Beispiele fiir Priifungsaufgaben

In derschriftlichen Priifung sind 15 miteiminder zusammenhangende Fragen in 4 Stunden zu beantworten. In eckigen Klammern ist die Anzahl der Punkte fiir die jeweilige Frage angege­ben. Diese Zahlen werden dem Priifling vorher genannt.

Variante 1

(1) x = - sin x + e cos t

I. Es sei e = O. 1. Man linearisiere im Punkt x = n, x = O. [1] 2.'Ist diese Gleichgewichtslage stabil? [1] 3. Man gebe die Jacobi-Matrix der Transformation des Phasenflusses nach der Zeit t = 2n

im Punkt x = n, x = 0 an. [3] 4. Man finde die Ableitung der Losung mit der Anfangsbedingung x = n, x = 0 nach e

fiir e = O. [5] 5. Man zeichne die Graphen der Losung und ihrer Ableitung nach t mit der Anfangsbedin-

gung x = 0, x = 2 [3] 6. Man finde diese Losung. [3]

II. Es sei (2) die Gleichung der Variationen langs der Losung 5. 7. Hat die Gleichung (2) unbeschrankte Losungen? [8] 8. Hat die Gleichung (2) eine von 0 verschiedene beschrankte Losung? [8] 9. Man gebe die Wronski-Determinante eines Fundamentalsystems von Losungen der Glei-

chung (2) an, wenn W(O) = 1 ist. [5] 10. Man schreibe die Gleichung (2) auf und lOse sie. [10] 11. Man finde die Eigenwerte und Eigenvektoren des Monodromieoperators fiir die Glei-

chung der Variationen liings der Losung mit den Anfangswerten x = n/2, x = o. [16] 12. Man zeige, daB die Gleichung (1) eine 2n-periodische Losung hat, die glatt von e abhiingt

und fiir e = 0 zu x = n wird. [6] 13. Man finde die AbleituI,lg dieser Losung nach e fiir e = O. [6]

III. Wir betrachten die Gleichung Ut + UU'" = -sin x. 14. Man gebe die Gleichung der Charakteristiken an. [2] 15. Man finde den groBten Wert fiir t, bei dem die Losung des Cauchyschen Anfangswert-

problems fiir Ult=o = 0 auf [0, t) fortsetzbar ist. [8J

310 BeispieIe fUr Priifungsaufgaben

Variante 2

I. Ein Vektorfeld im dreidimensionalen Raum habe in 0 eine Singularitat, einer der Eigen­werte sei 0 und die anderen beiden seien imaginar.

1. Man stelle die Glieder erster Ordnung der Taylorentwicklung in 0 der Komponenten des Feldes in Normalform dar. [1]

2. Desgleichen fur Glieder zweiter Ordnung. [3] 3. Desgleichen fur Glieder beliebiger Ordnung. [8] 4. Man mittIe 9-as System uber eine schnelle Drehung, die durch den !inearen Bestandteil

des Feldes gegeben ist. [12]

II. Es sei eine einparametrige Familie von Feldern gegeben, die das Feld aus I. fur den Para­meterwert 0 enthalt.

5. Durch einen glatt in einer Umgebung von 0 vomParameter abhangigen Diffeomorphis­mus ist ein Abschnitt der Taylorreihe der Felder der Familie in 0 auf moglichst einfache Form zu bringen. [10]

6. Auf diese Familie ist die Mittlung iiber eine schnelle Drehung anzuwenden, die durch den Iinearen Teil des Ausgangsfeldes gegeben ist. [20]

III. 1m Raum der 1-Jets von Vektorfeldern im dreidimensionalen Raum betrachten wir die Mannigfaltigkeit der Jets mit einem verschwindenden und zwei rein imaginaren Eigenwerten in der Singularitat. '

7. Man finde die Kodimension dieser Mannigfaltigkeit. [2] 8. Man gebe die Transversalitatsbedingung zu dieser Mannigfaltigkeit fur die in 5. gefundene

Form der Familie an. [8] 9. Man untersuche die Bifurkationen der singularen Punkte in zweiparametrigen Familien

in allgemeiner Lage, die transversal zur betrachteten Mannigfaltigkeit sind. [10] 10. Man untersuche die Bifurkationen der Zyklen aus diesen singularen Punkten. [15] 11. Man untersuche die Existenz und Glattheit der Phasenkurve, die diese singularen Punkte

verbindet. [15]

IV. In der Ebene sei eine Gerade· durch 0 markiert. Einen Diffeomorphismus der Ebene nennen wir markiert, wenn er diese Gerade in sich uberfuhrt. Ein Vektorfeld nennen wir mar­kiert, wenn es die markierte Gerade in allen Punkten beruhrt. Es sei ein markiertes Feld mit einer Singularitat in 0 und zwei verschwindenden Eigenwerten gegeben.

12. Man uberfuhre einen Abschnitt der Taylorreihe in 0 in eine moglichst einfache Form mit Hilfe eines zulassigen Diffeomorphismus. [12]

13. Man uberfuhre eine Familie zulassiger Felder, die eine Deformation des gegebenen Fel­des ist, in die formale Normalform mit Hilfe formaler Diffeomorphismen, die formal glatt von Parametern aus einer Umgebung der 0 abhangen. [16]

14. Man untersuche die Bifurkationen singularer Punkte in Familien in allgemeiner Lage, die man aus den N ormalformen der Aufgabe 13 durch Weglassen von Gliedern hoherer Ordnung erhalt. [18]

15. Man wende die Ergebnisse der Aufgaben 12 bis 14 auf die Untersuchung der Bifurkatio-nen des Phasenbildes eines Feldes mit einem verschwindenden und zwei rein imaginaren Eigen­werten an. [25]

Zusatzaufgaben

1. Z = ez + Az Izl2 + Z3. Fur Re A > 1 sind Grenzzykel ~ 1.

Hinweis. Man dividiere das Feld durch zZ; div P(z, z) = 2 Re (oPjoz).

2. Es sei A = (3 + i) Vii. 1st arg e = 5:rcj4, so ist die singulare Separatrix jedes Sattelkno­tens die nichtsingulare der nachsten.

Beispiele fiir Priifungsaufgaben 311

Hinweis. Beim Verschmelzen eines Sattels mit einem Knoten kann man die Gleichung auf die Gestalt w = eW[Rw(lwI2 - 1) + i(w - w2)], A = (R - i) eiB bringen. 1st R = 2, 8 = 11,/4, so sind die Separatrizen Geraden.

3. Man untersuche die Kurven, die die Gebiete der A-Werte voneinander trennen, wobei die singuliiren Punkte bei der Anderung von arg e auf dem Zykel, innerhalb und auBerhalb verschmelzen.

Hinweis. Bei Anderung von 8 dreht das Feld. Die Kurven liegen ungefahr wie die vier Parabeln a2 = 2(±b ± 1), A = a + bi.

4. Fiir kleine IRe Al und 1 < 11m Al < e ~ 4,35 hat die Gleichung aus Aufgabe 1 mit pas­sendem e zwei Grenzzykel, in denen neun singulare Punkte liegen, und fUr 11m Al > e einen (A. I. NEJSTADT).

5. Das System x = X(lX + ax + by), y = y(fJ + ex + dy) hat keine Grenzzykel. Hinweis. Beim Verlust der Stabilitat eines Strudels hat das System ein erstes Integral:

das Produkt der Potenzen dreier linearer Funktionen (N. N. BAUTIN).

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Namen- und Sachverzeichnis

Abbildungskeim 210 Absolute 130 adiabatische Invariante 160 ANDRONOV, A. A. 249, 253 Anfangsmannigfaltigkeit 82 ANOSOV, D. V. 126, 128, 133, 154 Anosov-Systeme 125, 129, 135 aquivariante Vektorfelder auf der Ebene 273 ARCIMOVIC, L. A. 162 ARNOL'D, V. 1. 110, 153, 158, 162, 163, 240,

257,263,294,304,306 Auflosung der Singularitaten 20 Ausartung von geschlossenen Phasenkurven

264

BABIN, A. V. 255 DE BAGGIS, H. F. 97 BARENBLAT, G. 1. 268 BAUTIN, N. N. 311 BELAGA, E. G. 189 BERNSTEJN, D. N. 219 Bifurkationen 206, 244, 245, 298, 302 Bifurkationsdiagramme 228 Bifurkationspunkt 243, 248 Billard-Systeme 134 Blatterung 126 BOGDANOV, R. 1. 263, 279, 281, 283 BOGOMOLOV, F. A. 304 BOL, G. 62, 102 BOLTZMANN, L. 134 Brennpunkt 86 BRpDSKIJ, Ju. A. 39 BRJUNO, A. D. 180,296,297,298,306 BRUSLINSKAJA, N. N. 254, 295 BUNIMOVIC, L. A. 134

CAMACHO, C. 294 CARTAN, E. 62 CASUGA,T. 154, 155

Cauchysches Problem 71, 80, 82 CHAJKIN, S. E. 253 Charakteristik 65 charakteristisches Richtungsfeld 70 CHAZIN, L. G. 307 CHOROZOV, E. 1. 261, 289 CHOVANSKIJ, A. G. 219 Clairautsche Gleichung 29

Deformation, minitransversale 224 -, miniverselle 222, 223 -, topologisch verselle 246 -, verselle 206, 222, 223, 274, 294 Dekrement 231, 232 DENJOY, H. 97,106 Diskriminantenkurve 27, 35 DurchlaBkoeffizient 46 DYCHNE, A. M. 164 dynamisches System 91

EBIN, D. G. 257 EGOROV, Ju. V. 209 Eikonalgleichung 86 EULER, L. 179

Fastadiabatische Invariante 163 FEDORJUK, M. V. 164

GALIN, D. M. 229, 230 GAUSS, C. F. 140 gebundene Zustande 50 gemittelte Gleichung 142 -s Vektorfeld 165 geodatischer FluB 132 GERCENSTEJN, S.JA.291 Gleichverteilung von Losungen 99 GORIN, E. A. 305 Guckenheimer, J. 294

Hamilton-Jacobi-Gleichung 85 HEN ON, M. 257

Hillsche Gleichungen 51 HmscH, M. W. 249, 253 homogene Gleichungen 15 homologische Gleichung 113, 122, 172, 185 HOPF, E. 254, 297 hydrodynamische Stabilitat 254 hyperbolische Theorie 118

IL'JASENKO, Ju. S. 188, 294, 301, 304, 306, 307

implizite Gleichungen 25, 35 Inkrement 232 Integralflachen von Richtungsfeldern 63 Integrierbarkeitsbedingung von FROBENIUS

87

Jacobi-Mannigfaltigkeit 192 Jet 210, 212, 305 Jet-Raum 211, 212

Kaustik 86 kleine Nenner 114 KOLMOGOROV, A. N. 110,116,157 KONDRAT'EV, V. A. 209 Kontaktdifferentialform 73 Kontaktebene 26 Kontaktmannigfaltigkeit 72 Kontaktstrukturen 74 KotangentialbiindeI 85 KOZJAKIN, V. S. 291 Kriminante 35 KusNmENKo, A. G. 219 KUIPER, N. H. 294

LADIs, N. N. 294 LAGRANGE,J.L.102 Lagrange-Unterraum 77 LANDAU, L. D. 260 Legendre-Transformation 29, 33 LENARD, A. 164 LEONTOVIC-ANDRONOV A, E. A. 253 LIE, S. 61 LIFSCHITZ, E. M. 260 lineare Gleichung zweiter Ordnung 50 - homogene Gleichung erster Ordnung 65 - inhomogene Gleichung erster Ordnung 66 Lobacevskij-Ebene 130 Iokale qualitative Theorie 245 LORENZ, E. N. 256 LUKACKIJ, A. M. 257

MAJER, A. G. 105 MALJUTOV, M. B. 209 MARSDEN, J. E. 253, 257 MARTIN, P. C. 136, 260 Materialisierung der Resonanzen 295 MATHER, J. 126

Namen- und Sachverzeichnis 319

MAZ'JA, V. G. 209 MCCRACKEN, M. 253, 257 McLAUGHLIN, J. B. 260 MESALKIN, L. D. 110 Methode des kleinen Parameters 245 MINKOWSKI, H. 220 Mittelbildung in Hamiltonschen Systemen

157 - in monofrequenten Systemen 144 - in Seifert-Blatterungen 164 Mittelungsmethode 140 Moduli 92 Monodromieoperator 183, 263 - der Schriidinger-Gleichung 41, 45 MOSER, J. 110, 118 multifrequente Systeme 148, 154 Ml1Itiplikatoren der geschlossenen

Phasenkurve 264

NECHOROSEV, N. N. 158 NEJMARK,Ju.I. 254, 291 NEJSTADT, A. 1. 151, 153, 154, 155, 164, 311 NEWHOUSE, S. 137 Newton-Diagramm 16 nichtlineare Gleichung erster Ordnung 72 Nulistellen elliptischer Integrale 282

Optische Weglange 86 orbitweise Aquivalenz 93 Ordnung der Resonanz 171

PALAMODOV, V.P. 188 PALlS, J. 294 partielle Differentialgleichung erster

Ordnung 63 PEIXOTO, M. M. und M. S. 97 Pendel mit Reibung 23 Periode der kleinen Schwingungen 24 -n einer elliptischen Kurve 190 PETROVSKIJ, 1. G. 269 Phasenraum 12, 85 Picard-Gruppe 192 PJARTLI, A. S. 156,296,297,298,302,304 PLISS, V. A. 105, 249 PLYKIN, R. V. 257 POINCARE,H.97,106,171,206,208,249,253,

296 Poincare-Abbildung 96, 102, 183, 263, 289 Poincaresches Gebiet 177, 181 Poisseuiliesche Striimung 255 van-der-Poische Gleichung 147 Potentialtopf 40, 49 Potential wall 40 projektive Dualitat 31 PUGH, C. C. 249

32() Namen- und Sachverzeichnis

Quasihomogene Gleichungen 17 quasilineare Gleichung erster Ordnung 67,68,

70

RATNER, M. E. 156 Reflexionskoeffizient 46 Regenschirm von WHITNEY 216 reguliirer Punkt 27 - singuliirer Punkt 36 Resonanz 171, 181,283,292,297,303 Resonanzebene 177 Resonanzpunkt 149 Resonanzvektor 101, 148 Reynoldszahl 255 Richtungsfeld, homogenes 15 - im dreidimensionalen Raum 59 Rotationszahll03 RUELLE, D. 260 RUSSMANN, H. 118

SACKER, R. J. 270 Satz iiber die Anniiherung irrationaler Zahlen

durch rationale 110 von ANOSOV 121, 126, 154 von:BoREL 39 von CARTAN 176 von DENJOY 106 von FLOQUET 183 von FRPBENIUS 87 von GRAUERT 198, 200 von GROBMAN-HARTMAN 124 iiber die Gleichheit der Mittelwerte 100 von M. HERMAN 110 von II/JASENKO 301 von KOLMOGOROV 157 von NEJSTADT 153, 155 von NECHOROSEV 158 iiber (lie Normalform 36 von POINCARE 171,179,180,182 von POINCARE-ANDRONOV 252, 254 von POINCARE-DuLAQUE 174, 176, 179, 180, 182 iiber :die Reduktion analytischer Diffeo­morphismen der Kreislinie 112

- . von RIEMANN-RoCH; Spezialfall199 von'BAiw 94 von SIEGEL 179, 180, 182,187,200 voil SOSITAJSVILI 248 iiber strukturstabile Diffeomorphismen der Kreislinie 107 von TARSKI-SEIDENBERG 305 von THOM 217

schieforthogonale Ergiinzung 77 Schrodinger-Gleichung, zeitfreie (stationare)

39

SEIDENBERG, A. 305 Seifert-Bliitterungen 164 SHUB, M. 249 SIEGEL, C. L. 102, 296 Siegelsches Gebiet 177, 181 SIERPINSKI, W. 102 a-ProzeB 20, 21 SINAJ, JA. G. 128, 134, 11>6 singuliire Punkte von Funktionen auf der

reellen Geraden 305 - - von Vektorfeldern 306 akalare Invariante 57 ' SMALE,S. 126,129,137,253,262 SMIDT, V. M. 291 SNOL', E. E. 307 SOSITAJSVILI, A. N. 248, 249, 254 SPRINDZUK, V. G. 156 Stabilitiitsverlust von Gleichgewichtslagen

249 ' Standardverschiebung 299 STERNBERG,S. 180 Stratifizierung 214 Streumatrix 48 strukturstabile Systeme 96, 105, 107 Strukturstabilitiit 90, 91, 93, 139 Suspension der Deformation 267 Symmetriegruppen von Differential-

gleichungen 13

TAKENS, F. 260, 263, 289, 307 THOM, R. 253, 307 TICHoNovA, E. A. 249 topologische A.quivalenz 92 Torus, n-dimensionaller 97 Transformationsproblem 190 Transversalitiitssatz, schwacher 214 - von THOM 217 TRESSE, A. 61 turbulEmte Stromung 256

V ARCENKO, A. N. 306 VASIL'EV, V. A. 306 Vektorfelder auf einer Geraden 243 - auf dem Torus 98 Vektormonom, resonantes 174 VISIK, A. V. 255 VVEDENSKAJA, N. D. 257

Wellenfunktion 39 WELLS, R. O. 304 WEYL, H. 102 Wirkung 161

Zeitmittel 99