Bachelorarbeit

Einfluss von Normierung auf die

Analyse von EKG-BSPM Daten

Eingereicht von:Jonas Kochinke

Betreuer:Prof. Dr. Martin BurgerInstitut für Numerische und Angewandte MathematikFachbereich Mathematik und InformatikWestfälische Wilhelms-Universität Münster

März 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Medizinische Grundlagen 4

2.1 Der Aufbau des Herzens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Elektrophysiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Messung von EKG und BSPM Daten . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Elektrokardiogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Body Surface Potential Mapping . . . . . . . . . . . . . 7

3 BSPM-Datenanalyse 8

3.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1 Erstellung eines personalisierten Gitters . . . . . . . . 83.1.2 Interpolation auf ein äquidistantes Gitter . . . . . . . . 10

3.2 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Vergleich der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Analytische Betrachtung der Normierung von BSPM-Daten 16

4.1 Berechnungen zur Normierung von BSPM-Daten . . . . . . . 174.2 Das Vorwärtsproblem der Elektrokardiographie . . . . . . . . 204.3 Einfluss der Normierung von BSPM-Daten . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 Anpassen des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.2 Berechnung mit Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Fazit 27

6 Funktionen 28

6.1 Einlesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 Interpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.4 Normieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

1 Einleitung

In der heutigen Zeit rücken Herzkrankheiten immer mehr in den Fokus desöffentlichen Interesses. So zeigt das Statistische Bundesamt, dass sie mitt-lerweile die ersten Plätze der häufigsten Todesursachen belegen. Auch inden Medien findet diese Thema eine große Resonanz. Nicht zuletzt durchProminente „Opfer“ solcher Erkrankungen, wie den mittlerweile zurückge-tretenen Fußballprofi Fabrice Muamba. Dieser erlitt am 17. März 2012 einen78-minütigen Herzstillstand wärend eines Fußballspiels seines Vereins Bol-ton Wanderers, ohne dass zuvor Probleme diagnostiziert wurden, die daraufhingewiesen hätten.

Hans-Joachim Trappe, stellvertretender Vorsitzender der Deutschen Herz-stiftung, stellt dazu bei Stern.de die Vermutung an, „dass Muamba an ei-ner angeborenen Herzrhythmusstörung leiden könnte, die bisher unbemerktblieb. Das sei nicht ungewöhnlich, da diese Krankheit sogar bei einer Her-zuntersuchung durch ein Elektrokardiogramm (EKG) sehr oft nicht auffal-le.“ 1

Dies wirft die Frage auf, ob das weit verbreitete EKG zu Diagnosezwe-cken ausreichend ist oder eine genauere Messmethode benötigt wird. Mitdem sogenannten Body Surface Potential Mapping wird unter anderem amUniversitätsklinikum Münster gearbeitet, welches eine wesentlich genauereErfassung von Herzdaten an der Körperoberfläche, also non-invasiv, ermög-licht. Und mit genau diesem Messsystem, abgekürzt BSPM, beschäftigen wiruns in dieser Arbeit.

Zunächst beginnen wir jedoch in Kapitel 2 mit der Beschreibung relevan-ter medizinischer Grundlagen, die dem Verständnis der darauf folgendenErläuterungen dienen. Dabei wird sowohl die Funktionsweise des Herzensals auch die des EKGs und des BSPMs vorgestellt. Daran schließt sich inKapitel 3 eine Analyse von BSPM-Daten an, wobei auf reale Messwerte desUniversitätsklinikums Münster zurückgegriffen wird. Wir werden eine Ver-gleichbarkeit der Daten herstellen, um darauf aufbauend eine Unterteilungin „krank“ und „gesund“ vorzunehmen. In Kapitel 4 wird der Fokus auf dieNormierung eben solcher Daten gelegt und erörtert, welche Auswirkungendies auf ihre Authentizität hat. Dazu werden wir das Vorwärtsproblem derElektrokardiographie vorstellen und anhand eines Modells diskutieren. Imletzten Kapitel werden abschließend sämtliche Matlab-Funktionen, die fürdiese Arbeit programmiert wurden, vorgestellt.

1Stern.de: „78 Minuten Herzstillstand: Warum Fußballprofi Fabrice Muamba überlebte“(22. März 2012), URL: http://www.stern.de/gesundheit/78-minuten-herzstillstand-warum-fussballprofi-fabrice-muamba-ueberlebte-1803662.html (5. März 2013)

3

2 Medizinische Grundlagen

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns überwiegend mit Messdaten und Mo-dellen, die auf elektrische Impulse im menschlichen Herzen zurückzuführensind. Um das Vorgehen bei der Analyse und Auswertung besser nachvollzie-hen zu können, ist es hilfreich einige grundlegende Fakten über den Aufbauund die Funktionsweise des Herzens zu kennen. Aus diesem Grund wird imfolgenden Kapitel eine kurze Einführung dazu gegeben. Dabei wird beson-ders auf die Entstehung der messbaren elektrischen Signale im Herzen ein-gegangen. Außerdem werden das Elektrokardiogramm (EKG) und das BodySurface Potential Mapping (BSPM) in ihrer Funktionsweise vorgestellt. Dasim folgenden Erläuterte basiert auf [1] und [2].

2.1 Der Aufbau des Herzens

Das menschliche Herz liegt zwischen den beiden Lungenflügeln, hinter demBrustbein. Es besteht aus vier Kammern: dem rechten und linken Vorhofsowie der rechten und linken Herzkammer. Die Vorhöfe sind von den ent-sprechenden Kammern durch die Herzklappen getrennt, die ein Zurückströ-men des Blutes verhindern. Abbildung 2.1 gibt einen Einblick in den Aufbaudes Herzens und den Strömungsverlauf des Blutes. Dabei wird durch Kon-traktion des Herzens sauerstoffarmes Blut durch den rechten Vorhof unddie rechte Kammer zur Lunge transportiert. Dort wird es mit Sauerstoff an-gereichert und fließt zurück in den linken Vorhof, die linke Kammer undschließlich über die Aorta in den Rest des Körpers.

Abbildung 2.1: Schematische Darstellung des menschlichen Herzens cWikipedia

4

2.2 Elektrophysiologie

Der Blutfluss durch den menschlichen Körper wird wie erwähnt durch Kon-traktion des Herzens ermöglicht. Diese Kontraktion wird wiederum durchelektrische Impulse in den Herzmuskelzellen ausgelöst. Wenn die elektrischeStimulierung dieser Zellen eine bestimmte Schwelle erreicht, verändert sichihr Transmembranpotential (TMP). Die Veränderung in Abhängigkeit vonder Zeit wird als Aktionspotential bezeichnet [1]. Den Ablauf dieser Erre-gung kann man in vier Phasen unterteilen (vgl. Abbildung 2.2). Diese sindwie folgt zu verstehen:

4- Ruhezustand, wobei die Herzmuskelzelle ein TMP von -90 bis -80 mVaufweist

0- Depolarisation, ausgelöst durch eine genügend starke Stimulierung. An-stieg des Transmembranpotentials bis auf ca. 30 mV

1- Anfängliche Repolarisation

2- Plateau Phase des TMP

3- Endgültige Repolarisation, Rückkehr des Aktionspotentials auf das ur-sprüngliche Level

4- Ruhezustand bis zur erneuten Erregung

Abbildung 2.2: Aktionspotential einer Herzmuskelzelle conmeda.de

Ursache für die elektrische Stimulierung sind selbstdepolarisierende Zel-len, die z.B. den Sinusknoten und den AV-Knoten bilden. Diese erhöhen ihrTMP solange, bis sich die Erregung auf das umliegende Herzgewebe aus-breitet.

Durch spontane Depolarisation des Sinusknotens wird bei einem nor-malen Herzschlag eine elektrische Erregung initiiert. Diese breitet sich überbeide Vorhöfe aus, gefolgt von der Erregung der Herzkammern. Letzteresgeschieht mit Hilfe des AV-Knotens und des His-Bündels, da die Vorhöfe von

5

den Herzkammern elektrisch isoliert sind und somit eine Übertragung derErregung nur durch diese beiden Teile des Herzens stattfinden kann.

2.3 Messung von EKG und BSPM Daten

Wenden wir uns nun der Messung der eben erwähnten Potentiale von Herz-muskelzellen bzw. deren Änderung zu. Dazu betrachten wir zwei verwandteMethoden, das EKG und das BSPM. Bei beiden wird die Änderung des Po-tentials über die Zeit aufgezeichnet.

2.3.1 Elektrokardiogramm

(a) Elektrodenpositi-on cmacslab.de

(b) EKG Signal cWikipedia

Abbildung 2.3: EKG Messung

Beim Standard 12-Wege-EKG werden 12 elektrische Signale durch aufder Haut angebrachte Elektroden abgeleitet [2] (vgl. Abb. 2.3(a)). Dabeiwird sowohl die unipolare als auch die bipolare Messmethode verwendet. Esverbindet die 3 bipolaren nach Einthoven, 3 unipolaren nach Goldberg und6 Brustableitungen nach Wilson miteinander. Ausgegeben wird der elektri-sche Impuls über die Zeit als Graph (vgl. Abb. 2.3(b)). Dieser weist einigemarkante Stellen auf:

P-Welle: Depolarisation der Vorhöfe

PQ-Strecke: Erregungsausbreitung durch den AV-Knoten

QRS-Komplex: Depolarisation der Herzkammern

ST-Strecke: Start der Erregungsrückbildung

T-Welle: Rückkehr in den Ruhezustand, Ende der Erregungsrückbildung

Auf Grundlage dieses Graphen ist es möglich, genaue Auskünfte über dieFunktionsfähigkeit des Herzens und mögliche Krankheiten zu geben.

6

2.3.2 Body Surface Potential Mapping

Kommen wir nun zum Body Surface Potential Mapping (BSPM). Die fürdiese Arbeit verwendeten Daten wurden mit eben dieser Methode am Uni-versitätsklinikum Münster aufgezeichnet. Dabei wird nicht, wie beim EKG,mit zwölf Elektroden gearbeitet, sondern mit bis zu 120. Diese Vielzahl anElektroden (vgl. Abb. 2.4) ermöglicht eine wesentlich bessere Abdeckungdes menschlichen Torsos und dadurch auch eine genauere Messung des Po-tentials des Herzens. Allerdings wird diese höhere Genauigkeit durch eineerschwerte Handhabung erkauft. Sowohl das Anbringen der Elektroden alsauch das Auswerten der expansiven Messdaten verkompliziert dieses Ver-fahren, gerade im Vergleich zum Standard EKG.

Abbildung 2.4: Freiwilliger bei einer BSPM-Messung cUniversitätsklinikum Münster

7

3 BSPM-Datenanalyse

Bei der folgenden Analyse verwenden wir zwei Datenerhebungen des Uni-versitätsklinikums Münster, aufgezeichnet mit dem im vorherigen Abschnittbeschriebenen Body Surface Potential Mapping mit insgesamt 32 Datensät-zen von Personen mit und ohne Linksschenkelblock. Die Hauptaufgabe be-steht darin, eine Vergleichbarkeit der Daten herzustellen, um darauf auf-bauend eine weitere Verarbeitung dieser zu ermöglichen. Viele der folgen-den Schritte werden dabei exemplarisch an einem Datensatz durchgeführt.Außerdem beschränken wir uns bei der Präsentation zunächst auf die Elek-troden auf der Vorderseite der „Elektrodenweste“, da die Rückseite meistanalog betrachtet werden kann. Am Ende jedes Abschnitts werden wir dieErgebnisse auf alle weiteren Fälle ausweiten.

3.1 Interpolation

Auf Grund von Größenunterschieden unter den Probanden und der darausresultierenden unterschiedlichen Verteilung der Elektroden auf ihrer Kör-peroberfläche, wie in Abbildung 2.4 auf Seite 7 gut zu erkennen, ist es not-wendig, ein für alle gleich anwendbares Raster von „virtuellen“ Elektrodenzu bestimmen. Dazu werden erst die individuellen Elektrodengitter digitali-siert, um die entsprechenden Messwerte dann mit Hilfe einer Interpolationauf ein einheitliches Gitter zu übertragen.

Struktur der Messdaten

Bei den Daten handelt es sich wie bereits erwähnt um zwei Messungen,die sich in Umfang und Struktur deutlich voneinander unterscheiden. Inder weiteren Ausarbeitung werden wir von der alten bei der zuerst durch-geführten Messung mit 12 Datensätzen und der neuen bei der aktuellerenMessung mit 20 Datensätzen sprechen. Diese unterscheiden sich in der An-zahl der Probanden, dem Umfang der gemessenen Zeitpunkte und in derGröße der verwendeten Elektrodengitter. Bei der alten Messung wurdenm = 105 für uns relevante Elektroden zu insgesamt n = 300000 Zeitpunk-ten aufgezeichnet. Bei der Neuen sind es m = 128 relevante Elektroden zun = 1228800 Zeitpunkten. Dies ergibt 32 Matrizen A_altk ,k ∈ 1, ...,12 bzw.A_neuk ,k ∈ 1, ...,20 aus Rm×n, mit denen im Folgenden gearbeitet wird.

3.1.1 Erstellung eines personalisierten Gitters

Grundlage bei der Erstellung der personalisierten Gitter sind spezifisch je-dem Probanden zugeordnete PDF-Dokumente, exemplarisch in Abbildung3.1 dargestellt, in denen die exakte Lage der Elektroden festgehalten wur-de. Zunächst werden wir eben diese in ein Koordinatensystem übertragen.

8

Abbildung 3.1: Lage der Elektroden

Dabei ist zu beachten, dass zwar die vertikalen Abstände der Elektrodenkonstant 4,5cm betragen, die horizontalen Abstände jedoch stark variieren,selbst innerhalb eines „Elektrodenstreifens“.

Um die genaue Lage der Elektrodenim Koordinatensystem bestimmen zu kön-nen, legen wir zu Beginn einen FixpunktF fest2. Dieser entspricht dem Nullpunktim Koordinatensystem und liegt bei Elek-trode 28. Danach rotieren wir das Gitterum 90 gegen den Uhrzeigersinn, um an-schließend ein Koordinatensystem über denPlan zu legen. Dabei liegen die Elektro-den [25, ...,32] auf der x-Achse. Nun be-stimmen wir Geraden, die die jeweils ge-genüberliegenden Punkte miteinander ver-binden. Wir ermitteln also mit Hilfe ei-ner linearen Interpolation die Lage derElektroden zwischen diesen beiden End-punkten, genauer gesagt die Abständeder Elektroden auf der Geraden zur x-Achse.

Wenn wir die zu Beginn vorgenommeneRotation rückgängig machen, erhalten wireine Matrix V ∈ R8×9, die die horizontalen

Abstände jeder Elektrode zur y-Achse enthält. Alle diese Schritte übernimmt2Im Grunde handelt es sich um eine willkürliche Wahl, wobei sich der räumliche Mittel-

punkt anbietet.

9

die Funktion Gitter3. Mit Hilfe dieser Information und den konstanten ver-

tikalen Abständen ist es nun möglich, ein personalisiertes Gitter mit derPosition der Elektroden für jeden einzelnen Probanden zu erstellen, ausge-hend von der oben genannten Lage im Koordinatensystem mit Nummer 28als Nullpunkt (vgl. Abb. 3.2).

Abbildung 3.2: Personalisiertes, digitalisiertes Gitter

Die Funktion Gitter ist so geschrieben, dass sie an der Eingabe erkennt,um welches System4 es sich handelt. Außerdem wird erkannt, ob man einGitter auf der Vorderseite oder der Rückseite digitalisieren möchte. Somitkann das Vorgehen ohne Einschränkungen auch auf alle nicht betrachtetenFälle übertragen werden.

3.1.2 Interpolation auf ein äquidistantes Gitter

Wie zu Beginn erwähnt, werden wir die Messwerte nun auf ein einheitliches,äquidistantes Gitter Gneu interpolieren. Es werden also jeder Elektrode vonGneu Messwerte zugewiesen, basierend auf den realen Messungen.

Dazu ist es zunächst notwendig, die Maße von Gneu zu bestimmen. Die-se haben wir so gewählt, dass sämtliche personalisierten Gitter abgedecktwerden. Die Grenzen werden demnach aus den größten Werten der bereitsdigitalisierten Gitter gebildet. Dazu verwenden wir in der vorliegenden Er-hebung vertikal den Vektor yint = [−18, ...,18] mit einer Schrittweite von 4,5und horizontal den Vektor xint = [−20, ...,20] mit einer Schrittweite von 2.In Matlab definieren diese beiden Vektoren mit Hilfe des meshgrid-BefehlsGneu, bestehend aus 9×21 = 189 Elektroden.

3vgl. Seite 294Alte oder neue Messung

10

Nun kommen wir zur Interpolation. Diese wird nach der geleisteten Vor-arbeit von dem Matlab-Programm Interpol

5 übernommen. Gibt man dortdas personalisierte Gitter V und das äquidistante Gitter Gneu sowie die zudem entsprechenden Patienten gehörenden Daten A ein, dann greift das Pro-gramm auf den bereits in Matlab implementierten Befehl TriScatteredInterp

zurück, um die Daten A auf das Gitter Gneu zu interpolieren. Dazu durchläuftes diesen Befehl für alle Zeitpunkte einer gewählten Spanne n1 bis n2.

Als Ausgabe erhalten wir einmal eine Matrix AI ∈ R189×(n2−n1), die vonder Form her der Ausgangsdatenmatrix entspricht. Die zweite Ausgabe isteine dreidimensionale Matrix ZI ∈R9×21×(n2−n1), auf die in der Funktionsbe-schreibung näher eingegangen wird. Zu beachten ist dabei noch, dass dasGitter Gneu größer ist, als das entsprechende Gitter V des Probanden. Da-durch können nicht allen Elektroden Messwerte zugewiesen werden. AlsResultat enthält die Ausgabe einige NaN-Einträge.

In Abbildung 3.3 ist für einen Zeitpunkt zu erkennen, wie die Interpola-tion das Gitter verfeinert hat, ohne die Messwerte zu stark zu verfälschen.

Abbildung 3.3: Vergleich der Daten auf dem alten und neuen Gitter

Zu den Unterschieden bezüglich der alten und neuen Daten bzw. Vorder-und Rückseite ist anzumerken, dass das Programm an den Eingabewertenerkennt, um welchen Fall es sich handelt. Es ist also für sämtliche Fälle ohneEinschränkungen anwendbar.

3.2 Normierung

Die Auswirkungen der Normierung auf BSPM-Daten werden in Kapitel 4 ineinem theoretischen Rahmen diskutiert. Im folgenden Abschnitt beschrän-ken wir uns auf eine rein praktisch durchgeführte Normierung, um sowohl„Rauschen“ und körperbedingte Unterschiede im QRS-Komplex zu minimie-ren als auch das betrachtete Intervall anzupassen.

Zu Beginn wählen wir eine Referenzelektrode6 n0 = 95. An dieser ori-5vgl. Seite 306Eine andere Wahl ist möglich, aber diese bietet sich als Mittelpunkt von Gneu an.

11

entieren wir uns im Folgenden, nachdem wir die Mittelachse der Datenfür jede Elektrode der interpolierten Datenmatrix AI auf die x-Achse ver-schoben haben. Beim weiteren Vorgehen verwenden wir Funktionen vonFrank Wübbeling und Jan Bäumker zum Filtern und bei der Detektion derR-Peaks: lowpassfilter und DetectRS. Dies ermöglicht es uns, im ersten Schrittmit lowpassfilter einen Tiefpassfilter auf die Daten zu legen, um ungewolltesRauschen zu entfernen. Wir bezeichnen die normierte Matrix im Weiterenals Anorm.

Die Identifizierung der R-Peaks mit DetectRS ist für die weiteren Schrittedringend notwendig. Wir wählen den ersten R-Peak der Referenzelektroden0 bzw. seine Höhe h1 und berechnen Anorm/h1, um die Peakhöhe auf 1 bzw.-1 zu normieren. Um die Abstände der R-Peaks zu normieren, verwendenwir wiederum eine Interpolation, welche mit Hilfe des Programms Abstand

7

durchgeführt wird. Damit werden die Abstände auf 2000 Zeiteinheiten fürjeden Probanden angeglichen. Zuletzt wählen wir noch ein Intervall aus,auf dem der Vergleich durchgeführt werden soll. In diesem Fall haben wiruns für 12000 Zeiteinheiten, also 6 QRS-Komplexe entschieden, welches zuAnorm ∈ R189×12000 führt.

Diese Schritte sind im Programm Normieren8 zusammengefasst. Nach

dessen Ausführung erhalten wir für jeden Probanden einen normierten Da-tensatz, wie in Abbildung 3.4 im direkten Vergleich mit den unnormiertenDaten dargestellt.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 104

5.1

5.15

5.2

5.25

5.3

5.35

5.4x 104

Zeitpunkte

Mes

swer

t

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Zeitpunkte

Messwerte

Abbildung 3.4: Vergleich von unnormierten (links) und normierten Daten (rechts) für Da-tensatz 01 und Elektrode 95

Da AI von der Struktur her für sämtliche Fälle identisch ist, funktioniertdas Erläuterte ohne Einschränkungen bei allen nicht betrachteten Fällen.

3.3 Vergleich der Daten

Auf Grundlage der durchgeführten Schritte ist es uns nun möglich, einigeVergleiche zwischen den Daten vorzunehmen. Dabei liegt unser Hauptau-

7vgl. Seite 338vgl. Seite 32

12

genmerk darauf, die bereits bekannte Unterteilung in „gesunde“ und „kran-ke“ Personen auch mit Hilfe von Matlab herauszustellen. Dazu verwendenwir zwei bereits in Matlab implementierte Programme: princomp und kmeans.

Für den Vergleich wird nur auf 22 Datensätze zurückgegriffen, da dierestlichen Daten nicht korrekt eingelesen bzw. normiert werden konnten.Von diesen 22 Datensätzen sind sechs von der alten und 16 von der neuen

Messung. Dabei ist zu beachten, dass bei der alten Messung nur ein Probandgesund war, wohingegen alle der neuen Daten von gesunden Personen stam-men. Desweiteren beschränken wir uns der Übersichtlichkeit halber auf dieElektroden auf der Vorderseite.

Beide Programme verlangen wiederum eine bestimmte Form der Daten.Aus diesem Grund formatieren wir die bereits normierten Daten Anorm neu.Dabei wird jedem Probanden eine Zeile in der neu geschaffenen Matrix Dvzugewiesen. Diese besitzt dementsprechend 22 Zeilen, wobei die Spalten-zahl von der Anzahl der betrachteten Elektroden abhängt.

Vergleich mittels princomp

Als erstes verwenden wir das Programm princomp, welches eine Haupt-komponentenanalyse, auch Principal Component Analysis (PCA) genannt,durchführt. Die Eingabe [COEFF,SCORE] = princomp(Dv) zerlegt die Da-tenmatrix Dv in ihre Hauptkomponenten und speichert die Koeffizienten je-der Hauptkomponente in COEFF als Spalte. Dabei nimmt die Varianz derKomponenten von Spalte zu Spalte ab. SCORE enthält die scores der Haupt-komponenten, also die Repräsentanten von Dv im Raum der Hauptkompo-nenten. Dabei beziehen sich die Zeilen von SCORE auf die Patienten unddie Spalten entsprechen den Hauptkomponenten (Aus [5]).

Ein Problem von princomp besteht darin, dass immer nur eine Elektrodepro Datensatz verglichen werden kann. Somit wäre es theoretisch notwen-dig, 189 Vergleiche durchzuführen, um ein umfassendes Bild zu erhalten.Hier wird der Vergleich exemplarisch für zwei Elektroden, Nummer 95 und150, durchgeführt, welche sich beide nahe am Herzen befinden. Für denVergleich werden die ersten beiden Spalten von SCORE für 19 Probandengegeneinander geplottet, da wiederum 3 Daten sehr weit aus dem Rahmenfielen. Aus den in Abbildung 3.5 dargestellten Plots lässt sich die erwarteteUnterteilung erkennen.

Dabei ist zu beachten, dass die fünf am weitesten links liegenden Punk-te in den Koordinatensystemen den kranken Personen zugeordnet werdenkönnen. Der dem einzigen Gesunden der alten Messung zugeordnete Punktist wie zu erwarten in der Gruppe der Punkte der neuen, gesunden Personenzu finden.

13

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Abbildung 3.5: Princomp

Vergleich mittels kmeans

Das zweite zum Vergleich verwendete Programm ist kmeans. Durch die Ein-gabe IDX = kmeans(Dv,k) werden die Datensätze in k ∈ N Gruppen aufge-teilt, deren Indexe in IDK ∈ Nn gespeichert werden. Dabei wird zuerst füralle Gruppen die Summe der Abstände der Punkte zum Gruppenmittelpunktinnerhalb der Gruppe gebildet. Danach minimiert die iterative Unterteilungdie Summe über alle diese Einzelsummen. Als Abstand wird die euklidischeNorm verwendet (Aus [5]). Somit wird jedem Probanden ein Gruppenin-dex i ∈ 1, ...,k zugewiesen. Optimal ist dabei natürlich eine Unterteilungin zwei Gruppen, 1 = gesund,2 = krank.

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Patientennummer

Gruppe

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Patientennummer

Gruppe

Abbildung 3.6: kmeans

Wie bei princomp wird zunächst auch bei kmeans lediglich ein Vergleicheinzelner Elektroden durchgeführt. Wieder beschränken wir uns exempla-risch zunächst auf die Elektroden 95 und 150. Das Ergebnis dieses Vergleichsist in Abbildung 3.6 zu sehen. Dabei haben wir die Gruppen gegen die Pro-bandennummer geplottet und es ergibt sich, bis auf wenige Ausnahmen, diegewünschte Unterteilung. Es gehören die Nummern 1− 8 zu den alten Da-ten, wobei Nummer 8 die gesunde Person dieser Messung ist. Die restlichen

14

Nummern beziehen sich auf die neuen, gesunden Personen.Der Vorteil von kmeans besteht nun darin, dass es auch möglich ist, meh-

rere Elektroden bei einem Vergleich zu berücksichtigen. Wenn man dies für15 in Herznähe gelegene Elektroden durchführt, ergibt sich eine ähnlicheUnterteilung wie schon zuvor (vgl. Abbildung 3.7).

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Patientennummer

Gruppe

Abbildung 3.7: kmeans mit 15 Elektroden

Zu beachten ist erneut in allen drei Abbildungen, dass sich der Daten-satz Nr. 8 der einzigen gesunden Person der alten Messung immer in einerGruppe mit fast allen gesunden Personen befindet.

15

4 Analytische Betrachtung der Normierung von BSPM-

Daten

In diesem Kapitel werden wir die Auswirkungen der Normierung von BSPM-Daten, aufgezeichnet auf der Körperoberfläche, auf dessen Ursache, das füruns in diesem Fall nur theoretisch erfassbare Potential am Herzen, disku-tieren. Dazu werden wir hauptsächlich den umgekehrten Fall, nämlich dasVorwärtsproblem der Elektrokardiographie betrachten, bei dem das Potenti-al am Herzen bekannt ist und wir das Potential außen berechnen wollen.Dadurch können wir den Zusammenhang der beiden Potentiale bestimmen,woraus sich der Einfluss von Normierung ableiten lässt.

Grundlagen

Um Elektrokaridographie mathematisch verstehen zu können, ist es notwen-dig zu wissen, was genau mit dem Vorwärtsproblem und dem inversen Pro-blem gemeint ist. Aus diesem Grund erläutern wir diese beiden Begriffezunächst allgemein. Das Erläuterte basiert auf [4].

Definition 4.1. Ein mathematisches Modell ist eine Abbildung

A : X → Y

von einer Menge von Ursachen X in eine Menge von Wirkungen Y . Beim Vor-

wärtsproblem ist die Ursache bekannt und es wird die Wirkung Y bestimmt, es

wird also Ax = y für ein bekanntes x ∈ X berechnet. Beim inversen Problem ist

nun eine Wirkung y ∈ Y bekannt und es wird versucht, ein x ∈ X zu finden mit

Ax = y.

Ein weiterer wichtiger Begriff ist in dem Zusammenhang der des gutgestellten Problems nach Hadamard.

Definition 4.2. Sei A : X →Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen.

Dann bezeichnet man das Problem (A,X ,Y ) als gut gestellt, falls die folgenden

Bedingungen erfüllt sind:

1. Für alle y ∈ Y besitzt die Gleichung Ax = y eine Lösung x ∈ X .

2. Die Lösung ist eindeutig.

3. Die Umkehrabbildung A−1 : Y → X ist stetig. Die Lösung x hängt also

stetig von den Eingabedaten y ab.

Ein Problem heißt schlecht gestellt, wenn es nicht gut gestellt ist.

16

4.1 Berechnungen zur Normierung von BSPM-Daten

In diesem Abschnitt führen wir nun einige Berechnungen durch, um die Aus-wirkung der Normierung von BSPM-Daten auf die ursprünglichen Daten imHerzen herauszustellen. Dabei werden wir zwei Arten der Normierung be-trachten: Zeitnormierung und Elektrodennormierung. Diese werden im Fol-genden zunächst kurz vorgestellt und dann angewandt.

Wir definieren in Anlehnung an das zuvor Erwähnte zwei Matrizen X ∈Rm×n und Y ∈ Rm×n. Dabei beschreibt X das elektrische Potential am Her-zen und Y das an der Körperoberfläche. Wir setzen voraus, dass die Anzahlgemessener Punkte am Herzen und außen übereinstimmt. Wie zuvor ent-hält jede Zeile die Informationen einer Elektrode bzw. eines Punktes amHerzen, insgesamt also m Stück, wobei n die Anzahl der gemessenen Zeit-punkte beschreibt. Der Übergang vom Potential am Herzen nach außen kannmit Hilfe einer Transfermatrix A ∈Rm×m beschrieben werden, wie wir späterin Abschnitt 4.2 zeigen werden. Dies ergibt die folgende Beziehung für diegenannten Matrizen:

AX = Y (4.1)

Arten der Normierung von BSPM-Daten

Wir werden nun zwei unterschiedliche Arten der Normierung von BSPM-Daten vorstellen. Beide werden durch eine Normierungsmatrix N vorgenom-men, die die Form einer Diagonalmatrix aufweist.

Bei der Zeitnormierung werden die Werte jeder Elektrode mit einer Kon-stanten normiert und dies für sämtliche Zeitpunkte. Dies entspricht einerMultiplikation von links mit der Diagonalmatrix N ∈ Rm×m:

N ·AX = N ·Y (4.2)

Dabei gibt es wiederum zwei Möglichkeiten. Entweder man normiert alleElektroden mit einer Konstanten, wobei N ein Vielfaches der EinheitsmatrixE wäre, oder jede Elektrode mit einer eigenen Konstanten bk ∈ R mit k ∈1, ...,m:

N = b ·Ebzw.

N =

b1 0

. . .0 bm

17

Wir werden die Daten bei der weiteren Betrachtung mit ihrem Maximumin der Zeit normieren. Dies bedeutet 1/bk = max

i=1,...,nxk,i wobei xk,i die Einträge

von X bezeichnet.

Bei der Elektrodennormierung wird jeder Zeitpunkt mit einer Konstantennormiert und zwar für sämtliche Elektroden. Dies entspricht einer Multipli-kation von rechts mit der Diagonalmatrix N ∈ Rn×n:

AX ·N = Y ·N (4.3)

Dabei werden die Daten zu jeder Zeit durch das Maximum über alleElektroden normiert. Dies bedeutet 1/bk = max

i=1,...,mxi,k mit k ∈ 1, ...,n.

Elektrodennormierung

Beginnen wir mit der Elektrodennormierung. Dazu werden wir das PotentialY außen am Körper normieren und die Auswirkungen auf das Potential amHerzen errechnen. Diese entspricht wie erwähnt einer Multiplikation vonrechts mit einer Diagonalmatrix N der Größe n× n. Sei 1/bk wie oben defi-niert das Maximum über alle Elektroden zur Zeit k ∈ 1, ...,n. Dies ergibtfür den Übergang vom Potential am Herzen nach außen folgende Rechnung:

AX ·N = Y ·N

⇔ A ·

b1 ·

x1,1

...xm,1

· · · bn ·

x1,n

...xm,n

=

b1 ·

y1,1

...ym,1

· · · bn ·

y1,n

...ym,n

Es ist zu sehen, dass sich eine solche Normierung direkt auf die Datenam Herzen überträgt. Es wird also Y mit derselben Matrix normiert wie X .

Zeitnormierung

Die Zeitnormierung entspricht wie erwähnt einer Multiplikation von linksmit einer Diagonalmatrix N. Im ersten Fall, den wir betrachten, normierenwir alle Elektroden von Y mit einer Konstanten, dem Maximum einer aus-gewählten Elektrode in der Zeit. Dann entspricht N einem Vielfachen derEinheitsmatrix E, N = b ·E. Dies ergibt folgende Rechnung für den Über-gang vom Herzen nach außen:

18

N ·AX = N ·Y⇔ b ·EAX = b ·EY⇔ b ·AX = b ·Y⇔ A(b ·X) = b ·Y

Wie zuvor bewirkt eine Normierung der Messdaten außen eine identi-sche Normierung der Daten am Herzen.

Wenden wir uns nun dem zweiten Fall zu. Hierbei wird jede Elektro-de mit einer eigenen Konstanten bk normiert. Diese ist definiert als: 1/bk =max

i=1,...,nxk,i. Daraus ergibt sich wiederum eine Normierungsmatrix N und fol-

gende Gleichungen:

N ·AX = N ·Y

⇔

b1m∑

i=1a1,ixi,1 · · · b1

m∑

i=1a1,ixi,n

.... . .

...

bmm∑

i=1am,ixi,1 · · · bm

m∑

i=1am,ixi,n

= N ·Y

Im Allgemeinen gilt allerdings:

N ·AX =

b1m∑

i=1a1,ixi,1 · · · b1

m∑

i=1a1,ixi,n

.... . .

...

bmm∑

i=1am,ixi,1 · · · bm

m∑

i=1am,ixi,n

=

m∑

i=1bia1,ixi,1 · · ·

m∑

i=1bia1,ixi,n

.... . .

...m∑

i=1biam,ixi,1 · · ·

m∑

i=1biam,ixi,n

= AN ·X

Somit wird die Normierung außen nicht direkt auf die Daten am Herzenübertragen. Wir suchen also ein M ∈ Rm×m mit NAX = NY = AMX . Für denFall, dass A invertierbar wäre, ergäbe sich M = A−1NA. Diesem Problem bzw.der Bestimmung der Übergangsmatrix A wenden wir uns in Abschnitt 4.2 zu.

19

4.2 Das Vorwärtsproblem der Elektrokardiographie

Betrachten wir nun das Vorwärtsproblem der Elektrokardiographie, ange-fangen bei dessen Modellierung mit Hilfe der Laplacegleichung. Dies be-deutet, dass wir annehmen das Potential am Herzen zu kennen und auf dasPotential an der Torsooberfläche schließen wollen. Darauf aufbauend wer-den wir eine Vereinfachung des Modells vornehmen, um die Auswirkungender Normierung konkreter Messwerte zu diskutieren.

Das Vorwärtsproblem mit Randbedingungen

Wir leiten nun eine partielle Differentialgleichung ab, um das elektrische Po-tential, ausgehend vom Herzen durch den menschlichen Körper zu model-lieren. Das Erläuterte basiert auf [4]. Wir nehmen dafür an, dass der Körperselbst keine elektrischen Quellen besitzt, also ein sogenanntes quellenfreies

Medium ist. Aus diesem Grund geht der Austausch von Spannung nur überden Rand. Es folgt, dass die Funktion u, die das Potential beschreibt, dieLaplacegleichung im gesamten Körper erfüllen muss.

Wir bezeichnen den Torso mit T und das Herz mit H. Dadurch ergebensich die Herzoberfläche ∂H und die Torsooberfläche ∂T als Ränder. Deswei-teren benötigen wir noch λ : T → R, welches die Leitfähigkeit des mensch-lichen Körpers beschreibt. Dieses entspringt dem Volumenleitermodell. Wirkönnen das Vorwärtsproblem demnach durch die folgenden partiellen Dif-ferentialgleichungen mit Randbedingungen ausdrücken:

Gesucht wird u ∈ H1(T ) mit

∇ · (λ∇u) = 0 in T (4.4)(λ∇u) ·n = 0 auf ∂T (4.5)

u = g auf ∂H (4.6)

Dabei beschreibt g das bekannte Potential auf ∂H, λ wie erwähnt dieLeitfähigkeit des Torsos T und n den Außennormalenvektor auf ∂T .

Vereinfachung des Problems

Wir werden nun eine Vereinfachung des Problems präsentieren und lösen.Dies werden wir jedoch in einem kürzeren Rahmen tun, da der Fokus wei-terhin auf der anschließenden Betrachtung der Normierung liegen sollte.Für die kompletten Herleitungen und weitere Ausführungen verweisen wirauf [3] sowie [6].

Anstelle des menschlichen Körpers betrachten wir vereinfacht den zwei-

20

dimensionalen Quader Ω = [0,1]× [0,L], L ∈ (0,1) mit

σ1 := (x,0);0 ≤ x < 1, σ2 := (1,y);0 ≤ y < Lσ3 := (x,L);0 < x ≤ 1, σ4 := (0,y);0 < y ≤ L

Wir formulieren die folgende Laplacegleichung mit Randbedingungenauf ∂Ω = σ1 ∪σ2 ∪σ3 ∪σ4:

u = 0 für (x,y) ∈ Ω (4.7)∇u ·n = 0 für (x,y) ∈ σ1 ∪σ2 ∪σ4 =: σT (4.8)

u = g für (x,y) ∈ σ3 (4.9)

Dabei beschreibt g eine glatte Funktion und n den Außennormalenvek-tor auf σT . Weiter nehmen wir an, dass Ω eine einheitliche Leitfähigkeitaufweist und von einem Isolator umgeben ist. Dies entspricht dann dem zu-vor präsentierten Vorwärtsproblem der Elektrokardiographie, wobei σ1 inunserem Modell der Torsooberfläche entspricht, σ3 der Herzoberfläche undL dem Abstand zwischen Herzoberfläche und Torso. Wir kennen das Poten-tial g auf σ3, u = u(g) beschreibt das Potential in Ω und wir suchen u(g)|σ1 .Diese PDGL hat für g ∈ H1(3) nach [4] eine eindeutige Lösung in H1(Ω).

Bei der Lösung verwenden wir Separation von Variablen, was zu u(x,y) =X(x)Y (y) führt. Für y ∈ [0,L] und y ∈ [0,1] mit y = y/L gilt:

∂ 2

∂y2 =1L2

∂ 2

∂ y2

Eingesetzt in 4.7 ergibt sich

−X (x)X(x)

=1L2

Y (y)Y (y)

Da die linke Seite nur von x und die rechte Seite nur von y abhängt,ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen:

−X (x)X(x)

= λ

Y (y)Y (y)

= L2λ

für ein λ ∈ R unabhängig von x und y. Es ergeben sich zwei Eigenwert-probleme, deren Lösungen wie folgt lauten:

Xk(x) = cos(kπx)

Yk(y) = cosh(Lkπ y)

21

für k ∈ N und λk = (kπ)2

Mit diesem Wissen ist es uns nun möglich, das Problem (4.7)-(4.9) zulösen:

Eingesetzt ergibt sich nämlich

uk(x, y) = Xk(x)Yk(y)= cos(kπx)cosh(Lkπ y)

wobei damit auch jede Linearkombination

u(x, y) =∞

∑k=0

ckcos(kπx)cosh(Lkπ y)

⇔ u(x,y) =∞

∑k=0

ckcos(kπx)cosh(kπy)

mit willkürlichen ck ∈R eine Lösung von (4.7) und (4.8) darstellt. Wennwir die Randbedingung (4.9) nun mit berücksichtigen und g(x)=

∞∑

k=0pkcos(kπx)

als Fourierreihe betrachten mit pk ∈ R, kann man die Lösung als

u(g)(x,y) =∞

∑k=0

pk

cosh(Lkπ)cos(kπx)cosh(kπy) (4.10)

darstellen.

Definition 4.3. Sei R : H1(σ3)→L2(σ1) mit mit der Eigenschaft R(g)= u(g)|σ1.

Dann bezeichnet R den Vorwärtsoperator.

Somit beschreibt R das Potential auf σ1 bzw. der Körperoberfläche ge-geben dem Anfangswert g auf σ3 mit R(g) = u(g)(x,0). In [3] wird gezeigt,dass das Problem gut gestellt ist. Dazu zählt auch, dass der Vorwärtsoperatorlinear ist, worauf wir im Weiteren zurückgreifen werden.

4.3 Einfluss der Normierung von BSPM-Daten

Wenden wir uns nun wieder den real gemessenen BSPM-Daten zu, die be-reits die Grundlage für Kapitel 3 gebildet haben. Ziel ist es, den Einflussvon Normierung der an der Körperoberfläche gemessenen Daten auf das ur-sprüngliche Potential an der Herzoberfläche zu bestimmen. Dazu werdenwir in einem ersten Schritt auf Grundlage der Arbeiten von [4] und [3] daseben vorgestellte Modell anpassen und darauf aufbauend die Transferma-trix A bestimmen, um dann die in Abschnitt 4.1 erwähnte Matrix M genaueranalysieren zu können.

22

4.3.1 Anpassen des Modells

Da wir im Weiteren diskrete Werte betrachten, müssen wir unser Modelldementsprechend anpassen. Dies geschieht mit der Rayleigh-Ritz-GalerkinDiskretisierung, basierend auf [4] und [6]. Wir wählen n linear unabhängigeFunktionen gi ∈ H1(σ3), i ∈ 1, ...,n und definieren

Vn := spang1, ...,gn⊂ H1(σ3)

als Unterraum, sowie den Operatoren Rn := R|Vn . Somit können wir jedesg ∈Vn wie folgt darstellen:

g =n

∑i=1

pigi

mit pi ∈R. Sei nun ri := Rn(gi) = u(gi)|σ1 , dann ergibt sich auf Grund derLinearität der Rn:

Rn(g) =n

∑i=1

piRn(gi)

=n

∑i=1

piri

Somit kann Rn komplett durch die ri beschrieben werden und es giltRn(Vn) = spanr1, ...,rn. Aus diesem Grund kann man Rn bestimmen, indemman (4.7)-(4.9) für gi, i ∈ 1, ...,n löst.

Es folgt:

Rn(g)(x j) = d j (4.11)

⇔n

∑i=1

piri(x j) = d j (4.12)

⇔ Ap = d (4.13)

mit p := [p1, ..., pn]T , welche die Funktion g ∈ Vn eindeutig beschreibenund d ∈ Rn als Vektor von Messwerten an n Punkten x j auf σ1. Die Transfer-matrix A ∈ Rn×n ergibt sich dann als

A j,i = ri(x j) (4.14)

Wir wählen nun die gi ∈ H1(σ3) nach [3] und es folgt:

gi := cos(iπx) (4.15)

Durch lösen von n Randwertproblemen der Form (4.7)-(4.9) mit g = gierhalten wir:

23

u(gi)(x,y) =1

cosh(Liπ)cos(iπx)cosh(iπy) (4.16)

Aus (4.14) und der Definition von ri ergibt sich für die Transfermatrix:

A j,i = u(gi)(x j) (4.17)

=1

cosh(Liπ)cos(iπx j) (4.18)

4.3.2 Berechnung mit Matlab

Für die weitere Analyse werden wir den bereits zuvor repräsentativ verwen-deten ersten Datensatz A_neu1 der neuen Daten benutzen. Da wir bei derVereinfachung des Problems eine Dimension „verloren“ haben, müssen wiruns auf eine bestimmte Auswahl von Elektroden beschränken. Analog zudem betrachteten Intervall σ1 als Körperoberfläche wählen wir einen hori-zontalen Elektrodenstreifen aus. Wir verwenden den genau in der Mitte derVorderseite liegenden Streifen mit 9 Elektroden [4, 12, 20, 28, 36, 44, 52,60, 68] und bezeichnen diesen mitsamt den dazugehörigen Einträgen zu20000 Zeitpunkten mit D ∈ R9×20000.

Da σ1 das Einheitsintervall darstellt, die Abstände der Elektroden aufdem gewählten Streifen jedoch durch V definiert sind (vgl. Abschnitt 3.1.1),müssen wir das Intervall noch anpassen. Bei einem Abstand von -15,8 bis16,6 der gewählten Elektroden zu der in der Mitte gelegenen Nummer 28haben wir die Funktion zur Anpassung wie folgt definiert:

f : [−16,17]→ [0,1], f (x) =133

x+1633

(4.19)

Dabei werden die Einträgen aus V , zu sehen in Abbildung 4.1 (links), indas Einheitsintervall (rechts) abgebildet. Wir bezeichnen den entsprechen-den Vektor mit x und betrachten D nun an diesen Punkten.

Abbildung 4.1: Anpassung der betrachteten Intervalle

24

Aus (4.13) und (4.18) wissen wir:

Ap = dmit

A j,i =1

cosh(Liπ)cos(iπx j)

Dabei entspricht das d nun unserer Matrix D mit Einträgen auf x. L be-schreibt den Abstand zwischen σ1 und σ3, ist also als die Differenz zwischenHerz- und Torsooberfläche zu verstehen. In Anlehnung an [3], aus dem wirauch die im folgenden verwendete Funktion transfermatrix4 verwenden,wählen wir L = 0,125. Dies Funktion trans f ermatrix4 berechnet dann dieTransfermatrix A ∈ R9×9 auf die oben angegebene Art.

Nun benötigen wir noch die Normierungsmatrix N, um Aussagen überdie Matrix M =A−1NA treffen zu können, welche die Auswirkungen der Nor-mierung auf die ursprünglichen Daten am Herzen beschreibt. Bei der MatrixN greifen wir auf die aus Kapitel 4.1 bekannte Zeitnormierung zurück. Da-bei wird jede der 9 Elektroden mit einer eigenen Konstanten normieren. DerFall, in dem wir alle Elektroden mit derselben Konstanten normieren, lässtsich direkt, auch ohne konkrete Berechnung der Transfermatrix, angeben:

M = A−1NA = A−1bEA = bE = N

Bevor wir jedoch zur Berechnung von M kommen, passen wir die MatrixD noch einmal an. Dazu verschieben wir die Einträge jeder Elektrode umden Mittelwert über alle Zeitpunkte. Dadurch erreichen wir, dass die Mitte-lachse der Werte im Weiteren auf der x-Achse liegen. Dies vereinfacht dienun folgende Normierung ohne die Aussagekraft der Resultate zu beeinflus-sen.

Sei nun N ∈ R9×9 die Normierungsmatrix, die einer Zeitnormierung vonD entspricht. Da wir A für L = 0.125 bestimmt haben, ist es nun möglich, Mzu berechnen und eine Singulärwertzerlegung dieser Matrix durchzuführen.Dazu verwenden wir den Befehl s = svd(M) in Matlab.

25

Die Abbildung 4.2 enthält nun sowohl die Singulärwerte s von M, alsauch die Diagonaleinträge b der Normierungsmatrix N zusammen in einemDiagramm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7x 10−3

Abbildung 4.2: Singulärwerte von M (+) und Diagonaleinträge von N (o) für L = 0.125

Dabei fällt auf, dass die Singulärwerte s relativ stark abfallen. Dies lässtsich durch den Informationsverlust des Vorwärtsoperators R erklären, dersich direkt auf die Transfermatrix A überträgt. Dieser Informationsverlust istbegründet durch die Schlechtgestelltheit des inversen Problems9.

Desweiteren fällt der Unterschied zwischen dem ersten Singulärwert s1und den bi ins Auge. Nach [7] beschreibt der größte Singulärwert σ [G] einerMatrix G die maximale Verstärkung zwischen Eingangsvektor u und Aus-gangsvektor y bei der Beziehung y = Gu:

maxu=0

|Gu||u| = σ [G] (4.20)

Somit können wir die maximal mögliche Verstärkung von p durch dieMatrix M ablesen, da diese dem ersten Singulärwert s1 von M entspricht.

9vgl. zur Schlechtgestelltheit [4]

26

5 Fazit

In dieser Bachelorarbeit haben wir uns mit der Analyse von BSPM-Daten be-schäftigt, mit dem Fokus auf deren Normierung. Dabei bestand unser Ziel imersten Teil darin, beim Umgang mit realen Daten eine Vorgehensweise sowiekonkrete Funktionen zu entwickeln, die für unsere Analysezwecke hilfreichsind. Im zweiten Teil haben wir einen Übergang zur mathematischen Theo-rie und entsprechenden Modellen gebildet, um diese zum Ende hin wiederauf die Daten anzuwenden.

Da wir häufig sehr nahe an der Realität gearbeitet haben, insbesonde-re was den Bezug zum menschlichen Herzen angeht, war es notwendig, inKapitel 2 zentrale medizinische Grundlagen zu vermitteln. Bei der anschlie-ßenden Analyse der BSPM-Daten in Kapitel 3 waren die Schritte, die zumVergleich führten, mindestens genauso relevant, wie der anschließende Ver-gleich selber. So haben wir, um eine Vergleichbarkeit der Daten herstellenzu können, Funktionen entwickelt, die Lösungen zentraler Probleme bei derAnalyse von BSPM-Daten zumindest andeuten. Bei gemessenen Herzdatenist es zu erwarten, dass viele Einflüsse, wie z.B. Körperbau, die Vergleichbar-keit dieser Daten beeinträchtigen. Im Hinblick auf diese Probleme erscheintein Angleichen, wie von uns vorgenommen, sinnvoll. Der Vergleich am Endedes Kapitels hat im Grunde bestätigt, was wir schon wussten: die Untertei-lung in „krank“ und „gesund“. Dass dies aber trotz der durchgeführten An-passungen und Normierungen mit kleineren Fehlern möglich war, ist positivzu bewerten.

Die weitere Betrachtung der Normierung in Kapitel 4 schließt sich lo-gisch an dieses Kapitel an. So erhalten wir einen theoretischeren Einblick inTeile der zuvor durchgeführten Schritte. Dabei ist herauszustellen, welcheunterschiedlich komplexen Auswirkungen die beiden Normierungsarten aufdas ursprüngliche Potential am Herzen aufweisen. Während sich die Elektro-

dennormierung sehr direkt berechnen ließ, waren für die Betrachtung derZeitnormierung wesentlich umfangreichere Schritte erforderlich. Abschlie-ßend muss man sich die Frage stellen, in wieweit die Vereinfachung derRealität die Ergebnisse beeinflusst hat. Gerade bei die Betrachtung des ein-

fachen Beispiels wurden einige Einflussfaktoren, wie die Dreidimensionalitätdes menschlichen Körpers, außer acht gelassen.

27

6 Funktionen

Im Folgenden geben wir einen Überblick über sämtliche für diese Arbeiterstellten Funktionen. Einige davon greifen auf ältere Funktionen zu, dievon Frank Wübbeling und Jan Bäumker erstellt wurden. Diese werden nichtim Detail erläutert, befinden sich aber ebenfalls auf der beiliegenden CD.

6.1 Einlesen

Die Funktionen Einlesen_alt und Einlesen_neu werden verwendet, um dieDaten für jeden Patienten in Matlab zu importieren.

Einlesen_alt

Diese Funktion wurde zu großen Teilen übernommen. Lediglich am Endewurde eine Einschränkung auf die für uns relevanten Elektroden eingefügt,vgl. Abbildung 6.1. Die Daten der alten Messung werden in Aalt ∈R105x300000

gespeichert, wobei sich 105 auf die Elektroden und 300000 auf die gemes-senen Zeitpunkte bezieht.

Abbildung 6.1: Eingefügte Zeile in Einlesen_alt

Einlesen_neu

Hier wird wiederum auf bereits vorhandene Matlab-Funktionen zurückge-griffen. Dabei werden die 128 Elektroden zu 1228800 Zeitpunkten in Aneu ∈R128x1228800 gespeichert.

Abbildung 6.2: Matlab-Funktion Einlesen_neu

28

6.2 Gitter

Die Funktion Gitter berechnet die x-Werte der zu den Patienten gehörigenGitter. Dabei wird ermittelt, um welchen Fall es sich handelt bzw. um wel-chen Datensatz. Die lineare Interpolation bestimmt dann die entsprechen-den x-Werte zwischen den bekannten Werten an Ober- und Unterseite.

Abbildung 6.3: Matlab-Funktion Gitter

29

6.3 Interpol

Diese Funktion interpoliert die Daten auf ein neues Gitter. Dabei unterschei-det es zwischen neuen und alten Daten, aber auch zwischen vorne und hin-ten, wie im Quellcode gekennzeichnet. Aus diesem Grund umfasst es quasiviermal einen ähnlichen Code, jeweils an die spezifische Ansprüche ange-passt. Die Ausgabe ist zum einen eine Matrix AI ∈ R189xn2−n1 mit einer Zeilepro Elektrode. Außerdem enthält sie noch eine 3D-Matrix ZI ∈ R9x21x(n1−n2)

die jedem Zeitpunkt eine Ebene entsprechend der Anordnung der Elektro-den zuordnet.

Abbildung 6.4: Matlab-Funktion Interpol Teil 1 (neue Daten)

30

Abbildung 6.5: Matlab-Funktion Interpol Teil 2 (alte Daten)

31

6.4 Normieren

In der folgenden Funktion sind sämtliche Schritte der Normierung zusam-mengefasst. Dabei wird auch die im nächsten Abschnitt vorgestellte Funkti-on Abstand verwendet.

Abbildung 6.6: Matlab-Funktion Normieren

32

Abstand

Die Funktion Abstand normiert mit Hilfe einer Interpolation den Abstandzwischen zwei R-Peaks auf 2000 Zeiteinheiten.

Abbildung 6.7: Matlab-Funktion Abstand

33

Inhalt der CD

Die beigefügte CD enthält die folgenden Dateien:

• abstand.m

• Bachelorarbeit.pdf

• ChannelReaderBDF.c

• derivativefilter.m

• DetectMaxima.m

• detectRS.m

• einlesen_alt.m

• einlesen_neu.m

• gitter.m

• ImportBDFHeader.m

• interpol.m

• lowpassden.mat

• lowpassfilter1.m

• lowpassnum.mat

• normieren.m

• ReadBDFCHannel.m

• transfermatrix4.m

34

Literatur

[1] Seger, Michael: Modeling the Electrical Function of the Hu-

man Heart. Doktorarbeit. University for Health Sciences,Medical Informatics and Technology Institute of Biome-dical Engineering. umit.at. Hall in Tirol, Österreich.

[2] Bäumker, J.J.H.: Mathematische Methoden zur QRS-

Detektion in EKG-BSPM Signalen. Diplomarbeit. Westfä-lische Wilhelms-Universität Münster. Münster, 15. April2010.

[3] Hullerum, Mareike: The inverse Problem of Elektrocardio-

graphy: Explanation based on a simple Example. Bachelor-arbeit. Westfälische Wilhelms-Universität Münster. Müns-ter, August 2012.

[4] Verfürth, Patrick: Reconstruction of the Epicardial Potential

from Body Surface Potential Maps. Diplomarbeit. Westfäli-sche Wilhelms-Universität Münster. Münster, März 2011.

[5] The MathWorks, Inc.: MathWorks. URL:http://www.mathworks.de, 05. März 2013.

[6] Sundnes, J./Lines, G.T./ Cai, X./Nielsen, B.F./Mardal, K.-A./Tveito, A.: Computing the Electrical Activity in the He-

art. Springer Verlag. Simula Research Laboratory. Lysa-ker, 2006.

[7] Raisch, Jörg: Mehrgrößenregelung im Frequenzbereich.Technische Universität Berlin. Berlin, April 2010.

35

Erklärung

Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasstund keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendethabe. Gedanklich, inhaltlich oder wörtlich übernommenes habe ich durchAngabe von Herkunft und Text oder Anmerkung belegt bzw. kenntlich ge-macht. Dies gilt in gleicher Weise für Bilder, Tabellen, Zeichnungen und Skiz-zen, die nicht von mir selbst erstellt wurden

Münster, 7. März 2013

Jonas Kochinke

36