5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

Magnetische Felder existieren innerhalb und auEerhalb gleichstromdurch­flossener Leiter, sowie in der Umgebung von Permanentmagneten und zeit­lich sich konstant andemden elektrischen Feldem (Magnetfeld einer kon­stanten Verschiebungsstromdichte i». Wir wollen hier den Potentialbegriff am Beispiel gleichstromerregter magnetostatischer Felder erlautem.

5.1 Magnetisches Skalarpotential

Ahnlich wie im elektrostatischen Feld wegen der Wirbelfreiheit rot E = 0 die Feldstarke E(r) mit einer skalaren Potentialfunktion <p(r) verknupft ist (s. Kapitel 4), kann man auch fUr wirbelfreie Gebiete magnetostatischer Felder H(r), in denen also rotH = 0 gilt, ein magnetisches Skalarpotential <Pm (r) definieren,

(5-1)

Das magnetische Skalarpotential besitzt die Dimension Ampere.

In formaler Analogie zum elektrischen Feld berechnet sich dann die magne­tische Feldstarke als Gradient dieses Skalarpotentials.

A. J. Schwab et al., Begriffswelt der Feldtheorie© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

102 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

I H~-grad~m I . (5-2)

Das negative Vorzeichen ist willkiirlich gewahlt und dient lediglich zur Be­tonung der Analogie (s. a. 4.1).

Ein typisches Beispiel fUr ein wirbelfreies magnetostatisches Feld ist das Feld H(r) in der Umgebung eines gleichstromdurchflossenen Leiters, Bild 5.1.

H(r)

Bild 5.1: Magnetostatisches Wirbelfeld H(r) in der Umgebung eines gleichstrom­durchflossenen Leiters. 1m Definitionsbereich von H(r) (Menge der unabhangigen Variablen r fiir die H(r) definiert ist, hier die Umgebung des Leiters), s.a. Kapitel 7, gilt rot H(r) = 0, wei! sich dort keine Strome I bzw. Stromdichten J befinden.

Wegen rotH(r)=O und weil die Differentiation eines Skalarfelds <Pm (r) nach der Rechenvorschrift "grad" (s. 4.1) und anschlieBend die Differentiation nach der Rechenvorschrift "rot" (s. 3.3.1) mathematisch formal stets den Wert Null ergibt, das heiBt rotgrad<Pm=O, konnen wir Gleichung (5-2) for­mal herleiten. Wir stell en einen funktionellen Zusammenhang zwischen H(r) und <Pm (r) her, indem wir beide Gleichungen subtrahieren und erhalten

rotH(r) - rot grad <Pm (r) = 0 (5-3)

bzw.

rot (H(r) - grad <Pm (r») = 0 . (5-4)

5 . 1 Magnetisches Skalarpotential 103

Die Anwendung des in Kapitel 7 erkHirten Operators rot-1 auf Gleichung (5-4) ergibt

H(r) = grad <Pm (r) (5-5)

Das aus Analogiegriinden zu E(r) = -grad <p(r) haufig anzutreffende negative Vorzeichen auf der rechten Gleichungsseite konnen wir per definitionem hinzuftigen.

Zur Veranschaulichung des magnetischen Skalarpotentials berechnen wir <Pm(r) in der Umgebung eines stromfiihrenden Leiters, Bild 5.2.

z

__ rI"),..-_---,/L <P=} -------, /

/

- ~.L.----.... I ..,,- - - ........ ......... ,

I / ---- .............. " I ' __ ..... "' \

I / 1 -..... ' " ' \ > • \ . HCr)

Bild 5.2: Stromdurchflossener Leiter mit senkrechter Sperrfliiche zur Erzwingung der Eindeutigkeit des magnetischen Skalarpotentials.

In Zylinderkoordinaten wird <Pm (r) = <Pm (r,<\>,z), und wegen der Rotations­symmetrie und der unendlichen Ausdehnung in z-Richtung <Pm (r) = <Pm (<\».

Wir ermitteln zunachst die magnetische Feldstarke in der Umgebung des Leiters durch Auswertung des Integrals der Wirbelstarke (s. 3.1.2) langs

104 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

eines Umlaufs (Umfangs) 21tr,

fH. dr = H21tr = I

Da H nur eine Komponente in <I>-Richtung hat, erhalten wir

Hieraus folgt mit (5-5) und A3

bzw.

und nach Integration mit f:. a<l>

I HcjI(r)=-

21tr

wobei die Integrationskonstante identisch Null angenommen wird.

(5-6)

(5-7)

(5-8)

(5-9)

Beispielsweise besitzt <Pm (<I» auf der SperrfUiche durch die Bezugsebene <1>=0 den Wert Null, beim Fortschreiten urn 1t12 in der Ebene <I>=1t12 den Wert 114.

Wie im elektrostatischen Feld kann in Gleichung (5-1) ein ortsunabhangiges Bezugspotential <Pmo willkiirlich gewahlt werden, jedoch ist beim ma­gnetostatischen Feld damit Eindeutigkeit noch nicht gewahrleistet. Wahrend im elektrostatischen Feld f E . dr = 0 immer gilt (Wegunabhangigkeit) gilt im magnetostatischen Feld beim etwaigen UmschlieBen eines stromfiihrenden Leiters je nach Anzahl N der Umlaufe, f H . dr = NI. Bei der Ermittlung der magnetischen Potentialdifferenz bzw. magnetischen Spannung zwischen zwei Punkten P(rl) und P(r2) mit der vom elektrostatischen Feld geIaufigen

5 . 1 Magnetisches Skalarpotential 105

Gleichung (s.a. 4.2),

(5-10)

darf daher der Integrationsweg den Stromleiter nicht umschlieBen, da sonst die Voraussetzung "wirbelfreies Gebiet" nicht mehr erfiillt ware, das heiBt 1 H dr "1= 0, und damit CPm nicht mehr eindeutig ware. Die magnetische Span­nung U ml2 = CPml2 = CPml - CPm2 ist nur dann wegunabhangig, wenn durch die in Bild 5.2 eingefiihrte Sperrflache dafiir gesorgt wird, daB der Integrations­weg keinen Strom umschlieBen kann.

Die Integration tangs des geschlossenen Wegs 1,2,3,1 in Bild 5.2 ergibt dank der Sperrflache Wirbelfreiheit,

~ H(r)·dr=O 1,2,3,1

(5-11)

Die Integration langs des Wegs von 1 nach 2 ergibt die magnetische Span­nung

Ik(r). dr = I , (5-12)

sofern 1 und 2 infinitesimal dicht, das heiBt, nur durch die ideale Sperrflache getrennt, nebeneinanderliegen.

Wohlgemerkt handelt es sich beim magnetischen Skalarpotential nur urn einen mathematischen Formalismus ohne physikalischen Hintergrund. Die Gleichungen (5-2) und (5-5) implizieren formal die Existenz magnetischer Ladungen auf beiden Seiten der Sperrflache und damit auch die formale Existenz eines "Quellenfeldes" HQ(r), von dem wir bereits wissen, daB es physikalisch ein Wirbelfeld ist. Es macht daher auch keinen Sinn allein we­gen der Existenz von (5-2) bzw. (5-5) nach physikalisch realen "magneti­schen Ladungen" suchen zu wollen.

Eine typische Fragestellung, die mit dem magnetischen Skalarpotential gelOst werden kann, ist die Berechnung der Schirmwirkung ferromagnetischer Hiillen (beispielsweise Schirmgehause aus Stahl) gegen magnetische Gleich­felder.

106 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

5.2 PotentiaIgleichung des magnetischen Skalarpotentials

In diesem Abschnitt werden wir zeigen, daB sich fur das magnetische Ska­larpotential eine Potentialgleichung ~<Pm = 0 in gleicher Weise herleiten HiBt, wie ~<P=O fur das Skalarpotential eines elektrostatischen Felds.

Generell gilt fur Magnetfelder gemaB Abschnitt 3.3.4

divB = 0 . (5-13)

Mit der Materialgleichung B = IlH und H = -grad <Pm wird hieraus

divllH = 0 bzw. div grad <Pm = 0 . (5-14)

Beispielsweise erhalt man fur ein Skalarfeld <Pm(x,y,z) in einem kartesischen Koordinatensystem als Ergebnis der Gradientenbildung zunachst

grad <P (x Y z) = °<Pm a + °<Pm a + °<Pm a m " ox x oy y oz z

(5-15)

Ermittelt man anschlieBend von diesem Vektorfeld die Divergenz nach der Rechenvorschrift von 3.3.4, ergibt sich schlieBlich die mit ~<P = 0 aus 4.4.1 formal ubereinstimmende skalare Potentialgleichung

(5-16)

abgekurzt,

~<Pm = 0 (5-17)

Fur die Berechnung magnetischer Felder auBerhalb von Stromleitern konnen daher die gleichen Methoden angewandt werden wie fUr elektrische Quellenfelder. Nach Integration von ~<Pm = 0, d.h. Losen der Potentialglei­chung fUr die vorliegenden Randbedingungen (die sich in der Regel von denen elektrostatischer Feldprobleme unterscheiden), gewinnt man die ma­gnetische Feldstarke durch Differentiation des Skalarpotentials.

5 .3 Magnetisches Vektorpotential 107

5.3 Magnetisches Vektorpotential

Wie bereits erwahnt, versagt das magnetische Skalarpotential im Innern stromftihrender Leiter, beispielsweise bei der Berechnung von Abschirmun­gen gegen magnetische Wirbelfelder, aber auch bei der Behandlung von Wellenproblemen, in denen die magnetische Wirkung von Verschiebungs­stromen auBerhalb stromftihrender Leiter nicht vernachHissigt werden kann (s. 7.1). Erfreulicherweise HiBt sich neben dem magnetischen Skalarpotential <j>m(r) ein magnetisches Vektorpotential A(r) definieren, das auch in stromftihrenden Gebieten anwendbar ist. (Ab hier kann A zwei Bedeutun­gen haben, Vektorpotential einerseits und FHichenvektor andererseits, die zutreffende Interpretation geht aus dem Kontext hervor. Diese Uberschnei­dung wird in der Feldtheorie bewuBt in Kauf genommen).

Aufgrund der Quellenfreiheit magnetischer Wirbelfelder gilt div B=O. Ferner ergibt die Differentiation gemaB div und rot sequentiell auf ein beliebiges Vektorfeld A angewandt mathematisch formal immer Null, das heiBt, divrotA=O, (s.a. A.3). Urn einen funktionalen Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen B(r) und A(r) herzustellen, subtrahieren wir beide Gleichungen (s.a. 4.4) und erhalten

div B - div rot A = 0 (5-18) bzw.

div(B - rotA) = 0 . (5-19)

Die Anwendung des in Kapitel 7 erklarten Operators div-1 fiihrt auf

I B =rotA I bzw. I rotA=B I (5-20)

Die magnetische FluBdichte B ist mit anderen Worten die Wirbeldichte von A. Das Wirbelfeld A nenpt man magnetisches Vektorpotential.

Die Differentialoperation div rotA=O leuchtet nicht nur formal, sondern auch anschaulich ein. Die Wirbeldichten rot A des magnetischen Vektorpo­tentials sind die FluBdichtelinien B des betrachteten magnetischen Feldes, von denen wir aus 3.3.4 wissen, daB sie in sich geschlossene Linien sind, Bild 5.3.

108 5 Potential und Potentialfunktion magnetise her Felder

Bild 5.3: Veransehauliehung des Vek-torpotentials A als WirbeJfeld mit der Wirbeldiehte rot A=B. Das Vektorfeld A ist B reehtswendig zugeordnet (Rechte­Hand-Regel ).

<\>,8

Bereits in 2.2 wurde festgestellt, daB die Wirbel bzw. Wirbeldichten von Wirbelfeldern ebenfalls geschlossene Rohren oder Linien sind, deren Diver­genz bekanntlich Null ist. Mit dieser Annahme nimmt die Divergenz der Wirbeldichte rotA des Wirbelfelds A wegen divB=O den Wert Null an, d.h. divrotA=divB=O. Das magnetische Vektorpotential A eines magneti­schen Wirbelfelds ist ebenfalls ein Wirbelfeld, seine Wirbel sind FluBlinien bzw. -rohren, seine Wirbeldichten FluBdichtelinien B. Die Wirbelstarke des Vektorpotentials berechnet sich zu

(5-21)

seine Wirbeldichte gemaB (5-20) zu

rotA = B (5-22)

Urn das Verstandnis der rechten Seiten zu erleichtern, erinnern wir uns an das Induktionsgesetz in Integral- und Differentialform, (3.1.1,3.3.1),

" E .dr =_ d<j> '! dt

bzw. aB rotE=-­

at (5-23)

das man aus vqrstehenden Gleichungen durch Differentiation nach der Zeit und Beriicksichtigung des Zusammenhangs aA/at=-Ew (s. 6.2.1) herlei­ten kann.

5.3 Magnetisches Vektorpotential 109

Auch beim magnetischen Vektorpotential stellt sich wieder die Frage nach seiner Eindeutigkeit. Ahnlich wie im elektrostatischen Feld verschiedene Skalarpotentialfunktionen cp(r) auf das gleiche Vektorfeld E(r) fuhren,

E(r) = -gradcp(r) = -grad (cp(r) + CPo):= -gradcp'(r) , (5-24)

existieren beim magnetischen Feld verschiedene Vektorpotentialfunktionen A(r), die auf das gleiche Feld der magnetischen FluBdichte B(r) fuhren,

B(r) = rot A(r) = rot (A(r) + Ao) : = rot A *(r) , (5-25)

weil auch hier bei der Differentiation ein ortsunabhiingiger Anteil Ao ver­schwindet.

Es tritt aber nicht nur ein etwa konstantes, tiberlagertes Vektorpotential A 0

nicht in Erscheinung, sondern auch ein etwaiges aus einem Skalarfeld abge­leitetes Vektorpotential AQ(r)=gradQ(r), da die Differentialoperationen rot und grad sequentiell auf eine beliebige skalare Potentialfunktion angewandt immer Null ergeben,

rot gradQ(r) = rotAQ(r) = 0 . (5-26)

Es gilt also

B(r) = rot A(r) = rot(A(r) + gradQ(r)):= rotA "(r) . (5-27)

1m allgemeinen Fall kann sich eine vektorielle Potentialfunktion A(r) in der Tat aus einem Wirbelfeld Aw (r) und einem Quellenfeld AQ(r) = grad Q(r) zusammensetzen (s. 2.3),

A(r) = Aw(r) + AQ(r) = Aw(r) + gradQ(r) (5-28)

Gehen wir hier davon aus, daB das magnetische Vektorpotential A(r) des magnetischen Wirbelfelds ein reines Wirbelfeld sein solI, Bild 5.1, konnen wir div A=O setzen (sogenannte Coulomb-Eichung). Das heiBt, es gibt kein Vektorfeld AQ(r) mit Quellencharakter, m.a.W. gradQ(r)=O. Die Festle-

110 5 Potential und Potentialfunktion magnetiseher Felder

gung div A=O wird iiblicherweise flir statische und quasistatische Magnetfel­der benutzt, bei zeitlich schnell veranderlichen Feldern werden wir diese Wahl iiberdenken (s. Kap. 6).

AbschlieEend befassen wir uns noch mit der Ermittlung des magnetischen Vektorpotentials aus einer gegebenen Strom- bzw. Stromdichteverteilung. Ahnlich wie im elektrischen Feld die Potentialfunktion einer Linienladung berechnet wurde, indem man zunachst den Beitrag eines infinitesimalen Linienelements dL bzw. einer Punktladung dQ ermittelte (s. Gleichung (4-29) in 4.3 und 2.2), berechnet man im magnetischen Feld einer strom­fiihrenden Leiterschleife zunachst den Beitrag dA(r) eines infinitesimalen Stromfadenelements dLq, Bild 5.4.

Bild 5.4: Bereehnung des magnetise hen Vektorpotentials einer Stromsehleife. r: Feld­Ortsvektor; rq: Wirbelelement-Ortsvektor bzw. Integrationsvariable.

/' /'

/'

/' /'

/'

Das Vektorpotential des Leiterelements dLqim Punkt P(r) berechnet sich zu

(5-29)

Hier liegt die Versuchung nahe, eine Analogie zwischen dem Produkt IdLq und dem Produkt PLdL q herzustellen. Der Vergleich hinkt insofern, als man sich eine infinitesimale Ladung dQ mit etwas gutem Willen sehr wohl vor­stellen kann, ein autarkes infinitesimales Stromelement jedoch nicht, da Strome nur in geschlossenen Stromkreisen flieEen (div JL = 0). Obige Glei­chung erscheint daher erst dann physikalisch plausibel, wenn man iiber einen geschlossenen Integrationsweg integriert, das heiEt die Beitrage aller

5.3 Magnetisches Vektorpotential 111

Elemente dLq aufsummiert,

(5-30)

Jetzt erhalt auch eine Analogiebetrachtung mit dem Skalarpotential einer Li­nienladung eher Sinn,

(5-31)

Fur flachenhaft verteilte Strome (Strombelage), gekennzeichnet durch ihre Flachenstromdichte K(rq), definiert man infinitesimale Flachenstrompro­dukte K(rq) dA q' fur raumliche Stromverteilungen Jdrq) infinitesimale Volumenstromprodukte Jdrq) dV q, wobei die Lange dLq des Stromelements jeweils in dAq bzw. dV q implizit enthalten ist,

(5-32)

(5-33)

SchlieElich ist darauf hinzuweisen, daE beim Linienintegral in (5-30) der Vektorcharakter des Integranden in dLq zum Ausdruck gebracht wird, da der Strom seiner Natur nach ein FluE, d.h. ein Skalar ist.

In einem kartesischen Koordinatensystem berechnen sich die drei Kompo­nenten des magnetischen Vektorpotentials zu

112 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

Ax(r) = J f-loJx(rq) dVq Vq 41tlr - rql

A (r)= J f-loJy(rq) dV y Vq 41tlr - rql q

Az(r) = J f-loJz(rq) dVq Vq 41tlr - rql

(5-34)

Insgesamt sind also drei skalare Integrale auszuwerten.

Die Gleichungen (5-30) bis (5-34) nennt man Poisson-Integrale (vgl. Kap. 4.4.3) bzw. Losungen der vektoriellen Poisson-Gleichung ~A = J (s. Kap. 5.4).

Die direkte Beziehung zwischen der magnetischen FeldsHirke H(r) und der raumlichen Wirbeldichte J(r),

1 J J(r ) H(r) = -rotA(r) = rot q dVq , f-l Vq 41t Ir - rq I

(5-35)

stellt eine verallgemeinerte Form des Biot-Savartschen Gesetzes dar, das den Zusammenhang zwischen H(r) und einem Stromfaden I eines geschlossenen Stromkreises beschreibt,

1 1 IdL x(r-r) 1 IdLq xar_r~ H(r) = -rotA(r) = q q = 'I

f-l Cq 41tlr-rqj3 Cq 41tlr- rqI2 L--________________ ----', (5-36)

wobei ar-rq den Einheitsvektor (r-rq)/lr-rql darstellt (s.a. Kapitel 1). Wegen der Herleitung von (5-36) wird auf Standardtextbiicher verwiesen.

5.4 Potentiaigieichung des magnetise hen Vektorpotentiais 113

5 . 4 Potentialgleichung des magnetischen Vektorpotentials

Neben der im vorigen Kapitel angedeuteten Berechnung des magnetischen Vektorpotentials aus einer gegebenen Strom- bzw. Stromdichteverteilung, HiBt sich die vektorielle Potentialfunktion A(r) auch als Losung einer vel<to­riellen Potentialgleichung darstellen.

Die Wirbeldichte des magnetischen Wirbelfelds ergibt sich bekanntlich zu (s. 3.3.2.)

rotH = J . (5-37)

Driickt man in dieser Gleichung H durch das magnetische Vektorpotential aus,

B=~H=rotA bzw. 1 H = -rotA (5-38)

~

so erhalt man

rot rotA = ~J . (5-39)

Bei der klassischen Herleitung der Potentialgleichung muB der Leser beweis­los akzeptieren, daB die zweimalige sequentielle Anwendung der Differen­tiationsregel rot auf ein beliebiges Vektorfeld X(x,y,z) zum gleichen Aus­druck fuhrt wie die Differenz der Divergenzbildung mit anschlieBender Gra­dientenermittlung und der Anwendung des Laplace-Operators. Es gilt allge­mein in einem kartesischen Koordinatensystem folgende Vektoridentitat (A3)

rot rotX = grad divX-~ (5-40)

Mit diesem Wissen kann man fur (5-39) schreiben

grad div A - M = ~J (5-41)

114 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

Unter der bereits im vorigen Abschnitt gemachten Voraussetzung, daB die Wirbel eines Wirbelfelds selbst wieder geschlossene Linien sind und etwaige Quellen, die einen zusatzlichen Beitrag zum magnetischen Vektorpotential leisten konnten, nicht vorhanden sind, gilt div A=O. Damit vereinfacht sich aber obige Gleichung zur Poisson-Vektorpotentialgleichung des magneti­schen Vektorpotentials

M = -IlJ (5-42)

Allgemein fuhrt die Anwendung des Laplace-Operators auf ein Vektorfeld wieder auf ein Vektorfeld.

Der Leser erkennt die formale Analogie zwischen (5-42) und der skalaren Potentialgleichung des skalaren Potentials eines quellenbehafteten elektri­schen Felds (Poisson-Gleichung, s. Kap. 4.4.2)

(5-43)

Die Vektordifferentialgleichung M = -IlJ HiBt sich in drei einfache, skalare Potentialgleichungen fur je eine der drei Koordinaten zerlegen,

(5-44 )

Jede der drei Gleichungen stellt formal eine skalare Poisson-Gleichung dar. Fur nicht-kartesische K~ordinaten ist eine Zerlegung auch moglich, jedoch aufwendiger (s. A3).

Beschranken wir uns auf eine zweidimensionale Geometrie, das ht'iEt ein ebenes Problem, beispielsweise einen in z-Richtung unendlich ausgedehnten Stromleiter, reduziert sich die Potentialgleichung des magnetischen Vek­torpotentials auf die Komponente Az . Fur ein kartesisches Koordinatensy-

5 . 4 Potentialgleichung des magnetischen Vektorpotentials 115

stem erhalten wir beispielsweise

(5-45)

Die Lasung dieser Gleichung nimmt die Form

(5-46)

an. Die Greensche Funktion flir ein 2-dimensionales, das heiBt, ebenes Pro­blem, lautet demnach in kartesischen Koordinaten (vergl. auch 4.4.3)

(5-47)

Zur Abrundung wollen wir jetzt noch zeigen, daB sich Gleichung (5-42) mit Hilfe des in Kapitel 7 erkHirten Integraloperators rot-1 wesentlich eleganter und ohne den Kunstgriff zur VektoridentWit (5-40) herleiten liiBt. Unter der Voraussetzung der Beschriinkung auf Wirbelfelder, die wir ja auch bei der klassischen Herleitung von (5-42) treffen, erhalten wir durch zweimalige direkte Integration von (5-39), das heiBt zweimalige Multiplikation mit dem in Kapitel 7 erkliirten Integraloperator rot-1 = -roL,~-l,

rot rotA = Il J I· rot-1

rotA = -roL~-l IlJ I· rot-1

(5-48)

und nach Multiplikation mit dem Laplace-Operator

(5-49)

116 5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder

SchlieBlich sei darauf hingewiesen, daB die Ermittlung des magnetischen Vektorpotentials aus der Vektorpotentialgleichung (5-42) bzw. (5-46) nur fUr magnetostatische sowie quasistationare Felder und unter der Vorausset­zung div A=O gilt (s. Kap. 5.3). Bei nichtstationaren Vorgangen gehen die Poisson-Gleichungen ftir A(r) in inhomogene Wellengleichungen tiber (s. 6.3.2).