Bachelorarbeit - publik.tuwien.ac.at · 2.2 Strömung durch eine ideale Düse Eine Düse, die von...

INSTITUT FÜR ENERGIETECHNIK UND THERMODYNAMIK Institute of Energy Systems and Thermodynamics

Bachelorarbeit

Überbrückungseffekt (Carry-Over Effekt) bei Durchblicklabyrinthdichtungen

Ausgeführt zum Zwecke der Erlangung des akademischen Grades eines

Bachelor of Science unter der Leitung von

Ao. Univ. -Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Reinhard WILLINGER

Institut für Energietechnik und Thermodynamik

Forschungsbereich für Strömungsmaschinen

eingereicht an der Technischen Universität Wien

Fakultät für

Maschinenwesen und Betriebswissenschaften

von

Dimitrios Strongilis

Matr.Nr.:0627520

Fasangasse 55/ 21A,1030 Wien

Wien, Januar 2010 _________________

Dimitrios Strongilis

Kurzfassung II

Kurzfassung

Die Schwierigkeit bei der Auslegung der Labyrinthdichtungen liegt darin, dass der

Leckagemassenstrom soweit wie möglich minimiert werden soll, um somit die bestmögliche

Dichtwirkung zu erreichen. Diese Arbeit behandelt Labyrinthdichtungen vom Typ des

Durchblicklabyrinths. Die Leckageverluste solcher Dichtungen sind von verschiedenen

Einflussgrößen, u.a. von der Geometrie der Dichtung und vor allem von dem Einfluss des

auftretenden Überbrückungseffektes abhängig.

Ziel dieser Arbeit ist es, den theoretischen Hintergrund, also das Verhalten der Strömung in

der Labyrinthdichtung in Abhängigkeit verschiedener Einflussparamater genauer zu

untersuchen und zu verstehen. Es handelt sich um eine Literaturstudie bezüglich der

charakteristischen Eigenschaft von Durchblicklabyrinthdichtungen, den sogenannten

„Überbrückungseffekt“ und dessen wesentliche Rolle bei der Berechnung des

Leckagemassenstroms. Für die Bestimmung der Leckageverluste von Durchblicklabyrinthen

liegen verschiedene Berechnungsverfahren vor, welche den Einfluss des

Überbrückungseffektes durch die Einführung eines Koeffizienten, auf Deutsch als

Überbrückungsfaktor (in der englischen Literatur als „carry-over coefficient“) bekannt, in der

Durchflussberechnung einbeziehen. Im Rahmen der Arbeit sollen zunächst verschiedene in

der Literatur verwendete Verfahren zur Berechnung des Leckagemassenstroms

zusammengestellt, beschrieben und anhand eines praktischen Beispiels auf eine typische

Labyrinthgeometrie zueinander verglichen werden.

Inhaltsverzeichnis III

Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung ........................................................................................................................ 2

Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................... 3

Verzeichnis der verwendeten Symbole ............................................................................. 4

1 Einleitung ..................................................................................................................... 1

1.1 Allgemeines ........................................................................................................... 1

1.2 Arten von berührungsfreien Dichtungen................................................................. 2

1.3 Grundlagen der Labyrinthströmung ....................................................................... 3

2 Analytische und halb-empirische Berechnungsmethoden ...................................... 4

2.1 Durchflussbeiwert CD ............................................................................................. 4

2.2 Strömung durch eine ideale Düse .......................................................................... 4

2.3 Strömung durch eine Labyrinthdichtung................................................................. 6

2.3.1 Wichtige Kennzahlen .................................................................................................... 6

2.3.2 Massenstrom durch eine Labyrinthdichtung .................................................................. 8

2.4 Berechnung nach Stodola und Egli ........................................................................ 9

2.4.1 Verfahren nach Stodola .............................................................................................. 10

2.4.2 Verfahren nach Egli .................................................................................................... 12

3 Überbrückungseffekt (Carry-Over Effect) ................................................................ 14

3.1 Berechnung des Durchblicklabyrinths .................................................................. 14

3.1.1 Analytische und halb-empirische Rechenverfahren ..................................................... 15

3.1.2 Numerische Strömungsberechnung (CFD-Methode) ................................................... 19

4 Gegenüberstellung der Berechnungsverfahren ...................................................... 31

4.1 Beispiel ................................................................................................................ 32

4.1.1 Berechnung ................................................................................................................ 32

5 Zusammenfassung .................................................................................................... 39

Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 40

Abbildungsverzeichnis ..................................................................................................... 42

Verzeichnis der verwendeten Symbole IV

Verzeichnis der verwendeten Symbole

Lateinische Formelzeichen

Durchflusszahl

Querschnittsfläche

Dicke des Labyrinthbleches

Abkürzung

Strömungsgeschwindigkeit (axial Velocity)

spezifische Wärmekapazität

Durchflussbeiwert

Kontraktionszahl

Wellendurchmesser

Spitzenhöhe

spezifische Enthalpie

Massenstrom durch das Labyrinth

Massenstrom durch die ideale Düse

Anzahl der Labyrinthbleche

Druck

Totaldruck am Eintritt

statischer Druck am Austritt

Kantenradius

Wellenradius

Statorradius

spezielle Gaskonstante

Reynoldszahl

Spaltweite

Teilung

Totaltemperatur am Eintritt

spezifisches Volumen

Griechische Formelzeichen

„Restenergie“-Faktor (Residual-Energy-Factor)

Winkel der Zuströmung

Überbrückungsfaktor (carry-over-factor)

Druckdifferenz

relative Exzentrizität

dynamische Viskosität

Verzeichnis der verwendeten Symbole V

Isentropenexponent

Kontraktionszahl

Überbrückungsfaktor (carry-over-coefficient)




Druckverhältnis (Pressure Ratio)

Reibungszahl

Anteil der kinetischen Energie, der für die Expansion in der nächsten

Labyrinthstufe verfügbar ist

Durchflussfunktion

Theoretische Durchflussfunktion

Hochgestellte Indizes

* kritisch

Tiefgestellte Indizes

Eintrittszustand

Austrittszustand

-tes Labyrinthblech ( )

kritisch

Stufenzahl

Stator

Welle (Rotor)

Einleitung 1

1 Einleitung

1.1 Allgemeines

Im thermischen Turbomaschinenbau erfolgt die Abdichtung zwischen rotierenden und

stillstehenden Maschinenteilen aufgrund der extremen Betriebsbedingungen, wie hohe

Drehzahlen, Temperaturen und Drücken üblicherweise durch berührungsfreie Dichtungen.

Auf Grund ihres berührungsfreien Aufbaus – d.h. keine Kontaktstellen zwischen Rotor und

Stator- wird keine Reibungswärme erzeugt. Infolgedessen sind solche Dichtungen im

Vergleich zu berührenden Dichtungen sicher gegen Heißlaufen und Beschädigung der

Dichtungsanordnung. Sie weisen eine wesentlich höhere Lebensdauer auf und benötigen

keine Schmierung. Die Einsatztemperaturen sind ebenfalls sehr hoch und es gibt aufgrund

ihres reibungsfreien Betriebes keine Begrenzung der Drehzahl. Unter normalen

Betriebsverhältnissen – d.h. Berührungsfreiheit und genügend Widerstand gegen

Strahlverschleiß - bleibt die Abdichtung unveränderlich in Bezug auf die Dichtwirkung und

abnutzungsfrei.

Die berührungsfreien Dichtungen an Turbomaschinen werden heute im Allgemeinen als

Labyrinthdichtungen ausgeführt. Sie bestehen aus mehreren aufeinanderfolgenden

Drosselstellen und Ausgleichsräumen (Wirbelkammern), die durch dünne hintereinander

angeordnete, im Gehäuse und/oder am Rotor befestigte Labyrinthbleche gebildet werden.

Durch die Anwendung von Labyrinthdichtungen ist eine absolute Dichtheit nicht möglich. Sie

bieten trotzdem einen guten Kompromiss zwischen geringem Leckageverlust und hoher

Betriebssicherheit an. Als Folge des verbleibenden Labyrinthspaltes zwischen den Spitzen

der Labyrinthbleche und der gegenüberliegenden Wand tritt immer ein

Leckagemassenstrom auf, der einen Einfluss auf den Wirkungsgrad der Turbomaschine hat.

Diese Leckageverluste haben beispielsweise zur Folge, dass unerwünschte

Druckabsenkungen entstehen, die eine Verminderung des Wirkungsgrades mit sich bringen.

Der auftretende Leckagemassenstrom wird hauptsächlich durch das angelegte

Druckverhältnis, durch die Radialspaltweite und durch die Geometrie der Labyrinthdichtung

beeinflusst und wird als äußerer Verlust in der thermischen Turbomaschine wirksam.

Bei der Gestaltung der Dichtung werden der Strömung viele Hindernisse in den Weg gelegt,

um einen möglichst hohen Durchflusswiderstand und die daraus resultierenden geringen

Leckagemassenströme zu erreichen. Das Bestreben, die Verluste in Turbomaschinen so

gering wie möglich zu halten führt bei den Labyrinthdichtungen dazu, die Spaltweiten sehr

klein zu gestalten und die Anzahl der hintereinander angeordneten Labyrinthbleche zu

vergrößern. Allerdings dürfen die abzudichtenden Flächen aus Gründen der

Betriebssicherheit soweit angenähert werden, dass es zu keiner Berührung von festen

Einleitung 2

Körpern kommt. Deswegen ist es sinnvoll eine bestimmte Mindestspaltweite nicht zu

unterschreiten, um mögliche Schäden durch Anstreifen des Läufers bei auftretenden

selbsterregten Schwingungen der Welle zu vermeiden. Solche Läuferschwingungen machen

sich entweder beim Überschreiten einer bestimmten Drehzahl oder Leistung bemerkbar.

Nach Traupel ermittelt man die mindest notwendige Dichtspaltweite im Dichtungsbereich

einer Dampf- oder Gasturbine nach der Beziehung:

(1.1)

Der Wellendurchmesser ist hier in einzusetzen. Die Konstante berücksichtigt die

Wärmedehnung und Lagerspiele. Für Dampf- und Gasturbinen ist .

1.2 Arten von berührungsfreien Dichtungen

Die unterschiedlichen Einsatzgebiete und Einbauverhältnisse von Labyrinthdichtungen

stellen bedeutende Anforderungen bezüglich ihrer geometrischen Form. Je nach Bauart

unterscheidet man zwischen Volllabyrinthen, Stufenlabyrinthen, Nutenlabyrinthen und

Durchblicklabyrinthen.

Durchblicklabyrinthe (Abb. 1.1) haben einen einfachen Aufbau und sind durch ihre gute

Montierbarkeit und die vergleichsweise hohe Leckage gekennzeichnet. Hauptgrund für die

hohen Leckageverluste ist der sogenannte „Überbrückungseffekt“ (im Englischen „Carry-

Over Effekt“) [1]. Darunter versteht man die Erscheinung, dass bei Durchblicklabyrinthen ein

gewisser Anteil der kinetischen Energie der Strömung unverwirbelt die nächste

Labyrinthspitze erreicht und in den Kammern nicht in Reibungswärme umgewandelt wird.

Abbildung 1.1: [1] Durchblicklabyrinth

Abbildung 1.2: [1] Volllabyrinth

Der Überbrückungseffekt kommt bei Volllabyrinthen (Abb. 1.2) nicht vor. Im Vergleich zu

Durchblicklabyrinthen weisen sie aufgrund ihrer besseren Dichtungseigenschaften einen

geringeren Leckagenmassenstrom auf, sind aber in vielen Anwendungen nicht einsetzbar,

da diese ein Gehäuse mit axialer Teilfuge erfordern. Ein weiterer Nachteil von

Volllabyrinthen sind die hohen Fertigungskosten infolge ihrer komplexen Gestaltung.

Einleitung 3

1.3 Grundlagen der Labyrinthströmung

Eine Analyse der Durchflussmenge durch eine Labyrinthdichtung beruht auf der Annahme,

dass in jedem Labyrinthspalt eine isentrope Expansion und in der nachfolgenden

Wirbelkammer ein isobarer Verzögerungsvorgang (Verwirbelung) erfolgt. Im „idealen“

Labyrinth wird die im Labyrinthspalt erreichte Geschwindgkeitsenergie vollständig durch

Verwirbelung in Reibungswärme umgesetzt.

Abbildung 1.3: Fanno-Kurve.

Der gesamte thermodynamische Vorgang in einer Labyrinthdichtung kann mit Hilfe der

Fanno-Kurve dargestellt werden. Die Fanno-Kurve kann als der geometrische Ort der

Zustände in den einzelnen Drosselstellen im h-s-Diagramm definiert werden, die bei einem

gegebenen Ausgangsruhezustand und einer gegebenen Durchflussmenge in

einem Durchtrittsquerschnitt entspechend der Kontinuitätsgleichung und der Bedingung

konstanter Eintrittsenthalpie möglich sind. Der Vorgang führt also auf dieselbe

Eintrittsenthalpie zurück. Der Ausgangspunkt im h-s-Diagramm ist der Gaszustand vor dem

Labyrinth mit den Werten . Das Fluid expandiert vom Ruhezustand vom Druck

auf den Druck . Für die angestrebte Durchflussmenge kann der Druckabfall im ersten

Labyrinthspalt berechnet werden. Damit werden der Anfangspunkt und der gesamte Verlauf

der Fanno-Kurve bestimmt. Nun ergibt sich für ein ideales Labyrinth entsprechend der

Abbildung 1.3 eine Abfolge von isobaren Verwirbelungen und isentropen Expansionen bis

der Aussendruck erreicht ist. Falls die letzte Isentrope sich als Kurventangente darstellt,

bedeutet dies, dass Schallgeschwindigkeit auftritt. Die von der Fanno-Kurve beschriebenen

Zustände werden jeweils nur in den Labyrinthspalten erreicht. Wird dieses Verfahren mit

einem h-s-Diagramm des abzudichtenden Gases durchgeführt, so kann im Prinzip durch

abzählen der vertikalen Linien (Expansionen) im sägezahnartigen Verlauf des Prozesses die

für die angenommene Durchflussmenge erforderliche Anzahl an Labyrinthbleche ermittelt

werden. Dieses Verfahren ist relativ einleuchtend um die Physik des Labyrinths

nachzuvollziehen. In der Praxis ist es jedoch umständlich. Deshalb versucht man, den

Leckagemassenstrom mittels einfacheren Rechenverfahren zu bestimmen.

p0 pα

(Fanno-Kurve)

h0 = konst.

s

h

Analytische und halb-empirische Berechnungsmethoden 4

2 Analytische und halb-empirische

Berechnungsmethoden

2.1 Durchflussbeiwert CD

Der Durchflussbeiwert oder -Wert1 stellt eine Möglichkeit zur Beschreibung der Leckage

und Beurteilung der Dichtwirkung von Labyrinthdichtungen verschiedener Bauart dar [2].

Dabei wird die tatsächliche Labyrinthströmung mit der isentropen Strömung durch eine

ideale Düse bei gleichem Druckverhältnis verglichen. Der -Wert ist dimensionslos und

wird als Verhältnis vom Leckagemassenstrom zum Massenstrom durch die

verlustfrei durchströmte Düse definiert.

(2.1)

Der Leckagemassenstrom kann experimentell, rechnerisch oder mit Hilfe der CFD-

Methode ermittelt werden.

2.2 Strömung durch eine ideale Düse

Eine Düse, die von einem idealen Gas verlustfrei durchströmt wird, soll nachfolgend als

ideale Düse bezeichnet werden (Abb. 2.1). Aus der Energiegleichung folgt für die

Geschwindigkeit c:

(2.2)

Angenommen, dass sich das Fluid als ideales Gas mit und verhält,

ergibt sich aufgrund der Beziehung zwischen spezifischer Wärmekapazität und

Gaskonstante für die Geschwindigkeit an einer beliebigen Stelle in der Düse wo

der Druck herrscht:

(2.3)

Ausgehend von einer isentropen Zustandsänderung mit und unter Beachtung

der Kontinuitätsgleichung ergibt sich für den Massenstrom

1 Die Bezeichnung ist vom englischen Begriff Discharge Coefficient abgeleitet.


(2.4)

mit als die Durchflussfunktion einer idealen Düse.

Abbildung 2.1: [1] Ideale Düse.

Beim kritischen Druckverhältnis wird die größtmögliche Geschwindigkeit in der engsten,

durchströmten Stelle erreicht. Daher erreicht die Durchflussfunktion ihr Maximum (Abb.

2.2). Durch die folgende Bedingung ergibt sich der Maximalwert der Durchflussfunktion.

(2.5)

Abbildung 2.2: [2] Verlauf der Durchflussfunktion .

T0

p0

c0=0 c

p pα

A


Beim Erreichen des kritischen Druckverhältnisses wird am Austrittsquerschnitt der Düse

Schallgeschwindigkeit ( ) erreicht. Für überkritische Druckverhältnisse muss das

kritische Druckverhältnis der Düse in Gl.2.8 eingesetzt werden. Dieses ergibt für einen

Isentropenexponent von ( ).

(2.6)

Der Massenstrom durch eine ideale Düse berechnet sich zu:

(2.7)

(2.8)

(2.9)

2.3 Strömung durch eine Labyrinthdichtung

2.3.1 Wichtige Kennzahlen

2.3.1.1 Kontraktionszahl

Abbildung 2.3: [2] Strahlkontraktion

Beim Einströmen in den Spaltquerschnitt der Spaltweite s wird das Fluid wie in einer

scharfkantigen Blende annähernd isentrop beschleunigt. Bei der Umströmung eines


tatsächlich scharfkantigen Randes löst sich der Strahl ab und es kommt zu einer mehr oder

weniger starken Einschnürung des Strömungsquerschnittes, wie in Abbildung 2.3 ersichtlich

ist. Der engste Strömungsquerschnitt liegt an der Stelle der stärksten Strahleinschnürung

und ist kleiner als der geometrische Spaltquerschnitt .

Allerdings haben Labyrinthdichtungen in der Realität keine scharfkantigen sondern

abgerundeten Kantenformen. Nach Trutnovsky und Komotori [3] kann die Kontraktionszahl

(2.10)

mit als Einschnürungszahl für den vollkommen scharfkantigen Spalt

näherungsweise berechnet werden (Abb. 2.4). Infolge der ziemlich kleinen Spaltweiten bei

berührungslosen Dichtungen ist die Kontraktionszahl vom Kantenradius r stark beeinflusst.

Aus Abbildung 2.5 erkennt man, dass je kleiner die Spaltweite wird, umso stärker der

Einfluss des Kantenradius wird. Bei einem Wert von liegt keine Einschnürung vor. In

diesem Fall erfährt der Strahl keine Kontraktion mehr und die Drosselöffnung entspricht in

ihrem Verhalten nicht mehr einer Blende, sondern einer Düse [3].

Abbildung 2.4: [2] Kontraktionszahl für eine

seitlich liegende Öffnung.

Abbildung 2.5: [2] Einfluss des Kantenradius

auf die Kontraktionszahl .

2.3.1.2 Reibungszahl

Im realen Labyrinth beschleunigt sich das Fluid beim Durchströmen der Drosselspalte

polytrop (Abb. 2.6). Die Strömung erfährt durch den Einfluss der Reibung eine Verringerung

ihrer Geschwindigkeit , die durch die Reibungszahl berücksichtigt wird. Für die

Ermittlung der Reibungszahl werden die Zustandsänderungen eines reibungsbehafteten und

eines reibungsfreien Strömungsprozesses verglichen. Im Idealfall wird in jedem

Labyrinthspalt das Enthalpiegefälle isentrop in Strömungsgeschwindigkeit umgesetzt.


Abbildung 2.6: [2] Zustandsänderung beim Durchströmen eines Labyrinthbleches.

Die Ausströmgeschwindigkeit bei isentroper Zustandsänderung wird als Funktion des

adiabaten Wärmegefälles angegeben: .

Für den tatsächlichen Strömungsprozess (polytrope Zustandsänderung) vermindert sich die

Strömungsgeschwindigkeit beim Austritt aus der Düse zu: .

Die Reibungszahl φR ist durch das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten definiert.

(2.11)

2.3.1.3 Durchflusszahl

Kontraktionszahl und Reibungszahl können zu der Durchflusszahl

(2.12)

zusammengefasst werden, die sich empirisch als Verhältnis von tatsächlichem zu

theoretischem (idealem) Massenstrom bestimmen lässt.

2.3.2 Massenstrom durch eine Labyrinthdichtung

Die Massenstromgleichung für eine Labyrinthdichtung entspricht der Formel für die ideale

Düse. Nun ist wichtig, dass sowohl die Auswirkungen der Strahleinschnürung als auch der

Reibungsverhältnisse im Labyrinthspalt auf die Bestimmung des Massenstroms

berücksichtigt werden müssen, indem die Durchflusszahl hinzugefügt wird [2].

(2.13)


Labyrinthdichtungen bestehen aus mehreren aufeinanderfolgenden Drosselstellen, wobei für

jede Drosselstelle eine Durchflussfunktion gültig ist. Aus Kontinuitätsgründen gilt, dass

derselbe Leckagemassenstrom der durch die gesamte Labyrinthdichtung mit

Drosselstellen fließt, ebenso durch jede einzelne Drosselstelle fließt [2].

Abbildung 2.7: Labyrinthblechschema.

(2.14)

1, 2,… n sind dabei die Durchflussbeiwerte für die je Labyrinthblech anliegenden

Druckverhältnisse, wobei die Nummerierung der Indizes laut Abbildung 2.7 erfolgt.

Ausgehend von einer isothermen Zustandsänderung ergeben sich

aus Gl.2.14 folgende Beziehungen:

(2.15)

Der Eintrittsdruck und das spezifische Volumen können als gegeben angesehen

werden. Ist der Durchflussbeiwert einer Labyrinthdichtung mit Blechen auch bekannt,

so lässt sich der Leckagemassenstrom durch folgende Gleichung einfach berechnen.

(2.16)

2.4 Berechnung nach Stodola und Egli

Für eine große Zahl von Labyrinthblechen ist das iterative Verfahren zur Berechnung der

Durchflussfunktion jedoch zu aufwendig und ungenau, da sich die Fehler mit jedem

Iterationsschritt addieren und verstärkt werden [3]. Aus diesem Grund wurden von einer

großen Anzahl von Autoren analytische und halb-empirische Berechnungsverfahren

entwickelt, um die theoretisch hergeleiteten Gleichungen mit der realen Strömung im

p0 p1 p3 p2 pn-2 pn-1 pn

1 2 3 n-1 n ….


Einklang zu bringen. Zunächst wird auf die grundsätzlichen Berechnungsverfahren von

Stodola und Egli eingegangen.

2.4.1 Verfahren nach Stodola

Stodola betrachtete das Labyrinth als Folge hintereinander angeordnete Labyrinthbleche

und entwickelte unterschiedliche Gleichungen zur Berechnung der Lässigkeit des unter- und

überkritisch durchströmten Labyrinths. Stodola geht davon aus, dass der Labyrinthspalt sehr

kurz ist bzw. keine endliche Ausdehnung besitzt. Dadurch kann der Reibungsverlust an der

Dichtspitze vernachlässigt werden. Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass der Raum

zwischen den Labyrinthblechen bezüglich Form und Größe der Art gestaltet ist, dass die im

Labyrinthspalt erzeugte kinetische Energie des Fluides in der nachfolgenden Kammer bei

konstantem Druck durch Verwirbelung vollständig dissipiert wird.

Angenommen, dass die Druckdifferenz je Labyrinthblech sehr klein ist, kann die Strömung

lokal als inkompressibel betrachtet werden. Die Strömungsgeschwindigkeit im Labyrinthspalt

ist dann nach der für kleine Druckdifferenzen gültigen Relation:

(2.17)

Dabei ist die zum mittleren Druck während des Druckabfalls gehörige Dichte. Für

den Spaltmassenstrom folgt aus Gl.2.18:

(2.18)

Die Druckdifferenz am Labyrinthblech beträgt dann

(2.19)

Aufgrund konstanter Eintrittsenthalpie vor jeder Drosselstelle kann wegen der isothermen

Zustandsänderung beim idealen Gas ( ) gesetzt werden. Nach einer Multiplikation

mit auf beiden Seiten ergibt sich für Gl.2.20:

(2.20)

Für die insgesamt Drosselstellen folgt somit

(2.21)


Ist die Anzahl der Drosselstellen ausreichend groß, so wird der Summenausdruck

näherungsweise durch ein Integral ersetzt

(2.22)

und daraus ergibt sich schließlich die nach Stodola benannte Gleichung zur Berechnung des

Leckagemassenstrom eines unterkritisch durchströmten Labyrinths mit Labyrinthblechen.

(2.23)

Bei großem Druckgefälle an der letzten Labyrinthstufe kann der kritische Druck bzw.

Schallgeschwindigkeit erreicht werden. Für die kritische Strömungsgeschwindigkeit an

der letzten Stufe gilt [4]:

(2.24)

Aus der Isentropengleichung gilt für das kritische Verhältnis des spezifischen

Volumens:

(2.25)

Aus Gl.2.24 und Gl.2.25 gilt für den Spaltmassenstrom:

(2.26)

Für die ersten -Stufen darf man den Spaltmassenstrom durch die Gl.2.23 für

das unterkritisch durchströmte Labyrinth nach Stodola ausrechnen und mit Gl.2.26 aus

Kontinuitätsgründen gleichsetzen. Es folgt

(2.27)

(2.28)


Aus Gl.2.28 kann man berechnen und in die Gl.2.26 einsetzen. Daraus folgt:

(2.29)

Damit ergibt sich die nach Stodola benannte Gleichung zur Berechnung des

Leckagemassenstrom eines überkritisch durchströmten Labyrinths mit Labyrinthblechen:

(2.30)

2.4.2 Verfahren nach Egli

Dieses Berechnungsverfahren für die Labyrinthströmung kompressibler Medien geht von

einer adiabaten Expansion durch eine scharfkantige Blende aus [3].

„Während für die Düse ein kritisches Druckverhältnis erkennbar ist, ab dem der

Massenstroms trotz kleiner werdendem Druckverhältnis konstant bleibt, konnte für die scharfkantige

Blende nach Messungen von Egli kein kritisches Druckverhältnis gefunden werden.“ (Matthias,A.,

2007, S.32)

Egli [9] vergleicht die unterschiedlichen Durchflussfunktionen einer scharfkantigen Blende

und einer ideal durchströmten Düse.

Abbildung 2.8: [2] Durchflußfunktionen für scharfkantige Blende und ideale Düse.

Er erkennt dabei, dass für Druckverhältnisse beide Durchflussfunktionen laut

Abbildung 2.8 nahezu übereinstimmen, und gibt eine Näherungsformel an, mit der sich die

Durchflussbeiwerte einfacher und genauer als mit dem iterativen Verfahren berechnen

lassen. Es ist zu beachten, dass die Näherungsformel von Egli sich auf die Gleichung der


Durchflussfunktion für die ideal durchströmte Düse beruht und darf aus diesem Grund nur im

Bereich für eine scharfkantige Blende verwendet werden [2].

(2.31)

In seltenen Fällen kann es passieren, dass an der letzten Drosselstelle das anliegende

Druckverhältnis kleiner als ist. In diesem Fall darf der Durchflussbeiwert der ( )

- Stufe mit der Näherungsformel von Egli Gl.2.31 ermittelt werden. Zur Ermittlung des

Durchflussbeiwertes an der letzten Stufe muss die Durchflussfunktion der

scharfkantigen Blende aus Abbildung 2.8 verwendet werden. Zuerst wird jedoch der Druck

geschätzt. Durch folgende Beziehung

(2.32)

lässt sich dann der Durchflussbeiwert der scharfkantigen Blende (an der letzten Stufe des

Labyrinths) ausrechnen. Ist der Durchflussbeiwert bekannt, kann aus Abbildung 2.8

das Druckverhältnis abgelesen werden. Die entgültige Gleichung für den

Leckagemassenstrom nach Egli lautet:

(2.33)

Da aber für die Blende kein kritisches Druckverhältnis existiert, ist Egli’s Gleichung für das

überkritsche Gebiet nicht ohne weiteres als jederzeit gültig anzusehen.

p0 p1 p3 p2 pn-2 pn-1 pn

1 2 3 n-1 n,BL ….

n-1 aus Gl.2.32

Abbildung 2.9: Labyrinthblechschema.

Überbrückungseffekt (Carry-Over Effect) 14

3 Überbrückungseffekt (Carry-Over Effect)

Durchblicklabyrinthe sind durch den sogenannten Überbrückungseffekt (in der englischen

Literatur als carry-over effect bezeichnet) gekennzeichnet. Der Uberbrückungseffekt als

charakteristische Eigenschaft von Durchblicklabyrinthen äußert sich darin, dass ein gewisser

Teil des Fluides unverwirbelt die Labyrinthkammer überströmt, während der restliche Teil in

den Wirbel der Kammer eintritt.

Bei den halb-empirischen Berechnungsverfahren wie das Verfahren nach Egli und Stodola

wird davon ausgegangen, dass aufgrund der starken Verwirbelung die kinetische Energie

der Strömung in der Wirbelkammer vor dem nächsten Labyrinthspalt fast vollständig

vernichtet wird und aus diesem Grund die Zuströmgeschwindigkeit als vernachlässigbar

klein angenommen werden darf. Bei der wirklichen (tatsächlichen) Labyrinthströmung kann

diese Annahme nicht erfüllt werden. Die in den Labyrinthspalten erzeugte

Geschwindigkeitsenergie wird in den folgenden Wirbelkammern nicht vollständig vernichtet,

so dass Stromfäden entstehen, die mit der gleichen oder mit verminderter kinetischer

Energie in den folgenden Kammern eintreten.

Dadurch bildet sich innerhalb jeder Kammer eine Lässigkeitsströmung aus. Während sie im

Volllabyrinth fast 90° umgelenkt werden muss, um in den nächsten Labyrinthspalt

einzutreten, tritt die Lässigkeitsströmung beim Durchblicklabyrinth auf geradem Weg über

die Wirbelkammer in den nächsten Labyrinthspalt ein. Durch den auftretenden

Überbrückungseffekt bei Durchblicklabyrinthen ist die kinetische Energie des Fluides beim

Eintritt in den Labyrinthspalt grösser als bei Volllabyrinthen [2].

3.1 Berechnung des Durchblicklabyrinths

Abbildung 3.1: [1] Durchblicklabyrinth.


Es wurde bereits viel Forschungsaufwand für eine möglichst genaue Bestimmung des

Leckagemassenstroms durch eine Labyrinthdichtung betrieben. Eine Vielzahl von

wissenschaftlichen Arbeiten befasste sich mit der rechnerischen und experimentellen

Bestimmung des Leckagemassenstroms des Labyrinths und daraus wurden verschiedene

analytische und halb-empirische Berechnungsverfahren entwickelt. Vor allem bei

Durchblicklabyrinthen (Abb. 3.1), wo aufgrund des auftretenden Überstromeffektes, die

Bestimmung der Leckage mittels der Fanno-Kurve (siehe Abschn. 1.3) oder mittels der bis

jetzt angegebenen Gleichungen (Gl.2.23), (Gl.2.30), (Gl.2.33) ziemlich ungenau erscheint.

3.1.1 Analytische und halb-empirische Rechenverfahren

Die Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung des Leckagemassenstroms von

Labyrinthdichtungen war seit 1908 von wissenschaftlichem Interesse, als Martin ein

ähnliches mathematisches Modell präsentierte [7].

„ Martin’s Equation is derived based on the approach of determining the number of blades

required to achieve a given pressure drop, then relating that number to the work done in dropping the

pressure. The work done is then related to the flow-rate through the kinetic energy of the fluid.”

(Gamal,A.M., 2007, S.25)

Ausgehend von einer kompressiblen Strömung mit angenommener sehr kleiner

Druckdifferenz je Labyrinthblech, sodass die Strömung als inkompressibel betrachtet werden

darf, ist die Labyrinthgleichung nach Martin in folgender Form zu finden [3].

(3.1)

Martin‘s Labyrinthgleichung gilt nur unter der Annahme einer isothermen Zustandsänderung

( ) und wenn entlang des ganzen Labyrinths die Schallgeschwindigkeit nicht erreicht

wird (unterkritisch durchströmtes Labyrinth). Es handelt sich um einen analytischen Ansatz

zur Ermittlung des Leckagemassenstroms, dessen Ergebnisse nicht experimentell überprüft

wurden. Sowohl Martin, als auch Stodola haben versäumt, den Einfluss des

Überbrückungseffektes beim Durchblicklabyrinth in ihre Berechnungen einzubeziehen. Im

nachstehenden werden mehrere Berechungsverfahren angegeben.

Egli’s Labyrinthgleichung

Das durch Egli [9] angegebene „praktische“ Verfahren liefert eine analytische und

experimentelle Angehensweise des Labyrinth-Problems auf Basis der Labyrinthgleichung

nach Martin, welche auf die charakteristischen Merkmale der Strömung durch eine

scharfkantige Mündung beruht. Er gibt als Maß für die nicht vollständige Verwirbelung der


kinetischen Energie in den Labyrinthkammern einen Überbrückungsfaktor ξ an. Die

Gleichung für den Leckagemassenstrom eines Durchblicklabyrinths nach Egli lautet:

(3.2)

Abbildung 3.2: [10] Überbrückungsfaktor ξ nach Egli.

Der Überbrückungsfaktor kann rechnerisch nur schwer ermittelt werden und wird deshalb

bei höheren Genauigkeitsanforderungen experimentell bestimmt. Dieser ist von der Anzahl

der Labyrinthbleche und dem Verhältnis Spaltweite/Teilung (siehe Abb. 3.1) abhängig.

Abbildung 3.2 zeigt die von Egli ermittelten Verläufe des Überbrückungsfaktors ξ in

Abhängigkeit vom Spaltweite/Teilung Verhältnis.

Hodkinson’s Labyrinthgleichung

Aufbauend auf Egli‘s Gleichung für die Berechnung des Leckagemassenstroms entwickelte

Hodkinson einen halb-empirischen Ansatz zur Berücksichtigung des Einflusses vom

Überbrückungseffekt auf die Leckage von Durchblicklabyrinthen [12]. Während Egli einen

empirisch festgelegten Faktor verwendet hatte, leitete Hodkinson eine Gleichung für den

Überbrückungsfaktor ab, die auf Annahmen bezüglich der Strahlgeometrie beruht. Er geht

davon aus, dass der in der Wirbelkammer austretende Freistrahl nach seiner Einschnürung

am Dichtspalt eine konische Ausbreitung unter einem bestimmten Winkel ß erfährt. Ein Teil

des Strahles tritt in den Wirbel der Kammer ein, wo seine Geschwindigkeitsenergie dissipiert

wird, während der restliche Teil ungehindert über die Wirbelkammer transportiert wird.

Hodkinson entwickelte eine mathematische Relation zwischen dem Überbrückungsfaktor

und dem Anteil der kinetischen Energie , der für die Expansion in der nächsten

Labyrinthstufe verfügbar ist. Er argumentierte somit, dass der Anteil der undissipierten

kinetischen Energie mit zunehmendem Überbrückungseffekt zunimmt.


(3.3)

Der Überbrückungsfaktor wurde von Hodkinson als Funktion des Winkels dargestellt. Der

Winkel entsteht durch die Staupunktstromlinie, welche laut Abbildung 3.3 die in die

Wirbelkammer eintretenden Stromlinien von denjenigen, die unter die Spitzen der

Labyrinthbleche hinweggehen, trennt. Für Durchblicklabyrinthe gibt Hodkinson folgende

halb-empirische Durchflussgleichung an [7]:

Abbildung 3.3: [7] Konische Strahlausbreitung unter dem

Winkel .

Abbildung 3.4: [7] Abhängigkeit zwischen

und .

(3.4)

(3.5)

Neumann’s Labyrinthgleichung

Neumann erkennt in seinen experimentellen Untersuchungen, dass beim Durchströmen des

Labyrinthspaltes in Wirklichkeit nur ein Teil der Strömungsenergie - nämlich der Anteil -

durch die folgenden Labyrinthspalte weitergeführt wird. Der Faktor hängt von der

Labyrinthgeometrie ab und kann Werte zwischen 0 und 1 nehmen, wobei vollständige

Vernichtung der kinetischen Energie der Strömung und ungehindertes Durchströmen

bedeutet [3]. Neumann stellt den Überbrückungsfaktor als Funktion von dar. Der Einfluss


der Strahlkontraktion wird von Neumann durch die Einführung eines halb-empirisch

ermittelten Durchflusskoeffizienten berücksuchtigt [6].

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Vermes‘ Labyrinthgleichung

Ausgehend von der Labyrinthgleichung von Martin untersuchte Vermes [4] theoretisch und

praktisch das Durchflussverhalten von Durchblicklabyrinthen und stellte fest, dass Martins

Labyrinthgleichung fehlerhaft wird, wenn der Abstand zwischen den Labyrinthblechen -die

Teilung- zu klein wird, um vollständige Umsetzung der kinetischen Energie in

Reibungswärme zu erreichen. Um den Anteil der kinetischen Energie („Restenergie“ [3]) der

Strömung, der unverwirbelt in die nächste Kammer transportiert wird in Rücksicht zu

nehmen, führte er in seinen Berechnungen einen Überbrückungsfaktor ein. Diesen stellt

er als Funktion eines von ihm eingeführten Restenergie-Faktors (im Englischen „residual-

energy coefficient“), welchen Vermes näherungsweise mittels der Grenzschichttheorie

ermittelte. Die Gleichung für die Durchflussfunktion lautet dann:

(3.9)

(3.10)

Verfahren nach Yucel und Kazakia

In ihren Untersuchungen setzten Yucel und Kazakia [5] zum Ziel einen analytischen Ansatz

zur Bestimmung der Leckageverluste durch den Durchblicklabyrinth auf der Basis der

Labyrinthgleichung nach Neumann (Gl.3.6) zu entwickeln. Mittels einer Formel (Gl.3.12) zur

Bestimmung des Überbrückungsfaktors, die als Funktion der Labyrinthblechanzahl

dargestellt wird, präsentierten die benannten Wissenschaftler ein analytisches

Berechnungsverfahren des Leckagemassenstroms. Auf Grund der Komplexität des


iterativen Verfahrens zur Ermittlung des Durchflusskoeffizienten legten Yucel und Kazakia

den Wert für ihre Berechnungen fest. Der Vergleich der Werte aus dem

analytischen und numerischen Verfahren ergab, dass diese eine hohe Übereinstimmung

aufwiesen, während beiden Verfahren - verglichen zu der Prüfstandmessung - relativ

überschätzte Ergebnisse nachgewiesen wurden.

(3.11)

(3.12)

Verfahren nach Dereli und Eser

Das untersuchte Labyrinthmodell von Dereli und Eser [10] war ein Durchblicklabyrinth, der

einmal mit Rotorblechen -Labyrinthblechen, die am Rotor sitzen- und einmal mit

Statorblechen -Labyrinthblechen, die am Stator sitzen- ausgeführt wurde. Ausgehend von

einer rotationssymmetrischen, stationären, kompressiblen Strömung verwendeten die

Autoren zur Berechnung des Leckagemassenstromes eine modifizierte Version der

Labyrinthgleichung nach Neumann (Scharrer‘s Equation) [7]. Es handelt sich um eine

Kombination der Gleichung nach Neumann Gl.3.6 und des von Vermes entwickelten

Überbrückungsfaktors Gl.3.10. Neumann’s modifiziertes Berechnungsverfahren für den

Leckagemassenstrom ist in folgender Form zu finden:

(3.13)

Im Fall des Erreichens der Schallgeschwindigkeit in der letzten Labyrinthstufe ergibt sich für

den Leckagemassenstrom:

(3.14)

3.1.2 Numerische Strömungsberechnung (CFD-Methode)

Zur Berechnung des Leckagemassenstroms stehen im Allgemeinen Gleichungen zur

Verfügung, in denen die Geometrie des Labyrinthes sowie der thermodynamische Zustand

(z.B. Gesamtdruckverhältnis) vor und nach der Dichtstrecke enthalten sind. Oft sind das

Gesamtdruckverhältnis und die Eintrittstemperatur der Labyrinthdichtung bereits

vorgegeben. Zur Minimierung des Leckagemassenstroms bleibt somit nur noch die Variation

der verschiedenen Geometrieparameter (z.B. Teilung, Spaltbreite, Spitzenbreite,


Kammerhöhe). Heutzutage wird untersucht inwieweit es möglich ist, den

Leckagemassenstrom durch numerische Simulation bei einer gegebenen Geometrie

vorauszuberechnen. Es werden von vielen Autoren numerische Modelle entwickelt und

ständig optimiert mit dem Ziel, die aufwendigen experimentellen Untersuchungen zukünftig

durch numerische Methoden zu ersetzen.

Studie von Suryanarayanan und Morrison

In ihrer Arbeit nahmen sich Suryanarayanan und Morrison [6][7] vor den Einfluss

verschiedener Strömungs- und Geometrieparameter auf das Durchflussverhalten bzw. auf

den Überbrückungsfaktor zu untersuchen. Aufgrund seines inkompressiblen

Strömungsverhaltens wurde in dieser Studie Wasser als Versuchsmittel verwendet.

Ausgehend von einer rotationssymmetrischen Geometrie und einer inkompressiblen,

stationären, turbulenten Labyrinthströmung entwickelten sie ein zweidimensionales

numerisches Model mit Hilfe eines CFD-Simulationsprogrammes auf Basis der Finite-

Volumen-Methode. Das untersuchte Labyrinthmodell ist ein Durchblicklabyrinth mit zwei im

Gehäuse angebrachten Labyrinthblechen bzw. einer Wirbelkammer. Um den Einfluss der

axialen Reynoldszahl auf das Durchflussverhalten des Durchblicklabyrinths zu untersuchen,

verwendeten die Autoren außer Wasser auch Luft als Versuchsmittel. Die anliegenden

Druckverhältnisse für den Fall der Luft hielten sie möglichst klein um eine inkompressible

Strömung zu gewährleisten.

Definition der Reynoldszahl [1]:

(3.15)

Abbildung 3.5: [1] Vergleichsspalt und wirkliches Labyrinth


- charakteristische Länge

- charakteristische Strömungsgeschwindigkeit des Fluides

In der Literatur wird der wirkliche Labyrinth öfters mit einem Ringspalt (Abb. 3.5) konstanten

Querschnittes verglichen , wobei die Fläche gleich der mittleren Spaltfläche sei. Bei der

Bildung der axialen Reynoldszahl wird als charakteristische Länge der hydraulische

Durchmesser des Ringspaltes herangezogen. Der hydraulische Durchmesser wird

allgemein mit der durchströmten Fläche und den benetzten Umfang berechnet:

(3.16)

Für die Strömung in einem Spalt mit der Breite s zwischen zwei konzentrischen Rohren mit

den Durchmessern bzw. ergibt sich demzufolge:

(3.17)

Mit der Massenstromdichte , der mittleren Spaltfläche und dem hydraulischen

Durchmesser ergibt sich für die axiale Raynoldszahl aus Gl.3.17 und Gl.3.18:

(3.18)

(3.19)

Abbildung 3.6: [7] Abhängigkeit des Überbrückungsfaktors von der Reynoldszahl.

In Abbildung 3.6 ist die Abhängigkeit des Überbrückungsfaktors von der Reynoldszahl für

eine bestimmte Geometrie [Spaltweite , Teilung , Spitzenbreite

, Kammerhöhe und Wellendurchmesser ] ersichtlich. Man


sieht, dass der Wert von mit steigender Reynoldszahl höher wird. Wenn der

Überbrückungsfaktor steigt, dann hat dies zu bedeuten, dass es zu höherem

Leckagemassenstrom kommt, was die Dichtwirkung des Durchblicklabyrinths deutlich

verschlechtert. Bei niedrigen Reynoldszahlen nähert sich der Überbrückungsfaktor dem

Wert 1 an. Für den Fall würde die kinetische Energie des Fluides in der Wirbelkammer

durch die Verwirbelung vollständig vernichtet werden. Die Bestimmung von für dieselbe

Labyrinthgeometrie mittels der Gleichung von Hodkinson ergibt einen Wert von ,

welcher ungefähr im Mittelfeld der Berechnungsergebnisse liegt. Die CFD-Berechnungen

bestätigen jedoch, dass die Annahme von Hodkinson -der Überbrückungsfaktor sei nur eine

Funktion der Labyrinthgeometrie- fehlerhaft ist.

Es wurde auch noch geprüft, ob der Zusammenhang zwischen Reynoldszahl und

Überbrückungsfaktor mit veränderlichem Austrittsdruck oder Gesamtdruckverhältnis

(Eintritts- zum Austrittsdruck) beeinflusst wird. Die Ergebnisse aus Abbildungen 3.7/3.8

zeigen, dass der Verlauf der Kurve für eine gegebene Geometrie unverändert bleibt.

Ausgehend von einem Labyrinth mit sehr schmalen Labyrinthblechen der Spitzenbreite

, wurde die Funktion durch folgende mathematische Relation

beschrieben:

(3.20)

Abbildung 3.7: [7] Abhängigkeit Funktion

vom Austrittsdrück ( ).

Abbildung 3.8: [7] Abhängigkeit Funktion

vom Gesammtdruckverhältnis ( ).

und sind dimensionslose Geometrieparameter und wurden als lineare Funktionen des

Verhältnisses Spaltweite/Teilung dargestellt.


(3.21-1)

Die Gl.3.21-1 ist für folgende Intervalle gültig:

und

Wegen der großen Bedeutung der Spaltweite als wichtiger Einflussparameter auf die

Leckage von Labyrinthdichtungen wurde weiterhin untersucht, wie stark der

Überbrückungsfaktor von variierendem Spaltweite/Teilung Verhältnis und veränderter

Reynoldszahl beeinflusst wird. Für die vier untersuchten Spaltweiten

wurden die -Verhältnisse ermittelt und in

Gl.3.21-1 eingesetzt. Die restlichen Labyrinthabmessungen wurden konstant gehalten. Aus

der Abbildung 3.9 erkennt man, dass die Spaltweite einen sehr starken Einfluss auf den

Überbrückungsfaktor hat. Der Einfluss der Reynoldszahl auf den Überbrückungsfaktor steigt

je grösser die Spaltweite wird.

Abbildung 3.9: [7] -Funktion in Abhängigkeit von der .

Weitere Untersuchungen auf ein Modell mit acht Labyrinthblechen, einem -Verhältnis von

0,015 und über einem Reynoldszahlbereich von 0 bis 6000 zeigten, dass bei einer

inkompressiblen Strömung die Anzahl der Labyrinthbleche keinen Einfluss auf den

Überbrückungsfaktor bewirkt. Er bleibt konstant entlang des gesamten Labyrinths mit

Ausnahme des ersten Labyrinthbleches. Auf das Verhalten des Überbrückungsfaktors am

Labyrintheintritt (über den ersten Labyrinthspalt) wurde in dieser Arbeit nicht eingegangen.


Bisher wurde der Einfluss des Veränderns der Spaltweite als wesentlicher

Geometrieparameter auf den Überbrückungsfaktor des Durchblicklabyrinths untersucht.

Außerdem wurden noch von beiden Autoren weitere Untersuchungen durchgeführt, die sich

mit dem Verändern anderer Geometrieparametern wie Spitzenbreite , Teilung ,

Kammerhöhe und Wellendurchmesser befassen. Abbildung 3.10 stellt die Abhängigkeit

der Funktion von der Spitzenbreite bei konstantem Verhältnis von dar. Die

Ergebnisse bestätigen, dass die Spitzenbreite b einen starken Einfluss auf den

Überbrückungsfaktor hat. Je grösser die Spaltbreite wird, desto stärker wird der Einfluss der

Reynoldszahl auf den Überbrückungsfaktor.

Abbildung 3.10: [8] -Funktion in Abhängigkeit

von der .

Abbildung 3.11: [8] und in Abhängigkeit

von .

Früheres mathematisches Modell wurde unter der Annahme einer Labyrinthgeometrie mit

sehr schmalen Labyrinthblechen entwickelt. Solche Spitzenbreiten von sind

allerdings unrealistisch für Labyrinthdichtungen. Aus Abbildung 3.11 erkennt man, dass die

dimensionslosen Geometrieparameter und von der Spitzenbreite stark abhängen.

Deshalb wurde die frühere -Gleichung Gl.3.21-1 modifiziert, um den Einfluss der

Spitzenbreite einzubeziehen.

(3.21-2)

(3.22)

Die Gleichungen (3.21-2) und (3.22) sind für folgende Intervalle gültig:


und

Abbildung 3.12: [8] Präzisere -Berechnung durch die modifizierte -Gleichung.

Werden die grafisch ermittelten Verläufe der Funktion für und

aus Abbildung 3.12 verglichen, erkennt man, dass die Ergebnisse der modifizierten -

Gleichung fast mit den CFD-Ergebnissen identisch sind. Dies zeigt deutlich, dass neben der

Spaltweite auch die Spitzenbreite ein wichtiger Einflussparameter für den

Überbrückungsfaktor darstellt.

Abbildung 3.13: [8] Abhängigkeit der

Funktion von der Teilung.

Abbildung 3.14: [8] Abhängigkeit der

Funktion von .

Die Wirkung der variierenden Teilung auf den Überbrückungsfaktor wurde auch beobachtet,

indem das Strömungsverhalten zweier geometrisch ähnlicher Labyrinthe verglichen wurde.


Wie aus Abbildung 3.13 ersichtlich ist, bewirkt eine Veränderung der Teilung bei konstanten

- und -Verhältnissen keinen Einfluss auf den Überbrückungsfaktor.

Für Kammerhöhe/Teilung Verhältnisse bestätigen die Ergebnisse der CFD-

Berechnung laut Abbildung 3.14, dass eine Änderung der Kammerhöhe ebenfalls keinen

Einfluss auf den Überbrückungsfaktor bewirkt. Als letztes wurde noch untersucht, ob eine

Abhängigkeit der Funktion vom gewählten Wellendurchmesser vorliegt. Es wurde

deutlich, dass sich der Überbrückungsfaktor über einen Reynoldszahlbereich von 0 bis

15000 kaum vom gewählten Wellendurchmesser beeinflussen lässt.

Studie von Matthias und Willinger

Die experimentellen Untersuchungen von Matthias und Willinger [8] betrachten eine

Fortführung der Arbeit von Leeb [1] und beziehen sich auf den Einfluss der Rotation und der

Exzentrizität des Rotors auf das Durchflussverhalten von Durchblick- und Volllabyrinthen.

Die Experimente wurden mit Hilfe eines Labyrinth-Prüfstandes durchgeführt. Dadurch war es

möglich die Labyrinthströmung dreidimensional und bei unterschiedlichen

Betriebsbedingungen zu beobachten. Untersucht wurden ein Volllabyrinth mit elf

Labyrinthblechen, von denen fünf im Gehäuse und sechs am Rotor befestigt sind und ein

Durchblicklabyrinth mit selben Abmessungen wie das Volllabyrinth, welches durch

Entfernung der fünf im Gehäuse angebrachten Labyrinthbleche entstanden ist. Das

Durchflussverhalten beider Labyrinthmodelle wurde bei Druckverhältnissen zwischen 1,2

und 2,8 und verschiedenen Spaltweiten untersucht.

Für die numerische Simulation und Berechnung der stationären, kompressiblen,

dreidimensionalen, turbulenten Strömung in den Labyrinthdichtungen wurde ein

dreidimensionales Modell entwickelt. Mit Hilfe eines kommerziellen CFD-Softwarepaketes

auf Basis der Finite-Volumen-Methode wurden die durch Messung ermittelten

Durchflussbeiwerte für die Labyrintkonfiguration mit der größten Spaltweite ( )

numerisch berechnet. Für beide untersuchten Labyrinthtypen, Voll- und Durchblicklabyrinth,

existierten Messergebnisse aus den Prüfstandversuchen von Leeb. Seine experimentell

ermittelten Durchflussbeiwerte wurden mit den Ergebnissen der CFD-Berechnung und den

Ergebnissen aus einer modifizierten Version des Verfahrens nach Stodola verglichen.

Gemäß Gl.2.1 in Abschn. 2.1 wird das Verhältnis von tatsächlichem Massenstrom zu

theoretischem Massenstrom durch eine ideale Düse als Durchflussbeiwert ( -Wert)

bezeichnet. Aus den Gleichungen (2.7), (2.8) und (2.9) folgt für den theoretischen (idealen)

Massenstrom:

(3.23)


(3.24)

Dabei stellt das Verhältnis des Totaldruckes am Eintritt zum statischen Druck am

Austritt des Labyrinths dar.

(3.25)

Abbildung 3.15: [8] -Werte.

In Abbildung 3.15 ist die Abhängigkeit des Durchflussbeiwertes ( -Wert) vom

Gesamtdruckverhältnis für stillstehenden und zentrischen Rotor dargestellt. Daraus kann

man feststellen, dass mit zunehmendem Gesamtdruckverhältnis an der Labyrinthdichtung

der -Wert steigt. Auffallend ist, dass die -Werte des Durchblicklabyrinths in Vergleich

zum Volllabyrinth wesentlich höher liegen. Einerseits lässt sich dies dadurch erklären, dass

der Massenstrom laut Gl.3.26 umgekehrt proportional zu der Wurzel der Anzahl der

Labyrinthbleche ist, andererseits durch den auftretenden Überbrückungseffekt, welcher zu

einem höheren Leckagemassenstrom führt. Um den Einfluss des Überbrückungseffektes auf

den für Durchblicklabyrinthe ermittelten Leckagemassenstrom nach Stodola zu

berücksichtigen, wurde die Massenstromgleichung zusätzlich mit dem von Egli empirisch

festgelegten Überbrückungsfaktor multipliziert (Gl.3.26). Die Berechnung nach

Stodola wurde mit einer Kontraktionszahl von durchgeführt.

(3.26)

Durchblicklabyrinth Volllabyrinth


In Abbildung 3.16 sind die mittels Prüfstand und CFD-Berechnung ermittelten Druckverläufe

in axialer Richtung für Voll- und Durchblicklabyrinth dargestellt.

Abbildung 3.16: [8] Druckverlauf in axialer Richtung.

Während beim Volllabyrinth der Druck über alle Labyrinthbleche relativ gleichmäßig

(stufenförmig) abgebaut wird, kommt es beim Durchblicklabyrinth zu einem wesentlich

größeren Druckabfall über dem ersten und zu einem Druckanstieg über dem zweiten

Labyrinthblech. Der starke Druckabfall über dem ersten Labyrinthblech lässt sich durch den

Überbrückungseffekt erklären, welcher einen maßgeblich rascheren Druckabbau bewirkt.

Abbildung 3.17: [2] Verlauf der axiale Geschwindigkeit.

Durch das auftretende Überströmen bei Durchblicklabyrinthen ist die kinetische Energie des

Fluides beim Labyrintheintritt ein wenig grösser als bei Volllabyrinthen [2]. Das Fluid strömt

mit hoher Geschwindigkeit über die erste Wirlbelkammer, wodurch der Druckabfall in der

ersten Wirbelkammer wesentlich stärker als in der nachfolgenden Wirbelkammer ist, in

welcher die Geschwindigkeit des Fluides nicht mehr so hoch ist und der statische Druck

ansteigt. Der Geschwindigkeitsverlauf in axialer Richtung entlang der Geraden

(siehe Abb. 3.19) ist in Abbildung 3.17 ersichtlich. Während sich die Drehrichtung

der Wirbel beim Volllabyrinth von Kammer zu Kammer ändert (Abb. 3.18), bleibt sie beim

Volllabyrinth Durchblicklabyrinth


Durchblicklabyrinth immer gleich (Abb. 3.19). Entlang der Lanyrinthdichtung zwischen

Labyrintheintritt und -austritt nehmen Druck und Dichte des Fluides ab und infolgedessen

nimmt die Strömungsgeschwindigkeit als auch die Rotationsgeschwindigkeit der Wirbel

zwischen Ein- und Austritt zu. Das lässt sich durch die Kontinuitätsgleichung

mit für stationäre Strömungen erklären.

Abbildung 3.18: [2] Strömungsfeld in einem Volllabyrinth.

Abbildung 3.19: [2] Strömungsfeld in einem Durchblicklabyrinth.

In Abbildung 3.20 sind die mittels CFD ermittelten axialen Geschwindigkeitsprofile in den

Spalten des Voll- und des Durchblicklabyrinths bei stillstehendem zentrischem ( ) Rotor

und konstantem Druckverhältnis dargestellt. Die Geschwindigkeitsprofile im ersten

Labyrinthspalt sind für beide Labyrinthtypen sehr ähnlich. Sowohl beim Voll- als auch beim

Durchblicklabyrinth erfährt die Strömung im ersten Labyrinthspalt eine fast 90°-Umlenkung

(siehe Abb. 3.18 und 3.19) und wird über den Spalt abgerissen. Durch den Strömungsabriss

im Spalt entwickelt sich ein Rückstromgebiet. So lässt sich die Erscheinung der negativen

Geschwindigkeit in der Abbildung 3.20 begründen. Die Strahleinschnürung über dem ersten


Labyrinthspalt weist für Voll- und Durchblicklabyrinth eine ähnliche Form auf. Ab dem

zweiten Spalt ist der Verlauf der Geschwindigkeitsprofile beider Labyrinthtypen

unterschiedlich. Aufgrund des auftretenden Überbrückungseffektes und somit des Drehsinns

der Wirbel in der Wirbelkammer (Abb. 3.19), trifft die Strömung beim Durchblicklabyrinth

frontal auf die Labyrinthspalten ohne umgelenkt zu werden. Deshalb nimmt die

Spalteinschnürung ab dem zweiten Labyrinthspalt ab und wird in den folgenden Spalten

immer schwächer. Rückstromgebiete sind nicht mehr erkennbar.

Abbildung 3.20: [8] Axiale Geschwindigkeitsprofile.

Volllabyrinth Durchblicklabyrinth

Gegenüberstellung der Berechnungsverfahren 31

4 Gegenüberstellung der Berechnungsverfahren

Die in den vorangegangenen Abschnitten beschriebenen Rechenverfahren zur Berechnung

des Leckagemassenstroms von Durchblicklabyrinthen sind in Tabelle 4.1 gegenübergestellt.

Sie unterscheiden sich zwischen einem unter- und überkritisch durchströmten Labyrinth. Die

Bemerkungen beinhalten die Nummern der Abbildungen und Gleichungen zur Bestimmung

der zugehörigen Überbrückungsfaktoren.

unterkritisch überkritisch Bemerkung-

en

durch

Versuche

Egli

nicht möglich

Abb. 3.2

Hodkinson

nicht möglich

aus Gl.3.5

Vermes

nicht möglich

aus Gl.3.10

Neumann

aus Gl.3.7

Eser&

Dereli

aus Gl.3.10

Yucel&

Kazakia

aus Gl.3.12

Willinger &

Matthias

aus Abb. 3.2


Suryanar.

& Morrison

nicht möglich

aus Gl.3.21-2

Tabelle 4.1: Gegenüberstellung der Durchflussgleichungen.

4.1 Beispiel

Im Rahmen dieser Arbeit wurden anhand eines praktischen Beispiels die -Werte der

verschiedenen Berechnungsverfahren im „Microsoft Excel“ ermittelt und in einem Diagramm

graphisch dargestellt. Die gewählten geometrischen Abmessungen der

Durchblicklabyrinthdichtung entsprechen einer von Leeb [1] untersuchten Labyrinthbauform

mit Rotorblechen. Kennzeichende Abmessungen und Betriebsdaten sind:

Eintrittstemperatur

Druckverhältnis

Drosselstellenzahl

Spitzenbreite

Spitzenhöhe

Teilung

Spaltweite

Wellenradius

Statorradius

Tabelle 4.2:. Abmessungen und Betriebsdaten.

4.1.1 Berechnung

Die Berechnungen der -Werte nach Egli und Stodola für die gleiche Geometrie wurden in

der Arbeit von Matthias [2] mit einer Kontraktionszahl von und einer Reibungszahl

von durchgeführt. Der Überstromfaktor ξ wurde nach Abbildung 3.2 für

ermittelt und beträgt . Die für die Bestimmung des Überbrückungsfaktors mittels

Gl.3.21-2 nach Suryanarayanan und Morrison [6][7] erforderlichen axialen Reynoldszahlen

wurden von den Diagrammen von Leeb abgelesen (siehe Abb. 4.2). Für die

Labyrinthgleichungen nach Hodkinson, Vermes und Suryanarayanan & Morison wurden die

Berechnungen mit einer Durchflusszahl von durchgeführt. Dieser Wert ergibt


sich aus Gl.2.12 für eine Kontraktionszahl von (aus Abb. 2.5) und eine von [2] für

die entsprechende Labyrinthgeometrie verwendete Reibungszahl von .

[

]

/


Die von Leeb am Prüfstand experimentell ermittelten Durchflussbeiwerte wurden aus

folgender Abbildung (Abb. 4.1) abgelesen.

Abbildung 4.1: [1] -Werte.

Abbildung 4.2: [1] Axiale Reynoldszahl .


Abbildung 4.3: Vergleich der Massenstromgleichungen.

Zur Veranschaulichung der prozentuellen Abweichungen der Berechnungsergebnisse von

denen der Prüfstandmessung werden in Abbildung 4.4 die relativen Fehler der einzelnen

Berechnungsverfahren in Bezug auf die Messung von Leeb aufgetragen.

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

1,4

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Willinger,R.&Matthias,A. (Stodola )

Willinger&Matthias (CFD)

Matthias,A. (Stodola)

Matthias,A. (Egli)

Leeb (Messung)

Vermes,G.

Hodginson,B.

Sury.,S.&Morison,G.L.

Eser,D. & Dereli,Y.

Yucel,U. & Kazakia,J.Y.

Druckverhältnis

Du

rch

flu

ss

be

iert


Abbildung 4.4: Relative Fehler der Labyrinthgleichungen.

Aus den in Abbildung 4.3 grafisch dargestellten, je nach Berechnungsverfahren

verschiedenen -Kurven erkennt man, dass das Verfahren von Suryanarayanan &

Morrison erheblich große Abweichungen von der Messung zeigt. Auffallend ist noch, dass

mit steigendem Druckverhältnis der -Wert wesentlich stärker im Vergleich zu den

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

1,17 1,27 1,37 1,47 1,57 1,67 1,77

Willinger,R.&Matthias,A. (Stodola )

Willinger&Matthias (CFD)

Yucel,U. & Kazakia,J.Y.

Sury.,S.&Morison,G.L.

Eser,D. & Dereli,Y.

Leeb (Messung)

Matthias,A. (Stodola)

Matthias,A. (Egli)

Vermes,G.

Hodginson,B.

Rela

tiv

er

Fe

hle

r [%

]

Druckverhältnis


restlichen Kurven, welche einen mehr oder weniger ähnlich steigenden Verlauf aufweisen,

zunimmt. Bei einem Druckverhältnis von ist die Abweichung zwischen Rechnung

und Messung laut Abbildung 4.4 grösser als ~155%. Einerseits könnte dies daran liegen,

dass die beiden Autoren [7] ihre Untersuchungen an einem Labyrinthmodell mit

Statorblechen und deutlich kleineren geometrischen Abmessungen im Vergleich zu dem in

dieser Arbeit untersuchten Durchblicklabyrinth von Leeb durchführten und andererseits,

dass sie Wasser als Versuchsmedium verwendeten um die Inkompressibilität der Strömung

zu gewährleisten. Es ist deswegen sehr gut möglich, dass die Ergebnisse ihrer Forschung

im Falle einer kompressiblen Labyrinthströmung und/oder einer Labyrinthgeometrie die

außerhalb von den vorausgesetzten Intervallen der Geometrie- und Strömungsparameter

liegen (siehe Gültigkeitsvoraussetztungen für Gl.3.21-2 auf S.23), keinesfalls aussagekräftig

sein können.

Das Verfahren nach Egli [2] ist jenes mit der zweitgrößten auftretenden Abweichung. Aus

Abbildung 4.4 erkennt man, dass mit zunehmendem Druckverhältnis der relative Fehler

deutlich ansteigt. Beim kleinsten untersuchten Druckverhältnis tritt ein relativer Fehler von

44% auf, während beim größten Druckverhältnis der Fehler einen Wert von fast mehr als

57% annimmt. Den selben Kurvenverlauf weist auch das Verfahren nach Hodkinson jedoch

um zirka 7% kleineren relativen Fehler.

Die Ergebnisse des von [2] modifizierten Verfahren nach Stodola und des von Vermes

weisen kleine Unterschiede zueinander und einen fast gleichen, leicht ansteigenden

Kurvenerlauf. Allerdings liegen die Ergebnisse von Vermes um zirka 4% bei bis 8%

näher an jenen der Messung von Leeb. Der auf die Messung von Leeb bezogene

relative Fehler von der Vermes‘ Labyrinthgleichung beträgt ~37% für alle vier untersuchte

Druckverhältnisse.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, passt das von [8] modifizierte Verfahren nach Stodola

sehr gut an die Kurve des gemessenen Durchflussbeiwertes. Dabei beträgt der relative

Fehler lediglich ~8%. Das bedeutet, dass angegebene Wert von im Vergleich zu

dem von [2] angegebenen Wert von deutlich bessere Näherungen liefert.

Während das Verfahren von Yucel und Kazakia nach Angabe der Wissenschaftler im

Vergleich zu ihrer Prüfstandmessung leicht überschätzte Ergebnisse liefert, hat der Einsatz

dieses Verfahrens in der vorliegenden Arbeit unerwarteterweise Ergebnisse geliefert, welche

die Messung um zirka 22% unterschätzt haben.

Es ist wichtig zu erwähnen, dass im Rahmen dieser Arbeit nicht in die iterative

Durchflussberechnung eingegangen wird. Jedoch ist dieses Verfahren für die Berechnung

des Massenstroms nach Dereli und Eser [10] nötig. Ausgehend von der Annahme, die Yucel

und Kazakia [5] getroffen haben, um das iterative Verfahren bei ihren Untersuchungen


analytisch berechnen zu können, wurde in Gl.3.13 anstelle des je nach Labyrinthblech

anliegenden Druckverhältnisses das Gesamtdruckverhältnis eingesetzt. Laut

Abbildung weist die Kurve eine ähnliche Steigung wie bei dem Verfahren von Egli und

Hodkinson. Allerdings liegt der relative Fehler im Vergleich zu jenem von Hodkinson über

den gesamten Druckverhältnissbereich um zirka 49% niedriger und aus diesem Grund weist

das Verfahren sehr kleine Abweichungen in Bezug auf die Messung. Bei einem

Druckverhältnis von liefert das Verfahren mit relativ großer Genauigkeit das gleiche

Ergebnis wie die Messung. Für kleinere Druckverhältnisse als ergeben sich kleinere

-Werte als gemessen mit einem relativen Fehler bis zu ~11% bei . Bei einem

Druckverhältnis von liegt der berechnete -Wert um ~4% höher.

Zusammenfassung 39

5 Zusammenfassung

Diese Arbeit startete mit einem generellen Überblick zum Thema berührungsfreie

Dichtungen. Es wurden Informationen bezüglich der Arten und Funktion der

Labyrinthdichtungen sowie der physikalischen Charakteristika der Labyrinthströmung

übermittelt. Durch die Herleitung des analytischen Verfahrens von Stodola und die

ausführliche Interpretation des halb-empirischen („praktischen“) Verfahrens nach Egli zur

Bestimmung der Lackage an Labyrinthdichtungen wurden die Weichen gelegt um das

Verhalten der Strömung in der Labyrinthdichtung in Abhängigkeit verschiedener

Einflussparamater genauer untersuchen und verstehen zu können. Dabei wurden

verschiedene Autoren herangezogen welche speziell zum Thema Überbrückungseffekt und

Berechnung des Leckagemassenstroms bei Durchblicklabyrinthdichtungen wichtige

Erkentnisse geliefert haben. Somit wurde einerseits generell die spezifische Literatur

vorgestellt, andererseits in die Studien von Suryanarayanan & Morrison [6][7] und Matthias &

Willinger [8] konkreter eingegangen.

Aus der Studie von [7] ist herausgekommen, dass der Überbrückungsfaktor nicht nur als

Funktion der Labyrinthgeometrie anzusehen ist, wie in früheren Annahmen vermutet wurde.

Der Überbrückungsfaktor ist auch von Strömungsparameter wie die Reynoldaszahl

abhängig. Jedoch haben die Ergebnisse ihrer Forschung nur für die inkompressible

Labyrinthströmung Gültigkeit.

Im Gegensatz zu Suryanarayanan & Morrison untersuchten Matthias und Willinger

gleichzeitig die stationäre kompressible Labyrinthströmung am Voll- und Durchblicklabyrinth.

Durch den direkten Vergleich der Ergebnisse an beiden Labyrinthtypen lassen sich

wesentliche Charakteristika der Labyrinthströmung an Durchblicklabyrinthen besser

darstellen und verstehen. Äußerst deutlich konnte durch die Messung des

Kammerdruckverlaufes das auftretende Überströmen („carry-over effect“) über dem ersten

Labyrinthblech beobachtet werden. Dies bewirkte mit zunehmender Spaltweite einen starken

Druckabfall nach dem ersten Labyrinthblech, wobei in der zweiten Wirbelkammer ein leichter

Wiederanstieg des Druckes laut Abbildung 3.16 erkennbar wird.

Abschließend wurden die Labyrinthgleichungen sämtlicher Verfahren zur Berechnung des

Leckagemassenstroms an Durchblicklabyrinthen in Tabellenform zusammengefasst.

Zusätzlich wurden die verschiedenen Durchflussbeiwerte ermittelt, graphisch dargestellt und

zu einer vom Leeb [1] durchgeführten Messung verglichen. Dabei machten sich signifikante

Abweichungen bemerkbar, welcher als relativer Fehler in einem Diagramm (siehe Abb. 4.4)

aufgetragen wurden.

Literaturverzeichnis 40

Literaturverzeichnis

[1]. Leeb, K. Experimentelle und numerische Untersuchungen zum Durchflussverhalten von

Labyrinthdichtungen bei unterschiedlichen Betriebsbedingungen. Dissertation,Vienna

University of Technology, 1997.

[2]. Matthias, A. Das Durchflussverhalten von Labyrinthdichtungen bei unterschiedlichen

Betriebsbedingungen. Dissertation, Vienna University of Technology, 2007.

[3]. Trutnowsky, K. und Komotori, K. Berührungsfreie Dichtungen. Düsseldorf : VDI-Verlag

GmbH, 1981.

[4]. Vermes, G. A Fluid Mechanics Approach to the Labyrinth Seal Leakage Problem. ASME

Transactions - Journal of Engineering for Power,pp. 161-169, April 1961.

[5]. Yucel, U. und Kazakia, J.Y. Analytical Prediction Techniques for Axisymetric Flow in

Gas Labyrinth Seal. ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, Vol. 123,

January 2001. Technical Brief.

[6]. Suryanarayanan, S. und Morrison, G.L. Analysis of Flow Parameters Influencing

Carry-Over Coefficient of Labyrinth Seals. GT2009-59245, Proceedings of the ASME Turbo

Expo 2009, Orlando, Florida, June 8-12, 2009.

[7]. Suryanarayanan, S. und Morrison, G.L. Effect of Tooth Height, Tooth Width and Shaft

Diameter on Carry-Over Coefficient of Labyrinth Seals. GT2009-59246,Proccedings of the

ASME Turbo Expo 2009, Orlando, Florida, June 8-12, 2009.

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Abbildungsverzeichnis 42

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1.1: [1] Durchblicklabyrinth ................................................................................... 2

Abbildung 1.2: [1] Volllabyrinth .............................................................................................. 2

Abbildung 1.3: Fanno-Kurve. ................................................................................................. 3

Abbildung 2.1: [1] Ideale Düse. ............................................................................................. 5

Abbildung 2.2: [2] Verlauf der Durchflussfunktion . ............................................................. 5

Abbildung 2.3: [2] Strahlkontraktion ....................................................................................... 6

Abbildung 2.4: [2] Kontraktionszahl für eine seitlich liegende Öffnung. ............................. 7

Abbildung 2.5: [2] Einfluss des Kantenradius auf die Kontraktionszahl . ........................... 7

Abbildung 2.6: [2] Zustandsänderung beim Durchströmen eines Labyrinthbleches. .............. 8

Abbildung 2.7: Labyrinthblechschema. .................................................................................. 9

Abbildung 2.8: [2] Durchflußfunktionen für scharfkantige Blende und ideale Düse. ............. 12

Abbildung 2.9: Labyrinthblechschema. ................................................................................ 13

Abbildung 3.1: [1] Durchblicklabyrinth. ................................................................................ 14

Abbildung 3.2: [10] Überbrückungsfaktor ξ nach Egli. ......................................................... 16

Abbildung 3.3: [7] Konische Strahlausbreitung unter dem Winkel . ................................... 17

Abbildung 3.4: [7] Abhängigkeit zwischen und . ............................................................. 17

Abbildung 3.5: [1] Vergleichsspalt und wirkliches Labyrinth................................................. 20

Abbildung 3.6: [7] Abhängigkeit des Überbrückungsfaktors von der Reynoldszahl. ........ 21

Abbildung 3.7: [7] Abhängigkeit Funktion vom Austrittsdrück ( ). ............................ 22

Abbildung 3.8: [7] Abhängigkeit Funktion vom Gesammtdruckverhältnis ( ). .......... 22

Abbildung 3.9: [7] -Funktion in Abhängigkeit von der . ............................................. 23

Abbildung 3.10: [8] -Funktion in Abhängigkeit von der . .......................................... 24

Abbildung 3.11: [8] und in Abhängigkeit von . ......................................................... 24

Abbildung 3.12: [8] Präzisere -Berechnung durch die modifizierte -Gleichung. ................ 25

Abbildung 3.13: [8] Abhängigkeit der Funktion von der Teilung. ................................ 25

Abbildung 3.14: [8] Abhängigkeit der Funktion von . ............................................ 25

Abbildung 3.15: [8] -Werte. ............................................................................................. 27

Abbildung 3.16: [8] Druckverlauf in axialer Richtung. .......................................................... 28

Abbildung 3.17: [2] Verlauf der axiale Geschwindigkeit. ...................................................... 28

Abbildung 3.18: [2] Strömungsfeld in einem Volllabyrinth. ................................................... 29

Abbildung 3.19: [2] Strömungsfeld in einem Durchblicklabyrinth. ........................................ 29

Abbildung 3.20: [8] Axiale Geschwindigkeitsprofile. ............................................................ 30

Abbildung 4.1: [1] -Werte................................................................................................. 34

Abbildung 4.2: [1] Axiale Reynoldszahl . ......................................................................... 34

Abbildung 4.3: Vergleich der Massenstromgleichungen. ..................................................... 35

Abbildung 4.4: Relative Fehler der Labyrinthgleichungen. ................................................... 36

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Bachelorarbeit - publik.tuwien.ac.at · 2.2 Strömung durch eine ideale Düse Eine Düse, die von...

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