Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag...

Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

Zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktors der Ingenieurwissenschaften

(Dr-Ing)

vom Fachbereich

Bauingenieurwesen

der Universitaumlt Siegen

genehmigte

Dissertation

von

Dipl-Ing Jens Strohbusch

Referent Prof Dr-Ing Alfons Goris

Korreferent Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang

Tag der muumlndlichen Pruumlfung 15 Juni 2010

Siegen 2010

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand waumlhrend meiner Taumltigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl fuumlr Massivbau der Universitaumlt Siegen

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof Dr-Ing Alfons Goris fuumlr die Unterstuumltzung und Foumlrderung meiner Arbeit sowie die vertrauensvolle und lehrreiche Zeit die ich am Lehrstuhl fuumlr Massivbau verbringen durfte

Herrn Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang moumlchte ich sehr herzlich fuumlr das Interesse an meiner Arbeit und fuumlr die Uumlbernahme des Korreferates danken

Wegen der Freundlichkeit und Hilfsbereitschaft der Kolleginnen und Kollegen des Fach-bereichs Bauingenieurwesen wird mir die Zeit an der Universitaumlt Siegen stets in guter Erinnerung bleiben Hier danke ich besonders Herrn Dipl-Ing Oliver Carl fuumlr die anregenden Diskussionen

Meinen Eltern danke ich fuumlr ihre liebevolle Unterstuumltzung die mir waumlhrend meines Studiums des Bauingenieurwesens eine groszlige Hilfe war

Siegen im Juni 2010 Jens Strohbusch

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Verformungen von Stahlbetonbauteilen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit untersucht Da insbesondere bei Plattentragwerken eine ausreichende Verformungsbegrenzung haumlufig den maszliggebenden Einfluss auf die Dimensionierung hat ist eine ausreichend genaue Bestimmung der Durchbiegung notwendig um wirtschaftliche und schadensfreie Konstruktionen zu erhalten Wegen des nichtlinearen Verhaltens von Stahlbeton und den streuenden und zeitabhaumlngigen Materialeigenschaften ist eine genauere Durchbiegungsberechung mit einem groszligen Rechenaufwand verbunden ist so dass in der Praxis gerne auf Konstruktionsregeln (Nachweis der bdquoBiegeschlankheitldquo) zuruumlckgegriffen wird

Die derzeit bestehenden Regelungen werden in der Arbeit kritisch uumlberpruumlft Dabei ist zum einen festzustellen dass die Ergebnisse der verschiedenen Nachweisverfahren zum Teil erhebliche Unterschiede liefern Ursache dafuumlr ist insbesondere dass bei einigen Verfahren wichtige Eingangsgroumlszligen wie bspw Betonfestigkeit und Belastung unberuumlcksichtigt bleiben

Fuumlr eine differenziertere Betrachtung wird zunaumlchst ein eigenes Berechnungsverfahren entwickelt so dass wesentliche Einflussfaktoren herausgearbeitet werden koumlnnen Besondere Schwerpunkte sind dabei die Modellierung der Langzeiteinfluumlsse (Kriechen und Schwinden) das Erfassen der Rissbildung uumlber die Zug- und Biegezugfestigkeit des Betons und das Zusammenwirken von Bewehrung und Beton uumlber den Verbund

Die Berechnung mit Nettoquerschnittswerten ist moumlglich Durch Untersuchungen an ver-schiedenen Querschnitten aus Normalbeton kann nachgewiesen werden dass der Einfluss von Nettoquerschnittswerten fuumlr uumlbliche Betonfestigkeitsklassen vernachlaumlssigbar klein ist

Auszligerdem wird die Teilfertigung mit einer Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt Es werden fuumlr einige Varianten Berechnungsmethoden erstellt und in eine EDV-Anwendung implementiert Es werden die zeitabhaumlngigen Spannungsumlagerungen beim Kriechen und Schwinden sowohl zwischen Beton und Bewehrung als auch zwischen Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung beruumlcksichtigt

Mit dem entwickelten Berechnungsverfahren koumlnnen bereits bestehende Nachweisverfahren kritisch uumlberpruumlft werden Schwerpunkt liegt hier auf die sog Biegeschlankheitsnachweise ndash insbes auch in DIN 1045-12008 ndash die sich in der Praxis wegen der einfachen Handhabbarkeit groszliger Beliebtheit erfreuen Es kann gezeigt werden dass die gaumlngigen Verfahren nur bedingt geeignet sind Anforderungen an eine Durchbiegungsbegrenzung zu erfuumlllen Das gilt insbesondere fuumlr den in DIN 1045-1 enthaltene Nachweis der sich trotz technischer Veraumlnderungen in der Bemessung und der Konstruktion noch auf Untersuchungen aus den 60er Jahre bezieht

Abschlieszligend wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt dass auf der Basis des bekannten Biegeschlankheitsnachweises weiter entwickelt wird Es koumlnnen weitere maszliggebende Parameter beruumlcksichtigt werden und so die Qualitaumlt des bisherigen Verfahrens deutlich verbessert werden

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Inhalt 1 Einleitung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 11 Motivation und Zielsetzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 12 Aufbau der Arbeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 2 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 21 Verformungen und ihre Folgen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

3 Stand der Technik helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 313 Vergleich der Schlankheitsnachweise helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literaturhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 36 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 4 Materialverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 41 Beton helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 411 Kurzzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 412 Langzeitverhalten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 42 Betonstahl Spannstahl helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 43 Verbund helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung helliphelliphellip 39 52 Einfluss des Schwindens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares hellip 40 522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphellip 47 523 Schwinden nach EN 1992-1-1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51 526 Schwinden im Zustand IIm helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52 53 Einfluss des Kriechens helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53 531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren helliphelliphelliphelliphelliphellip 53 532 Ansatz nach EN 1992-1-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56 533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56

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534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung helliphellip 59 541 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60 542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08] helliphelliphelliphelliphelliphellip 61 543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62 544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03] helliphelliphelliphelliphelliphellip 63 545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64 547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88] helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 548 Vergleich und Anmerkung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 66 551 Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66 552 Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70 6 Ergaumlnzte Querschnitte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 61 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 611 Verschiedene Fertigteilsysteme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 612 Besonderheiten bei der Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73 613 Vorgehensweise und Definitionen helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74 62 Berechnungen im Zustand I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75 622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphelliphellip 76 623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin) helliphelliphellip 78 624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) helliphellip 79 63 Berechnungen im Zustand II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 631 Verformung im Bauzustand (t = 0) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82 632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B) helliphelliphellip 83 633 Verformungen nach Kriechen (t = infin) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85 634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin) hellip 87 64 Besondere Fertigteilvarianten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88 642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90 65 Vergleichendes Beispiel helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 651 Eingangsparameter helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 92 652 Hinweise zur Berechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93 653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 93

7 Verformungsberechnung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 71 Allgemeines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 95 711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit helliphelliphelliphelliphellip 95 712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 99 713 Numerische Integration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 100

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72 Durchlauftraumlger helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 721 Vereinfachende Loumlsung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101 722 Berechnung der Schwindverformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 102 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen helliphellip 103 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie 103 732 Zusammenfassung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105 8 Auswertung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 811 Erforderliche Nutzhoumlhe helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 109 822 Berechnung der Verformung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 111 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116 832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 120 842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 123 843 Weitere guumlnstige Effekte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125 85 Vergleich und Fazit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 126 9 Zusammenfassung und Ausblick helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 133

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1 Einleitung

11 Motivation und Zielsetzung

Ein Tragwerk muss so bemessen werden dass die Tragfaumlhigkeit Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit waumlhrend der vorgesehenen Nutzungsdauer definierten Bedingungen genuumlgt Waumlhrend der Errichtung und Nutzung muumlssen daher moumlgliche Einwirkungen mit ange-messener Zuverlaumlssigkeit aufgenommen werden koumlnnen Zur Sicherstellung dieser in DIN 1055-100 41 formulierten grundlegenden Anforderung sind Stahlbetontragwerke in den Grenzzustaumlnden der Tragfaumlhigkeit und der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen und unter Beachtung der Sicherstellung der Dauerhaftigkeit und konstruktiver Regeln auszubilden (DIN 1045-1 51)

Grenzzustaumlnde der Tragfaumlhigkeit sind diejenigen Zustaumlnde bei deren Uumlberschreitung rechnerisch der Einsturz oder andere Formen des Tragwerksversagens eintreten (vgl DIN 1045-1 531) In der Bemessung muss daher nachgewiesen werden dass der Be-messungswert der Einwirkungen Ed den Bemessungswert des Tragwerkswiderstands Rd nicht uumlberschreitet Einwirkungen und Widerstaumlnde sind mit Sicherheitsbeiwerten belegt so dass eine ausreichende Zuverlaumlssigkeit gewaumlhrleistet ist und eine Gefaumlhrdung von Personen ausgeschlossen werden kann Bei der Bemessung spielen Verformungen nur dann eine Rolle wenn sie die Schnittgroumlszligen nennenswert beeinflussen bzw erhoumlhen (beispielsweise beim Nachweis von Druckgliedern)

In den Grenzzustaumlnden der Gebrauchstauglichkeit sind Anforderungen die das Wohl-befinden von Personen die Funktion des Tragwerks und das Erscheinungsbild betreffen sicherzustellen Gemaumlszlig DIN 1045-1 sind Nachweise zur Begrenzung von Spannungen Rissbreiten und Verformungen zu fuumlhren Die Nachweise erfolgen in der Regel mit repraumlsentativen Werten der Einwirkungen (d h γF = 1) als Einwirkungskombination ist je nach Nachweis die seltene haumlufige oder quasi-staumlndige Kombination zu beruumlcksichtigen

Die Verformungsbegrenzung gehoumlrt zu den Nachweisen im Gebrauchszustand Hierbei soll sichergestellt werden dass die Funktionalitaumlt (Maschinen Installation) und das Erschei-nungsbild nicht beeintraumlchtigt werden sowie Schaumlden an Ausbauelementen vermieden wer-den Der Nachweis erfolgt im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Einwirkungskombination Der Bauteilwiderstand muss so ausgelegt sein dass das Bauwerk dauerhaft mit ange-messenem Instandhaltungsaufwand seinen Zweck erfuumlllt

Bei den Bauteilverformungen ist das zeitabhaumlngige Verhalten von groszliger Bedeutung Die Verformungen sind daher stets unter Beruumlcksichtigung von Schwinden und Kriechen nachzuweisen da diese zeitabhaumlngigen Effekte die anfaumlnglichen Verformungen bedeutend vergroumlszligern koumlnnen Auszligerdem spielt der Uumlbergang in den Zustand II (gerissener Beton) eine nennenswerte Rolle da dabei die Steifigkeit bzw der Widerstand des Bauteils erheblich reduziert wird Die genannten Parameter sind streuende Groumlszligen eine genauere Voraussage von Verformungen ist daher nur mit groumlszligerem Aufwand und bei sensibler Wahl der Eingangsparameter ndash haumlufig durch Eingrenzung zwischen oberen und unteren Grenzen ndash moumlglich

Falsch berechnete bzw abgeschaumltzte Verformungen koumlnnen zu einer erheblichen Nutzungs-einschraumlnkung und zu groumlszligeren (Folge-)Schaumlden fuumlhren die nur mit unverhaumlltnismaumlszligig groszligem Aufwand behoben werden koumlnnen Die richtige Dimensionierung einer Konstruktion auch mit Blick auf Verformungen ist daher von groszliger wirtschaftlicher Bedeutung Das gilt insbesondere fuumlr Bauteile wie Deckenplatten bei denen haumlufig aufgrund der geringen Beanspruchung nicht der Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit sondern der Verformungs-widerstand fuumlr die Wahl der Konstruktionshoumlhe maszliggebend ist

12 Aufbau der Arbeit

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In DIN 1045-1 wird der grundsaumltzliche Hinweis gegeben dass definierte Grenzwerte der Verformung einzuhalten sind ein geeignetes Rechenverfahren fehlt jedoch Lediglich fuumlr Plattentragwerke des uumlblichen Hochbaus werden Konstruktionsregeln genannt ndash es wird in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite und dem statischen System eine erforderliche Bauteildicke bestimmt ndash mit denen bdquoim Allgemeinenldquo (DIN 1045-1 1132(2)) die einzuhaltenden Grenzwerte der Verformungen sichergestellt werden Das heiszligt dass insbesondere bei vom uumlblichen Hochbau abweichenden Situationen (hoch belastete Platten spezielle Grenzwerte von Verformungen) und generell bei Balken weitergehende Untersuchungen erforderlich sind

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher darauf bestehende Regelungen und Rechen-ansaumltze zu vergleichen und auf ihre Unterschiede und Anwendbarkeit hin zu uumlberpruumlfen Es wird ein Rechenmodell entwickelt mit dem Einzelparameter und -einflussgroumlszligen separat dargestellt und beruumlcksichtigt werden koumlnnen dies betrifft verschiedene Materialgesetze fuumlr den Beton das Verbundverhalten Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden u a So wird es ermoumlglicht Auswirkungen von Vereinfachungen und Naumlherungen zu erfassen und mit Blick auf die Gesamtverformung zu beurteilen Parameterstudien einzelner Groumlszligen beleuchten den Einfluss groumlszligerer Streuungen die insbesondere fuumlr die Materialkennwerte des Betons gelten das Ergebnis einer Verformungsberechnung ist letztendlich nur unter Beruumlcksichtigung der erwarteten Streuungen verwertbar

Das zunaumlchst fuumlr den monolithisch hergestellten Querschnitt entwickelte Rechenmodell wird auf den Fertigteilbau erweitert Diese mittlerweile weit verbreitete Bauweise wird in den Normen und in der Fachliteratur hinsichtlich der Verformungsnachweise allenfalls am Rande behandelt Wie gezeigt wird koumlnnen zwischen nachtraumlglich ergaumlnzten Bauteilen und solchen aus Ortbeton groumlszligere Unterschiede bestehen In einem Rechenmodell werden verschiedene Belastungszeitpunkte und unterschiedliche Materialkennwerte der Teilquerschnitte erfasst und deren Auswirkungen erlaumlutert Dabei wird die Spannungsumlagerung beruumlcksichtigt die sich zeitabhaumlngig infolge Kriechen und Schwinden in den Teilquerschnitten des Betons und der Bewehrung einstellt

Die Konstruktionsregeln in DIN 1045-1 beziehen sich auf Untersuchungen aus den sechziger Jahren Zwischenzeitlich haben sich mit DIN 1045 Ausg 1972 und dann mit DIN 1045-1 Ausg 2001 Berechnungsgrundlagen und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert Auszliger-dem werden heute andere Materialien eingesetzt angefangen vom Betonstahl der im Gegensatz zu den sechziger Jahren heute ausschlieszliglich als BSt 500 zum Einsatz kommt bis hin zum Beton der idR mit houmlherer Festigkeit hergestellt und ausgefuumlhrt wird Es stellt sich daher die Frage ob und inwieweit die bdquoaltenldquo Konstruktionsregeln weiterhin genutzt werden koumlnnten bzw wie sie ggf angepasst werden muumlssten

12 Aufbau der Arbeit Die Arbeit gliedert sich neben dieser Einleitung in acht Kapitel die im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen

In Kapitel 2 werden allgemeine Definitionen zu Verformungen eingefuumlhrt Es werden einige typische Schadensfaumllle und -arten erlaumlutert Auszligerdem werden Grenzwerte aus Normen und technischen Richtlinien vorgestellt

In Kapitel 3 werden die bisher bekannten Moumlglichkeiten gezeigt wie man entweder die zuvor erwaumlhnten Grenzwerte rechnerisch nachweist oder deren Einhaltung uumlber konstruktive Regelungen gewaumlhrleistet Hierzu werden sowohl Regelungen aus Normen als auch Hinweise aus der Literatur vorgestellt und erlaumlutert Im Beispiel werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren aufgezeigt

1 Einleitung

3

Kapitel 4 behandelt die Werkstoffe Beton und Betonstahl sowie ihr Zusammenwirken im Ver-bund Dabei wird hauptsaumlchlich der Beton besprochen und zwar insbesondere seine Zug-festigkeit sowie sein zeitabhaumlngiges Verhalten (Kriechen Schwinden) der Betonstahl als homogener elastischer Werkstoff wird nur kurz behandelt Der Verbund bzw die Verbund-eigenschaften werden mit Blick auf die Rissbildung und die zwischen den Rissen uumlbertragbare Kraft untersucht

Im Kapitel 5 wird eine Momenten-Kruumlmmungs-Beziehung aufgestellt die als Basis fuumlr die Berechnung von Durchbiegungen benoumltigt wird Dabei wird zunaumlchst das mechanische Modell vorgestellt und der Zusammenhang zwischen einer Momentenbeanspruchung und der Querschnittskruumlmmung fuumlr linear-elastisches Verhalten erlaumlutert Anschlieszligend werden die Besonderheiten des Materials Stahlbeton erfasst Es werden das Betonschwinden welches schon in unbelasteten Querschnitten eine Kruumlmmung hervorruft und das Kriechen bzw die dadurch bedingte Vergroumlszligerung der Kruumlmmung untersucht Im letzten Teil wird die Zugversteifung bzw das Mittragen des Betons zwischen den Rissen behandelt das durch einen Ansatz einer mittleren Stahldehnung beruumlcksichtigt werden kann

Die entwickelten Kruumlmmungsberechnungen werden im Kapitel 6 auf nachtraumlglich ergaumlnzte Querschnitte erweitert Dabei werden neben einem allgemeinen einfachen Modell mit zwei Betonschichten und zwei Bewehrungslagen einige gaumlngige Varianten aus dem Fertigteilbau untersucht Die Berechnung erfolgt jeweils uumlber zwei verschiedene Methoden Zum einen wird ein Verfahren aus Kapitel 5 aufgegriffen dass eine Berechnung mit gaumlngiger Software ermoumlglicht Zusaumltzlich wird zu jedem Berechnungsschritt eine Alternative in Form einer geschlossenen Loumlsung angeboten

In Kapitel 7 wird uumlber die Querschnittskruumlmmungen die Verformung des gesamten Bauteils ermittelt unterschiedliche statische Systeme werden dabei beruumlcksichtigt Die mittlere Stahl-dehnung wird mit den in Kapitel 5 vorgestellten Ansaumltzen aufgegriffen und in die Verfor-mungsberechnung integriert

Kapitel 8 setzt sich kritisch mit den Nachweisen der Biegeschlankheit und speziell mit den Regelungen von DIN 1045-1 auseinander Dabei werden die unguumlnstigen Einfluumlsse aufgezeigt die sich durch Aumlnderungen der Bemessungsverfahren und der Baumaterialien ergeben Zusaumltzlich werden aber auch Reserven aufgezeigt die sich auf Seiten des Materials und aus dem statischen System (konstruktive Randeinspannungen) ergeben koumlnnen Der positive Einfluss auf die Verformung wird mit den unguumlnstigen Einfluumlssen abgeglichen um eine Aussage uumlber die Qualitaumlt der Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 machen zu koumlnnen Zusaumltzlich wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis erarbeitet der einige zusaumltzliche wichtige Parameter erfasst ohne die einfache Handhabung zB zur Vorbemessung nennenswert einzuschraumlnken

Kapitel 9 bietet einen zusammenfassenden Uumlberblick uumlber diese Arbeit und stellt die wichtigsten Ergebnisse heraus Auszligerdem wird ein Ausblick auf kuumlnftigen Forschungsbedarf gegeben

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2 Allgemeines

21 Verformungen und ihre Folgen Uumlbermaumlszligige Verformungen koumlnnen das Tragverhalten der Bauteile negativ beeinflussen und im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit zu einem Stabilitaumltsversagen fuumlhren Die in dieser Arbeit betrachteten Verformungen betreffen jedoch den Gebrauchszustand

Verformungen sind so zu begrenzen dass die Nutzungsmoumlglichkeit des Bauteils selbst nicht beeintraumlchtigt und die Schadensfreiheit angrenzender Einrichtungen gewaumlhrleistet ist Durch zu groszlige Verformungen kann die Gebrauchstauglichkeit eingeschraumlnkt werden hierbei sind insbesondere zu nennen

- Erscheinungsbild Optisch als stoumlrend empfundene Verformungen haumlngen vom subjektiven Empfinden des Nutzers ab sie koumlnnen auszligerdem durch den Innenausbau (abgehaumlngte Decken oauml) kaschiert werden

- Funktionale Grenzen des Bauteils Die zu erwartende Durchbiegung muss mit Blick auf die Funktionalitaumlt begrenzt werden beispielsweise bei einem Gefaumllle das zwecks Entwaumlsserung eingeplant wird oder bei einem Traumlger fuumlr verformungsempfindliche Einrichtungen (Kranbahnen Aufzuumlge Praumlzi-sionsmaschinen)

- Schaumlden an benachbarten Bauteilen Nichttragende Bauteile (Trennwaumlnde Glasscheiben) koumlnnen bei groszliger Durchbiegung der Deckenplatten unplanmaumlszligig beansprucht werden (siehe Abb 21 links und 22) die-ses kann zu erheblichen Schaumlden der Ausbauten bis hin zum Bruch fuumlhren

- Schaumlden im Auflagerbereich Bei zu groszligen Auflagerverdrehungen kann es zu Schaumlden im Lasteinleitungsbereich kommen (Lagerschaumlden Abplatzungen an tragenden Waumlnden Risse im Putz) Auszliger-dem muss ein Abheben der Ecken bei allseitig gelagerten Platten verhindert werden

- Schwingungen Sie koumlnnen bei Menschen Unbehangen hervorrufen oder auch zu Schaumlden fuumlhren

Abb 21 Typische Schadensbilder nach [BrandGlatz ndash 05] Links Risse in einer leichten Trennwand infolge Durchbiegung der Deckenplatte Mitte Horizontalriss in der Wandscheibe durch Muldenbildung der unteren Deckenplatte Rechts Horizontalriss in der Auszligenwand infolge Aulagerverdrehung

6 Kapitel 2 Allgemeines

Verformungen in Tragwerken sind u a von Belastung Steifigkeit und Materialeigenschaften abhaumlngig Sie entstehen im Allgemeinen aus den direkten Einwirkungen (z B Eigenlast Nutzlast) den indirekten Einwirkungen (Zwang aus Auflagersenkung Temperatur) und dem zeitabhaumlngigen Verhalten des Betons (Kriechen Schwinden) Die Groumlszlige der Verformungen ist von den Werkstoffen (insbesondere dem Beton und seiner Zugfestigkeit) der Umgebung mit ihrem Einfluss auf das Schwinden und Kriechen und den Belastungsparametern abhaumlngig Letztere beinhalten die Groumlszlige der Belastung im riss- und im verformungs-erzeugenden Bemessungsfall die Belastungsdauer und den Zeitpunkt der Erstbelastung Die Verformungen im Stahlbetonbau sind im Zustand I aufgrund der hohen Steifigkeiten der einzelnen Bauteile (verglichen mit dem Stahl- oder Holzbau) meist nur sehr gering Allerdings wachsen sie bei Einsetzen der Rissbildung und dem damit verbundenen Steifigkeitsverlust uumlberproportional an

Ausbauten wie beispielsweise nichttragende Trennwaumlnde oder Schaufensterscheibe sind zur Vermeidung von Schaumlden erst nach dem Ausschalen einzubauen damit sich die Anfangsverformung (z B aus der Eigenlast) schon eingestellt hat Erst die Verformungs-vergroumlszligerung infolge der weiteren Belastungen der Steifigkeitsaumlnderung und der zeitab-haumlngigen Einfluumlsse beeinflusst dann die Gebrauchstauglichkeit

Abb 22 Typische Schadensbilder in Trennwaumlnden bei uumlbermaumlszligiger Verformung der darunter liegenden Deckenplatte

22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen 7

Schwingungen und periodische Einwirkungen koumlnnen die Verformung vergroumlszligern Rechnerisch laumlsst sich dieses uumlber die statische Verformung und einen Vergroumlszligerungsfaktor erfassen der vom Verhaumlltnis der Eigenfrequenz des Bauteiles zur Erregerfrequenz sowie von der Bauteildaumlmpfung abhaumlngig ist Hinweise dazu finden sich beispielsweise in [EiblHaumluszligler ndash 97] Schwingungen wirken aber auch direkt auf den Menschen ein und koumlnnen Unbehagen hervorrufen oder werden in Form von Klappern von Tuumlren und Fenstern u auml wahrgenommen In [DIN 4150-2 ndash 99] werden Nachweismoumlglichkeiten vorgeschlagen die das Wohlbefinden des Gebaumludenutzers sicherstellen sollen Dazu werden die Groumlszlige bzw Staumlrke der auftretenden Erschuumltterung die Frequenz und die Dauer zu einer Einwirkungsgroumlszlige zusammengefasst und mit einem Grenzwert verglichen Der Nachweis bezieht sich allerdings nur auf gemessene und nicht auf berechnete Werte

Schwingungen stellen einen Sonderbereich dar und werden in dieser Arbeit nicht naumlher betrachtet

22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen Verformungen koumlnnen horizontale oder vertikale Verschiebungen (z B Durchbiegungen) oder Verdrehungen von Knotenpunkten sein Horizontalverschiebungen z B von Rahmen-tragwerken unter Windlasten muumlssen in Absprache mit dem Bauherrn und den beteiligten Fachplanern sinnvoll begrenzt werden (weiterfuumlhrende Hinweise bspw bei [Fingerloos Litzner ndash 05])

Verdrehungen resultieren aus der Durchbiegung der zugehoumlrigen Deckenplatte Eine Be-grenzung der Verdrehung erfolgt uumlber eine Verformungsbegrenzung des betreffenden Bauteils oder uumlber konstruktive Maszlignahmen Beispielsweise wird nach [DIN 18530 ndash 87] eine Trennschicht (Bitumen- Kunststoffbahn o Auml) zwischen Deckenplatte und tragenden Mauerwerkswaumlnden angeordnet Alternativ kann die Verdrehung durch eine Erhoumlhung der Deckensteifigkeit verkleinert werden dann ist nachzuweisen dass die Biegeschlankheit der Deckenplatte den Grenzwert nach [DIN 1045-1 ndash 08] um 13 bei bindemittelgebundenen Steinen und um 12 bei gebrannten Steinen (Ziegel) unterschreitet

Abb 23 Auswirkungen der Deckenverformung auf die angeschlossenen Mauerwerkswaumlnde nach [DIN 18530 ndash 87]

Die vertikale Verformung kann in Durchhang und Durchbiegung unterschieden werden Die Durchbiegung bezeichnet die Differenz zwischen der Ausgangslage eines Bauteiles und der verformten Lage Der Durchhang hingegen bezieht sich auf die Verbindungslinie zwischen zwei Auflagerpunkten Zur Verringerung des Durchhanges ist eine Uumlberhoumlhung des Bauteils zulaumlssig sie ist in [DIN 1045-1 ndash 08] auf L 250 begrenzt Allerdings ist die Ausfuumlhrbarkeit dieser Maszlignahme stark von der Bauausfuumlhrung abhaumlngig und im Einzelfall kritisch zu hinterfragen

Abb 24 Zusammenhang zwischen Uumlberhoumlhung Durchhang und Durchbiegung

Uumlber die zulaumlssigen Grenzen von Verformung im Stahlbetonbau findet man unterschiedliche Angaben Allerdings gibt es hierzu nur wenige umfassende Untersuchungen Grundlage fuumlr die Begrenzung der Durchbiegungen in den deutschen Normen sind die von [MayerRuumlsch ndash 67] veroumlffentlichten Untersuchungen Darin sind Schadensfaumllle an 181 Deckenplatten infolge zu groszliger Verformungen gesammelt von denen 115 ausreichend beurteilt werden konnten die anderen Faumllle mussten wegen mangelnder Informationen zur Berechnung und Aus-fuumlhrung ausgeschlossen werden

Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die Schaumlden bzw die Ursachen fuumlr die uumlbermaumlszligige Verformung in verschiedene Gruppen aufgeteilt Am haumlufigsten wurden Trennwandschaumlden genannt weitere Folgen zu groszliger Durchbiegungen waren Horizontalrisse im Bereich von Deckenauflagern Nutzungseinschraumlnkungen z B infolge Schiefstellung von Moumlbeln oder Muldenbildung von Daumlchern uam

Eine Auswertung der Schaumlden erfolgte uumlber die vorhandene Biegeschlankheit In Abbildung 25 ist dies in Abhaumlngigkeit von der Stuumltzweite dargestellt wobei hier nur Verformungen be-ruumlcksichtigt sind die ein Schaden an einer Trennwand verursacht hatten

Abb 25 Grenzschlankheiten von Stahlbetontraumlgern zur Vermeidung von Trennwandschaumlden nach [MayerRuumlsch ndash 67]

Die aktuellen Normen greifen sowohl diese Untersuchung als auch die in [ISO 4356] an-gegebenen Grenzwerte auf So sind die Verformungen nach [DIN 1045-1 ndash 08] wie folgt zu begrenzen (in aumlhnlicher Form auch nach [EN 1992-1-1 ndash 04] oder der britischen Norm [BS 8110 ndash 97])

- f le L 250 fuumlr den Durchhang falls die Gebrauchstauglichkeit und das Erscheinungsbild durch eine zu groszlige Verformung beeintraumlchtigt werden Der Durchhang f bezieht sich dabei auf die Bezugsebene (vgl Abb 24)

- w le L 500 fuumlr die Durchbiegung falls Schaumlden an anderen Bauteilen wie zum Beispiel nichttragenden Trennwaumlnden oder Verglasungen zu erwarten sind Die Durchbiegung w bezieht sich dabei auf die beim Einbau der Ausbauten vorhandene Ausgangslage (s Abb 24)

Dabei ist L die Spannweite Bei Flachdecken sollte die maximal zulaumlssige Verformung so-wohl an den direkten Verbindungslinien der Stuumltzen als auch in den Diagonalen uumlberpruumlft werden

Die Verformungen sind im Allgemeinen fuumlr die quasi-staumlndige Lastfallkombination zu bestimmen Der Anteil aus leichten Trennwaumlnden der i d R als bdquoverschmierteldquo veraumlnderliche Last beruumlcksichtigt wird sollte jedoch voll der Eigenlast zugerechnet werden In Sonderfaumlllen wenn es infolge von Verformungen zu irreversiblen Schaumlden kommen kann (z B bei sproumlden Schaufensterscheiben) wird jedoch empfohlen die Durchbiegung unter der haumlufigen oder sogar der seltenen Kombination zu begrenzen

Nach der Schweizer Norm [SIA 260 ndash 03] ist die Durchbiegung aus optischen Gruumlnden unter der quasi-staumlndigen Last auf w le L 300 zu begrenzen Ist die Funktionstuumlchtigkeit beein-traumlchtigt so ist die Durchbiegung auf w le L 350 unter haumlufiger Last bei reversiblen und auf w le L 500 unter seltener Last bei irreversiblen Auswirkungen zu beschraumlnken

Daruumlber hinaus finden sich weitere Hinweise bei speziellen Bauwerken Die fuumlr Beton-fertiggaragen geltende [DIN EN 13978 ndash 05] beziffert den Grenzwert fuumlr den Durchhang mit f le L 150 Fuumlr Deckenplatten aus Betonfertigteilen mit Ortbetonergaumlnzung sind laut Anhang F4 von [DIN EN 13747 ndash 07] die folgende Richtwerte einzuhalten

- L 500 bei Mauerwerkstrennwaumlnden undoder sproumlden Oberbelaumlgen - L 350 fuumlr sonstige Trennwaumlnde undoder fuumlr als nicht sproumlde geltende Oberbelaumlge - L 250 fuumlr Dachbauteile

11

3 Stand der Technik

31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1

Prinzipiell werden in den einschlaumlgigen Normen und in der Literatur zwei unterschiedliche Wege gezeigt Verformungen angemessen zu begrenzen

- Rechnerische Ermittlungen der Verformungen und direkter Vergleich mit zulaumlssigen Grenzwerten (z B L250 oder L500)

- Einhaltung von Konstruktionsregeln durch Wahl einer geeigneten Biegeschlankheit Ld in Abhaumlngigkeit von maszliggebenden Parametern

Da eine rechnerische Ermittlung von Verformungen im Stahlbetonbau relativ aufwendig ist wird in der Praxis haumlufig der letztgenannte Weg gewaumlhlt und die Abmessungen der Kon-struktion werden nach dem sog Biegeschlankheitskriterium festgelegt Zu beachten ist dabei jedoch insbesondere dass diese Nachweisform Einschraumlnkungen unterworfen und nur in bestimmten Faumlllen zulaumlssig ist Im Folgenden werden die Schlankheitsnachweise nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 kurz vorgestellt und miteinander verglichen

311 Biegeschlankheit nach DIN 1045-1

Die neue [DIN 1045-1 ndash 08] enthaumllt nur konstruktive Hinweise zur Verformungsbegrenzung Das dort angegebene Verfahren ermoumlglicht es fuumlr Deckenplatten des uumlblichen Hochbaus (d h gleichmaumlszligig verteilte Last Nutzlast q le 5 kNm2) das Einhalten der zulaumlssigen Durch-biegung indirekt uumlber die Bestimmung der zulaumlssigen Biegeschlankheit nachzuweisen Es war in der gleichen Form auch schon in der 1972er Ausgabe der DIN 1045 enthalten und basiert auf empirischen Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] Die einzigen Eingangs-groumlszligen zur Berechnung der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe stellen die Stuumltzweite und die Art der Lagerung dar Folgende Begrenzungen sind einzuhalten

- 35iLd ge allgemein (31a) - 1502

iLd ge wenn Schaumlden an angrenzenden Bauteilen zu erwarten sind (31b)

Die Laumlnge Li wird uumlber den Beiwert α bestimmt und gibt in etwa den Abstand der Wende-punkte der Biegelinie an Bei einem Einfeldtraumlger ist demnach Li = L die Durchlaufwirkung bei Mehrfeldtraumlgern wird uumlber Li = α sdot L bestimmt (s Tafel 31)

Tafel 31 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstuumltzweite Li nach [DIN 1045-1]

12 Kapitel 3 Stand der Technik

Hierbei gilt die Vorraussetzung dass bei Durchlaufsystemen die Felder in etwa gleich lang sind und Unterschiede in den Stuumltzweiten max 80 Prozent bezogen auf die groumlszligere Stuumltzweite betragen Fuumlr unregelmaumlszligige Systeme kann mit DAfStb-Heft 240 [Grasser Thielen ndash 91] der Beiwert α uumlber die bezogenen Stuumltzmomente an den Enden des betrachteten Feldes ermittelt werden

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

mit mi = Mi (f sdot L2) M1 und M2 sind dabei die Stabendmomente f ist die maszliggebliche Gleichlast des untersuchten Feldes und L die betrachtete Feldlaumlnge

Es ist zu beachten dass die in der [DIN 1045-1 ndash 08] vorgeschlagenen Richtwerte nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus gelten und keinesfalls ein Einhalten der erforderlichen Gren-zen von L 250 bzw L 500 garantieren In DIN 1045-1 heiszligt es lediglich dass die Begren-zung der Biegeschlankheit bdquo im Allgemeinen ldquo ausreichend ist und keine uumlber die Gren-zen hinaus auftretenden Verformungen zu erwarten sind

Kritisch ist anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre ent-nommenen Ergebnisse nicht bedingungslos auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Zum einen wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt zum anderen kam meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2) zur Anwendung Dadurch bedingt kam es insgesamt zu houmlheren Bewehrungsgraden als in vergleichbaren nach aktueller Norm bemessenen Bauteilen dieses fuumlhrte fruumlher dann automatisch zu einer groumlszligeren Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Zusaumltzlich haben sich seit den sechziger Jahren die Bemessungs- und Sicherheitskonzepte grundlegend geaumlndert wodurch eine Uumlbertragbarkeit auf die heutige Situation nur bedingt gegeben ist (s hierzu Kap 8)

312 Biegeschlankheit nach EN 1992-1-1 (Eurocode 2)

Der Eurocode 2 stellt deutlich differenziertere Anforderungen an die Biegeschlankheit Sie basieren auf einer rechnerischen Parameterstudie und beruumlcksichtigt nicht nur die Laumlnge und Lagerung des Bauteils sondern auch den Beanspruchungsgrad (indirekt uumlber den Be-wehrungsgrad) und die Betonfestigkeit Es wird zwischen gering (Gleichung 33a) und hoch beanspruchten Bauteilen (Gl 33b) unterschieden Die maximal zulaumlssige Biegeschlankheit zur Begrenzung auf L 250 ist

0

23

00 wenn1235111 ρρρρ

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus++= ckck ffK

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

mit L d Grenzwert der Biegeschlankheit K Beiwert zur Beruumlcksichtigung der verschiedenen statischen Systeme es

gilt K = 1 beim Einfeldtraumlger K = 13 beim Randfeld und K = 15 beim Innenfeld eines Mehrfeldtraumlgers K = 12 bei einer Flachdecke und K = 04 bei einem Kragarm

ρ0 Referenzbewehrungsgrad 310minussdotckf ρ erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte um das

Bemessungsmoment aufzunehmen (bei Kragtraumlgern an der Einspannstelle) ρ erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (Kragtraumlger wie vorher)

31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1 13

Ist die Verformung auf L 500 zu begrenzen so muss die statische Nutzhoumlhe ab einer Spannweite von 7 Metern um den Faktor Leff 7 erhoumlht werden Zusaumltzlich muss beachtet werden dass in Gl (33a) und (33b) eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 angenommen wurde Weicht die tatsaumlchlich in Feldmitte (bzw an der Einspannstelle bei einem Kragarm) vorhandene unter maszliggebender Last ermittelte Spannung von diesem Wert ab so ist die Biegeschlankheit mit dem Faktor 310 σs zu korrigieren Alternativ kann diese Korrektur auch uumlber folgende Beziehung erfolgen

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Aus den Gln (33) lassen sich einfache Konstruktionsregeln herleiten Fuumlr niedrig bean-spruchte Deckenplatten gilt beispielsweise mit Gl (33a) und ρ = 05 fuumlr σs = 310 Nmm2 - 20iLd ge allgemein (35a) - 720 effi LLd sdotge bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35b)

Fuumlr hoch beanspruchte Bauteile (im Allg Balken) laumlsst sich analog fuumlr ρ = 15 herleiten - ge 14id L allgemein (35c) - ge sdot14 7i effd L L bei erhoumlhten Anforderung und Leff gt 7 m (35d)

Das statische System wird mit der Ersatzstuumltzweite Li = LK beruumlcksichtigt (K s Erlaumlu-terungen zu Gln (33))

313 Vergleich der Schlankheitsnachweise

Die Konstruktionsregeln nach [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigen deutlich mehr Eingangspa-rameter als nach [DIN 1045-1 ndash 08] auszligerdem wird der Anwendungsbereich erweitert Waumlhrend in [DIN 1045-1 ndash 08] nur Platten des uumlblichen Hochbaus (also gering beanspruchte Deckenplatten mit einem Bewehrungsgrad le 05 ) behandelt werden koumlnnen mit Eurocode 2 auch Durchbiegungsnachweise fuumlr Balken bzw hoch beanspruchte Tragwerke indirekt mit Hilfe von Konstruktionsregeln gefuumlhrt werden Es wird jedoch auch deutlich dass die Formulierung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] haumlufig kon-servativer ist als nach [DIN 1045-1 ndash 08] In Abb 31 sind exemplarisch die erforderlichen Nutzhoumlhen einer einfeldrigen Deckenplatte dargestellt Der Nachweis nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird fuumlr die Spannungen σs = 200 Nmm2 und σs = 300 Nmm2 gefuumlhrt der Grenzwert der Verformung wird auf L 250 und auf L 500 festgelegt Es ist zu sehen dass fuumlr uumlbliche Aus-nutzungsrade der Bewehrung im Gebrauchszustand (d h σs ge 250 Nmm2) bei ρ = 05 in EN 1992-1-1 deutlich groumlszligere Deckenstaumlrke gefordert werden als in DIN 1045-1 (Es sei jedoch darauf hingewiesen dass sich bei ρ lt 05 die Ergebnisse annaumlhern und nach EC 2 sogar guumlnstiger als nach DIN 1045-1 werden koumlnnen)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

2 4 6 8 10Stuumltzweite [m]

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Abb 31 Vergleich der erforderlichen statischen Nutzhoumlhe fuumlr Deckenplatten (ρ = 05 )

32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1 Abweichend von [DIN 1045-1 ndash 08] wird in [EN 1992-1-1 ndash 04] neben den Konstruktions-regeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit noch ein Verfahren zur direkten Berechnung der Durchbiegung vorgestellt Es ermoumlglicht dem Anwender uumlber eine zum Momenten-verlauf affine Kruumlmmung und einen Verteilungsfaktor der das Verhaumlltnis der Einfluumlsse aus Zustand I und II definiert die Verformungen eines Bauteils rechnerisch genauer abschaumltzen zu koumlnnen Zusaumltzlich werden die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen beruumlcksichtigt

Die Berechnung einer Verformungsgroumlszlige α erfolgt fuumlr ein Bauteil das gerissene und unge-rissene Bereiche aufweist uumlber eine anteilmaumlszligige Beruumlcksichtigung der Werte fuumlr den ungerissenen Zustand I (αI) und den reinen Zustand II (αII)

III αζαζα sdotminus+sdot= )1( (36)

Dabei ist ζ ein Verteilungsbeiwert der im ungerissenen Zustand zu Null gesetzt und im gerissenen Zustand uumlber folgende Formel ermittelt wird

2)(1 ssr σσβζ sdotminus= (37)

mit β Lastbeiwert 100 fuumlr Kurzzeitbelastung 050 fuumlr Dauerlasten σsr Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der rissverursachenden Last σs Spannung in der Zugbewehrung im Zustand II unter der maszliggebenden Bemessungslast Das Verhaumlltnis (σsr σs) darf auch durch den Quotienten (Mcr M) bzw (Ncr N) ersetzt wer-den Dabei ist Mcr das Rissmoment und M das Biegemoment aus der aumluszligeren Last Bei reinem Zug ist Ncr die Zugkraft die zum Riss fuumlhrt und N die Kraft aus der aumluszligeren Last Kombinierte Einwirkungen aus Moment und Normalkraft werden im EC 2 nicht behandelt Der Verteilungsbeiwert kann fuumlr solche Faumllle nach den in [CEB ndash 85] vorgeschlagenen Methoden bestimmt werden

Das Betonkriechen wird beruumlcksichtigt in dem die elastische Verformung um die Kriechzahl erhoumlht wird die Gesamtverformung wird also mit Hilfe des Faktors (1+ϕ(infint0)) ermittelt Alter-nativ dazu darf nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die Verformung mit Hilfe eines modifizierten Elas-tizitaumltsmoduls bestimmen werden

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

Das Schwinden des Betons wird nach [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber die Querschnittskruumlmmung nach Gl (39) bestimmt

IS

r ecscs

sdotsdot= αε1 (39)

Dabei ist εcs die freie Schwinddehnung S das Flaumlchenmoment 1 Ordnung der Querschnittsflaumlche der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnittes I das Flaumlchentraumlgheitsmoment des Querschnittes αe = Es Eceff Verhaumlltnis der E-Moduln von Betonstahl und Beton

Die geometrischen Groumlszligen S und I sind fuumlr den ideellen Querschnitt in Zustand I und II zu bestimmen weitere Hinweise hierzu befinden sich im Kapitel 5

33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen 15

33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen Die Schweizer Stahlbetonnorm [SIA 262 ndash 04] behandelt den Nachweis der zulaumlssigen Durchbiegung uumlber eine direkte Berechnung im ungerissenen Zustand I und im Zustand II Die dort vorgestellte Methode ist identisch mit dem Vorschlag des Model Code 90 [CEBFIP ndash 91] Uumlber einen zu erwartenden wahrscheinlichen Wert gibt es keine Angaben Ein vereinfachter Nachweis der Verformungen uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheiten ist in der Norm nicht enthalten

Die Verformung im Zustand I setzt sich aus der elastischen Durchbiegung wel und dem Kriechanteil zusammen

)1( ϕ+sdot= elI ww (310)

Im gerissenen Zustand kann die Gesamtverformung uumlber den elastischen Anteil wel die Kriechzahl ϕ das Verhaumlltnis von Gesamthoumlhe h zur Nutzhoumlhe d und die Druck- bzw Zug-bewehrungsgrade ρrsquo und ρ bestimmt werden

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+sdot

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

In der bis 2008 guumlltigen oumlsterreichischen Norm [OumlNORM B 4700 ndash 00] werden Grenz-schlankheiten zum Nachweis der Durchbiegung angegeben Sind diese eingehalten so ist eine genaue Berechnung in den meisten Faumlllen nicht erforderlich Es wird zwischen hoch beanspruchten (ρs = 15 ) und gering beanspruchten (ρs = 05 ) Querschnitten unter-schieden Zwischenwerte koumlnnen linear interpoliert werden Die in Tafel 32 angegebenen Werte gelten fuumlr eine Stahlspannung von σs = 250 Nmm2 Sie sind bei Stuumltzweiten Leff gt 7 m mit 7 Leff zu verkleinern wenn Schaumlden an benachbarten Bauteilen zu erwarten sind

Der Nachweis ist identisch mit dem des Eurocode 2 in der Fassung von 1992 Bezieht man die Grenzschlankheiten auf eine Stahlspannung von σs = 310 Nmm2 so erhaumllt man die entsprechenden in Abschnitt 312 dargestellten Werte aus dem Eurocode 2 die so auch wieder in der neuen oumlsterreichischen Fassung des Eurocode 2 uumlbernommen wurden

Bauteile ρ = 15 ρ = 05

Frei drehbar gelagerte Balken und ein- oder zweiachsig gespannte einfeldrige Platten 18 25

Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Endfeld 23 32

Durchlaufende Balken und ein- oder zweiachsig gespannte Platten im Innenfeld 25 35

Flachdecken 21 30

Kragbalken und Kragplatten 7 10

Tafel 32 Grenzschlankheit Ld nach [OumlNORM B 4700 ndash 00]

Fuumlr eine rechnerische Ermittlung der Durchbiegung gibt [OumlNORM B 4700 ndash 00] ein Naumlherungsverfahren an Ausgehend von der Verformung im Zustand I und II wird uumlber eine Momenten-Kruumlmmungsbeziehung ein zu erwartender Wert der Verformung bestimmt

Im Zustand I betraumlgt die Kruumlmmung

)1(11 ϕϕ sdot+sdot= k

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

As1 As2 Querschnittsflaumlche der Zug- bzw Druckbewehrung ρ Bewehrungsgrad ρ = As1 (b sdot d) φ Kriechzahl

BI Biegesteifigkeit im Zustand I als Produkt des ideellen Flaumlchentraumlgheitsmo- mentes 2 Grades und des mittleren Elastizitaumltsmodul als Tangentenmodul

M Biegemoment unter Gebrauchslast

Im Zustand II erfolgt die Ermittlung analog das maszliggebende Moment wird dann durch die Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes dividiert Der Einfluss des Kriechens wird uumlber den Faktor kφ2 bestimmt Er ist kleiner als im ungerissenen Zustand da im gerissen Zustand nur noch die Druckzone kriecht Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird uumlber den Faktor kM beruumlcksichtigt

)1(12 ϕϕ sdot+sdotsdot= kk

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

xII Druckzonenhoumlhe im gerissenen Zustand zII Hebelarm der inneren Kraumlfte im gerissenen Zustand kD Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Einwirkungsdauer kD = 05 bei Dauerlast und kD = 1 bei kurzzeitiger Einwirkung BII Biegesteifigkeit des gerissenen Querschnittes BII = Es sdot As sdot (d ndash xII) sdot zII Mcr Biegemoment welches zum Erstriss fuumlhrt

Prinzipiell aumlhnelt das Verfahren der in Abschnitt 32 vorgestellten Berechnung nach [EN 1992-1-1 ndash 04] die berechneten Kruumlmmungen sind fuumlr uumlbliche Bemessungsfaumllle nahezu identisch Allerdings gibt die [OumlNORM B 4700 ndash 00] keinen Hinweis auf den Einfluss des Betonschwindens auf die Verformung

In der britischen Norm [BS 8110 ndash 97] gibt es sowohl Angaben uumlber ein geeignetes Rechenverfahren als auch Grenzwerte der Biegeschlankheit Diese ist bei Einfeldtraumlgern mit einem Rechteckquerschnitt auf L d = 20 zu begrenzen Durchlauftraumlger erfordern eine Biegeschlankheit von maximal L d = 26 Diese Werte sind bei Spannweiten L gt 10 Meter um den Faktor 10 L zu modifizieren Weitere Aumlnderungen der Biegeschlankheit koumlnnen bei hohen Belastungen und Ausnutzungsgraden oder aufgrund einer vorhandenen Druck-bewehrung erfolgen Letztere kann die zulaumlssige Biegeschlankheit um bis zu 50 Prozent erhoumlhen

34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur 17

34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur Besondere Bedeutung haben die Arbeiten von KruumlgerMertzsch ([Kruumlger Mertzsch ndash 03] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Dort ist sowohl ein vereinfachter Berechnungsansatz aufgestellt (siehe Abschnitt 35) als auch ein eigener Nachweis der Biegeschlankheit entwickelt Er ist das Ergebnis einer Reihe von Vergleichsrechnungen und kann auf Platten und auf Balken angewendet werden

Der Nachweis der Biegeschlankheit gilt fuumlr Platten mit einer Nutzlast von q le 5 kNm2 einer Kriechzahl ϕ le 25 und einer Betonfestigkeit von fck = 20 Nmm2 wobei letztere durch einen Korrekturwert auf andere Festigkeiten umgerechnet werden kann Verglichen mit der [DIN 1045-1 ndash 08] fordert dieser Nachweis deutlich groumlszligere Nutzhoumlhen Letztere werden wie folgt ermittelt

iic Lkd λsdotle (318)

mit Li = η1 middot Leff Ersatzstuumltzweite Leff = Lmin und η1 nach Tafel 33 (naumlherungsweise und insbesondere bei einachsig gespannten Platten darf auch der Beiwert α aus [DIN 1045-1] verwendet werden siehe Tafel 31)

λi = k2 - 365Li + 015Li2 mit k2 = 425 fuumlr eine Begrenzung auf L 250

k2 = 352 fuumlr eine Begrenzung auf L 500 siehe auch Tafel 34

kc = (20 fck)16 mit fck in MNm2

Tafel 33 Beiwerte η1 zur Bestimmung von Li bei Platten

zul Durchbiegung L 250 L 500

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

Tafel 34 Grenzschlankheit λi bei Platten

Analog dazu kann auch bei Balken der Nachweis der Durchbiegung uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit gefuumlhrt werden Vorraussetzung hierfuumlr ist ein Bewehrungsgrad ρ le 2 das Verhaumlltnis von quasi-staumlndiger zur seltenen Last darf den Wert 07 nicht uumlberschreiten Die erforderliche Nutzhoumlhe wird gemaumlszlig Gleichung (318) bestimmt Der Wert von λi wird bei Balken uumlber die Gleichung

λi = k1 sdot (3630 ndash 246Li + 012Li2) mit k1 = 100 bei L 250 bzw

k1 = 056 bei L 500

berechnet oder aus Tafel 35 abgelesen

Platte 1 1283097901680 21 lesdotminussdot+= LL kkη

Platte 2 22 188068901480 LL kk sdotminussdot+=η

mit yxL LLk = und yx LL ge

Statisches System αl zul Durchbiegung Li λi

Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger Endfeld eines Durchlauftraumlgers Mittelfeld eines Balkens Kragtraumlger

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

Tafel 35 Beiwerte α1 und λi

Ein weiterer Vorschlag fuumlr ein Biegeschlankheitskriterium kann der Veroumlffentlichung von [ZilchDonaubauer ndash 06] entnommen werden Basis hierfuumlr ist eine Reihe von Finite-Ele-mente-Berechnungen an ein- und zweiachsig gespannten Deckenplatten unter Beruumlcksichti-gung von Rissbildung und Langzeitverhalten Das Ergebnis wird anschlieszligend in Konstruk-tionsregeln uumlberfuumlhrt Wegen einiger Vereinfachungen und Annahmen die die groszlige Anzahl von moumlglichen Einfluumlssen und Eingangsparametern reduzieren sollen gelten die Regeln fuumlr Platten als Innenbauteile (RH = 50 ) fuumlr eine Verformungsbegrenzung auf L 250 Belas-tungsbeginn ist bei t0 = 28 Tage die Nutzlast qk selbst ist vorwiegend ruhend und liegt in den Grenzen von 150 bis 275 kNm2 Die Durchlaufwirkung wird aumlhnlich wie bei [Kruumlger Mertzsch ndash 06] uumlber einen Faktor αi bei einachsig und ηza bei zweiachsig gespannten Platten beruumlcksichtigt (s Tafel 36)

Die zulaumlssige Biegeschlankheit betraumlgt 32

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

mit λ0 = 25 Grundwert der Biegeschlankheit L0 = 50 m Bezugswert der Spannweite fck0 = 25 Nmm2 Bezugswert der Betonguumlte Li Ersatzstuumltzweite mit Li = αi sdot Leff bei einachsig und Li = ηza sdot Leff bei zweiachsig gespannten Platten Bei Stuumltzweiten uumlber sieben Meter ist diese Grenzschlankheit um den Faktor 7 L zu redu-zieren

Statisches System αi Frei drehbar gelagerter Einfeldtraumlger 100 Endfeld eines Durchlauftraumlgers 080 Innenfeld eines Durchlauftraumlgers 070 Kragtraumlger 250

Tafel 36 Beiwert αi zur Beruumlcksichtigung der Durchlaufwirkung bei einachsig gespannten Stahlbetonplatten

35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten Parallel zu den Untersuchungen an maumlngelbehafteten Deckenplatten hat Mayer [Mayer ndash 67] ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung von Verformungen aufgestellt Aus den bekannten Gleichgewichts- und Vertraumlglichkeitsbedingungen werden unter Beruumlcksichtigung von Kriechen und Schwinden zwei Differentialgleichungen erster Ordnung aufgestellt Die

35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten 19

Auswertung des Gleichungssystems erfolgt fuumlr eine Reihe von ausgewaumlhlten Randbe-dingungen Zu diesen Werten werden Korrekturfaktoren entwickelt die es dem Anwender ermoumlglichen fuumlr die jeweiligen konkreten Verhaumlltnisse eine genuumlgend genaue Naumlherung an die zu erwartende Verformung zu erhalten Diese Faktoren koumlnnen aus Diagrammen fuumlr den Einfluss des Kriechens des Schwindens und einer Druckbewehrung abgelesen werden Hierbei wird jeweils zwischen Zustand I und II unterschieden

Hierauf aufbauend entwickelten Grasser und Thielen 1975 ein Naumlherungsverfahren [Grasser Thielen ndash 91] die Grundlagen werden beispielsweise in [GrasserThielen ndash 75] erlaumlutert Diese Berechnungsverfahren sind eine Reaktion auf die neuen Bemessungsansaumltze der DIN 1045 aus dem Jahr 1972 Durch die nun moumlgliche houmlhere Ausnutzung der Betondruckzone konnte im Allgemeinen die Bewehrungsmenge reduziert werden die Vergleichbarkeit mit den in [MayerRuumlsch ndash 67] untersuchten Platten war damit nur noch bedingt gegeben Durch das Nachrechnen von Versuchen sichern GrasserThielen unter Beruumlcksichtigung der Streu-ungen der Materialwerte ihre Berechnungsansaumltze ab

Es wird ein wahrscheinlicher Wert einer Durchbiegung zwischen einem unteren und oberen Wert ermittelt Die untere Grenze wird im Zustand I bestimmt die obere im reinen Zustand II Diese Werte stellen die 5 bzw 95 Fraktile der Durchbiegung dar einen zu erwartenden Wert erhaumllt man uumlber die Wichtung dieser Grenzwerte mittels eines Quotienten aus dem Rissmoment und dem maximalen Feldmoment Letzteres muss unter der Eigenlast zzgl dem bdquoDauerlastanteilldquo der Nutzlast bestimmt werden was prinzipiell der quasi-staumlndigen Last der aktuellen Normengeneration entspricht

Die Verformung selbst wird zunaumlchst unter der Voraussetzung eines linearen Spannungs-Dehnungs-Gesetzes fuumlr den reinen ungerissenen Betonquerschnitt ermittelt Anschlieszligend gibt [GrasserThielen ndash 91] eine Reihe von Korrekturwerten an um die Anordnung der Bewehrung (im Druck- und Zugbereich mit den dazugehoumlrigen Randabstaumlnden) des Beton-kriechens und -schwindens zu erfassen Der Uumlbergang von Zustand I in den Zustand II wird mit einer bilinearen Momenten-Kruumlmmungslinie naumlherungsweise erfasst Diese stellt die Verbindung zwischen Ursprung und der Kruumlmmung bei Rissbildung sowie der Kruumlmmung bei Rissbildung und der Kruumlmmung unter Maximallast ohne Mitwirkung des Betons auf Zug dar Somit wird gerade der Uumlbergang vom ersten Riss zum abgeschlossenen Rissbild sehr konservativ behandelt Bei [Leonhardt ndash 78] ist hierzu der Hinweis zu finden dass das Verfahren nach GrasserThielen besonders bei Bauteilen mit einem niedrigen Bewehrungs-grad und einer hohen Betonfestigkeit recht ungenau ist

In [KruumlgerMertzsch ndash 03] bzw [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine weitere Methode vorgestellt mit dem man die Verformungen eines Bauteils naumlherungsweise ermitteln kann Hierbei wird die Verformung im Zustand I berechnet und mit einem Vergroumlszligerungsfaktor der den Einfluss der Rissbildung im Beton beruumlcksichtigt multipliziert Folgende Annahmen liegen dem Verfahren zugrunde

- Spannungen und Dehnungen verhalten sich im Zustand I und II linear - als Endkriechzahl wird ϕinfin = 25 angenommen Belastungszeitpunkt t0 = 28 Tage - Schwinden wird nicht beruumlcksichtigt die Verformung sowie die Rissbildung werden

jedoch unter der seltenen Lastkombination berechnet - als Beton wird ein C2025 unterstellt als Betonzugfestigkeit wird die Biegezugfestig-

keit fctfl angenommen die sich aus der zentrischen Zugfestigkeit fctm ergibt zu fctfl = fctm sdot [1 + 15 sdot (h 100)07] [15 sdot (h 100)07]

- eine Druckbewehrung wird nicht beruumlcksichtigt

Die Verformungen im Zustand II lassen sich wie folgt bestimmen I

aIIk aka 0sdot= (320)

mit a0I Bauteilverformung im Zustand I zum Belastungszeitpunkt t0

ka Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Verformungsvergroumlszligerung 20+sdot= ωρψ sak mit )( hbAss sdot=ρ Bewehrungsgrad der Zugbewehrung (in ) ψω Beiwerte nach Tafel 37 (abhaumlngig vom Quotienten aus Maximal- moment Mrare unter seltener Last und dem Erstrissmoment Mcr

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

Tafel 37 Beiwerte ψ und ω

36 Vergleichendes Beispiel Die Unterschiede der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Nachweisverfahren werden an einem einfachen Beispiel veranschaulicht Es soll die statische Nutzhoumlhe d ermittelt werden die erforderlich ist um eine Durchbiegung kleiner als L 250 bzw L 500 nachzu-weisen

Als statisches System wird ein Einfeldtraumlger gewaumlhlt (unterschiedliche Definitionen der Ersatzlaumlngen Li haben damit keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis) der als einachsig gespannte Platte mit einer Stuumltzweite von L = 600 m und einer Nutzlast von qk = 32 kNm2 ausgefuumlhrt werden soll Die Eigenlast gk1 ist abhaumlngig von der Bauteildicke die ver-einfachend aus der statischen Nutzhoumlhe in der Form h = d + 25 [cm] bestimmt wird auszligerdem soll eine Ausbaulast von gk2 = 100 kNm2 beruumlcksichtigt werden Der quasi-staumlndige Lastanteil der Nutzlast soll 30 betragen Bei den Verfahren die direkt eine Durchbiegung ermitteln ist noch der Einfluss aus Kriechen und Schwinden zu bestimmen Unter der Annahme eines Innenbauteils wird das Schwindmaszlig zu εcs = -06 Promille die Kriechzahl zu ϕ = 25 gewaumlhlt Der Beton entspricht einem C2025 mit fck = 20 Nmm2

Die Bewehrung ist zunaumlchst unbekannt da sie von der Bauteildicke und der statischen Nutzhoumlhe abhaumlngt Bei den Verfahren die einen Bewehrungsgrad als Eingangsgroumlszlige benoumltigen wird dieser in Abhaumlngigkeit zur Nutzhoumlhe iterativ bestimmt Das Ergebnis ist in Tafel 38 dargestellt

In Tafel 39 wird der Bewehrungsgrad konstant auf 05 festgesetzt Bei den rechnerischen Nachweisverfahren geht der Bewehrungsgrad auf der Widerstandsseite mit ein seine Er-houmlhung bewirkt also eine Verringerung der Durchbiegung Bei den Schlankheitsnachweisen nach [EN 1992-1-1 ndash 04] wird der Bewehrungsgrad ebenfalls beruumlcksichtigt (Ausnutzungsgrad) ein hoher Bewehrungsgrad laumlsst also auf eine hohe Einwirkung und damit auch groszlige Ver-formung schlieszligen Daher muss bei diesem Verfahren die ermittelte Nutzhoumlhe um den Quotien-ten aus der eigentlich erforderlichen Bewehrung zu dem gewaumlhlten Bewehrungsgrad herabgesetzt werden (vgl Gl (34)) Da sich Nutzhoumlhe und erforderlicher Bewehrungsgrad jedoch gegenseitig beeinflussen muss diese Rechnung wiederum iterativ durchgefuumlhrt werden

Eine Besonderheit ist die Durchbiegungsberechnung nach [SIA 262 ndash 04] Es werden die Ver-formung im Zustand I und im reinen Zustand II berechnet ein bdquowahrscheinlicherldquo Wert ist nicht definiert Da die tatsaumlchliche Durchbiegung aber zwischen den beiden Werten aus Zustand I und II liegt ist letztendlich eine statische Nutzhoumlhe erforderlich die ndash in Abhaumlngigkeit vom Rissbildungsgrad ndash zwischen den in der Tabelle dargestellten Grenzen liegt

36 Vergleichendes Beispiel 21

zulaumlssige Durchbiegung

gewaumlhltes Verfahren L 250 L 500

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

vereinfacht nach Gl (35) und 310σs 26 26

EN 1992-1 Biegeschlankheit Gl (33) und 310σs

21 21

KruumlgerMertzsch Nachweis der Biegeschlankheit Gl (318) 23 32

Donaubauer (nur fuumlr L 250) 30 na

OumlNORM B 4700 Nachweis der Biegeschlankheit 26 26

SIA 262 Zustand I Zustand II

18 27

25 40

Ber

echn

ung

KruumlgerMertzsch vereinfachte Berechnung Gl (320) 25 30

Heft 240 erwarteter Mittelwert 21 30

Tafel 38 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei einer aus den Tragfaumlhigkeitsnachweisen ermittelten Bewehrungsmenge (Annahmen s Text)

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

l EN 1991-1 vereinfacht nach Gl (35) und 310σs

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

Tafel 39 Erforderliche Nutzhoumlhe (in cm) bei konstantem Bewehrungsgrad von 05 Prozent (Annahmen s Text)

Wie zu sehen ist sind die Abweichungen teilweise erheblich Ursache fuumlr diese Unterschiede sind insbesondere der dem jeweiligen Ansatz zugrunde liegende Vereinfachungsgrad bzw die Anzahl der zu beruumlcksichtigenden Parameter

Es ist weiter zu erkennen dass in den betrachteten Faumlllen DIN 1045-1 im unteren Bereich liegt d h die geringsten Anforderungen an die erforderliche Deckenstaumlrke stellt

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Beim Beton als heterogener Werkstoff wird das Verhalten durch die beiden Bestandteile die Zementmatrix und den Zuschlag und deren Interaktion untereinander bestimmt Die maximal aufnehmbaren Lasten werden bei normalfesten Betonen groumlszligtenteils durch den Zementstein begrenzt da dieser oft weicher als der Zuschlag und zusaumltzlich durch Poren und Mikrorisse vorgeschaumldigt ist Der Zuschlag hingegen ist durch seine Steifigkeit fuumlr die Verformbarkeit bzw den Elastizitaumltsmodul maszliggebend

Die Verformungen koumlnnen sowohl lastabhaumlngig als auch eine Folge von aumluszligerem Zwang (Temperatur Austrocknen Durchfeuchten) und innerem Zwang (Hydratation Sedimentation Kristallisation) sein Im Stahlbetonbau werden die auf Mikro- und Mesoebene unterschiedli-chen Eigenschaften zu einem auf Makroebene homogenen Werkstoffgesetz bdquoverschmiertldquo

Ein weiteres wichtiges Merkmal des Betons ist sein zeitabhaumlngiges Dehnungsverhalten So verkuumlrzt sich ein Beton lastunabhaumlngig durch das Betonschwinden (εcs) Unter kurzzeitiger Belastung erfaumlhrt er eine reversible vom Elastizitaumltsmodul abhaumlngige Dehnung (εel) Diese vergroumlszligert sich zeitabhaumlngig um die Kriechdehnung (εcc) wenn die Belastung eine laumlngere Zeit aufrecht gehalten wird Bei Entlastung zum Zeitpunkt te (s Abb 41) verringert sich auch die Dehnung ohne jedoch den Ausgangswert vor Belastungsbeginn zu erreichen d h dass ein Teil der Kriechdehnung plastisch und damit irreversibel ist Es verbleibt eine um das Ruumlckkriechen (εcv) reduzierte Dehnung

Abb 41 Dehnungsanteile in Anhaumlngigkeit von Last und Zeit

Zeitgleich veraumlndert sich auch die Festigkeit des Betons da die Hydratation je nach Wasser-Zementgehalt erst nach einigen Jahren abgeschlossen ist Der Festigkeitszuwachs gegen-uumlber der 28-Tage-Festigkeit kann bis zu 20 betragen

Zusammenfassungen uumlber die Dehnungs- und Festigkeitseigenschaften findet man bei-spielsweise bei [Reinhardt ndash 05] oder [Schmidt ndash 08]

24 Kapitel 4 Materialverhalten

411 Kurzzeitverhalten

Druckfestigkeit

Die wichtigste Kenngroumlszlige eines Betons ist seine Druckfestigkeit Aus ihr koumlnnen die meisten anderen Eigenschaften abgeleitet werden Die Druckfestigkeit wird in Versuchen ermittelt und ist von der Geometrie des Versuchskoumlrpers abhaumlngig Die aktuellen Normen gehen von zylinder- oder wuumlrfelfoumlrmigen Versuchskoumlrpern aus fuumlr die Tragwerksbemessung ist die Zy-linderdruckfestigkeit maszliggebend Soweit aus aumllterer Literatur nur die auf Wuumlrfel bezogene Festigkeit bekannt ist muss entsprechend umgerechnet werden

Zur Bemessung im Stahlbetonbau wird der 5 -Fraktilwert der Druckfestigkeit benoumltigt Er laumlsst sich aus dem Mittelwert fcm und der Standardabweichung σ einer Versuchsreihe ermit-teln

σsdotminus= 641cmck ff (41a)

Unter der Voraussetzung dass bei Normalbetonen die Standardabweichung unabhaumlngig von der Festigkeitsklasse bei ca 5 Nmm2 liegt kann man auch vereinfachend schreiben

28 [Nmm ]ck cmf f= minus (41b)

Die Festigkeitsentwicklung ist zeitabhaumlngig und wird nach 28 Tagen bestimmt Festigkeiten zu anderen Zeitpunkten koumlnnen nach [CEBFIP ndash 91] wie folgt bestimmt werden

)28()()( cmcccm fttf sdot= β (42)

mit fcm(28) mittlere Festigkeit nach 28 Tagen βcc(t) Faktor zur Beruumlcksichtigung der fortschreitenden Hydratation

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

mit tT wirksames Betonalter s Konstante je nach Zementart siehe Tafel 41

Festigkeitsklasse des Zementes

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

Tafel 41 Beiwert s zur Beruumlcksichtigung der Zementfestigkeitsklasse

Wird der Beton belastet so steigt seine Dehnung zunaumlchst annaumlhernd linear an Die Kraumlfte werden von dem festeren Zuschlag uumlber die Zementmatrix weitergeleitet Wenn der Beton ca 40 Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht hat kommt es aufgrund von Querzugkraumlften zu ersten Rissen im Gefuumlge (vgl Abb 42) Die Steigung der Last-Dehnungskurve nimmt nun kontinuierlich ab bis sie an der Stelle der groumlszligten Druckfestigkeit den Wert Null erreicht Die Spannungsabnahme im Nachbruchbereich ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Normalfeste Betone weisen eine groumlszligere Duktilitaumlt als hochfeste Betone auf deren Bruchverhalten sehr sproumlde ist

Zur Ermittlung der Verformung eines Bauteiles im Gebrauchszustand sind aufgrund des niedrigen Lastniveaus jedoch nur Spannungen lt 40 der Druckfestigkeit fc zu erwarten so dass es im Allgemeinen ausreichend ist ein linear-elastisches Materialverhalten zu unter-stellen Erreicht man ndash beispielsweise durch eine Vorspannung ndash groumlszligere Spannungen so kann der parabelfoumlrmige Spannungs-Dehnungsverlauf wie folgt approximiert werden (DIN 1045-1 Gl (62))

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Das Spim voraDruckfeModul anungs-Dgemaumlszlig Dehnun

Die Ermzahl nac

Der Elaquarzitiskation m

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ist cεη =εsdot sdot0 11 c cE

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

estigkeit vonausgegangeDehnungsku

[DIN 1045ngslinie bere

mittlung desch [DIN 104

astizitaumltsmosche Zusch

mit dem Fak

Art derBasaltQuarzKalksteSands

Tafel 42 Faksind

astizitaumltsmoder Wert ben

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

1 cc ε das cf ein Beiwaufnehmba

t-Dehnungsbe

l

Dehnungsvenen Abschnn einem linen werden urve im Urs

5-1 ndash 08] aechnet werd

s Tangente45-1 ndash 08] z

odul ist starhlage anwenktor αE beruuml

r Gesteinsk dichter Ka Quarzite ein tein

ktor αE in Abhd Mittelwerte

dul bezieht oumltigt so ka

=mit 0 8iα

31)8

Verhaumlltniswert der daare Drucksp

eziehung [Zilc

erhalten laumlssnitt schon erear-elastiscUumlblicherwe

sprung und aus dem Taden

nmoduls wzugrunde lie

rk vom verndbar andeuumlcksichtigt w

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

sich i d Rnn der Fakt

+ sdot +8 0 2 ck (f

s der akas Verhaumlltn

pannung

hZehetmaier

st sich uumlberwaumlhnt kanchen Tragveise wird debei σc = 04angentenm

welcher beisegt erfolgt d

rwendeten Zere koumlnnen werden

1000

der Gesteins

R auf die Fetor βcc(t) aus

+ le8 88 1)

ktuellen Denis der Ela

ndash 06]

er den Elastnn bei Spanerhalten un

er Sekanten4 sdot fc schneidodul Ec0m i

spielsweisedirekt aus d

Zuschlag agemaumlszlig [DA

αE 105 ndash 145 080 ndash 120 070 ndash 110 055 ndash 085

koumlrnung nach

estigkeit nas Gl (42) v

ehnung zustizitaumltsmod

tizitaumltsmodunnungen unnd somit einnmodul gewdet (s auchim Ursprun

e der Bestimer Druckfes

abhaumlngig DAfStb-H525

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

ach 28 Tageverwendet w

ur Bruchddule beruumlck

ul ausdruumlcknter 40 Pronem konsta

waumlhlt der dih Abb 43) ng der Spa

mmung derstigkeit

Die Gl (45ndash 03] uumlber

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

ken Wie zent der anten E-ie Span-Er kann

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

5) ist fuumlr Multipli-

mmern

n zeitab-

Abb 43 Definition der unterschiedlichen Elastizitaumltsmodule

Zugfestigkeit

Die Zugfestigkeit des Betons hat einen erheblichen Einfluss auf das Verformungsverhalten eines Tragwerks Sie gibt an bei welcher Belastung das Bauteil vom Zustand I in den Zu-stand II (gerissener Beton) uumlbergeht Auszligerdem beeinflusst sie ndash zusammen mit der Beweh-rung ndash das Rissbild (Rissabstand Rissbreite)

In einer groben Naumlherung kann man davon ausgehen dass die Zugfestigkeit eines Betons in etwa zehn Prozent seiner Druckfestigkeit erreicht Allerdings ist sie sehr groszligen Streuungen unterworfen ([JCSS ndash 01] gibt einen Variationskoeffizienten von 30 Prozent an gegenuumlber nur 6 Prozent bei der Druckfestigkeit) Sie ist in groszligem Maszlige vom Verbund zwischen Zementmatrix und Zuschlag abhaumlngig In diesem Gefuumlge entstehen meist schon im jungen Betonalter Mikrorisse aus Fruumlhschwinden oder dem Abflieszligen der Hydratationswaumlrme Ab einer Belastung von ca 70 Prozent der Zugfestigkeit erweitern sich die Mikrorisse zu Makro-rissen bis zu dieser Laststufe ist das Verformungsverhalten annaumlhernd linear-elastisch Nach Uumlberschreiten der maximalen Zugfestigkeit bestimmt die Kornverzahnung das Nach-bruchverhalten

Die Zugfestigkeit wird in den meisten Faumlllen aus der 28-Tage Druckfestigkeit fck bestimmt Sie steigt im Laufe der Zeit noch auf den 11-fachen bzw den 125-fachen Wert an (nach 100 Tagen bzw t rarr infin) Andererseits nimmt die Zugfestigkeit bei Dauerbelastung ab und erreicht bei zentrischem Zug ca 60 bei Biegung ca 83 des Kurzzeitwertes In einer groben Naumlherung kann man sagen dass sich diese beiden Effekte in etwa ausgleichen

Sowohl [DIN 1045-1 ndash 08] als auch [EN 1992-1-1 ndash 04] geben die mittlere Zugfestigkeit an mit

3230 ckctm ff sdot= (46)

Diese Gleichung basiert auf den Angaben nach Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) Hier wird die mittlere Zugfestigkeit wie folgt berechnet

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

Die 5 - bzw 95 -Fraktilwerte erhaumllt man durch die Multiplikation mit dem Faktor 07 bzw 13 Zusaumltzlich gibt es einige Modifikationen die beispielsweise den zeitlichen Verlauf der Zugfestigkeit beschreiben (Faktor [βcc]α in [EN 1992-1-1 ndash 04] bzw Faktor kzt bei [DAfStb-H400 ndash 89]) oder zusaumltzliche Einfluumlsse wie Vorschaumldigung oder Lastausmitten (s [Noakows-ki ndash 88]) beruumlcksichtigen

41 Beton 27

Bei Lastausmitten bzw Biegebeanspruchungen wird die Biegezugfestigkeit maszliggebend Da die meisten Stahlbetonbauteile auf Biegung beansprucht werden ist das Verhalten der Zu-gzone unter diesen Bedingungen von groszliger Wichtigkeit fuumlr die Berechnung von Verformun-gen Es gibt verschiedene Ansaumltze zur Bestimmung der Biegezugfestigkeit In den hier vor-gestellten Faumlllen wird das Plastizieren der Rissprozesszone durch eine Vergroumlszligerung der Zugfestigkeit beruumlcksichtigt eine Alternative dazu besteht in bruchmechanischen Ansaumltzen bei einer nichtlinearen FEM-Berechnung

Den meisten Ansaumltzen ist gemeinsam dass sie die Bauteilhoumlhe als wichtigsten Einfluss auf die Biegezugfestigkeit nennen Bei kleinen Bauteilhoumlhen sind die groumlszligten Unterschiede zwi-schen Zug- und Biegezugfestigkeit zu erwarten Es gilt nach [CEBFIP ndash 91] die Beziehung

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot= (h in mm) (48)

In der [EN 1992-1-1] findet man die Gleichung

ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus= (49)

Weitere Ansaumltze befinden sich beispielsweise bei [Noakowski ndash 88] [Leonhardt ndash 78] oder [Malrsquocov ndash 68] eine Zusammenstellung kann Tafel 43 entnommen werden (vgl [Kruuml-gerMertzsch ndash 06]) Quelle Zugfestigkeit Biegzugfestigkeit [Malrsquocov ndash 68] 3 22750 wz ββ sdot= zzbz ha ββ sdot+= )1(

[Leonhardt ndash 78] 3 2230 wz ββ sdot= 3 2460 wbz ββ sdot= [Noakowski ndash 88] 3 2

wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot= 3 2wvz CCC ββ βη sdotsdotsdot=

[Kreller ndash 90] 3 2240 wz ββ sdot= 3 2480 wbz ββ sdot=

[CEBFIP ndash 91] ( ) 321041 ckctm ff sdot= 70

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

[EN 1992-1-1 ndash 04] 3230 ckctm ff sdot= ctmctmflctm ffhf )100061(max sdotminus=

[DIN 1045-1 ndash 08] 3230 ckctm ff sdot= ndash

Anmerkung a Materialkennwert (005 m bis 007 m) Cv Faktor zur Beruumlcksichtigung einer Vorschaumldigung hCv sdotminus= 20850 h in [m] Cη Faktor zur Beruumlcksichtigung einer ausmittigen Belastung ( ) ( )ηηη sdot+sdotsdot+= 601660 hCC mit ( ) ( ) )(40012462 hNMhhCh sdot=sdot+sdot+= η Cβ = 046

Tafel 43 Zusammenfassung ausgewaumlhlter Ansaumltze zur Bestimmung von Zug- und Biegezugfestigkeit

Das Ergebnis der unterschiedlichen Ansaumltze ist in den Abb 44 bis 46 dargestellt Der dabei benoumltigte Zusammenhang zwischen Zugfestigkeit βbZ Mittelwert der Wuumlrfelfestigkeit βW 5-Quantilwert der Wuumlrfelfestigkeit βWN und Zylinderfestigkeit fck kann wie folgt angegeben wer-den

3 23 23 2 350302750 ckWNWbZ fsdotasympsdotasympsdot= βββ Es ist klar zu erkennen dass sich die verschiedenen Ansaumltze signifikant auf das Rissmo-ment auswirken koumlnnen und teilweise zu deutlichen Abweichungen fuumlhren das gilt insbe-sondere bei Ansatz der Biegezugfestigkeit Die Abweichungen der Zugfestigkeit die in den

verschiedenen Rechenansaumltzen wieder zu finden sind werden im Kapitel 7 mit ihren Auswir-kungen auf die Durchbiegungsberechnung weiter erlaumlutert

a) b)

Abb 44 Vergleich des Rissmomentes eines 1 Meter breiten Plattenstreifens bei konstantem Beton C3037 und variabler Bauteilhoumlhe unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)

a) b)

Abb 45 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Platte bh = 10020 cm) und variabler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)

a) b)

Abb 46 Vergleich des Rissmomentes bei konstanter Bauteilhoumlhe (Balken bh = 3060 cm) und variabler Betonfestigkeit unter Ansatz der Zugfestigkeit (a) und Biegezugfestigkeit (b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov

DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctmKrellerMalcov

EC 2 fctmNoakowskiLeonhardt

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Bauteilhoumlhe [mm]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz

DIN 1045‐1 fctmMC 90 fctflKreller βz

Malcov βz

EC 2 fctflNoakowski βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Druckfestigkeit [Nmm2]DIN 1045-1 fctm EC2 fctflMC90 fctfl Noakowski bzKreller bz Leonhardt bzMalcov bz

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Druckfestigkeit [Nmm2]

DIN 1045-1 fctm EC2 fctmMC90 fctm NoakowskiKreller LeonhardtMalcov

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

412 Langzeitverhalten

Kriechen

Als Kriechen wird eine zeitabhaumlngige Vergroumlszligerung der elastischen Dehnungen des Betons unter Dauerlast (konstanter Spannungszustand) bezeichnet die Kriechdehnungen sind nach Entlastung uumlberwiegend irreversibel teilweise jedoch auch reversibel (bdquoverzoumlgert elastischldquo)

Das Betonkriechen ist ein komplexer Vorgang der auch heute noch nicht vollstaumlndig er-forscht ist Relativ sicher ist die Erkenntnis dass es hauptsaumlchlich in der Zementmatrix zu Verschiebungen kommt welche auch nach einer Entlastung bestehen bleiben (irreversibler Anteil) Sie resultieren aus der Verdichtung der Gelpartikel und auch aus der Umlagerung von Wasser im Zementstein Der Zuschlag ist am Kriechvorgang weitestgehend unbeteiligt Kriechen kann man unterteilen in das Grundkriechen das ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung stattfindet und das Trockenkriechen bei gleichzeitiger Belastung und Austrock-nung Hierbei ist auch immer das Schwinden zu beruumlcksichtigen die beiden Vorgaumlnge wer-den jedoch getrennt voneinander betrachtet (s nachfolgend)

Den groumlszligten Einfluss auf das Kriechen haben auf Seiten der Betontechnologie der Wasser-Zementwert die Zementart und die Betonzusammensetzung Als maszliggebende aumluszligere Be-dingung kann die Groumlszlige der Spannungen und ihre Einwirkungsdauer das Belastungsalter die Abmessungen des Bauteils und die Umgebungsbedingung (insb die Luftfeuchtigkeit) angesehen werden

Die Beziehung zwischen Belastung und Kriechen ist bei einem niedrigen Lastniveau weitest-gehend linear Bis zu einem Grenzwert von ca 04 sdot fcm kann das nichtlineare Kriechen ver-nachlaumlssigt werden In [DIN 1045-1 ndash 08] ist dieser Wert mit 045 sdot fck in den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eingegangen (Spannungsnachweis) Ab einem Belastungsniveau von uumlber 85 der Druckfestigkeit steigt der Kriecheinfluss so stark an dass es zum Kriech- oder Dauerstandsversagen kommen kann In Bauteilen die nach [DIN 1045-1 ndash 08] bemessen wurden kann man diese Versagensart wegen der Reduktion der Druckfestigkeit auf fcd = 085 sdot fck γc im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ausschlieszligen Bei Durchbiegungsberechnun-gen tritt wegen der genannten Spannungsbegrenzung unter Gebrauchslast auf 045 sdot fck im Allgemeinen nur lineares Kriechen auf

In Abb 47 ist die Entwicklung der linearen und nichtlinearen Kriechverformung exemplarisch fuumlr drei Laststufen kσ ndash mit kσ als Verhaumlltnis der aktuellen Spannung zur Betonfestigkeit ndash dargestellt Die Zeit t druumlckt die Belastungsdauer aus (vgl [Mertzsch ndash 03] [Bockhold ndash 05])

Abb 47 Schematische Darstellung der Kriechverformung unter linearem (li) und nichtlinearem (nl) Kriechansatz bei verschiedenen Spannungsniveaus und Belastungsdauern

Wie Untersuchungen gezeigt haben (z B [Kordina ndash 00]) verlaumluft das Kriechen unter Zug-beanspruchung bis 60 Prozent von fctm etwa linear die Kriechzahl kann aus der Druckbean-spruchung uumlbernommen werden

Die Kriechverformungen koumlnnen mit einem Summationsansatz ermittelt werden bei dem die Anteile aus dem plastischen (irreversiblen) und dem verzoumlgert elastischem (bedingt reversib-len) Kriechen addiert werden Bei relativ geringen Spannungsschwankungen kann auch ein Produktansatz verwendet werden bei dem das Kriechen als das ϕ-fache der elastischen Verformung beschrieben wird Er kann bei Stahlbetonbauteilen mit einem hohen Eigenlast-anteil angewendet werden und laumlsst sich wie folgt beschreiben

))(1()()()()( 0000 tttttttt elccel ϕεεεε +sdot=+= (410)

mit εel elastische Dehnung εcc Kriechdehnung ϕ Kriechzahl Die Kriechzahl kann beispielsweise nach [DIN 1045-1 ndash 08] oder [DAfStb-H525 ndash 03] ermit-telt werden Sie besteht aus der Grundkriechzahl ϕ0 und dem Beiwert fuumlr die zeitliche Ent-wicklung βc(t-t0) und wird uumlber das Produkt

)()( 000 tttt cβϕϕ sdot= (411)

berechnet Die Grundkriechzahl wird durch die Umgebungsfeuchtigkeit die Betonfestigkeit und Zementsorte die Bauteildicke und den Zeitpunkt der Erstbelastung beeinflusst

)()( 00 tfcmRH ββϕϕ sdotsdot= (412)

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

Der Beiwert βc(t t0) fuumlr die zeitliche Entwicklung der Kriechzahl ist von der wirksamen Bau-teildicke Luftfeuchtigkeit und vor allem der Differenz zwischen Betrachtungszeitpunkt und Erstbelastung abhaumlngig Er geht bei groszliger Zeitdauer gegen eins

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

211150 ααβ sdotlesdot+sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot+sdot=

hhRH

H (417)

Dabei sind t Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt [Tage] t0 tatsaumlchliches Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage] t1 Bezugsgroumlszlige t1 = 1 [Tag] t0eff wirksames Betonalter bei Belastungsbeginn [Tage]

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

RH relative Luftfeuchte der Umgebung [] h0 = 2 Ac u wirksame Bauteildicke [mm] mit Ac Querschnittsflaumlche [mm2] u Umfang des Querschnittes [mm] der der Trocknung ausgesetzt ist

41 Beton 31

h1 Bezugsgroumlszlige h1 = 100 [mm] fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons [Nmm2] αi Beiwerte zur Beruumlcksichtigung des Einflusses der Betondruckfestigkeit 70

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

3 )35( cmf=α fcm in Nmm2

Die Kriechzahl bezieht sich auf den Tangentenmodul Ec0m Fuumlr die Verformungsberechnung wird jedoch der Sekantenmodul benoumltigt die Kriechzahl muss also angepasst werden

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

Dabei ist Ec(t) = Ecm und Ec(t0) = Ec0m Die Gesamtverformung zum Zeitpunkt t betraumlgt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

Der Korrekturfaktor Ecm Ec0m ist von der Betonfestigkeit abhaumlngig Die Beziehung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul ist in Gleichung (44) dargestellt Fuumlr uumlbliche Betone erhaumllt man Werte zwischen 085 (C1620) und 093 (C5060) Vereinfachend wird der Faktor in der Literatur daher oft zu 09 gesetzt (s [Fischer ndash 03])

In Gleichung (410) wird von einer konstanten Spannung ausgegangen Fuumlr einen beliebigen Spannungsverlauf laumlsst sich die Gleichung erweitern auf

ττϕττσσσϕσε

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

Die Integration uumlber den genauen Spannungsverlauf erfordert einen hohen Rechenaufwand Durch Einfuumlhrung eines Voumllligkeitsbeiwertes ρ (auch Alterungsbeiwert oder Relaxationskoef-fizient genannt) laumlsst sich die Gleichung jedoch uumlberfuumlhren in

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

ϕρσσϕσε sdot+sdotminus

++sdot= (421)

Diese Methode folgt dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl [KoumlnigGerhardt ndash 86]) In kleinen Zeitintervallen kann man naumlherungsweise eine lineare Spannungsveraumlnderung un-terstellen und ρ = 05 setzen Uumlber laumlngere Zeitabschnitte nimmt ρ wegen des uumlberproportio-nalen Kriechverlaufes Werte zwischen 05 und 10 an Auf baupraktisch sinnvolle Anwen-dungen bezogen verkleinert sich der Bereich nach [Blessenohl ndash 90] auf 07 bis 095 Der Relaxationswert nimmt zu wenn die Bauteildicke groumlszliger wird und wenn die Erstbelastung deutlich nach dem Aushaumlrten des Betons erfolgt (ab 60 Tage) Er verkleinert sich hingegen bei groszligen Kriechzahlen

Bei stetig veraumlnderlichen Spannungen kann der Alterungsbeiwert mit dem Mittelwert ρ = 08 genuumlgend genau abgeschaumltzt werden (s z B [Trost ndash 87] [Luumlcken ndash 85]) Die Annahme eines Mittelwertes ist auch durch die Tatsache gerechtfertigt dass selbst bei genauer Kenn-tnis der einzelnen Parameter die Kriechzahl einem Variationskoeffizienten von ca 20 un-terliegt

Bei allmaumlhlichem Zwang kann man denselben Wert wie unter Lastbeanspruchung verwen-den wenn der Verlauf affin zum Kriechverlauf ist Laumluft der Zwang deutlich schneller ab so ist auch mit Werten groumlszliger als 10 zu rechnen

Genauere Berechnungsmoumlglichkeiten findet man beispielsweise in [CEB-H215 ndash 93] oder bei [KruumlgerMertzsch ndash 06]

Schwinden

Unter dem Oberbegriff bdquoSchwindenldquo werden die lastunabhaumlngigen physikalisch und che-misch hervorgerufenen Verkuumlrzungen des Betons zusammengefasst Es koumlnnen folgende Teilaspekte unterschieden werden

- Fruumlhschwinden (auch Kapillarschwinden plastisches Schwinden) Das Fruumlhschwinden tritt ausschlieszliglich bei Frischbeton in der plastischen Phase (also in

den ersten 2 bis 8 Stunden) auf und ist von dem Wasser-Zementgehalt abhaumlngig Im Be-ton befindet sich stets ein uumlber den Bedarf zum Abbinden des Zements hinausgehender Wasseranteil (zur besseren Verarbeitungsmoumlglichkeit) Durch Verdunstung u auml kommt es zu einem Volumenverlust des Betons Ohne eine vernuumlnftige Nachbehandlung oder Zugabe von Quellmitteln kann dieser Verlust bis zu 4 permil betragen [Grube ndash 03]

- Hydratation bzw autogenes Schwinden Bei der Hydratation wird der verfuumlgbare Wasseranteil durch das Abbinden des Zements verringert Da das gebundene Wasser ein geringeres Volumen einnimmt als das bdquofreieldquo Wasser kommt es zum Schwinden ohne Feuchteaustausch mit der Umgebung Diese Form des Schwindens tritt demzufolge auch nur verstaumlrkt in der Anfangsphase der Nut-zungsdauer eines Bauteils auf und verliert mit zunehmendem Alter an Bedeutung

- Trocknungsschwinden Der bei der Verformungsberechnung maszliggebende Teil des Schwindens ist das sog Trocknungsschwinden Es beginnt mit Ende der Nachbehandlungsphase und wirkt waumlh-rend der kompletten Nutzungsdauer des Bauteils Es wird durch das Austrocknen des uumlber- schuumlssigen Anmachwassers aus den Kapillarporen verursacht

- Carbonatisierung Das in das Betongefuumlge eindringende CO2 verursacht einen als Carbonatisierung be-zeichneten Effekt welcher die Betonfestigkeit erhoumlht und durch eine Verdichtung des Ge-fuumlges bei gleichzeitiger Freisetzung von Wasser zu einer leichten Volumenreduzierung fuumlhrt Dieser Effekt tritt aber ausschlieszliglich in der Randzone eines Bauteils auf und hat somit keinen nennenswerten Einfluss auf die Gesamtdehnung

Das Schwinden kann nicht verhindert werden Allerdings kann man sowohl durch die Beton-technologie (Zusammensetzung des Betons Zuschlag Wasser-Zement-Gehalt) als auch durch die Bauausfuumlhrung (Nachbehandlung) die Dehnung und auch die Rissbildung reduzie-ren So kann man durch geeignete Maszlignahmen nach dem Betonieren das Fruumlhschwinden fast vollstaumlndig kompensieren Auszligerdem beeinflusst die Schwindfaumlhigkeit des Zuschlags das Schwinden des Betons Waumlhrend Betonbrechsand bzw Betonsplitt das Schwindmaszlig gegenuumlber einem Beton mit Normalgesteinskoumlrnung verdoppeln koumlnnen kann ein sehr stei-fes Gestein wie bspw Basaltsplitt die Dehnungen deutlich reduzieren (vgl [KerkhoffSiebel ndash 01] bzw [EickschenSiebel ndash 98])

Weitere Faktoren die das Schwinden beeinflussen und bei der Berechnung des Schwind-maszliges εcs beruumlcksichtigt werden muumlssen sind - die Umgebungsfeuchte Innenbauteile weisen wegen der geringeren Luftfeuchtigkeit grouml-

szligere Schwindverformungen auf In der Anfangsphase muss eine uumlbermaumlszligige Austrock-nung durch eine geeignete Nachbehandlung vermieden werden

- die Bauteilgeometrie bdquoDickeldquo Bauteile trocknen langsamer aus - Wasser-Zementwert des Frischbetons Uumlberschuumlssiges Wasser verdunstet waumlhrend der

Nutzungsdauer - Zuschlag Ein groszliger Zuschlaganteil verringert die Schwindverformungen da er weit we-

niger vom Austrocknen betroffen ist als der Zementstein

41 Beton 33

Bei der Berechnung des Schwindmaszliges muss mit einem Variationskoeffizienten von bis zu 30 gerechnet werden Wahrscheinliche Schwindmaszlige koumlnnen beispielsweise [Goris ndash 08a] entnommen werden Die hier angegebenen Werte beziehen sich auf einen Zeitraum von t = 70 Jahre

Betonfes-tigkeits-klasse

Wirksame Bauteildicke h0 = 2Ac u (in cm) 10 50 100 200 10 50 100 200

innen (RH = 50) auszligen (RH = 80) C2025 -068 -059 -046 -029 -039 -035 -027 -018 C3037 -063 -056 -043 -029 -038 -034 -027 -019 C4050 -059 -053 -042 -029 -037 -033 -027 -020

Tafel 44 Wahrscheinliche Schwindmaszlige in permil nach t = 70 Jahren

In dem in [DIN 1045-1 ndash 08] eingegangenen Ansatz werden zur Berechnung des Schwind-maszliges zwei Einfluumlsse aufaddiert

)()()( scdscasscs ttttt εεε += (422)

Dabei ist εcas die Summe des chemischen und autogenen Schwindens (in [DIN 1045-1 ndash 08] als Schrumpfen bezeichnet) er wird bestimmt aus dem Produkt des Grundwertes (und gleichzeitig Endwertes) des Schrumpfens εcas0 und der Zeitfunktion βas(t)

)()()( 0 tft ascmcascas βεε sdot= (423)

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

( )501)(20exp1)( tttas sdotminusminus=β

Dabei sind fcm mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons im Alter von 28 Tagen fcm0 Bezugsgroumlszlige der Betonfestigkeit fcm0 = 10 Nmm2 t1 Bezugsgroumlszlige der Zeit t1 = 1 Tag αas Beiwert nach Tafel 45

Der wesentliche Anteil am Gesamtschwinden resultiert fuumlr t = infin aus dem Trocknungsschwin-den (physikalisches Schwinden) das in dem Wert εcds zusammengefasst wird Er setzt sich zusammen aus dem Grundwert des Trocknungsschwindens εcas0 einem Faktor fuumlr die Um-gebungsfeuchte βRH und einem Faktor βds(t-ts) der die zeitliche Entwicklung beruumlcksichtigt Dementsprechend erhaumllt man den Endwert des Trocknungsschwindens wenn βds(t-ts) gegen eins geht

)()()( 0 sdsRHcmcdsscds ttftt minussdotsdot= ββεε (424)

mit 6

0210 10)]exp()110220[()( minussdotsdotminussdotsdot+= cmcmdsdscmcds fff ααε (425) 50

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

Dabei sind 01)50( 10

01 lesdot= cmcms ffβ αds1 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 αds2 Beiwert zur Beruumlcksichtigung der Zementart siehe Tafel 45 RH Relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung in RH0 Referenzwert RH0 = 100 h0 Wirksame Bauteildicke in mm wird uumlber die Querschnittsflaumlche Ac (in mm2) und den

Umfang u welcher der Trocknung ausgesetzt ist bestimmt h0 = 2 Ac u h1 Referenzwert h1 = 100 mm fcm0 Referenzwert fcm0 = 10 Nmm2

Zementtyp αas αds1 αds2 SL 800 3 013 N R 700 4 012 RS 600 6 012

Tafel 45 Beiwerte αas αds1 und αds2 in Abhaumlngigkeit vom Zementtyp

Zementtyp Merkmal Festigkeitsklasse nach DIN EN 197-1

SL langsam erhaumlrtend 325 N N R normal oder schnell erhaumlrtend 325 R 425 N RS schnell erhaumlrtend und hochfest 425 R 525 N 525 R

Tafel 46 Definition der Zementtypen

Eine detaillierte Anleitung zur Berechnung des Schwindmaszliges befindet sich in [DAfStb-H525 ndash 03] ein graphisches Verfahren ist direkt in [DIN 1045-1 ndash 08] dargestellt

42 Betonstahl Spannstahl Im Stahlbetonbau gibt es warmgewalzten Stahl mit einem ausgepraumlgten Flieszligplateau und kaltverformten Stahl der keinen deutlichen Uumlbergang vom elastischen in den plastischen Bereich erkennen laumlsst Bis zur Streckgrenze ist das Verhalten jedoch identisch die unter-schiedlichen Eigenschaften im plastischen Bereich sind bei den Verformungsberechnungen unter Gebrauchslast nicht von Bedeutung Der Elastizitaumltsmodul betraumlgt bei uumlblichem Be-wehrungsstahl 200 000 Nmm2 bei Spannstaumlhlen als Litzen 195 000 Nmm2 und als Draumlhte 205 000 Nmm2 Weitere Eigenschaften wie die Zugfestigkeit ft die Streckgrenze fy oder die daraus bestimmbare Duktilitaumlt werden in den guumlltigen Normen behandelt ([DIN 488 ndash 06] [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04])

Das Verhalten des Bewehrungsstahls unter einer Druckbeanspruchung ist gleichzusetzen mit dem Verhalten unter Zug Zwar kann es bei wechselnder Zug- und Druckbelastung zu einer Verschiebung der Streckgrenze kommen (d h der Stahl faumlngt unter Druck schon bei Spannungen unter fy an zu flieszligen sog Bauschinger-Effekt) Dieses hat jedoch houmlchstens auf den Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit einen Einfluss und kann unter Gebrauchslasten ver-nachlaumlssigt werden

43 Verbund 35

Abb 48 Spannungs-Dehnungslinien uumlblicher Beton- und Spannstaumlhle (aus [ZilchZehetmaier ndash 06])

43 Verbund Ein elementarer Bestandteil des Stahlbetonbaus ist die Kraftuumlbertragung zwischen Beton und Betonstahl Dieses wird uumlber den Verbund ermoumlglicht der sich aus folgenden drei Antei-len zusammensetzt

- Haftverbund (Adhaumlsion) - Reibung - mechanische Verzahnung

Waumlhrend der Haftverbund nur geringe Kraumlfte uumlbertraumlgt und schon bei kleinen Relativ-bewegungen zwischen Beton und Stahl zerstoumlrt wird (nach [Kreller ndash 90] bei ca 0005 mm) uumlbernehmen Reibung (bei Querpressungen) und vor allem die mechanische Verzahnung den groumlszligten Teil der Verbundspannungen Die Verzahnung wird in erster Linie durch die Oberflaumlche der Bewehrungsstaumlbe beeinflusst die heute ausschlieszliglich in [DIN 1045-1 ndash 08] oder auch in [EN 1991-1-1 ndash 04] geregelten gerippten Staumlbe weisen eine gute Verzahnung auf (weitere Hinweise s bspw [DIN 488 ndash 06])

Der Verbund und die uumlbertragbaren Kraumlfte haben bei der Verformungsberechnung einen groszligen Einfluss Zum einen bestimmen sie das Rissbild und die Aktivierung des Betons zwi-schen den Rissen und wirken sich somit auf die Steifigkeit eines gerissenen Bauteils aus Zum anderen beeinflussen sie die Behinderung von Schwind- und Kriechverformungen durch die Bewehrung

Verbundspannungen werden uumlber eine Relativverschiebung von Bewehrung und umgeben-den Beton aktiviert Nur durch diesen so genannten Schlupf bauen sich die auf die einzelnen Rippen des Bewehrungsstabes wirkende Kraumlfte auf In der Vergangenheit wurden viele Ver-suche unternommen die Beziehung zwischen Verbundspannung und Schlupf experimentell zu erfassen und in vereinfachte Werkstoffgesetze darzustellen Im Folgenden sollen einige dieser Verbund-Schlupf-Gesetze vorgestellt werden

Allgemein gilt dass der Verbund im groszligen Maszlige von der Betonfestigkeitsklasse (und der aus ihr hergeleiteten Zugfestigkeit) der bezogenen Rippenflaumlche und dem Verbundbereich abhaumlngig ist Als weitere Einfluumlsse sind Querspannungen Betondeckung Stabdurchmesser Dehnzustand und Belastungsgeschichte zu nennen

[KruumlgerMertzsch ndash 06] und [KoumlnigTue ndash 96] geben eine relativ einfache Beziehung zwi-schen Verbundspannung und Schlupf an

)()( max xsx ssαττ sdot= (428)

mit maxsτ maximal erreichbare Verbundspannung )(xs Schlupf α von Betonfestigkeit und Umschnuumlrung abhaumlngige Konstante

Bei lang anhaltenden oder sich staumlndig wiederholenden Lasten verschlechtern sich die Ver-bundbedingungen Ursache hierfuumlr ist das Verbundkriechen also das Kriechen des unter hohen Druckspannungen stehenden Betons zwischen den Betonstahlrippen Mit dem Faktor ϕv der im Allgemeinen bei sich wiederholenden Lasten etwas groumlszliger ist als bei Dauerlast laumlsst sich die Verbundspannung unter Beruumlcksichtigung des Kriechens wie folgt angeben

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

Dabei kann die Verbundkriechzahl ϕv Werte annehmen von beispielsweise 15 fuumlr t = 1 Jahr oder 23 fuumlr t = 30 Jahre (nach [Eligehausen ndash 83] und [Rehm ndash 61] aumlhnliche Ergebnisse bei [Rohling ndash 87])

Die maximale Verbundspannung τsmax kann aus der Betonfestigkeit ermittelt werden Es wird unterschieden ob ein Sprengversagen (zu groszlige Querzugspannungen im Beton) oder ein Ausziehversagen (Zerstoumlrung des Betons zwischen den Rippen) maszliggebend ist Allerdings werden die Maximalspannungen erst bei einem groumlszligeren Schlupf erreicht so geht bei-spielsweise [Jaccoud ndash 97] von 1 mm aus Diese Werte werden im Gebrauchszustand nicht erreicht In diesem Zustand betraumlgt die mittlere Rissbreite wk = 02 ndash 04 mm und somit der mittlere anzunehmende Schlupf nur s = wk2 = 01 ndash 02 mm

Der Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) gibt in Anlehnung an [Eligehausen ndash 83] ein in vier Be-reiche unterteiltes Verbundspannung-Schlupf-Gesetz an (vgl Abb 49)

bull Im ersten Bereich (0 lt s lt 1 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Span-nung τbmax an Als Parabelgleichung wird angegeben

αττ )( 1max ssbb sdot= (430) Dabei ist α = 04 s1 = 1 mm (so) 21

max 52 ckb fsdot=τ bei gutem Verbund bzw 21

max 251 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund bull Im Bereich 2 (1 mm lt s lt 3 mm) verlaumluft τb konstant mit τb = τbmax bull Im dritten Bereich (3 mm lt s lt cl = lichter Rippenabstand) setzt die Zerstoumlrung des Betons

zwischen den Bewehrungsrippen ein Die Verbundspannung sinkt kontinuierlich auf den reinen Reibungsverbund herab

bull Im vierten Bereich ist nur noch der Reibungsverbund vorhanden Er betraumlgt 2101 ckf fsdot=τ bzw 2150 ckf fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund (431)

Abb 49 Verbund-Schlupfgesetz

43 Verbund 37

Wenn das Sprengrissversagen maszliggebend wird (z B bei kleinem Abstand der Rippe zu Querrissen) entfaumlllt das lang gezogene Plateau mit der maximalen Verbundspannung (Be-reich 3) die Verbundspannung erreicht dann nur noch den Wert 21

max 02 ckb fsdot=τ (bzw 21

max 01 ckb fsdot=τ bei maumlszligigem Verbund) und wird schon bei s1 = 06 mm erreicht

Eine aumlhnliche Unterteilung nimmt auch [Kreller ndash 90] vor der sich - wie auch der Model Code 90 - auf Untersuchungen von [Eligehausen ndash 83] stuumltzt Er betont ebenfalls dass sich das Verbund-Schlupf-Gesetz nur in Abhaumlngigkeit vom Abstand zu einem Querriss aufstellen laumlsst da bei Abstaumlnden zwischen einfachen und fuumlnffachen Stabdurchmesser der Uumlbergang vom Sprengrissversagen zum Ausziehversagen stattfindet Allerdings fuumlgt er zusaumltzlich noch die Bedeutung von Querbewehrung und Betondeckung auf die maximale Verbundspannung sowie der Betonfestigkeit auf den Exponenten α an Auszligerdem wird die maximale Verbund-spannung schon bei deutlich geringerem Schlupf erreicht Seine Unterteilung sieht wie folgt aus (bei ausreichendem Abstand zum Querriss und guten Verbundbedingungen) bull Im Bereich 1 (0 lt s lt 025 mm) steigt die Verbundspannung auf die maximale Spannung

τbmax an Als Parabelgleichung wird hier angegeben αττ )( 1max sssdot= (432)

Dabei ist 162500030 +sdot= cβα βc Betonfestigkeit in Nmm2 s1 = 025 mm (so) 21

max ckfa sdot=τ mit a = 036 sdot uumlbds +128 bei normaler und a = 036 sdot uumlbds +20 bei enger Verbuumlgelung uumlb Betondeckung ds Stabdurchmesser bull Im zweiten Bereich (025 mm lt s lt 035 mm) verlaumluft τ konstant mit τ = τmax bull Im Bereich 3 (035 mm lt s lt 1 mm) sinkt die Verbundspannung kontinuierlich auf den

reinen Reibungsverbund herab bull Im vierten Bereich ist der Reibungsverbund konstant vorhanden ist Er betraumlgt

max150 ττ sdot=R (433)

Abb 410 Verbund-Schlupfgesetz nach [Kreller ndash 90]

[KoumlnigTue ndash 96] weisen darauf hin dass die im Model Code 90 angegebenen Beziehungen die Verbundtragfaumlhigkeit bei geringem Schlupf (also gerade im Gebrauchszustand) unter-schaumltzen und geben fuumlr den Bereich 1 folgende Gleichung an

)()( xsCxsατ sdot= (434)

Dabei ist cmcmWm ffC sdot=sdotsdotasympsdot= 37021310310 β und 30=α

Bei kleinen Stabdurchmessern (Mattenbewehrung) und groszliger Betondeckung koumlnnen auch WmC βsdot= 320 und 220=α angesetzt werden

Bei [Noakowski ndash 88] wird die Verbundspannung uumlber den Schlupf δ einen Exponenten N und einen Materialkennwert A sdot βN

23 ermittelt Es wird auf den Einfluss der Rippenflaumlche des

Stahls der Verbundbedingungen (guter oder maumlszligiger Verbund) und ganz besonders der bezogenen Betondeckung (Verhaumlltnis der Betondeckung zum Stabdurchmesser) hingewie-sen Im Folgenden ist das Verbundgesetz im Bereich 1 fuumlr eine bezogene Betondeckung cds

= 175 dargestellt (uumlbliches Innenbauteil mit Stabbewehrung Mattenbewehrung liefert deut-lich guumlnstigere Werte)

32120950 cmb fs sdotsdot=τ (435)

Aus diesen Werten leitet [Noakowski ndash 88] eine mittlere Verbundspannung ab Sie betraumlgt 89024012032 )130( sscmbm df στ sdotsdotsdot= (436)

39

5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung

51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung Zunaumlchst wird das Verformungsverhalten eines linear-elastischen Querschnittes ohne zeitliche Einfluumlsse behandelt Die Verformung w bzw ihre Aumlnderung auf einem beliebigen Teilabschnitt dx laumlsst sich aus dem Drehwinkel der Stabachse ϕ und der Schubverzerrung γ ermitteln Fuumlr kleine Winkel ϕ kann man tanϕ = ϕ setzen Weiterhin kann die Schubver-zerrung gemaumlszlig der Normalenhypothese von Bernoulli zu Null gesetzt werden Somit erhaumllt man

ϕ=minusdxdw (51)

Die Aumlnderung des Drehwinkels ϕ innerhalb eines Abschnittes dx wird als Kruumlmmung κ bzw 1r bezeichnet

dxdϕκ = und somit 2

2

dxwd

=κ (52)

Die Durchbiegung erhaumllt man aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung

Die bdquoinnerenldquo Kraft- und Weggroumlszligen lassen sich uumlber Elastizitaumltsgesetze verknuumlpfen Am verformten Element nach Abbildung 51 wirkt in jedem beliebig kleinen Abschnitt der Querschnittsflaumlche A eine Spannung σxx(z) Durch Integration uumlber die Gesamtflaumlche und unter Beruumlcksichtigung des Schwerpunktabstandes z erhaumllt man das Gesamtmoment M

int sdot=A xx dAzzM )(σ (53)

Bei linear-elastischem Verhalten kann die Spannung nach dem Hookrsquoschen Gesetz als Produkt der Dehnung εxx(z) und des Elastizitaumltsmoduls E ausgedruumlckt werden Die Dehnung εxx(z) erhaumllt man als Produkt des Schwerpunktabstandes z und der Kruumlmmung κ Voraus-setzung hierfuumlr sind das Ebenbleiben des Querschnittes (Hypothese von Bernoulli) und sehr kleine Verformungen bzw Verdrehungen (vgl Gl (52)) Somit ist das Moment

int intintint =sdot=sdotsdot=sdotsdot=sdot=A AA xxA xx EIdAzEdAzEdAzzEdAzzM κκκεσ 22)()( (54)

mit I = intAdAz2 als Flaumlchenmoment 2 Grades

Abb 51 Elastizitaumltsgesetz bei reiner Biegung

40 Kapitel 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung

Die Ermittlung der Last-Verformungsbeziehungen fuumlr eine Normal- bzw Querkraft erfolgt analog so dass man zusammenfassend schreiben kann

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

Gleichung (55) gilt fuumlr elastisches Verhalten Bei einem kriechfaumlhigen Werkstoff wie Beton muss zu den elastischen Dehnungen ein um die Kriechzahl ϕ erhoumlhter Anteil addiert werden (vgl Gl (410)) Mit Gleichung (55) lassen sich die Kriechdehnungen wie folgt bestimmen

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Das Betonschwinden bewirkt bei einem reinen Betonquerschnitt nur eine Dehnung entlang der Bauteilachse und ist zu der elastischen und kriechbedingten Dehnung zu addieren Bei bewehr-ten Querschnitten wird die Schwinddehnung εcs um den Anteil der Kraft die die Bewehrung auf-nimmt reduziert da die freie Verformung durch den im Verbund liegenden Stahl behindert wird

Fuumlr mittige bzw symmetrische Bewehrung gelten die Beziehungen ndash Beton csccscscmcs FAE =sdot=sdot σσε (57a) ndash Kraumlftegleichgewicht scs FF = (57b) ndash Stahl ssssss EFA σεσ =sdot=sdot (57c) Ist die Bewehrung exzentrisch angeordnet entstehen zusaumltzliche Kruumlmmungen bzw bdquoinnereldquo Momente Ansaumltze zu ihrer Ermittlung werden im nachfolgenden Abschnitt dargestellt

52 Einfluss des Schwindens

521 Ermittlung der Kruumlmmung mit Ansatz eines Ersatzkraumlftepaares

5211 Grundsaumltzliches

Die Querschnittskruumlmmung wird im Allgemeinen bestimmt indem die Kraumlfte die aus der Behinderung der freien Schwinddehnung entstehen als aumluszligere Kraumlfte auf den Beton- und den Bewehrungsquerschnitt angesetzt werden (vgl [KoumlnigTue ndash 08] [KruumlgerMertzsch ndash 06]) Sie ergibt sich aus der Dehnungsdifferenz im Schwerpunkt des Betons und der Bewehrung (Zug- und Druckbewehrung) Es ist zwischen Zustand I und Zustand II zu unterscheiden

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

Dabei gibt z den Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittes zc und dem Schwerpunkt der beiden Bewehrungslagen zs an (s Abb 52) Mit εcc und εss werden die durch das Schwinden des Betons hervorgerufenen Dehnungen in eben diesen Punkten bezeichnet

Die Schwerpunktordinaten zSs der Bewehrung und zSc des Betons ergeben sich jeweils aus der gewichteten Summe der Teilflaumlchenschwerpunkte als (bezogen auf OK Traumlger)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sdotminus+sdot= (bei Druck- und Zugbewehrung) (510a)

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

1 (bei j Teilquerschnitten) (510b)

52 Einfluss des Schwindens 41

Zustand I Zustand II

z Id s

2d s

1

d h

Abb 52 Schwerpunkte von Beton und Stahl im Zustand I und II

Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten Ss und Sc wird ausgehend von der Mittelachse des Querschnittes wie folgt berechnet

s

ssssI

dhdhzρρρ

sdotsdotminussdotminussdotminussdot

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

sdot minus minus sdot minus sdot= sdot

sdot mit dx =ξ (512a)

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

= ξρρρ mit hxh =ξ (512b)

mit ρs1 als Bewehrungsgrad der Zugbewehrung ρs2 der Druckbewehrung und ρs der Gesamt-bewehrung Er wird im Zustand I auf die Bauteilhoumlhe (Ac = h sdot b) und im Zustand II auf die statische Nutzhoumlhe (Ac = d sdot b) bezogen

Die Dehnungen werden zunaumlchst im Zustand I und fuumlr den Rechteckquerschnitt bestimmt Fuumlr profilierte Bauteile ist das Traumlgheitsmoment I und die Flaumlche A entsprechend zu bestimmen ansonsten kann die Herleitung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte unveraumlndert uumlbernommen werden

Die Spannungsumlagerung zwischen Beton und Bewehrung wird vom Kriechen beeinflusst So wird die Kraft die der schwindende Beton auf die Bewehrung ausuumlbt durch das Kriechen reduziert Dadurch verkleinert sich die Stahldehnung und die Dehnungsdifferenz sowie die Kruumlmmung wird groumlszliger (Ausnahme Symmetrisch bewehrte Querschnitte) Im Folgenden wird dieser Umstand durch den Faktor (1 + ρ sdot ϕ) beruumlcksichtigt wobei ρ einen Alterungs-beiwert zur Beruumlcksichtigung der die Kriechspannung reduzierenden Relaxation angibt In Anlehnung an [KoumlnigGerhardt ndash 86] wird er analog zum Wert fuumlr die Lastbeanspruchung zu 08 gesetzt (s auch Abschnitt 412 - Kriechen)

Die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrung betraumlgt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+=

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

Im Schwerpunkt des Betons erhaumllt man die Dehnung

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

sdot+sdotsdotsdotminus=

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

= sdot sdot sdot minus1 2 22( )s s

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Im Zustand II sind die Gleichungen dahingehend zu modifizieren dass statt der Bauteilhoumlhe h die Druckzonenhoumlhe x bzw in bezogener Form ξ = x d verwendet wird Sie kann bei-spielsweise mit den in [Goris ndash 08b] angegebenen Gleichungen ermittelt werden Fuumlr die Dehnung der Stahl- und Betonschwerpunkte gilt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+sdot

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sss dddbI minussdotsdotsdot

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Hierbei ist jedoch zu beachten dass die Dehnungen fuumlr den reinen Zustand II gelten Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen wird bei [KoumlnigTue ndash 08] grundsaumltzlich uumlber einen modifizierten E-Modul beruumlcksichtigt

5212 Erweiterung auf den Nettoquerschnitt

Aufbauend auf den zuvor dargestellten Gleichungen (vgl auch [KoumlnigTue ndash 08]) soll der Einfluss des Schwindens auf die Nettoquerschnittswerte bezogen werden Dieses kann gerade bei houmlherfesten Betonen und im Zustand II von Bedeutung sein Die Herleitung erfolgt fuumlr den ungerissenen und den gerissenen Querschnitt

Zustand I

Die Kruumlmmung ergibt sich aus der Differenz der Dehnung im Schwerpunkt des Beton-querschnittes und im Schwerpunkt der Bewehrung (vgl Abb 52)

ndash Schwerpunkt der Bewehrung

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

minussdot++minussdot=

+sdotminus+sdot+minus

=

(517)

ndash Schwerpunkt des Betons (Nettoquerschnitt)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

minusminussdotminus+minussdotminus

=

minussdot+minussdotsdotminusminussdotsdot+sdotminus+sdotsdotminus

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

ndash Abstand von Beton- und Bewehrungsschwerpunkt

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

minus+minussdot++minussdot

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

+sdot+minussdot++minussdot=

minusminussdot++minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

ndash Schwerpunkt Bewehrung

s

sssSs

dhdhzρ

ρρ )2()2( 122 +minussdot++minussdot= (520)

ndash Schwerpunkt Betonquerschnitt

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

sdotminussdotsdot+minusminussdot+minus

=

minussdotsdotminus+sdotsdotminusminus

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρξρρξρρξρρξ

ρρ

ρρρ

minussdot+minussdotsdotminus+minussdotsdotminus++minussdotsdot+

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

Berechnung der Dehnungen

Betrachtet man die Bereiche Beton und Bewehrung (Druck- und Zugbewehrung) getrennt kann man fuumlr jeden in seinem Schwerpunkt eine Dehnung und eine Kruumlmmung berechnen und daraus die Schnittgroumlszligen Nc und Mc bzw Ns und Ms der Teilquerschnitte berechnen

Abb 53 Ersatzkraumlfte und ndashmomente aus der Behinderung der freien Schwinddehnung

Im Querschnitt muss Kraumlftegleichgewicht vorhanden sein zusaumltzlich gilt als Vertraumlglichkeitsbe-dingung das Ebenbleiben des Querschnittes Dadurch lassen sich folgende 4 Beziehungen herleiten

sum = 0N sc NN minus=rarr (523a)

sum = 0M Issc zNMM sdotminusminus=rarr (523b)

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

Mit Gleichungen (523b) und (523c) gilt

ss

sIss

cc IEMzNM

IE sdot=sdotminusminussdot

sdotsdot+ )()1( ϕρ

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

sdotsdot+sdotsdot+=sdotsdotsdot+sdotsdotminusrarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdotminus sdot + sdot = + sdot

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

z( )N N NE A E A E I

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdotrarr = sdot + sdot + sdot

sdot sdot sdotsdot +

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

Damit ergeben sich die Dehnungen in den Schwerpunkten des Betons und der Bewehrung

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

sdot+sdot+sdotsdotsdot

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdotsdot+sdotsdotminus=

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

Dabei ist cmse EE =α Die Berechnung der Betonquerschnittsgroumlszligen Ac und Ic (und somit auch des Bewehrungsgrades ρs) erfolgt mit den Nettowerten Im reinen Zustand II gelten die oben ermittelten Gleichungen mit folgenden Aumlnderungen

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zusaumltzlich wird der Abstand der Beton- und Bewehrungsschwerpunkte zI durch den ent-sprechenden Wert im Zustand II (also zII) ersetzt

Die Kruumlmmung berechnet sich analog zu [KoumlnigTue ndash 08] bzw Abschnitt 5211 wie folgt

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

5213 Auswirkungen des Ansatzes von Nettoquerschnittswerten

Wie aus Gleichung (57) ersichtlich ist die Kraft die beim Schwinden vom Beton auf den Stahl uumlbertragen wird vom Verhaumlltnis der Flaumlchen abhaumlngig Um den Einfluss der Nettoquer-schnittswerte zu erfassen werden Parameterstudien an Platten- und Balkenquerschnitten durchgefuumlhrt

Platten

Aufgrund des niedrigen Bewehrungsgrades uumlblicher Plattenkonstruktionen ist der Einfluss von Nettoquerschnittswerten erwartungsgemaumlszlig gering In Abbildung 54 sind die Abweichungen von Netto- und Bruttowerten fuumlr einen Zugbewehrungsgrad von 05 und einem variablen Druckbewehrungsgrad dargestellt Der Randabstand der beiden Bewehrungslagen ist gleich groszlig er betraumlgt ds1 h = ds2 h = 01 Die Querschnitts-kruumlmmungen erhoumlhen sich unter Annahme eines C 2025 bei Ansatz des Nettoquerschnitts um maximal 2 Prozent bei einem C 5060 um etwa 22 Prozent Im Zustand II ist der Einfluss der Betonfestigkeit deutlicher erkennbar allerdings betraumlgt der Unterschied selbst bei einer fuumlr Platten eher untypischen Festigkeit von fck = 50 Nmm2 und einer Druck-bewehrung von 100 der Zugbewehrung weniger als ein Prozent Da sich der Beton nur in der Druckzone am Verformungswiderstand beteiligt liefert die Berechnung ohne Druck-bewehrung erwartungsgemaumlszlig keine Abweichungen zwischen Netto- und Bruttoquerschnitt

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Zustand I C 2025 Zustand II C 2025Zustand I C 5060 Zustand II C 5060

Abb 54 Prozentuale Erhoumlhung der Kruumlmmung inf Schwindens bei Ansatz des Nettoquerschnitts in

Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) gering beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 05 ds1 h = ds2 h = 01)

Balken

Bei hochbeanspruchten Bauteilen koumlnnen sich im Zustand I die Kruumlmmungen ndash berechnet mit Brutto- bzw Nettoquerschnittswerten ndash um bis zu sechs Prozent unterscheiden wenn die Druckbewehrung annaumlhernd die Groumlszlige der Zugbewehrung erreicht und wenn eine groszlige Betonfestigkeit vorliegt (vgl Abb 55 Betonklasse C5060 Zugbewehrungsgrad 2 Prozent Randabstaumlnde ds1 h = ds2 h = 01) Diese Abweichungen haben jedoch keine groumlszligere praktische Bedeutung da die Schwindkruumlmmung fuumlr annaumlhernd symmetrisch bewehrte Querschnitte ohnehin sehr gering ist (Schwerpunkt der Bewehrung und Schwerpunkt des Betons stimmen fast uumlberein) Im Zustand II ist der Einfluss geringer bei groumlszligerer Druckbewehrung wird die Kruumlmmung sogar guumlnstig beeinflusst (d h sie wird kleiner s Abb 55)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Zustand I C 2025 Zustand II C 2025

Abhaumlngigkeit vom Druckbewehrungsanteil (ρs2ρs1) hoch beanspruchtes Bauteil (ρs1 = 20 ds1 h = ds2 h = 01) Oben Konstanter Randabstand variable Betonfestigkeit

Unten Konstante Betonfestigkeit C 5060 variabler Randabstand

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Zustand I dsh=005 Zustand II dsh=005 Zustand I dsh=01

Zustand II dsh=01 Zustand I dsh=015 Zustand II dsh=015

522 Berechnung der Kruumlmmung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren

5221 Querschnitte ohne Druckbewehrung

Basierend auf den Arbeiten von Trost wird uumlber das Loumlsen des Verbundes zwischen Beweh-rung und Beton die unbekannte Kraftgroumlszlige X1 bestimmt (vgl a [Fischer ndash 03]) Diese fuumlhrt uumlber das Kraumlftegleichgewicht zu den Beton- und Stahlkraumlften und somit auch zu den Dehnungen an den entsprechenden Stellen Aus den Dehnungen εcs (Schwindmaszlig) εc

(Betondehnung in der Schwereachse) und εs1 (Stahldehnung der Zugbewehrung) sowie dem Abstand zs1 der Beweh-rungslage von der Schwereachse kann man die Kruumlmmung im Zustand I wie folgt bestimmen

1

s

sccsIcs z

εεεκ +minusminus= (529)

Im Zustand II kann man davon ausgehen dass die mittlere Stahldehnung zwischen zwei Ris-sen deutlich kleiner ist als im Zustand I Als Richtwert kann sie nach [Fischer ndash 03] als ca 40 der Dehnung im Zustand I angenommen werden Die Kruumlmmung berechnet sich dann wie folgt

dcsI

csIIcs

εκκ sdotminus+sdot=

6040 (530)

Im statisch bestimmten bdquo0ldquo-Zustand ergibt sich folgende Verformung Lcs sdotminus= εδ10 (531)

Das Aufbringen einer Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo an der Stelle der geloumlsten Verbindung ergibt folgende Verformung

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

Abb 56 Kraftuumlbertragung bei Betonschwinden und einlagiger Bewehrung

Setzt man vollstaumlndigen Verbund voraus so duumlrfen in der Bewehrung und in der Betonfaser in Houmlhe der Bewehrung keine Verschiebungsdifferenzen auftreten Die unbekannte Verbund-kraft kann also uumlber folgende Beziehung ermittelt werden

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

sdot+sdotsdotsdotsdotsdot

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

Mit cmse EE =α und css AA 1=ρ erhaumllt man

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ sdot+sdotsdot+sdotsdot+

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

Somit ergibt sich die Stahldehnung zu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

und die Betondehnung in der Schwereachse zu

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

F εϕρραϕρϕρε sdotsdot+sdotsdotminus=sdot+sdotsdotsdot

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

5222 Erweiterung auf Querschnitte mit Druckbewehrung Bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist das System zweifach statisch unbestimmt Fol-gende Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen treten auf

Statische Systeme bdquo0ldquo-Zustand freies Schwinden des Betons bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung

Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Schwindverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die

zwischen Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo

die zwischen Beton und der Zugbewehrung wirkt Nach dem Gesetz von Maxwell ist δ12 = δ21

Kraftgroumlszligen X1 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragene Kraft

beschreibt X2 Kraftgroumlszlige die die uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragene

Kraft beschreibt

Abb 57 Kraftgroumlszligen bei Zug- und Druckbewehrung

Zunaumlchst werden die Verformungen fuumlr eine Kraftgroumlszlige bdquo1ldquo bestimmt Die tatsaumlchliche Verformung betraumlgt das X1- bzw X2-fache der Verformung unter der bdquo1ldquo-Last Wegen des vollstaumlndigen Verbundes sind Dehnungen in den Bewehrungslagen und der sie direkt umge-benden Betonfaser gleich

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

Im Einzelnen werden die Verformungsgroumlszligen wie folgt berechnet

Lcs sdotminus= εδ10 (538) Lcs sdotminus= εδ 20 (539)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

mit 1 2 22 und 2s s sz d h z d h = minus = minus

Die Bauteillaumlnge L ist fuumlr alle Verformungsbeziehungen gleich und kann somit aus allen Gleichungen herausgekuumlrzt werden Zur besseren Uumlbersicht werden auszligerdem in den weiteren Berechnungen gesetzt

1 21 2

1 1 1 1 cm c cm c s s s s

a b c cE A E I E A E A

ρ ϕ ρ ϕ+ sdot + sdot= = = =

sdot sdot sdot sdot

Somit koumlnnen die Verformungsgleichungen wie folgt umgeschrieben werden csεδ minus=10 csεδ minus=20

21111 szbac sdot++=δ 2

2222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ

Mit den Verformungen bzw Dehnungen und den oben beschriebenen Verbundbedingungen lassen sich nun die unbekannten Kraftgroumlszligen bestimmen

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

δ δ δ ε δ δδ δ δ δ δ δ δ δ

ε δδ

sdot minus sdot minusrarr = =

sdot minus sdot sdot minus sdot

rarr = sdot minus sdot

Durch Einsetzen der oben dargestellten Verformungsgroumlszligen erhaumllt man

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminusminusminussdotsdotsdot

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

X sdotsdot+sdotminussdotsdot++

= ε (544)

Mit diesen Kraftgroumlszligen koumlnnen an jeder Stelle des Querschnittes die durch das Schwinden hervorgerufenen Dehnungen bestimmt werden Bei den folgenden Berechnungen werden die Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand ermittelt (s Abb 58) Die Kruumlmmung ergibt sich aus ihrer auf die Bauteilhoumlhe bezogenen Differenz Alternativ (und zur Kontrolle) koumlnnen beispielsweise auch die Stahldehnungen in eine Querschnittsverkruumlmmung uumlberfuumlhrt werden

Abb 58 Querschnittskruumlmmung durch behinderte Schwindverformung Definition der Dehnungen

Mit Abb 58 ist die Kruumlmmung h

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

ϕρϕρϕρϕρεε (545)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Die Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II wird aumlhnlich wie bei [KoumlnigTue ndash 08] durchgefuumlhrt indem man die Querschnittswerte Ac und Ic durch die entsprechenden Werte im gerissenen Zustand ersetzt dh statt der Bauteilhoumlhe h nur noch die Druckzonenhoumlhe x ansetzt Die Ermittlung einer Kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des tatsaumlchlichen Rissbildes (also Verbund von Stahl und Beton zwischen den Rissen) wird im Abschnitt 525 separat betrachtet

523 Schwinden nach EN 1992-1-1

In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird ein vereinfachtes Verfahren angegeben mit dem die Kruumlmmun-gen im Zustand I und II bestimmt werden koumlnnen Es gehen neben dem Schwindmaszlig εcs und dem Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule cmse EE=α noch die Flaumlchenmomente ersten Grades der Bewehrung S und das Flaumlchenmoment zweiten Grades I des ideellen Querschnittes in die Berechnung ein Kriecheffekte koumlnnen uumlber einen effektiven E-Modul erfasst werden Hierfuumlr wird der Elastizitaumltsmodul des Betons durch (1+ρmiddotϕ) dividiert

Zustand I I

I

ecsIcs I

Ssdotsdot= αεκ (547)

Zustand II II

II

ecsIIcs I

Die Herleitung dieser Beziehungen erfolgt uumlber ein fiktives Moment das aus dem Schwinden bzw der Schwindbehinderung der Bewehrung entsteht und als aumluszligere Belastung auf den reinen Betonquerschnitt angesetzt wird Zunaumlchst soll zur Anschauung ein Querschnitt im Zustand I ohne Druckbewehrung betrachtet werden Das fiktive Moment kann aus der Stahlkraft Fs1 und dem Hebelarm zs1 gebildet werden Die Kruumlmmung betraumlgt dann

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

bzw nach Bestimmen der Stahlkraft Fs1

( )( ) ( )ϕρρααε

κsdot+sdotsdot+sdotsdot+

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

c1s1seffecsIcs (549)

Die auf den reinen Betonquerschnitt bezogenen Werte 12hbI 3c sdot= und zs1 = h2 ndash ds1 wer-

den durch die ideellen κ= sdot sdot 3 12I II b h und zs1 = (d ndash x) = (d ndashξI middot h) ersetzt Dabei sind

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2II )hd(12)50(121 ξραξκ minussdotsdotsdot+minussdot+= (550b)

Der Term As1 sdot zs1 entspricht dem Flaumlchenmoment erster Ordnung der Bewehrung SI Mit diesen Ergaumlnzungen koumlnnen auch die in 521 vorgestellten Modelle in den Gleichungen des [EN 1992-1-1 ndash 04] beruumlcksichtigt werden die Ansaumltze sind also gleichwertig Die hier dargestellte Herleitung kann problemlos auf den reinen Zustand II uumlberfuumlhrt werden indem man die Druckzonenhoumlhe x fuumlr den gerissenen Querschnitt bestimmt und hiermit sowohl das statische Moment der Bewehrung als auch das Traumlgheitsmoment des ideellen Querschnitts neu bestimmt

Gleiches gilt auch fuumlr einen Querschnitt mit Druckbewehrung Es sind SI II bzw SII

III jeweils als ideelle Werte zu bestimmen Angaben hierzu finden sich bspw bei [Goris ndash 08b]

524 Weitere Moumlglichkeiten und Vergleich der Ansaumltze

Die Berechnung der Durchbiegung einer einachsig gespannten Platte erfolgt nach [Mayer ndash 67] uumlber die Kruumlmmung κ als Verhaumlltnis des Schwindmaszliges zur Nutzhoumlhe uumlber die Spannweite L und uumlber zwei Faktoren ks und sI bzw sII welche das statische System sowie Betonklasse Bewehrungsgrad und Kriechzahl beruumlcksichtigen Der Kruumlmmungsverlauf wird analog zur Berechnung unter Last und Kriechen beruumlcksichtigt (unter Gleichlast parabelfoumlrmiger Verlauf) Mayer stellt zunaumlchst zwei Differentialgleichungen erster Ordnung auf die die Ver-formung unter Beruumlcksichtigung der Belastung und der Langzeiteinfluumlsse beschreiben Diese Gleichungen werden fuumlr ausgewaumlhlte Faumllle (z B εcs = ndash04 permil und ϕ = 40) iterativ geloumlst Bei von Mayer abweichenden Eingangsparametern erfolgt im Zustand I die Berechnung uumlber Korrekturfaktoren Fuumlr den Zustand II ist zusaumltzlich eine Naumlherungsformel gegeben

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

mit L Stuumltzweite d statische Nutzhoumlhe εcs Schwindmaszlig ks Faktor zur Beruumlcksichtigung des statischen Systems der Belastung des Traumlg-

heitsmomentenverlaufs und des Ortes der Durchbiegung Bei einem Einfeldtraumlger unter Gleichstreckenlast gilt beispielsweise zur Bestimmung der Verformung in Feldmitte ks = 5 48

sII )1(6

231 2sEIIs ραϕsdotminussdot

+sdot= (vgl auch [BeckSchack ndash 72])

In [GrasserThielen ndash 91] erfolgt die Berechung prinzipiell wie in [Mayer ndash 67] jedoch mit Unterschieden in der Bestimmung der Korrekturwerte sII bzw κs

II (Bezeichnung nach GrasserThielen) Sie dienen der Umrechnung der maximalen Kruumlmmung bei einer dehn-starren Zugbewehrung zum erwarteten Wert unter Beruumlcksichtigung der Material-eigenschaften Querschnittsgroumlszligen und eventuell vorhandener Druckbewehrung und werden in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis der Elastizitaumltsmodule des Druck- und Zugbewehrungs-grades sowie den Randabstaumlnden der Bewehrungen bestimmt

Im Vergleich zu den Verfahren nach Abschnitten 521 ndash 523 die alle zum selben Wert fuumlhren erhaumllt man mit diesen beiden aumllteren Berechnungshilfen teilweise deutlich abweichende Ergebnisse wie nachfolgend an 3 Beispielen exemplarisch gezeigt wird Es wird jeweils ein Beton C3037 ein Schwindmaszlig von ndash06 sdot 10ndash3 und eine Kriechzahl 25 angenommen

Beispiel 1 Fuumlr eine Deckenplatte mit h d = 24 215 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 05 (ohne Druckbewehrung) erhaumllt man folgende Kruumlmmungen

[Mayer ndash 67] im Zustand I 0474 sdot 10-3 im Zustand II 2419 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0713 sdot 10-3 im Zustand II 3084 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0964 sdot 10-3 im Zustand II 3198 sdot 10-3

Beispiel 2 Es wird ein Balken mit bhd = 306056 cm und einem Zugbewehrungsgrad von 12 (ohne Druckbewehrung) berechnet [Mayer ndash 67] im Zustand I 0471 sdot 10-3 im Zustand II 0929 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0550 sdot 10-3 im Zustand II 1232 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0724 sdot 10-3 im Zustand II 1293 sdot 10-3

Beispiel 3 Balken nach Beispiel 2 jedoch mit einem Druckbewehrungsgrad von 06 (ρs2 ρs1 = 05) [Mayer ndash 67] im Zustand I 0180 sdot 10-3 im Zustand II 0737 sdot 10-3 [GrasserThielen ndash 91] im Zustand I 0220 sdot 10-3 im Zustand II 0882 sdot 10-3 Ansaumltze nach Abschnitt 521 ndash 523 im Zustand I 0261 sdot 10-3 im Zustand II 0807 sdot 10-3

Wie zu sehen ist sind die Abweichungen im Zustand I (insb im Beispiel 1) relativ groszlig Im Zustand II naumlhern sich die Ergebnisse an (insb im Bsp 3 dh bei Anordnung von Druckbewehrung)

525 Schwinden im Zustand IIm

Die Herleitung fuumlr den reinen Zustand II wurde im Abschnitt 521 dargestellt Analog laumlsst sich mit dem in Abschnitt 522 hergeleiteten Modell die Kruumlmmung bestimmen wenn man die Querschnittswerte des Zustandes I durch die entsprechenden auf die Druckzone x be-zogenen Werte ersetzt Die Ergebnisse stimmen dann exakt uumlberein Ebenso laumlsst sich mit [KoumlnigTue ndash 08] und mit der vereinfachten Berechnungsmethode in [EN 1992-1-1 ndash 04] die Querschnittskruumlmmung infolge Schwinden im reinen Zustand II berechnen

Auf den Gesamtquerschnitt bezogen ist eine Berechnung der Kruumlmmung im reinen Zustand II jedoch nur wenig sinnvoll da im Riss das Schwinden der Betondruckzone nur einen gerin-gen Anteil am gesamten Verformungsverhalten hat waumlhrend zwischen den Rissen groumlszligere Werte auftreten Aumlhnlich wie bei der Lastbeanspruchung muss also die mittlere Querschnitts-

kruumlmmung unter Beruumlcksichtigung des Betonquerschnittes zwischen zwei Rissen bestimmt werden In [EN 1992-1-1 ndash 04] wird hierzu der Verteilungsbeiwert ζ aus der Lastbeanspru-chung verwendet (s hierzu Abschn 73)

Das Schwinden verursacht eine Verformungsgroumlszlige in einem unbewehrten und zwaumlngungsfrei gelagerten Bauteil ist diese spannungsfrei wenn man von Eigenspannungen aus dem unterschiedlichen Schwinden von Betonrandzonen und dem Kernbereich absieht (der Einfluss kann i d R vernachlaumlssigt werden da hierdurch im Symmetriefall keine Kruumlmmung verursacht wird) Bei bewehrten Querschnitten entstehen ndash bedingt durch die Dehnungsbehinderung infolge der Bewehrung ndash Zugspannungen im Beton und Druckspannungen in der Bewehrung Ist nur wenig Bewehrung vorhanden ist auch die Behinderung gering dementsprechend klein faumlllt die Querschnittsverkruumlmmung aus Bei groszligen einseitig angeordneten Bewehrungs-mengen ist die Dehnungsdifferenz zwischen der sich frei verkuumlrzenden Betondruckzone und der verformungsbehinderten Zugzone groumlszliger die Kruumlmmung steigt somit

Bei einer Rissbildung die meistens aus einer Lastbeanspruchung resultiert werden Beton-zugspannungen abgebaut so dass wenn man ausschlieszliglich das Schwinden betrachtet auch die Stahlstauchungen zuruumlckgehen und die Dehnungsdifferenz zwischen den Bauteil-kanten vergroumlszligert wird Der Ansatz eines aus der Belastung ermittelten Verteilungsbeiwertes ist in diesem Fall problematisch da sich dieser eigentlich auf ein anderes Tragmodell bezieht (Zugspannungen und -dehnungen im Stahl)

In [Fischer ndash 03] wird die Abnahme der Stahlstauchung durch die Rissbildung abgeschaumltzt Die mittlere Dehnung des Stahls nach Rissbildung wird mit 40 Prozent der Dehnung im Zustand I angegeben Damit ergibt sich die Querschnittskruumlmmung zu

d6040 csI

csIIcs

εκκ sdotminus+sdot= (552)

53 Einfluss des Kriechens

531 Kruumlmmungsermittlung mit dem Kraftgroumlszligenverfahren 5311 Kruumlmmung im Zustand I

Bei Verformungsberechnungen ist das Kriechen des Betons zu beachten d h dass sich die Dehnungen im Beton bei konstanter Spannung zeitabhaumlngig erhoumlhen Diesen Vorgang kann man sowohl in der Druckzone als auch im Zugbereich beobachten die Kriechzahlen koumlnnen jedoch naumlherungsweise gleichgesetzt werden (vgl Abschnitt 412 s a [Kordina ndash 00]) Durch Bewehrung kann die Kriechverformung vermindert werden da sich die Kraumlfte vom Beton der sich ja der Belastung durch Kriechen bdquoentziehtldquo teilweise in den Stahl umlagern Nachfolgend wird von vollkommenem Verbund zwischen Beton und Bewehrung ausgegangen

Abb 59 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand I

Das System ist zweifach statisch unbestimmt Zustaumlnde und Verformungsgroumlszligen sind bdquo0ldquo-Zustand freies Verformen des Betonquerschnittes bdquo1ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Zugbewehrung bdquo2ldquo-Zustand Loumlsen des Verbundes der Druckbewehrung Verformungsgroumlszligen δ10 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Zugbewehrung δ20 Unbehinderte Lastverformung des Betons an der Stelle der Druckbewehrung δ11 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ22 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo δ12 Verformung in Houmlhe der Zugbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo die

zwischen dem Beton und der Druckbewehrung wirkt δ21 Verformung in Houmlhe der Druckbewehrung aufgrund einer Verbundkraft der Groumlszlige bdquo1ldquo

die zwischen dem Beton und der Zugbewehrung wirkt Kraftgroumlszligen X1 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Zugbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft X2 Groumlszlige der uumlber den Verbund von Druckbewehrung und Beton uumlbertragenen Kraft

Die Verformungen im statisch bestimmten Zustand (d h im unbewehrten Betonquerschnitt) lassen sich uumlber das Produkt der Dehnung ε und der Laumlnge L beschreiben

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

sdot+=sdotsdotsdot+=sdot= 1

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

Die Verformungsgroumlszligen infolge der virtuellen Verbundkraumlfte ergeben sich zu

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

mit = minus = minus1 2 22 und 2s s sz d h z d h

Mit den Konstanten ccm AE

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

110 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 220 szbMaN sdotsdot+sdot=δ 2

1111 szbac sdot++=δ 22222 szbac sdot++=δ 212112 ss zzba sdotsdot+== δδ

Damit lassen sich ndash vollkommener Verbund vorausgesetzt ndash die Kraftgroumlszligen X1 und X2 be-stimmen

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

sdotminussdot+sdotsdotminus+sdotminusminussdotsdotminussdotsdotsdot+sdotsdot+minussdotsdotminussdotsdot

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

sdotminusminus= XX (559)

53 Einfluss des Kriechens 55

Bei gleichen Randabstaumlnden von Druck- und Zugbewehrung vereinfacht sich die Gl (558) zu

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

sdotminus+sdotsdotminusminussdotsdot+sdotsdot

=

Die Kruumlmmung wird uumlber die Differenz der Dehnungen am oberen und unteren Bauteilrand bestimmt

hcc 12 εεκ minus

=

mit ( ) ( ))2()2()2( 22112 hzbaXhzbaXhbMaN ssc minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot+minussdotsdot+sdot=ε (560)

( ) ( ))2()2()2( 22111 hzbaXhzbaXhbMaN ssc sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=ε (561)

5312 Kruumlmmungen im Zustand II

Der Anteil des Betons an der Biegesteifigkeit beschraumlnkt sich im reinen Zustand II nur auf den Bereich der Druckzonenhoumlhe x Der Beton weist auszligerdem ein zeit- und lastabhaumlngiges Materialverhalten auf da er unter den gegebenen Spannungen kriecht Dadurch aumlndert sich die Kruumlmmung des Querschnittes Eine ggf vorhandene Druckbewehrung vermindert das Kriechen der Druckzone und damit die Kruumlmmung

Im Folgenden wird eine Moumlglichkeit aufgezeigt diese Vorgaumlnge in Anlehnung an das im Abschnitt 522 vorgestellte Verfahren zu erfassen Dazu wird wieder der Verbund zwischen Bewehrung und Beton geloumlst und an seiner Stelle die beiden Kraftgroumlszligen X1 und X2 gesetzt Es ist zu beachten dass der Beton in der Zugzone gerissen ist und nicht direkt bei der Kruumlmmungsberechnung mit angesetzt werden darf Stattdessen wird die Zugbewehrung uumlber einen unendlich biegesteifen Stab an die Druckzone gekoppelt sodass das Ebenbleiben der Querschnitte auch weiterhin gewaumlhrleistet ist

Abb 510 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung und der Einfluss der Bewehrung im Zustand II

Bei der Berechnung der Kruumlmmung werden alle angreifenden Kraumlfte und Momente auf die Schwereachse der Druckzone bezogen Die Gleichungen (553) bis (557) werden wie folgt umgeschrieben

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

sdotsdot+sdotminussdot+

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminussdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Die weitere Berechnung erfolgt gemaumlszlig den Gleichungen (558) bis (561) Dabei ist zu beachten dass sich die Betondruckzone und somit auch die Steifigkeit waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert Es muss daher nach der Bestimmung der Stahl- und Beton-dehnungen eine Kontrolle uumlber das Momenten- bzw Kraumlftegleichgewicht erfolgen und die Druckzone iterativ korrigiert werden Dieses gelingt meistens bei einem Startwert von x = h2 nach etwa 5 Iterationen ausreichend genau Die aus Gleichgewichtsbedingungen erforder-liche Druckzonenhoumlhe betraumlgt

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

sdotminussdot++sdotsdot=

12

122 23 (567)

mit 111 ssss AEF εsdotsdot= 222 ssss AEF εsdotsdot=

532 Ansatz nach EN 1992-1-1

Die Betondehnung εc ergibt sich als Summe aus der elastischen εel und kriechbedingten εcc zu ccelc εεε += Mit der Kriechzahl ϕ als Verhaumlltnis der Kriechverformung zur elastischen Verformung erhaumllt man elcc t εϕε sdotinfin= )( 0 und damit

))(1()( 00 tt elelelc infin+sdot=sdotinfin+= ϕεεϕεε (568)

Die Querschnittskruumlmmung wird aus der Dehnungsdifferenz der oberen und unteren Bauteil-kante bestimmt Wenn man nun unterstellt dass sich das Betonkriechen fuumlr Zug- und Druckspannungen aumlhnlich verhaumllt so erhaumllt man

hcc 21 εεκ minus

= mit ielci t 0 ))(1( εϕε sdotinfin+= und cmiiel E σε =

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

Mit dem effektiven E-Modul ))(1( 0 tEE cmeffc infin+= ϕ erhaumllt man die in der [EN 1992-1-1 ndash 04] angegebene Gleichung (720)

533 Weitere Ansaumltze aus der Literatur

[KoumlnigTue ndash 08] beruumlcksichtigt den Einfluss des Kriechens analog zur [EN 1992-1-1 ndash 04] durch eine Modifizierung des Elastizitaumltsmoduls mit dem Faktor 1(1+ϕ)

Auch bei [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird eine Moumlglichkeit genannt das Betonkriechen uumlber einen effektiven Elastizitaumltsmodul zu beruumlcksichtigen

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

Dabei ist Ecm der Sekantenmodul nach [DIN 1045-1 ndash 08] ψ0 der Beiwert zur Beruumlck-sichtigung der zeitlichen Veraumlnderung des Elastizitaumltmoduls kϕ der auf den effektiven Elas-tizitaumltsmodul bezogene Alterungsbeiwert bzw Relaxationswert (vgl Abschnitt 412) und ϕ0 die Grundkriechzahl

Zusaumltzlich wird ein Verfahren vorgestellt nach dem man den Alterungsbeiwert getrennt fuumlr Zustand I und II bestimmen kann Im Zustand II wird als Naumlherungsloumlsung kϕII = 095 angegeben

In [GrasserThielen ndash 91] wird der Zuwachs der Verformung wie folgt bestimmt

tIII

kIIIkIII

k fqqf ϕχ sdotsdotsdot=Δ

0 (571)

mit f0 Durchbiegung (elastisch) unter Kurzzeitbeanspruchung q qk q Korrekturfaktor falls Langzeitbelastung qk von q abweicht ϕt Kriechzahl χk Korrekturbeiwert

Im Zustand I werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen (bedingt durch den Faktor χkI) um-

so kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist - je houmlher die Betondruckfestigkeit ist (d h kleine Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit) - groumlszliger der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner der Randabstand der Bewehrung ist Bei uumlblichen Deckenplatten ohne Druckbewehrung betraumlgt χk

I ca 095

Im Zustand II werden die zusaumltzlichen Kriechverformungen umso kleiner je - groumlszliger der Anteil der Druckbewehrung an der Gesamtbewehrung ist (bei groszligem Randab-

stand der Druckbewehrung wird dieser Einfluss jedoch geringer und kann sogar zu einer Vergroumlszligerung fuumlhren)

- kleiner der Zugbewehrungsgrad ist - kleiner die Differenz aus Stahl- und Betonfestigkeit ist

534 Einfluss von Nettoquerschnittswerten

Uumlblicherweise wird die Kruumlmmung mit den Bruttoquerschnittswerten durchgefuumlhrt Man setzt den Beton also auch dort an wo sich Bewehrung befindet und uumlberschaumltzt den Verfor-mungswiderstand Dieses hat im ungerissenen Zustand eine groumlszligere Auswirkung als im ge-rissenen Zustand da dann der Beton in der Zugzone nicht mehr angesetzt wird Da sich auszligerdem die Druckzone beim Ansatz von Nettoquerschnittswerten wieder etwas ver-groumlszligert ist der Fehler bei der Durchbiegungsberechnung relativ gering

Im Folgenden sind einige Vergleichsrechnungen dargestellt der Unterschied der Quer-schnittskruumlmmung bei Brutto- und Nettoquerschnittswerten liegt dabei bei der untersuchten Platte (hd = 24215 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 511) nur bei 2 und bei den betrachteten Balken (hbd = 603056 cm Kriechzahl ϕ = 25 s Abb 512 und 513) unter 5 Als Beanspruchung im Gebrauchszustand wurden 50 des von den jeweiligen Querschnitten maximal aufnehmbaren Momentes angesetzt (naumlherungsweise Umrechnung der Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit in die quasi-staumlndige Gebrauchslast)

Abb 511 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 bei einer Platte mit h = 24 cm und ρs1 = 05 Abb 512 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung inf Kriechen in Abhaumlngigkeit vom Verhaumlltnis As2As1 fuumlr verschie-dene Betonfestigkeitsklassen bei einem Balken mit hb = 6030 ρs1 = 15 Abb 513 Prozentuale Veraumlnde-rung der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen in Abhaumlngigkeit von der Kriechzahl bei einem Balken mit hb = 6030 C4050 ρs1 = 15 ρs2 = 075

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung 59

54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung

Das Verformungsverhalten eines Stahlbetonteils unter Lastbeanspruchung haumlngt im Wesent-lichen von Rissbildung (Zustand I ndash Zustand II) und von der Stahldehnung ab Letztere ist im Riss und zwischen den Rissen unterschiedlich es muss daher eine Naumlherung gefunden werden um die mittlere Stahldehnung im gesamten Bauteil unter der Beruumlcksichtigung der Tragwirkung des Betons zwischen den Rissen zu ermitteln

Im Zustand I haben Stahl und Beton in einer Faser die gleiche Dehnung Der erste Riss ent-steht wenn die vorhandene Zugkraft die aufnehmbare Zugkraft des Betons uumlbersteigt (Uumlber-gang Zustand I in den Zustand II) Die freiwerdende Kraft muss von ausreichender Bewehrung aufgenommen werden und wird uumlber die Einleitungslaumlnge Les wieder in den Beton eingeleitet Steigt die Zugkraft weiter an so entstehen weitere Risse Ein abgeschlossenes Rissbild ist er-reicht wenn der Abstand zwischen zwei Rissen nicht mehr ausreicht um uumlber den Verbund eine Kraft in den Beton zu leiten die erneut die Zugfestigkeit uumlberschreitet Eine weitere Laststeige-rung fuumlhrt also nicht zu neuen Rissen sondern zu einer Verbreiterung der bereits vorhandenen

Bei einem abgeschlossenen Rissbild entspricht damit der Rissabstand mindestens dem ein-fachen houmlchstens aber dem doppelten Wert der Einleitungslaumlnge Les Man muss zusaumltzlich unterscheiden ob sich Risse bis zur Dehnungsnulllinie ausbreiten (Primaumlrrisse) oder nur in dem Wirkungsbereich der Bewehrung verbleiben (Sekundaumlrrisse) bzw in Primaumlrrisse muumlnden Ersteres ist bei duumlnnen Bauteilen der Fall letzteres tritt bei dicken Bauteilen ab h gt 50 cm auf (s a Abb 515)

Der Unterschied zwischen Einzelrissen und einem abgeschlossenen Rissbild ist in den nach-folgenden Abbildungen 514 und 515 fuumlr eine Biegebeanspruchung dargestellt Bei Einzel-rissbildung weisen Beton und Bewehrung auszligerhalb der Einleitungslaumlnge Les die gleiche Dehnung auf Bei der abgeschlossenen Rissbildung ist die Betondehnung stets kleiner als die Stahldehnung

Abb 514 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei einem Einzelriss

Abb 515 Dehnungsverlauf von Stahl und Beton bei abgeschlossener Rissbildung

In Abb 515 ist der Fall dargestellt dass nur wenige Risse die Dehnungsnulllinie erreichen Dieses Rissbild ist bei hohen Traumlgern ab etwa h = 50 cm zu beobachten In dem Fall ergibt

sich nur im Wirkungsbereich der Bewehrung ein gut verteiltes Rissbild wie es beispielsweise bei einem Zugstab mit der Flaumlche Aceff unter zentrischer Last entsteht (s Abb 516)

Abb 516 Effektive Zugzone mit Rissbildung

Zu Ermittlung der Gesamtverformung wird die mittleren Stahldehnung εsm benoumltigt Im Folgen-den werden einige Ansaumltze vorgestellt

541 Allgemeines

Im Riss tritt die maximale Spannung σs auf da hier der Stahl allein die Zugkraumlfte aufnehmen muss Zwischen den Rissen kommt es aufgrund der mittragenden Wirkung des Betons zu einer Spannungsreduzierung um Δσs Fuumlr einen linearen Spannungsverlauf ergaumlbe sich die mittlere Spannung zu

sssm σσσ Δsdotminus= 50 (572)

Bei einem parabelfoumlrmigen Spannungsverlauf wird Δσs mit einem Faktor αs korrigiert

ssssm σασσ Δsdotminus=

mit s

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ= (s Abb 517)

s

sm

Abb 517 Ermittlung des Mittelwertes der Stahldehnung

Mit einem geeigneten Voumllligkeitsbeiwert αs lassen sich auch die mittleren Stahldehnungen in folgender Form darstellen

ssssm εαεε Δsdotminus= (573)

Der Voumllligkeitsbeiwert wird in Abhaumlngigkeit von der Belastungsdauer und dem Rissabstand fest-gelegt Im Vergleich zur Kurzzeitbelastung verschlechtert sich bei Langzeitbelastung der Ver-bund durch das Verbundkriechen Nachfolgend wird dieser Effekt uumlber einen konstanten Abmin-derungsfaktor beruumlcksichtigt Bei einem abgeschlossenen Rissbild betraumlgt der Abstand zwischen zwei benachbarten Rissen mindestens die einfache und maximal die doppelte Einleitungslaumlnge Waumlhrend der maximale Abstand zur Bestimmung der Rissbreite relevant ist ist bei der Verformungsberechnung ein mittlerer Rissabstand anzusetzen In einigen der nachfolgend aufgefuumlhrten Modellen ist dies in der Festlegung des Voumllligkeitsbeiwertes implementiert

542 Ansaumltze nach [KoumlnigTue ndash 96] und [KoumlnigTue ndash 08]

Koumlnig geht von vier Phasen der Rissbildung aus In der ersten Phase ist der Beton unge-rissen der Stahl beteiligt sich aufgrund der geringen Dehnungen nur zu einem kleinen Teil am Lastabtrag Bei Bewehrungsgraden unter 2 kann die Bewehrung idR vernachlaumlssigt werden bei houmlheren Graden sind ideelle Querschnittswerte zu beruumlcksichtigen Die zweite Phase tritt mit dem Uumlberschreiten der Betonzugfestigkeit ein und endet mit dem abge-schlossenen Rissbild In der dritten Phase ist das endguumlltige Rissbild erreicht Die Rissab-staumlnde sind in der Regel so gering dass in der Biegelinie keine nennenswerten Knicke ent-stehen und man im Mittel vom Ebenbleiben des Querschnittes ausgehen kann Die vierte Phase beginnt mit dem Flieszligen der Bewehrung und ist beim Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit von statisch unbestimmten Tragwerken von Bedeutung nicht jedoch beim Nachweis der Verformung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Bei der Bestimmung der mittleren Stahldehnung setzt Koumlnig einen parabelfoumlrmigen Span-nungsverlauf zwischen zwei Rissen an (vgl auch Abb 518) Ausgehend von

ssssm σασσ Δsdotminus= mit s

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

wird der Faktor αs ermittelt uumlber das Verbundgesetz )()( xsCxb

ατ sdot=

und die beiden Spannungsspruumlnge

int=Δx

bs

s dxxd

x0

)(4)( τσ und int Δ=Δesl

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

Als Beschreibung des Verbundverlaufes zwischen zwei Rissen erhaumllt man fuumlr den Beiwert αs

αλαλαsdot+sdot+

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

Nach [KoumlnigTue ndash 96] bewegen sich die Werte fuumlr αs zwischen 057 und 065 so dass ein Mittelwert von 06 fuumlr eine ausreichend genaue Berechnung gerechtfertigt zu sein scheint Dieser Wert ist in den Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91]) eingegangen

Aufbauend auf diesen Beziehungen kann man die mittlere Stahldehnung berechnen wenn der Wert des mittleren Dehnungsabfalls Δεs (analog zu Δσs) bekannt ist Zu Beginn der Rissbildung nimmt er die Groumlszlige der Differenz der Stahldehnungen im Zustand I und II an Somit ist die mittlere Stahldehnung bei Einzelrissen

)( Isssssm εεαεε minussdotminus= (575)

Da bei fortschreitender Rissbildung Stahl und Beton in keinem Punkt dieselbe Dehnung er-reichen wird die Dehnungsdifferenz unter Beruumlcksichtigung der effektiven Betonzugzone Aceff (enthalten im effektiven Bewehrungsgrad ρseff) wie folgt ausgedruumlckt

)( seffsctms Ef sdot=Δ ρε (576)

Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung )( seffsctmsssm Ef sdotsdotminus= ραεε (577)

Abb 518 Mittlere Stahldehnung nach [KoumlnigTue - 96]

Die Dehnungsdifferenz Δεs kann auch uumlber die mittlere Verbundkraft Tum bestimmt werden die zwischen zwei Rissen im Beton wieder aufgebaut wird und im Riss vom Stahl alleine getragen werden muss

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

Nach [Tue ndash 93] kann diese Verbundkraft wie folgt bestimmt werden

rk

rrkrtfAT cteffcum sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minussdotminussdotsdotsdot=

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

s ( )= minus sdot minus Faktor zur Beruumlcksichtigung des mittleren Rissabstandes

t 2 5 s ρ= Faktor zur Beruumlcksichtigung des Bewehrungsgrades (ρ in ) k = Fs Fcr Verhaumlltnis der aktuellen Last zur Risslast

Unter Beruumlcksichtigung der Verschlechterung des Verbundes unter wiederholter Last mit 20000)10log( wwn LLr += (580)

wird die Verbundkraft bei wiederholter Belastung zu

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

Als Voumllligkeitsbeiwert αs wird 06 angenommen Somit ist die mittlere Stahldehnung

ss

umssm AE

Tsdot

sdotminus= 60εε (582)

543 Model Code 90 ([CEBFIP ndash 91])

Im Model Code 90 wird zwischen ungerissenem Zustand Erstrissbildung und abgeschlosse-ner Rissbildung unterschieden Mithilfe der Spannungen σs

II (Spannung im Zustand II unter aktueller Belastung) σsr

I (Stahlspannung unmittelbar vor Rissbildung) und σsrII (Stahlspan-

nung im gerissenen Zustand unter Rissschnittgroumlszligen) sowie den Dehnungen εsrI und εsr

II kann die mittlere Stahldehnung an einem Zugstab wie folgt ermittelt werden

- Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le σsrI )

Issm εε = (583a)

- Bereich 2 Erstriss (σsr le σs le 13 σsr)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

σσσσβεε minussdotsdot

minussdot+minussdotminus=

3031)( (583b)

- Bereich 3 Abgeschlossene Rissbildung (13 σsr le σs le fyk ) ( )I

srIIsrt

IIssm εεβεε minussdotminus= (583c)

Dabei hat βt die Funktion des aus dem vorigen Abschnitt bekannten Voumllligkeitsbeiwerts αs moumlgliche Werte fuumlr βt sind im naumlchsten Abschnitt beschrieben Alternativ kann die mittlere Stahldehnung auch uumlber die Stahldehnung im Zustand II die mit dem Verteilungswert ζ korrigiert wird ausgedruumlckt werden

IIssm εζε sdot= mit (584a)

( ) 130

31)(1 leminussdotsdotsdot

minussdot+minussdotminus= I

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

σσσσβζ (Erstriss) (584b)

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

ts εεεβζ (abg Rissbildung) (584c)

544 Ansatz in [DIN 1045-1 ndash 08] und [DAfStb-H525 ndash 03]

[DIN 1045-1 ndash 08] nennt kein Verfahren zur rechnerischen Ermittlung von Verformungen Allerdings wird die Berechnung der mittleren Stahldehnung im Zusammenhang mit der Riss-breitenbegrenzung aufgefuumlhrt Mit DIN 1045-1 Gl (136) ergibt sich

)(40 seffsctmssm Ef sdotsdotminus= ρεε (585) Der Voumllligkeitsbeiwert wird hier zu αs = 04 gesetzt Dieser Unterschied beruht darauf dass αs = 06 fuumlr eine kurzzeitige Belastung gilt Beruumlcksichtigt man bei der Verbund-Schlupf-Beziehung das Verbundkriechen so wird die mittragende Wirkung des Betons uumlber einen verminderten Voumllligkeitsbeiwert auf αs = 07 sdot 06 asymp 04 reduziert und die mittlere Stahldehnung somit erhoumlht

In [DAfStb-H525 ndash 03] werden zusaumltzlich Hilfsmittel zur Berechnung einer auf ein Bauteil bezogene Spannungs-Dehnungsbeziehung gegeben Abweichend von der Rissbreitenbe-rechnung die unter Annahme des unguumlnstigen maximalen Rissabstandes erfolgt wird fuumlr ein Bauteil ein Durchschnittswert mit einem mittleren Abstand von sm = 23 sdot smax ange-nommen Der Voumllligkeitswert betraumlgt dann αs = 23 sdot 06 asymp 04 Wird zusaumltzlich das Verbundkriechen mit einem Faktor 23 beruumlcksichtigt so erhaumllt man αs asymp 025 fuumlr eine lang anhaltende oder sich stets wiederholende Last (Hinweis αs wird in [DIN 1045-1 ndash 08] und in [DAfStb-H525 ndash 03] analog zum Model Code 90 mit βt bezeichnet)

Der Dehnungsunterschied wird allgemein mit )( Isr

IIsrs εεε minus=Δ angegeben Neben der im

Model Code 90 aufgefuumlhrten Einteilung in ungerissen Erstriss und abgeschlossenes Rissbild (siehe Abb 519 links) wird auch eine vereinfachte Moumlglichkeit angegeben bei der nur in einen ungerissenen Bereich und den Bereich der abgeschlossenen Rissbildung unterschieden wird (Abb 519 rechts) - Bereich 1 Ungerissen ( 0 le σs le βt sdot σsr

I ) I

ssm εε = (586) - Bereich 2 Gerissen (βt sdot σsr le σs le fyk ) ( )I

srIIsrt

IIssm εεβεε minussdotminus= (587)

Abb 519 Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Stahlbetonbauteils unter Beruumlcksichtigung der Rissbildung

545 Verfahren nach [EN 1992-1-1 ndash 04]

Prinzipiell geht [EN 1992-1-1 ndash 04] von denselben Voraussetzungen wie Model Code 90 oder [DIN 1045-1 ndash 08] aus (Bezeichnung fuumlr αs bzw βt hier kt )

Zur Berechnung der Verformungen wird ein lastabhaumlngiger Voumllligkeitsbeiwert in Anlehnung an [Rao ndash 66] gewaumlhlt wonach der Voumllligkeitsbeiwert bei zunehmender Stahlspannung hyperbolisch abnimmt

IIs

IIsr

t σσββ sdot= (588)

mit β = 10 bei kurzzeitigen Belastungen und β = 05 bei lang andauernden oder sich wieder-holenden Belastungen

Der Dehnungsunterschied Δεs wird bei der Rissbreitenbegrenzung analog zur [DIN 1045-1 ndash 08] angegeben zu

)()( seffsctmIsr

IIsrs Ef sdot=minus=Δ ρεεε (589)

Gleichung (589) gilt unter Rissschnittgroumlszligen Zur Verformungsberechnung muss die Differenz der unter der maszliggebenden Lastbeanspruchung auftretenden Dehnungen im Zustand I und im bdquoreinenldquo Zustand II (also direkt im Riss) ermittelt werden Diese lassen sich auf den oben angegebenen Dehnungsunterschied Δεs bezogen wie folgt berechnen

IIs

IIsrI

sIsr σ

σεε sdot= und IIs

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

Somit betraumlgt die mittlere Stahldehnung ( )

( )2

II II Ism s t sr sr

II II II IIsr sr sr srII II I II II I

s s s s s sII II II IIs s s s

ε ε β ε ε

σ σ σ σε β ε ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus sdot sdot sdot minus sdot = minus sdot sdot minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

546 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]

Ausgehend von den Beziehungen aus [EN 1992-1-1 ndash 04] (dort Gleichung (718) ndash (720)) bzw den Untersuchungen von [Rao ndash 66] liefern KruumlgerMertzsch einen weiteren Ansatz zur Bestimmung des Voumllligkeitsbeiwerts in dem sie den bisher konstanten Beiwert fuumlr β von 05 fuumlr Dauerbelastungen in einen von der Spannung σ abhaumlngigen Beiwert βσ uumlberfuumlhren

( )Isr

IIsrt

IIssm εεβεε minussdotminus=

mit IIs

IIsr

t σσββ σ sdot= und

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

Daraus erhaumllt man

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

sm E σσβσε (592)

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

Fuumlr uumlberwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile nimmt β folgende Werte an 450)8431( gesdotsdotminussdot= sE ραββ σ bei kurzzeitiger Beanspruchung (593a) 450)8431( gesdotsdotminussdot= seff ραββ σ bei Dauerlast (593b)

547 Ansatz nach [Noakowski ndash 88]

[Noakowski ndash 88] ermittelt aus seinem Verbundgesetz eine uumlber die Einleitungslaumlnge Le ver-schmierte mittlere Stahldehnung

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

sdot=sdot )(τε (594)

Dadurch erhaumllt man eine von der Stahldehnung im Riss und dem aus dem Verbundgesetz bekannten Exponenten N abhaumlngige Gleichung

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

Bei gutem Verbund schlaumlgt Noakowski vor den Beiwert N zu 012 zu setzen (vgl Gl (435)) Damit betraumlgt die mittlere Dehnung II

ssm εε sdot= 440 bzw das Mitwirkungsmaszlig IIssm

IIss εεεε sdot=minus=Δ 560 (596)

Bei abgeschlossener Rissbildung reduziert sich nach Noakowski die Mitwirkung da die Risse nicht alle im Abstand der zweifachen Einleitungslaumlnge voneinander entfernt liegen und sich ihre Wirkungsbereiche daher uumlberschneiden koumlnnen Es gilt fuumlr die abgeschlossene Rissbildung

IIs

IIss εεε sdot=sdotsdot=Δ 420560750 (597)

IIssm εε sdot= 580 (598)

548 Vergleich und Anmerkung

Bei den vorgestellten Modellen zur Bestimmung der mittleren Stahlspannungen muss beachtet werden unter welcher Zielsetzung die Beziehung erstellt wurden Untersuchungen fuumlr eine Riss-breitenberechnung eignen sich prinzipiell auch zur Bestimmung der Verformung da Rissbreiten ebenfalls im Gebrauchszustand berechnet werden Allerdings wird der Rissabstand so gewaumlhlt dass ndash unguumlnstig ndash die Risse eine maximale Breite erreichen waumlhrend bei der Verformungs-berechnung ein gemitteltes Bauteilverhalten mit einem mittleren Rissabstand benoumltigt wird

Fuumlr die Bestimmung der mittleren Stahldehnung gibt es verschiedene Ansaumltze Die meisten Untersuchungen beruumlcksichtigen die Mitwirkung des Betons zwischen zwei Rissen indem von der Stahldehnung im bdquonacktenldquo Zustand II eine aus der Zugversteifung resultierende Dehnung abgezogen wird Letztere wird aus dem Produkt der Differenz der Dehnungen in Zustand I und II unter den zum Riss fuumlhrenden Schnittgroumlszligen und eines Voumllligkeitsbeiwertes bestimmt In anderen Ansaumltzen wird die Stahldehnung im reinen Zustand II direkt uumlber einen Mitwirkungsfaktor abgemindert (s bspw [Noakowski ndash 88])

Die Abweichungen der verschieden Methoden untereinander liegen in einem uumlberschaubaren Rahmen Exemplarisch hierfuumlr sind die in Abbildung 520 dargestellten Spannungs-Dehnungs-beziehungen die fuumlr einen mit einem einzelnen Stab (ds = 16 mm) mittig bewehrten Querschnitt mit den Maszligen 8 x 8 cm unter zentrischem Zug ermittelt wurden Die Betonfestigkeit entspricht einem C 3037 Fuumlr DIN 1045-1 existieren zwei Spannungs-Dehnungsbeziehungen Beide werden in Abb 520 beruumlcksichtigt bdquoDIN 1045-1 Aldquo stellt die bilinearen Beziehungen nach Gleichung (586) dar bdquoDIN 1045-1 Bldquo den trilinearen Verlauf gemaumlszlig Gleichung (583)

Eine Zusammenstellung der unterschiedlichen Ansaumltze in einheitlicher Schreibweise kann Abschnitt 73 (Tafel 72) entnommen werden Aus Tafel 72 wird auch deutlich dass der Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04] uumlber einen Verteilungsbeiwert ζ direkt eine mittlere Verformungsgroumlszlige aus den entsprechenden Groumlszligen in Zustand I und II zu bestimmen aus den oben dargestellten Zusammenhaumlngen abgeleitet werden kann

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

DIN 1045-1 A DIN 1045-1 B EC 2Tue Kreller NoakowskiKruumlger Zustand I Zustand II

Abb 520 Spannungs-Dehnungsbeziehungen ausgewaumlhlter Ansaumltze

55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen

551 Zustand I

Die Einfluumlsse aus Schwinden und Kriechen (s Abschnitte 52 und 53) sind zu uumlberlagern das Gleichgewicht der inneren Kraumlfte ist zu beachten Die zugehoumlrigen Berechungsansaumltze werden zunaumlchst zusammenfassend separat dargestellt

Elastisch

Aus den elastischen Dehnungen koumlnnen vier innere Kraumlfte bestimmt werden die Stahlkraumlfte Fs1 und Fs2 der Zug- und Druckbewehrung sowie die Betonkraumlfte Fc1el und Fc2el der Zug- und Druckzone Im Gebrauchszustand wird dabei naumlherungsweise von einer dreieckfoumlrmigen Spannungsverteilung ausgegangen

111 sselsels AEF sdotsdot= ε (599a)

222 sselsels AEF sdotsdot= ε (599b) )(50 1 elcmelcuelc xhbEF minussdotsdotsdotsdot= ε (599c)

elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (599d)

Kriechen

Die Kriechdehnungen eines unbewehrten Betons erzeugen keine inneren Spannungen Die Gesamtdehnung εc kann in den spannungserzeugenden elastischen Anteil εcel und den spannungsfreien Kriechanteil εcc zerlegt werden Es gilt

elcelcccelcc εϕρεεεε sdotsdot+=+=

In einem bewehrten Betonquerschnitt hingegen kommt es zu Spannungsumlagerungen Dadurch entstehen in der Bewehrung zusaumltzliche Dehnungen Sie lassen sich aus der Differenz der unter Abschnitt 53 vorgestellten Gesamtdehnung und der elastischen Deh-nung bestimmen Die Stahlkraumlfte sind

111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100a)

222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5100b)

55 Gesamtkruumlmmung aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen 67

Zur Bestimmung der spannungserzeugenden Dehnung im Beton wird von folgender Uumlberle-gung ausgegangen - Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Belastung auf den bewehrten Querschnitt aufgebracht Es

stellt sich die elastische Dehnungs- und Spannungsverteilung ein - Die freie Kriechdehnung entsteht wenn die elastischen Betonspannungen auf den unbe-

wehrten Betonquerschnitt wirken Zum Zeitpunkt des abgeschlossenen Kriechvorganges ist die Dehnung einer beliebigen Betonfaser gegeben durch

)1( ϕρεε sdot+sdot= elcici (5101)

- Die tatsaumlchliche Betondehnung wird gemaumlszlig Abschnitt 53 berechnet Die Dehnung die aus Spannungsumlagerungen zwischen Beton und Bewehrung entsteht betraumlgt somit

( )celcielciumci +minussdot+sdotminus= )1( εϕρεε (5102)

Abb 521 Dehnungsverlauf und spannungserzeugende Dehnung

Aus dieser Dehnung kann nun die innere Kraft des Betons wie folgt bestimmt werden

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

Die Schwinddehnungen werden gemaumlszlig Abschnitt 52 berechnet Die Stahlkraumlfte lassen sich aus der Dehnung dem Elastizitaumltsmodul und der Bewehrungsflaumlche bestimmen

111 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104a)

222 ssssss AEF sdotsdot= ε (5104b)

Das Schwinden eines unbewehrten Betonquerschnittes erfolgt spannungsfrei Wird es durch die Bewehrung behindert so entstehen Zwangskraumlfte Sie koumlnnen aus der Differenz des freien Schwindens (εcs) und der tatsaumlchlichen Betondehnung bestimmt werden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +minus= ccmscoscu

csscAEF (5105)

Es ist zu beachten dass die Betondehnung negativ ist (Stauchung bzw Verkuumlrzung) die Spannungen jedoch positiv (Zugspannung)

Beispiele

Nachfolgend werden zur Erlaumluterung in zwei Beispielen (Platte und Balken) die jeweiligen Dehnungen Spannungen und Kraumlfte dargestellt Als Momentenbelastung werden fuumlr die Platte M = 233 kNmm und fuumlr den Balken M = 170 kNm angenommen Es wird nur der Zustand I betrachtet und eine Rissbildung wird nicht beruumlcksichtigt

Deckenplatte hd = 24215 cm Beton C3037 Kriechzahl ϕ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil as1 = 513 cm2m as2 = 0 cm2m (Fall a) bzw as2 = 377 cm2m (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002378 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001962

Abb 522a Deckenplatte Dehnungen in [permil]

Abb 522b Deckenplatte Spannungsverlaumlufe in [Nmm2] (s a Abb 522c)

Abb 522c Deckenplatte Betonspannungen in [Nmm2]

Abb 522d Deckenplatte Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung

Im Zustand I sind die Dehnungen aus der Momentenbelastung relativ gering die Bewehrung wird unter Gebrauchslast kaum aktiviert Die elastische Dehnung in Houmlhe der Bewehrung be-traumlgt 0065 permil die zugehoumlrige Stahlspannung nur 13 Nmm2 sie steigt durch Kriech-umlagerungen auf 36 Nmm2 an Der Schwindvorgang wird durch die Bewehrung behindert es entstehen Druckspannungen in der Bewehrung Die freie Schwinddehnung von ndash05 permil wird auf ndash044 permil in Houmlhe der Bewehrung reduziert Dadurch erhaumllt der Stahl eine Druck-spannung von ndash885 Nmm2 sodass die Gesamtspannung zu ndash525 Nmm2 aufaddiert wer-den kann Somit erhaumllt die Bewehrung unter diesen Bedingungen (Zustand I) Druck-spannungen Die Zugspannung im Beton liegt mit 28 Nmm2 relativ nah an der maximal aufnehmbaren Spannung fctm Sobald der Querschnitt in den Zustand II uumlbergeht wird die Bewehrung uumlber die nun auftretenden groumlszligeren Dehnungen so aktiviert dass der Span-nungsanteil aus der aumluszligeren Belastung deutlich groumlszliger als derjenige aus den Schwind- und Kriechvorgaumlngen wird (die Gesamtspannung in der Bewehrung betraumlgt dann 228 Nmm2 (Zugspannung)) Balken hdb = 605630 cm Beton C3037 Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil As1 = 16 cm2 As2 = 0 cm2 (Fall a) bzw As2 = 16 cm2 (Fall b) Fall a) Gesamtkruumlmmung κ = 0002985 Fall b) Gesamtkruumlmmung κ = 0001754

Abb 523a Balken Dehnungen

Abb 523b Balken Spannungsverlaumlufe (s a Abb 523c)

Abb 523c Balken Betonspannungen

Abb 523d Balken Kraumlfte im Schwerpunkt von einzelnen Lamellen (h10) und der Bewehrung

552 Zustand II

Elastisch

Es wird angenommen dass der Riss bis zur Dehnungsnulllinie geht und der Beton somit nur im Druckbereich Spannungen aufnimmt Die Druckzonenhoumlhe xel kann iterativ bestimmt wer-den (s Abschnitt 53) Aus den elastischen Stahldehnungen εs1 und εs2 sowie der Beton-dehnung am gedruumlckten Querschnittsrand εc2 werden die resultierenden Kraumlfte wie folgt be-stimmt

222 sselsels AEF sdotsdot= ε (5106b)

elcmelcoelc xbEF sdotsdotsdotsdot= 2 50 ε (5106c)

Kriechen

Durch die Spannungsumlagerungen waumlhrend des Kriechvorganges vergroumlszligert sich die Druckzonenhoumlhe auf xel+c Die spannungserzeugenden Dehnungen lassen sich analog zur Vorgehensweise im Zustand I ermitteln Dabei ist jedoch zu beachten dass der Null-durchgang von Kriechdehnung und Kriechspannung nicht an der gleichen Stelle liegt (s Abb 524) Er kann aus den Dehnungen am oberen Querschnittsrand und den Kruumlmmungen be-stimmt werden

celel

oceloelx+

+

minussdot+sdotminussdot+sdot

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

Abb 524 Dehnungsverlaumlufe und spannungserzeugende Dehnungen im Zustand II

In dem Bereich in dem die ndash theoretisch ndash unbehinderte Betondehnung groumlszliger ist als die tatsaumlchliche Dehnung aus Last und Kriechen entstehen Zugspannungen Der groumlszligte Wert liegt am Querschnittsrand

ϕρεϕρεσ

sdot+sdotminussdot+sdotminus= + 1

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

Der Beton dagegen steht zwischen x0 und xel+c unter Druckspannungen mit dem Maximum

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

elcelccpEx mit celelcelelcel xxx +++ sdotminus= κε )()( (5109)

Somit entstehen im Beton zwei resultierende Kraumlfte (Druck und Zug)

cctcct bxF 0 50 σsdotsdotsdot= (5110a)

ccpcelccp bxxF 0 )(50 σsdotsdotminussdot= + (5110b)

Die Betonstahlkraumlfte werden aus dem Kriechanteil der Gesamtdehnung bestimmt

1111 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111a)

2222 )( sselscelscs AEF sdotsdotminus= + εε (5111b)

111 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111c)

222 sscscs AEF sdotsdot= ε (5111d)

Schwinden

Im Zustand II wird der Verformungswiderstand durch die Druckzonenhoumlhe beeinflusst Wie zuvor dargestellt vergroumlszligert sich diese durch das Betonkriechen von xel auf xel+c Somit ergibt sich fuumlr jeden beliebigen Abschnitt des zeitlich veraumlnderlichen Schwindens eine an-dere Druckzonenhoumlhe Die Berechnung der Kruumlmmung ist also mit groumlszligerem rechnerischem Aufwand verbunden Zusaumltzlich muss der Verlauf der zeitabhaumlngigen Aumlnderung der Druck-zonenhoumlhe bekannt sein Die Berechnung mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel und der Druckzonenhoumlhe nach abgeschlossenem Kriechvorgang xel+c liefert den unteren und oberen Grenzwert der Schwindverformung im Zustand II

In Abbildung 525 sind die Abweichungen zwischen dem oberen und unteren Grenzenwert fuumlr ausgewaumlhlte Randbedingungen dargestellt

Abb 525 Prozentuale Abweichung zwischen den Berechnungen mit xel und xel+c bei variablem Druckbewehrungsanteil (links) und variabler Kriechzahl (rechts)

Trotz groumlszligerer Abweichungen der Druckzonenhoumlhen bei Belastungsbeginn und nach abge-schlossenem Kriechen sind die Auswirkungen auf die Schwindkruumlmmung relativ gering Sie liegen deutlich unter 10 und erreichen nur in unguumlnstigen Faumlllen (groszlige Kriechzahl groszliger Zug- und Druckbewehrungsgrad) Werte zwischen 5 bis 6 in uumlblichen Faumlllen sind es ca 2 Dabei ist der Einfluss der Betonfestigkeit gering (groumlszligere Festigkeiten fuumlhren zu etwas kleineren Abweichungen) Die Groumlszlige des Schwindmaszliges selbst hat keine Auswirkung Auch die Bauteilhoumlhe hat ndash bei konstantem Bewehrungsgrad ndash keinen nennenswerten Einfluss Zusaumltzlich ist festzustellen dass in den genannten unguumlnstigen Faumlllen der Bewehrungsgrad und damit auch die Belastung (bei wirtschaftlicher Bemessung) sehr groszlig ist so dass dann der Anteil des Schwindens an der Gesamtverformung gering sein duumlrfte

Auf der sicheren Seite liegend koumlnnen die Schwindverformungen im Zustand II mit der elastischen Druckzonenhoumlhe xel durchgefuumlhrt werden Dadurch beruumlcksichtigt man zusaumltz-lich dass die Schwindbehinderung der Bewehrung zu Zugspannungen im Beton fuumlhren welche die Druckzone verkleinern koumlnnen

Die Berechnung der resultierenden Spannungen erfolgt nach dem unter 551 dargestellten Prinzip der spannungserzeugenden und spannungsfreien Dehnungen Als Betonflaumlche wird jedoch nur Acx = xel sdot b angesetzt

73

6 Ergaumlnzte Querschnitte

61 Allgemeines In den letzten Jahren wird verstaumlrkt auf Fertigteilloumlsungen zuruumlckgegriffen bei denen Fertig-teile auf der Baustelle mit Ortbeton ergaumlnzt werden Im folgenden Abschnitt soll das Verfor-mungsverhalten von ergaumlnzten Querschnitten untersucht werden

611 Verschiedene Fertigteilsysteme

Die Vorteile der Fertigteilherstellung liegen in der Qualitaumltsverbesserung (Arbeitsbedingun-gen Betonqualitaumlt Kontrolle) der Verringerung der Herstellungskosten (Schalungs- und Geruumlstkosten Massenproduktion) und der Verkuumlrzung der Bauzeit (gleichzeitige Produktion verschiedener Elemente Wetterunabhaumlngigkeit) Ein groszliger Nachteil hingegen sind die gewichtsbedingten Anforderungen bei Transport und Montage Daher werden Vollmontage-platten und -balken (Fertigteilquerschnitt entspricht endguumlltigem Querschnitt) seltener ausgefuumlhrt ggf alternativ mit Hohlkoumlrper versehen (z B als Hohlkoumlrperplatten)

Fertigteilplatten werden haumlufig mit einer geringen Dicke (4 - 6 cm) ausgefuumlhrt die erst nach Montage durch eine Ortbetonschicht auf die geplante Houmlhe ergaumlnzt werden Allerdings betraumlgt die zulaumlssige Stuumltzweite im Montagezustand wegen der geringen Steifigkeit nur maximal zwei Meter Um eine groumlszligere Steifigkeit (ggf auch groumlszligere Stuumltzweite) und einen besseren Verbund mit der Ortbetonergaumlnzung zu erzielen werden i d R Gittertraumlger mit in das Fertigteil einbetoniert Wird der Stab des Gittertraumlgerobergurtes durch ein Trapezblech ersetzt so lassen sich Montagestuumltzweiten uumlber 5 Metern realisieren Noch groumlszligere Stuumltz-weiten (bis zu 16 Metern bei Steghoumlhen von 60 - 70 cm) werden durch Doppelstegplatten oder TT-Platten erzielt

Abb 61 Anwendung von Fertigteilen als Deckenelemente (nach [FDB ndash 09])

612 Besonderheiten bei der Berechnung

Fertigteile in Vollmontagebauweise sind bei der Ermittlung der Verformungen prinzipiell wie Ortbetonkonstruktionen zu behandeln Allerdings muss beachtet werden dass Fertigteile idR als Einfeldtraumlger ausgefuumlhrt werden aus der fehlenden Durchlaufwirkung ergeben sich groumlszligere Konstruktionshoumlhen zur Erfuumlllung der Verformungsbegrenzung Auszligerdem kann die Verformung von der Nachbehandlung und Ausschalfrist im Fertigteilwerk beeinflusst werden

Komplexer ist das Trag- und Verformungsverhalten von nachtraumlglich ergaumlnzten Querschnitten hier muss ggf zunaumlchst das Fertigteil alleine die Eigenlast der Ortbetonergaumlnzung aufnehmen (alternativ Hilfsabstuumltzungen) Die Querschnittsergaumlnzung wirkt nach der Erhaumlrtung erst bei Laststeigerung oder zeitabhaumlngig durch Schwinden und Kriechen mit Die anfaumlngliche Durch-biegung ist damit nur von der Biegesteifigkeit des Fertigteils abhaumlngig Ggf kann eine obere Bewehrung die durch Gittertraumlger mit dem Fertigteil verbunden ist beruumlcksichtigt werden

Daruumlber hinaus koumlnnen die Betone vom Fertigteil und von der Ergaumlnzung unterschiedliche Eigenschaften wie Festigkeit Elastizitaumltsmodul Schwindmaszlig und Kriechzahl aufweisen

74 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte

613 Vorgehensweise und Definitionen

Es soll ein aus zwei Teilquerschnitten (TQS) bestehendes Bauteil betrachtet werden Die obere Schicht erhaumllt den Index bdquo1ldquo und stellt die Ortbetonergaumlnzung dar Die untere Schicht (Fertigteil) wird mit bdquo2ldquo gekennzeichnet Die Betone der einzelnen Teilquerschnitte koumlnnen sich in den Eigenschaften Betonfestigkeit (fcki fctmi) Elastizitaumltsmodul (Ecmi) Schwindmaszlig(εcsi) und Kriechzahl(ϕi) unterscheiden Zusaumltzlich wird die Bauteilgeometrie (Houmlhe hi Breite bi) variabel gehalten Die Belastung wird je nach Bauablauf schrittweise auf die einzelnen Teilquerschnitte aufgebracht

Die Bewehrung ist sowohl im TQS1 als Druckbewehrung (As2) als auch im TQS2 als Zug-bewehrung (As1) vorhanden

Abb 62 Definition und Bezeichnung der Querschnittsteile

Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten Es wird davon ausgegangen dass Montage-stuumltzweite und endguumlltige Stuumltzweite identisch sind Andere Situationen mit Hilfsunter-stuumltzungen koumlnnen daraus abgeleitet werden es ist dann der nachfolgend beschriebene Schritt t = 0 anzupassen

Zunaumlchst wird zum Zeitpunkt t = 0 das Fertigteil (TQS2) inkl Zugbewehrung durch sein Eigengewicht gk2 und das Eigengewicht der Ortbetonergaumlnzung gk1 belastet Es muss uumlberpruumlft werden ob zu diesem Zeitpunkt die Zugfestigkeit des Fertigteilbetons uumlberschritten wird Gerissene Bereiche koumlnnen keine Zugspannungen mehr aufnehmen Druckspannungen koumlnnen jedoch auch im Riss uumlbertragen werden wenn sich aus langfristigen Spannungsumlagerungen die Druckzone vergroumlszligert

Die Ortbetonergaumlnzung ist nur als zusaumltzliche Auflast zu sehen und beteiligt sich nicht am Lastabtrag Es entstehen Dehnungen und Spannungen die jeweils an Ober- und Unterkante des TQS2 und in der Bewehrungslage bestimmt werden (εc2o εc2u εs1 σc2o σc2u σs1) so dass die Kruumlmmung κ0 berechnet werden kann Aus dieser laumlsst sich eine gedachte virtuelle Ver-formung des TQS1 (εc1o εc1u) und der Bewehrung As2 (εs2) ermitteln Diese Dehnungen sind spannungsfrei und erfuumlllen die Vertraumlglichkeitsbedingungen (Ebenbleiben des Querschnittes)

Zum Zeitpunkt t = B wird die weitere Belastung aufgebracht (Eigenlast uumlbergeordneter Kon-struktionen gk3 Ausbaulast gk4 veraumlnderliche Last qk) Der Beton im TQS1 ist ausgehaumlrtet und mit dem Fertigteil schubfest verbunden Somit entstehen in beiden Teilquerschnitten und den Bewehrungslagen Dehnungen und Spannungen die zu den bereits vorhandenen zu addieren sind

Ab diesem Zeitpunkt sollen keine weiteren Belastungen aufgebracht werden allerdings entste-hen Spannungsumlagerungen infolge Kriechen und Schwinden Naumlherungsweise soll der Be-ginn der zeitabhaumlngigen Verformungen fuumlr beide Teilquerschnitte gleich sein und

62 Berechnung im Zustand I 75

Verformungen die vor dem Einbau auftreten unberuumlcksichtigt bleiben unterschiedliche Schwind- und Kriechzahlen der Teilquerschnitte werden jedoch beachtet Die endguumlltigen Ver-formungen zum Zeitpunkt t = infin setzen sich aus dem elastischen Anteil (εciB) dem Kriechen (εciinfinc) und Schwinden (εciinfins) zusammen

Ergaumlnzend zu dem in Abb 62 dargestellten Querschnitt werden zwei weitere Varianten betrachtet Zum einen wird ein Fertigteil betrachtet das zusaumltzlich durch einen Obergurt (z B eines Gittertraumlgers) ausgesteift ist es ist also schon zum Zeitpunkt t = 0 eine obere Druckbewehrung AOG vorhanden Zum anderen wird die Verformungsberechnung auf Doppelstegplatte erweitert mit unterschiedlichen Breiten im Fertigteil und in der Ortbeton-ergaumlnzung

62 Berechnungen im Zustand I

621 Vorverformung im Bauzustand (t = 0)

Zunaumlchst traumlgt nur der Betonquerschnitt Ac2 = h2 sdot b2 mit der Bewehrung As1 des Fertigteils Die Kruumlmmung und die Dehnungen koumlnnen analog zu dem in Kapitel 5 vorgestellten Kraftgroumlszligenverfahren ermittelt werden

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

( 123222 hbIc sdot= 121 2 ss dhz minus= M0 Moment unter der maszligg Belastung)

Die in Gl (62) und (63) genannte Verbundkraft X1 betraumlgt

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

minus=minus=δδ (64)

Daraus ergeben sich die Spannungen - Beton 20202 cmucuc Esdot= εσ 20202 cmococ Esdot= εσ - Stahl sss Esdot= 0101 εσ mit )( 1200201 socs dh minussdot+= κεε

Der Ortbetonergaumlnzung und der Druckbewehrung die in diesem Stadium noch nicht mitwir-ken wird eine virtuelle Dehnung zugeordnet um das Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes einzuhalten die Querschnitte bleiben jedoch spannungsfrei

100201 hococ sdotminus= κεε (65a)

0201 ocuc εε = (65b) )( 2100202 socs dh minussdotminus= κεε (65c)

Alternativ kann die Berechnung auch uumlber ideelle Querschnittswerte erfolgen Die Kruumlm-mung wird wie folgt bestimmt

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

mit Ic2 als Flaumlchenmoment 2 Grades des reinen Betonquerschnittes

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

β mit 22 cmsE EE=α und 2121 css AA=ρ (67)

Die Druckzonenhoumlhe x0 betraumlgt

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Aus der Kruumlmmung und dem Dehnungsnulldurchgang kann an jeder beliebigen Quer-schnittsstelle z die Dehnung ε(z) in folgender Form bestimmt werden

)()( 00 xzz minussdot= κε

622 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)

Nach dem Erhaumlrten der Ortbetonergaumlnzung wird der Gesamtquerschnitt ndash bestehend aus vier Teilquerschnitten (zwei Betonquerschnitten und zwei Bewehrungen) ndash wirksam zunaumlchst allerdings nur fuumlr die zusaumltzlich aufgebrachten Lasten Das aus den Zusatzlasten resultieren-de Moment sei Mz das Gesamtmoment MEd = M0 + Mz

Mit Abb 63 sind in der Berechung folgende Verbundkraumlfte Xi zu beruumlcksichtigen ndash X1 die zwischen TQS1 und TQS2 uumlbertragene Kraft ndash X2 das entsprechende Moment ndash X3 die Verbundkraft zwischen Zugbewehrung und TQS2 sowie ndash X4 die Verbundkraft zwischen Druckbewehrung und TQS1

Abb 63 Definition der vier Kraftgroumlszligen

Zunaumlchst einmal werden die Verformungsgroumlszligen δi0 an den jeweiligen Stellen bestimmt Das Zusatzmoment Mz wird am TQS1 angesetzt (prinzipiell koumlnnte es auch auf TQS2 bezogen werden) Man erhaumllt

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

Die Verformungsgroumlszligen δij an den Stellen i aufgrund der Kraftgroumlszlige j betragen

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

2121δδ =sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

211 δδ =sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

Aufgrund von Vertraumlglichkeitsbedingungen muumlssen die Verformungsgroumlszligen gleich Null sein Somit erhaumllt man folgende vier Gleichungen

014413312211110 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 024423322221120 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX (623) 034433332231130 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX 044443342241140 =sdot+sdot+sdot+sdot+ δδδδδ XXXX

bzw in Vektorschreibweise und aufgeloumlst nach dem Vektor mit den unbekannten Xi

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

δδδδδδδδδδδδδδδδ

XXXX

(624)

Die Loumlsung erfolgt beispielsweise nach der Cramerrsquoschen Regel Hierzu werden die Determi-nanten Di der Koeffizientenmatrix bestimmt dessen i-te Spalte jeweils durch den Zielvektor ersetzt wird Zusaumltzlich wird die Determinante D0 der unveraumlnderten Koeffizientenmatrix berechnet Die Loumlsung des Gleichungssystems kann dann wie folgt angegeben werden

0 DDX ii = (625) Damit koumlnnen die Dehnungen an jedem beliebigen Punkt des Querschnitts bestimmt wer-den Wie schon im Abschnitt 621 werden sie jeweils an der Ober- und Unterkante der jewei-ligen Teilquerschnitte und in den beiden Bewehrungslagen berechnet Mit den Konstanten

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

erhaumllt man folgende Dehnungen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=

20

22221

121431

121

11

111

11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (626)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=

20

22221

121431

121

11

111

11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (627)

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzocε (628)

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAzucε (629)

131 Szs kX sdotminus=ε (630)

Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden

Auch hier kann die Kruumlmmung alternativ uumlber den Ansatz

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-

zung und der beiden Bewehrungslagen darstellt

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotsdotminus++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdotsdotsdot=

ραρα

ξξξξαβ (633)

mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 2222 css AA=ρ und 22 hxzx =ξ

Die Druckzonenhoumlhe xz wird bestimmt

1)()()2(2

2221221

22221221211

++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)

Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz

623 Verformungen nach abgeschlossenem Kriechvorgang (t = infin)

Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert

Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2

Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)

LBs sdotsdotsdot= 2130 ϕρεδ (638) LBs sdotsdotsdot= 1240 ϕρεδ (639)

Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

erhaumllt man als Dehnungen

⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=

20

2221

121431

121

11

11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)

131 Scs kX sdotminus=ε (645)

Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)

Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden

( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)

Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)

Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert

Mit den Faktoren ki und ki

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2

0222

11121143

1112

111

111111

hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2

0222

11121143

1112

111

111111

hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)

02222 42

1211232

1222

122

12122 sdotminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)

02222 42

1211232

1222

122

⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)

131 Sss kX sdot=ε (656)

Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os

Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt

Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

sdotminus++sdot= (659)

ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=

Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden

In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt

ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1

3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23

Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

111 ϕρεε sdot+sdot+=

ccm

ccsc AE

N )1( 111

11 ϕρκ sdot+sdot=

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

=minusminus εεεεεε

Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot

= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot

Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

s s s s c cs c c cs cs

Sc Sc Sc Sc cm c cm c

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε

minus= rarr

sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞

= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠

Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0

und aufgeloumlst nach Nc2

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminussdotsdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

ScScccmScSsNc IEIEIE

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

ScScccmSsScNc IEIEIE

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

11 ϕρϕρεε (660c)

Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)

)1()1(

211

12212 ϕρ

ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot

=ccm

ccmcc IE

IEMM

Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc

cm c

c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E IM M M N z z N z z

E Iz z F F

M M N z z z zE I F F F FE I

ρ ϕρ ϕ

sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr

sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞

= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot

(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns

)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdotminusminussdot

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

63 Berechnungen im Zustand II

631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot

= (665)

Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

hx ραραρα sdotsdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)

( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

20 minussdotminussdot=

xd

xh sIIβ

63 Berechnung im Zustand II 83

Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden

In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus

)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)

Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II

Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-

teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=

ραρα

ξξξξξξξξξαβ(671)

mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ

Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist

20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)

Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann

020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)

Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

= minusminus σδ (675)

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

minus= minusδ (676)

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

= minusminusδ (677)

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotminussdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)

Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt

Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B

Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man

22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)

ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)

1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)

2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)

Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2

02222

112143

112

11

111

1111111

hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2

02222

112143

112

11

111

1111111

hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdotminussdot+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot+sdot+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=

Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen

Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges

Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

230 csεδ minus= (6103)

Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird

Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)

Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1

3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3

Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II

64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt

Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi

Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte

Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen

2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen

12122211

221012201 δδδδ

δδδδsdotminussdotsdotminussdot

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

64 Besondere Fertigteilvarianten 89

Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I

erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

minussdotsdot+minussdotsdot+=

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

+sdotminussdot+⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotsdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ

Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)

Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss

642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung

Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden

h 2h 1

Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens

Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt

h 2h 1

h Sh G

Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte

Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG

3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen

zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)

- Zustand II

[

( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot

minussdot+sdotsdotsdot

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

sdot+sdotsdot= (6134)

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

minussdotminussdot+sdotminussdot

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

xxsExxIc ξξραξξβ (6136)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

xxsEIIc ξξραβ (6137)

mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ

Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE

dhAEhAEhAEhAEx

sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minussdotsdot+minussdotsdot+

sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus

sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

( )22211 cccGcGcmccm

zz IIEE

Mβββ

κsdot+sdotsdot+sdot

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

xxsExxc ξξραξξβ (6141)

mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ

Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt

2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)

222

322

321

2 32)(2

ccG

c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot

= (6143)

Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

sdot+sdotminussdot= (6144)

Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt

⎩⎨⎧

lesdotgtsdotminus+sdot

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

gtsdotminussdot+sdotminussdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

65 Vergleichendes Beispiel

651 Eingangsparameter

Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)

Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet

Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht

- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch

eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit

Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem

Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei

Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42

605

13 18

Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)

- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben

C 2025

C 3545

Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)

- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung

- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-

ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen

- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den

anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen

652 Hinweise zur Berechnung

Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt

Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht

653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse

In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4

Verfo

rmun

g [c

m]

SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand

Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte

Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen

95

7 Verformungsberechnung

71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)

22)(

2xfxLfxM minussdotsdot= (72)

erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

20 0 0w( ) C= rarr =

Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit

Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

96 Kapitel 7 Verformungsberechnung

Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen

Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form

cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)

Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden

RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus

RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

rarr = = minussdot minus sdot minus

RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

( x ) ( x )x x fuumlr x x

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

(L ) (L )x x fuumlr x x L LL

κ κ

κκ κ

⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨

sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩

(710)

Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

x (L x ) x ( x L)κ κ

= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

x (L x ) x ( x L)κ κsdot

= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

κ κsdot sdot= minus sdot + sdot

3 232

4 2 2 23

IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL

κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +

sdot

4 33 42

2 2 233

IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL

κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +

sdotsdot

Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =

Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)

LI2 LIILI2

Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung

Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot

minus sdot + sdot + =sdot

31 23

IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr

RB 4 )()( 21 crcr xwxw =

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

cr cr A crcr cr cr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL

κ κτ

κ κ κ

sdotminus sdot + sdot + sdot

sdot sdot minus sdot sdot minussdot

= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr II cr II crI IImcr cr

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠

⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠

Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs

I im Zustand II ist sie κcs

IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +

2

1 22I

cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +

2

3 42IIm

Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt

2IImII

cscrIcsA

Lx sdot+sdot= κκτ (714)

Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII

cs sdotminus=rarr κ

71 Allgemeines

99

RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII

cscrIcs

LxC sdot+sdot=rarr κκ

RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2

242 2 2 2

cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr

x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

rarr = sdot minus + sdot sdot

Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung

712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger

Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

sdot+sdotminussdotsdot+

sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren

Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man

( ) mIIcs

mIIcs

Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22

81

21)2( (717)

Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen

713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage

Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen

Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])

( )nnn

L

yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100

424243

)( (719)

mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen

Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse

In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite

72 Durchlauftraumlger 101

Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist

sumint=

sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h

72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen

721 Vereinfachte Loumlsung

Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt

12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden

21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=

Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche

Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)

Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

IIE xLL sdotminus= 2

Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)

Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)

722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben

22 RF

mIIcsIIRF

IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)

Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung

73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103

73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie

Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden

s cd

ε εκ

minus= (729)

Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc

I des Zustandes I im Riss selbst εsII

und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und

Dehnungen benoumltigt

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])

Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037

In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet

IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II

smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)

7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]

Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen

1II II

sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II

s s( )

σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε

σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)

mit IIs

IIsr

t σσ

βζ sdotminus= 1 (736)

Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=

sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(

)1()1( (737)

Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden

MMcr

t sdotminus= βζ 1 (738)

Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025

Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur

Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1( (739)

Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus=

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]

In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(

mit M

Mcrt sdotminus= βζ 1 und

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt

Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden

Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

7314 Ansatz in [Tue ndash 93]

Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

Tsdotminus= 601ζ (743)

Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der

Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung

IIs

mII κζκ sdot= (744)

Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-

den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen

d

IIc

sII

smII ε

ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)

7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]

Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs

IIs

mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)

Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt

εκζκ KIIs

mII +sdot= mit dK II

cs εζε sdot= (747)

732 Zusammenfassung

Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt

Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr

βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung

MMcr

t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

Ansaumltze in der Form IIs

mII κζκ sdot= (+ Kε)

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein

dK

IIc

s

εζε sdotminus= )1(

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild

dK IIcs )1( εζε sdotminus=

Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm

Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315

Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langandauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann

In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

mittlere Kruumlmmung

Mom

ent

[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]

Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037

109

8 Auswertung

81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln

811 Erforderliche Nutzhoumlhe

Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten

Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend

In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2

Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist

Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))

110 Kapitel 8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer

Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03

In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt

Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt

0

10

20

30

40

50

15 3 45 6 75 9 Stuumltzweite [m]

DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)

EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111

0

10

20

30

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50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

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20

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40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06

812 Berechnung der Verformung

Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet

1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)

2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt

3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)

Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen

In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt

0

10

20

30

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50

elas

tisch

e Ve

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g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT

Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)

In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie

L250

a)

b)

bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-

gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit

a)

b)

c)

Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit

Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li

2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)

Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II

In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84

dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger

82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben

Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept

Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen

83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse

831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit

Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent

In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227

Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist

83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117

Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)

Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt

Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-

nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

bezogener Bewehrungsgrad

Durchbiegung ohne Schwinden

Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10

In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden

In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und

mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II

Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene

Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt

Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2

Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten

Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte

Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung

84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse

841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit

Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-

85 Vergleich und Fazit 121

ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig

Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )

In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

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r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025

In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent

35

45

55

65

100 110 120Festigkeit in []

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7

Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)

Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen

Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025

842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung

Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

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in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

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en)

Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100

Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung

Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf

Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben

Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)

Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden

a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25

Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger

teilweiser Einspannung

843 Weitere guumlnstige Effekte

Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung

einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050

85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten

Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit

30 ledLi (81)

abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt

Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2

Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)

Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))

Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt

ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31

2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41

)( vorhserfsf ρρρ = (86)

Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an

Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)

(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)

Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine

Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe

Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)

Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis

Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit

Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2

Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil

Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck

Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung

Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt

quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2

Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10

In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250

Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)

Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)

Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung

der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)

Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)

des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

ρprov ρreq middot 100

In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)

Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden

133

9 Zusammenfassung und Ausblick

91 Zusammenfassung

Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt

Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben

In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar

Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt

Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen

Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft

Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist

Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-

134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick

last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann

Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden

Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten

Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250

92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben

Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist

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Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
- - 2 Allgemeines
  - - 21 Verformungen und ihre Folgen
    - 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
    - - 3 Stand der Technik
      - 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
        
        32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
        
        33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
        
        34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
        
        35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        42 Betonstahl Spannstahl
        
        43 Verbund
        
        
        51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        64 Besondere Fertigteilvarianten
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        72 Durchlauftraumlger
        
        73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
        
        8 Auswertung
        
        
        82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
        
        
        84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
        
        85 Vergleich und Fazit
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick
        
        
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 SVE ltFEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006600f600720020006b00760061006c00690074006500740073007500740073006b0072006900660074006500720020007000e5002000760061006e006c00690067006100200073006b0072006900760061007200650020006f006300680020006600f600720020006b006f007200720065006b007400750072002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002egt ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false ConvertColors NoConversion DestinationProfileName () DestinationProfileSelector NA Downsample16BitImages true FlattenerPreset ltlt PresetSelector MediumResolution gtgt FormElements false GenerateStructure true IncludeBookmarks false IncludeHyperlinks false IncludeInteractive false IncludeLayers false IncludeProfiles true MultimediaHandling UseObjectSettings Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (20) ] PDFXOutputIntentProfileSelector NA PreserveEditing true UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged 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Page 2: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand waumlhrend meiner Taumltigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl fuumlr Massivbau der Universitaumlt Siegen

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof Dr-Ing Alfons Goris fuumlr die Unterstuumltzung und Foumlrderung meiner Arbeit sowie die vertrauensvolle und lehrreiche Zeit die ich am Lehrstuhl fuumlr Massivbau verbringen durfte

Herrn Prof Dr-Ing habil Chuanzeng Zhang moumlchte ich sehr herzlich fuumlr das Interesse an meiner Arbeit und fuumlr die Uumlbernahme des Korreferates danken

Wegen der Freundlichkeit und Hilfsbereitschaft der Kolleginnen und Kollegen des Fach-bereichs Bauingenieurwesen wird mir die Zeit an der Universitaumlt Siegen stets in guter Erinnerung bleiben Hier danke ich besonders Herrn Dipl-Ing Oliver Carl fuumlr die anregenden Diskussionen

Meinen Eltern danke ich fuumlr ihre liebevolle Unterstuumltzung die mir waumlhrend meines Studiums des Bauingenieurwesens eine groszlige Hilfe war

Siegen im Juni 2010 Jens Strohbusch

I

II

III

1

1 Einleitung

2

1 Einleitung

3

4

5

2 Allgemeines

11

3 Stand der Technik

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

0

23

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

IS

r ecscs

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

Flachdecken 21 30

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

k1 = 056 bei L 500

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

21 21

18 27

25 40

Ber

echn

ung

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Druckfestigkeit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Die Ermzahl nac

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

mit dem Fak

Tafel 42 Faksind

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

t-Dehnungsbe

l

=mit 0 8iα

31)8

eziehung [Zilc

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

+ sdot +8 0 2 ck (f

pannung

hZehetmaier

1000

der Gesteins

+ le8 88 1)

ndash 06]

koumlrnung nach

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

mmung derstigkeit

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

mmern

n zeitab-

Zugfestigkeit

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

41 Beton 27

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

a) b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

Kriechen

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

hhRH

H (417)

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

41 Beton 31

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

++sdot= (421)

Schwinden

41 Beton 33

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

mit 6

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

43 Verbund 35

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

43 Verbund 37

39

ϕ=minusdxdw (51)

2

dxwd

=κ (52)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

z Id s

2d s

1

d h

s

ssssI

dhdhzρρρ

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Zustand I

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

=

(517)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

s

sssSs

dhdhzρ

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρρ

ρρρ

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

ss

sIss

cc IEMzNM

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

Platten

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Balken

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

1

s

sccsIcs z

dcsI

csIIcs

6040 (530)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

Kraft beschreibt

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

1 21 2

sdot sdot sdot sdot

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

ε δδ

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

= ε (544)

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Zustand I I

I

ecsIcs I

Zustand II II

II

ecsIIcs I

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

( )( ) ( )ϕρρααε

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

sII )1(6

d6040 csI

csIIcs

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

=

hcc 12 εεκ minus

=

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

12

122 23 (567)

hcc 21 εεκ minus

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

tIII

kIIIkIII

0 (571)

I ca 095

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

541 Allgemeines

mit s

smss σ

σσαΔ

s

sm

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

ατ sdot=

int=Δx

bs

s dxxd

x0

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

rk

⎤⎢⎣

⎡minus

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

ss

umssm AE

Tsdot

Issm εε = (583a)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

3031)( (583b)

srIIsrt

( ) 130

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

I ) I

srIIsrt

IIs

IIsr

)()( seffsctmIsr

IIs

IIsrI

sIsr σ

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

( )2

II II Ism s t sr sr

ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

( )Isr

IIsrt

mit IIs

IIsr

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

IIs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

551 Zustand I

Elastisch

Kriechen

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

csscAEF (5105)

Beispiele

552 Zustand II

Elastisch

Kriechen

celel

oceloelx+

+

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

ϕρεϕρεσ

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

Schwinden

73

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

XXXX

(624)

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

ραρα

ξξξξαβ (633)

1)()()2(2

2221221

22221221211

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

ccm

ccsc AE

N )1( 111

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

minus= rarr

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

)1()1(

211

12212 ϕρ

=ccm

ccmcc IE

IEMM

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm c

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E Iz z F F

ρ ϕρ ϕ

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

= (665)

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

⎠

⎞⎜⎜⎝

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

xd

xh sIIβ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

ραρα

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

12122211

221012201 δδδδ

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

h 2h 1

h Sh G

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

- Zustand II

[

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

dhAEhAEhAEhAEx

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

zz IIEE

Mβββ

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

222

322

321

2 32)(2

ccG

= (6143)

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

⎩⎨⎧

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

605

13 18

C 2025

C 3545

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Verfo

rmun

g [c

m]

95

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

22)(

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

20 0 0w( ) C= rarr =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

κ κ

κκ κ

(710)

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

3 232

4 2 2 23

sdot

4 33 42

2 2 233

sdotsdot

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

LI2 LIILI2

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

31 23

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

κ κτ

κ κ κ

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

2

1 22I

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

2

3 42IIm

2IImII

cscrIcsA

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

71 Allgemeines

99

cscrIcs

242 2 2 2

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

( ) mIIcs

mIIcs

81

21)2( (717)

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

( )nnn

L

424243

)( (719)

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

sumint=

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

22 RF

mIIcsIIRF

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

s cd

ε εκ

minus= (729)

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

1II II

s s( )

mit IIs

IIsr

t σσ

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

)1()1( (737)

MMcr

dK

IIc

Ic εε

ζε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

mit M

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

IIs

d

IIc

sII

smII ε

IIs

εκζκ KIIs

732 Zusammenfassung

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

dK

IIc

s

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

Mom

ent

109

8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

elas

tisch

e Ve

rfor

mun

g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

L250

a)

b)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

a)

b)

c)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

35

45

55

65

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

rfor

mun

g

in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

ezog

en)

30 ledLi (81)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

133

91 Zusammenfassung

Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- - 2 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        
        43 Verbund
        
        
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        
        
        8 Auswertung
        
        
        
        
        
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick

Page 3: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

I

II

III

1

1 Einleitung

2

1 Einleitung

3

4

5

2 Allgemeines

11

3 Stand der Technik

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

0

23

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

IS

r ecscs

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

Flachdecken 21 30

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

k1 = 056 bei L 500

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

21 21

18 27

25 40

Ber

echn

ung

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Druckfestigkeit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Die Ermzahl nac

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

mit dem Fak

Tafel 42 Faksind

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

t-Dehnungsbe

l

=mit 0 8iα

31)8

eziehung [Zilc

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

+ sdot +8 0 2 ck (f

pannung

hZehetmaier

1000

der Gesteins

+ le8 88 1)

ndash 06]

koumlrnung nach

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

mmung derstigkeit

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

mmern

n zeitab-

Zugfestigkeit

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

41 Beton 27

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

a) b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

Kriechen

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

hhRH

H (417)

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

41 Beton 31

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

++sdot= (421)

Schwinden

41 Beton 33

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

mit 6

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

43 Verbund 35

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

43 Verbund 37

39

ϕ=minusdxdw (51)

2

dxwd

=κ (52)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

z Id s

2d s

1

d h

s

ssssI

dhdhzρρρ

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Zustand I

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

=

(517)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

s

sssSs

dhdhzρ

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρρ

ρρρ

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

ss

sIss

cc IEMzNM

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

Platten

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Balken

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

1

s

sccsIcs z

dcsI

csIIcs

6040 (530)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

Kraft beschreibt

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

1 21 2

sdot sdot sdot sdot

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

ε δδ

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

= ε (544)

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Zustand I I

I

ecsIcs I

Zustand II II

II

ecsIIcs I

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

( )( ) ( )ϕρρααε

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

sII )1(6

d6040 csI

csIIcs

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

=

hcc 12 εεκ minus

=

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

12

122 23 (567)

hcc 21 εεκ minus

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

tIII

kIIIkIII

0 (571)

I ca 095

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

541 Allgemeines

mit s

smss σ

σσαΔ

s

sm

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

ατ sdot=

int=Δx

bs

s dxxd

x0

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

rk

⎤⎢⎣

⎡minus

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

ss

umssm AE

Tsdot

Issm εε = (583a)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

3031)( (583b)

srIIsrt

( ) 130

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

I ) I

srIIsrt

IIs

IIsr

)()( seffsctmIsr

IIs

IIsrI

sIsr σ

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

( )2

II II Ism s t sr sr

ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

( )Isr

IIsrt

mit IIs

IIsr

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

IIs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

551 Zustand I

Elastisch

Kriechen

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

csscAEF (5105)

Beispiele

552 Zustand II

Elastisch

Kriechen

celel

oceloelx+

+

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

ϕρεϕρεσ

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

Schwinden

73

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

XXXX

(624)

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

ραρα

ξξξξαβ (633)

1)()()2(2

2221221

22221221211

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

ccm

ccsc AE

N )1( 111

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

minus= rarr

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

)1()1(

211

12212 ϕρ

=ccm

ccmcc IE

IEMM

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm c

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E Iz z F F

ρ ϕρ ϕ

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

= (665)

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

⎠

⎞⎜⎜⎝

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

xd

xh sIIβ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

ραρα

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

12122211

221012201 δδδδ

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

h 2h 1

h Sh G

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

- Zustand II

[

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

dhAEhAEhAEhAEx

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

zz IIEE

Mβββ

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

222

322

321

2 32)(2

ccG

= (6143)

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

⎩⎨⎧

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

605

13 18

C 2025

C 3545

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Verfo

rmun

g [c

m]

95

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

22)(

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

20 0 0w( ) C= rarr =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

κ κ

κκ κ

(710)

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

3 232

4 2 2 23

sdot

4 33 42

2 2 233

sdotsdot

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

LI2 LIILI2

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

31 23

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

κ κτ

κ κ κ

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

2

1 22I

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

2

3 42IIm

2IImII

cscrIcsA

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

71 Allgemeines

99

cscrIcs

242 2 2 2

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

( ) mIIcs

mIIcs

81

21)2( (717)

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

( )nnn

L

424243

)( (719)

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

sumint=

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

22 RF

mIIcsIIRF

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

s cd

ε εκ

minus= (729)

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

1II II

s s( )

mit IIs

IIsr

t σσ

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

)1()1( (737)

MMcr

dK

IIc

Ic εε

ζε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

mit M

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

IIs

d

IIc

sII

smII ε

IIs

εκζκ KIIs

732 Zusammenfassung

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

dK

IIc

s

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

Mom

ent

109

8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

elas

tisch

e Ve

rfor

mun

g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

L250

a)

b)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

a)

b)

c)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

35

45

55

65

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

rfor

mun

g

in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

ezog

en)

30 ledLi (81)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

133

91 Zusammenfassung

Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- - 2 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        
        43 Verbund
        
        
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        
        
        8 Auswertung
        
        
        
        
        
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick

Page 4: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

I

II

III

1

1 Einleitung

2

1 Einleitung

3

4

5

2 Allgemeines

11

3 Stand der Technik

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

0

23

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

IS

r ecscs

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

Flachdecken 21 30

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

k1 = 056 bei L 500

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

21 21

18 27

25 40

Ber

echn

ung

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Druckfestigkeit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Die Ermzahl nac

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

mit dem Fak

Tafel 42 Faksind

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

t-Dehnungsbe

l

=mit 0 8iα

31)8

eziehung [Zilc

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

+ sdot +8 0 2 ck (f

pannung

hZehetmaier

1000

der Gesteins

+ le8 88 1)

ndash 06]

koumlrnung nach

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

mmung derstigkeit

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

mmern

n zeitab-

Zugfestigkeit

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

41 Beton 27

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

a) b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

Kriechen

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

hhRH

H (417)

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

41 Beton 31

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

++sdot= (421)

Schwinden

41 Beton 33

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

mit 6

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

43 Verbund 35

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

43 Verbund 37

39

ϕ=minusdxdw (51)

2

dxwd

=κ (52)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

z Id s

2d s

1

d h

s

ssssI

dhdhzρρρ

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Zustand I

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

=

(517)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

s

sssSs

dhdhzρ

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρρ

ρρρ

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

ss

sIss

cc IEMzNM

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

Platten

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Balken

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

1

s

sccsIcs z

dcsI

csIIcs

6040 (530)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

Kraft beschreibt

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

1 21 2

sdot sdot sdot sdot

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

ε δδ

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

= ε (544)

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Zustand I I

I

ecsIcs I

Zustand II II

II

ecsIIcs I

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

( )( ) ( )ϕρρααε

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

sII )1(6

d6040 csI

csIIcs

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

=

hcc 12 εεκ minus

=

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

12

122 23 (567)

hcc 21 εεκ minus

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

tIII

kIIIkIII

0 (571)

I ca 095

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

541 Allgemeines

mit s

smss σ

σσαΔ

s

sm

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

ατ sdot=

int=Δx

bs

s dxxd

x0

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

rk

⎤⎢⎣

⎡minus

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

ss

umssm AE

Tsdot

Issm εε = (583a)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

3031)( (583b)

srIIsrt

( ) 130

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

I ) I

srIIsrt

IIs

IIsr

)()( seffsctmIsr

IIs

IIsrI

sIsr σ

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

( )2

II II Ism s t sr sr

ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

( )Isr

IIsrt

mit IIs

IIsr

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

IIs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

551 Zustand I

Elastisch

Kriechen

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

csscAEF (5105)

Beispiele

552 Zustand II

Elastisch

Kriechen

celel

oceloelx+

+

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

ϕρεϕρεσ

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

Schwinden

73

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

XXXX

(624)

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

ραρα

ξξξξαβ (633)

1)()()2(2

2221221

22221221211

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

ccm

ccsc AE

N )1( 111

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

minus= rarr

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

)1()1(

211

12212 ϕρ

=ccm

ccmcc IE

IEMM

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm c

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E Iz z F F

ρ ϕρ ϕ

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

= (665)

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

⎠

⎞⎜⎜⎝

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

xd

xh sIIβ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

ραρα

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

12122211

221012201 δδδδ

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

h 2h 1

h Sh G

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

- Zustand II

[

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

dhAEhAEhAEhAEx

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

zz IIEE

Mβββ

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

222

322

321

2 32)(2

ccG

= (6143)

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

⎩⎨⎧

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

605

13 18

C 2025

C 3545

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Verfo

rmun

g [c

m]

95

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

22)(

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

20 0 0w( ) C= rarr =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

κ κ

κκ κ

(710)

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

3 232

4 2 2 23

sdot

4 33 42

2 2 233

sdotsdot

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

LI2 LIILI2

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

31 23

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

κ κτ

κ κ κ

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

2

1 22I

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

2

3 42IIm

2IImII

cscrIcsA

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

71 Allgemeines

99

cscrIcs

242 2 2 2

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

( ) mIIcs

mIIcs

81

21)2( (717)

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

( )nnn

L

424243

)( (719)

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

sumint=

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

22 RF

mIIcsIIRF

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

s cd

ε εκ

minus= (729)

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

1II II

s s( )

mit IIs

IIsr

t σσ

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

)1()1( (737)

MMcr

dK

IIc

Ic εε

ζε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

mit M

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

IIs

d

IIc

sII

smII ε

IIs

εκζκ KIIs

732 Zusammenfassung

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

dK

IIc

s

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

Mom

ent

109

8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

elas

tisch

e Ve

rfor

mun

g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

L250

a)

b)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

a)

b)

c)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

35

45

55

65

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

rfor

mun

g

in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

ezog

en)

30 ledLi (81)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

133

91 Zusammenfassung

Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- - 2 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        
        43 Verbund
        
        
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        
        
        8 Auswertung
        
        
        
        
        
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick

Page 5: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

II

III

1

1 Einleitung

2

1 Einleitung

3

4

5

2 Allgemeines

11

3 Stand der Technik

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

0

23

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

IS

r ecscs

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

Flachdecken 21 30

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

k1 = 056 bei L 500

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

21 21

18 27

25 40

Ber

echn

ung

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Druckfestigkeit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Die Ermzahl nac

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

mit dem Fak

Tafel 42 Faksind

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

t-Dehnungsbe

l

=mit 0 8iα

31)8

eziehung [Zilc

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

+ sdot +8 0 2 ck (f

pannung

hZehetmaier

1000

der Gesteins

+ le8 88 1)

ndash 06]

koumlrnung nach

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

mmung derstigkeit

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

mmern

n zeitab-

Zugfestigkeit

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

41 Beton 27

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

a) b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

Kriechen

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

hhRH

H (417)

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

41 Beton 31

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

++sdot= (421)

Schwinden

41 Beton 33

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

mit 6

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

43 Verbund 35

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

43 Verbund 37

39

ϕ=minusdxdw (51)

2

dxwd

=κ (52)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

z Id s

2d s

1

d h

s

ssssI

dhdhzρρρ

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Zustand I

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

=

(517)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

s

sssSs

dhdhzρ

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρρ

ρρρ

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

ss

sIss

cc IEMzNM

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

Platten

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Balken

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

1

s

sccsIcs z

dcsI

csIIcs

6040 (530)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

Kraft beschreibt

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

1 21 2

sdot sdot sdot sdot

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

ε δδ

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

= ε (544)

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Zustand I I

I

ecsIcs I

Zustand II II

II

ecsIIcs I

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

( )( ) ( )ϕρρααε

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

sII )1(6

d6040 csI

csIIcs

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

=

hcc 12 εεκ minus

=

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

12

122 23 (567)

hcc 21 εεκ minus

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

tIII

kIIIkIII

0 (571)

I ca 095

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

541 Allgemeines

mit s

smss σ

σσαΔ

s

sm

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

ατ sdot=

int=Δx

bs

s dxxd

x0

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

rk

⎤⎢⎣

⎡minus

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

ss

umssm AE

Tsdot

Issm εε = (583a)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

3031)( (583b)

srIIsrt

( ) 130

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

I ) I

srIIsrt

IIs

IIsr

)()( seffsctmIsr

IIs

IIsrI

sIsr σ

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

( )2

II II Ism s t sr sr

ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

( )Isr

IIsrt

mit IIs

IIsr

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

IIs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

551 Zustand I

Elastisch

Kriechen

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

csscAEF (5105)

Beispiele

552 Zustand II

Elastisch

Kriechen

celel

oceloelx+

+

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

ϕρεϕρεσ

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

Schwinden

73

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

XXXX

(624)

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

ραρα

ξξξξαβ (633)

1)()()2(2

2221221

22221221211

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

ccm

ccsc AE

N )1( 111

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

minus= rarr

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

)1()1(

211

12212 ϕρ

=ccm

ccmcc IE

IEMM

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm c

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E Iz z F F

ρ ϕρ ϕ

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

= (665)

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

⎠

⎞⎜⎜⎝

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

xd

xh sIIβ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

ραρα

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

12122211

221012201 δδδδ

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

h 2h 1

h Sh G

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

- Zustand II

[

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

dhAEhAEhAEhAEx

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

zz IIEE

Mβββ

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

222

322

321

2 32)(2

ccG

= (6143)

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

⎩⎨⎧

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

605

13 18

C 2025

C 3545

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Verfo

rmun

g [c

m]

95

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

22)(

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

20 0 0w( ) C= rarr =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

κ κ

κκ κ

(710)

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

3 232

4 2 2 23

sdot

4 33 42

2 2 233

sdotsdot

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

LI2 LIILI2

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

31 23

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

κ κτ

κ κ κ

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

2

1 22I

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

2

3 42IIm

2IImII

cscrIcsA

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

71 Allgemeines

99

cscrIcs

242 2 2 2

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

( ) mIIcs

mIIcs

81

21)2( (717)

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

( )nnn

L

424243

)( (719)

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

sumint=

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

22 RF

mIIcsIIRF

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

s cd

ε εκ

minus= (729)

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

1II II

s s( )

mit IIs

IIsr

t σσ

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

)1()1( (737)

MMcr

dK

IIc

Ic εε

ζε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

mit M

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

IIs

d

IIc

sII

smII ε

IIs

εκζκ KIIs

732 Zusammenfassung

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

dK

IIc

s

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

Mom

ent

109

8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

elas

tisch

e Ve

rfor

mun

g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

L250

a)

b)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

a)

b)

c)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

35

45

55

65

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

rfor

mun

g

in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

ezog

en)

30 ledLi (81)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

133

91 Zusammenfassung

Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- - 2 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        
        43 Verbund
        
        
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        
        
        8 Auswertung
        
        
        
        
        
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick

Page 6: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen

III

1

1 Einleitung

2

1 Einleitung

3

4

5

2 Allgemeines

11

3 Stand der Technik

)(41)(841

21

mmmm

++++

=α (32)

0

23

ρρ

le⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

dL (33a)

00

0 wenn121

5111 ρρ

ρρ

ρρρ

gt⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

minus+= ckck ffK

dL (33b)

reqs

provs

yks AA

f

500310sdotasymp

σ (34)

Grenzwert L250

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

Grenzwert L500

0

10

20

30

40

50

60

70

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

DIN 1045-1 EN 1992-1 200 Nmm 2EN 1992-1 300 Nmm 2

)(1 0 t

EE cmeffc infin+

=ϕ

(38)

IS

r ecscs

elII wdhw sdot⎟

⎠⎞

sdotsdotminus

=3

70 )10750(10

201 ϕρ

ρ (311)

Flachdecken 21 30

BM

r I

(312)

mit ( )121 1251

1ss AA

k+sdot+

=ρϕ (313)

BM

r MII

(314)

mit 2

311 ⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminusminus=

MMkk

BBk cr

DI

IIM ϕ (315)

1

22

21

151ϕϕ k

dx

AA

k II

II

s

lesdot

⎟⎠⎞

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (316)

ϕϕ

ϕ

ϕϕ sdot+

sdot+=

2

13 1

1kk

k (317)

Li (in m)λi

le 40 60 80 10 29 26 23 21

le 40 60 80 10 23 19 16 14

k1 = 056 bei L 500

100 080 070 250

L 250

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

28 26 23 21 19

L 500

le 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m

16 15 14 13 13

0

21

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot=

ck

i ff

LL

dL λ (319)

MrareMcr ψ ω

le 10 12 15 24

34 40 43 47

-002 -024 -035 -040

DIN 1045-1 17 24

Kon

stru

ktio

nsre

gel EN 1992-1

21 21

18 27

25 40

Ber

echn

ung

DIN 1045-1 17 24 K

onst

rukt

ions

rege

20 20

22 22

18 23

25 31

Ber

echn

ung

23

4 Materialverhalten

41 Beton

Druckfestigkeit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

Tcc t

st 281exp)(β

325

325 R 425

425 R 525

s 038 025 020

41 Beto

ck+

=σ1

Dabei = minus1 1k

und fc d

A

Elastizi

Die Ermzahl nac

T

Der Elahaumlngige

=cmE α

0 9=mcE

on

fk

ksdot

sdotminus+minussdot

ηηη)2(

2

ie maximal

Abb 42 Las

itaumltsmodul

pannungs-Dngegangen

mit dem Fak

Tafel 42 Faksind

sdot 0 mi c mα E

(9500 +sdot ckf

cf

t-Dehnungsbe

l

=mit 0 8iα

31)8

eziehung [Zilc

koumlrnung alkstein

aumlngigkeit von

+ sdot +8 0 2 ck (f

pannung

hZehetmaier

1000

der Gesteins

+ le8 88 1)

ndash 06]

koumlrnung nach

(120) (100) (090) (070)

[DAfStb -03]

mmung derstigkeit

Werte in Klam

en Wird einwerden

25

(43)

dehnung ksichtigt

annungs-

(44)

r Kriech-

(45)

mmern

n zeitab-

Zugfestigkeit

( ) 321041 ckctm ff sdot= (47)

41 Beton 27

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

70

)100(51)100(511

hhff ctmflct sdot

sdot+sdot=

a) b)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

00100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60

Ris

smom

ent [

kNm

]

Malcov βz

Leonhardt βz

41 Beton 29

Kriechen

mit 213

10 1010011 ααϕ sdot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

+=hh

RHRH (413)

cmcm ff 816)( =β (414)

2010

0 )(101)(

ttt

eff+=β (415)

30

10

100 )(

)()( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+

minus=

tttttttt

Hc β

β (416)

mit 331

018

1500250100

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

hhRH

H (417)

Tage501)tt(2

9tt 2110

0eff0 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+sdot=

α

41 Beton 31

1 )35( cmf=α 202 )35( cmf=α 50

)()(

)(0

00 tE

tEt

tttt

c

el

crc sdot=ε

εϕ (418)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot=+=

mc

cmelccrcelcc E

Etttttt0

000 )(1)()()()( ϕεεεε (419)

ττ

dtEEE

t

cc

tt

ct sdot

partpart

sdot+minus

++sdot= int=

)()(1)1(0

00 (420)

)1()1( 00t

c

tt

ct EE

++sdot= (421)

Schwinden

41 Beton 33

mit 6

52

0

00 10

6)( minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sdotminus=cmcm

cmcmascmcas ff

fff αε

mit 6

12

10

1

)()(350)(

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+sdot

minus=minus

ttthhttt

tts

ssdsβ (426)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

sdotge

sdotltle⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotminus=

1

3

0

99250

99401551

s

sRH

RHfuumlr

RHfuumlrRHRH

β

ββ (427)

43 Verbund 35

)()1(

)( max txstxv

ss

ααϕ

ττ sdot

+= (429)

43 Verbund 37

39

ϕ=minusdxdw (51)

2

dxwd

=κ (52)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

EIGA

EA

MVN

V

000000

(55)

elc⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡sdot=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κγε

ϕκγε

(56)

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (58)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (59)

12

1122 )(

ss

ssssSs AA

AdhAdz+

sum sdotsdot=j

isicc

Sc zAA

z1

z Id s

2d s

1

d h

s

ssssI

dhdhzρρρ

=2

)2()2( 2211 (511)

1 2 22 22

s s sII

s

( ) ( d d )z d

ρ ξ ρ ξρ

bzw

2)1(

2)2()2( 2211 hdhdh

z hs

ssssII sdotminus+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

]1[)1(1 2

ϕραρϕρα

εε

esc

sIse

csIss

IIAz

(513)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(2

ϕραρϕρα

ϕραρεεε

esc

sIse

escscs

Ics

IIAz

(514)

mit

12

3hbIcsdot

= ρ ρρsdot

s ss

I b h d d hbAA ss

s sdot+

= 21ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

]1[)1(1 3

2

ϕραξξρϕρα

εε

esc

sIIse

csIIss

IIAz

(515)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdot+sdotsdot+sdot+

]1[)1(1

)1(

32

ϕραξξρϕρα

ϕραξρεεε

esc

sIIse

escscs

IIcs

IIAz

(516)

Dabei sind

12

3dbIcsdot

= 22

21 )()( ss

sdot=

ρρρ

dbAA ss

s sdot+

= 21ρ

Zustand I

s

sss

ss

sssSs

hddhAA

AhdAdhz

ρρρ )2()2(

)2()2(

122

21

122

=

(517)

s

sss

ss

sssSc

hddhAbhAbh

AhdbhhAdhbhhz

ρρρ

=

1)2()2(

22)2(22)2(22

122

12

122

(518)

[ ]

s

sssss

ssssss

s

sss

s

sssScSs

dhdh

hddhhddhzz

ρρρρρ

ρρρ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minussdot

=minus

1)2()2(

)11(11)2()2(

1)2()2()2()2(

122

122122

(519)

mit hbAA ss

s sdot+

= 21ρ hb

Ass sdot

= 11ρ

hbAs

s sdot= 2

2ρ

Zustand II

s

sssSs

dhdhzρ

dxddhxxh

AbxAdhbxxhz

s

ss

s

ssSc

=

2

22

2

22

)2()22(

ρρ

(521)

)()22()2()()2()(

)2()22()2()2(

2

12221

2

22122

ss

ssssss

s

ss

s

sssScSs

xhdhdhdx

ddhxxhdhdhzz

ρρ

ρρρ

=

=minus (522)

mit dbAA ss

s sdot+

= 21ρ db

Ass sdot

= 11ρ

dbAs

s sdot= 2

2ρ dx

=ξ

sc κκ = ss

s

cc

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdotrarr )1( ϕρ

(523c)

I

ss

s

ss

s

cc

ccs

Issscc

zIE

MAE

NAE

Nz

sdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

sdotminus=rarr

)1(

ϕρε

κεε (523d)

ss

sIss

cc IEMzNM

)1(11

)1()1(

ϕρα

ϕραϕρα

sdot+sdotsdot+

sdotminus=rarr

cse

Iss

sc

sesIs

c

se

II

zNM

MIIMzN

II

und mit (523a) (523c) und (523d)

111

1

s s s IIcs

c c s s S s

e s c

N N N zz( )

E A E A E II I ( )

ε ρ ϕ

α ρ ϕ

sdot sdot sdot+

sdot sdot + sdot

21 1

1

Ics s s s

c c s s c cS s

E I( )

ρ ϕε

ρ ϕ

+ sdot

)1(

1)1( 2

ϕρ

ϕρε

sdot+sdot

+sdot+

sdot+

sdotsdot+

=rarr

ccsS

I

sscc

css

IEIE

zAEAE

N (524)

)1(1)1(

2

ϕρϕρρα

εε

++sdot+sdotsdot=

sdot=

ccsS

Issse

cs

ss

sss

IEIEzAEAE

N (525)

sssecs

cc

c

ss

sscs

cc

ccscc AE

NAEAE

AEN

)1(

)1()1(

εϕρραε

ϕρεϕρεε

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot

minus=sdot+sdotsdot

+= (526)

IIcSs

IIc

AAbxIxbA

12)(

3

=

sdot=

ρ

cscc εε =

Zustand I I

Iss

IccI

s z εε

κminus

= (527)

Zustand II II

IIss

IIccII

s z εε

κminus

= (528)

Platten

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

Balken

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρ s2 ρ s1

Abw

eich

ung

Netto

Bru

tto [

]

-4

-2

0

2

4

6

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

ρs2

ρs1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

1

s

sccsIcs z

dcsI

csIIcs

6040 (530)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (532)

)1()1(1

0

2111

11

11110

ϕρϕρ

εδδ

+sdot+sdotsdot

sdot+

sdotsdot=rarr

=sdot+

c

ccm

sss

ccm

ss

sscs

AA

IEzAE

AEAE

AEX

X

(533)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot=minus==

c

scse

sscscs

IzA

AEFFX21

1

111

1)1(1 ϕρρα

ε (534)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=sdot

=

c

scse

cs

ss

IzAAE

F21

11

1)1(1 ϕρρα

εε (535)

111

1

)1()1()1( ssecc

ss

s

cc

cc AE

AEAE

FAE

sdotsdot

minus=sdot+sdot

sdot= (536)

Kraft beschreibt

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

(537)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (540)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (541)

LzIE

zAE s

ccm

s

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

== 21

2112

)1(1 ϕρϕρδδ (542)

1 21 2

sdot sdot sdot sdot

0)2(0)1(

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

( )

10 12 22 12 221

12 12 11 22 12 12 11 22

2 1 1222

1

cs

( ) ( )X

X X

ε δδ

21212

22121

221

22121 )()()(

))((cczczcbccazzba

czzzbXssss

ssscs

=ε (543)

( ))(12112

222 sscs

s

zzbaXzbac

= ε (544)

cc 12 εεκ minus=

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122112 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

sdot+minus= )2(11)2(1122111 hz

IEAEXhz

IEAEX s

ccmccms

ccmccmcsc

Zustand I I

I

ecsIcs I

Zustand II II

II

ecsIIcs I

ceffcm

1s1sIcs IE

zFsdot

sdot=κ

( )( ) ( )ϕρρααε

sdotsdotsdotminus=

1IzA11IzA

c21sc1se

1seffe

1seffeI

1hd50

ραρα

ξsdot+

sdotsdot+= (550a)

2I1seffe

2Ld

ksf cssII

IIcs sdotsdotsdot=

ε (551)

sII )1(6

d6040 csI

csIIcs

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

110

)1()1( ϕρσϕρεδ (553)

LzIM

AN

EL

EL s

cccmcm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+sdot

220

)1()1( ϕρσϕρεδ (554)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 11

111

)1(11 ϕρϕρδ (555)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdotsdot+

+sdotsdot+

+sdot

= 22

222

)1(11 ϕρϕρδ (556)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotsdot

sdotsdot+

+sdotsdot+

== 21211211 ϕρϕρδδ (557)

asdotsdot+

=ϕρ1

ccm IEb

sdotsdot+

=ϕρ1 sowie

11

1ss AE

csdot

= 2

21

ss AEc

sdot= erhaumllt man

00

22221120

12211110

=sdot+sdot+

δδδδδδ

XXXX

212

122

21212

21

1222121 )()()(

)()(cczczcbccazzba

zMcbNcaMzNzzbaXssss

ssss

= (558)

22

211

22

202 δ

δδδ

21212

2

121 )()(

)(cccczba

zMbNacXs

s

=

hcc 12 εεκ minus

=

LxdIE

xhNMAE

N

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

10ϕρϕρδ (562)

LdxIE

xhNMAE

Ns

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot

+sdot

sdot+sdot= )2()1())22(()1(

220ϕρϕρδ (563)

LIE

xdAEAE ccmccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

111

)2()1(11 ϕρϕρδ (564)

LIE

dxAEAE ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minussdotsdot++

sdotsdot+

+sdot

=2

2

222

)2()1(11 ϕρϕρδ (565)

LdxxdIEAE s

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

sdotsdot+

+sdotsdot+

== )2()2(1122112

ϕρϕρδδ (566)

Edss

sEdEdss

NFFdFhNMdF

xerf+minus

12

122 23 (567)

hcc 21 εεκ minus

rArrccm

cc

IEtM

h sdotinfin+sdot

=minus

=))(1( 021 ϕεεκ (569)

00 ϕψ ϕ sdot+

=k

EE cm

effc (570)

tIII

kIIIkIII

0 (571)

I ca 095

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

Kriechzahl ϕ

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

5

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

0

05

1

15

2

25

0 02 04 06 08 1

Abw

eich

ung

Net

toB

rutto

[]

As2 As1

541 Allgemeines

mit s

smss σ

σσαΔ

s

sm

smss σ

σσαΔ

ΔminusΔ=

ατ sdot=

int=Δx

bs

s dxxd

x0

ses

sm dxxl

x0

)(1)( σσ

=21

s mit 111

51

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

minus+

=s

cr

FF

ααλ (574)

ss

ums AE

Tsdot

=Δε (578)

rk

⎤⎢⎣

⎡minus

302

670)3(330)( (579)

mit r 1 0 5 1 F t

Fcr

070max

)1(1ns

sumLwum rF

FTT+

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot= (581)

ss

umssm AE

Tsdot

Issm εε = (583a)

( )Isr

IIsrII

sr

IIs

IIsr

IIstII

ssm εεσ

3031)( (583b)

srIIsrt

( ) 130

srIIsrII

sIIsr

IIs

IIsr

IIst

s εεεσ

( ) 11 le

minussdotminus= II

s

Isr

IIsr

I ) I

srIIsrt

IIs

IIsr

)()( seffsctmIsr

IIs

IIsrI

sIsr σ

IIsrII

sIIsr σ

σεε sdot= (590)

( )2

II II Ism s t sr sr

ε ε β ε ε

σ σ σ σ

= minus sdot minus

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(591)

( )Isr

IIsrt

mit IIs

IIsr

01111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminussdot=

2

1 IIs

IIsr

s

IIs

mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot= II

sr

Isr

σσββ σ 1

dxdxxAE

UL bss

sesm intintsdot

IIssm

N εε sdotminus

=2

1 (595)

IIs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 00005 0001 00015 0002 00025 0003

εs

σs

551 Zustand I

Elastisch

Kriechen

)1(2)(

ϕρεε

sdot+sdot

sdot+

= cmcmumcuumcocc

AEF (5103)

Schwinden

)1(2

ϕρεε

εsdot+

sdotsdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

csscAEF (5105)

Beispiele

552 Zustand II

Elastisch

Kriechen

celel

oceloelx+

+

=κϕρκεϕρε

)1()1(

0 (5107)

ϕρεϕρεσ

))1(( cm

oceloelcctE (5108)

ϕρεσ

sdot+sdotminus= + 1

)(cm

Schwinden

73

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (61)

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

sdot+sdotsdot

minus=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmocε (62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

sdot+sdotsdot

=2

112

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccmucε (63)

)()(1)(1)(

222

1221

220

11

101

ccmsccmss

ccm

IEzAEAEIEMX

sdot+sdot+sdotsdot

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (66)

( ) 21212

22

21

0

1)(1121

1

ssE

s

I

zhz

++sdotsdotminus

=

ρα

212

1221220 1

)(2

sE

ssE dhhx

ραρα

sdot+minussdotsdot+

= (68)

Lh

IEM

ccm

Z sdotsdotsdot

=2

1

1110δ (69)

LIE

M

ccm

Z sdotsdot

minus=11

20δ (610)

030 =δ (611)

LzIE

Ms

ccm

Z sdotsdotsdot

minus= 211

40δ (612)

LhIE

hAE

hIE

hAE ccmccmccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

+sdotsdot

sdot+

sdot= 2

2112211

222

2

221

11

1

1111δ (613)

LIEIE ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

+sdot

=2211

2211δ (614)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 122

1

22133

111δ (615)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

= 211

2

11244

111δ (616)

2122

2

11

112

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot

minus= LIE

hIE

h

ccmccm

(617)

31122

2

2213

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

+sdot

minus= LzIE

hAE s

ccmccm

(618)

41211

1

1114

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotsdot

minussdot

= LzIE

hAE s

ccmccm

(619)

3222

123

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (620)

4211

224

1δδ =sdot

sdotsdot

= LIE

z

ccm

s (621)

4334 0 δδ == (622)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdot

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

minus=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡minus

40

30

20

101

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

δδδδ

XXXX

(624)

111

1ccm

A AEk

sdot=

222

1ccm

A AEk

sdot=

111

1ccm

I IEk

sdot=

222

1ccm

I IEk

sdot=

11

1ss

S AEk

sdot=

22

1ss

S AEk

sdot=

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

212 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

IBccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(632)

22

22222

2

212

2

12

22

2

1

2

1222

2

1

2

1

2

1

)(12)(12

31

21212

3112

hdx

hxd

hh

AA

szsE

zsE

c

cEc

IB

minussdotsdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

ραρα

ξξξξαβ (633)

1)()()2(2

2221221

22221221211

=ssEccEc

sssEccEcz AA

ddhhAAhx

ρρααρραα

(634)

cicmi

iAi AE

ksdot

sdot=

ϕρϕ

cicmi

iIi IE

ksdot

sdot=

ϕρϕ (640)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

2221

121431

121

11

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

02222 42

21232

222

22

21222 sdot+⎟⎠⎞

⎠⎞

21

12

hhccocccuc

c +minus

=εε

κ (647)

cicmi

iAi AE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

cicmi

iIi IE

ksdotsdot+

=+

ϕρϕ

11

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

02222 42

1211232

1222

122

⎠⎞

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (658)

ndash Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

ss

ss AE

N=ε

ss

ss IE

M=κ

)1( 111

ccm

ccsc AE

N )1( 111

ccm

cc IE

M

)1( 222

ccm

ccsc AE

N )1( 222

ccm

cc IE

M

21

2

1

ScSc

cc

ScSs

cs

ScSs

cs

zzzzzz minusminus

=minusminus

1 21 2

1 1 2 21 1 s c c

s s cm c cm c

M M M( ) ( )

sdot sdot sdot

1 1 2 21 2

1 21 1cm c cm c

c s c ss s s s

E I E IM M M M

2 1

1 1 2 22 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1

s c c

s s Sc Sc

ME I z z

E I E I N ( ) N ( )M ( )

z z z z E A E A

ε ε

minus= rarr

22

112

Nc

k

Nc

Nccc F

FFFNN +sdot=

mit ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1211

111 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

sdot+minusminus= ss

ccmccm

zzAEzzF

2

22

1

11

1222

222 11)(

1)(ϕρϕρ

ϕρ (660b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus

sdot+sdot

minussdot+sdot

minussdotminusminus

= ssccmccm

ScSc

cscsk IEIEIE

zzF

2

22

1

11

12

)1()1(

211

12212 ϕρ

=ccm

ccmcc IE

IEMM

(1) 0=sumN

11 1

2 2

1 21 2

0

11

Nc kc c s

Nc Nc

c s k NcNc Nc

F FN N N

F F

N ( N F F )F F

+ sdot + + = rarr

= sdot minus minus+

2 2 11 1 2 1 1 2

1 1 2

1 2 21 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2

1 1 2

(1 )( ) ( )

(1 )1 ( ) ( )

(1 ) 1 11

(1 )

cm c

cm c Nc Nc Nc Nc

cm c

E Iz z F F

ρ ϕρ ϕ

ss

s

ccm

c

IEM

sdot=sdot+sdot

sdot)1( 1

11

1 ϕρ

)()1(

)(

1111

11

ScSsss

s

ss

s

ccm

ccs

ScSssc

zzIE

MAE

NAE

Nzz

minussdotsdot

minussdot

=sdot+sdotsdot

+rarr

minussdotminus=

ϕρε

κεε

mit

1

1 1 2 2

1 2

1 1

Mss s cm c cm c

FE I E I E I

ρ ϕ ρ ϕ

minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +

(661a)

2

22

1

11

21

212

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+minus

minusminus=

ccmccm

NcNc

ScScScSs

Ns IEIEFF

zzzzF (661b)

2

22

1

11

21

221

11

1)(

ϕρϕρ sdot+sdot

+sdot+sdot

+sdotminus

=ccmccm

NcNc

NckScSc

C IEIEFF

FFzzF (661c)

NsMsss

ScSs

ssccNcNc

CMsss

ScSs

ccNcNc

Nckcs

sss

FFIEzz

AEAEFF

FFIEzz

AEFFFF

AE sdotsdotsdot

minusminus

sdotminus

sdotsdot+

sdot+

minus

sdotsdotsdot

minusminus

sdotsdot+

sdot+

+minussdot

sdot=

1

11

1

21

1

11

1

21

111

1

11

1

ϕρ

ϕρεε (662)

21

2

11

111 1

1

NcNc

sssNck

ccmcsc FF

AEFFAE +

sdotsdot+

+=εϕρεε (663)

1

ScSs

cscs zz minus

minus=

εεκ (664)

[ ]112222

1122

0 )(2)(1ssscmssss

cm

AEdhbEAEAEbE

= (665)

2122

12212212

2

0 12)( sEs

sEsE hd

⎠

⎞⎜⎜⎝

IIxccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (667)

mit 12

302

2xbI xc

sdot= und

2660

1

0

xd

xh sIIβ

0 0

0

z z

z

x xxσ

κ κκ κ

sdot + sdot=

+ (668)

1)()()2(2

2221221

22221201211

=xsxsExccEc

sxsxsExccEcz AA

ddxhAAhx

ρρααρραα

(669)

IIxxccm

zz IE

Mβ

κsdotsdot

=22

(670)

20

22

22220

2

212

12

1

)(12)(12

31

21212

3112

xdx

xxd

AA

szxsE

zxsE

xxxxxxxxxxxxxxc

cEc

IIx

minussdotsdot+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

ραρα

320

02σσ xxxe Bc

minus+=minus (673)

xccm

Bc

xccm

Bc

ccm

Z

AENx

IEMh

IEM

22

02

22

021

1110 22 sdot

minussdotsdot

+sdotsdot

xccm

Bc

ccm

Z

IEM

22

02

1120 sdot

+sdot

xccm

Bcs

xccm

Bc

AEN

zIE

M

22

021

22

0230 sdot

+sdotsdot

211

40 sccm

Z zIE

Msdot

sdotminus=δ (678)

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

⎟⎠⎞

⎠⎞

20

22221

121431

121

11

111

022222 42123222212022022 sdot+⎟

⎠

⎞⎜⎝

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

422123

222222122022022

sdot+⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

XxhkzkX

xhkXxhkxkXxhkMkN

IsA

IIAIBcABczuc

σ

σσσσε (682)

21

12

hhzoczuc

z +minus

=εε

κ (685)

1111

1 2bhF BucBoc

Bc sdotsdot+

=σσ

(686)

22

2 2bxF Boc

Bc sdotsdot= σ

σ (687)

11

1

111

2hFI

AF

eBc

c

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= σ (688)

σ

σxF

IAF

eBc

xc

BcBocBc sdot

sdotminussdot⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

2

222

2 (689)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ sdotsdot+⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

⎟⎠

⎞⎜⎝

02222

112143

112

11

111

1111111

02

2222

41

2123

122

12

121

1222212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

kzkX

xkX

xk

xkX

xkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcoc

ϕ

ϕϕϕϕϕε (696)

0)2

(

)2

()2

(2

)2

(

41

22123

1222

122

121

1220220212

sdot+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

Xx

hkzkX

xhkX

xhk

xkX

xhkMkN

cIsA

cI

cA

cIBcABcuc

ϕϕ

ϕϕϕϕϕε(697)

2122122

1222 )()(

hxucBucocBoc

ocBoc sdot+minus+

+=

εεεεεε

(698)

2122122

122

)()(hx

nucBucnocBoc

nocBocn sdot

+minus++

=minusminus

minus

εεεεεε

(699)

ncmA xbE

ksdotsdot

sdot=

22

ϕρϕ

12322

22

ncmI xbE

ksdotsdot

sdot=

21

12

hhnocnuc

c +minus

=εε

κ (6100)

TQS 1 TQS 2

Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25

Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15

Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25

Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25

2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)

σϕϕρ xbAmit

AEk xc

xccmA sdot=

sdotsdot+

=+ 2222

212

1 12

1 32

222

212

σϕ

ϕρ xbImitIE

k xcxccm

Isdot

=sdotsdot+

=+

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

⎟⎠⎞

⎠⎞

0222

11121143

1112

111

111111

02222 41211231221212122 sdotminus⎟

⎠⎞

σϕϕ

σϕ

σϕεε (6107)

0)2

(

)2

()2

(2

42121123

212221212122

sdotminus⎟⎠⎞

⎟⎠⎞

⎠⎞

++

+++

XxhkzkX

xhkXxhkxkX

IsA

IIAcssuc

σϕϕ

σϕ

σϕεε

(6108)

21

12

hhcsoccsuc

s +minus

=εε

κ (6111)

- Bewehrung 12

112122 )(

ss

ssssSs AA

AdhhAdz+

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot= 1

22

010δ (6115)

LzIE

Ms

ccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus= 2

22

020δ (6116)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmss

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 1

22

1

22111

111δ (6117)

LzIE

zAEAE s

ccm

s

ccmOGs

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdot= 2

22

2

2222

111δ (6118)

LzzIEAE ss

ccmccm

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdot== 21

22222112

11δδ (6119)

12122211

221012201 δδδδ

=X (6120)

11221212

121011202 δδδδ

=X (6121)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+sdot

sdotminus=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmocε (6122)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdotminus

sdotsdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot

sdot+

sdotsdot+sdot

sdot=

21

22

2

222

2

22

1

221

2

22

002

hIE

zAE

XhIE

zAE

XhIE

M

ccm

s

ccmccm

s

ccmccmucε (6123)

1

101

sss AE

Xsdot

minus=ε (6124)

OGsOG AE

Xsdot

minus= 20ε (6125)

2

02020 h

ocuc εεκ

minus= (6126)

1)()(2

22212

12221221220 +sdot+sdot

OGEsE

sOGEssE hddhhx

ραραραρα

(6127)

Iccm IE

M

022

00 β

κsdotsdot

= (6128)

mit

48463344

633444

22

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

xxsss

xxxOG

sssxxxsE

I

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

ξξξξξρ

ξξξραβ

(6129)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdotminus

2

212

2

12212

2221

222212

2

2)()(h

dhh

dhhx s

OGs

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛sdotminus⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

222

2

1

2

1

2

122

222120

63344

633444

hd

hh

hd

hh

hd

hh

hd

sssxxxOG

sssxxxsE

II

ξξξρ

ξξξραβ

(6131)

h 2h 1

h Sh G

- Zustand I

12222

121222220

)(22

ssccmGccm

sssccmGGccmI

AEAEAEdhAEhAEhAE

xsdot+sdot+sdot

- Zustand II

[

minus=

)(22

1

12122222

122

12222

0

sssGcmGccmssGccm

ssGccmcm

II

dhAEhEAEbAEAE

AEAEEb

x (6133)

( )222

00

cccGcGcm IIEM

ββκ

Hierbei sind

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sdot==12

1452423

xG

xGxGxGIIcG

IcG ξ

ξξξββ (6135)

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122

222 h

dhd

hd sss

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

12

222122 h

dhd

hd sss

12222111

12122222111

2)(222

ssccmGccmccm

dhAEhAEhAEhAEx

= (6138)

[

( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

minus=

)()(22

2

1

212121

2211122

212211

21221122

ssssss

GcmGcccmcmssGccmccm

ssssGccmccmcm

IIz

dhAEdhAEhEAhAE

EbAEAEAE

AEAEAEAEEb

x

(6139)

zz IIEE

Mβββ

= (6140)

Dabei ist

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2

1

21

21121

21

211 h

dhd

hd sss

222

322

321

2 32)(2

ccG

= (6143)

2

222

221

2 22)(2

c

Gc A

hbhbbesdot

⎩⎨⎧

=G

GGGxc hxfuumlrbx

hxfuumlrbhxbhA

1

212

)( (6145)

⎪⎩

⎪⎨⎧

lesdot

=

G

GxcxcG

xc

hxfuumlrbx

hxfuumlreAxbhbbI

1232)(2

13

222

32

321

2 (6146)

⎪⎩

⎪⎨⎧

le

gtsdot

sdot+sdotminussdot=

G

Gxc

G

xc

hxfuumlrx

hxfuumlrA

xbhbbe

22

2)(2

2

22

221

2 (6147)

605

13 18

C 2025

C 3545

0

05

1

15

2

25

3

35

4

Verfo

rmun

g [c

m]

95

int intint int

int int

==

=sdot

LL

L

dxxdxEI

xMwbzw

dxxMwEI

00

0

)()(

)(

κ

(71)

22)(

2 31

1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C

⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)

⎟⎠⎞

43

121

61

2)( CxCxxL

EIfxw (74)

3 3 3

1 112 0 0

2 8 24 12f L L Lw (L ) C C

EI⎛ ⎞

20 0 0w( ) C= rarr =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

EIfxw

12121

61

2)(

343 (75)

EILfLw

4

3845)2( sdot

sdot= (76)

fMLLx cr

cr sdotminus= 242

2

m (77)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot=

ceffctelcr A

NfWM (78)

1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )b a

x ( x L ) x (L x )κ κ

L Lκ κsdot sdot

rarr = = minus

2

22

01

4 2 4 2 2

I Icr cr

crcr cr cr cr

IIm IIm

cr

x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )

κ κ

κκ κ

(710)

Bereich 1

xLxx

xxxLx

xxwcrcr

crI

crcr

crI

sdotminussdot

+sdotminussdot

minus=)1(

)()(

)()( 2 κκ

71 Allgemeines

97

3 213 2 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w ( x ) x x C

4 31 2

412 6 1

I Icr cr

cr cr cr cr

( x ) ( x )w( x ) x x C x C

Bereich 2

22

4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL

3 232

4 2 2 23

sdot

4 33 42

2 2 233

sdotsdot

int sdot=L

A dxxxM0

)()( κτ (711)

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

crI

crmII

IIImII

III

Lxcr xcr

A

__ M(x)

1-xcrL xcr

LI2 LIILI2

RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C

RB 2 0)2(2 =Lw

3 232

4 2 2 22 2 03

31 23

RB 3 Aw τ=)0(1

( ) ( ))()(61)2()2(

31)2(

31

1 crI

crmII

IIImII

4 3

4 342

412 6 1

2 2 2 1 23 33

I Icr cr

IIm IImIIm

cr cr cr

κ κτ

κ κ κ

3 2

4

4 3 2

2

12 6 1 6 6

2 2 2 2 3 3 33

cr cr

cr cr cr crIIm

x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )

x x x L x(L ) LL

κ κ

κ

⎩⎨⎧

leleltle

==2

0)()(

Lxxfuumlrxxfuumlr

xwxcr

mIIcs

crIcs

cscs κκ

κ (713)

Bereich 1

Icscs xw κ=)( 1

2

1 22I

Bereich 2

mIIcscs xw κ=)( 3

2

3 42IIm

2IImII

cscrIcsA

RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C

71 Allgemeines

99

cscrIcs

242 2 2 2

( )2

43

2cr I IIm IIm

cs cs cs crx

C L xκ κ κsdot

int sdot=L

dxxxMLw0

)()()2( κ (715)

( ) ( )

( ) ( )IIIcrI

crmII

II

IIIImII

III

LLxxL

LLLLLLLLw

4)()(481

85)2()2(481)2(

485)2( 2

κκ

κκκ (716)

( ) mIIcs

mIIcs

81

21)2( (717)

int+

+sdot+sdotasymphx

x

yyyhdxxf2

210

0

)4(3)( (718)

( )nnn

L

424243

)( (719)

⎩⎨⎧

leltminuslele

=LxLfuumlrxL

LxfuumlrxxM

22202

)( (720)

sumint=

iiii

L

hxfxfhxfhdxxxM10

)60(5)(8)60(59

)()( κ (721)

mit 2

121

LfL

MMV qsqsSqsS

qsS

sdot+

minus=

( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)

MS1 MS2

MF

L

LK1 LE LK2

fK1 fK2

fE

22

2EcrEE

cr

LfMLL

x lesdot

minus⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus= (724)

crIE xL sdot= 2 crE

( ) ( )

( ) ( )crIIEcr

Icr

mIIIIE

crIIEE

IE

mIIIIEEE

IE

xLxxL

xLLLLLLf

8)()(481

165)2()2(481)2(

485 2

κκ

κκκ (725)

Kqs

crEEcr L

fMLLx le

sdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+minus=

222

2

(726)

crIK xL = crK

IIK xLL minus=

( ))()(4

)(4

22

crmII

crIcr

KmIIK

22 RF

mIIcsIIRF

II RF

RF

LL

sum

kI

kII

0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555

s cd

ε εκ

minus= (729)

d

mIIc

mIIsmII εε

κminus

= (730)

ζεε

εε

== IIc

mIIc

IIs

mIIs (731)

d

IIc

mIIsmII εε

κminus

= (732)

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2

1 15 2 25 3 35 4

M Mcr

IIεsII = εsr

IεsI = σsr

IIσsII

1II II

s s( )

mit IIs

IIsr

t σσ

IIII

cII

cI

sII

smII

dκζκζ

)1()1( (737)

MMcr

dK

IIc

Ic εε

ζε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

11 βζ (740)

mit M

MMcr

t sdot= ββ

somit 2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

MMcrβζ (741)

1111 ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

yd

IIs

IIsr

IIs

fσ

σσβσ (742)

sssm εζε sdot=

mit IIs

ums F

IIs

d

IIc

sII

smII ε

IIs

εκζκ KIIs

732 Zusammenfassung

AfS

tb-H

525

ndash 03

]

[CEB

FIP

ndash 9

1] M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎠

⎞⎜⎜⎝

MM

MM crcr

t 31130

1130

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[EN

192

2-1-

1 ndash

04]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MMcr

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdotminus=

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Kruuml

gerM

ertz

sch

ndash 06

]

MMcr

t sdotminus= βζ 1

MM

fcr

yd

IIs

IIsr

IIs

t sdot⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdot⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=

σσσ

β 111

dK

IIc

Ic εε

ζε

minussdotminus= )1(

[Tue

ndash 9

3] II

s

umts F

Tsdotminus= βζ 1

dK

IIc

s

[Noa

kow

ski

ndash 88

]

ts βζ minus= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015

Mom

ent

109

8 Auswertung

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

erf

Nut

zhoumlh

e [c

m]

0

10

20

30

40

50

elas

tisch

e Ve

rfor

mun

g [m

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ges

amtv

erfo

rmun

g [m

m]

L250

a)

b)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

a)

b)

c)

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

0

250

500

750

1000

Verfo

rmun

g L

000 2000 4000 6000 8000 100001200014000

220 420

100)()500(

[]1

11 sdot=

yks

ss fρ

ρρ

0

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 21

Bst 420 03 117 186

Bst 220 057 68 122

1 2 30

5

10

15

20

25

30

Bst 500 025 136 27

Bst 420 03 117 247

Bst 220 057 68 185

r_s1 w_el w_gesamt

000 2000 4000 6000 8000 10000

12000

220 420

500

500330670

5005050

wf

w

yk

ykfyk

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+le

sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+ge

0

20

40

60

80

100

120

220 420Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0 20

40 60

80 100

120

220 420

Streckgrenze

bezo

gene

Dur

chbi

egun

g [

]

0

1

2

3

4

5

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

200

400

600

800

1000

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

a

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

b

80

100

120

20 22 24

Druckfestigkeit

bezo

gene

Abw

eich

ung

0

05

1

15

2

25

3

35

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[mm

]

22 24000

100

200

300

400

500

600

700

f_ck

Verk

lein

erun

g de

r D

urch

bieg

ung

[]

22 24

35

45

55

65

Dur

chbi

egun

g in

[mm

]

050

100

150200250300

350400450

10 15 20 25 30 35 40 45 50

fck

Fest

igke

it un

d Ve

rfor

mun

g

in P

roze

nt (a

uf C

20

25 b

ezog

en)

30 ledLi (81)

d [cm]

L w

ψ

L [m]

d [cm]

L w

fck [Nmm2]

133

91 Zusammenfassung

Titelseite13
Vorwort
Zusammenfassung
Inhalt
1 Einleitung
- - 2 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        4 Materialverhalten
        
        41 Beton
        
        
        43 Verbund
        
        
        
        
        
        
        
        
        61 Allgemeines
        
        
        
        
        
        
        71 Allgemeines
        
        
        
        8 Auswertung
        
        
        
        
        
        
        
        91 Zusammenfassung
        
        92 Ausblick

Date post:	17-Mar-2021
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Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer … · 2020. 12. 9. · Beitrag...

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