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Biostatistik, Sommer 2019 - staff.uni-mainz.de .Biostatistik, Sommer 2019 Vergleich zweier...

Date post:21-Aug-2019
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  • Biostatistik, Sommer 2019 Vergleich zweier Stichproben:

    Gepaarter, Ungepaarter t-Test, Welch Test

    Prof. Dr. Achim Klenke

    https://www.aklenke.de

    11. Vorlesung: 05.07.2019

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    https://www.aklenke.de

  • Inhalt

    1 Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test Ungepaarter t-Test Ungepaarter t-Test bei unterschiedlicher Varianz, Welch Test Vergleich: Gepaarter vs ungepaarter t-Test

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Grundproblem

    Bei n Individuen soll eine Messgröße x unter zwei Versuchsbedingungen gemessen werden. Unterscheiden sich die Mittelwerte der Messungen?

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Modellierung

    Unter Versuchsbedingung 1 sind die Messwerte x (1)1 , . . . , x (1) n

    unabhängig mit Erwartungswert µ1. Unter Versuchsbedingung 2 sind die Messwerte x (2)1 , . . . , x

    (2) n

    unabhängig mit Erwartungswert µ2.

    Annahme (Hoffnung!!!): Die Differenzen x (2)1 − x

    (1) 1 , . . . , x

    (2) n − x

    (1) n sind (ungefähr) normalverteilt mit

    unbekannter Varianz σ2 (und Erwartungswert µ2 − µ1).

    Nullhypothese (H0): µ1 = µ2.

    Alternative (H1): µ1 6= µ2 (beidseitig) µ1 < µ2 (rechtsseitig) µ1 > µ2 (linksseitig).

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Verfahren Unter der Nullhypothese sind die Differenzen xk = x

    (2) k − x

    (1) k

    unabhängig und normalverteilt mit unbekannter Varianz σ2 und Erwartungswert µ = µ2 − µ1 = 0. Also verfahren wir jetzt wie im bekannten t-Test: Teststatistik

    T (x) = x

    sn−1/ √

    n ,

    wobei

    x = 1 n

    n∑ k=1

    xk = 1 n

    n∑ k=1

    (x (2)k − x (1) k )

    ist und

    s2n−1 = 1

    n − 1

    n∑ k=1

    (xk − x)2.

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Linksseitige Alternative

    Verwerfungsregel

    Nullhypothese (H0): µ2 = µ1 Alternative (H1): µ2 < µ1.

    Verwirf H0 zugunsten von H1, falls T (x) ≤ −tn−1;1−α.

    p-Wert

    p(x) = tn−1(T (x)) = 1− tn−1(−T (x)).

    tn−1 Verteilungsfunktion der tn−1-Verteilung (Tabelle T4).

    Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "less")

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Rechtsseitige Alternative

    Verwerfungsregel

    Nullhypothese (H0): µ2 = µ1 Alternative (H1): µ2 > µ1.

    Verwirf H0 zugunsten von H1, falls T (x) ≥ tn−1;1−α.

    p-Wert

    p(x) = tn−1(−T (x)) = 1− tn−1(T (x)).

    tn−1 Verteilungsfunktion der tn−1-Verteilung (Tabelle T4).

    Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "greater")

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beidseitige Alternative

    Verwerfungsregel

    Nullhypothese (H0): µ2 = µ1 Alternative (H1): µ2 6= µ1.

    Verwirf H0 zugunsten von H1, falls |T (x)| ≥ tn−1;1−α/2.

    p-Wert

    p(x) = 2(1− tn−1(|T (x)|)).

    tn−1 Verteilungsfunktion der tn−1-Verteilung (Tabelle T4).

    Berechnung mit R t.test(x2 - x1, alternative = "two.sided")

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln

    Zugvögel werden einer Beleuchtung mit bestimmter Farbe (grün oder blau) ausgesetzt. Ist die Genauigkeit der Orientierung (magnetischer Kompass) abhängig von der Farbe?

    Nullhypothese: Nein. Alternative: Doch.

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Versuchsanordnung

    Es werden n = 17 Trauerschnäpper in Käfigen einer Beleuchtung mit blauem Licht ausgesetzt (Versuchsbedingung 1) und jeweils in mehreren Durchgängen ihre Flugrichtung ermittelt.

    Die Flugrichtung wird als Punkt auf einem Kreis dargestellt. Aus allen Punkten auf dem Kreis wird der Schwerpunktvektor ermittelt.

    Danach der gleiche Versuch mit grünem Licht (Bedingung 2).

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Bestimmung des Schwerpunktvektors

    Je variabler die Richtungen, desto kürzer der Pfeil!

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Ansatz des Tests

    Für jeden Vogel i = 1, . . . ,17 bezeichnen wir mit x (1)i die Länge des Schwerpunktvektors bei blauem Licht und mit x (2)i die Länge des Schwerpunktvektors bei grünem Licht.

    xi = x (2) i − x

    (1) i .

    Festlegung des Niveaus: α = 5%. Schwerpunktvektoren sind Mittelwerte vieler zufälliger Beobachtungen, also etwa normalverteilt (zentraler Grenzwertsatz). Also: Gepaarter t-Test mit beidseitiger Alternative und Niveau 5%. Verwerfe H0, falls

    |T (x)| > tn−1;1−α/2 = t16;0.975 = 2.12.

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Daten und Durchführung

    Differenzen xi :

    −0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

    Mittelwert und Streuung:

    x = 0.0518 sn−1 = 0.0912.

    t-Statistik T (x) = x

    sn−1/ √

    n =

    0.0518 0.0912/

    √ 17 ≈ 2.34.

    Also ist |T (x)| = 2.34 > 2.12 = t16;0.975. p-Wert:

    p(x) = 2(1−tn−1(|T (x)|)) = 2(1−t16(2.34)) = 2(1−0.983) = 0.034.

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  • Vergleich zweier Stichproben Gepaarter t-Test

    Beispiel: Orientierung von Zugvögeln Fazit

    Wir können die Hypothese, dass die Farbe des Lichtes keine Rolle für die Orientierungsgenauigkeit der Trauerschnäpper spielt, zum Niveau 5% verwerfen.

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Beispiel: Backenzähne von Hipparions

    (c): public domain

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    http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hipparion_gracile.JPG

  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Beispiel: Backenzähne von Hipparions Die Daten

    77 Backenzähne

    gefunden in den Chiwondo Beds, Malawi,

    jetzt in den Sammlungen des Hessischen Landesmuseums, Darmstadt

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Beispiel: Backenzähne von Hipparions Zuordnung

    Die Zähne wurden zwei Arten zugeordnet:

    Hipparion africanum ≈ 4 Mio. Jahre, 39 Zähne

    Hipparion libycum ≈ 2,5 Mio. Jahre, 38 Zähne

    17/57

  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Beispiel: Backenzähne von Hipparions Geologischer Hintergrund

    Vor 2,8 Mio. Jahren kühlte sich das Klima weltweit ab.

    Das Klima in Ostafrika: warm-feucht −→ kühl-trocken

    Hipparion: Laubfresser −→ Grasfresser

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Beispiel: Backenzähne von Hipparions Frage

    Hipparion: Laubfresser −→ Grasfresser

    andere Nahrung −→ andere Zähne?

    Messungen: mesiodistale Länge

    Lässt sich die Nullhypothese, dass die Zähne gleich sind, zum Niveau 1% verwerfen?

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Die Theorie

    Annahme: Wir haben zwei unabhängige Stichproben x1,1, . . . , x1,n1 und x2,1, . . . , x2,n2.

    Die x1,i stammen aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ1 und unbekannter Varianz σ2 > 0, die x2,i aus einer Normalverteilung mit (unbekanntem) Mittelwert µ2 und derselben Varianz σ2.

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Die Theorie

    Seien

    x1 = 1 n1

    n1∑ i=1

    x1,i und x2 = 1 n2

    n2∑ i=1

    x2,i

    die jeweiligen Stichprobenmittelwerte,

    s1 =

    √√√√ 1 n1 − 1

    n1∑ i=1

    (x1,i − x1)2,

    s2 =

    √√√√ 1 n2 − 1

    n2∑ i=1

    (x2,i − x2)2,

    die (korrigierten) Stichprobenstreuungen.

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Die Theorie Wir möchten die Hypothese H0 : ”µ1 = µ2“ prüfen. Wenn µ1 = µ2 gilt, so sollte x1 = x2 ”bis aufZufallsschwankungen“ gelten, denn E[x1] = µ1, E[x2] = µ2. Was ist die Skala der typischen Schwankungen von x2 − x1? Var(x1 − x2) = σ2

    ( 1 n1

    + 1n2

    ) Problem (wie bereits im ein-Stichproben-Fall): Wir kennen σ2 nicht. Wir schätzen es im zwei-Stichproben-Fall durch die gepoolte Stichprobenvarianz

    s2 = (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22

    n1 + n2 − 2 und bilden die Teststatistik

    T (x) = x2 − x1

    s √

    1 n1

    + 1n2

    .

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Die Theorie

    Wenn µ1 = µ2 gilt, so ist

    T (x) = x2 − x1

    s √

    1 n1

    + 1n2

    tn1+n2−2-verteilt.

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  • Vergleich zweier Stichproben Ungepaarter t-Test

    Die Theorie Linksseitige Alternative

    Verwerfungsregel

    Nullhypothese (H0): µ2 = µ1 Alternative (H1): µ2 < µ1.

    Verwirf H0 zugunsten von H1, falls T (x) ≤ −tn1+n2−2;1−α.

    p-Wert

    p(x) = tn1+n2−2(T (x)) = 1− tn1+n2−2(−T (x)).

    tn1+n2−2

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