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Biostatistik, WS 2010/2011 - staff.uni-mainz.de · 1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven...

Date post: 18-Aug-2019
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172
Biostatistik, WS 2010/2011 Der Standardfehler Matthias Birkner http://www.mathematik.uni-mainz.de/ ~ birkner/Biostatistik1011/ 26.11.2010 1/84
Transcript

Biostatistik, WS 2010/2011

Der Standardfehler

Matthias Birkner

http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/Biostatistik1011/

26.11.2010

1/84

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

2/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

3/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

4/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Bachstelzen fressen Dungfliegen

Rauber Beute

Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria

image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc

5/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

available dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

available dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150 mean= 7.99

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

available dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150 mean= 7.99

sd= 0.96

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60 mean= 6.79

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60 mean= 6.79

sd= 0.69

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

4 5 6 7 8 9 10 11

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

dung flies: available, captured

length [mm]

frac

tion

per

mm

availablecaptured

6/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Wahlerische BachstelzenLange der Dungfliegen:

gefangen verfugbarMittelwert 6.79 < 7.99

Standardabw. 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

dung flies: available, captured

length [mm]

frac

tion

per

mm

availablecaptured

Interpretation: Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen auseinem relativ engen Großenbereich um 7mm herum.

7/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Beobachtung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden

(z.B. die verfugbaren und die tatsachlich gefangenen Dungfliegenaus dem Bachstelzen-Beispiel).

Es gibt aber auch Ausnahmen.

8/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Beobachtung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden

(z.B. die verfugbaren und die tatsachlich gefangenen Dungfliegenaus dem Bachstelzen-Beispiel).

Es gibt aber auch Ausnahmen.

8/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

9/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Kupfertolerantes Rotes Straußgras

Rotes Straußgras KupferAgrostis tenuis Cuprum

image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles

10/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.

11/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????

Nein! Deutlich mehr.

11/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.

11/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden,

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

12/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden,

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

12/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●

● ●

0 50 100 150 200

Browntop Bent n=50+50

root length (cm)

copper mine plants

meadow plants

13/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Schlussfolgerung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!

14/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Schlussfolgerung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!

14/84

Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Schlussfolgerung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen Sie sich nicht allein auf numerischeKenngroßen!

14/84

Der Standardfehler

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

15/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

16/84

Der Standardfehler Ein Versuch

HirseBild: Panicum miliaceum

17/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Ein Versuch

Versuchsaufbau:

14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).

An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein

Mittelwert uber drei Tage errechnet.

Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.

18/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Ein Versuch

Versuchsaufbau:

14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).

An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein

Mittelwert uber drei Tage errechnet.

Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.

18/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Ein Versuch

Versuchsaufbau:

14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).

An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wagung ermittelt und ein

Mittelwert uber drei Tage errechnet.

Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattflache bestimmt.

18/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Transpirationsrate=

(Wasserabgabe pro Tag)/Blattflache

[ml

cm2·Tag

]

19/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Transpirationsrate=

(Wasserabgabe pro Tag)/Blattflache[ml

cm2·Tag

]

19/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate

µ

(fur diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.

20/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate µ

(fur diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.

20/84

Der Standardfehler Ein Versuch

In einem großen Versuch mit sehr vielenPflanzen konnte man µ beliebig genau

bestimmen.

FRAGE:Wie genau ist die Schatzung von µ in

diesem kleinen (n = 14) Versuch?

21/84

Der Standardfehler Ein Versuch

In einem großen Versuch mit sehr vielenPflanzen konnte man µ beliebig genau

bestimmen.

FRAGE:Wie genau ist die Schatzung von µ in

diesem kleinen (n = 14) Versuch?

21/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Trockengestresste Hirse (n = 14)

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Häu

figke

it

22/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Trockengestresste Hirse (n = 14)

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Häu

figke

it

Mittelwert=0,117

22/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Trockengestresste Hirse (n = 14)

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Häu

figke

it

Standardabweichung=0,026

22/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14

x =(x1 + x2 + · · · + x14

)/14

=1

14

14∑i=1

xi

x = 0,117

23/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14

x =(x1 + x2 + · · · + x14

)/14 =

114

14∑i=1

xi

x = 0,117

23/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14

x =(x1 + x2 + · · · + x14

)/14 =

114

14∑i=1

xi

x = 0,117

23/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117

Wie genau ist diese Schatzung?

Wie weit weicht x (unser Schatzwert)

von µ (dem wahren Mittelwert) ab?

24/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117

Wie genau ist diese Schatzung?

Wie weit weicht x (unser Schatzwert)

von µ (dem wahren Mittelwert) ab?

24/84

Der Standardfehler Ein Versuch

Unsere Schatzung:µ ≈ 0,117

Wie genau ist diese Schatzung?

Wie weit weicht x (unser Schatzwert)

von µ (dem wahren Mittelwert) ab?

24/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

25/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Ein allgemeiner Rahmen

Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,

sondern 100 mal,1.000 mal,

1.000.000 malwiederholt.

26/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Ein allgemeiner Rahmen

Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,

sondern 100 mal,

1.000 mal,1.000.000 mal

wiederholt.

26/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Ein allgemeiner Rahmen

Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,

sondern 100 mal,1.000 mal,

1.000.000 malwiederholt.

26/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Ein allgemeiner Rahmen

Wir stellen uns vor,wir hatten den Versuch nicht 14 mal,

sondern 100 mal,1.000 mal,

1.000.000 malwiederholt.

26/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Unsere 14 Transpirationswertebetrachten wir als

zufallige Stichprobeaus dieser großen Population

von moglichen Werten.

27/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population(sämtliche Transpirationsraten)

n=oo

28/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population(sämtliche Transpirationsraten)

n=oo

Stichproben=14

28/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population(sämtliche Transpirationsraten)

µ

Stichprobex

28/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Wir schatzenden Populationsmittelwert

µ

durchden Stichprobenmittelwert

x .

29/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .

x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße

FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise

von µ ab?

30/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .

x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße

FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise

von µ ab?

30/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .

x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße

FRAGE: Wie variabel ist x?

Genauer: Wie weit weicht x typischerweisevon µ ab?

30/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .

x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße

FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise

von µ ab?

30/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

x =(x1 + x2 + · · · + xn

)/n

Wovon hangt die Variabilitat von x ab?

31/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

1.

von derVariabilitat

der einzelnenBeobachtungen

x1, x2, . . . , xn

32/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

x variiert viel

⇒ x variiert viel

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

x variiert wenig

⇒ x variiert wenig

33/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mittelwert = 0.117

x variiert viel⇒ x variiert viel

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mittelwert = 0.117

x variiert wenig⇒ x variiert wenig

33/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

2.

vomStichprobenumfang

n

Je großer n,desto kleiner

die Variabilitat von x .

34/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

2.

vomStichprobenumfang

n

Je großer n,desto kleiner

die Variabilitat von x .

34/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Um diese Abhangigkeitzu untersuchen,machen wir ein

(Computer-)Experiment.

35/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Experiment:

Wir nehmen eine Population,ziehen Stichproben,

und schauen,wie x variiert.

36/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Nehmen wir an,die Verteilung

aller moglichen Transpirationswertesieht folgendermaßen aus:

37/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

38/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

Mittelwert=0.117

38/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

Standardabw.=0.026

38/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Wir beginnen mit kleinen Stichproben:

n = 4

39/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Eine Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

40/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Eine zweite Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

40/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Eine dritte Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

40/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

10 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

41/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

10 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

41/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

50 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

42/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

50 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

42/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Wie variabel sind

die Stichprobenmittelwerte?

43/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

10 Stichproben vom Umfang 4

und die zugehorigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

44/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

10 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehorigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

44/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

50 Stichproben vom Umfang 4

und die zugehorigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

45/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

50 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehorigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

45/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 4)

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

40

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026

StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.=0.013

46/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013

= 0,026/√

4

47/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013

= 0,026/√

4

47/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013

= 0,026/√

4

47/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Erhohen wirden Stichprobenumfang

von4

auf16

48/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

10 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehorigen Stichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

49/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

50 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehorigen Stichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

50/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 16)

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

020

4060

80

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026

StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.= 0.0065

51/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065

= 0,026/√

16

52/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065

= 0,026/√

16

52/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065

= 0,026/√

16

52/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Die allgemeine Regel

Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom

Umfang n

ist1/√

nmal

der Standardabweichungder Population.

53/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Die allgemeine Regel

Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom

Umfang n

ist1/√

nmal

der Standardabweichungder Population.

53/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit

σ

(sigma).

Die Regel schreibt man haufig so:

σ(x) =1√nσ(X )

54/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit

σ

(sigma).

Die Regel schreibt man haufig so:

σ(x) =1√nσ(X )

54/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

In der Praxis istσ

unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschatzt:

55/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

In der Praxis istσ

unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschatzt:

55/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

In der Praxis istσ

unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschatzt:

σ =??

55/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

In der Praxis istσ

unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschatzt:

σ ≈ s

55/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

s/√

n(die geschatzte

Standardabweichungvon x)

nennt man denStandardfehler.

(Englisch: standard error of the mean,standard error, SEM)

56/84

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

s/√

n(die geschatzte

Standardabweichungvon x)

nennt man denStandardfehler.

(Englisch: standard error of the mean,standard error, SEM)

56/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

57/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Wir haben gesehen:

Auch wenn die Verteilung vonx mehrgipfelig

&asymmetrisch

ist

58/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

59/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

ist die Verteilung vonx

trotzdem(annahernd)

eingipfelig&

symmetrisch

(wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)

60/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

Population Stichprobenmittel(n=16)

61/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Die Verteilung von xhat annahernd

eine ganz bestimmte Form:

die Normalverteilung.

62/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp

( (x−µ)2

2σ2

)

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nor

mal

dich

te

µµ µµ ++ σσµµ −− σσ

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)

63/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp

( (x−µ)2

2σ2

)

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nor

mal

dich

te

µµ µµ ++ σσµµ −− σσ

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)

63/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2 exp

( (x−µ)2

2σ2

)

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)63/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Wichtige Folgerung

Wir betrachten das Intervallx − s/

√n x + s/

√n

x

64/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Wichtige Folgerung

x − s/√

n x + s/√

n

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls

x

64/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Wichtige Folgerung

x − s/√

n x + s/√

n

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3liegt µ ausserhalb des Intervalls

x

64/84

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Demnach:

Es kommt durchaus vor, dass xvon µ

um mehr alss/√

n abweicht.

65/84

Der Standardfehler Anwendungen

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

66/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?

x = 0,12s/√

n = 0,007

Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?

67/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?

x = 0,12s/√

n = 0,007

Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?

67/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?

x = 0,12s/√

n = 0,007

Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?

67/84

Der Standardfehler Anwendungen

Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nachsten Kapitel.)

68/84

Der Standardfehler Anwendungen

Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nachsten Kapitel.)

68/84

Der Standardfehler Anwendungen

Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nachsten Kapitel.)

68/84

Der Standardfehler Anwendungen

Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nachsten Kapitel.)

68/84

Der Standardfehler Anwendungen

Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nachsten Kapitel.)

68/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Eine Stichprobe von Springkrebsen

69/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Eine Stichprobe von Springkrebsen

69/84

Der Standardfehler Anwendungen

Galathea: Carapaxlangein einer Stichprobe

Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 2970/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Weibchenscheinen großer zu sein.

Ist das ernst zu nehmen?

Oder konnte es nur Zufall sein?

71/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Weibchenscheinen großer zu sein.

Ist das ernst zu nehmen?

Oder konnte es nur Zufall sein?

71/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Weibchenscheinen großer zu sein.

Ist das ernst zu nehmen?

Oder konnte es nur Zufall sein?

71/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

mussen wir rechnen.

72/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

mussen wir rechnen.

72/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

mussen wir rechnen.72/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom

wahren Mittelwert abweicht.

73/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom

wahren Mittelwert abweicht.

73/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom

wahren Mittelwert abweicht.73/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]

ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.

Es konnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1

74/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]

ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.

Es konnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1

74/84

Der Standardfehler Anwendungen

Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]

ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.

Es konnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1

74/84

Der Standardfehler Anwendungen

GENAUER FORMULIERT:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMannchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.

75/84

Der Standardfehler Anwendungen

GENAUER FORMULIERT:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMannchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.75/84

Der Standardfehler Anwendungen

Der Statistiker sagt:

Die Differenzder Mittelwerte

ist(statistisch)

nicht signifikant.

nicht signifikant=

konnte Zufall sein

76/84

Der Standardfehler Anwendungen

Der Statistiker sagt:

Die Differenzder Mittelwerte

ist(statistisch)

nicht signifikant.

nicht signifikant=

konnte Zufall sein76/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 3:

Wenn man Mittelwertegraphisch darstellt,

sollte man auchihre Genauigkeit

(±s/√

n)anzeigen.

77/84

Der Standardfehler Anwendungen

Also nicht so:Carapaxlangen:

Mittelwerte nach Geschlecht2.

62.

83.

03.

23.

4

Car

apax

läng

e [m

m]

Männchen Weibchen

78/84

Der Standardfehler Anwendungen

sondern so:Carapaxlangen:

Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht2.

62.

83.

03.

23.

4

Car

apax

läng

e [m

m]

Männchen Weibchen

78/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 4:

Bei der Versuchsplanung:

Wieviele Beobachtungenbrauche ich?

(Wie groß sollte n sein?)

79/84

Der Standardfehler Anwendungen

ANWENDUNG 4:

Bei der Versuchsplanung:

Wieviele Beobachtungenbrauche ich?

(Wie groß sollte n sein?)

79/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/

√n)

fur x man erreichen will,

und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,

dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:

s/√

n = g(g = gewuschter Standardfehler)

80/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/

√n)

fur x man erreichen will,

und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,

dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:

s/√

n = g(g = gewuschter Standardfehler)

80/84

Der Standardfehler Anwendungen

Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/

√n)

fur x man erreichen will,

und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefahr kennt,

dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:

s/√

n = g(g = gewuschter Standardfehler)

80/84

Der Standardfehler Anwendungen

Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?

81/84

Der Standardfehler Anwendungen

Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?

81/84

Der Standardfehler Anwendungen

Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?81/84

Der Standardfehler Anwendungen

Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,also

√n ≈ 6

n ≈ 36

82/84

Der Standardfehler Anwendungen

Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,

also√

n ≈ 6n ≈ 36

82/84

Der Standardfehler Anwendungen

Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,also

√n ≈ 6

n ≈ 36

82/84

Der Standardfehler Anwendungen

Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,also

√n ≈ 6

n ≈ 36

82/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

Inhalt

1 Ein kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

83/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.

Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

84/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .

x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

84/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroße

mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/√

n.Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/

√n.

s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

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Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

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Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.

s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

84/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.

Schwankungen in x von der Große s/√

n kommen haufigvor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

84/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.

Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

84/84

Der Standardfehler Zusammenfassung

ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.

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