EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDnnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler

Vektorprodukt auf beiden Seiten, ergibt:

dt

LdM

rr

=

Der Bewegungszustand eines rotierenden Krperswird durch seinen Drehimpuls L beschrieben.

ndert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn

Treten keine ueren Drehmomente auf (M=0),ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.)

Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpulsmit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu.

dtpdFrr =Entsprechend

b) b) b) b) DrehimpulsDrehimpulsDrehimpulsDrehimpuls

Fr Massenpunkt auf Kreisbahn:L=r p

Fr Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum:

pxrLrrr

=

dt/pdxrFxrrrrr

=

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Beispiele zur Drehimpulserhaltung

Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses (Achse) bleiben erhalten

Solange keine ueren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems (Person + Schwungrad) erhalten (da der Drehimpuls des Rads gendert wird, muss die Person ein inneres Drehmoment ausben).

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==i

2i

2ii dmRRmI

= ii prLrrr

= IL

Die Rotationstrgheit eines Krpers steigt quadratisch mit dem Abstand der Massenelemente von der Drehachse

Drehimpuls starrer (ausgedehnter) Krper

- Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit - Summation ber Massenelemente

Wegen pi=mi vi=mi Ri lassen sich die Beitrgeder Massenelemente im Trgheitsmoment zusam-menfassen:

vektoriell: =rr

ILVektoren und in Richtung der DrehachseL

r

r

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= IL =i

ii RmI2

Beispiele zur Drehimpulserhaltung

Drehimpuls (erhalten) mit Trgheitsmoment

Bremsen der Rotation durch Ausdehnen der Massenverteilung

Rotierende Hantel:

12

3

1 : 2 : 3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8

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Beispiele fr Trgheitsmomente

Hohlzylinder I = m R

Vollzylinder I = (1/2) mR

Kugel I = (2/5) mR

m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achsedurch Mittelpunkt der Kugel.

Steinerscher SatzTrgheitsmoment eines Krpers fr beliebige Drehachse A

wobei Ic.m. = Trgheitsmoment fr Achse parallel zu A durch Schwerpunkt, a = Abstand zwischen beiden AchsenM = Gesamtmasse des Krpers

IA = Ic.m. + Ma

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Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung)fr Massenpunkt:

221

rot,kin )r(mE =

Beispiel: Rollende Krper gleicher Masse und gleichen Durchmessers aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene

Zieleinlauf

Trgheitsmoment nimmt vonlinks nach rechts ab, Rotations-energie ebenfalls, deshalb nimmtkinetische Energie der Translationvon links nach rechts zu.

Fr Krper mit Trgheitsmoment I :

221

rot,kin IE =

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ImpulsDrehimpuls

KraftDrehmoment bzw.

TranslationsenergieRotationsenergie

MasseTrgheitsmoment

BeschleunigungWinkelbeschleunigung

GeschwindigkeitWinkelgeschwindigkeit

Weg Ort oderWinkel [rad] 42 xxsrrr = x

r

rr

t=

t

sv

=r

r

t

t

v

2ii rmI = imM =

2rot I2

1E = 2

kin Mv2

1E =

FxrMrrr =

= sinFrM

Fr

= rr

IL vMp rr =

Vergleich Drehbewegung - TranslationsbewegungRotation Translation

Dynamische Gleichungen

t)I(

M

=r

r

t

)p(F

=

vr

Mit der bersetzungsvorschrift v , m I, p L , F Mknnen alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in die Drehwelt bertragen werden, z.B.

Erhaltungsstze fr abgeschlossene Systeme

constL i =r

constpi =r

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Kernkrfte

4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen

Protonen Neutronen

Atomkern Elektronen

Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)

Atom Atom Atom

Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brckenbindung)

(Gas-)Molekl, Flssigkeit, Festkrper

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thermische Energie klein gegenBindungsenergie

thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atomegegeneinander

thermische Energiegrer als Bindungsenergie

Energiebilanz

formbestndignicht formbestndig(falls dnnflssig); Formbestndig (falls zhflssig, z.B. Glas)

nicht formbestndigForm

Regelmige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungeninfolge thermischer Bewegung

Nahordnung; groe Schwankungen der Atomabstnde um einen Mittelwert r0

Keine OrdnungOrdnung

Stahl7900

H2OCa. 1000

LuftCa. 1,3

Dichte in kg m-3

FestkrperFlssigkeitGas

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a) Deformation von Festkrpern

Verformungen:

Dehnung - StauchungScherung - TorsionBiegung - Knickung

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a) Deformation von Festkrpern

LDL

LAEF ==

==2m

N

A

F

L

LE

Dehnung - Stauchung

Hookesches Gesetz: F = D . x

Die Lnge L ndert sich beim Anlegen einerKraft F um L, wobei

E: Elastizittsmodul (statt Federkonstante)

Man nennt:

mechanische Spannung

Zahlenwerte fr Elastizittsmodul (E in 109 Nm-2): (gro = steif)

Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10

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Das Hookesche Gesetz gilt nur frkleine,elastische Verformungen

ber den elastischen Bereich hinausbeginnen manche Stoffe zu flieen, biszum Zerreien

Sprde Materialien:keine plastische Verformung mglich

Plastische (=bleibende) Verformung:Durch Gleiten lngs bestimmter Gitterebenen

Das wird energetischmglich, indemVersetzungenwandern:

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Hooke

a) Deformation von Festkrpern

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Scherung und Torsion

A

FS =

Gs / =

Schubspannung

Kraft greift tangential an.Relevante physikalische Gre:

Fhrt zur Scherung um den Winkel: G= Schub-, Scher-,Torsionsmodul

Verdrehen (Torsion) z.B. einesDrahtes lt sich auf Scherung zurckfhrenKompression vonFestkrpern:

a) Deformation von Festkrpern

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Biegung und Knickung:

Bei Druckbelastung lngs eines Objektes (Knochen, Balken) weichtdas Objekt aus, bis es bricht. Hier ist die Knickspannung proportionalzu E (Elastizittsmodul)

Jenseits des elastischen Bereichs:Verformung bis zum Knicken des Balkens

auen: Zugkrfteinnen: Druckgestrichelt: neutrale Zone,

ndert Lnge nicht

a) Deformation von Festkrpern

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Knochen: kleine Kristalle (50 nm) in elastischer FasermatrixSpannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit

Stahl (elastisch, zugfest)Kohlefaser- oder glasfaserverstrkte Plastikmaterialien

Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochengerst in Kamke/Walcher(Kap. 6.3.3)

a) Deformation von Festkrpern

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Hydrostatik Lehre von ruhenden Flssigkeiten:

fest flssig gasfrmig

Bindungsenergie ~ kinetische Energie der TeilchenKeine Scherelastizitt (Teilchen gleiten aneinander)Kaum komprimierbar (fast wie Festkrper)Starke Kohsionskrfte (Oberflchenspannung)

b) b) b) b) HydrostatikHydrostatikHydrostatikHydrostatik, , , , AerostatikAerostatikAerostatikAerostatik

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Hydrostatik Lehre von ruhenden Flssigkeiten:

Die Oberflche einer Flssigkeit steht immer senkrecht zu wirkenden Krften (hier Wand und Schwerkraft)

Eine flache Oberflche ist energetisch am gnstigsten, eine Flssigkeit zerfliet

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Stempeldruck (vernachlssigbare Schwerkraft):

=2A Flche

FKraft pDruck

m

N

Bar10mN1Pa 1 52 ==

Eine Kraft F drckt senkrecht auf einen beweglichen Stempel der Flche A, der ein Gef abschliet

Der Druck breitet sich in alle Richtungengleichmig aus (isotrop), an allen Stellender inkompressiblen Flssigkeit und anallen Ausgngen herrscht dergleiche Druck p = F/A

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Anwendung: Hydraulische Presse

Hebelgesetz der Hydrostatik: Betrachten wir eine Verschiebung um den Weg s1 (entspricht Flssigkeitsvolu-men V1), wodurch der Kolben rechts um s2 angehoben wird. Dann wird linksdie Arbeit F1 s1 = F1 V1 / A1 geleistet.Sie ist gleich der am rechten Kolbengeleisteten ArbeitF2 s2 = F2 V2 / A2 , weil V1 = V2 (Inkom-pressibilitt) und weil F1/A1 = F2/A2Damit ist Energieerhaltunggewhrleistet.