Astronomie L¨osungenzudenAufgaben · =⇒ λ = 11,1192 (3) (2): tanϕ = zsinλ y =⇒ ϕ = 47,4276...

Astronomie

Losungen zu den Aufgaben

Richard Reindl

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3. Marz 2015

1 GK Astronomie - Aufgaben

1 Grundlagen der Astronomie

1.1 Geschichtliches

1.1.1. R =b

ϕ=

800 km

7,2 · π180

≈ 6,4 · 103 km

Schiffe, kreisformiger Schatten bei Mondfinsternissen

heute: Blick aus einem Raumschiff

1.1.2.ES

EM=

1

cosϕ= 19,1; in Wirklichkeit:

ES

EM=

1,496 · 108km3,844 · 105 km = 389

cosϕ′ =EM

ES=

3,844 · 105 km1,496 · 108km = 0,00257 =⇒ ϕ′ = 89,85◦

Ein kleiner Fehler beim Winkel bewirkt einen sehr großen Fehler im Verhaltnis ESEM

.

1.1.3. MAPLE-Befehle:

w1 := 2*Pi; w2 := 8*Pi; r1 := 1.5; r2 := 0.6;

x := t -> r1*cos(w1*t)+r2*cos(w2*t);

y := t -> r1*sin(w1*t)+r2*sin(w2*t);

plot([x(t),y(t),t=0..1],-2.1..2.1,-2.1..2.1,scaling=constrained);

−1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

1.2 Das heutige astronomische Weltbild

1.2.1. a =1AE

tan 1′′= 206264,80624548AE b =

1AE

sin 1′′= 206264,80624790AE

b− a = 2,42 · 10−6AE = 363 km =⇒ δrel =b− a

b= 1,2 · 10−11

1.2.2.

LJ Parsec AE m ϕ

Sirius 8,65 2,65 5,47 · 105 8,18 · 1016 0,377′′

ε-Eridani 10,8 3,30 6,81 · 105 1,02 · 1017 0,303′′

Barnards Stern 5,98 1,83 3,78 · 105 5,66 · 1016 0,545′′

α-Centauri 4,35 1,33 2,75 · 105 4,11 · 1016 0,750′′

Altair 16,5 5,05 1,04 · 106 1,55 · 1017 0,198′′

1.3 Die Erde als Bezugssystem fur Beobachtungen

1.3.1. (a) Mit dem Erdradius R = 6,378 · 106m und ϕ = 47◦27′ gilt

Bg = R · 1◦ = 111,3 km Bm =Bg

60= 1855m Bs =

Bm

60= 30,92m

Lg = Bg cosϕ = 75,28 km Lm = Bm cosϕ = 1255m Ls = Bs cosϕ = 20,91m

2


(b) 1 cm der Karte entspricht ∆x = 25 000 cm = 250m.

∆ϕcm =

(∆x

Bs

)′′

= 8,085′′ ∆λcm =

(∆x

Ls

)′′

= 11,96′′

(c) ∆x sei die Entfernung von P zu G in Ost-West- und ∆y in Nord-Sudrichtung:

ϕG = 47◦30′ − 2,7∆ϕcm = 47◦29′38′′ λG = 11◦ + 30,8∆λcm = 11◦6′8′′

ϕP = 47◦24′ + 18,7∆ϕcm = 47◦26′31′′ λP = 11◦20′ − 23,2∆λcm = 11◦15′23′′

∆xcm =λP − λG

∆λcmcm = 46,4 cm ∆x = 46,4 · 250m = 11,6 km

∆ycm =ϕG − ϕP

∆ϕcmcm = 23,1 cm ∆y = 23,1 · 250m = 5,78 km

GP =√∆x2 +∆y2 = 13,0 km

(d) tanα′ =∆x

∆y=⇒ α′ = 63,49◦

tanβ′ =∆y

∆x=⇒ β′ = 26,51◦

α = 180◦ − α′ −A = 44,86◦

β = 90◦ − β′ − |A′| = 20,99◦

ε = 180◦ − α− β = 114,15◦

Sinussatz:

a = c · sinαsin ε

= 10,01 km= 40,04 cm = acm

b = c · sinβsin ε

= 5,086 km= 20,34 cm = bcm

G

P

A

|A′|β

α

a

b

c

W

β′

α′

ε

∆x

∆y

∆xW

∆yW

∆xW = a sin |A′| = 6,766 km= 27,06 cm= 27,06 ·∆λcm = 325′′ = 5′25′′ = ∆λW

∆yW = a cos |A′| = 7,383 km= 29,53 cm= 27,06 ·∆λcm = 239′′ = 3′59′′ = ∆ϕW

ϕW = ϕG −∆ϕW = 47◦25′39′′ λW = λG +∆λW = 11◦11′32′′

HW = 920m+ b tanh = 2298m

1.3.2. (a) T = 43080 s,mv2

r=

m · 4π2r2

rT 2=

GmM

r2=⇒ r =

3

√GMT 2

4π2= 2,66 · 104 km

h = r −R = 2,02 · 104 km

(b) Die Kugel um den Satel-liten Si mit Radius ri istKi (i ∈ {1, 2, 3}). DerKreis K ist die Schnitt-menge von K1 und K2.Die Schnittpunkte von K

und K3 sind P1 und P2.P1 liegt an der Erdober-flache, P2 im Weltall.

S1

K1

P1

K

S2

K2

P2

S3

K3

Erde

3


(c) Die wahre Ankunftszeit des Signals beim Empfanger ist tAtom = t − δt, die Zeit des Signals❥i vom Satelliten bis zum Empfanger also ∆ti = c(ti − δt− Ti).

(X1 − x)2 + (Y1 − y)2 + (Z1 − z)2 = c2(t1 − δt− T1)2

(X2 − x)2 + (Y2 − y)2 + (Z2 − z)2 = c2(t2 − δt− T2)2

(X3 − x)2 + (Y3 − y)2 + (Z3 − z)2 = c2(t3 − δt− T3)2

(X4 − x)2 + (Y4 − y)2 + (Z4 − z)2 = c2(t4 − δt− T4)2

(d) Mit T1 = T2 = T3 = T4 = 0 und den angegebenen Werten lautet die Losung des Gleichungs-systems:

x = 4234511,7m, y = 837860,2m, z = 4698819,5m, δt = 2,123456778 s

(e) Es gilt, das Gleichungssystem

x = r cosϕ cosλ (1)

y = r cosϕ sinλ (2)

z = r sinϕ (3)

nach den Unbekannten ϕ, λ und r aufzulosen. Die Hohe ist dann h = r − RErde.

(2)

(1): tanλ =

y

x=⇒ λ = 11,1192◦

(3)

(2): tanϕ =

z sinλ

y=⇒ ϕ = 47,4276◦

(3) : r =z

sinϕ= 6 380 596m =⇒ h = 2296m

Der Epfanger befindet sich auf der oberen Wettersteinspitze.

1.3.3. (a) Der Schnittpunkt des Meridians vom Nordpol uber Gree-wich zum Sudpol mit dem Aquator ist der Sudpunkt S.Der Ursprung unseres Koordinatensystems ist der Erdmit-telpunkt, die x1-Achse zeigt zu S, die x3-Achse zum Nord-pol. Die Einheitsvektoren, die von M nach N (Nurnberg)bzw. V (Vancouver) zeigen sind R α

O

NV

−→V 0

−→N 0

−→P 1

P

−→N 0 =

cosϕ cosλ1

cosϕ sinλ1

sinϕ

=

0,639900,125540,75813

und

−→V 0 =

cosϕ cosλ2

cosϕ sinλ2

sinϕ

=

−0,35516−0,546900,75813

−→P1 =

−→N 0 +

−→V 0 =

0,28474−0,421351,51627

,

−→P0 =

−→P 1

|−→P 1|=

0,17804−0,263460,94810

Mit R = 6380 km folgt

−→P = R

−→P 0 =

1136−16816049

km

Fur die geografischen Koordinaten ϕ′

und λ′ von P gilt

−→P 0 =

cosϕ′ cosλ′

cosϕ′ sinλ′

sinϕ′

ϕ′ = sin−1 0,94810 = 71,46◦

λ′ = sin−1 −0,26346

cosϕ′= −55,95◦

NV

Gronland

0◦

49◦

P

4


(b) cosα =

−→N0 ·

−→V 0

1 · 1 = 0,278843 =⇒ α = 1,2882 = 73,81◦

Der kurzeste Weg von N nach V auf der Erdoberflache hat die Langes = Rα = 6380 km · 1,2882 = 8219 kmDer Breitenkreis hat den Radius r =R cosϕ, die Strecke Nurnberg–Vancouverauf dem Breitenkreis ist

b = r(λ1 − λ2) = 9737 km

N

V

λ1

λ2

rr

R

ϕ

ϕ

O

N

N

VV α

α

∆λ

∆λ

r

R

Breitenkreis

Großkreis

Kreisbogen in einer Ebene gezeichnet:

1.3.4. 1◦ = 4min, 1′ = 4 s, 1′′ =1

15s, 15◦ = 1 h, 0,25◦ = 1min,

15◦

240= 1 s

Bogenmaß Dezimalgrad x◦y′z′′ Zeitmaß

α 1,345 77,06282◦ 77◦ 3′ 46′′ 5h 8min 15s

β 0,7215 41,34◦ 41◦ 20′ 24′′ 2h 45min 21,6s

γ 0,43046 24,663◦

24◦ 39′ 48′′ 1h 38min 39,2s

δ 1,1767 67,42083◦

67◦ 25′ 15′′ 4h 29min 41s

1.3.5. R = 6378 km , tΥ2 = tΥ1 − (λ2 − λ1) ·1 h

15◦= 3h 21min 9,6s

~r1 =

cosϕ1 cosλ1

cosϕ1 sinλ1

sinϕ1

, ~r2 =

cosϕ2 cosλ2

cosϕ2 sinλ2

sinϕ2

~e0 =

−−→MR∣∣−−→MR

∣∣ = ~r2 − ~r1 =

0,01405059900,5618833297

−0,8270971551

R

M

S

α

β

γ

β′

~e0

~e1

~e2

µ = arccos~r1 · ~r2

|~r1| · |~r2|= 85,89863◦ , s = µR = 9561,986 km , sg = 2R sin

µ

2= 8691,315 km

t10 = t1 + λ1 = 3h 11min 57,00s = 47◦ 59′ 15,00′′

t20 = t2 + λ2 = 3h 10min 0,95s = 47◦ 30′ 14,25′′

~e1 =

−→MS∣∣−→MS

∣∣ =

cos δ1 cos t10cos δ1 sin t10

sin δ1

=

0,654417760,726485760,20965649

~e2 =

−→RS∣∣−→RS

∣∣ =

cos δ2 cos t20cos δ2 sin t20

sin δ2

=

0,657534140,717672130,22933724

5


α = arccos(~e0 · ~e1) = 75,877910◦ β = arccos(~e0 · ~e2) = 77,126304◦ γ = β − α = 1,248394◦

MS = sg ·sin(π − β)

sin γ= 388897 km

1.3.6.

~r1 =

cos δ1 cosα1

cos δ1 sinα1

sin δ1

, ~r2 =

cos δ2 cosα2

cos δ2 sinα2

sin δ2

µ = arccos~r1 · ~r2

|~r1| · |~r2|= 19◦ 19′ 59,97′′

1.3.7. (a) Neigung der Erdachse gegen die Bahnebene: ε = 23◦ 26′ 21′′

Breite von Garmisch (WG): ϕ = 47◦ 29′ 38′′

Obere Kulmination der Sonne am 22.06.: h1 = 90◦ − ϕ+ ε = 65◦ 56′ 43′′

Obere Kulmination der Sonne am 22.12.: h2 = 90◦ − ϕ− ε = 19◦ 4′ 1′′

(b)

P

P

M

Q2

Q2 Q1 Q1

U2

U2

U1

U1

t2 t1ϕ

ϕ

Nordpol

Sudpol

S S1

S1

Aquator

εε

εSonneam

22.6.

W

O

r

rr

β

Sonneam

22.12

.

Blick vom Nordpol zum Sudpol

Horizont

Blick von W nach O

OK1

OK1

OK2

OK2

A2 A1

Ist R der Radius der Himmelskugel, dann hat der Parallelkreis zum Aquator, auf dem sichdie Sonne am 22.6. oder 22.12. bewegt, den Radius r = R cos ε.

PQ2 = MPsinϕ = R sin ε sinϕ

cos t1 = cosβ =PQ2

r=

sin ε sinϕ

cos ε= tan ε tanϕ

cos t2 = cos(180◦ − t1) = − cos t1 = − tan ε tanϕ

Im festen Aquatorsystem gilt mit ϕ′ = ϕ− 90◦:

−−→MU2 =

cos ε cos t2cos ε sin t2

sin ε

,

−→MS =

cosϕ′ cos 0cosϕ′ sin 0

sinϕ′

=

cosϕ′

0sinϕ′

Fur den Azimut des Untergangspunktes im Horizontsystem gilt:

cosA2 =−−→MU2 ·

−→MS = cos ε cos t2 cosϕ

′ + sin ε sinϕ′ =

= cos ε cos t2 sinϕ− sin ε cosϕ =

= − cos ε tan ε tanϕ sinϕ− sin ε cosϕ = − sin ε

cosϕ

Allgemein gilt fur den Azimut A des Sonnenuntergangspunktes im Horizontsystem eines Ortesauf der Nordhalbkugel (Breite ϕ), wenn δ die Deklination der Sonne ist:

cosA = − sin δ

cosϕ

Garmisch, 22.06.: δ = ε, A = 126◦ 3′ 57′′ , 22.12.: δ = −ε, A = 53◦ 56′ 3′′

6


1.3.8. (a) 50%, 50%

(b) 0%, 100%

(c) A = 2Rπ h = 2Rπ (R−R cosϕ)

z =A

4 π R2=

1− cosϕ

2= 16,2%

s = 1− z = 83,8%

A

R

R

ϕ

N

h

Horizont

Aquator

1.3.9. (a) β = T · 360◦

365,25 d

(b) hmax = 90◦ − ϕ+ δ = 25◦ 51′

(c) Um Mitternacht steht die Sonne im unteren Kulmina-tionspunkt, ihre Rektaszension ist als um 12h großerals die von Sirius:

αS = α+ 12 h = 280,7364◦

β = arctantanαS

cos ε= 279,87◦

T = β · 365,25 d360◦

= 284 d

284 d nach dem 21.3. ist der 30.12.

Z

ϕϕ

N

hδ

Horizont

Aquator

1.4 Instrumente zur Beobachtung

1.4.1. (a) DS =b · 1AE

f= 1,39 · 109 m, S′ = S · d

2

b2= 3,43 · 104 W

m2

(b) V = 100 dm3 = 0,1m3, m = 100 kg, C = 4,19 · 103 J

kgK, ∆T = 80K, ∆t = 600 s

Radius der Wasserkugel:

R =3

√3V

4π= 0,288m

Die in den Spiegel einfallende Leistung muss gleich der zur Erwarmung benotigten Leistungsein:

SD2π

4=

mC∆T

∆t=⇒ D =

√4mC∆T

Sπ∆t= 7,21m

f =2Rr

DS= 61,9m

1.4.2. (a) D = a+ 2L tan ε = a+2L sin ε

cos ε= a+

2L sin ε√1− sin2 ε

= a+2Lb1λ

a

√1− b21λ

2

a2

= a+2Lb1λ√a2 − b21λ

2

Wegenb21λ

2

a2≪ 1 fur a ≫ λ gilt 1− b21λ

2

a2≈ 1 und damit

D ≈ a+2Lb1λ

a

(b) a1 = 0,005m, a2 = 10m

D1 = D(a1) = 1,2 · 102 km, D2 = D(a2) = 70m

D′(a) =dD(a)

da= 1− 2Lb1λ

a2

D′(a0) = 0 =⇒ a0 =√2Lb1λ = 24,5m Dmin = D(a0) = 49m

7


1.4.3. leer

1.4.4. (a) Zerstreuungslinse:

f2 < 0 =⇒ |f2| = −f2

feff

f1=

B2

B1=

b− f2

−f2=

f2 − b

f2

Bei der Abbildung an der Zerstreuungslinseist die Bildweite b und die Gegenstandsweite(rechts von der Linse negativ)

g = −(f1 − a) = a− f1

feff

f1 F1

B1

B2

Linsengleichung:

1

b+

1

g=

1

f2=⇒ 1

b=

1

f2+

1

f1 − a

b =f2(f1 − a)

f1 + f2 − a

feff =f1(f2 − b)

f2=

f1f2

f1 + f2 − a f1

a

F1F2

B1

B2

b

f1 − a|f2|

(b) Aus den beiden letzten Gleichungen folgt

f2

f1 + f2 − a=

b

f1 − a=⇒ feff =

f1b

f1 − a=⇒ f1 =

afeff

feff − b= 5,14m

D′

D=

b

b+ a=⇒ D′ =

bD

b+ a= 137m

(c) Winkelauflosung mit λ = 500 nm:

δ = 1,22λ

D= 2,5 · 10−7 ≈ 0,05′′

A = δfeff = 14µm

Große des Gesichts original G1 und G2, auf der Platte B1 und B2, g = 5000m:

B1 =G1feff

g

Mit der Pixelflache K2 folgt dann fur die Zahl der Pixel

n =G1G2f

2eff

g2K2= 1,1 · 104

1.4.5. Die Normale n steht senkrecht auf derSpiegeloberflache. Die Gerade g stehtfur den reflektierten Strahl, t ist dieTangente an den Spiegel im Reflexions-punkt. Die Steigung von t ist

mt = tanα = f ′(x1) = 2ax1

Die Steigung von g ist

m = − tan(π2− 2α

)= − 1

tan(2α)=

= −1− tan2 α

2 tanα= −1− 4a2x2

1

4ax1

Die Gleichung von g durch den Reflexi-onspunkt (x1 | ax2

1) ist

t

x

y

f

F

O

α

αα

2α

π

2− 2α

g

n

y2

8


g : y = mx+ ax21 −mx1

Schnittpunkt von g mit der y-Achse bei

y2 = g(0) = ax21 −mx1 = ax2

1 −1− 4a2x2

1

4a=

1

4a

Da y2 unabhangig von x1 ist, schneiden sich alle reflektierten Strahlen im Brennpunkt

F (0 f) mit der Brennweite f =1

4a.

1.4.6. Winkel, unter dem die Sterne erscheinen:

α =a

r=

2,45AE

40 LJ9,7 · 10−7 = (0,, 0033′

Beobachtungswinkel (Auflosung des Auges): β ≈ 1′. Vergroßerung v des Teleskops:

v =tanβ

tanα≈ β

α= 300 =

f1

f2=⇒ f1 = 300f2 = 2,4m

Mit λ ≈ 600 nm folgt

D =1,22λ

sinα≈ 76 cm

1.5 Gravitation

1.5.1. Die Gesamtkraft auf eine Testmasse m am gesuchtenOrt P muss null sein:

GMEm

x2=

GMMm

y2

P MMME

a

x y

m

Mit y = a− x folgt

ME(a− x)2 = MMx2 =⇒ |a− x|√

ME = |x|√MM

Da a− x > 0 und x > 0 gilt

(a− x)√

ME = x√MM =⇒ x =

a√ME√

ME +√MM

=a

1 +√

MM

ME

Mit ME = 5,97 · 1024 kg, MM = 7,35 · 1022 kg und a = 3,84 · 105 km folgt

x = 0,900 · a = 3,45 · 105 km

1.5.2. (a)m

2v21 −

GmMS

R= 0 =⇒ v1 =

√2GMS

R= 42,1

km

s

(b)m

2v2FS −

GmMS

R− GmME

RE= 0 =⇒ vFS =

√2G

(MS

R+

ME

RE

)= 43,6

km

s

(c) Es muss sein: ~vF + ~vE = ~vFS mit |~vFS| = vFS.

Fur den Betrag vF gilt dann

in Richtung von ~vE : vF = vFS − vE = 13,8km

s

senkrecht zu ~vE : vF =√v2FS − v2E = 31,8

km

s

entgegen ~vE : vF = vFS + vE = 73,4km

s

~vF

~vF

~vF

~vE

~vE

~vE

~vFS

~vFS

~vFS

9


1.5.3. (a) M = V =4πR3

3=⇒ R = 3

√3M

4π= 13,8 km

g =GM

R2= 6,98 · 1011 m

s2= 7,11 · 1010g

(b) g =GM

R20

=4πGR

3=⇒ R0 =

3g

4πG= 1,9 · 10−7m

(c)

∆g(r) = GM

(1

r2− 1

(r + h)2

)=

GM(2rh+ h2)

r2(r + h)2=

GMh(2r + h)

r2(r + h)2

Fur h ≪ r gilt r + h ≈ r und 2r + h ≈ 2r:

∆g(r) ≈ 2GMh

r3=: ∆gn(r)

∆g(r) −∆gn(r)

∆g(r)= 1− ∆gn(r)

∆g(r)= 1− 2(r + h)2

r(2r + h)= −h(3r + 2h)

r(2r + h)≈ −3h

2r

r = 100 km =⇒ ∆g(r)−∆gn(r)

∆g(r)= −2,7 · 10−5

∆g(r) ≈ 2GMh

r3= 100 · gErde =⇒ r = 3

√GMh

50gErde= 787 km

1.5.4. Der Schwerpunkt S des SystemsErde-Mond hat vom Erdmittel-punkt die Entfernung s:

MEs = MM(R − s) =⇒

s =MMR

ME +MM= 4,66 · 106m,

liegt also innerhalb der Erde.Das Systems rotiert mit der Win-kelgeschwindigkeit

MM

ME

RE

S

s

R

1 2

RE = 6,38 · 106 m

R = 3,84 · 108 m

ω =2π

T= 2,66 · 10−6 1

s

Krafte, die vom Erdmittelpunkt weg zeigen, sollen positiv sein:

F1 = mω2(RE + s)− GMMm

(R+RE)2= 4,61 · 10−5 m

s2·m (1)

F2 = mω2(RE − s)− GMMm

(R−RE)2= 4,66 · 10−5 m

s2·m (2)

Auf beiden Seiten wirkt also eine fast gleich große, vom Erdmittelpunkt nach außen zeigende Kraft.

1.6 Umlaufbahnen

1.6.1. M = MErde = 5,974 · 1024 kg, R = RErde,Aquator = 6,378 · 106m

”Zentripetalkraft gleich Gravitationskraft“ und r = R+ a:

mv2

r=

GmM

r2=⇒ v2 =

4π2r2

T 2=

GM

r=⇒ r =

3

√GMT 2

4π2

Mit T = 24 h = 86400 s folgt r = 4,225 · 104 km und a = r −R = 3,587 · 104 km.

Streng genommen betragt die Rotationsdauer der Erde in einem Inertialsystem

T ′ =365,25

366,25· T = 86164 s.

10


Damit folgt r = 4,217 · 104 km und a = r −R = 3,579 · 104 km.

v =2πr

T ′= 3081

m

s(3072

m

smit T )

F =GMm

r2= 0,2234

m

s2·m

Er fuhlt sich schwerelos, weil in seinem (rotierenden) Bezugssystem die nach aussen wirkende

Zentrifugalkraft die Schwerkraft exakt aufhebt.

1.6.2. In einem Inertialsystem (nicht beschleunigtes, d.h. auch nicht rotierendes System) gilt:Zentripetalkraft gleich Gravitationskraft. Das nicht rotierende System S, in dem der Erdmittel-punkt ruht, ist naherungsweise ein Inertialsystem.Mit R = RErde = 6,378 · 106 m und r = R+ h = 6,578 · 106m folgt

mv2

r=

GMm

r2=⇒ v =

√GM

r= 7,78

km

s

v0 sei die Abschussgeschwindigkeit des Satelliten im Inertialsystem S:

m

2v20 −

GMm

R=

m

2v2 − GMm

r=⇒ v0 =

√v2 + 2GM

(1

R− 1

r

)

u ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Abschus-sort relativ zu S bewegt, v′0 die Abschussgeschwin-digkeit relativ zur Erdoberflache:

v20 = v′20 + u2 − 2v′0u cosϕ′

Wegen cosϕ′ = cos(180◦ − ϕ) = − cosϕ ist

v20 = v′20 + u2 + 2v′0u cosϕ

v′20 + 2v′0u cosϕ = v20 − u2

u

u

v0

v′0

ϕ

ϕ′

v′0 = −u cosϕ +(−)

√v20 − u2 sin2 ϕ

Abschuss am Nord- oder Sudpol (u = 0):

v′0 = v0 = 8,02km

s

Am Aquator ist

u =2Rπ

24 · 3600 s = 0,464km

s

Abschuss am Aquator senkrecht nach oben (ϕ = 90◦):

v′0 =√v20 − u2 = 8,01

km

s

Abschuss am Aquator tangential zur Erdoberflache nach osten (ϕ = 0◦):

v′0 = v0 − u = 7,56km

s

Abschuss am Aquator tangential zur Erdoberflache nach westen (ϕ = 0◦):

v′0 = v0uu = 8,45km

s

1.6.3. (a) a =1

2(560 + 21400)km+RE = 1,736 · 107 m, T =

√4π2a3

GME= 2,275 · 104 s

11


(b) Daten der Bahnellipse:

r0 = 560 km+ RE = 6,983 · 106mr1 = 2a− r0 = 2,778 · 107m

e =a− r0

a= 0,600

b =√a2 − d2 = a

√1− e2 = 1,388 · 107m

d = ea = 1,041 · 107 mp = r0(1 + e) = 1,110 · 107 mGleichung der Ellipse:

x2

a2+

y2

b2= 1 =⇒ y = ±b

√1− x2

a2

x

y

1 · 107 m

−1 · 107 m

(c) v0 =

√GME ·

(2

r0− 1

a

)= 9593

m

s, v1 =

√GME ·

(2

r1− 1

a

)= 2396

m

s

1.6.4. (a)T 22

T 21

=r32r31

=⇒ T2 = T1

√r32r31

= 20 d ·

√(9

4

)3

= 20 d · 278

= 67,5 d

(b) a =r1 + r2

2= 325 000 km

T 2

T 21

=a3

r31=⇒ T = T1

√a3

r31= 20 d ·

√(13

8

)3

= 41,4 d

(c) d = a− r1 = 125 000 km, e =d

a=

5

13≈ 0,385

b =√a2 − d2 =

√9 · 1010 km2 = 300 000 km

1.6.5. (a)T 2Eu

a3Eu

=T 2Io

a3Io= CJup = 4,17 · 10−17 d2

km3=⇒

aEu = 3

√T 2Eua

3Io

T 2Io

= aIo3

√T 2Eu

T 2Io

= 1,59 aIo = 6,71 · 105 km

(b) a =r1 + r2

2= 5 · 105 km

T 2

a3= CJup =⇒ T =

√a3CJup = 2,28 d

d = a− r1 = 3 · 105 km = ea =⇒ e =d

a= 0,6

b =√a2 − d2 = a

√1− e2 = 0,8 a = 4 · 105 km

(c) r4 = ES2 = 2a− r3 = 6,8 · 105 kmk(S1, r3) ∩ k(S2, r4) = {E,F}S1S2 = 2d = 6 · 105 km

r23 + S1S22= 46,24 · 1010 km2

r24 = 6,82 · 1010 km2 = r23 + S1S22

=⇒<) S2S1E = 90◦

A B

C

D

E

F

S1 S2

r3 r4

E’

F’

1.6.6. (a)T 2

a3= C⊙ = 1

a2

AE3=⇒ a = 3

√T 2

C⊙

= 10,335AE

12


d = a− r1 = 9,359AE =⇒ b =√a2 − d2 = 4,386AE

r2 = a+ d = 19,694AE

2

2

4

4 6 8 10 12 14 16 18

−2

−4

x

AE

y

AE

(b) d = ea =⇒ rmin = a− d = a(1− e) =⇒ a =rmin

1− e= 187AE

b = a√1− e2 = 18,5AE

T 2

a3= C⊙ = 1

a2

AE3=⇒ T =

√a3C⊙ = 2,56 · 103 a

1.6.7. (a) rmin =c∆tmin

2+RE + RM = 363296 km

rmax =c∆tmax

2+RE +RM = 405504 km

aM =rmin + rmax

2= 384400 km

dM = aM − rmin = 21104 km, eM =dM

aM= 0,0549

bM =√

a2M − d2M = 383820 km

(b) T = dsid = 86164 s,T 2

a3=

T 2M

a3M=⇒ a = aM

(T

TM

) 23

= 42298 km

uber Erdoberflache: x = a−RE = 35920 km

(c) Ein Jahr hat 365,25 24 h-Tage und 366,25 Sterntage:

365,25 · 24 h = 366,25 · dsid

dsid =365,25

366,25· 24 · 3600 s = 86164 s

dsid = 23 h56min 4 s

Sonne

Erde

13


1.6.8. (a)T 2A

r3=

T 2B

a3=

64T 2A

a3=⇒ a =

3√64r3 = 4r

d = a− r = 3r =⇒b =

√a2 − d2 =

√16r2 − 9r2 = r

√7 ≈ 2,65r

(b)”Der Strahl Zentralkorper–Umlaufkorper uber-streicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.“

r

B

a

a

d

1

2v1∆t · r =

1

2v2∆t · 7r =⇒ v2 =

v1

7= 1200

m

s

1.6.9. (a) MM +MErde =4π2a3

GT 2= 6,051 · 1024 kg =⇒ MM = 6,051 · 1024 kg−MErde ≈ 7,4 · 1022 kg

(b) Da die Planetenmassen sehr klein gegen die Sonnenmasse M sind, gilt fur zwei Planeten mitden Massen m1 und m2:

T 21

a31=

4π2

G(M +m1)≈ 4π2

G(M +m2)=

T 22

a32

Als Beispiel betrachten wir den Merkur und den Jupiter:

4π2

G(M +MJup)= 1,9829 · 10−29 1

kg,

4π2

G(M +MMer)= 1,9848 · 10−29 1

kg

1.6.10. (a) a =rE + rJ

2= 4,64 · 1011m

v0 =

√GMS ·

(2

rE− 1

a

)= 3,86 · 104 m

s, v1 =

√GMS ·

(2

rJ− 1

a

)= 7,42 · 103 m

s

mv2KrE

=GmMS

rE=⇒ vK =

√GMS

rE= 2,98 · 104 m

s

(b) Umlaufzeit:

T =

√4π2a3

GMS= 1,72 · 108 s

Flugdauer:

∆t =T

2= 8,61 · 107 s = 2 a266 d

1.6.11. (a) Im SP-System:

rL

rS=

4,2

7=

3

5

aS = 5 · 1011m, dS = 3 · 1011m

e =d

a=

3

5

S1S = 2 · 1011m

L1S =3

5· S1S = 1,2 · 1011m

S3S = 8 · 1011m

L3S =3

5· S3S = 4,8 · 1011m

5 · 1011 m 1 · 1012 m

P

❥1❥1

❥2

❥3❥3

0

S

aS

aL

7 cm

4,2 cm

dS

r0S

r0L

(b) im System von S (Stern): r = rL + rS =8

5rS = 1,6rS, a = 1,6aS = 8 · 1011m

M = mS +mL =4π2a3

GT 2= 2,40 · 1031 kg

14


mS

mL=

rL

rS=

3

5=⇒ mS +mL = 1,6mL = M

mL = 1,50 · 1031 kg, mS = 0,90 · 1031 kg

(c) Winkelauflosung beim HST:

δ = 1,22 · λ

D= 0,063′′

Fehler bei der Ortsbestimmung in 20LJ Entfernung:

∆a = δ · 20 LJ = 5,8 · 1010 m = 0,072a ≈ ∆a

Da die Winkelauflosung mit VLBI besser ist, berucksichtigen wir nur den Fehler des HST.

Mmax =4π2(a+∆a)3

GT 2= 2,96 · 1031 kg, Mmin =

4π2(a−∆a)3

GT 2= 1,92 · 1031 kg

δrel =Mmax −Mmin

Mmax +Mmin≈ 21%

1.6.12. (a) tanϕ0

2=

R⊙

r0, tan

ϕ1

2=

R⊙

r1

α :=r0

r1=

tan ϕ1

2

tan ϕ0

2

= 0,96715

R⊙

r0 r1

ϕ02

2a

ϕ12

e =r1 − a

a=

2r1 − 2a

2a=

2r1 − r1 − r0

r1 + r0=

r1 − r0

r1 + r0=

1− r0r1

1 + r0r1

=1− α

1 + α= 0,0167

2a = r0 + r1 = R⊙

(1

tan ϕ0

2

+1

tan ϕ1

2

)=⇒ R⊙ = 6,96 · 108m

a = 1AE, b = a√1− e2 = 0,99986 · a

r0 = a(1− e) = 0,9833a, r1 = a(1 + e) = 1,0167a

(b) Da MErde ≪ M⊙ gilt

M⊙ =4π2a3

GT 2= 1,989 · 1030 kg

(c) v0 =

√GM⊙ ·

(2

r0− 1

a

)=

√GM⊙(1 + e)

a(1− e)= 30,3

km

s

v1 =

√GM⊙ ·

(2

r1− 1

a

)=

√GM⊙(1− e)

a(1 + e)= 29,3

km

s

1.6.13. rP = 2500 km, rC = 17500 km, r = rP + rC = 2,0 · 107m, T = 2∆t = 551880 s

M = mP +mC =4π2r3

GT 2= 1,554 · 1022 kg

mP

mC=

rC

rP= 7 =⇒ M = 8mC, mC =

M

8= 1,94 · 1021 kg, mP = 7mC = 1,36 · 1022 kg

1.6.14. (a) Mit der Dopplerformel:

λ1 = λ0

√1− β1

1 + β1=⇒ β1 =

λ20 − λ2

1

λ20 + λ2

1

= 3,8084 · 10−4 =⇒ v1 = β1c = 1,14172 · 105 m

s

λ2 = λ0

√1 + β2

1− β2=⇒ β2 =

λ22 − λ2

0

λ22 + λ2

0

= 2,28499 ·10−4 =⇒ v2 = β2c = 6,85024 ·104 ms

v1 und v2 sind die Umlaufgeschwindigkeiten der beiden Sterne. Zum Zeitpunkt der Messungbewegt sich der schnellere Stern auf den Beobachter zu, der langsamere von ihm weg.

15


(b) 2πr = vT =⇒

r1 =v1T

2π= 1,00 · 1010m, r1 =

v2T

2π= 6,00 · 109m, a = r1 + r2 = 1,60 · 1010m

M = m1 +m2 =4π2a3

GT 2= 8,00 · 1030 kg

m1

m2=

r2

r1=

3

5=⇒ M = m1 +m2 =

8

5m2 =⇒

m2 = 5,00 · 1030 kg, m1 = 3,00 · 1030 kg

1.6.15. (a) AS = a(1 + e) = 0,4667AE

SP = a(1− e) = 0,3075AE

tanαmax =AS

1AE= 0,4667

αmax = 0,4366 = 25,0◦

r

rE = 1AE

αmax

S

Erde

AP

(b) Da der Merkur sehr nahe an der Sonne ist, kann er nach Sonnenuntergang nur im Westenbeobachtet werden.

(c)mv2

rS=

GmM

r2Sund v =

2πrSTS

=⇒ 4π2r2ST 2S

=GM

rS=⇒ M =

4π2r3SGT 2

S

= 3,31 · 1023 kg

(d) r = rE −AS = 0,5333AE = 1,978 · 1010m

δ

2≈ tan

δ

2=

R

r=⇒ R ≈ rδ

2= 2,437 · 106m = 2437 km

1.6.16. leer

16

2 Das Sonnensystem

2 Das Sonnensystem

2.1 Aufbau des Sonnensystems

2.1.1. (a) Betrachtet man die Umlaufbahnen von Erde, Venus undMerkur als Kreise mit den Radien

rE = 1AE, rV = 0,7233 rE und rM = 0,3871 rE,

dann erhalt man fur die maximale Elongation der Venus

αV = arcsinrV

rE= arcsin 0,7233 = 46,3◦

und fur den Merkur

αM = arcsinrM

rE= arcsin 0,3871 = 22,8◦

Sonne

V

rV

rE

E

α

(b) Mit a = 0,3871 · rE folgt fur den maximalenElongationswinkel

α1 = arcsina(1 + e)

rE= arcsin 0,4667 = 27,8◦

Steht Merkur im Perihel, ist der maximaleElongationswinkel

α2 = arcsina(1− e)

rE= arcsin 0,3075 = 17,9◦

S

α1α2

rE

α

x

y

ab

d

Herleitung der Behauptung in der Angabe:

Die Tangente von der Erde an die Merkurbahnberuhrt die Merkurbahn in T und bildet mit der Ge-raden Erde-Sonne den Winkel α. Der Mittelpunktder Bahnellipse des Merkurs bildet den Ursprung ei-nes Koordinatensystems, die x-Achse zeigt zum Pe-rihel. Koordinaten der Erde:

xe und ye = −√r2E − (xe + d)2

mit d = (1 + e)a. Aus der Ellipsengleichung

x2

a2+

y2

b2= 1

S

T(x|y)

rE

xe

ye

x

y

E

α

d a

mit b =√a2 − d2 folgt fur die Gleichung der unteren Halfte der Merkurbahn:

y = f(x) = − b

a

√a2 − x2, f ′(x) =

bx

a√a2 − x2

Gleichung einer Tangente von E an die Merkurbahn:

f(x)− ye

x− xe= f ′(x) =⇒

(− b

a

√a2 − x2 − ye

)a√a2 − x2 = bx(x− xe)

−aye√a2 − x2 = b(a2 − xex) =⇒ a2y2e (a

2 − x2) = b2(a2 − xex)2

Umformen fuhrt auf die quadratische Gleichung

(a2y2e + b2x2e)x

2 − 2a2b2xex = a4(y2e − b2)

mit der Losung

x =a2

a2y2e + b2x2e

·[b2xe ± ye

√a2y2e + b2x2

e − a2b2]

17

2 Das Sonnensystem

Aus x kann man y = f(x) berechnen und kennt damit die Vektoren

−→ES = −

(xe + d

ye

)und

−→ET =

(x− xe

y − ye

).

Mit Hilfe des Skalarprodukts findet man

α = arccos

−→ES · −→ET

|−→ES| · |−→ET|

Druckt man in α die Großen x, y und ye durch xe aus, erhalt man den recht umfangreichenTerm fur α(xe). Den Term der Ableitung α′(xe) kann man nur noch als gigantisch bezeichnen.Mit den Mitteln der Analysis ist es also außerst umfangreich, die Gultigkeit von α′(a) = 0 zuzeigen.

Es gibt aber eine einfache elementargeometrische Methode zum Beweis der in der Angabegemachten Behauptung.

Merkur (M) sei an einer beliebigen Stelle und<) SME = 90◦. Fur jeden Punkt P auf demFasskreisbogen (Teil des Kreises durch S, Mund E unterhalb von SM) gilt <) MPS = α1,fur jeden Punkt außerhalb des Fasskreisbo-gens und unterhalb von SM gilt <) MPS < α1.Wegen α1 + α′

1 = 90◦ ist der Mittelpunkt desFasskreisbogens gleich dem Mittelpunkt derStrecke [SE]. Somit liegt die Erdbahn (bis aufE) vollstandig außerhalb des Fasskreisbogensund die Elongation des Merkurs ist im gezeich-neten Punkt E der Erdbahn am großten.:

sinα1 =SM

r

S M

r

2

r

2

r

2

α1

α1

α1

α′1α′

1

α′1

EErdbahn

Die absolut maximale Elongation erhalt man fur das maximale SM, d.h. fur SM = a+ d:

sinαmax =a+ d

r

2.1.2. Blickrichtungen von der Erde auf den Mars in einem zu den Fixsternen festen Koordinatensystemwahrend eines Jahres:

ωM =2π

TM

, ωE =2π

TE

Ort des Marses:

~rM (t) =

(−rM sinωM t

rM cosωM t

)

Ort der Erde:

~rE(t) =

(−rE sinωEt

rE cosωEt

)

Blickrichtung:−−→EM(t) = ~rM (t)− ~rE(t) =

=

(−rM sinωM t+ rE sinωEt

rM cosωM t− rE cosωEt

)

Winkel ϕ zwischen Blickrichtungund y-Achse:

x

y

18

2 Das Sonnensystem

tanϕ =rM cosωM t− rE cosωEt

−rM sinωM t+ rE sinωEt

t

Monϕ

−1−2−3 1 2 3 4 5 6

−10◦

−20◦

−30◦

−40◦

−50◦

−60◦

−70◦

−80◦

2.1.3. Hier muss man mit den”Jahren“ aufpassen:

1 a = aburg = 365,2425 · 24 · 3600 s = 31 556 952,00 s, asid = 31 558 149,53 s

Tsyn = 1 aburg 1 d 11 h 52min 14 s = 31 686 086 s

1

Tsid=

1

asid− 1

Tsyn

Tsid =1

1asid

− 1Tsyn

= 7 816 021 812 s = 247,68 a

2.1.4. (a) Naherung fur rd≪ 1:

1

(d± r)2=

1

d2(1± r

d

)2 ≈ 1

d2(1± 2r

d

) ≈ 1∓ 2rd

d2

Winkelgeschwindigkeit des Umlaufs fur M ≫ m:

mω2d =GMm

d2=⇒ ω2 =

GM

d3

FG1

FG2FZ1

FZ2

F2

m

2m

2

d

d− r d+ r

F1

x

Im mitrotierenden System, in dem der Mond ruht, wirken Gravitations- und Zentrifugalkrafteauf die Mondhalften:

FG1 = −GM · m2

(d− r)2≈ −GMm

2d2·(1 +

2r

d

)

FG2 = −GM · m2

(d+ r)2≈ −GMm

2d2·(1− 2r

d

)

FZ1 =m

2ω2(d− r) =

GMm

2d2·(1− r

d

)

FZ2 =m

2ω2(d+ r) =

GMm

2d2·(1 +

r

d

)

F1 = FG1 + FZ1 = −GMm

2d2· 3rd

F2 = FG2 + FZ2 =GMm

2d2· 3rd

Die beiden Mondhalften werden mit der Kraft

∆F = F2 − F1 =GMm

2d2· 6rd

=3GMmr

d3

auseinandergezogen. Der Mond wird zerrissen, wenn ∆F großer ist als die ihn zusammenhaltende Gravitationskraft:

3GMmr

d3>

G(m2

)2

(2r)2=

Gm2

16r2=⇒ d < r · 3

√48M

m=: dR

19

2 Das Sonnensystem

(b) M =4π

3PR

3, m = 2 · 4π3Mr3 =⇒ dR = R · 3

√24PM

= 2,88R 3

√P

M

In der Literatur werden oft die Zentrifugalkrafte nicht berucksichtigt:

∆F = FG2 − FG1 =2GMmr

d3=⇒ d′R = r · 3

√32M

m= R · 3

√16PM

= 2,52R 3

√P

M

Eine andere Moglichkeit zur Definition der Roche-Grenze: Ein Teilchen der Masse µ an der dem Pla-neten zugwandten Seite des Mondes wird abgelost,d.h. die Gesamtkraft auf das Teilchen im System desMondes ist null:

GMµ

(d− r)2= µω2(d− r) +

Gmµ

r2

FGP

µ

FZ1

m

2

d

d− r

FGM

x

GMµ

d2

(1 +

2r

d

)≈ GMµ

d2

(1− r

d

)+

Gmµ

r2

3GMµr

d3=

Gmµ

r2=⇒ d = dr = r · 3

√3M

m= R · 3

√3PM

= 1,44R 3

√P

M

(c) P = M =⇒ dR = 2,88R > dA

2.2 Eigenschaften der Planeten

2.2.1. leer

2.2.2. leer

2.2.3. leer

2.2.4. leer

2.3 Der Mond

2.3.1. leer

2.3.2. leer

20

2 Das Sonnensystem

2.3.3.aM = 3,844 · 108meM = 0,0549

RM = 1,738 · 106maS = 1,496 · 1011meS = 0,0167

RS = 6,96 · 108m

RSRM

RE

RE

A

A B

C

C

D

E

F

G

Sonne

Mond

Erde

x

z

ab

ϕ

ϕprp

rM

γ

rS

c

Kernschatten

Halbschatten

β

y

(a) rM,min = aM(1 − eM) = 3,633 · 108m , rM,max = aM(1 + eM) = 4,055 · 108 m

δM,min = 2 arctanRM

rM,max= 0,4911◦ , δM,max = 2 arctan

RM

rM,min −RE= 0,5580◦

(b) rS,min = aS(1− eS) = 3,633 · 108m , rS,max = aS(1 + eS) = 4,055 · 108m

δS,min = 2 arctanRS

rS,max= 0,5244◦ , δS,max = 2 arctan

RS

rS,min −RE= 0,5422◦

(c) Kleinster Mond, großte Sonne:δ2M,min

δ2S,max

= 0,820 = 82,0%

(d) Aus den Bedingungen der Angabe folgt die Situation in den Abbildungen.

z = rS,min − rM,max,x

x− z=

RS

RM=⇒ x = 1,521 · 1011 m

ϕ = arcsinRS

x, y = x−RS,max +RE, r = y · ϕ = 105 km

v =rS,max − rE

rS,max − rM,min·√γ ME

(2

rM,min− 1

aM

)− 2 π

1 d·RE = 615

m

s

∆ttotal =2 r

v= 341 s

a = 3,780 · 108m, b = 1,514 · 1011m, c = 7,412 · 108m, ϕp = 0,2635◦

γ = arcsinc sinϕp

RE= 32,304◦, β = 180◦ − γ − ϕp = 147,433◦

Radius des partiellen Sichtbarkeitsbereichs: rp = RE sinβ = 3433 km

21

2 Das Sonnensystem

2.3.4.

x

y

x

y

2.4 Allerlei Kleinzeug

2.4.1. leer

2.4.2. leer

2.4.3. leer

22

2 Das Sonnensystem

2.5 Nutzliches aus der Theorie der Warme und der Strahlung

2.5.1. Absorbierte Leistung:

PA = (1−A) · R2 π · L⊙

4 π r2= 1−A) ·R2 π · σ · R2

⊙ · T 4⊙

r2

Emittierte Leistung:PE = σ εP · 4R2 π · T 4 = PA =⇒

T = T⊙ ·(1−A

εP

) 14

·√

R⊙

2 r

Mit R⊙ = 6,96 · 108m und r = rJup = 7,78 · 1011m folgt

TEuropa = 95K, TCallisto = 116K

2.5.2.

T = T⊙ ·(1−A

εP

) 14

·√

R⊙

2 r=

{88K fur εP = 1105K fur εP = 0,5

Treal =2,898 · 10−3mK

22,3 · 10−6m= 130K

Eigenwarme des Jupiters!

2.5.3. (a) TR =2,898 · 10−3mK

λmax= 1,23 · 104K

L = σ · 4π(19R⊙)2T 4

R = 2,9 · 1030W

(b) E =L

4πr2=⇒ r =

√L

4πE= 8,5 · 1018m = 900 LJ

(c) Erdahnlich: A = 0,37, ε = 0,6, T = 282K.

T = TR ·(1−A

ε

) 14

·√

R

2 r=⇒ r =

RT 2R

2T 2

√1−A

ε= 1,29 · 1013 m = 86AE

t =

√4π2r3

GM= 5,64 · 109 s = 179 a

(d) T ′ = TR ·(1−A

ε

) 14

·√

R

2AE= T

√r

AE= 2,6 · 103K

2.5.4. (a) Flache Pupille: A0 = (4mm)2π = 5,0 · 10−5m2

Intensitat am Ort des Auges: E0 =104hf

A0 s= 6,6 · 10−11 W

m2

Intensitat der Sonnenstrahlung am Ort der Erde: ES = 1400 Wm2

E(r)

E(1AE)=

E0

ES=

1AE2

r2=⇒ r = 1AE

√1400

6,6 · 10−11= 6,9 · 1017m = 73LJ

(b) E(r) = ES · 1AE2

r2= 3,9 · 10−18 W

m2

Mit dem Objektivradius R des Teleskops gilt

E(r) · R2π = E0A0 =⇒ D = 2R = 2

√E0A0

πE(r)≈ 33m

Auge durch Fotoplatte oder Bildsensor ersetzen und lange belichten!

23

2 Das Sonnensystem

2.5.5. (a) Mit L⊙ = 3,84 · 1026W und r = 1AE = 1,496 · 1011m ist

E(r) =L⊙

4πr2= 1367

W

m2

m = −2,5m · lg E(r)

E∗= −26,85m

Mit r0 = 10 pc = 3,086 · 1017m ist

M = m+ 5m · lg r0

r= 4,72m

(b) m−M = 5m · lg r

r0=⇒ r = r0 · 10

m−M

5m

m = 7m =⇒ r = 28,6 pc = 8,82 · 1017m = 93LJ

m = 24m =⇒ r = 7,2 · 103 pc = 2,2 · 1021 m = 2,3 · 105 LJ

(c) r = 8,82 · 1017m =⇒ E(r) = 1367W

m2· AE

2

r2= 3,93 · 10−11 W

m2

Auf die Pupillenflache Ap =πD2

4= 7,85 · 10−5m2 trifft die Leistung

Pp = E(r) ·Ap = 3,09 · 10−15 W

Mit der Photonenenergie

Wγ = hf =hc

λ= 3,61 · 10−19 J

entspricht das

n =Pp

Wγ

= 8,55 · 103 Photonen

s

(d) Die Intensitat des Sterns mit m = 24m am Ort des Beobachters ist E1:

m = −2,5m · lg E1

E∗=⇒ E1 = E∗ · 10− m

2,5m = 6,23 · 10−18 W

m2

In die Pupille muss die Leistung (siehe (c)) Pp = 3,09 · 10−15W einfallen:

E1 ·D′2π

4= P =⇒ D′ =

√4P

πE1= 25m

Lange Belichtungszeiten bei fotografischer Aufnahme.

(e) Mit freiem Auge (m1 = 7m):

E1 = 3,93 · 10−11 W

m2=

100W

4πr21=⇒ r1 =

√100W

4πE1= 450 km

Mit Teleskop (m2 = 24m):

m1 −m2 = −17m = −2,5m · lg E1

E2=⇒ E2 =

E1

106,8= 6,23 · 10−18 W

m2

E2 =100W

4πr22=⇒ r2 =

√100W

4πE2= 1,1 · 106 km

Oder:

m1 −m2 = −17m = −2,5m · lg E1

E2= −2,5m · lg r22

r21= −5m lg

r2

r1=⇒

r2 = r1 · 103,4 = 1,1 · 106 km

2.5.6. (a) m1 −m2 = −2,5m lg10E

E= −2,5m =⇒ sie wird um 2,5m kleiner

24

2 Das Sonnensystem

(b) E = 2,48 · 10−8 W

m2· 10−

2,22,5 = 3,3 · 10−9 W

m2,

1367 Wm2

E= 4,2 · 1011

2.5.7. m−M = 5m · lg r

r0=⇒ r = r0 · 10

m−M

5m = 10 pc · 10−0,58 = 2,6 pc = 8,1 · 1016m = 8,6 LJ

2.5.8. m−M = 5m lgr

r0=⇒ M = m− 5m lg

r

r0

Mit r = r′ LJ und r0 = 10 pc = 32,6 LJ folgt M = m− 5m lgr′

32,6.

Stern m r in LJ M

Arctur 0,0m 37 −0,3Capella 0,1m 42 −0,4Rigel 0,1m 900 −7,1Mizar 2,3m 78 +0,4

2.5.9. Auf Jupiter trifft die Leistung

P =L⊙

4πr2J· R2

Jπ =1

4L⊙

R2J

r2J

Wenn alles gleichmassig in den Halbraum abgestrahlt wird, ist die effektive Leuchtkraft von Jupiter

L = 2AP =1

2AL⊙

R2J

r2J

Mit der Entfernung Erde-Jupiter

r = rJ − rE = 4,20AE = 6,28 · 1011m

ist die Intensitat des Jupiters am Ort der Erde

E =L

4πr2=

AL⊙R2J

8πr2r2J= 2,38 · 10−7 W

m2

Unter der Annahme, dass das von Jupiter wieder abgestrahlte Licht die gleiche spektrale Zusam-mensetzung hat wie das Sonnenlicht, gilt mit E∗ = E∗

⊙ = 24,8 · 10−9 Wm2

m = −2,5m · lg E

E∗= −2,46m

2.5.10. (a) Lyman λ21 = 121,5 nm λ31 = 102,5 nm λ41 = 97,2 nm λ∞1 = 91,1 nmBalmer λ32 = 656 nm λ42 = 486 nm λ52 = 434 nm λ∞2 = 365nmPaschen λ43 = 1875nm λ53 = 1281nm λ63 = 1094nm λ∞3 = 820nmBrackett λ54 = 4050nm λ64 = 2624nm λ74 = 2165nm λ∞4 = 1458nm

Im Sichtbaren liegen nur Linien der Balmerserie, aber nicht alle:

λm2 =1

R∞

(14 − 1

m2

) > 385 nm =⇒ 1

4− 1

m2<

1

R∞ · 3,85 · 10−7m= 0,23669

1

m2> 0,01331 =⇒ m <

√1

0,01019= 8,7

Es sind also sechs Linien sichtbar: λ32 (Hα) bis λ82 = 389 nm (Hζ). λ92 = 383 nm liegt schonim UV. Die Balmerlinien werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet (α, β, γ, δ, ε, ζ, η...).

(b) Galaxis 1: λ1 = 729 nm, λ2 = 615 nm, λ3 = 583 nm, λ4 = 570 nm

λ1

λ2= 1,19 =

λ21

λ31,

λ1

λ3= 1,25 =

λ21

λ41,

λ1

λ4= 1,28 =

λ21

λ51=⇒ Lyman

λ1 = λ21

√1 + β

1− β=⇒ 1 + β

1− β=

λ21

λ221

= k2 = 36 =⇒ β =k2 − 1

k2 + 1= 0,946

25

2 Das Sonnensystem

Galaxis 2: λ′1 = 729 nm, λ′

2 = 651 nm, λ′3 = 615 nm, λ′

4 = 595 nm, λ′5 = 583 nm, λ′

6 = 575 nm,λ′7 = 570 nm

λ′1

λ′2

= 1,120 =λ42

λ52,

λ′1

λ′3

= 1,185 =λ42

λ62,

λ1

λ4= 1,225 ≈ λ42

λ72=⇒ Balmer

λ′

1 = λ42

√1 + β

1− β=⇒ 1 + β

1− β=

λ′21

λ242

= k2 =9

4=⇒ β =

k2 − 1

k2 + 1= 0,385

2.5.11. (a) Geschwindigkeiten von A und B relativ zur Erde: vA = βAc und vB = βBc

λA = λ0

√1 + βA

1− βA=⇒ βA =

λ2A − λ2

0

λ2A + λ2

0

= 4,803 · 10−3

vA = βAc = 1,440 · 106 m

s

analog: βB =λ2B − λ2

0

λ2B + λ2

0

= 2,468 · 10−3, vB = βBc = 0,740 · 106 m

s< vA

=⇒ B bewegt sich im System der Galaxie auf die Erde zu.

v =vA + vB

2= 1,090 · 106 m

s

(b) vR = vA − v = v − vB = 3,500 · 105 m

s

(c) Winkelgroße der Galaxie: ϕ = 2 · tan−1 R

r= 0,14◦ = 8,5′

Winkelgroße des Mondes: ϕM = 2 · tan−1 RM

rM= 0,52◦ = 31′

(d) Mit r0 = 10 pc = 3,086 · 1017m folgt fur die absolute Helligkeit M der Galaxie

m−M = 5m · lg r

r0=⇒ M = m− 5m · lg r

r0= −20,7m

Mit der absoluten Helligkeit M⊙ = 4,72m folgt fur die Leuchtkraft der Galaxie

L

L⊙

= 10M−M⊙

2,5m = 1,5 · 1010

mS ≈ L

L⊙

·m⊙ = 3, 1 · 1040 kg

Fur eine Stern der Masse µ am Rande der Galaxis gilt

µv2RR

=Gµm′

S

R2=⇒ m′

S =Rv2RG

= 6,3 · 1041 kg ≈ 20mS

Wir haben nicht berucksichtigt, dass Licht von der dem Beobachter abgewandten Seite derGalaxis in der Galaxis absorbiert wird. Dadurch musste L und damit mS großer und das

Verhaltnism′

S

mSkleiner als 20 sein. Das tatsachliche Verhaltnis

m′S

mSliegt bei ungefahr 6,5.

Galaxien bestehen also neben der sichtbaren Materie (den uns bekannten Atomen) noch aussogenannter dunkler Materie der Masse mD mit

m′S

mS=

m′S

m′S −mD

= 6,5 =⇒ mD

m′S

= 1− 1

6,5= 0,85

Nur etwa 15% der Masse einer Galaxie bestehen also aus der uns bekannten (baryonischen)Materie.

26


3 Sterne

3.1 Gravitationsenergie

3.1.1. (a)

(b)

(c)

3.1.2.

3.2 Druck und Temperatur in Sternen

3.2.1.

3.2.2.

3.3 Energieerzeugung in Sternen

3.3.1.

3.3.2.

3.3.3. (a) mS −MS = 5 lgrS

10 pc=⇒ MS = mS − 5 lg

2,63 pc

10 pc= 1,4

LS

L⊙

= 100,4(M⊙−MS) = 100,4·(4,8−1,4) = 101,36 = 23

LS = 23L⊙ = 23 · 3,82 · 1026W = 8,8 · 1027W(b) Pro Reaktion wird die Energie ∆W ′ frei:

∆W ′ = (4mH1 −mHe4) c2 = 0,0287 uc2 = 4,28 · 10−12 J = 26,7MeV

∆W = ∆W ′ − 0,5MeV = 26,2MeV = 4,20 · 10−12 J

Die Zahl der H-Kerne, die pro Sekunde fusionieren, ist N = 4 · LS · 1 s∆W

= 8,37 · 1039.

Die Masse des Wasserstoffs ist damit mH = N ·mp = 1,4 · 1013 kg = 1,4 · 1010 t.

(c) Wien =⇒ TS =2,8978 · 10−3m ·K

λ= 1,1 · 104K

LS = σ · 4πR2S · T 4

S =⇒ RS =

√LS

4πσT 4S

= 9,2 · 108m

(d)µS

µ⊙

=

(LS

L⊙

) 13

= 2313 = 2,8

3.3.4.

27

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