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Biostatistik, WS 2010/2011
Der Standardfehler
Matthias Birkner
http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/Biostatistik1011/
26.11.2010
1/84
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
2/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
3/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
4/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Bachstelzen fressen Dungfliegen
Rauber Beute
Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria
image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc
5/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150 mean= 7.99
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
available dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
050
100
150 mean= 7.99
sd= 0.96
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60 mean= 6.79
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
captured dung flies
length [mm]
num
ber
4 5 6 7 8 9 10 11
010
2030
4050
60 mean= 6.79
sd= 0.69
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
4 5 6 7 8 9 10 11
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
dung flies: available, captured
length [mm]
frac
tion
per
mm
availablecaptured
6/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Wahlerische BachstelzenLange der Dungfliegen:
gefangen verfugbarMittelwert 6.79 < 7.99
Standardabw. 0.69 < 0.96
4 5 6 7 8 9 10 11
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
dung flies: available, captured
length [mm]
frac
tion
per
mm
availablecaptured
Interpretation: Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen auseinem relativ engen Großenbereich um 7mm herum.
7/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Beobachtung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden
(z.B. die verfugbaren und die tatsachlich gefangenen Dungfliegenaus dem Bachstelzen-Beispiel).
Es gibt aber auch Ausnahmen.
8/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung
Beobachtung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden
(z.B. die verfugbaren und die tatsachlich gefangenen Dungfliegenaus dem Bachstelzen-Beispiel).
Es gibt aber auch Ausnahmen.
8/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
9/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Kupfertolerantes Rotes Straußgras
Rotes Straußgras KupferAgrostis tenuis Cuprum
image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles
10/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.
11/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????
Nein! Deutlich mehr.
11/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Browntop Bent (n=50)
root length (cm)
dens
ity p
er c
m
0 50 100 150 200
010
2030
40
meadow plants
m m+sm−s
In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.
11/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden,
z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max
12/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden,
z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max
12/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●
● ●
0 50 100 150 200
Browntop Bent n=50+50
root length (cm)
copper mine plants
meadow plants
13/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!
14/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!
14/84
Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung
Schlussfolgerung
In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den
Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.
Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!
Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!
14/84
Der Standardfehler
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
15/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
16/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Ein Versuch
Versuchsaufbau:
14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).
An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein
Mittelwert uber drei Tage errechnet.
Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.
18/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Ein Versuch
Versuchsaufbau:
14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).
An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein
Mittelwert uber drei Tage errechnet.
Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.
18/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Ein Versuch
Versuchsaufbau:
14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).
An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein
Mittelwert uber drei Tage errechnet.
Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.
18/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Transpirationsrate=
(Wasserabgabe pro Tag)/Blattflache
[ml
cm2·Tag
]
19/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Transpirationsrate=
(Wasserabgabe pro Tag)/Blattflache[ml
cm2·Tag
]
19/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate
µ
(fur diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.
20/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate µ
(fur diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.
20/84
Der Standardfehler Ein Versuch
In einem großen Versuch mit sehr vielenPflanzen konnte man µ beliebig genau
bestimmen.
FRAGE:Wie genau ist die Schatzung von µ in
diesem kleinen (n = 14) Versuch?
21/84
Der Standardfehler Ein Versuch
In einem großen Versuch mit sehr vielenPflanzen konnte man µ beliebig genau
bestimmen.
FRAGE:Wie genau ist die Schatzung von µ in
diesem kleinen (n = 14) Versuch?
21/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Trockengestresste Hirse (n = 14)
0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
01
23
45
6
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Häu
figke
it
22/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Trockengestresste Hirse (n = 14)
0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
01
23
45
6
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Häu
figke
it
Mittelwert=0,117
22/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Trockengestresste Hirse (n = 14)
0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
01
23
45
6
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Häu
figke
it
Standardabweichung=0,026
22/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14
x =(x1 + x2 + · · · + x14
)/14
=1
14
14∑i=1
xi
x = 0,117
23/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14
x =(x1 + x2 + · · · + x14
)/14 =
114
14∑i=1
xi
x = 0,117
23/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14
x =(x1 + x2 + · · · + x14
)/14 =
114
14∑i=1
xi
x = 0,117
23/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117
Wie genau ist diese Schatzung?
Wie weit weicht x (unser Schatzwert)
von µ (dem wahren Mittelwert) ab?
24/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117
Wie genau ist diese Schatzung?
Wie weit weicht x (unser Schatzwert)
von µ (dem wahren Mittelwert) ab?
24/84
Der Standardfehler Ein Versuch
Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117
Wie genau ist diese Schatzung?
Wie weit weicht x (unser Schatzwert)
von µ (dem wahren Mittelwert) ab?
24/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
25/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Ein allgemeiner Rahmen
Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,
sondern 100 mal,1.000 mal,
1.000.000 malwiederholt.
26/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Ein allgemeiner Rahmen
Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,
sondern 100 mal,
1.000 mal,1.000.000 mal
wiederholt.
26/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Ein allgemeiner Rahmen
Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,
sondern 100 mal,1.000 mal,
1.000.000 malwiederholt.
26/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Ein allgemeiner Rahmen
Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,
sondern 100 mal,1.000 mal,
1.000.000 malwiederholt.
26/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Unsere 14 Transpirationswertebetrachten wir als
zufallige Stichprobeaus dieser großen Population
von moglichen Werten.
27/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population(sämtliche Transpirationsraten)
n=oo
Stichproben=14
28/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population(sämtliche Transpirationsraten)
µ
Stichprobex
28/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Wir schatzenden Populationsmittelwert
µ
durchden Stichprobenmittelwert
x .
29/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise
von µ ab?
30/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise
von µ ab?
30/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?
Genauer: Wie weit weicht x typischerweisevon µ ab?
30/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .
x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße
FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise
von µ ab?
30/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
x =(x1 + x2 + · · · + xn
)/n
Wovon hangt die Variabilitat von x ab?
31/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
1.
von derVariabilitat
der einzelnenBeobachtungen
x1, x2, . . . , xn
32/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
x variiert viel
⇒ x variiert viel
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
x variiert wenig
⇒ x variiert wenig
33/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Mittelwert = 0.117
x variiert viel⇒ x variiert viel
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Mittelwert = 0.117
x variiert wenig⇒ x variiert wenig
33/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
2.
vomStichprobenumfang
n
Je großer n,desto kleiner
die Variabilitat von x .
34/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
2.
vomStichprobenumfang
n
Je großer n,desto kleiner
die Variabilitat von x .
34/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Um diese Abhangigkeitzu untersuchen,machen wir ein
(Computer-)Experiment.
35/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Experiment:
Wir nehmen eine Population,ziehen Stichproben,
und schauen,wie x variiert.
36/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Nehmen wir an,die Verteilung
aller moglichen Transpirationswertesieht folgendermaßen aus:
37/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
38/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Mittelwert=0.117
38/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Standardabw.=0.026
38/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Eine Stichprobe vom Umfang 4
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
40/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Eine zweite Stichprobe vom Umfang 4
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
40/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Eine dritte Stichprobe vom Umfang 4
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
40/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
10 Stichproben
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
02
46
810
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
41/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
10 Stichproben
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
02
46
810
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
41/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
50 Stichproben
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
42/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
50 Stichproben
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
42/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
10 Stichproben vom Umfang 4
und die zugehorigenStichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
02
46
810
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
44/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
10 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehorigenStichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
02
46
810
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
44/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
50 Stichproben vom Umfang 4
und die zugehorigenStichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
45/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
50 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehorigenStichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
45/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 4)
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
40
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026
StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.=0.013
46/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013
= 0,026/√
4
47/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013
= 0,026/√
4
47/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013
= 0,026/√
4
47/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
10 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehorigen Stichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
02
46
810
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
49/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
50 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehorigen Stichprobenmittel
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
50/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 16)
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
020
4060
80
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026
StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.= 0.0065
51/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065
= 0,026/√
16
52/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065
= 0,026/√
16
52/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Population:Standardabweichung = 0,026
Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065
= 0,026/√
16
52/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die allgemeine Regel
Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom
Umfang n
ist1/√
nmal
der Standardabweichungder Population.
53/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die allgemeine Regel
Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom
Umfang n
ist1/√
nmal
der Standardabweichungder Population.
53/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit
σ
(sigma).
Die Regel schreibt man haufig so:
σ(x) =1√nσ(X )
54/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit
σ
(sigma).
Die Regel schreibt man haufig so:
σ(x) =1√nσ(X )
54/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
55/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
55/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
σ =??
55/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
In der Praxis istσ
unbekannt.
Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s
geschatzt:
σ ≈ s
55/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
s/√
n(die geschatzte
Standardabweichungvon x)
nennt man denStandardfehler.
(Englisch: standard error of the mean,standard error, SEM)
56/84
Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen
s/√
n(die geschatzte
Standardabweichungvon x)
nennt man denStandardfehler.
(Englisch: standard error of the mean,standard error, SEM)
56/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
57/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wir haben gesehen:
Auch wenn die Verteilung vonx mehrgipfelig
&asymmetrisch
ist
58/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
05
1015
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
59/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
ist die Verteilung vonx
trotzdem(annahernd)
eingipfelig&
symmetrisch
(wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)
60/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Hypothethische Transpirationsratenverteilung
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
010
2030
4050
60
Transpiration (ml/(Tag*cm^2))
Dic
hte
Population Stichprobenmittel(n=16)
61/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Die Verteilung von xhat annahernd
eine ganz bestimmte Form:
die Normalverteilung.
62/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp
( (x−µ)2
2σ2
)
−1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nor
mal
dich
te
µµ µµ ++ σσµµ −− σσ
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)
63/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp
( (x−µ)2
2σ2
)
−1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nor
mal
dich
te
µµ µµ ++ σσµµ −− σσ
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)
63/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp
( (x−µ)2
2σ2
)
Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)63/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
Wir betrachten das Intervallx − s/
√n x + s/
√n
x
64/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
x − s/√
n x + s/√
n
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls
x
64/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Wichtige Folgerung
x − s/√
n x + s/√
n
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls
Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3liegt µ ausserhalb des Intervalls
x
64/84
Der Standardfehler Zur Verteilung von x
Demnach:
Es kommt durchaus vor, dass xvon µ
um mehr alss/√
n abweicht.
65/84
Der Standardfehler Anwendungen
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
66/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
67/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
67/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?
x = 0,12s/√
n = 0,007
Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?
67/84
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,
untersuchen wir im nachsten Kapitel.)
68/84
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,
untersuchen wir im nachsten Kapitel.)
68/84
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,
untersuchen wir im nachsten Kapitel.)
68/84
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,
untersuchen wir im nachsten Kapitel.)
68/84
Der Standardfehler Anwendungen
Antwort: Es ist gut moglich.
Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.
Standardfehlers/√
n = 0,007
Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.
(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,
untersuchen wir im nachsten Kapitel.)
68/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten
Beispiel: Eine Stichprobe von Springkrebsen
69/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten
Beispiel: Eine Stichprobe von Springkrebsen
69/84
Der Standardfehler Anwendungen
Galathea: Carapaxlangein einer Stichprobe
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 2970/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
71/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
71/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Weibchenscheinen großer zu sein.
Ist das ernst zu nehmen?
Oder konnte es nur Zufall sein?
71/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.
72/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.
72/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm
n1 = 25
s1/√
n1 = 0,18 [mm]
Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1
mussen wir rechnen.72/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom
wahren Mittelwert abweicht.
73/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom
wahren Mittelwert abweicht.
73/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wie genau sind die beiden Mittelwerte?
Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm
n2 = 29
s2/√
n2 = 0,17 [mm]
Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom
wahren Mittelwert abweicht.73/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
74/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
74/84
Der Standardfehler Anwendungen
Die Differenz der Mittelwerte
3,23− 3,04 = 0,19 [mm]
ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.
Es konnte also einfach Zufall sein,dass
x2 > x1
74/84
Der Standardfehler Anwendungen
GENAUER FORMULIERT:
Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte
gleich sind,
µWeibchen = µMannchen
kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte
x2 und x1
so weit auseinander liegen.
75/84
Der Standardfehler Anwendungen
GENAUER FORMULIERT:
Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte
gleich sind,
µWeibchen = µMannchen
kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte
x2 und x1
so weit auseinander liegen.75/84
Der Standardfehler Anwendungen
Der Statistiker sagt:
Die Differenzder Mittelwerte
ist(statistisch)
nicht signifikant.
nicht signifikant=
konnte Zufall sein
76/84
Der Standardfehler Anwendungen
Der Statistiker sagt:
Die Differenzder Mittelwerte
ist(statistisch)
nicht signifikant.
nicht signifikant=
konnte Zufall sein76/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 3:
Wenn man Mittelwertegraphisch darstellt,
sollte man auchihre Genauigkeit
(±s/√
n)anzeigen.
77/84
Der Standardfehler Anwendungen
Also nicht so:Carapaxlangen:
Mittelwerte nach Geschlecht2.
62.
83.
03.
23.
4
Car
apax
läng
e [m
m]
●
●
Männchen Weibchen
78/84
Der Standardfehler Anwendungen
sondern so:Carapaxlangen:
Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht2.
62.
83.
03.
23.
4
Car
apax
läng
e [m
m]
●
●
Männchen Weibchen
78/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 4:
Bei der Versuchsplanung:
Wieviele Beobachtungenbrauche ich?
(Wie groß sollte n sein?)
79/84
Der Standardfehler Anwendungen
ANWENDUNG 4:
Bei der Versuchsplanung:
Wieviele Beobachtungenbrauche ich?
(Wie groß sollte n sein?)
79/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,
dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:
s/√
n = g(g = gewuschter Standardfehler)
80/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,
dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:
s/√
n = g(g = gewuschter Standardfehler)
80/84
Der Standardfehler Anwendungen
Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/
√n)
fur x man erreichen will,
und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,
dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:
s/√
n = g(g = gewuschter Standardfehler)
80/84
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?
81/84
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?
81/84
Der Standardfehler Anwendungen
Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:
x = 0,18s = 0,06n = 13
Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will
Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.
Wie groß sollte n sein?81/84
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,also
√n ≈ 6
n ≈ 36
82/84
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,
also√
n ≈ 6n ≈ 36
82/84
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,also
√n ≈ 6
n ≈ 36
82/84
Der Standardfehler Anwendungen
Losung:
gewunscht:s/√
n ≈ 0,01
aus dem Vorversuch wissen wir:
s ≈ 0,06,also
√n ≈ 6
n ≈ 36
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Der Standardfehler Zusammenfassung
Inhalt
1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung
2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung
83/84
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.
Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
84/84
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .
x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
84/84
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroße
mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/√
n.Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/
√n.
s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
84/84
Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
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Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.
s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
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Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.
Schwankungen in x von der Große s/√
n kommen haufigvor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
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Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.
Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
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Der Standardfehler Zusammenfassung
ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/
√n.
Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√
n.s/√
n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/
√n kommen haufig
vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.
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