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b) bb)) b) DrehimpulsDrehimpuls - LMU München · Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und...

Date post: 18-Sep-2018
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Author: nguyendung
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EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 D D ü ünnweber/Faessler nnweber/Faessler nnweber/Faessler nnweber/Faessler Vektorprodukt auf beiden Seiten, ergibt: dt L d M r r = Der Bewegungszustand eines rotierenden Körpers wird durch seinen Drehimpuls L beschrieben. ändert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn Treten keine äußeren Drehmomente auf (M=0), ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.) Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpuls mit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu. dt p d F r r = Entsprechend b) b) b) b) Drehimpuls Drehimpuls Drehimpuls Drehimpuls Für Massenpunkt auf Kreisbahn: L=r· p Für Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum: p x r L r r r = dt / p d x r F x r r r r r =
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  • EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDnnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler

    Vektorprodukt auf beiden Seiten, ergibt:

    dt

    LdM

    rr

    =

    Der Bewegungszustand eines rotierenden Krperswird durch seinen Drehimpuls L beschrieben.

    ndert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn

    Treten keine ueren Drehmomente auf (M=0),ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.)

    Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpulsmit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu.

    dtpdFrr =Entsprechend

    b) b) b) b) DrehimpulsDrehimpulsDrehimpulsDrehimpuls

    Fr Massenpunkt auf Kreisbahn:L=r p

    Fr Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum:

    pxrLrrr

    =

    dt/pdxrFxrrrrr

    =

  • EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDnnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler

    Beispiele zur Drehimpulserhaltung

    Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses (Achse) bleiben erhalten

    Solange keine ueren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems (Person + Schwungrad) erhalten (da der Drehimpuls des Rads gendert wird, muss die Person ein inneres Drehmoment ausben).

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    ==i

    2i

    2ii dmRRmI

    = ii prLrrr

    = IL

    Die Rotationstrgheit eines Krpers steigt quadratisch mit dem Abstand der Massenelemente von der Drehachse

    Drehimpuls starrer (ausgedehnter) Krper

    - Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit - Summation ber Massenelemente

    Wegen pi=mi vi=mi Ri lassen sich die Beitrgeder Massenelemente im Trgheitsmoment zusam-menfassen:

    vektoriell: =rr

    ILVektoren und in Richtung der DrehachseL

    r

    r

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    = IL =i

    ii RmI2

    Beispiele zur Drehimpulserhaltung

    Drehimpuls (erhalten) mit Trgheitsmoment

    Bremsen der Rotation durch Ausdehnen der Massenverteilung

    Rotierende Hantel:

    12

    3

    1 : 2 : 3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8

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    Beispiele fr Trgheitsmomente

    Hohlzylinder I = m R

    Vollzylinder I = (1/2) mR

    Kugel I = (2/5) mR

    m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achsedurch Mittelpunkt der Kugel.

    Steinerscher SatzTrgheitsmoment eines Krpers fr beliebige Drehachse A

    wobei Ic.m. = Trgheitsmoment fr Achse parallel zu A durch Schwerpunkt, a = Abstand zwischen beiden AchsenM = Gesamtmasse des Krpers

    IA = Ic.m. + Ma

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    Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung)fr Massenpunkt:

    221

    rot,kin )r(mE =

    Beispiel: Rollende Krper gleicher Masse und gleichen Durchmessers aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene

    Zieleinlauf

    Trgheitsmoment nimmt vonlinks nach rechts ab, Rotations-energie ebenfalls, deshalb nimmtkinetische Energie der Translationvon links nach rechts zu.

    Fr Krper mit Trgheitsmoment I :

    221

    rot,kin IE =

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    ImpulsDrehimpuls

    KraftDrehmoment bzw.

    TranslationsenergieRotationsenergie

    MasseTrgheitsmoment

    BeschleunigungWinkelbeschleunigung

    GeschwindigkeitWinkelgeschwindigkeit

    Weg Ort oderWinkel [rad] 42 xxsrrr = x

    r

    rr

    t=

    t

    sv

    =r

    r

    t

    t

    v

    2ii rmI = imM =

    2rot I2

    1E = 2

    kin Mv2

    1E =

    FxrMrrr =

    = sinFrM

    Fr

    = rr

    IL vMp rr =

    Vergleich Drehbewegung - TranslationsbewegungRotation Translation

    Dynamische Gleichungen

    t)I(

    M

    =r

    r

    t

    )p(F

    =

    vr

    Mit der bersetzungsvorschrift v , m I, p L , F Mknnen alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in die Drehwelt bertragen werden, z.B.

    Erhaltungsstze fr abgeschlossene Systeme

    constL i =r

    constpi =r

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    Kernkrfte

    4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen

    Protonen Neutronen

    Atomkern Elektronen

    Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)

    Atom Atom Atom

    Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brckenbindung)

    (Gas-)Molekl, Flssigkeit, Festkrper

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    thermische Energie klein gegenBindungsenergie

    thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atomegegeneinander

    thermische Energiegrer als Bindungsenergie

    Energiebilanz

    formbestndignicht formbestndig(falls dnnflssig); Formbestndig (falls zhflssig, z.B. Glas)

    nicht formbestndigForm

    Regelmige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungeninfolge thermischer Bewegung

    Nahordnung; groe Schwankungen der Atomabstnde um einen Mittelwert r0

    Keine OrdnungOrdnung

    Stahl7900

    H2OCa. 1000

    LuftCa. 1,3

    Dichte in kg m-3

    FestkrperFlssigkeitGas

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    a) Deformation von Festkrpern

    Verformungen:

    Dehnung - StauchungScherung - TorsionBiegung - Knickung

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    a) Deformation von Festkrpern

    LDL

    LAEF ==

    ==2m

    N

    A

    F

    L

    LE

    Dehnung - Stauchung

    Hookesches Gesetz: F = D . x

    Die Lnge L ndert sich beim Anlegen einerKraft F um L, wobei

    E: Elastizittsmodul (statt Federkonstante)

    Man nennt:

    mechanische Spannung

    Zahlenwerte fr Elastizittsmodul (E in 109 Nm-2): (gro = steif)

    Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10

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    Das Hookesche Gesetz gilt nur frkleine,elastische Verformungen

    ber den elastischen Bereich hinausbeginnen manche Stoffe zu flieen, biszum Zerreien

    Sprde Materialien:keine plastische Verformung mglich

    Plastische (=bleibende) Verformung:Durch Gleiten lngs bestimmter Gitterebenen

    Das wird energetischmglich, indemVersetzungenwandern:

    Spannungs-Dehnungs-Diagramm

    Hooke

    a) Deformation von Festkrpern

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    Scherung und Torsion

    A

    FS =

    Gs / =

    Schubspannung

    Kraft greift tangential an.Relevante physikalische Gre:

    Fhrt zur Scherung um den Winkel: G= Schub-, Scher-,Torsionsmodul

    Verdrehen (Torsion) z.B. einesDrahtes lt sich auf Scherung zurckfhrenKompression vonFestkrpern:

    a) Deformation von Festkrpern

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    Biegung und Knickung:

    Bei Druckbelastung lngs eines Objektes (Knochen, Balken) weichtdas Objekt aus, bis es bricht. Hier ist die Knickspannung proportionalzu E (Elastizittsmodul)

    Jenseits des elastischen Bereichs:Verformung bis zum Knicken des Balkens

    auen: Zugkrfteinnen: Druckgestrichelt: neutrale Zone,

    ndert Lnge nicht

    a) Deformation von Festkrpern

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    Knochen: kleine Kristalle (50 nm) in elastischer FasermatrixSpannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit

    Stahl (elastisch, zugfest)Kohlefaser- oder glasfaserverstrkte Plastikmaterialien

    Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochengerst in Kamke/Walcher(Kap. 6.3.3)

    a) Deformation von Festkrpern

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    Hydrostatik Lehre von ruhenden Flssigkeiten:

    fest flssig gasfrmig

    Bindungsenergie ~ kinetische Energie der TeilchenKeine Scherelastizitt (Teilchen gleiten aneinander)Kaum komprimierbar (fast wie Festkrper)Starke Kohsionskrfte (Oberflchenspannung)

    b) b) b) b) HydrostatikHydrostatikHydrostatikHydrostatik, , , , AerostatikAerostatikAerostatikAerostatik

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    Hydrostatik Lehre von ruhenden Flssigkeiten:

    Die Oberflche einer Flssigkeit steht immer senkrecht zu wirkenden Krften (hier Wand und Schwerkraft)

    Eine flache Oberflche ist energetisch am gnstigsten, eine Flssigkeit zerfliet

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    Stempeldruck (vernachlssigbare Schwerkraft):

    =2A Flche

    FKraft pDruck

    m

    N

    Bar10mN1Pa 1 52 ==

    Eine Kraft F drckt senkrecht auf einen beweglichen Stempel der Flche A, der ein Gef abschliet

    Der Druck breitet sich in alle Richtungengleichmig aus (isotrop), an allen Stellender inkompressiblen Flssigkeit und anallen Ausgngen herrscht dergleiche Druck p = F/A

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    Anwendung: Hydraulische Presse

    Hebelgesetz der Hydrostatik: Betrachten wir eine Verschiebung um den Weg s1 (entspricht Flssigkeitsvolu-men V1), wodurch der Kolben rechts um s2 angehoben wird. Dann wird linksdie Arbeit F1 s1 = F1 V1 / A1 geleistet.Sie ist gleich der am rechten Kolbengeleisteten ArbeitF2 s2 = F2 V2 / A2 , weil V1 = V2 (Inkom-pressibilitt) und weil F1/A1 = F2/A2Damit ist Energieerhaltunggewhrleistet.


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