, Eigenwert Problem
Abb.: Bilder aus (Liu, 2009)
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Einleitung
Anwendungen am Fachgebiet - Extraauraler Kopfhorers• Simulation des Schalldruckverlaufs• Berechnung der akustischen Impedanzbelastung aufs Ohr• Free field equivalent coupling (FEC) Kriterium
Abb.: BK109 Extraauraler Kopfhorer
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BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
Helmholtz Gleichung
• Homogen∇2p+ k2p = 0 (2)
• Green’sche Funktion im Freifeld
G(r|r′) = e−ik|r−r′|
4π|r − r′|(3)
(∇2 + k2)G(r|r′) = −δ(r − r′) (4)
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BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
Green’sche Identitat
• Aus 2. Green’scher Identitat∫∫∫Ω
(φ∇2ψ − ψ∇2φ) dV =
∫∫S
φ∂ψ
∂n− ψ∂φ
∂ndS (5)
• Skalare Funktionen φ und ψ erfullen:
∇2φ+ k2φ = 0
∇2ψ + k2ψ = −δ(r − r′) (6)
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BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
Helmholtz Integral Gleichung (HIE)
C(r′)φ(r′) =
∫∫S
(G(r|r′)∂φ(r)
∂n− φ(r)∂G(r|r
′)
∂n
)dS (7)
C(r′) =
0, r′ ∈ Ve12 , r′ ∈ S1, r′ ∈ Vi
(8)
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BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
Inneres und Außeres Problem
Mit φ = p und∂p(r)
∂n= −iρ0ckvn(r) (9)
• Inneres Problem∫∫S
(iρockvn(r)G(r|r′)− p(r)
∂G(r|r′)∂n
)dS = C(r′)p(r′) (10)
• Außeres Problem∫∫S
(p(r)
∂G(r|r′)∂n
− iρockvn(r)G(r|r′)))dS = C(r′)p(r′) (11)
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BEM - Part I - Helmholtz Integral Gleichung
Eindeutigkeit der Losung
• Losung fur außeres Problem nicht eindeutig bei Resonanzfrequenzen desinneren Problems
• CHIEF• Extra Gleichung mit Punkt im Inneren• Uberdeterminiertes System
• Burton-Miller• Kombiniere HIE mit seiner Normalableitung
CBIE + β HBIE = 0 (12)
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Diskretisierung• ... der Geometrie
x =
n∑i=1
xiNi(ξ1, ξ2) (13)
• ... der physikalischen Großen
p =
n∑i=1
piNi(ξ1 , ξ2), vn =
n∑i=1
vniNi(ξ1, ξ2) (14)
• N...Ansatz Funktionen
Abb.: Reales und Mutter Element in globalen bzw. lokalen Koordinatenfabio [email protected] () Boundary Element Method 4. Oktober 2011 12 / 31
BEM - Part II - Numerische Implementierung
Kollokation• Knoten-Kollokation
Cp =
N∑j=1
∫Sj
p∂G
∂ndS − iρ0ck
N∑j=1
∫Sj
vnGdS (15)
• und Interpolation
Cp =
N∑j=1
n∑i=1
pijdij −N∑j=1
n∑i=1
vn,ijmij (16)
mit den Integralkernen
dij =
∫Sj
∂G
∂nNi dS (17)
mij = iρ0ck
∫Sj
GNi dS (18)
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Matrix-Gleichung
⇒Dp = Mvn
M =
( mij · · · mjN
.... . .
...mNi · · · mNN
),D =
( dij − cjj · · · djN...
. . ....
dNi · · · dNN − cNN
)
p =
( p1
...pN
),vn =
( vn1
...vnN
)
• Zur Losung sind N Randbedingungen notwendig
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Problem
• System-Matrizen
- vollbesetzt- unsymmetrisch- komplex
• Standard Losungs Methoden aufwendig
• → iterative Methoden
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Speicheraufwand• B = 16M2 bytes• 6 Knoten pro Wellenlange
0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
4
Frequency, Hz
Nu
mber
of e
lem
ents
, N
Nmax,2GB
Nmax,4GB
Nmax,12GB
sphere, r=0.07m
sphere, r=1m
Abb.: Anzahl der Elemente vs. Frequenz Limit
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Rechenaufwand
• Berechnung der Systemmatrizen
• Losung des Gleichungssystems• Gauss Eliminierung ∼ O(N3)
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BEM - Part II - Numerische Implementierung
Zusammenfassung
• Vorteil• Reduktion der Dimension• Berechnung ins Unendliche
• Nachteil• Keine eindeutige Losung fur außeres Problem• Vollbesetzte, komplexe, unsymmetrische Matrizen
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Beispiele
Implementierung
• OpenBEM (http://www.openbem.dk/) von Patrick Juhl und VicenteCutanda Henriquez
• Matlab Toolbox
• Ablauf einer Simulation• Mesh Generierung• Importieren und Uberprufen• Oberflachenintegrale losen• Randbedingungen vorgeben• Feldpunkte berechen• Post-processing
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Beispiele
Pulsierende Kugel• Kugel pulsiert mit Schnelle v0
Abb.: In dreieckige Elemente diskretisierte Kugel mit N = 160 Elementen. Achsenin Meter.
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Beispiele
102
103
104
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
frequency (Hz)
SP
L (
dB
)
fmax
=347.2071
analytical
BEM
CHIEF
Abb.: BEM Simulation: Pulsierende Kugel mit v0 = 1ms
und N=1280. Resultiereder SPLuber Frequenz. Der Feldpunkt liegt in 1m Entfernung.
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Beispiele
102
103
104
120
130
140
150
160
170
180
190
frequency (Hz)
SP
L (
dB
)
analytical
N=160
N=640
N=1280
Abb.: BEM Simulation (CHIEF): Pulsierende Kugel mit v0 = 1ms
. Resultieredes SPLuber Frequenz. Vegleich verschiedener Mesh Großen.
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Beispiele
Aufwand
N time/s memory/MB fmax/Hz160 2.4 0.2 89640 25.2 3.3 193
1280 97.6 13.2 347
Tabelle: Anzahl der Elemente N vs. Rechenzeit, Speicheraufwand (fur eine Frequenz)und Frequenz Limit.
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Beispiele
Membran auf Kugel mit Scheibe davor• Kugel und Scheibe → vn = 0, Membran vn = v0
• Akustische Reziprozitat
−0.1−0.05
00.05
0.10.15 −0.1
−0.05
0
0.05
0.1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
y
x
z
Abb.: Mesh-Modell mit N=1280 (Kugel) und N=540 (Scheibe). Achsen in Meter.
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Beispiele
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [
m]
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [m
]
SP
L85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
SP
L
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
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Beispiele
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [m
]
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [
m]
SP
L
70
80
90
100
110
120
130
SP
L
70
80
90
100
110
120
130
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Beispiele
−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [m
]
SP
L
70
80
90
100
110
120
130
−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [
m]
SP
L
70
80
90
100
110
120
130
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Beispiele
Membran auf Kugel mit Scheibe davor
• Kugel vn = 0, Membran vn = v0
• Impedanz Randbedingungen fur Scheibe
vn = −αβp+
γ
β(19)
• Mit γβ = Y und α
β = vs
(D +MY )p = Mvs (20)
• Beispiel Z = Z0 = ρ0c
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Beispiele
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [m
]
SP
L
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
y [
m]
SP
L
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
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Fazit
Fazit
• Bericht
• Literatur-Datenbank
• Matlab Skripte und Funktionen
• TO DO• Geeignete Umgebung zur Mesh-Generierung und Bearbeitung finden• FEC Kriterium BK211 vs. BK109 (DAGA ’12)
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Fazit
Referenzen
Ciskowski R.D.
Boundary element methods in acousticsComputational Mechanics Publications
Wu, T.W.
Boundary element acoustics: Fundamentals and computer codesWIT
Beer, G. and Watson, J. O.
Introduction to finite and boundary element methods for engineersWiley
Liu, Y.
Fast multipole boundary element method: Theory and applications in engineeringCambridge University Press
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