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Biostatistik, Sommer 2017 - staff.uni-mainz.de Organisatorisches Literatur Literaturhinweise (UB...

Date post:24-Oct-2019
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  • Biostatistik, Sommer 2017 Einführung, Quadratische Gleichungen

    Prof. Dr. Achim Klenke

    http://www.aklenke.de

    1. Vorlesung: 21.04.2017

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    http://www.aklenke.de

  • Inhalt 1 Organisatorisches

    Themen Literatur

    2 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) Vorgehen (anspruchsvoll)

    3 Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung Potenzen und Wurzeln Bruchrechnung

    4 Quadratische Gleichungen Theorie Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht

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  • Organisatorisches

    Orte, Zeiten, Übungen, Zulassungskriterien, . . .

    http://www.aklenke.de

    Übungen: elektronisch via ilias, von Timo Schlüter betreut. Abgabe jeweils bis Freitag. Tutorien für Fragen, Besprechung der Übungsaufgaben, etc. Klausur (Modul 4-1): 24.07.2017, 10-12 Uhr.

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    http://www.aklenke.de

  • Organisatorisches

    Tutoriumstermine und -räume

    Es wird vier Tutorien geben. Voraussichtliche Termine:

    1 Di 12–14, Raum 04-224 Lukas Metzdorf 2 Mi 12–14, Raum 05-514 Lukas Metzdorf 3 Do 14–16, Raum 04-516 Fabio Frommer 4 Fr 12–14, Raum 04-224 Fabio Frommer

    Räume im Institut für Mathematik, Staudingerweg 9

    Anmeldung elektronisch.

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  • Organisatorisches Themen

    Themen Wiederholung Schulmathematik

    Dreisatz, Zahlen, quadratische Gleichungen, Folgen Exponential- und Logarithmusfunktion Differential- und Integralrechnung

    Beschreibende Statistik Mittelwert, Median, Quantile, Standardfehler Lineare Regression Histogramme etc.

    Schließende Statistik Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Schätzer Konfidenzintervalle Tests (t , χ2, Rangtests)

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  • Organisatorisches Literatur

    Literaturhinweise (UB Lehrbuchsammlung) 1 Steland, Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung,

    Springer 2004 2 Bohl, Mathematik in der Biologie, Springer 2001 3 H. Vogt, Grundkurs Mathematik für Biologen, 2. Aufl., Teubner,

    1994. 4 A. Riede, Mathematik für Biologen, Vieweg, 1993.

    5 F. Bärlocher, Biostatistik, Thieme, 1999. 6 W. Timischl, Biostatistik : eine Einführung für Biologen und

    Mediziner, 2. Aufl., Springer, 2000. 7 W. Köhler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik : eine Einführung

    für Biologen und Agrarwissenschaftler, 4. Aufl., Springer, 2007. (Auch als E-Book vorhanden)

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  • Organisatorisches

    Quellen

    Diese Vorlesung basiert in Teilen auf Material von Brooks Ferebee (Universität Frankfurt) Gaby Schneider (Universität Frankfurt) Anton Wakolbinger (Universität Frankfurt) Martin Hutzenthaler und Dirk Metzler (LMU München) Matthias Birkner (Uni Mainz)

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)

    Was ist Mathematik?

    Mathematik ist Sprache und Kalkül.

    Drei Schritte: (1) konkretes Problem formalisieren (2) formales Problem lösen (3) formale Lösung im Kontext interpretieren

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)

    Beispiel: Ansetzen einer chemischen Lösung.

    Es sollen 20ml einer 2% igen wässrigen Lösung angesetzt werden. Im Regal finden Sie:

    15% ige Lösung reines Wasser

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)

    (1) Formalisieren: Wir definieren Symbole x und y durch

    x = Volumen der 15% igen Lösung, die verwendet wird y = Volumen des Wassers, das verwendet wird

    Es ergeben sich zwei Gleichungen

    15% · x 20 ml

    = 2%, x + y = 20 ml.

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)

    15% · x 20 ml

    = 2%, x + y = 20 ml.

    (2) Formale Lösung:

    15% · x 20 ml

    = 2% =⇒ 15% · x = 2% · 20 ml

    =⇒ x = 2% 15%

    · 20 ml = 8 3

    ml ≈ 2.67 ml.

    Aus der zweiten Gleichung (x + y = 20 ml) folgt y = 20 ml− x = 523 ml ≈ 17.33 ml.

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)

    (3) Interpretation Es müssen 2.67 ml der 15% igen Lösung in 17.33 ml Wasser pipettiert werden.

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    Anspruchsvollere Verwendung von Mathematik

    Fünf Schritte: (1) Modell bilden (2) Modell formalisieren (3) formales Modell mathematisch analysieren (4) formale Ergebnisse interpretieren (5) Vergleich mit der Natur bzw. Schätzen von

    Modellparametern (hier kommt Statistik ins Spiel)

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    Beispiel: Verseuchung des Edersees. Durch einen Chemie-Unfall ist der Edersee mit PCB verseucht. Konzentration c = 1µg/l . Wie groß ist die Belastung nach einem Jahr?

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (1) Modell bilden.

    Konstanter Wasserzufluss. Jeden Tag durchmischt sich das zugeflossene Wasser komplett mit dem Inhalt des Stausees und fließt dann ab.

    Alternativen: Das zugeflossene Wasser fließt ab, ohne sich zu durchmischen. Das zugeflossene Wasser verdrängt das vorhandene Wasser. ...

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (2) Modell formalisieren.

    Volumen des Sees: V = 200Mio m3.

    Zufluss eines Jahres: Z = 600Mio m3.

    Konzentration am Tag n = 0,1, . . . ,365: cn. Speziell c0 = c = 1µg/l .

    Modellannahme ”konstanter Zufluss“ liefertZufluss eines Tages:

    ZT = Z

    365 .

    Modellannahme ”täglich perfekte Vermischung“ liefert

    cn+1 = cn · V

    V + ZT .

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (3) Formales Modell analysieren. Wir haben c0 = 1 und

    cn+1 = cn · V

    V + ZT = cn ·

    200Mio 200Mio + 600Mio/365

    = cn · 1

    1 + 3/365 .

    Also c1 = c0 ·

    1 1 + 3/365

    c2 = c1 · 1

    1 + 3/365 = c0 ·

    ( 1

    1 + 3/365

    )2

    c3 = c2 · 1

    1 + 3/365 = c0 ·

    ( 1

    1 + 3/365

    )2 · 1

    1 + 3/365

    = c0 · (

    1 1 + 3/365

    )3 17/37

  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (3) Formales Modell analysieren.

    Also für jedes n:

    cn = c0 · (

    1 1 + 3/365

    )n .

    Speziell ist

    c365 = c0 · (

    1 1 + 3/365

    )365 = 0.0504 µg/l .

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (4) Formales Ergebnis interpretieren.

    Nach einem Jahr beträgt die Konzentration PCB im Edersee noch 0.0504 µg/l (falls das Modell realistisch ist).

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  • Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)

    (5) Vergleich mit der Realität.

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  • Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung

    Schreibweisen für reelle Zahlen:√ 3, 1−

    √ 2, π, e (das lieben Mathematiker)

    1.73205 . . ., −0.41421 . . ., 3.14159 . . . (das versteht der Taschenrechner) 5/3 = 1.6 = 1.66666 . . . 1.67 · 105 = 167 000, denn 105 = 100 000 2.3 · 10−4 = 0.00023, denn und 10−4 = 0.0001 1.67 E5 = 1.67 · 105 2.3 E − 4 = 2.3 · 10−4 (manche ältere Messinstrumente)

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  • Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung

    Zehnerpotenzen 101 Zehn deka da

    102 Hundert hekto h

    103 Tausend kilo k

    106 Million mega M

    109 Milliarde giga G

    1012 Billion tera T

    1015 Billiarde peta P

    1018 Trillion exa E

    10−1 dezi d

    10−2 zenti c

    10−3 milli m

    10−6 mikro µ

    10−9 nano n

    10−12 pico p

    10−15 femto f

    10−18 atto a

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  • Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung

    Zehnerpotenzen 101 Zehn deka da

    102 Hundert hekto h

    103 Tausend kilo k

    106 Million mega M

    109 Milliarde giga G

    1012 Billion tera T

    1015 Billiarde peta P

    1018 Trillion exa E

    10−1 dezi d

    10−2 zenti c

    10−3 milli m

    10−6 mikro µ

    10−9 nano n

    10−12 pico p

    10−15 femto f

    10−18 atto a

    Gelbes Licht, Wellenlänge

    440nm = 440 · 10−9 m = 4.4 · 10−7 m.

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  • Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung

    Zehnerpotenzen 101 Zehn deka da

    102 Hundert hekto h

    103 Tausend kilo k

    106 Million mega M

    109 Milliarde giga G

    1012 Billion tera T

    1015 Billiarde peta P

    1018 Trillion exa E

    10−1 dezi d

    10−2 zenti c

    10−3 milli m

    10−6 mikro µ

    10−9 nano n

    10−12 pico p

    10−15 femto f

    10−18 atto a

    Stromerzeugung in Deutschland (2015): 646TWh = 646 · 1012 Wh = 646 · 109 kWh. 1Wh = 3600 J, also wurden erzeugt:

    646 · 1012 · 3600 J = 2.32 · 1018 J = 2.32EJ. 24/37

  • Zahlen und Rechenregeln Potenzen und Wurzeln

    Für n = 1,2,3, . . . und a ∈ R (reelle Zahl)

    an = a · a · a · · · a (n Faktoren).

    Regeln am · an = am+n.

    (am)n = amn.

    an · bn = (ab)n. Wir setzen

    a0 = 1

    und a−m =

    1 am

    falls a 6= 0.

    Wir definieren n √

    a = a1/n durch

    (a1/n)n = a falls a ≥ 0.

    Rechenregeln gelten dann auch für ax mit x ∈ R. 25/37

  • Zahlen und Rechenregeln Bruchrechnung

    Bruchrechnung a,b, c,d reelle Zah

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