Augustin Louis Cauchy

(1789 bis 1857)

Gliederung

• 1. Biographie

• 2. Seine Werke

Biographie

• Am 21. August 1789 in Paris geboren• Vater: Louis - Francois Cauchy, Jurist und

hoher Beamter in der vorrevolutionären Bürokratie

• Cauchy verbringt seine Jugendjahre während der Revolutionszeit in Arcueil

• Wird vom Vater erzogen, der klassische Sprachen und Literatur studiert hatte

Biographie

• Nach Ende der Terrorherrschaft kehrt die Familie nach Paris zurück

• Sein Vater macht wieder Karriere, was auch zu engen Freundschaften mit Pierre Simon Laplace (damaliger Innenminister) und Joseph-Louis Lagrange (Senator) führt

• Früh erkennt Laplace Cauchys mathematische Begabung („Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen.“)

• Cauchy soll sich zunächst eine gute Allgemeinbildung verschaffen, um fähig zu sein, seine eigene Sprache zu schreiben

Biographie

• 1805: Eintritt in die Ecole Polytechnique - Absolviert als einer der

besten Schüler die grundlegenden Disziplinen Mathematik und Mechanik

• 1807: Eintritt in die Ecole des Ponts et Chaussées (staatliche Ingenieurschule)

Biographie

• 1809: – Ende der Ingenieurausbildung– Aufnahme praktischer Tätigkeiten in

Nordfrankreich, unter anderem 1810 im Hafen von Cherbourg

– Studiert systematische Mathematik und gelangt auch zu den ersten Entdeckungen

Biographie

• 1811: Erste mathematische Publikationen– Befasst sich auf Anregung von Lagrange mit

der Polyeder

– Schafft sich durch seine Arbeiten einen Namen in der akademischen Pariser Gesellschaft

Biographie

• 1813: Rückkehr nach Paris

• 1813/ 1814: Strebt nach einer offiziellen wissenschaftlichen Funktion entweder an der Akademie oder an einer Hochschule

- Bestrebungen zunächst erfolglos

Biographie

• 1815: Professor an der Ecole Polytechnique– Schreibt seine Vorstellung von der Lehre in

einigen Büchern nieder– Geht als Lehrer mit großem Eifer zur Sache– Legt sehr viel Wert auf die Genauigkeit der

Definitionen– Führt neuen Stoff ein

Biographie

• 1816: Heirat mit Aloise de Bure, Tochter eines angesehenen Buchhändlers und Verlegers– Aus der Ehe gehen zwei Töchter hervor

Biographie

• In den folgenden Jahren beschäftigt sich Cauchy systematisch mit mathematischen Problemen

• Zeitraum der erfolgreichsten wissenschaftlichen Ergebnisse

• Zeitraum dauerte bis Julirevolution 1830

Biographie

• 1830: Nach der Julirevolution und dem Sturz des letzten Bourbonenkönigs Karl X. verweigert Cauchy den Untertaneneid auf den „Bürgerkönig“ Louis-Philippe

• Cauchy emigriert, zunächst in die Schweiz, später tritt er eine Professur in Turin an

Biographie

• 1833 bis 1838: Aufenthalt in Prag am Exilhof– Verbringt fünf Jahre in der Funktion des

Erziehers• 1838: Rückkehr nach Paris

– Weil er es ablehnt einen Treueid zu leisten, erhält er kein Lehramt an Hochschulen

– Lebt als Privatmann

Biographie

• 1848: Die Revolution schafft den Amtseid ab, Cauchy tritt eine Professur an der Sorbonne an

• Mai 1857 erkrankt Cauchy• 23. Mai 1857 stirbt er in Sceaux bei Paris

Seine Werke

• Cauchy war einer der produktivsten Mathematiker:– Cauchy erstrebte ein weites Gebiet der ganzen

Mathematik, wie nur sehr wenige Mathematiker des 19. Jahrhunderts

– Er publizierte sieben Bücher und mehr als 800 wissenschaftliche Abhandlungen

Seine Werke

• Inspirationen für seine Forschung holte sich Cauchy aus 2 Quellen:– Mathematik

– Physik

Seine Werke

• Aus seinen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique entstanden bedeutsame Werke:

• „Cours d´analyse de l´Ecole Polytechnique“ (Lehrgang der Analysis an der polytechnischen Schule) (1821)

• „Lecons sur le calcul infinitésimal“ (Vorlesungen über den Infinitesimalkalkül) (1823)

Die wichtigsten Richtungen der mathematischen Arbeiten

Cauchys

• Folgen und Reihen• Differential- und Integralrechnung• Funktionentheorie und

Differentialgleichungen• Algebra

Folgen und Reihen

• Cauchy definiert den Begriff der Folge und der Konvergenz

• Bringt Ordnung in die Reihentheorie– liefert für die Konvergenz auch die

erforderlichen Kriterien

Kriterien für die Konvergenz von Reihen

• Verdichtungskriterium

• Quotienten-Kriterium

• Wurzelkriterium

Verdichtungskriterium

• Ist (xk) eine monoton fallende Nullfolge, so sind die beiden Reihen

∞ ∞

Σ xk und Σ 2^k*xk

k=1 k=1

entweder beide konvergent oder beide divergent

Quotienten-Kriterium

(an)n sei eine komplexe Folge. Es gebe ein 0<α<1 und ein N€ , so dass giltℕ

|(a(n+1): (an)| ≤ α für alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent

Wurzelkriterium

(an)n sei eine komplexe Folge. Es existiere ein 0<α<1 und ein N€ mit ℕ

ⁿ√|an|≤αfür alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent

Differential- und Integralrechnung

• Cauchy formuliert den Begriff des Limes, mit denselben Worten, die auch noch heute verwendet werden

• Der Grenzwertsatz besagt, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt

Differential- und Integralrechnung

• Als erster beweist Cauchy streng die Kovergenz der schon von Euler untersuchten Folge

(1+1/n )ⁿ

(Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e)

Differential- und Integralrechnung

• Cauchy definiert den Begriff des Integrals:Das Integral

∫ f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen.

Integral von f(x) = ∫ f(x)dx = F(x)+c

Funktionentheorie und Differentialgleichungen

• Detaillierte Ausarbeitung der Theorie der Differentialgleichungen– schafft Ordnung und Genauigkeit in dieses

System, dies vor allem durch seine Beweise für die Existenz der Lösung

• Beschäftigt sich mit der Theorie der Funktionen der komplexen Veränderlichen

Sonstige Leistungen

• Viele weitere Sätze und Begriffe der Mathematik sind nach Cauchy benannt:– Cauchysche Grenzwertsätze– Cauchyscher Integralsatz– Cauchy-Produkt von Reihen– Cauchy-Determinante– und andere

Sonstige Leistungen

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

|a*b| ≤ |a| * |b|

(Sie gibt an, dass der Absolutwert des Skalarproduktes zweier Vektoren nie größer als das Produkt der jeweiligen Vektornorm ist. Dient z.B. der Vektorrechnung

Sonstige Leistungen

• Viele Beiträge zur Physik

• Cauchy beschäftigt sich insbesondere mit– der Forschung der Elastizitätstheorie und

– der Forschung der Wellentheorie

Zusammenfassung

• Cauchys mathematisches Werk trug wesentlich zur Entstehung der modernen Mathematik bei und bleibt für immer bestehen als sein eigentliches Vermächtnis.

Literaturverzeichnis• Belhoste, Bruno: Augustin-Louis Cauchy, A

Biography, Springer-Verlag, 1991• Gottwald, Siegfried, Lexikon bedeutender

Mathematiker, 1. Auflage, 1990• Meschkowski, Herbert, Mathematik-Lexikon,

1980• Cauchy, A.L: Abhandlungen über bestimmte

Integrale zwischen imaginären Grenzen, Dtsch, ed. P. Stäckel, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaft, Nr. 112, Leipzig, 1900