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Quantenmechanik der Stol~vorg~nge ~). Yon Max Born in GSttingen.

(Eingegangen am 21. Juli 1926.)

Die SehrJdin gersche Form der Quantenmechanik erluubt in natiirlieher Weise die Hitafigkeit eines Zustandes zu definieren mit Hilfe der Intensit~it der zuge- ordneten Eigenschwingung. Diese Auffassung {iihr~ zu einer Theorie der Stotl- vorgi~nge, bet der die lJbergangswahrscheinlichkeiten durch das asymptotisehe

Verhalten aperiodiseher LJsungen bestimm~ werden.

E i n l e i t u n g . Die Stol~vorgange haben nieht nur die fiberzeugendsten experimentellen Bewelse ffir die Grundannahmen der Quantentheorie

geliefert, sondern scheinen auch geeignet, Aufkli~rung zu geben fiber die physikalische Bedeutung der formalen Gesetze der sogenannten ,, Quanten-

meehanik". Diese liefert-zwar, wle es seheint, stets die riehtigen Term- werte der stationiiren Zusti~nde nnd die richtigen Amplituden der bet

den ~bergi~ngen ausgestrahlten Sehwingungen, aber fiber die physikalische Interpretation der Formeln sind die Meinungen geteilt. Die yon

H e i s e n b e r g begrfindete, yon ihm gemeinsam mit J o r d a n und dem Ver- fasser dieser Mitteilung entwiekelte Matrizenform der Quantenmeehanik 3)

geht yon dem Gedanken aus, dal~ eine exakte Darstelhng der Vorgange in Raum und Zeit iiberhaupt unmJglich ist, und begniigt sieh daher mit

der Aufstellung yon Relationen zwlsche~ beobachtbaren GrJl]en, die nur im klassisehen Grenzfall als Eigensehaften yon Bewegungen gedeutet werden kJnnen. S c h r t i d i n g e r a) auf der anderen Seite scheint den Wellen, die er naeh de B r o g l i e s Vorgang als die Trager der atomaren Prozesse ansieht, eine Realiti~t yon derselben Art zuzusehreiben, wie sie Lichtwellen be- sitzen ; er versucht ,, Wellengruppen aufzubauen, welche in allen Riehtungen relativ kleine Abmessungen" haben und die offenbar die bewegte Korpuskel direkt darstellen sollen.

Keine dieser beiden Auffassungen scheint mir be~riedigend. Ieh

miichte versuehen, bier eine dritte Interpretation zu geben und ihre Brauchbarkei~ an den StoJvorglingen zu erproben. Dabei knfipfe ieh an

1) Hierzu eine vorl/~ufige Mitteilung, ZS. f. Phys. 87, 863, 1926. 9) W. t te isenberg, ZS. f. Phys. 83, 879, 1925; ~'[.Born t~nd P. Jordan,

ebenda84, 858, 1925; M. Born, W. Heisenberg und P. Jordan, ebendu 85, 557, 1926. Siehe auch P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 109, 642, 1925; ll0, 561, 1926.

3) E. SchrJdinger , Ann. d. Phys. 79, 361, 489, 734, 1926. Vgl. besonders die zweite ~[itteilung, S. 499. Ferner Naturw. 14, 664, 1926.

Zeitsr fiir Physik. Bd. XXXVIII. 53

804 Max l~orn,

eine Bemerkung E i n s t e i n s fiber das Verhaltnis yon Wellenfeld und Lich~quanten an; er sagte etwa, dab die Wellen nur dazu da seien, um den korpuskularen Lichtquanten den Weg zu welsen, u n d e r sprach in dlesem Sinne yon einem ,Gespensterfeld". Dieses bestimmt die Wahr- seheinlichkelt daNr, dab ein Liehtquan~, der Trager yon Energie und Impuls, elnen bestimmten Weg elnschlagt; dem Felde selbst aber geh~irfi keine Energie und kein Impuls zu.

Diesen Gedanken direkt mit der Quantenmechanik in Verblndung zu setzen, wird man woM besser so lange verschieben, bls die Einordnung des elektromagnetisehen Feldes in den Formallsmus vollzogen ist. Bei der vollst~izldigen Analogie zwischen Lichtquant und Elektron aber wird man daran denken, die Gesetze der Elektronenbewegung in ahnlieher Weise zu formulieren. Und bier liegt es nahe, die de B r o g l i e - S c hr 8 dln g e r sehen Wellen als das, Gespensterfeld" oder besser ,, Ftihrungs- feld" anzusehen.

Ich m~ehte also versuehsweise die Vorste]lung verfo]gen: Das Fiihrungsfeld, dargestell~ durch eine skalare Funktion $ der Koordinaten aller beteiligten Partikeln und d er Zeit, breitet slch nach der S e h r (i d i n g e r - schen Differentialgleiehung aus. Impuls und Energie aber werden so tiber~rugen, als wenn Korpuskeln (Elektronen) ~ats~ehlieb herumfliegen. Die Bahnen dieser Korpuskeln slnd nur so weir bestimmt, als Energie- und Impulssatz sie einsehranken; im fibrigen wird ffir das Einseh]agen elner bestimmten Bahn nut eine Wahrseheinliehkeit dureh die Werte- verteilung der Funktion ~ bestimmt. Nan .k~innte das, etwas paradox, etwa so zusammenfassen: Die Bewegung der Partikeln folgt Wahr- scheinllchkeitsgesetzen, die Wahrseheinlichkeit se]bst aber breitet sieh im Einklang mit dem Kausalgesetz 1) aus.

Uberbliekt man die drei Stufen der Entwieklung der Quantentheorie, so sleht man, da0 die unterste, die der periodischen Vorgange, gfinzllch ungeeignet ist, die Brauehharkeit elner solchen Vorste]lung zu priifen. Etwas mehr leisteb die zweite S~ufe, die der aperiodischen, stationaren Vorgange; mit dieser wollen wir uns in der vorliegenden Arbeit be- sehaftigen. Wirklich entseheidend aber kann erst die dritte Stufe sein, die der nichtstationaren Ablaufe; hier muff sieh zelgen, ob die Interferenz ge dampfter,, Wahrscheinliehkeitswellen" hinreieht, dieienigen Erscheinungen zu erkl~ren, die anscheinend auf elne raumzeltlose Kopplung hindeutem

a) Das heillt so, dail die Kenntnis des Zustandes in allen Punkten in einem Augenblick die Verteilung des Zustandes zu allen sp~iteren Zeiten festlegt.

Quantenmechanik der Stol|vorg~inge. 805

Eine Priizisierung der Begriffe ist erst aut Grund der mathematisehen

Entwicklung 1) mi~glich; daher wenden wir uns sogleich dieser zu, am

erst sparer auf die Hypothese selbst zuriickzukommen. w 1. D e f i n i t i o n de r G e w i e h t e ' und Hi~uf igke i t en fiir

p e r i o d i s e h e S y s t e m e . Wir beginnen mlt elner ganz formalen Be-

traehtung der diskreten stationaren Zusti~nde eines nieht entarteten Systems. Dieses mSge dureh die Schr~idingersehe Differentialgleiehung

[H - - W, , ] = 0 (1)

charakterisiert sein. Die Eigenfunktionen seien auf 1 normiert ~):

(2)

Jede beliebige Funktion $ (q) laBt sieh naeh den Eigen[unktionen ent,

wieke]n: , (~) ---- ~ cn ~ (q). (3)

n

Bisher hat man sein Augenmerk nur auf die Eigenschwlngungen g'n und

die Eigenwerte Wn gerichtet. Unsere in der Einleitung erlauterte Vor-

stellung legt den Gedanken nahe, die dureh (3) dargestellte Uber- lagerungsfunktion in Zusammenhang zu bringen mit der Wahrseheinlieh-

keit dafiir, da~ in einem Hau~en g]eicher, nleht ge]~oppelter Atome die Zust~nde in einer bestimmten ttau[igkeit auftreten.

Die Vollstiindigkeitsrelation

~l~(q)l~dq ~- ElCnl ~ (4) n

tiihrt dazu, dieses Integral als die Anzahl der Atome anzusehen. Denn

es hat fiir das Auftreten elner elnzelnen, normlerten Eigenschwingung den Wert 1 (oder: die a-priori-Gewlchte der Zust~nde sind 1), ]Cnl: be-

deutet die Haufigkeit des Zustandes n, und die gesamte Anzahl setzt

sich aus diesen Anteilen additiv zusammen. Um diese Deutung zu reehtlertigen, betraehten wir etwa die Be-

wegung eines )~assenpunkCes im dreidimensionalen Raume unter der Wirkung der potentlellen Energie U(x, y~ z) ; dann laute~ die Diilerential-

g]eichung (1) 8z:ff

3 ~ , + ~ ( W - - U)~ -= 0. (5)

1) Bei tier mathematischen Durchfiihrung dieser Arbeit hat mir Herr Prof. N. Wiener aus Cambridge, Mass., in freundlichster Weise geholfen; ich mSchte ihm hier meinen Dank dafiir aussprechen und bckennen, dall ich ohne ihn nicht zum Ziele gekommen w~re.

2) Die Dichtigkeitsfunktion setze ich tier Einfachkeit halber gleich 1. 53*

806 ~ax Born,

Setzt man hlerln tfir W, ~ einen Eigenwer~ Wn und eine Eigenfunktion ~n ein, multipliziert die Gleiehung .mi~ ~m* und integrier~ iiber den Ranm (dS ~ - d x d y d z ) , so erh~lt man:

~* ~ . + --~r (w~-- v) - -

Nach dem Greenschen Satze glbt das mi~ Riieksicht auf die 0r~ho- gonalit~tsrelatlonen (9,)

t 8 ~ ~ / h~ e,,,,r dS. 6"nWn = I S I (grad !/"n " grad Ibm) q- (6)

Jedes Energleniveau lii& sich also als Raumintegral der Energledichte der Eigenschwingangen auffassen.

Bildet man nun fiir Jrgend eine Funktion das entsprechende Integral

h a

s o erhal~ man durch Einsetzen der Entwicklung (3) dafiir den Ausdruek

W = ~ i~.l~W.. (8)

Gem~l~ unserer Deutung der lcn[ ~ ist die rechte Seite der Mittelwert der Gesamtenergie eines Systems yon Atomen; dieser ~Sittelwert lgl~t sich also als Raumlntegral der Energiediehte der Funktion ~ darstellen.

Aber sonst l~l~t sich niehts Wesenffiehes zugunsten Unseres Ansa~zes vorbringen, solange man innerhalb der periodischen u bleibt.

w 2. Aper iod i sche S y s t e m e . Wir gehen also zu den aperlodi- schen Vorgangen fiber und betrachten der Einfachheit halber zunachst den Fall der geradlinig-gleiehfSrmigen Bewegung langs der x-Achse. Hier lautet die Differentialgleichung:

d ~ $ 8 =~ p d z ~ + 1 ~ - . . O, ~ --- --h~ W; (1)

sie hat als Eigenwerte aUe positiven Werte W und als EigenIunktionen

Um hler Gewichte und Haufigkeiten definleren zu k~nnen, mul~ man vor allem die Eigeniunktionen normieren. Die zu (2) analoge Integralformel versagt (das Integral ist divergent); es lieg~ nahe, sta~ dessen den ,]~iitelwert" zu benutzen:

+ a + a

a--~= 2a [~(k,x)i~dx.--'lim~_.~=~ d ~ ' e - ~ t z d x - ' - 1; (2)

Quantenmeehanik der Stoflvorg~iuge. 807

darans folgt c = 1, und man hat als n o r m i e r t e E i g e n f u n k t i o n e n

, (~,x) ----- e -+~k~. (~)

Jede Funktion yon x lg~t sich aus diesen zusammensetzen. Dabei ist noch der Mal~stab der k-Skale zu wahlen, d.h. es is~ festzusetzen, au[ welehen Absehnitt gerade das Gewicht 1 fallen soll. ttierzu betrachtet

man die treie Bewegung als Grenzfall einer periodischen, namlieh der Eigenschwingungen eines endliehen Stiiekes der x-Achse. Dann ist be-

kanntlieh deren Anzahl pro Langeneinheit und pro Intervall (k, k ~- z/k) (1) glelch 2 ~ = z/ , wo ~ die Wellenl~nge ist. Man wird also

1f - - c (l~) e i k �9 d k (4) (x) ---- c (k) ~ (k, x) d 2

mit c ( - k) = c* (k) (5)

setzen and erwarten, dal~ dann ]c(k)[ 2 das Ma~ der tt~ufigkeit fiir das

Intervall ~ dk sein wird.

Ftir ein Gemenge yon Atomen, bei dem die Eigenfunktionen in der dutch c (k) gegebenen Verteilung auftreten, sei die Anzahl analog zu w 1, (4) dargestellt dutch das Integral

1 ;dx ~_~ e ~kxdk ~. J c (k) (6) f [# ' (x) l~dx - - (2~)~

Nehmen wir den Fall, daft nut das kleine Intervall k~ ~ k ~ k 2 besetzt ist, so wird

c~ k2

c(k)e ikXdk ~__ ? eikXdk = - - - - ( e i k 2 x - - e i k t x ) , ~X -- oc, kt

wo ~ einen Mittelwert bedeutet. Daher hat man o o

f I~)(X)I 2dx'~--'~ ~2[gl! I--~dx @ik2x__eiklx)(e_ik2z__e_iklx ) - - o o - - ~

]~l ~ . C d x 2k2--1q - - 4 | ~-5.2 sin J ~ x 1 4 ~ = ~-~ l~ I ~ (1~, - 1~,).

- - o r

ist der Impuls der translatorisehen Bewegung, der zur Eigen- ~ n n

funktion (3) gehSrt, nach de B r o g l i e gleich

h h I o - - - - k.

2 z (7)

808 Max Born,

Es ist vielleicht nicht iiberfliisslg zu bemerken, dal~ man dieset~ auch als

,,Matrix" au[Iassen kann; dabei hat man die ~[atrizen im kontinuierliehen

Spektrum nicht dutch Integrale, sondern durch Mittelwerte zu definieren, also h i e r

+a

h lim 1 I 0 ~2 (k', x) ~(k,k')-- 2~i a ~ | ~ a . ~,*(k,x) Ox dx

+a

_ _ ~ h lira ~ e - t k ~ i k ' e t k ' ~ d x . 2 ~ i a---~

- - a

(k,l~') = ~ 7~ ~fir k = ~', (8)

o , k ~ k ' . 2=

Ersetzt man nun d k ~ k ~ - k I d u r e h ~ - z / i o , so wird schliel~lich

~u(x)12dx = I~-j ~ h (9)

Damit hat man das Resultat, da~ eine Zelle der Liingenausdehnung z /x ~ 1 und der Impulsausdehnung z/2 ---~ h das Gewicht 1 hat, in Ubereinstimmung rMt dem an tier .Erfahrung vielfach best~tigten Ansatz yon S a c k u r und T e t r o d e l ) , und dal~ le(k)] ~ die Haufigkeit fiir eine

h Bewegung mi~ dem Impuls p ~ ~ k ist.

Nun gehen wir zu beschleunigten Bewegungen fiber. Hier kann man nattirlich an sich elne bestlmmte Verteiltmg der Ablau~e in

analoger Weise definieren. Aber dies ist bei den Stol~prozessen keine rationelle Fragestellung. Bei diesen u hat jede Bewegung vor und naeh dem Sto~e eine geradlinlge Asymptote. Das Teilchen be- fiade~ sich also sehr lange (ira Vergleich zur eigentliehen Stol~dauer) vor nnd nach dem Sto~e ira praktisch [reiea Zustande. Man kommt daher in Ubereinstimmung mit der experimentellen Problemstellung zu folgender Au[fassung: Fiir die asymptotische Bewegung vor dem Stofie sei die Verteilungs~anktion [c (k)I '~ bekannt; kann man daraus die Yer- teilungshmktion nach dem Stol~e berechnen ?

Dabei ist natiirlich hier von einem stationaren Teilehenstrom die Rede. Mathematiseh lauft daher die Aufgabe heraus auf ~olgendes: Das

1) A. Sackur , Ann. d. Phys. 86~ 958, 1911; 40, 67, 1913; H. Tetrode, Phys. ZS. 14, 212, 1913; Ann. d. Phys. ~8, 434, 1912.

Quantenmechanik der Stoflvorg~inge. 809

stationare Schwingungsfeld ~ muff aufgeteilt werden in einlaufende uad auslaufende Wellen; diese sind asymptotisch ebene Wellen. Man stelle

nun beide durch Fourierintegrale der Form (4) dar und w~hle die Koeffizien~enfunktion c (k) fiir die einlaufenden Wellen willkiirlieh; dann

soll gezeig~ werden, dal3 die c (k) fiir die auslaufenden Wellen vtillig fest- gelegt sind. Sie liefern die u in die ein vorgegebenes Teilehen-

gemisch durch die StSge verwandelt wird. Um die Verhal~nisse klar zu iibersehen, behandeln wit zun~chst den

eindimensionalen Fall.

w Das a s y m p b o t i s e h e V e r h a l t e n der E i g e n f u n k t i o n e n

im k o n t i n u i e r l i c h e n S p e k t r u m bei e i n e m F r e i h e i t s g r a d . Die

S ch r 5 din g e r sehe Differentialgleichung lautet:

d~'dJ + ~8=~ ( W - - ~x))~,, = O, (1)

wo U ( x ) d i e potentielle Energie bedeutet. Wir setzen zur Abkiirzung

h~ W ------ k ~, h2 ~ ; (2)

dann haben wir d2~ k ~ a x 2 + ~ = v ~,. (3)

Wir un~ersuchen das asymptotische Verhaltea der LSsung im Unendlichen. Dabei setzen wir, um einfache Verh~ltnisse zu haben, voraus, dal3 V ( x )

im Unendlichen stfirker verschwindef als x -~, d. ]a.

K 17(x)l < x~, (4)

wo K eine positive Zahl ist 1).

Wir bestimmen nun ~p (x) durch ein Iterationsver{ahren; es sel

Uo (x) = e ~ (5)

~and u I (x), u2 (x), . . . selen diejenigen LSsungen der sukzessiven Ngherungs- gleichungen

d ~ u n d x ~ + k2 u~ --~ V u ~ _ l ,

die fiir x - + + ~ verschwinden. Dann is{

o o

u~ (x) z ~ u~_~ (~) g(~) sin k (~ - - x) d ~,

1) Durch diese Annahme ist der Fall des reinen Coulombschen und des Dipolfeldes ausgeschlossen.

810 ~Iax Born,

wie man direkt verifizieren kann. Man hat

1 I z

Wir zeigen nun, dal] 1 ( ~ ) "

I .(x)l _-<

ist. Fiir n = 0 ist das richtig, denn aus (5) folgt ]% (x) I ~-~ 1. Nehmen wir nun an, es sei richtig fiir n - 1:

1 { g ~ n-1.

_-__ (. 1)! \/-~] '

dann folgt

1 1 / K , n - ~ f 1 ( ~ ) " lu~(x)I "~ k ( n - - i ) r ~k-)" K ~ - n t - i ~ - 2 d ~ : ~.y - - ,

wie behauptet worden war.

Folglich konvergiert die Reihe

,, (x) ---- ~ ] u. (x) (6) n ~ O

glelckma~ig ftir jedes endliche Interva]l; sie l a ~ sich beliebig oft glied- weise differenzieren und ist daher, wie leicht zu sehen, die gesuchte L~isung unserer Ditferentiulgleichung.

Da aber alle u v u2 , . . , ftir x--~ z7 ~ verschwinden, so ist die Funktion ~p im positiv Unendlichen asympt0tiseh zu u 0 ~--- d kz.

Genau so zeigt man, dab es elne Ltisung glb~, die fiir x -~ -t- asymptotisch zu e - i k z ist. Da die a~lgemeine Ltisung nur zwei Kon- stanten hat, so mull sie asymptotisch fiir x--~ + ~ die Form

Ip+ (x) ~ ae ik:~ ~ be -ik~ (7)

haben. Hier tri t t die Entartung des Systems in Erscheinung; zu ]edem Energiewerte W geh(iren zwei Werfe k, - - k und zwei linear unabhangige LSsungen.

Ganz ebenso folgt, dal] die allgemeine L(isung Iiir x --~ - - c~ die- selbe Form haben mu~:

V-(X) ----- Aeik~ + Be -ik~. (8)

Dabei sind die Amplituden A, B bestimmte Funktionea von a, b.

Quantenmechanik der Stoflvorgange. 811

Wir zerlegen nun die LSsung in ein- und auslau[ende Wellen; dazu

fiigen wir den Zeitfaktor e ~k~t k v ~ 2 ~ v ~ - ~ - hinzu und setzen:

i% t } a ~-- cee , A ~ C ae i cat

b - ~ Ca e - i g a t , B ~ Ce e - ~ e t . (9)

Dann wird ~)+ (X) ~-- cee i k ( x+v t+ge) -j-Ca e - i k ( ~ - v t + v a ) ,

(10)

Die reellen Teile der mit dem Index e bezeichneten Glieder stellen die einlaufenden Wellen darl die der mit a bezeichneten Glieder die aus-

laufenden Wellen.

Uns interessiert der Fall, dal] nut eine Welle bei X ~ - + oo eln-

l~uft; dann ist Ce ~ 0, iiberdies kann man wil!ktirlich ~ , ---~ 0 setzen.

Dann hat man

~+ (x) = c~J ~(~+~t) + cae-ik(~-~t+~), (11)

~b- (x) - ~ C a e i k (:~ + v t+ ~a).

Wir haben gezeigt, d'd] dureh die Integration ~b- (x) dutch $+ (x) be- stimmt ist, d. h. A, B sind bestimmte Funktionen yon a, b. In unserem

Falle C e --~ 0 ist B ~-- 0, also hat man zwei Gleiehungen der Form:

A---- A(a,b), ] (12)

0 ~ - B (a, b).

Aus der zweiten kann man b durch a ausdrticken und erh~lt dann aus

der ersten A durch a ausgedriickt. Das bedeutet aber, dal] die Kon- stanten der reflektierten Welle und die Konstanten der durchgehenden

Welle sleh aus der Amplitude der elnfallenden Welle berechnen lassen.

]~an kann nun zeigen, dal] zwlschen den lntensit~ten der drei We]len elne Beziehung besteht. ]~[an gewinnt diese am einfachsten mit Hilfe des Energiesatzes.

w D e r Sa tz yon der E r h a l ~ u n g der E n e r g i e . Um diesen S a t z abzuleiten, gehen wir auf die]enige Form der Sehr6d inge r schen Dif[erentialgleichung zuriick, bei der die Voraussetzung zeitlich rein

periodischer Schwlngung noch nicht gemacht ist, also auf eine Wellen- gleichung der Form

8 ~ 1 8 ~ O. (1) Ox ~ v ~ r t ~ - -

812 ~ax Bo~,

Dabei isl v die Wellengeschwlndigkeit.

Gleichung, wenn man mit de B r o g l i e ~)

h

setz~; dann wird

1

Man kommt zu S c h r i i d i n g e r s

h 2 1 tt ~ u~ ~ 2 F

# - - ) 2 h ~v ~ - W ~ -W ~ - ,

1 2it v- ~ - - ~ ( w - ~). (2)

den Faktor Sucht man nun L~isungen, deren Zeitabhiingigkeit durch 2 ~ i W t

e~ ~t~t ~ e h gegeben ist, so erhiilt man

d ~ ~p 8 ~2 F dx ~ +--~h~- ( W - - V) V = O.

Wir fassen nun aber die allgemeine Form (1) ins Auge und multiplizieren

o v o~ ,

die Gleichung mi~ a at

l~ua ist

02~ 0 ~ 0 (~OV 0 ~ d x ~ O t - - O x \ ~ -Or-)

a a~ a~

(3)

Ox O x O t

a (o%'. at 2 ~ax l

Daher erhalten wit, wenn v nur yon x abh~ngt:

0.

Integrier~ man tiber den Raum, so erh~lt man

d x O. (4)

Hier ist, wie in w 1 gezeigt wurde, das Raumintegral als die im Raume vorhandene Gesamtenergie zu deafen, k b e r ihr Ausdruck interessier~ uns nlcht, da es uns auf die ein- und ausstr(imende Energie ankommt,

1) Wir vernachlassigen die Relativit~t und rechnen mit der klassischen Mechanik.

Quantenmechanik der StoflvorgEnge. 813

die dutch die Grenzglieder dargestellt wird. Far einen zeitlich periodi- schen Vorgang verschwindet das Zeitmittel des zweiten Gliedes, und man erhglt unter Benutzmlg der in w 3, (7), (8) eingefiihrten Bezeichnungen

d e - d e - de+ d~p+ d x c)t - - c)x Ct (5)

Diese Gleichung besagt, dal3 die einstrSmende Energie glelch der aus- strSmenden ist. Indem wir hier die reellen Tefle der Ausdriicke w 3, (10) einsetzen, erhalten wit:

c3 - - c2 ---- ~2 - e3, (6)

oder im Falle Ce ~ 0 [wie in Gleichung (11), w 3]:

ce 2 = c2 -~ Ca 2. (7)

Das bedeutet aber, dal3 fiir ~ede Elementarwelle yon gegebenem k die einfallende Intensit~t aufgespalten wird in die Intensitaten der belden naeh rechts und links zerstreuten Wellen; oder~ in der Spraehe der Korpuskulartheorie: Trifft ein Teilchen mit gegebener Energie alas Atom, so wird es entweder reflektiert oder lauft welter; die Summe der Wahr- sehehfliehkeites far diese beiden Ereignisse ist 1.

Der Satz yon der Erhaltung der Energie hat also die Erhaltung der Teflchenzahl zur Folge. Der Grund hierfiir liegt in der Entartung des Systems; zu iedem Energiewert gehSren mehrere Bewegungen, und diese werden in eine Beziehung gesetzt.

w V e r a l l g e m e l n e r u n g au~ drel F r e l h e l t s g r a d e . Die T r g g h e i t s b e w e g u n g . Wir betraehten nun ein im Raume unter der Wirkung der potentiellen Energle U (x, y, z) bewegliehes Teflchem Dann hat man analog zu (1) die Differentialgleichung:

1 r A ~ v~ O t ~ - - O, (1)

wo v in der Naherung der klassisehen Meehanik wieder dureh (2), w 4, gegeben ist. Hier lautet der Erhaltungssatz

div

oder integriert fiber den Raum:

. 0~ 0~- ~- (grad ~)~ § j 4 s z o, (3)

814 ~ax Born,

wo d S ~ d x dy. dz und d a d a s Element einer unendlich fernen ge- sehlossenen Fl~che mit der aul~eren Normalen v ist. Ffir zeitlich periodische Vorgange folgt daraus, dal3 das Zeitmlttel

f 0 ~ ar da o (4) c)t 0u

o~

ist. Fiir diesen Fall lautet die Differenbialgleichung

z/V~-( k 2 - v ) v ~--- O, (5) W O

k ~ ~__ 8 ~ g 8 ~ g h~ w, V(x ,y ,~)_ h~ ~(x,y,~) (6) gese~zt ist.

Fiir die T r ~ g h e i t s b e w e g u n g ( V - - - 0) hat man die Differential-

gleichung z /~ , -~ k2~ = 0 (7)

und die Liisung r ~ e~(~); (s)

hier ist ~ der Yektor x, y, z, der Vektor f geniigt der Gleichung

er ist bis auf einen Faktor gleich dem Impulsvektor

h P = 2 ~ ~" (10)

h h k Die de Brog l i e sche Wellenlange wird durch ~- : p = IP] ----- 2--~

gegeben. Die Ltisung (8) ist im Sinne der Mittelbil&Jng [siehe (2), w 2]

als normlert zu betrachten. Wir bezeiehne~ eine Funktion yon x, y, z

kurz mit f(r), eine Funktion yon k~, ky, kz mit f(~) usw. Es sei

d S ~ dx dy dz.

Die allgemeinste Ltisung yon (7) ist

~e (~) d k (r ~) d co, e (~) ~--- c* (~), (11 ) r (r) (r) U 0

wo ~ ein Einheitsvektor und d co das Element des Raumwlnkels ist. Sic ste]lt Traghei~sbewegungen aller mSglichen Richtungen mit derselben

Energie dar; naeh unseren Prinzipien ist I c(~)l ~ die pro Raumwinkel- einheit gereehnefe AnzahI der Teilehen, die in der Riehtung ~ fiiegen.

Wir leiten eine asymptotisehe Darstellung ftir u o ab, die deutlich zeigt, wie sich u o im Unendllehen verh~lt. Obwohl man das Resultat sehr einfach erhalten kann, wollen wir es hier mittels einer allgemelnen Methode gewinnen, die sich auf die sp~ur z~ behandelnden verw~ckelteren

Quantenmechan ik der Stollvorg~nge. 815

Falle fibertragen lal~t. Wir denken uns ein neues reehtwinkliges Ko- ordinatensystem X, Y, Z eingeftihrt mit ItiIfe der orthogonalen Trans- formation :

X = a 11 X + (~12 ~" -~ a l 3 Z, X : a 11 x -~- a 21 Y ~ a] 1 z, )

Y = a 2 ~ X - ~ - a ~ - ~ a ~ s Z ' Y - = a l ~ x ~ - a ~ y - ~ a ~ z ' i (12) Z = a 31 X -3[- aa ~ Y -4- a 33 Z, Z : a~ ~ x -~ a~ ~ y -~. a 33 z.

Zu gleieher Zeit ffihren wir start des Einheitsvektors ~ den neuen Ein- heitsvektor ~ mit Hilfe derselben or~hogonalen Transformation eln ; dann geht das Raumwlnkelelement d co in ein neues d ~ fiber undes wird

~6 = 0r174 (~3)

Nun wahlen wir das neue Koordinatensys~em insbesondere so, dal~

X = O , Y = 0 werden; dannis t

(14)

(15) p

Z = r -~- ~/ x~ -~ y~ + z ~.

Unser Integral wird

u o (x, y, z) = u o (al~ Z, a ~ Z, ~s~ Z)

Nunmehr ffihren wir ~fir ~ Polarkoordiuaten ein:

| = sin@cos~, ~ y = sin~sinq~, ~ z ~ - cos@ (16)

und setzen cos@ = ~; dann wird 2~ + I

�9 ) e i k Z ~ U o = - - ' ~ d T y d f t c ( ~ l - - t e 2 ( a l l e o s c f l ~ - a l ~ S l n C f l ) ~ - t e a l 3 . . . 0 - - 1

Durch partielle Jntegra~ion r daraus: 2~

u~ - - i k Z dg~ { c ( a l s ' a a s ' a a s " ~ e ~ k Z - - c ( - a 1 3 , - a ~ , - a 8 3 ) e - i k z }

0

1 idq~ ~ c(~l- - / t~(a l leos(p ~k al~sinq~ ) ~_ t ea l s , . .)e~kZ~dtt" i k Z

0

Noehmalige Auwendung desselben Prozesses zeigt, daI] das zweife Glied

x x .. e~n, wie Z -2 verschwindet. Setz~ man n u n Z = r, al~ ~ Z - - r ' "

so erhglt man die asymptotische Darstellung:

2 g c x y , z ' x y = - - 6 i k r - - 6 ~

816 ~ax Born,

oder in reeller Sehreibweise m i t e ----- I cletkv:

u ~ ( x , v , ~ ) - - - V c - ( I S ) ~ r ~ r

Dies bedeutet, daJ] sieh u o asymptotisch verh~lt wie eine Kugelwelle mit einer yon der Riehtung abhangigen Amplitude und Phase; die Intensit~t

als Funktion der Richtung ~ --- - bestimm~ die ttauiigkeit der im Raum- ?-

winkelelement dr mit der Achse 6 ankommenden Partikel:

Oodr ~---Ic(~)]2deo. (19)

w 6. E l a s t i s e h e Zusammens tS l ] e . Wir gehen nun zur Inte- gration der allgemeinen Gleiehung (5), w 5

~ , + (k ~ - - V)~, : o (~)

tiber; sie stellt physikaliseh den Fall dar, dalt ein Elektron gegen ein nlcht erregbares Atom stSl]t.

Wie in w 3 bestlmmen wit ~ dureh ein ][terationsverfahren, wobei als Ausgang die eben eingeftihrte Funktloa Uo, (11), w 5, dient. Sodann

bereehnen wit ul, u~, . . . . der Reihe nach aus den Naherungsgleichungen

Au,~ + k~u,~ --~ Vu~,_~ = G ~ - ~. (2 )

Der Greensche Satz llefert die LSsung, die auslaufenden Wellen mit dem Zeitfaktor d kvt entspricht, in der Form:

I e_iklr_r,[ 1 ig~_~(r') r' dS' , (3)

wo r' den Vektor mit den Komponenten x', y', z' bedeutet und d S' ~ - dx' dy' dz'. Die Konvergenz des Verfahrens lal~t sieh beweisen auf

Grnnd der Annahme, da~ V wie r -~ zu Null geht~); doch gehen wir nicht darauf ein, sondern nehmen an, dal] die Reihe

or

(0 = : E ~- (~)

die LSsung darstellt. Wir untersuehen das

schreiben ausfiihrlich : asymptotische u yon un(~ ). Wit

un (x, y,z) = - dx 'dy 'dz ' . ~ f ( ~ - x ' ) ~ + ( y - y ' 7 + ( z - ~ ' ) ~

1) Hierdurch ist der Fall yon Ionen ausgeschlossen; bei diesen wird man nicht eine geradlinige Bewegung, sondern eine ttyperbelbahn des Elektrons znm Ausgang des Ni~herungsverfahrens nehmen miissen. Siehe hierzu eine demn~chst erscheinende Abhandlung yon J. R. Oppenheimer, Proe. Cambridge Phil. Soc, 26. Juli 1926.

Quantenmechanik der Stoflvorggnge. 817

Nun fiihren wir wieder die in w 5 angegebene Drehung des Koordinaten- systems aus und unterwerfen die Integrat ionsvariabeln derselben Drehung.

Dann wird u~ (x, y, z) = u~ (a~ ~ Z, a~ a Z, aa 3 Z)

iIi -~/e-~'~vx'~+r'~+(z-z')~ (4) 1_ F'~-I (X" Y"Z')vX,.~ @ r,2 -47 ( Z - - Z @ dX'dY 'dZ ' ; 4 ~

dabel ist

F'n__I(X',y' Z r ~ Fn_~(allX' @a12Y' @alaZ',...). (5)

Nun ftihren wit Polarkoordinaten ein:

X ' - - ~ 0 s i n # c ~ Y' ~--- @sinffsinq~,

Dann wird 2 ~

1 , id9 ~ Un ~ 4

0

Z' ~-- Q cos@.

[ sin0" d 0~.F~'~_ i (@sin@ cos ~ , . . . )

0 G--ik V~2 + Z2-- 2~ Zcos~ 9

~Q~ § ~ - 2 o Z c o s ~

Endlieh ftihren wir start & die Integrationsvariable /, ein dutch

l/ q 2 q- Z ~ - 2 0 Z c o s ~ ~ Z# ,

Z s in~ dff ~ - - t t d / , ;

Q

dabei werden die Grenzen der IntegraGon i

und cos &, sin I~ werden gewlsse Funktionen c (~, Z, ~), s (9, Z, ~), die an der un~eren Grenze die Werte c = 1, s ~ O, an der oberen die Werte

c ~ - - 1 , s = 0 annehmen. So erh~.lt man

un - - 4 I

0 0 ] o I

Durch partlelle Integrat ion erglb~ slch hieraus, wie in w 5, die asym-

ptotisehe Darstellung :

o 0 - - F,~_~ (o, o, - - O) e - ' : k l z - ( ' q .

818 ~Iax Born,

ttier ist nach (5)

F~,-i(0, 0, 0) = Fn-l(a13@, a ~ ) , a33Q) ---- F n - i - -~ ( . ? , 0Y ---7.)

~n-i(O'O'-e)-~ 'n- i ( . -alaQ'-a~'Q'-aase)=tf ln- i " r ' r ' "

Also wlrd

Un - 2 ikr Qd~Fn-i ' r ' 0

r

2 i k r #dpFn-~ - ? , . ' . e i k o - ~ ~dgF~-~ - - 7 ' " " e-ikq" 0 r

Hier versehwinde~ das letzte IntegraI fiir r --> r denn da wir voraus-

setzen, da$ I r l < ~ - ~ , so ist ~ege - luol < br-~:

A IF~- l l < 7 ,

also

~[ithin erhalten wir sehliel~lioh:

% - - 2 ~ ' r ~)de F ~ - I ' " . . . . ~ - l \ - - r ' "'" e-i~e (6) 0

Dies last sich aber noch auf eine durchsichtigere Form bringen. Dazu -fiihren wir den Fourierkoeffizienten der FunktiorL Fn-1 eln:

1 fn--1 ( ~ ) - (2~)3 f f f F n - - 1 (r)e-~r~dS

1f fl - - (2~) 8 r~dr dcoF~_i(r~)e-i,'(~). (7)

o l~'ach dem schon zweimal ausgefUhrten Vcrfahren bestimmen wir den ~symptotisehen Wert und erhalt;en:

f~_ ~ (k~, k~. k~) c~

~ Ir~(~'~-~ ~ ~-~I _ ~ , ~ ,~ )~r__~_~( ~, ) 0

Quan~enmeehanik der Stoflvorg~nge, 819

Daher wird: f ~ - i - - ] ~ T ' - - k Y ' r - - k

0

Setzen wir das in (6) ein, so erhalten wir seMieglieh:

u~ (x,y,z) = 2 ~ f : _ i ( - - ~ ~-, - - k -y , - - k ~--~ e - i ~ (9) , r r r ~ r

Vergle~ehen wir das mit den Formeln (11) und (18) des w 5, so sehen wir, daft ein Beobachter im Unendlichen die zerstreute Strahlung als ebeae Wellen mit der yon der Richtung 6 abhangigea Amplitude

k _ I = 2zc

ansehen wlrd; also ist die Wahrseheinlichkeit, dai] eln Elekirou in ein Raumwinkelelement rico mit der mittleren Riehtung ~ abgelenkt wird:

oo

O dco = ~ k 2 I ~-~ f ~ ( - - k~)l ~ de~ (10) ? ~ 0

Die gesamte Liisung hat asymptotisch die Form

Fiigt man hier den Zeitfaktor e ikvt hinzu, so ergibt die Formel (4), w 5 [elcht die ,Erhaltung der Teilehenzahl".

In erster Naherung hat man:

@ = I f : ( - (11) wo man entweder f0 streng aus der Formel

fo (f) - - (2 1~)3 f F 0 (r) e -~(t~) d S (12)

bereehnen oder gleieh den usymptotischeu Ausdruck [nach (8)] oo

f2: (-- t,',~) ~ 1 f 4 ~ 2 i k o d p { F o ( e ~ ) e i k ~ 1 7 6 } (13) o

benutzen kann. w 7. U n e l a s t i s e h e r E l e k t r o n e n s t o g . Ein Atom (oder elne

5iolekel; wir wollen immer yon ,,Atom" sprechen) set durch die Hamil tonsche Funktion H a (p ,q) gegebenl); die Schr~idingersche

i) Wir schreiben karz p, q start Pl, s " 'Pf, ql, . " qf.

Z e i t s c h r i [ t f i i r P h y s i k . Bd. X X X V I I I . 5 4

8 2 0 ~ a x Born,

Differentialgleichung ~ r dieses System sei gel~ist, man kenne also die Eigenwerte Wn a und Eigenfunktionen ~pa (q), die die Gleiehungen

[H a - W~ a, ~pn a] = 0 (1) ideafisch befriedigen.

AuI dieses Atom stofie ein Elektron; die Hami l tonsche Funktion des freien Elektrons ist

1 H ~ = - - (P~ + ~ + ~2) ,

2g

die Eigenwerte sind alle positiven Zahlen W e und die Eigenhmktionen

8 ~2# e +-k(r~), k ~ ~ - h~ We; (2)

die allgemeiae LSsung, die einfallenden Wellen entspricht, ist

r = ~c ~ (8) e~k(~,) d ~ ; (3) ~ 0

sie geniigt der Differenti~lgleichung

= ~ % = o. (4)

Zwisehen dem Atom und dem Elektron bestehe die potentielle Energie

(q; x, y, ~). (5) Die Wechselwirkung zwischen den beiden Teilchen fiihrt auf die

H ami l t o n sche Funktlon : H = H ~ + ~ HO),

WO H ~ = H a + H ~, ]

~, Ho) . ~ U. f Das ungestiirte System hat die Liisung

a n

Die S c h r 5 d in g e r sche Differentialgleichung fiir das gestiirte System

[ H - - W, V] = 0

lSsen wir dutch den Ansatz ~2 = ~p0 _+_ Z ~2(1) ~_ o , ,

Dann erhilt man die N~herungsgleichungen ,I,(1)~

[H ~ I~~ ,I, (~)] Tr.,.(1) - - "rnkJ = - - w q~nk~

deren llnke Selten tibereinstimmen. Wir sehreiben sie ausfiihrlieh:

Hfl / . 1 (1 ) ] , ( I ) ] 0 ./.(1) tPnkJ -71- [ H ~ , - - W n k r :

Quantenmechanik der StoBvorgange. 821

oder h ~

[~~ * ~ ] - s ~ , - - -~ ~ ~ " ~ - " ~ ~ = -

D i e s e Gleichung suehen wir dureh den Ansatz zu 15sen:

m

d.h. durch eine Entwicklung nach den Eigenfunktionen des ungest(irten Atoms allein, deren Koeffizienten noeh unbestimmte Funktionen des Orts-

vektors ~ des Elektrons sin&

Nun wird nach (i)

H a~ ,(1) 1 U (1) "

m

- - ' ~ j u(1) . lcV a a - - n m ( ~ ) - - m ~ m - m

Die gegebene Funktion reehter Hand entwickeln wir in derselben Wdse:

m

die Koegizienten bilden die )Iatrix, die der potentiellen Energie zu-

geordnet ist. Setzen wir diese Ausdriicke in die Diiferentialgleichung ein, so erhalten wlr

:g ,~,iu.=.l W:~_s=___~.~u.m_~=, + we

m

Durch Gleichsetzen der Koeffizienten yon ~b a gewinn~ man hieraus eine

(:) . 8 ~2 Differentialgleichung ~iir Unto (r), wir multipllzleren diese mit - - h-- T -

und setzen zur Abkiirzung

8 ~ 8

h '

dann flnden wir (i) 2 (I) z/u.~, q - / c ~ u ~ ~-~ V.~,p~. (8)

Damit haben wir das Problem auf das vorher behandelte des unelasti- schen Stol]es zuriickge[iihrt; denn aneh alle [olgenden Ngherungen [iihren zu dersdben Wellengleiehung. Der Unterschied gegen friiher aber ist Iolgender: Jedem {~bergang (n -~ m) des Atoms entsprieht eine be- sondere Di[ferentialglelchung, deren rechte Sdte durch das entsprechende

54*

822 ~ax Born,

Matrixelement der potentiellen Energie bestimmt ist. Ferner trit t an die Stelle des k-Wertes der einfallenden Welle jedesmal ein anderer Weft kn~, dem die Energie

h ~ = k~m h a W ~ W~ m 8 ~ t~ -~-- Vnm + (9)

�9 entspricht. I-Iieraus folgt bereits das qualitative G rundgesetz des Elek-

tronenstol]es: Die Energie des Elektrons nach dem Stol]e ist im all- gemelnen nicht gleich der vor dem Stol]e, sondern um eine Energiestu[e

h a Ynm des Atoms davou verschieden. Zu iedem Stol3prozel3 geh(irt elne Wahrscheinlichkeitsf unktion

qOnm -~- ~ k2nm[f~ ~ ( - - knm~)l ~, (10)

die man mlt Hilfe der Formeln (12) oder (13), w 6, berechnen kann.

w 8. P h y s i k a l i s c h e F o l g e r u n g e n . Wir zeigen zunachst, dal] unsere Formeln das qualitative Verhalten der Atome bet StSl]en richtig

wiedergeben, also die Tatsaehe der ,,Energiesehwellen", die man immer als den Grundpfeiler der Quantentheorie und den gr0bsten Widerspruch

gegen die klassische Mechanik angesehen hat.

Wir ordnen die Energieniveaus des Atoms nach der GrSl~e:

wg < r~qa < w~ < . . . Der Index 0 bezeiehnet also den Normalzustand, und es ist

a w a ~a hvnm---- . - - ~ 0 iiir n ~ m.

Wir betrachten zunitehst den Fall, dal~ das Atom anfangs im Normal- a

zustande ist. Dann slnd alle v~o ~ 0, und aus (9), w 7 fo]gt, da~

w o ' ~ = w ~ - h ~ a o.

Is t nun W ~ ~ h v~o , so wiirde W, ~o~n fiir ~n ~ 0 negativ werden, was unmiiglich ist; also muB m ~ 0 seth, mithin

W ~ o = W ~.

Es finder also ,elastische" Reflexion start, mit der Ausbeute ~oo" Lal]t man W ~ waehsen, bis

h v~o ~ W ~ ~ hv~o,

so wird Wo~nur positiv fiir m ~--~ 0 und m---- 1; man hat also ent- weder elastisehe Reflexion mit der Ausbeute ~oo oder Resonanzanregung mit der Ausbeute Oo1:

Wachs t W ~ wetter, b i s

hv~o ~ W ~ ~ hv~o, ist, so gibt es drei Falle:

quantenmechanik der Stoflvorg~inge. 823

Elastlsche Reflexlon mi~ der Ausbeute 400 , Anregung des ers~ea

Quantensprunges mit 4 o v Anregung des zweiten Quantensprunges mlt 4 o v

In glelcher Weise geh~ es welter.

Nun fassen wir den Fall ins Auge, daft das Atom anfangs im zweiten a a

(n ---- 1); dann ist V:o ~ 0 nnd v l~ ~ 0 f f i r Quantenzustand ist

m ~ 2 , 3 , . . .

Man hat also W:o = W~ + hv~o,

W h = W ~,

W e - - W e h a m ~ 2 , 3 , l m - - - - ~ m l ~ " " "

Ist nun W? ~ h v2:,a so ist W:,,,e negativ fiir m ~ 2, 3, . . . ; daher gibt

es nut entweder einen Stoi] zweiter Ar t mit Energiezunahme des Elek-

trons am h veto and der Ausbeute O : o , oder elastische Reflexion mit der

Ausbeute 4 : :.

Wird h v~ 1 ~ W~ ~ h v~ 1,

so tritt zu diesen Prozessen noch die Anregung des Zustandes n ~ 2

mit der Ausbeute 4~ V So geht es wetter. Im allgemeinen Fall, wenn das Atom anfangs im Zustande n ist,

gibt es fiir a

W e ~ hVn+l,n

nur StSfie zweiter Art, bet denen das Atom nach den Zust~nden a a

0, 1 , . . . ~ - i herunter[~llt und die Energlewerte h Vnoi hun1, �9 . . hun, n - :

an das E l e k t r o n abgibt, mit den Ansbeuten 4 . o , 4 ~ : , . . . 4 . . . . . 1, and

die .elastlsehe Reflexlon 4nn . W~chst W e fiber h v a + : , n heraus, so

treten Anregungen hinzu mit den Ausbeuten 4n, n + 1, 4~. n + 2, .. �9 4n, ~,

w e n n

a W e a

Die n~ehste Aufgabe w~re die Formel ffir die Ausbente (10), w 7 zu

dlskntieren; doch wollen wlr uns hler mit einer ganz vorl~uflgen, wohl

auch reeht anfechtbaren Betraehtung begnfigen. Wir nehmen an, dal~

das Potential U naeh Potenzen yon r - 1 entwiekelt set; ffir ein neutrales

Atom hat man dann in erster N~herung die Dipo]glieder

e

u(~, v, z) = ~ @ 0, (1)

wo ~ (q) das elektrisehe Moment des Atoms ist. Diesem ordnen wlr die

Matrix ~,, m zu. Sodaa~ wird naeh (6), w 7:

v ~ - - h ~ �9 ( 2 )

824 Kax Bom,

Nattirlich kann dieser Ansatz nur richtig sein fiir Elektronen, die in be-

tr~ehtlichem Abstand yore Atom vorbeifiiegen. Wi t beschr~nken also

unsere Betrachtnng auf solehe E]ektronen, ftir die r > r 0 istl), und sehreiben daher naeh (13), w 6:

o0

1 I f ~ ~ ) = 4~2iknm @do {Fnm(o6) e--ieknm-Fnm(--p6)eieknm}.

to

Wir nehmen nun an, die ankommenden Elektronen bilden eln paralleles

Biindel, entspreehend elner ebenen Welle; dann ist

- - h~ (?~ ~, ~) ~ Nunmehr wird

i ~ k ~ f ~ r ( - - 1 ~ ~) ---~ 4 ~ ~te ( ~ , ,) A, (3) h:

wo mit ~z ~ cosff oo

A = I ? C0S [~ (]~ COS ~ - - ]r (4)

ro oder

A = - - C i (r o [k cos ~ - - le nm]), (5)

wo Ci (x) den Integralkosinus 2) bedeutet.

Naeh (10), w 7 wird also die Ausbeutefunktion

( ~ , ~ - - - 1 6 ~ t ~ e 2 h, I ~ m , ~ I ~ ~ . (6)

Mittelt man schliel~lieh fiber alle Lagen des Atoms, so verschwinden die

Mittelwerte der Produkte zweier Komponenten yon ~nm and die Mittel- 1 werte der Quadrate der Komponenten werden gleie5 ~ ]2nm] ~, wo i0 den

Betrag des elektri.~chen Moments bedeutet. Also erh~lt man

16 ~ ~ e u *~"~ - - 3 h ~ , p , ~ . ]2 A 2. (7)

Wit wollen diesen Ausdruck ftir die Ausbeutefunktlon kurz diskutieren.

Zunaehst sieht man, da~ in unserer Naherung die Ausbeute mit l iPn m 12 proportional ist, d. h. fiir m ~ n mit den Koeffizienten der fTbergangs- wahrseheinlichkeit b~ ,~ der E in s t e i n schen Strahlungstheorie, die den Prozessen der Absorption und erzwnngenen Emission im Strahhngsfeld

1) Die Ausschliefiung der zen~rMen StSfle bedeutet den vorlgufigen Verzicht auf die Deutung einer besonders interessanten Gruppe yon Erseheinungen, n~mlich die Durchdring'barkeit tier Atome fiir langsame Elektronen (Ramsauer-Effekt).

~) S. E. Jahnke und F. Emde, Funktionentafeln, Leipzig 1909, S. 19.

Quantenmechanik der Stoflvorg~ngo. 825

entsprechen (nicht mlt den Wahrseheinllchkeiten der spontanen Aus- %

8 ~ h v ~ . \1) strahlung an m - - ~ On m)

Die Ausbeute der elastischen Reflexionen ist proportional zu [ P ~ i ~,

einer Gr01]e, die optisch nlcht wirksam ist. Die Diagonalelemente der

Matrix -Prim werden im allgemeinen ~ul l sein 2); n~mlich au~er in den

wenlgen Fallen, wo eln linearer Sturkeffekt exlstlert (wie belm Wasserstoff- atom). Herr P a u l i hat mir mitgeteilt, daft er sogar das Verschwinden

der Diagonalglieder der Quadrupol- und" hSheren Fiomente fiir die s-Terme

der Alkalien and die Normalzust~nde der Ede]gase und Erdaikalien ab-

leiten konnte, ein Resultat, das den exakten Ansdruck fiir die Kugel-

symmetrie des Wirkungsbereichs der Atome darstellt. Unsere Ann~herung

genfigt also n i e h t zur Berechnung der elastisehen Reflexionen, hierfiir

mui~ man die N~herung einen Sehritt weiter treiben. Dies sol! dem-

n~ehst gesehehen, um die ]~Sglichkeit zu gewinnen, unsere Theorie an

dem gro~en Beobachtungsmaterial ( L e n a r d und andere) fiber ~reie Weg-

langen yon Elektronen in nieht erregten Gasen zu priifen. Ohne genaue

Reehnung kann man einsehen, dal] dann dle Ausbeute dutch G]ieder be-

stimmt wird, die in _P~,~ yon der vierten Ordnung sind. Diese Glieder

sind natiirHeh viel kleiner als die I Pnsz] 2. Danaeh kSnnen wit verstehen,

daft der normale Quersehnitt der Atome (n ----- 0) fiir langsame Elektronen

sehr viol kleiner ist (yon der Griii]enordnung des ,,gaskinetischen") als

der lfir schnelle Elektronen, die anregen kSnnen 3).

Die Abhangigkeit der Ausbeute yon der Richtung wird durch die

Funktion A 2 nach (5) bestimmt. Sie entspricht offenbar einer

B e u g u n g s e r s c h e i n u n g .

Diese Folgerung der de B r o g l i e s c h e n Theorie hat vor etwa einem

Jahre W. E l s a s s e r ~) gezogen. Indem er mit der Wellenvorstellung

ernst maehte, seMot] er, da~ langsame Elektronen an Atomen in solcher

1) S. J. H. van Vleck, Phys. Rev. 23, 330, 1924; Journ. Opt. Soc. Amer. 9, 27, 1924. YL Born und P. Jo rdan , ZS. f. Phys. 88, 479, 1925.

~) Beim harmonischen 0szillator z. B. sind sie Null, beim anharmonischen sind sie vorhanden.

s) Literatur hierza finder man in dem soeben erschienenen Buche yon J. F ranek and P. Jordan , Anregung von Qaantenspriingen durch St61]e (Berlin, J. Springer, 1926).

~) W. Elsasser , Die Naturwiss. 13, 711, 1925. Die GrSflenordnungs- beziehang, die Elsassers 1)berlegung zug~'unde liegt, beruht auf der de Brogl ie- schen Formel ffir die Wellenl~nge:

2~ h

826 Max Born,

Weise abgelenkt werden mtissen, da~ ihre Verteihng nach dem Stol]e etwa der Intensit~t des an einer kleinen Kugel abgebeugten Lichtes ent-

sprichtl). Er braehte damit in Verbindung die Beobachtungen yon R a m -

s a u e r fiber die frele Wegl~nge yon Elektronen 3) und Exl~erlmente yon D a v i s s o n und K u n s m a n 3) fiber die Winkelverteilung yon Elektronen,

die an einer Platinplatte reflektiert werden. Inzwischen i s t die Riehtigkeit der ~berlegung dutch Experlmente yon D y m o n d ~)

bewlesen worden, der dlrekt das Auftreten yon Intefferenzmaxima bei reglektierten Elektronen in Helium beobachtet hat. Eine Prfifung unserer Formel an dem Beobaehtungsmaterial soll sparer erfolgen.

w 9. S c h l u l ] b e m e r k u n g e n . Auf Grund der vorstehenden Uber- legungen mSehte ich der Meinung Ausdruek geben, da~ die Quanten-

meehanik nieht nur das Problem der stationaren Zustande, sondern anch

der ~bergangsvorgange zu formulieren und zu liisen erlanbt. Die

Schr i id ingersche Fassung seheint dabel der Sachlage bel weitem am leichtesten gereeht zu werden; fiberdies ermiiglicht sie die Beibehaltung

der gewiihnliehen Vorstellungen yon Raum und Zeit, in 'denen sieh die Ereignisse in ganz normaler Weise abspielen. Dagegen entspricht die

vorgesehlagene Theorie nieht der Fo]gerung der kausalen Bestimmtheit des Einzelereignisses. Ieh babe in meiner vorliiufigen Mitteilung diesen

Indeterminlsmus ganz besonders betont; da e r mir mlt der Praxls des Experimentators in bester lJbereinstimmung zu sein scheint. Abet es

ist natiirlieh .~edem, der sich damit nicht beruhigen will, unverwehrt,

anzunehmen, dab es weitere, noch nieht in die Theorie eingefiihrte Para- meter gibt, die da~ Einzelereignis determinieren. In der klassisehen ~echanik sind dies die ,Phasen" der Bewegung, z.B. die Koordinaten

der Teilehen in einem bestimmten Augenblick. Es schlen mir zun~chst

unwahrseheinlieh, da~ man Gr(il3en, die diesen Phasen entspreehen, zwang- los in die neue Theorie einftigen kiinne; aber Herr F r e n k e l hat mir mitgeteilt, da6 dies vielleieht doeh geht. Wie dem anch sei, diese

Ftir 300-Volt-Strahlen hat man ungef~hr ~ ---- 7.10 -9 em, also Wellen yon ato- maren Dimensionen.

1) S. K. Sehwarzschild, Sitzungsbe~. d. Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss., S. 293, 1901; G. ~[ie, Ann. d. Phys. 257 377, 1908; P. Debye, Ann. d. Phys. 30, 57, 1909.

~) C. Ramsauer, Ann. d. Phys. 64, 513, 1921; 66, 546, 1921; 72, 345, 1923. Weitere Literatur siehe Ergebnisse tier exakten lqaturwissensehaften, 3. Bd. (Berlin, J. Springer, 1924), Artikel R. ~[inkowski und H. Sponer, S. 67.

a) Davisson und Kunsman, Phys. Rev. 22, 243, 1923. ~) Dymond, Nature. (Ira Erseheinen begriffen; ieh verdanke die Kenntnis

dieser Arbeit dem Einb]iek in einen Brief, den Herr Dymond an Herrn J. Franek gerichtet hat.)

Quantenmechanik der Stolivorg~inge. 827

MSglichkelt wiirde nichts an dem praktischen Indeterminismus der Stol]-

,:organge andern, da man ja die Werte der 1)hasen nicht angeben kann;

sie mul~ tibrigens zu denselben Formeln fiihren, wie die hier vorge-

schlagene , phasenlose" Theorie.

Ich mSchte glauben, d a$ sich die Bewegungsgesetze der Licht-

quanten in ganz analoger Weise behandeln lassen werden 1). Nur hat

man dann gleich beim Grundproblem der freien Ausstrahlung keinen

zeitlich periodischen Vorgang, sondern einen Abk]ingungsproze$, also

keine Randwertaufgabe, sondern elne An[angswertaufgabe ~iir die ge-

koppelten Wellengleichungen der S c h r ( i d i n g e r s c h e n ~-GrSi3e und des

elektromag'netischen Feldes. Die Gesetze dieser Kopplung aufzusuchen,

ist wohl eines der dringendstea Probleme; es wird, wie ich well}, an

mehreren Sfellen bearbeitet~). Wenn diese Gesetze formn]iert sind, wird

es vielleicht mSglich sein, eine rationelle Theorie der Lebensdauer yon

Znsti~nden, der ]_Tbergangswahrschelnlichkeit bei Strahlungsprozessen, der

Diimpfung und Linienbreite zu en~werfen.

1) Die Schwierigkeiten, die man bisher bei der Einftihrung des ,Gespenster- feldes ~ in die Optik gefunden hat, scheinen mir zum Tell auf der stillschweigend gemachten Annahme zu beruhen, dal] Wellenzentrum und emittierendes Partikel an demselbea Or~ sein miissen. Aber dies. ist ]a schon beim Comptoaeffekt sicher nicht der Fall und wird wohl im allgemeinen niemals zutreffen.

~) Siehe z. B. die soeben erschienene Abhandlung you 0. Klein , ZS. f. Phys. 37~ 895, 1926.