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3.Wachstum und
technischer Fortschritt
Blanchard / Illing, Kapitel 10 – 13
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Wachstum und technischer Fortschritt
3.1 Stilisierte Fakten3.2 Produktionsfunktion3.3 Das Solow-Modell3.4 Bevölkerungswachstum und technischer
Fortschritt im Solow Modell3.5 Die Rolle des technischen Fortschritts im
Wachstumsprozess3.6 Determinanten des technischen Fortschritts3.7 Verteilungswirkungen von technischem
Fortschritt
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Literatur
- Blanchard / Illing: Makroökonomie- Blanchard: Macroeconomics- Mankiw: Makroökonomie, Kap. 4 – 5
Allgemeine Lehrbücher zur Wachstumstheorie:- Barro / Sala-i-Martin: Economic Growth- Jones: Introduction to Economic Growth- Romer: Advanced Macroeconomics
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3.1 Stilisierte Fakten
Jährliche Wachstumsrate BSP pro Kopfdes realen BSP pro Kopf (%) (1996 dollars)
Verhältnis: realesBSP pro Kopf
1950-1973 1974-2000 1950 2000 2000 / 1950
France 4,2 1,6 5.489 21.282 3,9
Germany 4,8 1,7 4.642 21.910 4,7
Japan 7,8 2,4 1.940 22.039 11,4
United Kingdom 2,5 1,9 7.321 21.647 3,0
United States 2,2 1,7 11.903 30.637 2,6
Average 4,3 1,8 6.259 23.503 3,7
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1.2 Aktuelle Beispiele: Wachstumsprognosen
‐8%
‐6%
‐4%
‐2%
0%
2%
4%
6%
8%
EU (2
7 Länd
er)
Eurozone
Deu
tschland
Fran
kreich
Italien
Span
ien
Niede
rland
e
Österreich
Finn
land
Irlan
d
Grie
chen
land
Slow
akei
Slow
enien
Vereinigtes Kö
nigreich
Polen
Tschechische
Rep
ublik
Ungarn
Bulgarien
Rumän
ien
Türkei
Norwegen
Schw
eiz
Island
Vereinigte Staaten
Japa
n
Wachstumsraten in %
Durchschnittswert 2001 ‐ 2011 Wert 2012
Quelle: Eurostat
Quelle: Eurostat (April 2013)
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3.1 Stilisierte Fakten
Konvergenz der Pro-Kopf-Produktion, OECD-Länder
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3.1 Stilisierte Fakten
Konvergenz ist keine verlässliche Regel, Länder aus allen Regionen
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3.1 Stilisierte Fakten
Welche Wachstumsraten sind normal?
• Vom Ende des römischen Reiches bis 1500 gab es kein Wachstum der Pro-Kopf-Produktion in Europa
• 1500-1820 – geringes Wachstum (0.1% bis 1700, danach 0.2%)
• 1820-1950 – mäßiges Wachstum (USA 1.5%)
• Die hohen Wachstumsraten der 1950er und 60er Jahre sind untypisch
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3.1 Stilisierte Fakten
Gründe für hohes Volkseinkommen / Wachstum
Infrastruktur
Politische und rechtliche Stabilität
Zugang zu den internationalen Märkten
Ausbildungsniveau (Humankapital)
Effiziente Nutzung knapper Ressourcen
Kapitalbildung
Technischer Fortschritt
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3.2 Produktionsfunktion
Output: Y = Aggregierte Produktion, Volkseinkommen
Faktoren: K = KapitalN = Arbeit
Aggregierte Produktionsfunktion
Y = F (K, N)
Wachstumsrate: ΔY / Y
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3.2 Produktionsfunktion
F(K,N) steigt in K und in N
Grenzprodukt eines Faktors fällt mit zunehmendem Faktoreinsatz
Aggregierte Produktionsfunktion
Eigenschaften der Prod.fn. Y = F (K, N)
Fallende Grenzerträge: d2F/dK2 < 0 d2F/dN2 < 0
Positive Grenzerträge: dF/dK > 0 dF/dN > 0
Warum fallen die Grenzerträge mit zunehmendem Faktoreinsatz?
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3.2 Produktionsfunktion
Unternehmen führen Investitionen durch, wenn diese (i) einen positiven Beitrag zum Unternehmensgewinn erwarten lassen und (ii) finanzierbar sind.
Annahme: perfekter Kapitalmarkt, konstante Preise
Unternehmen erhält unbegrenzt Kredit zum Zinssatz r.
Unternehmen führt alle Projekte durch, bei denen die Rendite größer ist als die Kapitalkosten r.
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3.2 Produktionsfunktion
Projekt Benötigtes Kapital in t=1
Auszahlungin t=2
Rendite (~ Grenzprodukt des Kapitals)
A 200 210 210/200 – 1 = 5%
B 250 290 290/250 – 1 = 16%
C 100 125 125/100 – 1 = 25%
D 300 330 330/300 – 1 = 10%
Beispiel
Kapitalgüter werden bei der Produktion in t=2 aufgebraucht.
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3.2 Produktionsfunktion
Ordne Projekte nach RenditeC – B – D – A
Output in t=2
Investitionin t=1100 350 650 850
125
415
745
955
Approximation durch stetige und konkave Produktionsfunktion
C B D A
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Ein Projekt ist rentabel, wenn seine Rendite über dem Marktzins liegt.
Die rentabelsten Projekte werden zuerst durchgeführt => Grenzprodukt des Kapitals sinkt mit zunehmendem Kapitaleinsatz
Grenzprodukt
C B D A
100 350 650 850
25%
5%
10%
16%
r = 8%
Investitionin t=1I =
3.2 Produktionsfunktion
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Produktionsfaktor Kapital
Die Sparquote (Ersparnis als Anteil am BSP) 1950-2000
U.S.A. 18,6%BRD 24,6%Japan 33,7%
Was denken Sie…
Würde eine höhere Sparquote in Deutschland zu nachhaltig höherem Wachstum führen?
Die Quellen des Wachstums
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3.3 Das Solow – Modell
Wie wirkt sich eine konstante Sparquote auf Kapitalakkumulation und Wachstum aus?
Gibt es eine optimale Sparquote?
Wie sollte eine Volkswirtschaft auf demografische Entwicklungen reagieren?
Welche Wirkungen hat technischer Fortschritt auf die Kapitalakkumulation?
Die Quellen des Wachstums
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3.3 Das Solow – Modell
( , )Y F K NProduktionsfunktion
Fallende Grenzerträge: d2F/dK2 < 0 d2F/dN2 < 0
( , ) ( , ) 0F K N F K N
Aggregierte Produktionsfunktion
Eine Erhöhung des Einsatzes allerProduktionsfaktoren um x% erhöht die Produktion ebenfalls um x%
Annahme 1: Konstante Skalenerträge
Positive Grenzerträge: dF/dK > 0 dF/dN > 0
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3.3 Das Solow – Modell
N/1
( , ) ( , ) 0F K N F K N
Folge: Pro-Kopf-Output Y/N hängt nur vomVerhältnis zwischen Kapital und Arbeit K/N ab:
Annahme 1: Konstante Skalenerträge
Warum ist das so? Wähle
NYNKF
NNKFNKF ),(1)1,/(),(
F(k,1) = y=Y/NSei k=K/N.
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3.3 Das Solow – Modell
Sei y=Y/N Output pro Arbeitseinheit, k=K/N Kapitalintensität
Dann gilt: y = F(k,1) = f(k)
Pro-Kopf-Output als Funktion der KapitalintensitätBeachte: pro Kopf meint hier pro Arbeitseinheit
Positive, aber abnehmende Grenzerträge des Kapitals:
=> f ’ = dF/dK > 0 , f ’’ = d2F/dK2 < 0
Wir gehen zunächst von konstanter Erwerbsbevölkerung aus.
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3.3 Das Solow – Modell
Output und Kapital pro Beschäftigten
y = f(k)
k
y
Kapitalakkumulation
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Das Solow – Modell
Die langfristige Beziehung zwischen Produktion und Kapital
- Der Kapitalstock bestimmt, wie viel produziert wird - Das Produktionsniveau bestimmt, wie viel gespart
und investiert wird Das Solow-Modell beschreibt diese wechselseitige Abhängigkeit.
Annahme 2: Die Sparquote ist konstantSparquote s = Bruttoinvestitionen / BSP
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Sparquote s = Bruttoinvestitionen / BIP
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1929 1935 1941 1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001 2007 2013
Gross savings (% of GDP)
Sparquote der USA
Quelle: Federal Reserve Bank of St. Louis (April 2014)
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Volkswirtschaftliche Ersparnis als Anteil am verfügbaren Einkommen der HaushalteLB-überschuss = gesamtw. Ersparnis – Investitionen
gesamtw. Ersparnis = LB-überschuss + Investitionen
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1929 1935 1941 1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001 2007 2013
Sparquote (% des verfügbaren Einkommens der HH)Quelle: U.S. Bureau of Economic Analysis (April 2014)
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Bruttoinvestitionen als Anteil am BIP
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
1970 1976 1982 1988 1994 2000 2006 2012
Germany Japan China France United Kingdom United States
Quelle: The World Bank (April 2014)
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3.3 Das Solow – Modell
Kapital, Produktion und Sparen/Investitionen
),( NKFY
),( NKFY tt
ttt YsSI
ttt ngenAbschreibuIK
ttt KKK 1
),( 11 NKFY tt tt YYWachstum 1
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Das Solow – ModellBIP Yt = F(Kt,N)
Ersparnis = Investitionen It = s Yt
Konsum Ct = (1 – s) Yt
Abschreibungen Kt
Sparquote s und Abschreibungsrate sind konstant und zwischen 0 und 1.
Annahme 3: Geschlossene Volkswirtschaft mit ausge-glichenem Staatsbudget Bruttoinvestition = Ersparnis,
BIP = BSP, I = S.
Veränderung des Kapitalstocks im Zeitablauf:
Kt+1 – Kt = s Yt – Kt
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Das Solow – Modell
BIP Yt / N = F(Kt / N ,1)
Ersparnis s Yt / N
Konsum Ct / N = (1 – s) Yt / N
Abschreibungen Kt / N
Veränderung des Kapitalstocks im Zeitablauf:
In pro-Kopf-Größen:
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Das Solow – Modell
In pro-Kopf-Größen: BIP yt = f (kt)
Bruttoinvestition = Ersparnis it = s yt
Konsum ct = (1 – s) yt
Abschreibungen kt
Veränderung der Kapitalintensität im Zeitablauf:
kt+1 – kt = s f(kt) – kt
Sei yt = Yt / N, kt = Kt / N, ct = Ct / N
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 32
Das Solow – Modell
Produktionpro Beschäftigten
yt = f ( kt )
k
s yt
Konsum pro Beschäftigten
Ersparnis pro Beschäftigten
Kapitalintensität zum Zeitpunkt t
kt
Gütereinheitenpro Kopf
yt
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 33
Das Solow – Modell
yt = f ( kt )
k
Ersparnis s yt = Bruttoinvestitionen
Abschreibungen kt
steigende Kapitalintensität
fallende Kapitalintensität
steady state k*
Im steady state k* gilt: Bruttoinvestitionen = Abschreibungen => Nettoinv. = 0
Gütereinheitenpro Kopf
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 34
Das Solow – Modell
Berechnung des steady state k*: Veränderung der Kapitalintensität im Zeitablauf:
kt+1 – kt = s f(kt) – kt = 0
s f ( k* ) = k*
Auflösen dieser Gleichung nach k* ergibt den steady state (= langfristiges Wachstumsgleichgewicht).
Produktionsniveau im steady state y* = f(k*)
Konsum im steady state c* = (1-s) y*
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 35
Das Solow – Modell
Totales Differential der Gleichung ergibt:
( *) '( *) * *f k ds s f k dk dk
* ( *) 0,'( *)
dk f kds sf k
weil im steady state > s f ‘
( *) *s f k k
Komparative Statik:
Wie reagiert der steady state auf die Sparquote?
> 0
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 36
Das Solow – Modell
yt = f ( kt )
k
Ersparnis s yt
Abschreibungen kt
steady state k*
Steigung: s f‘ (kt)
Steigung
Im steady state ist > s f‘ (kt)
Gütereinheitenpro Kopf
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 37
Das Solow – Modell
k
s0 f(kt)
k
Ein Anstieg der Sparquote von s0 auf s1 erhöht den steady state und führt vorübergehend zu Wachstum
s1 f(kt)
y0*y1*
yt = f(kt)
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 38
Das Solow – Modell
Folgen eines Anstiegs der Sparquote:Anstieg des Produktionsniveaus im Zeitverlauf
t
y
Im Zeitpunkt t0 steigt die Sparquote von s0 auf s1 an.
y0*
y1*
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 39
Das Solow – Modell
“Welchen Einfluß hat die Sparquote auf die Wachstumsrate der Produktion?”Die bisherige Analyse liefert uns drei Antworten auf dieseFrage:
1. Eine höhere Sparquote lässt für einige Zeit die Produktionstärker wachsen bis der neue steady state erreicht ist.
2. Die Sparquote beeinflusst die langfristige Wachstumsrateder Produktion je Beschäftigten nicht. Diese liegt bei Null.
3. Die Sparquote bestimmt aber die Höhe des langfristigenProduktionsniveaus je Beschäftigten. Ceteris paribus erreichen Länder mit einer höheren Sparquote also einhöheres Produktionsniveau.
Zwischenfazit:
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 41
Beispiel für Solow-ModellDie Produktionsfunktion sei F(K,N) = 15 K2/3 N1/3,
Sparquote s = 20%, Abschreibungsrate δ = 10%
a) Bestimmen Sie die Intensitätsform der Produktionsfunktion.
b) Wie hoch ist die Kapitalintensität im steady state?
c) Wie lange dauert es, bis der steady state erreicht wird?
d) Wie hoch ist der Pro-Kopf-Konsum im steady state?
e) Wie ist das Einkommen im steady state auf Arbeitnehmer und Kapitaleigner verteilt?
Lösung in der Vorlesung
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 42
Das Solow – Modell
y = f ( k )
k
y
s yt
c*(s) = Pro-Kopf Konsum im steady
state zur Sparquote s
k*(s) Kapitalintensität im steady state zur Sparquote s
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 43
Das Solow – Modell
y = f ( k )
k*(s)
y
Pro-Kopf Konsum in den steady states zu verschiedenen Sparquoten (s1 – s4)
s1 f ( k )s2 f ( k )
s3 f ( k )
s4 f ( k )
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 44
Das Solow – Modell
c* (s)
Pro-Kopf-Konsum c
Maximaler Pro-Kopf Konsum in einem steady state
Sparquote sOptimale Sparquote s* 10
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 45
Das Solow – ModellDer steady state der Golden Rule ermöglicht einen höheren Pro-Kopf-Konsum als jeder andere steady state. [Edmund Phelps, Nobelpreis 2006]Lit: Phelps (1961) The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthman, AER 51, 638-643.
Die Kapitalintensität im steady state der Golden Rule ergibt sich aus
max ( )k f k k
Optimalitätsbedingung '( )f k Auflösen dieser Gleichung nach k ergibt ** 1' ( )k f
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 46
Das Solow – ModellWie kommt man zum steady state der Golden Rule? Mit der optimalen Sparquote s*, bei der die Ökonomie von allein gegen den steady state der Golden Rule konvergiert.
Wir können s* aus k** berechnen: Im steady state gilt
( )sf k k* ** **/ ( )s k f k
daher gilt
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 47
Das Solow – Modell
yt = f ( kt )
k
y
s* yt
ktPro-Kopf
Konsum im steady state der
Golden Rule
Golden Rule steady state k**
s* = optimale Sparquote
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 48
Das Solow – Modell: Goldene RegelDie optimale Sparquote kann (bei geeigneter Form der Produktionsfunktion auch direkt berechnet werden:
Kapitalintensität im steady state k*: kt+1 – kt = s f(kt) – kt = 0
s f ( k* ) = k*
Auflösen dieser Gleichung (falls möglich) ergibt k*(s).
Suche die Sparquote mit dem maximalen Pro-Kopf-Konsum im zugehörigen steady state:
Maxs f(k*(s)) – δ k*(s) => s*
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 49
Das Solow – Modell: Goldene Regel
Warum ist s<s* nicht optimal? Bei einer Sparquote unterhalb von s* kann ein höherer Zukunftskonsum nur durch eine höhere Ersparnis erreicht werden. => Es gibt einen Trade-off zwischen Gegenwarts- und Zukunftskonsum
Zeitpräferenz, Verteilung zwischen Generationenwerden im Solow-Modell nicht berücksichtigt
Ökonomische Intuition
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 50
Das Solow – Modell: Goldene Regel
Warum ist s>s* nicht optimal?
Hier führt eine Senkung der Sparquote zu einem höheren Pro-Kopf Konsum im steady state, obwohl der Kapitalstock sinkt.
Ein Rückgang der Ersparnis geht mit einem Anstieg des Zukunftskonsums einher.
=> Gegenwarts- und Zukunftskonsum können gesteigert werden.
Dynamische Ineffizienz!
Die Sparquote ist zu hoch!
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 51
3.4 Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
BIP Yt = F(Kt, AtNt)Arbeitseffizienz At
Ersparnis s Yt
Konsum Ct = (1 – s) Yt
Abschreibungen Kt
Veränderung des Kapitalstocks im Zeitablauf:Kt+1 – Kt = s Yt – Kt
Bevölkerungswachstum Nt+1 = (1+n) NtBevölkerungswachstumsrate nTechnischer Fortschritt At+1 = (1+g) AtRate des technischen Fortschritts g
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 52
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
BIP pro Arbeitseffizienzeinheit, Konstante Skalenerträge
Veränderung der Kapitalintensität im Zeitablauf:
kt+1 – kt
Kapitalintensität kt = Kt / (AtNt)Bruttoinvestition = Ersparnis s yt
Konsum Ct/(AtNt) = ct = (1 – s) yt
Abschreibungen kt
yt = Yt / (AtNt)
)1()1()(
ngkngsy tt
=> Steady state k*: s f(k*) = (+n+g) k*
= F (Kt / (AtNt), 1) = f (kt)
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 53
Das Solow – Modell mit Bevölkerungswachstum und technischem Fortschritt
ttt k
ngksy
)1)(1(
)1(
)1()1()(
ngkgnngsy tt
ttt
ttt k
NAKkk
11
11
Veränderung der Kapitalintensität im Zeitablauf:
ttt
ttt kNnAg
KsYK
)1()1(
)1)(1()1)(1(
)1)(1()1(
ngkng
ngksy ttt
Für kleine Prozentgrößen kann gn vernachlässigt werden.
)1()1()(
ngkngsy tt
Steady state k*: s f(k*) = (+n+g) k*
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 54
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
yt = f ( kt )
k
y
Ersparnis s yt
(+g+n) kt
steigende Kapitalintensität
fallende Kapitalintensität
steady state k*
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 55
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
BIP pro Kopf
BIP pro Arb.effizienzeinheit yt = Yt / (At Nt)Yt / Nt = At yt
At = (1+g)t A0
At f(k*) = (1+g)t A0 f(k*)
BIP pro Kopf im steady state k*
Wachstumsrate des BIP pro Kopf im steady state = Rate des technischen Fortschritts g
Wachstumsrate der Arbeitseffizienz g
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 56
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschrittpro Kopf-Größen im steady state bei technischem Fortschritt
tPro-Kopf-Gößen von Kapital, Output, Konsum und Ersparnis wachsen langfristig mit der Rate des technischen Fortschritts
Kt / Nt = At k*
Y / N Yt / Nt = At f ( k* )
Ersparnis s Yt / Nt
Konsum (1–s) Yt / Nt
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 57
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
Die Kapitalintensität im steady state hängt ab von s, n und g * * *( , , ) : ( ) ( )k s n g sf k n g k
Totales Differential ergibt* * * *'( ) ( )sf k dk n g dk k dn
* *
* 0'( )
k kn sf k n g
* *
*
( ) 0'( )
k f ks n g sf k
entsprechend
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 58
Bei Rückgang des Bevölkerungswachstums sind weniger In-vestitionen erforderlich, um die Kapitalintensität zu erhalten. Eine konstante Sparquote führt deshalb zu höherer Kapitalintensität.
3.4 BW und TF im Solow-Modell
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 59
Erhöhung der Sparquote erhöht Investition und damit steady state Kapitalintensität; wie im Modell ohne technischen Fortschritt
3.4 BW und TF im Solow-Modell
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 60
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer FortschrittVerschiedene Sparquoten sind mit verschiedenen steady states verbunden. In jedem st.st. wächst der pro-Kopf-Konsum mit der Rate g.
tWelcher steady state ist mit dem höchsten Pfad des pro-Kopf-Konsums verbunden? => Golden Rule
C / N Konsumpfade zu verschiedenen steady
states
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 61
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
)()(max *** kfskfk Golden Rule
**'( )f k n g
Optimalitätsbedingung
** *max ( ) ( )
kf k n g k
k**:
** 1( ') ( )k f n g Da f‘‘ < 0 fällt die optimale Kapitalintensität mit zunehmenden Raten δ, n und g.
Steady state ** )()( kgnkfs
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 62
Das Solow – Modell: Bevölkerungswachstum und technischer Fortschritt
**** 1''( ) 0
''dkf dk dndn f
Bei einem Rückgang des Bevölkerungswachstums sollte die Kapitalintensität steigen.
**'( )f k n g Daraus folgt
Was bedeutet dies für die Sparquote? Sollte sie bei Rückgang des Bev.wachstums steigen/fallen/konstant bleiben?
Für die Änderung von n folgt aus der Optimalitäts-bedingung:
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 63
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
(1) Einerseits sollte die Kapitalintensität steigen, wenn n zurückgeht. (normativ, vorige Folie)
(2) Andererseits führt der Rückgang des Bevölkerungswachstums automatisch dazu, dass bei konstanter Sparquote die Kapitalintensität steigt. (deskriptiv, Folie 57/58)
ABER: Erhöhung der Kapitalintensität in (2) muss nicht notwendig Erhöhung der Kapitalintensität in (1) entsprechen -> Beispiel auf nächster Folie
Wie sollte die Sparquote auf den Rückgang des Bevölkerungswachstums reagieren?
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 64
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
k
y
(+n1+g) kt
Im Beispiel steigt die Kapitalintensität bei konstanter Sparquote auf k* und damit stärker als sie es tun sollte (Golden Rule: k**). Eine konstante Sparquote würde zu Überinvestitionen führen.
s f(kt)
(+n0+g) kt
f(kt)
k*k**k*=k**
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 65
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
Totales Differential der Gleichung
* **''( ) k kf ds dn dn
s n
Komparative Statik aus der goldenen Regel:
* *'( ( , , ))f k s n g n g
( )''( )'( )
f ds k dnf dnn g sf
ergibt
''( ) ( ) ''( ) ( '( ))f f ds f k dn n g sf dn
Einsetzen von (*) und (**) aus Folie 57 ergibt
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 66
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
'( ) ''( )''( ) ( )
ds n g sf f kdn f f
Der Nenner ist negativ. Der Zähler kann positiv oder negativ sein!
Eine eindeutige Antwort auf die Frage, ob die Sparquote bei Rückgang von n steigen oder fallen sollte, lässt sich nur unter Kenntnis der Produktionsfunktion beantworten. Wenn sich die Sparquote nicht anpasst, kann k über die Golden Rule hinaus steigen.
► Überinvestition ! ► Japan? Nein – vgl. Daten!
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 67
Das Solow – Modell: Beispiel
Beispiel: f(k) = kα 0 < α < 1
Steady state: ( ) ( )sf k n g k
'( )f k n g Golden Rule:
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 68
Das Solow – Modell: Beispiel
Im steady state der Golden Rule gilt:
s Daraus folgt:Die Produktionsfunktion f(k) = kαbeschreibt einen Grenzfall, in dem die optimale Sparquote unabhängig von n ist.
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 69
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
Konsum pro Arbeitseffizienzeinheit bei Rückgang von n und bei konstanter Sparquote.
t
c
Im Zeitpunkt t0 sinkt die Wachstumsrate der Erwerbsbevölkerung von n0 auf n1.
c0*
c1* c1* = (1-s) f(k1*)
c0* = (1-s) f(k0*)
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 70
Das Solow – Modell: Rückgang des Bevölkerungswachstums
t
C / N
C0*/N = (1-s) At f(k0*)
C1*/N = (1-s) At f(k1*)
Konsum pro Kopf bei Rückgang von n und bei konstanter Sparquote
Im Zeitpunkt t0 sinkt die Wachstumsrate der Erwerbsbevölkerung von n0 auf n1.
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 71
Das Solow – Modell
Das Solow-Modell beschreibt die optimale Sparquote im steady state.
Anpassungsprozesse brauchen jedoch Zeit. Das Solow-Modell beschreibt nicht die optimalen Anpassungspfade.
Die „optimale Sparquote“ maximiert den Pro-Kopf-Konsum im steady state. Der steady state wird jedoch nie vollständig erreicht.
Zeitpräferenz: Zukünftiger Konsum sollte abdiskontiert werden. Konsum während der Anpassungsphase muss berücksichtigt werden.
Diese Kritikpunkte werden vom Ramsey-Modell berücksichtigt.
Kritische Diskussion
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 72
Solow-Modell: Anhang
Nachfolgend einige Daten und Überlegungen zur Prüfung, ob unsere Volkswirtschaften dynamisch effizient sind.
Letzteres beruht auf der Annahme konstanter Bevölkerung, konstanter Arbeitseffizienz und Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
AVWL II Prof. Dr. Frank Heinemann Seite 73
Sparquoten ausgewählter Regionen
Welt USA Euro-Zone
Afrika AsiatischeSchwellen-länder
MittlererOsten
1993-2000Durchschnitt 22,1% 16,8% 21,4% 17,5% 32,9% 24,2%
2006 22,8% 13,7% 21,3% 24,8% 42,2% 40,4%
Quelle: IWF, Juli 2007
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Solow-Modell für Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Die Produktionsfunktion sei F(K,N) = Kα N1-α,
Intensitätsform: f(k) = kα
Steady state bei gegebener Sparquote:
Steady state der goldenen Regel:
Optimale Sparquote s* = α
11
* skkks
11
**1)(' kkkf
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Solow-Modell für Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Produktionsfunktion Y = F(K,N) = Kα N1-α,
Lohn = Grenzprodukt der Arbeit:
Lohnquote = Arbeitseinkommen/BIP =
=> Optimale Sparquote s* = α = 1 – Lohnquote
Dynamische Ineffizienz: s > s* (Sparquote > 1 – Lohnquote)
Wir können diesen Zusammenhang und die Kenntnis der Daten zu BIP, Investitionen und Lohnquote nutzen um einen ersten Eindruck zu bekommen, ob unsere Volkswirtschaften dynamisch effizient sind oder nicht!
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Solow-Modell für Cobb-Douglas-ProduktionsfunktionDaten: Sparquote ≈ Bruttoinvestitionen / BIP
Lohnquote = Anteil der Arbeitnehmereinkommen am BSP
Land Bruttoinvestitionen / BIP
Lohnquote 1 – Lohnquote s > α ?
Deutschland 0,1776 0,6556 0,3444 nein
Frankreich 0,2107 0,6705 0,3295 nein
USA 0,1961 0,6559 0,3441 nein
Japan 0,2395 0,5766 0,4234 nein
China 0,4255 0,414* 0,586 nein
Daten für 2006: http://unstats.un.org/unsd/snaama/introduction.asp
http://stats.oecd.org/wbos/Index.aspx?queryname=345&querytype=view*2005 http://elsa.berkeley.edu/users/chsieh/brookings%20china%20paper%20final%20version.pdf
dynamisch ineffizient?
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Anhang 2: Grenzprodukt des Kapitals, Zinssatz und Abschreibungen Ein Unternehmer verfügt über 100 Gütereinheiten (=Maschinen).
Er hat die Wahl, (i) die Maschinen selbst zu nutzen oder (ii) sie zu verkaufen und den Erlös auf dem Finanzmarkt zu investieren.
Wenn er auf dem Finanzmarkt investiert, dann erhält er nach einem Jahr Geld im Wert von (1+r) 100 Gütereinheiten zurück. Dabei bezeichnet r den Realzins.
Wenn er die Maschinen selbst einsetzt, werden damit zusätzliche Güter in Höhe der Grenzproduktivität des Kapitals (multipliziert mit 100) produziert. Die zusätzliche Bruttowertschöpfung beträgt 100 dF(K,N) / dK.
Nach einem Jahr erhält der Unternehmer diese Bruttowertschöpfung als Mietpreis für die Maschinen. Außerdem hat er noch seine alten Maschinen.
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Kapitalquote und Zinssatz im Solow-Modell Von den alten Maschinen ist aber ein Anteil δkaputtgegangen (Abschreibung). Der Unternehmer verfügt nun über 100 dF(K,N) / dK + (1 – δ) 100 Gütereinheiten.
Im Gleichgewicht muss der Ertrag auf dem Kapitalmarkt genauso hoch sein, wie bei Vermietung der Maschinen, also:
(1+r) 100 = 100 dF(K,N) / dK + (1 – δ) 100
<=> r = dF(K,N) / dK – δ
Der Realzins entspricht der Brutto-Grenzproduktivität des Kapitals abzüglich der Abschreibungsrate(Realzins = Netto-Grenzprodukt des Kapitals).
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Kapitalquote und Zinssatz im Solow-Modell Zahlenbeispiel:
Angenommen das Grenzprodukt des Kapitals beträgt 0,25, die Abschreibungsrate 20%.
Investiert der Unternehmer 100 Gütereinheiten im eigenen Unternehmen, so produziert er damit zusätzlich 25 Gütereinheiten. Außerdem sind noch 80% der eingesetzten Maschinen funktionsfähig. Er verfügt also jetzt über 105 Gütereinheiten. Sein Gewinn beträgt 5 Gütereinheiten.
Investiert der Unternehmer auf dem Kapitalmarkt, so erhält er nach einem Jahr (1+r) 100 Gütereinheiten zurück. Im Gleichgewicht muss also gelten
r = dF(K,N) / dK – δ = 0,25 – 0,20 = 5%