Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale

Grundintegrale - wie etwa I Je" dx, lex dx, I sinxdx usw. - sind nicht aufgenom­men. Eine sehr viel umfangreichere Tabelle findet der Leser bei Gröbner-Hofrei­ter (1975).

2 2ax+b -;===. arctan , y4ac-b2 y4ac-b2 falls 4ac-b2>O,

1 1 dx -. ax2+bx+c-

2 - 2ax+b'

1 12ax+b-Yb2-4ac 1

yb2-4ac In 2ax+b+yb2-4ac ' falls 4ac-b2<O.

{! In 1 +x = Artanhx für xE( -1,1), 1 dx 2 I-x

2. I-x2 = ! In 11 +x 1 = Arcothx für xE( _ 00, -1) und xE(I, 00). 2 I-x

3.1 ~x+B dX=~lnlax2+bx+CI+(B-Ab)1 2 dx ax +bx+c 2a 2a ax +bx+c

4. 1 ""----;;-2 _d-::-X_--,­(ax +bx+c)"

2ax+b (n-I)(4ac-b2)· (ax2+bx+c)"-1

2(2n-3)a 1 dx + b2 2 I (n=2,3,4, ... ;4ac-b2#O).

(n-I)(4ac-) (ax +bx+c)"

5.1 ~x+B dx=- A . 2 1 I +(B_ Ab) 1 dx (ax +bx+c)" 2(n-I)a (ax +bx+c)"- 2a (ax2+bx+c)"

(n = 2,3,4, ... ; s. nun Formel Nr. 4).

7. Jya2-x2dx=!xya2-x2+!a2arcsin~ (a>O) 2 2 a

J ya2+x2 1 a+ ya2+x2 1 9. ~dx=ya2±x2-aln x - (a>O)

576 Anhang I: Tabelle unbestimmter Integrale

12. I ~ = arcsin ~ (a>O) a 2 _x2 a

17. I dx =-....!..-lnla+be-aXI (ab#O) aeax+b ab

18. I lnxdx=xlnx-x

19. I (lnx)"dx=x(lnx)"-n I (lnx)"-Idx

20. Ixnlnxdx=x"+1 (lnx--I-) (n#-I) n+1 n+1

I (lnx)" (In x)" + I 21. --dx = (n# -I)

x n+1

22. J ~ = In (ln x) xlnx

23. J In: dx = _ I + Inx x x

24. I cosax·cosßxdx =..!.. [sin(a+ß)x + Sin(a-ß)x] (lai # !PI) 2 a+ß a-ß

25 I 2 d sin(2ax)+2ax ( 10) . cos ax x= a r 4a

26. I cosnaxdx = _1_ cosn-1ax·sinax + n-I I cosn- 2 axdx (a#O; n=2, 3, ... ) na n

Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale 577

27. J sinax·sinßxdx = - -21 [Sin(a+ß)X - Sin(a-ß)x] (lai 1= IßI) a+ß a-ß

28. sm ax x = - a r J . 2 d sin(2ax)-2ax ( 10) 4a

29. JSinnaxdx=-~sinn-lax.cosax+n-l Jsinn- 2axdx (aI=0;n=2,3, ... ) na n

J . ß d 1 [cos(a+ß)x cos(a-ß)x] 30. smax·cos x x = - - + (lai 1= IßI) 2 a+ß a-ß

31. J sinax.cosaxdx=~sin2ax 2a

32. xcosaxdx=x --+--J sinax cosax

a a 2

(a 1=0)

(a 1= 0)

33. J x2cosaxdx= (: - :3) sinax+ :2xcosax (a 1= 0)

34. J x"cosaxdx=: sinax-~ J xn-Isinaxdx (aI=O)

J . cosax sinax

35. xsmaxdx=-x--+--2 - (a 1= 0) a a

J 2' d (X2 2 ) 2. 36. x smax x = - -;; + a 3 cosax + a 2 xsmax (a 1= 0)

37. J x" sinaxdx = - : cosax + ~ J x"-I cosaxdx (a 1= 0)

38. J ~x = In 1 tan :: 1 smx 2

39. J _1_ dx= -cotx sin2x

40. J dx 1 cosx n-2 sinn x = - n-l' sinn-Ix + n-l

41. J ~ -In 1 1 +tan(x/2) 1 cosx 1 - tan(xl2)

42. J dx --=tanx cos2x

43. J dx 1 sinx n-2 cos" x = n - 1 . co sn - I X + n - 1

J dx 44. . = Inltanxl smx·cosx

J dx sinn- 2 x

(n 1= 1)

J dx cosn- 2 X (n 1= 1)

578 Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale

45 J dx = . a+bsinx

at~n ~ + b-Vb2-a2 1 In ____ 2 __________ _

Vb 2 -a2 x atan"2 + b+Vb2-a2

x 2 atan"2 + b

--;=== aretan --==~ Va 2-b2 Va2-b2

1 In I b+aeosx+~ sinx I 46. J dx = Vb2-a2 a+beosx

a+beosx .r::2L2 x Va2-b2 tan-2 2

-====arctan----------Va2-b2 a+b

47. J tanxdx= -Inleosxl

48. J tan2xdx=tanx-x

J tann-I x J 49. tannxdx=------- tann- 2xdx (n+l)

n-l

50. Jxptanxdx= 1: (_I)k+122k(22k-l)B2kx2k+P (P~-I,lxl<~2); k-I (2k+p)(2k)! ~

die Bk sind die Bemoullisehen Zahlen (s. Heuser I, Nr. 71).

51. J eotxdx=lnlsinxl

52. J eot2xdx= -eotx-x

J eotn-I x J 53. eotnxdx = - --- - eotn- 2xdx (n+ 1)

n-l

J ~ 22k B 54. xPeotxdx= L (-lt 2k X 2k+p (p~I,IxI<1t);

k_O (2k+p)(2k)!

die Bk sind die Bemoullisehen Zahlen (s. Heuser I, Nr. 71).

J sin x sin x .~ 55. are - dx=xare - ± Va2-x2 (a>O) eos a eos a

J sin x d 2x2_a2 sin x x.~ 56. x are - x=------are -±-Va-x (a>O)

eosa 4 eosa 4

Anhang I: Tabelle unbestimmter Integrale 579

J sin x x" + 1 sin x I 57. x"are -dx = --are -=+=--

eos a n + I eos a n + I J x"+l

.r::z-:z dx (n# -I, a>O); Va2 - x2

s. nun Formel Nr. 13.

I tan x tan x a 2 2 (a>O) 58. are - dx=xare - =+= -ln(x +a )

eot a eot a 2

I tan x d x 2+a2 tan x I 59. xare - x = --- are -=+=-ax (a>O)

eot a 2 eot a 2

I tan x x"-l tan x a J xn + 1 60. x n are -dx = --are -=+=-- --dx (n# -I, a>O)

eot a n+1 eot a n+ I x 2+a2

61. I eax eaxsinbxdx= a2+b2 (asinbx-beosbx)

62. J eax eax (a ) eax sin2bxdx = - - -2--2 - eos2bx+bsin2bx

2a a +4b 2

63. J eax eaxeosbxdx = a2+b2 (aeosbx+bsinbx)

64. J eax eax (a ) eaxeos2bxdx = - + -2--2 - eos2bx+bsin2bx 2a a +4b 2

65 J . h2 d sinh(2x)-2x · sm x x = 4

66. J sinhnxdx=~sinhn-lx.eoshx- n:1 I sinhn- 2 xdx (n=2,3, ... )

67 J h2 d sinh(2x)+2x · eos x x = 4

68. J eoshnxdx=~sinhx.eoshn-lx+ n:1 J eoshn- 2xdx (n=2,3, ... )

69. I ~=lnltanh~1 smhx 2

70 J dx . h · -- = aresm(tan x) eoshx

71. J xsinhaxdx = - ~ sinhax +.::. eoshax (a#O) a a

I 2x 2+a2x 2 72. x 2 sinhaxdx = - 2 sinhax + --3- eoshax (a#O)

a a

73. I xeoshaxdx = - ~ eoshax +.::. sinhax (a#O) a a

580 Anhang I: Tabelle unbestimmter Integrale

J 2x 2+a2x 2

74. x 2coshaxdx = - 2 coshax + --3- sinhax a a

(a#O)

75. J tanhxdx=ln(coshx)

76. J tanh 2 xdx=x-tanhx

77. J tanhnxdx=--I-tanhn-Ix+ J tanh"-2 x dx (n#l) n-I

78. J cothxdx=lnlsinhxl

79. J coth2xdx=x-cothx

80. J cothnxdx=--I-coth"-lx+ J cothn- 2 xdx (n#l) n-I

81. xPtanhxdx = L - 2k X 2k + p p"" -I, lxi< - ; J ~ 22k (22k I)B ( n) k-I (2k+p)(2k)! 2

die Bk sind die BernouIlischen Zahlen (s. Heuser I, Nr. 71).

82. xPcothxdx= L 2k X 2k +p (p""I,lxl<n); J ~ 22k B

k~O (2k+p)(2k)!

s. Formel Nr. 81 für die Bk.

J sinh x sinh x .~ 83. Ar -dx=xAr -- Vx2±a2 (a>O)

cosh a cosh a

J sinh x d 2x2±a2 A sinh x x.~ 84. xAr - x=--- r ---Vx ±a cosh a 4 cosh a 4

(a>O)

J "A sinh x d x" + I A sinh x J x"+1 85. x r - x=-- r ---- ---dx (n # - I, a > 0) ; cosh a n+ I cosh a n+1 vx2 ±a2

s. nun Formel Nr. 11.

86. J tanh x d A tanh x a l (a 2 _x2)

Ar - x=x r - + - n coth a coth a 2 (x2 - a2)

(a>O)

J A tanh x d x 2_a2 A tanh x a (a>O) 87. x r - x=--- r -+-x

coth a 2 coth a 2

J tanh x x"+1 tanh x a J x n + 1 88. x" Ar -dx=--Ar -+-- -2--2 dx (n# -1, a>O)

coth a n+ I coth a n+ I x -a

Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation

Eine sehr viel umfangreichere Tabelle findet der Leser in ErdeIyi-Magnus-Ober­hettinger-Tricomi (1954), S. 129-301.

Nr. F(s):= 2(f(t)} f(t)

I oder also s

H(t) (t~O)

2 e-at

s+a

3 S2

4 (s+a)2

te-al

5 (a+O) 2-(1-e-al) s(s+a) a

I (a+ß)

e-al_e-ßI 6

(s+a)(s+ß) a-ß

7 W

S2+ W2 sinwt

8 W

sinhwt S2_ W2

{ wi-e'>O {' , Wj:=VWÖ-!J2 -e-v smwjt,

S2+2~S+WÖ' WÖ-!J2<0

Wj

9 ~ e-vlsinhw2t, W2:=V!J2_ WÖ W2

WÖ-!J2=0 te-VI

10 s

(I-at)e- al (s+a)2

11 s

(a+ß) ae-al_ße- fJl

(s+a)(s+ß) a-ß

12 As+B

(a+ß) (aA -B)e-al-(ßA -B)e-ßI

(s+a)(s+ß) a-ß

13 s

S2+ W2 COSW(

582 Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation

Nr.

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

F(s):= 2{f(t)}

s+p

ssinß+acosß S2+ a 2

s cosß - a sinß S2+ a 2

(s-a)(s-ß)(s-y)

s (s-a)(s-ß)(s-y)

(s-a)(s-ß)(s-y)

S2 + 2w2

s(s2+4w2)

4w3

J(/)

coshwt

w, :=vwö _p2

sin(al+ß)

cos(al+ß)

1- coswt

coshwt-I

{

I- e-,>I [psinw,t+w,cosw,t], w':=VW5- p2 w, -v'

1 - _e - [p sinhw2 I + W2 COShW2 t], W2:= V p2 - W5 W2

1 - e-VI-pte-VI

e at eßt e yt + +

(a-ß)(a-y) (ß-a)(ß-y) (y-a)(Y-ß)

aeal ße ßI yeYI + + (a-ß)(a-y) (ß-a)(ß-y) (y-a)(y-ß)

sin wtcosh wl - cos wt sinhwt

wI-sinwt

Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation 583

Nr. F(s):= 2'(f(t)} J(t)

2m3 sinmt -mtcosmt 30

(S2 +m2)2

31 2m3

(S2 _m2)2 mtcoshmt-sinhmt

32 2m3

sinhmt-sinmt S4_ m4

33 (a2 f=ß2) asinßt-ßsinat

(S2 + a 2) (S2 + ß2) aß(a2_ß2)

34 2ms

tsinmt (S2 +m2)2

35 2ms

tsinhmt (S2 _m2)2

36 2m2s

S4_ m4 coshmt - cosmt

s (a2 f=ß2)

cosa t- cosßt 37

(S2 + a 2)(s2 + ß2) a 2_ß2

38 2m2s

sinmtsinhmt s4+4m4

39 2ms2

sinmt+mtcosmt (S2 +m2)2

40 2ms2

sinhmt+mtcoshmt (S2_ m 2)2

41 S2+ m2

tcoshmt (S2 _m2)2

42 S3 1 .

(S2+ m 2f cosmt -"2 mtsmmt

43 S3

coshmt + ~ mtsinhmt (S2 _m2)2

44 n!

t" , nENo s"+1

45 n!

t n e-P ', nENo (S+p)"+1

46 n!s"+1 ( n+1 ) (mr m+1 2 2"+1 L (_1)m -

(s +m ) O .. 2m.;n 2m+ 1 s t" sinmt, nENo

47 n,s"+1 (n+1) (mr m 2·2"+1 L (_l)m -

(s +m ) O';2m .. n+1 2m s t" cosmt, nENo

584 Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation

Nr. F(s):=.2"{f(t)}

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

1

Vi 1

ys+{!

s" + 1/2

sr

ys-a-ys-ß

e-als

Vi eals

Vi

e-aV., a>O

e-av' a~O

Vi ,

e-av' a~O

s

Ins

s

Ins sn+l

s-a In--

s-ß

In Vs+a s-a

f(t)

1

fi[i

1 _nt -e ~ fi[i

4nn! n-i .1- t ,

(2n)! v1t nENo

_1_ tr - 1 r>O beliebig. T(r) ,

eat_eßt

- 2tfi[i

1 .r:;;; cos 2 fai, a> 0 v1tt

1 .r:;;; cosh fai, a > 0 v1tt

an.",

2 J 2 a 1- fit e-T dT=I-erf2v'i o

-Int-C, C = 0,57721 ... (Euler· Masche· ronische Konstante)

1+-+'''+--lnt-C -( 1 1 ) t n

2 n n!

sinhat

Nr. F(s):= .2'{f(t)}

64 Vs2 + a2 In --S2+ß2

65 Vs2 + a2 sln 2fi2 s +

66 (0

arctan -s

1 (0

67 -arctan-s s

68 arctans s

Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation 585

J(t)

cos a t - cosß t t

cosa t- cosßt +atsina t-ßtsinßt t 2

sin(Ot

"" J sinr . -r- dr=:S!(Ot

o

I

J sin r d r = !: - J sin r d r =: !: - Si t r 2 r 2

o

Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 1

1. 8", 20 Minuten. 4162322. 2. Etwa 130 Minuten. 3. Etwa 3,3 Stunden.

4. Im Jahre 2010. 5. Doppelwertszeit 45 Jahre. Vollnutzung im Jahre 2019.

7. 100. Bei 518 Fruchtfliegen und am dreiundzwanzigsten Tag.

8. Etwa 82%. Man vergesse jedoch nicht, daß das Richardson-Modell sehr grob ist.

9. Etwa 8966.

12. a) 57,3%. b) Nach 0,92 Stunden.

13. a) 372 Jahre. b) 21546 Jahre. c) 323988 Jahre.

14. 186 Jahre. 15. Etwa 4257 Jahre. 17. Nein.

18. A=I,4 m- 1 : 25%; 6%; 1,5%; 0,4%; A=2 m- 1 : 14%; 1,8%; 0,2%; 0,03%;

Halbwertslänge '" 0,5 m. Halbwertslänge '" 0,35 m.

19. 50e- t15OO kg.

-~t 20. a) S(t)=Soe v b) Etwa 1,9%; 20,6%. c) Nach 4,15 (6,20; 8,25) Stunden.

22. Etwa 12 Stunden. 23. a) r(t)=ro-At. b) Nach etwa 262 Tagen.

Fig. 1.8

Lösungen ausgewählter Aufgaben 587

26. _lL, (> 1 (>2 2

Benutze e m = 1 - - t + - - t - + .... m 2! m 2

27. x=ax (a>O konstant), also x(t)=Cea ,. Wegen x(O)=O ist C=O und somit x(t)=O: der Körper fällt überhaupt nicht.

28. H = R ( 2g R 2 - 1) (R der Erdradius, g die Erdbeschleunigung). 2gR- vo

29. Im Kreuzungspunkt gilt die Weglängengleichung 4[r(tp)-I) = 1 Vr2 + (::f dr (beachte, o

daß sich das V-Boot zu Beginn der eigentlichen Verfolgung bereits 1 Seemeile vom Tauchpunkt entfernt hatte). Differentiation nach tp liefert dr/dtp=r/y'I5. Mit der Anfangsbedingung r(O)= 1 ergibt sich nun die Spirale r= e'P;v15 als Verfolgungsweg (Fig. 1.8).

30. Die cartesische Transformation führt auf dv = - ,~ v. Die gesuchten Kurven werden durchy=x-a+Ce-xla gegeben. du v2a

Aufgaben zu Nr. 2

13. Zur Abkürzung sei Ly:=an (x)y<n)+ ... +ao(x)y. Dann ist

Die Differentialgleichungen in den Aufgaben 2, 7, 8,9, 10 haben die Form (2.4).

14. e-x2 (~X2+C). 15. -2cos2x+ Ccosx. 16. tan(x+C)-x.

arctan:1:'. -lnx=C. 1

17. In(I+Ce-ex). 18. 19. -=x+C-V1x2 - 11.

x y

Aufgaben zu Nr. 3

7. E(1)=2,77; Fehler 12%. 10. Yl=I,1108; h=I,2470.

11. Yl=I,2530; Y2=1,6959; Y3=2,6421; Y4=5,7855.

Aufgaben zu Nr. 4

2 C . . ---smx·tanx.

cosx 3. 4.

C ~ -+-. x x

5. C+2x-sin2x

4sin2x 6.

2 1 I 2. I Ce- x_-+-x+-smx--cosx. 4 2 5 5

7. x 2

Ce -x + - e -x + I . 2

588 Lösungen ausgewählter Aufgaben

8. x 3

Ce h + - eh. 3

9. 3 1 ..

Ce '- - (cosx+2slllx)e'. 5

10. (C+cosx+xsinx)e'.

11. 1 3" --+-e . 2 2

12. 13. 3e-x+sinx-cosx

x+l

14. x 4 +2x2 + 13

4(1 +X2)2 16.

1 +x2+2x3/3 (1 +X)2

x> -1.

x 3 x 17. 2+2' x>o. 18. 0 (trivial wegen Eindeutigkeit).

19. sinx-xcosx-I

xsinx O<x<n. 1 2 1 3 20. 3-3x - -x + -x x< 1.

22'

1 ' cos t 21. -J~-dt, x>O.

x 11 t 2

x e' 23. y(x)=e-x J --2 dt für alle xER,

o 1 +t

y(x)=e- x [ 1:: (-It (1_~+_"'+(_I)k_I_)X2k+1 k~O 2k+1 2! (2k)!

~ (-It (I k 1 ) 2k+2] + "-' ~- 1--+-···+(-1) x k~02k+2 3! (2k+I)!

x> -1.

für lxi< 1. Die Integraldarstellung gilt für alle x, die ReihendarsteIlung nur für lxi< 1 ; insofern ist erstere vorteilhafter als letztere. Die ReihendarsteIlung ist aber für rechnerische Zwecke handli­cher (solange nur lxi< 1 bleibt).

x e' x e-X J --2 dt

o 1 +t

0,0 0 0,2 0,179 0,4 0,312 0,6 0,4 0,8 0,449

Berechnung mit Keplerscher Faß­regel

24. (C+lnx + k~1 k~!) e- X•

x e-X (x+ x; _~ + .. -)

0,0 0 0,2 0,179 0,4 0,315 0,6 0,408 0,8 0,465

Berechnung unter Vernachlässigung der Glieder mit höherer als dritter Potenz

Differenz

0 0 0,003 0,008 0,016

25. Sei yo(x) eine partikuläre Lösung von (4.4) und A(x):= J a (x) dx. Dann ist Yk(X)= Yo (x) + Ck eA (x) für k = I, 2, 3 und somit

Lösungen ausgewählter Aufgaben 589

26. Sei y(x) eine Lösung von (4.33) auf einem Xo enthaltenden Teilintervall 10 von I. y(x) ist auf Io positiv, weil andernfalls y(x)Q nicht definiert wäre. Setze z(x):= Y(X)I-Q für alle xE 10 , Dann ist z'(x)=(l-~)y(x)-"y'(x), also

z'(x)=(1-~)a(x)z(x) +(1-~)ß(x); trivialerweise gilt außerdem z(xo) = y.\ -Q.

z(x) ist also die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems

z'=(l-~)a(x)z+(1-~)ß(x), z(xo)=y.\-Q

auf Io (s. Satz 4.5). Infolgedessen liegt auch y(X)=ZIlO-") eindeutig fest. (4.33) besitzt also höch­stens eine Lösung.

Nun sei z(x) die nach Satz 4.5 auf 1 vorhandene Lösung des Anfangswertproblems (*). z(xo) = Y6 -Q ist positiv, also gibt es ein größtes, Xo enthaltendes Teilintervall 10 von I, auf dem z(x) durchweg> 0 ist. Setze y(x):=Z(X)II(I-Q) für alle xE 10• Dann ist y(x) eine Lösung von (4.33).

28. P(t) = [ ( y) ]1/2; P(t) --+ {g für t--+ 00 . r+ L_ r e- 2Y1

P~

29. P(t)=[(-~+VPo)e-II+~r; P(t)--+(~r für t--+oo.

30. u(t)=(2e- 1212 _1)-1 für Itl<v'fi14=1,177 ....

31. y(x)=ve-2Inxxe-x212 für 0<x<yee=3,892 ....

für x>O.

1 34. YP (x) = 1; y(x)-1 + ---­

x-2+Ce-x

1 35. yp(x)=x; y(x)=x+ 1+C~'

37. yp(x)=x; y(x)=x+ (2 5) . Cexp - -x -1

5

2x

Aufgaben zu Nr. 5

1. p= -A(p-b), p(O)= 100 (A>O fest). p(t)=b+(100-b)eA1.

2. b=a(1-b), b(O)=O (a>O fest). b(t)= 1-e-al •

3. dIldt=a(N-I), 1(0)=0 (a>O fest). l(t)=N(1-e-al).

db/dt=a(1-b), b(O)=O. b(t)=1-e-al .

I(t)--+N für t--+ + 00: nach hinreichend langer Zeit ist praktisch jeder informiert.

1 5. 9(t+r)="2(9a +9(t».

6. Ja; denn aus den Messungen ergibt sich k=0,0121Minute.

590 Lösungen ausgewählter Aufgaben

7. a) 8(t) = 12.~,73 (l_e-o,731)+5 - 172 t bis zur Erreichung des Gefrierpunktes (t in Stun­

den), c) Etwa 0,8°C.

SJ - HJ 9. s(t)=s + - (l-e-<71), h(t)=h + - (l-e-1/ I).

a 1'/

I· s(t) 1'/ sa+SJ d' . sa+SJ a . D . s(t) f" h' . Im -h =-'h ; les Ist >p, wenn >-p Ist. ann Ist -~p ur mrel-I-~ (t) a 1'/+HJ h1'/+HJ 1'/ h(t) chend großes t (Fall der Reizung),

10. ,=,(t)=;ln(I+Jl~2e-"l

11. u=-0,8u+7; u(t) ..... 7I0,8 für t ..... +oo.

12. a) K(t)=0,4e- 115 +O,05 m3, b) Auf etwa ein Zehntel.

13. Etwa 3154 m3/Minute.

14. a) S(t) = [(1 - ~k) e - ~~o6~ I + ~k] ,0,21·40000 Liter. 1,6+ 1,6+

b) Etwa 20,60% bzw. 20,62% bzw. 20,77%.

c) V=30 m3 V=40 m3

Z Liter/Minute TMinuten Z Liter/Minute TMinuten

1/2 180 1/2 240 90 120

2 45 2 60 3 30 3 40

16. a) c(t) = (co-k -;) e --V' + k +; kg/m3. b) k +; kg/m3,

v V c) Nach -ln2 bzw. -In 10 Jahren.

d)

r r

Chiemsee Bodensee

Hälfte

0,96 2,81

Zehntel

3,19 9,32

Jahre Jahre

Lösungen ausgewählter Aufgaben 591

17. Es ist du=k(cs -c(t»dt-20 ~~~ dt, also ü = - C~O + 0,2) u + 1~ \ Mit u(O)=O,

Ü(O)= 1 folgt daraus k= 5. Damit hat man nun das Anfangswertproblem zi = - - u+ 1, u(O)=O, dessen Lösung u(t)=4(I-e- I / 4 ) ist. Es strebt u(t)-+4 kg. 4

18. a) W"'17,67 mg. WlO "'17,21 mg. Nach 5,9 bzw. 12,8 Tagen.

250 ( 250) -~, b) u(t)=--+ 5--- e 50 • U",15,03 mg. 24·ln2 24·ln2

c) n Wn un w -u _n __ n 100%

Wn

1 8,585 7,838 8,70 2 11,155 9,873 11,49 3 12,998 11,332 12,81 4 14,319 12,378 13,56 5 15,267 13,128 14,01 6 15,946 13,666 14,30 7 16,433 14,051 14,50 8 16,782 14,328 14,62 9 17,032 14,526 14,71

10 17,212 14,668 14,78 00 17,67 15,03 14,94

d) W", 16,31 mg, Fehler", 7,85% bzw. W", 15,66, Fehler",4,02%.

e) W"'32,63 mg, U",30,06 mg, Fehler",7,88%.

19. 6,6 Halbwertszeiten.

c) r

1 cm 2 cm

Stahl

95,1 cm/s 380,4 cm/s

d) Nach 0,53 s bzw. 0,77 s.

Blei

146,7 cm/s 587,0 cm/s

p ..... O; benutze hierzu die logarithmische Reihe

22. a) n/4; 14 km. b) 3,5 km; 53 s. Die Angaben sind gerundet.

592 Lösungen ausgewählter Aufgaben

für 0";1";5,

für I> 5.

25. J(I) "" 0,14e- 21 + 0,14sin(100nl-l,564) Ampere.

26. r= Csin2 tp.

. n 27. A = -,tA +a+bcos 12 (1-8).

A (I) = Ce-AI + ~ + b [,tcos ~ (1-8) + ~ sin ~ (1-8)] ,t ,t 2 + (n/12)2 12 12 12

=Ce-AI+~+ V. b sin(tp+~(1-8») I\, ,t 2 + (n/12)2 12

"" ~ + b sin (tp + ~ (I - 8») ,t V,t2 + (n/12)2 12

. . Ph h' b 12A mit einer asenversc le ung tp:= arctan -. n

28. v(p)=C/pA mit C>O. Hier strebt (unrealistischerweise) v (p)--+ 00 für p--+O.

Die zweite Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung v(p)=C/(p+rl mit C>O. Hier strebt (realistischerweise) v(p)--+C/rA für p--+O.

29. y(x)=CX' (C>O,x>O).

30. X y(x) = 0,231lx312 Proz. Fehler 31. x y(x)=5,4716xo,62 Proz. Fehler

40,9 60,4 0 55 65,6 0,6 43,9 67,2 1,2 60 69,3 -1,0 46 72,1 1,3 66,4 73,8 -0,1 47,3 75,2 0 72,4 77,8 0,8 48 76,9 -2 79,8 82,7 -0,2

Aufgaben zu Nr. 6

1. Nicht exakt.

x ,/ 1 +x x 2 2. Exakt auf R2, y(x) = - 1 +x3 ± V 1 +x3 + (1 +X3)2 für x>-1.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 593

lnx y3 3. Exakt auf Rt:={(x,y): x>O,y>O} und auf R 2:={(x,y): x>O,y<O}. - + x 2 + - = C.

y 3

4. Nicht exakt. Die Gleichung läßt sich jedoch als lineare Dgl. y' = .!. y + x schreiben, und dann sieht man, daß sie auf ganz R durch y(x):=Cx+x2 gelöst wird. x

S. Exakt auf R:={(X,y): x>O, - ~ <y <~} (aber auch auf anderen Rechtecken).

tany x 3 y3 5 __ +x2y+ -+-=-+tanl.

x 3 3 3

2

6. Exakt auf R:=R2. XCOSY+X2y_~ =-1. Auflösung nach y ist nicht in geschlossener

Form durchführbar. Auflösung nach x:

1 x(y)=-(coSY-1"2y3_4y+cos2y) mindestens für y;;..VI.

2y

7. Nicht exakt.

8. Exakt auf R:=R2. xeY+sinxy=C.

9. Exakt auf Rt:={(x,y): -1 <x< 1, -1 <y<O} und auf R 2:={(x,y): -1 <x< 1, O<y< I}.

x(y)=sin(y(C -1"1-y2».

10. Exakt auf R t :={(x,y): - 00 <x< + 00, y<O} und auf R 2:={(x,y): - 00 <x< + 00, y>O}.

xcoshy +.!. sinhx= C. y

Aufgaben zu Nr. 7

1. F(x,y):= -yexp( - J a (x) dx) ist Stammfunktion der Differentialgleichung

a(x)yexp( - J a(x)dx)dx-exp( - J a(x)dx)dy=O

auf I x R. Die allgemeine Lösung in impliziter Form ist also yexp ( - I a (x) dx) = C, woraus y(x) = Cexp(J a(x)dx) folgt.

2. Es ist 0: (eI!dx Q) = eI!dx(Qx+fQ)=eI!dx (Qx + Py~Qx Q) = e ffdx Py = 0: (eI!dx P),

also ist die Differentialgleichung

eI!(x)dx P(x,y)dx+ eI!(x)dx Q(x,y)dy=O

exakt.

3. Ganz entsprechend wie Aufgabe 2.

594 Lösungen ausgewählter Aufgaben

4. Sei H(t):= J h(t)dt. Dann ist

a ;- (e -H(xy) P(x, y)) = e -H(xy) (P,. (x, y) -h (xy) x P(x, y)), uy .

a ox (e -H(xy) Q(x,y)) = e-H(xY)(Qx (x,y) -h (xy)yQ(x, y)).

Die Differenz der bei den linksstehenden Ableitungen ist also

e -H(xy)[Py(x, y)- Qx (x, y) -h (xy) (x P(x, y) - yQ(x,y))] = 0,

und somit ist die Differentialgleichung e -H(xy) P(x, y) dx + e -H(xy) Q(x, y) dy = 0 exakt.

5. Hängt die Funktion k:= P;= ~x nur von x+y ab, so ist M(x+y):=exp( - J k(t)dt),~x+y ein

(nur von x+ y abhängender) integrierender Faktor.

V sinx 10. M(x):= IIx2; y(x):=x+ C + ----.;-.

12. M(xy):=~; Inlxl+~=C. 13. M(y):=eY ; eY sinx+2y2=C. xy y

Aufgaben zu Nr. 8

1. y(x)=Vl-4x3/3 bzw. y(x)=-Vl-4x3/3. 2. u(t)=-Incost.

1 1 3 e- X (l +x) - - + C also t(x) - 4. u(t)=sin(C-arcsint). . - t' - e-x(1+x)-C·

5. y(x) = (1 +x)exp (~2 - x) . 6. y(x) = tan (C-arcta nx).

(x 1)2 8. (1-x)2= C(1- y 2) oder also ~ + y2= 1 (Ellipsen für C>O, Hyperbeln für C<O).

1 9. x(t)=arccos 1+t2.

dz 11. - = a+bj(z).

dx 12. y(x):=tan(x+C)-x. 13. y(x):=x-tanh(x+ C).

14. P(t) = ( 1 )]/(ß-l) -- - a(ß-1)t pt- 1

1 für o.;.t< T:= a(ß-1)pt- 1 •

Lösungen ausgewählter Aufgaben 595

15. dW =~(Wr dx S x

17. I)

11)

4ac-b2>0:

4ac-b2=0:

y(x) = 21a [ -b+V4ac-b2tan C/4a~-b2 x+C)].

1 y(x)=a---.

ax+C

111) 4ac-b2<0: a_pCea(a-(J)x

y(x) = 1-Cea(a-(J)x •

19. t = In(K Ckz/k, eC / k ,).

Aufgaben zu Nr. 9

~ p-::;:yz V2 3. xe =e. 4. y=(x2-1)12.

5. y2= C2-2Cx. 6. 2(1 +yx+y+ 1)-2In(1 +yx+ y+ 1)-x= C.

7. sin(x+y)-1 x=C. cos(x+y)

9. x-y+ln(x-2y+ 1)2=0.

12. 2x-y+2In(x-y+ 1)= 1.

Aufgaben zu Nr. 10

( a )1-k x-y 2. - -(I-k)-= 1.

a-x a-x

3. a) u(t) ist Lösung der Anfangswertaufgabe

du (1 u) k dt = k(10-u) 4" - 100 = 100 (10-u)(2S-u), u(O)=O.

Nach (10.4), (10.S) ist also

u(t)=10 (1 + 2_S!O.15k)

b) k = ~ In ~ ... 0,3133, wenn t in Minuten gemessen wird.

c) Nach etwa 26 Minuten.

596 Lösungen ausgewählter Aufgaben

4. X(I) ist Lösung der Anfangswertaufgabe

Nach (10.4), (10.5) ist also

und somit . a

hm x(t) =-. I-~ b

5. h (I) ist Lösung der Anfangswertaufgabe dh = k 4, h (1) = 1 (k eine positive Konstante), also dl 1

ist h(I)=e~ (I-~).

a+b uo-a e-k(a+b)1

6. u(t) = uo+b

9. y=ax.

1 _ uo-a e-k(a+b)1

uo+b

17. r=acos({J.

19 d({J=dlfl=sinlfl'(1-cOSIfI) l-cOSIfI . dr dr r(l- COS21f1) rsin lfI

20. Mit C:=arctan (~ vosin({J) und

m (rvocos({J ) x(t)=-;:-ln m 1+1,

y(t) =

~ . T:= - C Ist rg

für O.;:;t.;:;T,

1 + cos({J rsin({J

{7 [lncos ({f; t- c) -lncos c]

7 [ -lncosh ({f; t-C) -lncosc] für T< t.;:; Aufschlagzeit.

Aufgaben zu Nr. 12

x 3 x 3 x 8 x3 x 8 x 13 Xl8

1. a) ({J1(x)=3' ({J2(x)=3+8.9: ({J3(X) =3+8.9+ 3.4.9.]3 + 18.64.81

b) j(x, y):=x2 + xy2 ist auf R:= {(x, y): lxi.;:; 1, Iyl.;:; 1} stetig und genügt dort einer Lipschitzbedin­gung; außerdem ist Ij(x, y)l.;:; 2 auf R. Die Behauptung ergibt sich nun aus dem Satz von Picard­Lindelöf.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 597

Aufgaben zu Nr. 14

7. (2- 5 t)e3t. 8. ~ sin3 t.

9. et. 10. e-2t(cost+2sint).

11. 3+2et _e2t.

12. - I~ (2cos2t+sin2t) + % e-t(cost+2sint).

13. -2tcost+cost+2sint.

1 e3t ( 29) 17. 65 (7cos2t-4sin2t) + 65 -7cos4t+ 4 sin4t .

Aufgaben zu Nr. 15

t/Y2 (c t c' t) t/Y2 (c t c' t) 6. e jCOS V2 + 2 sm V2 + e- 3COS V2 + 4 sm V2 .

1 8. "4 (1- cos2t).

1 t 2t-1 t

12. "4 e - +-4-e.

598 Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 16

1 2 . I • "5 cost + "5 smt+ e- smt.

2. ~ e' (cost-sin t)+ CI e' + Cl ell.

5. -~e-x+CI~+C1COSx+C3sinx.

3 8 -I 1 11 3 -lI --+t+-e +-e --e . 2 3 12 4

8. tcost-sintln lcostl + CI cost+ Clsint.

9. i-i- sin2x+ CI cos2x+Clsin2x; i-i- sin2x + i (cos2x+sin2x).

13. [lnll-tan(xl2)1 +1]COsx+2sinx, 1 +tan(xl2)

Aufgaben zu Nr. 17

1 ( -~s) 2. --1 I-se 1 . l+s

1 1t 4. --coth-s.

1 +Sl 2

W 1t 5. -1--1 coth - s.

s +W 2w

1 a 8. -tanh-s. Sl 2

1t 1t --<X<-. 2 2

Lösungen ausgewählter Aufgaben 599

I s-a 1 s+a S(S2_ a 2_ß2) 9. 2" (s-a)2_ß2 + 2" (s+a)2_ß2 = [s2_(a+ß)2)[s2_(a-ß)2]'

12. 1-(1-3)H(I-3) = g 2

11. -(1-e-al)-I. a

für 0""1<3, für 1 ~3.

13. ~ e' sin v'8 1 . 1 14. - 14 e31•

24

2(1- I) {o für 0"" 1 < 1 , 15. e cOS(I-l)H(t-l)= 2(1-1) ( 1) f" e cos t - ur 1 ~ 1.

16. (%12_~13) e- I .

17. e' -t-l. 14 für 0""t<2, 18. 4+2H(t-2)-H(t-3) = 6 für 2""t<3,

5 für t ~3.

19. (-7cos3t-4sin3t)H(t-n) = {O . -7 cos3 t-4sm3 t

für O""I<n, für t ~n.

20. .! _.! e' +.! e31. 326

21. ~(31e31+2ge-31)-~sint. 60 10

23. 7 31 13 -31 1 I -e +-e --e. 12 24 8

24.

22. 11 1 11 1 - ( e31 + e - 31) - - cos t = - cosh 3 t - - cos t . 20 10 10 10

25. 26. 2sint- cos t- e- 21 + 2e- l - 2 te-I.

27. 1 3 - e- I + - e'-te'. 2 2

28. 1 1 - t2 e' + - t3 e'. 2 6

29. cosht. JO. 1. 1.y'3 -smt---sm 3t. 2 2 y'3

r" für O""t<n, 33. u (t) = 1 für n""I<2n,

cos2t für t ~2n.

Das Anfangswertproblem beschreibt einen harmonischen Oszillator. Im Zeitintervall [n, 2n) wird der rücktreibenden Federkraft durch die Störkraft genau die Waage gehalten.

Aufgaben zu Nr. 18

1. X(t)=xocos{f;;t+xo~sin{f;;t. 2. a) k= 5 N·m -I. b) wo=V20 ... 4,472 s -I, v ... O,712 s - \ T ... 1,405 s. c) x(t)=5 cos V20 t cm.

3. b) wo=VS ... 2,236s-l, v ... O,356s- l, T=2,81 S. c) x(t)=5cosVStcm.

4. k ... 8,773N·m- l •

600 Lösungen ausgewählter Aufgaben

6. a) A =4 cm, v",,0,5 S-I. b) y(t)= -4cos v'fö t cm.

n 5n 7n lln . .f'ffi _I

c) 3v'fö' 3v'fö' 3v'fö' 3v'fö''''s, ±2 v30cm·s .

7. a) T",,0,634 s, Wo ",,9,905 S-I. b) y(t)",,4cos9,905t-O,303sin9,905t cm. c) A ""4,012 cm.

9. a) y(t)"" -0,03e- 2.5I sin 10,79t m. b) Nach etwa 2,28 s.

10. a) y(t)= e- 101 (2COS V96,2 t + .;" sin V96,2 t) cm""e-101(2cos9,81 t+ 2,04sin9,81 t) cm. v96,2

b) Ausschläge ... e - 10 1 V'2-2 -+-(""'l/-:""~-,2""")""2 cm < 0,01 cm => t > 0,565 ... s.

12. a) k= 1602,589 ... g. s -2. Weiterhin wird mit k= 1603 g.s -2 gerechnet.

2 b) 1]=14,99< .n:;;VkRo=24,28 ... ; nach Aufgabe 13b führt also K eine gedämpfte Schwin·

3 v3n gung aus. Ihr Weg·Zeitgesetz ist

x(t) "" e -4.3241 (4cos 5,511 t+ 3,139 sin 5,511 t) cm.

c) T"" 1,14 s. d) Nein.

13. b) x(t)""e-2.9721 (4cos4,989t+2,383sin4,989t)cm. c) T""I,26s. d) Ja.

15. a) y(t)=e- 21 (-.!COs4t-~sin4t) +.!cos2t+.!sin2tm. Der eingeschwungene Zu· 2 8 2 4

stand wird durch YP (t) = ~ cos 2 t + ~ sin 2 t m beschrieben. Es ist A = V5 1 4 = 0,559 ... m.

b) Nach etwa 4,6 s.

16. Wegen ,,=2<wo/V2=v'fö ist Resonanz möglich. Es ist wR=VU=3,46 ... s- 1 und Amax = 10/16=0,625 m.

17. b) R=lcm: Resonanz tritt ein bei w=wR",,3,42s- l • R=0,5cm: keine Resonanz mög­lich.

{~t_~sin3tm für O ... t ... l, 9 27

18. y(t)= 2 2 2 9' cos3(t-l) + 27 sin3(t-l) - 27 sin3t m für t> 1.

1.. . 1 . 25. a)"4 Q+40Q +"4 WQ=50, Q(O)=O, Q(O)=J(O)=O, oder also

0+2,,0+w5O=200, Q(O)= 0(0)=0 mit ,,=80, Wo= 100.

Mit WI =VW6-,,2 =V3600 =60 ist also nach (18.13)

e-!"(C, COSWI t+ C2sinwI t)=e- 80I (C, cos60t+ C2sin60t)

die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 0+ 1600+ 104 Q=0.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 601

Qp (I) := ~~~ = 5~ ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Deren allgemeine Lö­

sung ist also

Anpassung an die Anfangsbedingungen ergibt

1 e- 80t ( 4 ) Q(/) = 50 - ---so- cos601 + 3" sin601 Coulomb.

Daraus folgt

. 10 J(/)=Q(/) = 3 e- 8°'sin601 Ampere.

Der stationäre Ladungs- bzw. Stromzustand ist 1/50 Coulomb bzw. 0 Ampere.

Hin weis: Die Aufgabe läßt sich auch leicht mit Hilfe der Laplacetransformation lösen.

b) J(/)"" 1,46sin300/-2,43cos300/+e-80 '( -170,7.1sin60/-2,43cos60/) Ampere. Stationärer Zustand: 1,46 sin 300 1 - 2,43 cos 300 1 Ampere.

c) -31,25cos100/Volt.

27. n cm Tiefe 10 20 25

Dämpfungsfaktor 0,874 0,26 0,067 0,034

Aufgaben zu Nr. 20

3. C1xcos(lnx)+C2xsin(lnx). 4. C1+C2/X.

602 Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 21

2. sinh (I - r). ,

3. Es ist u (I) = 1 + J (I - r) v (r) d r, wobei v die Lösung der Integralgleichung

, v(l) - J (l-r)v(r)dr=1

o , ist. Mit Hilfe der Aufgabe 2 erhält man v(I)=1 + J sinh(l-r)·rdr=sinhl und nun schließ­lich U (I) = sinh 1 .

Aufgaben zu Nr. 23

1. C,/+C2 /Int. 2. C, (1 + x 2 ) + C2 [x + (1 + x 2 ) arctanx].

3. C, e + C2x 2ex. 4. C, 1+ C2e'.

5. C,/+C2(t2-1). 6. C I (I+x)+C2e. x

7. CI e2x + C2 (1 + 3x)e -x. 8. C,ex2 +C2 e 2 J e-"dt. 0

9. C'/+C2(1-~lnl~~:I) auf (-00,-1),(-1,1),(1,00).

11. v"+(A+l-x2)v=0. 12. V"+(I+I~:2V2)v=0.

Aufgaben zu Nr. 24

2. c,x+c2e + (~-x)e-x.

1 (/_1)3 1 721 (1-1)' 4. C, 2 + C2 --2- + -2 + - + - + - - --2-lnlt-ll auf (- 00, 0), (0, 1), (1, + 00).

I 3t 21 6t 3 9 3t

Aufgaben zu Nr. 26

2. CO(I+ 1: t2k )+(/+.c+~+~+~+_t6_+_t7_+ ... ) füralle tER. k~' 2·4 .. ·(2k) 2 3 2·4 3·5 2·4·6 3·5·7

\ J

= Co eip (t212)

Lösungen ausgewählter Aufgaben 603

für alle tER.

4. Co (I + ~ t4k

) + k _2 3 -4-7·8··· (4k- 5)(4k-4)(4k- 1)(4k)

C, (t+ ~ t4k +' ) k~2 4·5·8 ·9··· (4k- 4)(4k- 3)(4k)(4k+ 1)

für alle tER.

(1 2) ( t3 ; 1·3·5···(2k-3) 2k+') f 11 5. Co -t +c, t--- L., t üra e tER. 3! k-2 (2k+ I)!

6. CO(I+ ~ (_I)k x2k+2)+c,x=co(1+xarctanX)+C1X. In der Potenzreihenform gilt die k~O 2k+ 1

Lösung nur für lxi< 1, in der geschlossenen Form für alle xE R.

~ (_I)k x 2k 7. Co L k +c,(x+x3) für Ixl<l.

k~O (2k-3)(2 -I)

( ~ 3·5···(2k+ 1) ) 8. Co 1- L k X2k +c,x für Ixl<3.

k~' (18) k!(2k-l)

( ~ 1·1O···(9k-8) ) ( ~ 4·13···(9k-5) ) 9. Co 1 + kL~, X3k + C, X + L X3k +'

(3k)! k-l (3k+ I)!

( I 2 ; 7·16···(9k-2) 3k+2) + C2 -x + L., x 2 k~' (3k+ 2)!

für alle xER.

( t2 t3 11 4 ) ( 2 5 3 3 4 ) 10. Co I------t - ... +c, t+t +-t +-t + ... für Itl<l. 2 2 24 6 4

12. cO(I_ x3 +x5 + x 6 +"')+Cl(X-~+ x 6 + ... ) füralle xER. 3! 5! 2·3·5·6 3·4 2·3·5·6

Aufgaben zu Nr. 27

3 32 33 1. y,(x):= 1 + --x + __ x 2 + x 3+ ... ,

J!·3 2!·3·7 3!·3·7·11

'/4 [ 3 32 2 33 3 ] Y2(x):=x 1 + --x + --x + x + ... , x>o.

J!·5 2!·5·9 3!·5·9·13

604 Lösungen ausgewählter Aufgaben

2. y,(x):=coSVIx, Y2 (x):= sin VX, x>O.

1 . 1 3. y,(x):=-smx, Y2(x):=-cosx, x>O.

x x

~ (-5)" 4. y,(x):=1+3 L x", Y2(x):=x- 312 (1-10x), x>O.

"_I n!(2n + 1)(2n + 3)

2/3 [1 1 2 1 3 ] 5. y,(x):=x 1--x + ---x - x + _00. , 3·4 3·4·6·7 3·4·6·7·9·10

() 1/3 [1 1 2 1 3 ] Y2x:=x l--x+---x - x +_00', 2·3 2·3·5·6 2·3·5·6·8·9

x>O.

6. y,(x):=coshVX, Y2(x):=sinhVX' x>O.

7. y,(x):=VX coshx, Y2(X):=VX sinhx, x>O.

1 ~ (- 1)" 1 ~ (-1)" h 8. y,(x):= - L --2-x2n, Y2(X):=Y, (x)lnx - - L 2 n X2", X>O.

Xn_O (n!) X n_, (n!)

9. y,(x):=VXe", Y2(x):=vxe"lnx, x>O.

10. y, (x) :=XS/ 2 {I + I: x 2" } ,

n-' [2 ·4· 00 (2 n)][5 .7 00 , (2n + 3)]

Y2(X):=~ {1- x; - "~2 [2'400'(2n)]~2~300'(2n_3)J x>O.

1 1 ~ (_1)n+'(n-2) 11. y,(x):=---, Y2(X):= L x"-', x>O.

x 2 n-3 n!

1 ~ 2 12. y,(x):= -2+2x, Y2(X):=Y, (x)lnx + - + 1-5x + L x"-" O<x< 1.

x n_3(n-l)(n-2)

14. y,(x):=I: 1 x", Y2(X):='~X' x>O. n-O 1·3·5· 00 (2n+l) V~

Aufgaben zu Nr. 28

4. Js(x)= ---+ 1 J,(x)- --- Jo(x). ( 384 72) (192 12) X4 X2 x 3 X

5. J3/2(X) = ~JI/2(X)-J_,n<x) = ./2 (SinX - COSX). x V;;- x

Lösungen ausgewählter Aufgaben 605

3 {f (3COSX 3sinx ) 6. J~512(X) = - -J~312(X)-J~II2(X) = - --2- + -- - cosx . X 1tX X X

1 21. - Z2(4 vx). 22. e~XZo(2x).

x

23. !ZI (xl 24. Vi Zi (~X3). x 2 2

25. Zo(2vre~~). 26. xZo(3x).

Aufgaben zu Nr. 30

1. y:= (~:), z:= (;:) seien zwei Integralbasen von (30.3); wie in (30.5) sei

y(x+w)=Ay(x) und entsprechend z(x+w)=Bz(x).

Es gibt eine nichtsinguläre Matrix C, so daß z = Cy ist. Mit ihr haben wir

z(x+w)= Cy(x+w)= CAy(x) = CA C~I z(x),

also ist B = CA C~ 1 und somit

det(B-sI) = det(CA C~ 1 -s/)= detC(A -sI)C~ 1

= det C. det(A -s/)· (detC) ~ 1 = det(A -sI).

Die Fundamentalgleichungen bez. der bei den Integralbasen stimmen also überein ~ und das ist sogar noch etwas mehr, als behauptet wurde.

Aufgaben zu Nr. 33

Aufgaben zu Nr. 34

Un (x) = sin n 1tX . L

~ 4 1 ~ 2 3. a) L ---sin(2n-l)x. b) L (-1)n+l- sinnx.

n~1 1t 2n-1 n-I n

606 Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 35

2. u(x)=cosx+Csinx.

1 3. u(x) = e2 _1 [(2e-l)eX +e(e-2)e-'].

1 6. u(x) = - (eh _ e3 - x ).

3

7. u(x)=2e'- (; + l)xeX •

Aufgaben zu Nr. 36

2 G {X(t-I) für . (x,t)= t(x-I) für

O..:x..:t..: I, O..:t..:x..: I.

3 G(x t) = {-x für . , -t für

O..:x..:t..: 1, O..:t..:x..: I.

{~xt_x für O..:x..:t..: 1, 4. G(x, t) = 1+0'

~tx-t für O..:t..:x":1. 1+0'

6. G(x,t) = {-lnX(I-lnt) für -lnt(I-lnx) für

l":x..:t":e, l..:t":x":e.

( 1 )' 1 10. a) x 2 u' + x 4 U = 0 auf 0 nicht enthaltenden Intervallen.

b) (cosx· u')' + 2 cosx· u = 0 auf Intervallen, die keine der Zahlen (2k+ I) i (kEZ) enthalten.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 607

Aufgaben zu Nr. 37

n2 n 1. An=(2n+l)2 4 , un(x)=cnsin(2n+l)"2x mit cn+O (n=O,I,2, ... ).

2. An =n2 n2,

3. Ao= -1,

An =n2,

4. An =n2n 2,

n2 5. A=-n 4'

Un (x)=Cn cosnnx mit cn+O (n=O, 1,2, ... ).

Uo(x) = Co eX mit co+O,

Un (X)=Cn (n cosnx+ sinnx) mit cn+O (n= 1, 2, ... ).

Un (x) = Cn sin (n n lnx) mit cn+O (n= 1, 2, ... ).

nlnx Un (x) = Cn cos -2- mit cn+O (n=O, 1,2, ... ).

( ) . nn . Un X =cnsm - mit

x Cn+O (n=I,2, ... ).

7. An=4n2 n2, un(x)=cnxsin2nn mit cn+O (n=I,2, ... ). x

8. Es handelt sich hier um die Eigenwertaufgabe

X+Ax=O, x(O)=x(l)=O mit A:=.!. m

Die Eigenwerte sind An = n2 n2, die zugehörigen Eigenfunktionen sind Xn (t) = Cn sin n nt mit Cn + 0 (n=1,2, ... ). Die Masse genügt immer dann der ,,1-Sekunde-Forderung", wenn k/m=n2 n2

(n = 1, 2, ... ) ist. In diesem Falle wird das Bewegungsgesetz gegeben durch Xn (t) = ~ sin n n t.

an 11. a) Vn = u. b) Vn = a v'Xn (An:= n-te positive Lösung der Gleichung tan v'X 1= - v'X/ k).

2n

c) Vn = a(2n -1) . 41

In allen drei Fällen soll n die natürlichen Zahlen durchlaufen.

Aufgaben zu Nr. 38

2. 1/+gI 2 =(/+gl/+g)=(/I/)+2(/1 g)+(gl g),

1/-gI 2 =(/-gl/-g)=(/I/)-2(/1 g)+(gl g); Addition ergibt 1/+gI 2 + 1/-gI 2 =2(/1/)+2(gl g)=21/1 2 +2IgI 2•

3. I ± VkI2=(± Vkl ±Vj)= ± (vklvj)= ± (vkIVk) = ± Ivd 2• k-l k-l j-l j.k_l k_l k-l

nn

608 Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 39

n n

=(uJu)-2 L (UJUj)(UJUj) + L (UJUk)(UJUj)(UkJUj) j-I hk-l

n n n

= lu1 2 -2 L (UJUj)2 + L (UJUj)2= luI 2 - L (UJUj)2. )_1 )-1 )-1

Damit ist die Besselsche Gleichung (39.28) bewiesen. Da ihre linke Seite ;;.0 ist, folgt nun die Besselsche Ungleichung (39.29) und dann auch die verallgemeinerte Besselsche Ungleichung (39.30) in trivialer Weise.

2. a1 U1 + .. ·+anun =0=>ak=(a1u1 + .. ·+anun JUk)=(OJUk)=O=> die Uj, . .. , Un sind linear unab­hängig. - In C(J) gibt es mehr als n linear unabhängige Funktionen, z. B. die auf J eingeschränk­ten Polynome I,x, ... ,x". Infolgedessen muß ein v der angegebenen Art vorhanden sein.

7. An=4n2n2 (n=O, 1,2, ... ), uo(x)=A,t.O, un(x)=Ancos2nnx+Bnsin2nnx mit A~+B~,t. ° (n = 1, 2, ... ). Zu An> ° gibt es also zwei linear unabhängige Eigenfunktionen.

Aufgaben zu Nr. 40

4 2 8; sin(2n -I)x (0 ). S· I . h ß· K • nx-x = - L... 3 o;;xo;;n Im lOne g elc mä Iger onvergenz. nn_1 (2n-I)

6. x=2 i: (_1)"+1 sinnx (Oo;;xo;;n) im Sinne der Norm. Eine tiefergehende Analyse zeigt, n-l n

daß diese Entwicklung für alle XE[O, n) auch im Sinne der punktweisen Konvergenz gilt (s. Heu­ser 11, GI. (l38.I)). Für x=n bricht sie jedoch offensichtlich zusammen.

2 ~ (_1)"+1 7. lnx = - L sin(nnlnx) (1 0;; x 0;; e) im Sinne der Norm.

n n-1 n

Aufgaben zu Nr. 41

3. G(x, t) = {-lnX(I-lnt) für 1 0;; x 0;; to;; e, -lnt(I-lnx) für Io;;to;;xo;;e

= ; 2sin(nnlnx)sin(nnlnt) L... 2 2 •

n-1 n n

Lösungen ausgewählter Aufgaben 609

Aufgaben zu Nr. 42

2. Ist wo,p n 1t für alle nE N, so besitzt (42.16) bei jedem w die eindeutig bestimmte Lösung

{2a1t~nw - (-lrn . L 2 2 2 2 smn1tt, falls w,p1t,21t, ... ,

m (w -n 1t )(w _n2 1t2) x(t) = n-I 0

~ 2 1 2 2 sinp1tt, falls w=p1t für ein pEN. m wo-P 1t

Ist jedoch Wo=S1t für ein sEN, so besitzt (42.16) nur im Falle w=p1t mit einem natürlichen p,ps Lösungen, und sie alle werden gegeben durch

x(t)=Csins1tt + ~ 2 1 2 2 sinp1tt mit willkürlichem CER. m wo-P 1t

- 4 3. u(x) = n~1 (2n-l)1t[I-(2n-I)2 1t2) sin[(2n-I)1tlnx).

4. u(x)=I+Ccoslnx mit willkürlichem CER.

4 - 1 5. u(x) = - L 2 sin[4(2n-l)arctanx).

1t "-I (2n -1)[1-16(2n -I) )

2 - (-I)" . 1t 6. u(x) = 2" L [ 2] sm(2n-l) -x.

1t "-I (2n-I)2 (2n-I)2 ~ _ I 2 16

1+ ( - I)" (2 n - I) ~ 8 - 2. 1t

7. u(x)=) L [ 2] sm(2n-I)-x. 1t "-I (2n-l? (2n-I)2 ~ _ I 2

16

Aufgaben zu Nr. 43

Aufgaben zu Nr. 47

3. u(t)=(3+2t)e', v(t)=(I+t)e'.

4. u(t)=2e2'-e-2" v(t)=2e2'+3e- 2'.

5. u(t)=2e3'-2e-', v(t)=4e3'+4e-'.

610 Lösungen ausgewählter Aufgaben

6. u(t)=2e21 (cos3t+sin3t), v(t)=2e 21 (cos3t-2sin3t).

7. u(t)= e' (Cl cos3 t + C2 sin 3 t), v(t)= e' (Cl sin 3 t- C2 cos 3 t).

10. u (t) = e' [Cl cos3 t+ C2 sin3 t], v(t)= e' [(2 Cl + C2)cos3 t+(2 C2 - Cl)sin3 tl.

12. u(t)=4e' -3 te' -4, v(t) =! (5e' -6te' -4-e31). 4

Aufgaben zu Nr. 48

6. a) Die Notwendigkeit der Bedingung kann man an der Gleichung

ta12 ta ln )

l+ta22'" ta2n + t2A 2+ ...

tan2 ... 1 + tann

ablesen (man fasse kleine t ins Auge).

b) Hinlänglichkeit: Wähle a E R so groß, daß die Elemente von A + aI alle ." 0 bleiben. Dann fallen für t." 0 trivialerweise auch die Elemente von e(A +a/)1 alle ." 0 aus. Und da - wiederum trivialerweise - die Elemente von e -lai durchweg." 0 sind (vgl. Aufgabe 4), folgt die Behauptung nun aus der Gleichung e 'A = e'(A +al) e -lai.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 611

Aufgaben zu Nr. 49

4. U,(t)=U2(t)=cosht+sinht.

Aufgaben zu Nr. 51

1 5. x(t)=2C,e2'+2C2te2'+C3(t2+ l)e2 ', y(t)= -Cl e2 '-C2 te2 ' - 2" C3t2e2',

z(t)= -C2e2'-C3(t-3)e 2'.

6. x(t)= C, e' + C2 sin2t+ C3 cos 2 t, y(t) = C, e' + 2 C2 cos2 t- 2 C3 sin2t,

z(t) = CI e' -4 C2 sin2 t-4C3 cos 2t.

7. x(t) = 2 CI e', y(t)= - 3 C, e' + C2 e' cos2t+ C3 e' sin2 t,

z(t)= 2 C, e' + C2 e' sin2t- C3 e' cos2 t.

8. U, (t)=(C, t+ C2)cos t+ (C3 t+ C4)sint, U2(t) = (C3 t+ C, + C4)cost+( - C, t+ C3 - C2)sint,

U3 (t) = (- C, t+ 2 C3 - C2)cost+ (- C3 t- 2 C, - C4)sint,

U4(t)=( - C3 t- 3 C, - C4) cost+ (C, t-3 C3 + C2)sint.

9. U, (t)= C, e' + C2 te' + C3 cost+ C4sint, U2 (t) = - C, e' + C2(1- t)e' + C4 cost- C3 sint,

U3(t)= - C, e' - C2te' -(C3 + 2 C4)cos t+(2 C3 - C4)sint,

U4(t) = C, e' + C2(1 + t)e' + C4 cost- C3 sint.

Aufgaben zu Nr. 52

2. u(t)=e2' (± + ClCOS2/+C2sin2/), v(/)=e2' (- 141 + 2C2 COS2/-2c,sin2t).

Aufgaben zu Nr. 53

2. u(/) = - t+ 2 sinh/+ C, cosh/+ C2 sinh/, v(/) = - 2 + 2 cosh/+ C2 cosh 1+ CI sinh/.

3. U (t) = - e' sin 3 I, v (I) = e' cos 3 t.

4. u(/)=e2'(cost-sin/), v(t)= -2e2 'sin/.

612 Lösungen ausgewählter Aufgaben

() 3 1. 7, 5 '4 () 7, 5 , 1 3 5. U t = - cos t + - sm t + - e - e - - 1 v t = cos 1 + - e - - e - - - I. 2 2 2 ' 2 2

6. u(/)= - 2 e' + 5 e4 ', v(/) = - 4e' +4e4 '.

Aufgaben zu Nr. 54

3 1 2 2 . 3. U(/) ="5 e' -"3 12 + 9" 1 + 27 + at cos3/+a2sm 3/ ,

v(t) = -~ e' - ~ t + ~ (a2 -at)cos3 1 - ~ (at +a2)sin3 I.

() 1 5 1 ,3 3, vI =-t+---ate +-a2e- .

8 12 2 2

8. X(/) = beliebige viermal stetig differenzierbare Funktion, y(t)= -x(t), z(t)=2t-x(t)+x(t).

( ) 1 3' 3 4, ( ) 2' 2 4, 9. U 1 = - 2" + e - 2" e , v t = - e + e .

10. u(t)= -3 t- 5sint+4sin2t, v(t) =3 + 2cost-2cos 2t.

Aufgaben zu Nr. 55

2 2

1. mt(t)=2,5+2,5e -15' kg, m2(/)=7,5-2,5e -15' kg.

Stabilisierungsniveaus: 2,5 kg in K t , 7,5 kg in K 2 •

-2±V2 ).,t.2:= --10-0~·

Lösungen ausgewählter Aufgaben 613

sinp(L-x) v (x) __ cosp(L-x). 5. u(x) = L'

cosp cospL

6. UI = -0,134uI +0,02U2, u2=0,036uI-0,02u2' UI (t) = 10 CI e -0,141 + C2 e -0.0141, U2(t)= - 3 CI e-0.141 + 6 C2 e -0.0141.

7. a)ml=-klml+& m2= klml-(k2+k4)m2 +k3m3

m3= k2m2-k3m3'

k2+k3+k4 1 ,/ 2 2 b)AI=-kJ, ..12,3=- 2 ±2vk2+(k3-k4)+2k2k3+2k2k4'

k 2 c) m3(co) = --&.

k3 k4

A _A k2 & k k2 • d) m3 (t) = A e ,I + B 1:' 1 - - e - ,I + -- & mit den unter b) angegebenen Wurzeln ..12, ..13 und den Größen N k3 k4

N:= kf-(k2+k3 +k.)kl +k3k4,

A .=~[A3+kl _~] . ..13 -..12 N k3 k4 '

B :=~[A2+kl_~] . ..12 -..13 N k3 k.

8. Mit SI,2:= lOO( -3 ±V5) ist

J I (t) = - __ v_J es,l _ __ v_J e'zl + - Ampere 1 (1-'15 1+'15) 1 VS 4 4 2 '

1 J3 (t)= .R(eS,,-eS,,) Ampere.

2 v5

1 Stationärer Zustand: J I = 2' J3 =0 Ampere.

9. JI(t)=-.!.e-I-~e-31+~(8cost+6sint) Ampere, 4 20 20

1 1 3 3 1 . J3 (t) = - - e- + - e- 1 + - (2cost+4smt) Ampere.

4 20 20

5 2 1 1 1 10. J (t) = - e- 801 - - e- 2OO1 + - Ampere J (t) = - e- 801 - - e- 2OO1 Ampere.

I 12 3 4 ' 3 3 3

11. Die Bewegung der Massen genügt dem Differentialgleichungssystem

XI= -700xI+400xz+200sin4t

X2= 300xl-300xz·

Seine Lösung unter den gegebenen Bedingungen (verschwindende Anfangsauslenkungen und Anfangsgeschwindigkeiten) ist

614 Lösungen ausgewählter Aufgaben

1105 . 105. 3550 . XI (I) = - -- sm IOt - -- sm301 + -- sm41,

4641 4641 4641

( ) 3315. 10 105. 30 1250. X2 1 = - 9282 sm t + 9282 sm 1 + 1547 sm4t.

Aufgaben zu Nr. 57

( cost2 ) ( sin 12

) 2. ( -21) (111 2) • 1.

-2lsint2 ' 2tcost2 • 12 ' IIt

3. (t3

) t3 ' et} 2t4 4. C), (~~) .

S. (II:~ I)' (e-~/J 12. c=n, (t_l)e 21) •

(t-2)e 21

13. S. Lösung der Aufgabe 4.

Aufgaben zu Nr. 58

3 2 C2 I 3 2 C2 1. u(t)=I+-1 -2C I I+"2' v(I)=--t +clt +-.

4 t 4 t

2. u (t) = ~ (eI -In t + .!.) t + (.!. t - I + ~ - ~) e' - 2 CI t + ~, 3 3 3 1 t2 t 2

I ( I 2) 2 (I 2 2) I 2 C2 v(I)=-- e-lnt-- t + -I -t+2-- e+clt +-. 3 3 3 t 1

. cost C2 4. u(t)=smt - -- +CI +-,

t t v(t) = cost _.s._~.

t 2 t

Aufgaben zu Nr. 60

4. Für j = 2/ bzw. j = 2/- I (/ = I, 2, ... ) ist

tpj(X) = (;~' ( :~~: ~i~~:) k~1 (-) (2k-2)!

2x

bzw. = (:I ( :):~: .o..~-'~_~_~_:) , k~1 (-) (2k- 2)!

2x

also YI (x) = sin(x2), Yz(X) = cos(x2), Y3 (X) = 2x.

Lösungen ausgewählter Aufgaben 615

Aufgaben zu Nr. 62

x 4

1. y(x) = 12 + x+ 1. 2. y(x)=xArsinhx-v1 +x2 +2.

3. y(x)=V2x-1. 4. y(x)=2arctan(e2x).

5. y(x) =x2 + C,lnx + C2. Die Differentialgleichung kann auch als eine Eu/ersche behandelt wer­den.

7. 27(7y+ 1)2=8(7x+6?

12. y" = ~Vl +y'2 mit k :=~ < 1. x w

y(x) = H 1 ~k (~)1+k - 1 ~k (~)' -k] + 1 ~:2. Der Treffpunkt ist (0, 1 ~:2).

Aufgaben zu Nr. 65

1. (0,0). 2. (x, -x), -oo<x<oo. 3. (0,0),(1,1).

4. Die Trajektorien sind alle degeneriert, das Phasen porträt besteht aus den sämtlichen Punkten der xy-Ebene.

5. Die Trajektorien sind die Geraden y=x+c (- 00 <c< + 00), in Richtung wachsender x-Werte orientiert.

6. Einziger Gleichgewichtspunkt ist (0, 0). Die nichtdegenerierten Trajektorien sind die vom Nullpunkt weglaufenden Halbgeraden (ohne den Nullpunkt selbst).

7. Menge der Gleichgewichtspunkte = y-Achse. Die nichtdegenerierten Trajektorien sind die

auf die y-Achse zulaufenden Halbparabeln y = ~X2+ C, x<i!:O.

8. Einziger Gleichgewichtspunkt ist (0, 0). Die nichtdegenerierten Trajektorien sind (in Polar­koordinaten) die Exponentialspiralen r=ce-"'; sie laufen auf den Ursprung zu.

Aufgaben zu Nr. 66

1. Instabil; Knotenpunkt. 2. Asymptotisch stabil; Knotenpunkt.

3. Instabil; Sattelpunkt. 4. Asymptotisch stabil; Strudel punkt.

5. Instabil; Strudelpunkt. 6. Stabil, aber nicht asymptotisch stabil; Wirbel punkt.

616 Lösungen ausgewählter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 67

4. Instabil. 5. Asymptotisch stabil. 6. Asymptotisch stabil.

7. Asymptotisch stabil. 8. Asymptotisch stabil. 9. Stabil.

15. Asymptotisch stabil. 16. Stabil. 17. Instabil.

18. Asymptotisch stabil. 19. Instabil. 20. Asymptotisch stabil.

21. (1, 1): asymptotisch stabil; (-1, -1): instabil.

Literaturverzeichnis

Lehrbücher der Differentialgleichungen sind mit einem Stern versehen.

Achieser, N. 1.; Glasmann, I. M.: Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum. Berlin 1954

*Amann, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin-New York 1983

*Arnold, V. I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin-Heidelberg-New York 1980

*Arnold, V. I.: Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. New York-Heidelberg-Berlin 1983

Bailey, N. T.: The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications. 2nd ed. London-High Wycombe 1975

Bellman, R.: Stability Theory of Differential Equations. New York 1953

*Birkhoff, G.; Rota, G.-C.: Ordinary Differential Equations. 3rd ed. New York-Santa Bar­bara-Chichester-Brisbane-Toronto 1978

*Boyce, W. E.; DiPrima, R. C.: Elementary Differeatial Equations and Boundary Value Problems. 4th ed. New York-Chichester-Brisbane-Toronto-Singapore 1986

*Braun, M.: Differential Equations and Their Applications. 2nd ed. New York-Heidelberg-Ber­lin 1978

*Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure III (Gewöhnliche Differen­tialgleichungen, Integraltransformationen, Distributionen). Stuttgart 1985

Cesari, L.: Asymptotic Behaviour and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. 2nd ed. New York 1963

*Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of Ordinary Differential Equations. New York­Toronto-London 1955

Collatz, L.: Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung, Leipzig 1945

Collatz, L.: The numerical treatment of differential equations, 3rd ed. Berlin-Heidelberg-New York 1966

*Collatz, L.: Differentialgleichungen. 6. Aufl. Stuttgart 1981

Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. 3. Aufl. Basel 1976

Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation. 5. Aufl. Mün­chen 1985

Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F. G.: Tables of Integral Trans­forms, Vol. 1. New York-Toronto-London 1954

Föllinger, 0.: Laplace- und Fourier-Transformation. 3. Aufl. Frankfurt 1982

*Franklin, P.: Differential Equations for Engineers. New York 1960

Gause, G. F.: The Struggle for Existence. Baltimore 1934. Nachdruck: New York-London 1964

618 Literaturverzeichnis

Gröbner, W.; Hofreiter, N.: Integraltafel. Erster Teil: Unbestimmte Integrale, 5. Aufl. Wien-New York 1975. Zweiter Teil: Bestimmte Integrale. Wien-Innsbruck 1950

Hahn, W.: Stability of Motion. Berlin-Heidelberg-New York 1967

Hairer, E.; Norsett, S. P.; Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations I. Berlin­Heidelberg-New York-London-Paris-Tokyo 1987

Haie, J. K.: Oscillations in Nonlinear Systems. New York 1963

Hallam, Th. G.; Levin, S. A. (Ed.): Mathematical Ecology. Berlin-Heidelberg-New York­London-Paris-Tokyo 1986

Heuser, H.: Funktionalanalysis. 3. Aufl. Stuttgart 1991

Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil I. 8. Aufl. Stuttgart 1991

Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2. 6. Aufl. Stuttgart 1991

*Hille, E.: Lectures on Ordinary Differential Equations. Reading-Menlo Park-London-Don Mills 1969

*Horn, J.; Wittich, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Aufl. Berlin 1960

Hort, W.; Thoma, A.: Die Differentialgleichungen der Technik und Physik. 4. Aufl. Leipzig 1944

Hutchinson, G. E.: An Introduction to Population Ecology. New Haven-London 1978

*Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. London 1927. Nachdruck: New York 1956

Jahnke, E.; Emde, F.; Lösch, F.: Tafeln höherer Funktionen. 7. Aufl. Stuttgart 1966

*Kamke, E.: Differentialgleichungen reeller Funktionen. 2. Aufl. Leipzig 1950

*Kamke, E.: Differentialgleichungen I. 5. Aufl. Leipzig 1964

Kamke, E.: Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen I. 10. Aufl. Stuttgart 1983 (Unveränd. Nachdruck der 8. Aufl. Leipzig 1967)

Kaplan, W.: Operational methods for linear systems. Reading-Palo Alto-London 1962

*Knobloch, H. W.; Kappei, F.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Stuttgart 1974

Knopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Aufl. Berlin-Göttingen-Hei­delberg-New York 1964

Knopp, K.: Funktionentheorie I. 13. Aufl. Berlin-New York 1976

Lebedew, N. N.: Spezielle Funktionen und ihre Anwendungen. Mannheim-Wien-Zürich 1973

*Lefschetz, S.: Differential Equations, Geometric Theory, 2nd ed. New York 1963

Lense, J.: Kugelfunktionen. 2. Aufl. Leipzig 1954

Lotka, A. J.: Elements of Physical Biology. Baltimore 1925. Nachdruck unter dem Titel "Ele­ments of Mathematical Biology". New York 1956

Marchuk, G. 1.: Mathematical Models in Immunology. New York 1983

McLachlan, N. W.: Theory and Application of Mathieu Functions. Oxford 1947

McLachlan, N. W.: Bessel Functions for Engineers. Oxford 1955

Meixner, J.; Schäfke, F.: Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. Berlin-Göttin­gen-Heidelberg 1954

Meixner, J.; Schäfke, F.; Wolf, G.: Mathieu Functions and Spheroidal Functions and Their Mathematical Foundations. Further Studies. Berlin-Göttingen-Heidelberg-New York 1980

Literaturverzeichnis 619

Mertins, U.: Zur Herleitung von Einschließungssätzen für Eigenwerte. In: Numerical Treat­ment of Eigenvalue Problems, Vol. 4. Basel-Boston 1987, S. 159-173

Peschel, M.; Mende, W.: The Predator-Prey Model. Wien-New York 1986

PesteI, E.; Wi ttenburg, J.: Technische Mechanik 11. 2. Aufl. Mannheim-Wien-Zürich 1986

*Reissig, R.; Sansone, G.; Conti, R.: Qualitative Theorie nichtlinearer Differentialgleichun­gen. Rom 1963

Ritt, J. F.: On the differentiability of the solution of a differential equation with respect to a parameter. Ann. Math. 20 (1918/19) 289-291

*Sansone, G.; Conti, R.: Equazioni differenzial i non lineari. Roma 1956

Stoer, J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. 5. Aufl. Berlin-Heide\berg-New York 1989

Stoer, J.; Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik 11. 2. Aufl. Berlin-Heidel­berg-New York 1978

Stoker, J. J.: Nonlinear Vibrations in Mechanical and Electrical Systems. New York 1950

Szab6, 1.: Höhere Technische Mechanik. 2. Aufl. Berlin-Göttingen-Heide\berg 1958

*Tricomi, F. G.: Differential Equations. Glasgow 1961

Voigt, A. : Vietes Tangentenkonstruktion und eine Klasse ebener Kurven. Elemente der Mathe­matik 41/6 (1986) 155-162

Voigt, A.: Alle Kurven, für die Vietes Tangentenkonstruktion exakt ist. Math. Semesterberichte 36/1 (1989) 119-124

VoIterra, V.: Le"ons sur la theorie math6matique de la lutte pour la vie. Paris 1931

WaIter, J.: On elementary proofs of Peano's existence theorems. Amer. Math. Monthly 80, no.3 (1973) 282-286

*Wal ter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 4. Aufl. Berlin-Heidelberg-New York-To­kyo 1990

Watson, G. N.: A Treatise on the Theory of Bessel Functions. 3rd ed. Cambridge 1958

Weissinger, J.: Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. Math. Nachr. 8 (1952) 193-212

*Werner, H.; Arndt, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin-Heidelberg-New Y ork-London- Paris-Tokyo 1986

Willers, F. A.: Methoden der praktischen Analysis. 4. Aufl. Berlin-New York 1971

Zurmühl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. 5. Aufl. Berlin-Göttingen­Heidelberg 1965

Symbolverzeichnis

a 13 Ojk 13 An 138 C 13 0 13 C(J) 136 [a, b], (a, b) 13 C~(J) 163 f*g 192 D, Dk 163f f(t)~F(s) 188 detA 13 F(s) --.cf(t) 188 I 164 I 458 (·1·) 392 Ima 13 { ·1· } 429 Jv(X) 296 II·II~ 137 2/, 2{f(t)} 188 1·1 393, 396, 411 2- 1 F, 2- 1 {F(s)} 191 11·11 411, 457, 458 1(n,n) 457 1·1 429 N, No 13 R 13 =>, ==:> 13 Rea 13 :==:> 13 R(v) 432 , 13 V(J) 397 Yv(x) 297 Z 13 Zv(x) 297

N amen- und Sachverzeichnis

Kursiv gedruckte Zahlen geben die Seiten an, auf denen die Lebensdaten der aufgeführten Per­sonen zu finden sind.

Abbau eines Medikamentes 451 f. Abel, N. H. 150, 253 Abelsche Formel 253, 507 Abhängigkeitssätze 144, 145,517 Abkühlungsgesetz, Newtonsches 74 Absorptionsgesetz, Lambertsches 38 Absorptionskoeffizient 38 Abstand zweier Funktionen 394 adjungierte Gleichung 364 adjungierter Differentialausdruck 383 Adrenalingehalt des Blutes 89 Ähnlichkeitssatz 191 Airy, G. 261 Airysche Differentialgleichung 261 f., 274,

308, 336, 383 Akkumulation eines Pharmakons 498 d'Alembert 239, 254, 293, 364, 369, 371, 442,

443 ff., 447, 448 f. Alexander der Große 113, 224, 228 algebraisches Komplement 478 allgemeine Lösung 61, 251, 463 allometrisches Grundgesetz 89 f. Ampere, A. M. 79 Amplitude einer Funktion 335 - - Schwingung 201 amplitudenmodulierte Schwingung 206 Amplitudensatz 335, 338 Anfangswertaufgabe (s. auch Anfangswert-

problem) 53f., 453, 514, 518 Anfangswertproblem (s. auch Anfangswert-

aufgabe) 28, 42 Ansammlung radioaktiven Cäsiums 75 f. Äquipotentiallinie 32, 91 Archimedes 88, 369 Arzelä, C. 137 Ascoli, G. 137 assoziierte Laguerresche Polynome 312 f., 354 - - -, erzeugende Funktion 313 - - -, explizite Darstellung 313 - - -, Rekursionsformeln 313 asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt

539

Athenaios von Naukratis 228 Auflösung eines Salzes 86 - fester Stoffe 125 Ausbreitung ansteckender Krankheiten 559 ff. Ausgleichsprozesse 73 ff. autokatalytische Reaktionen 115 f. autonomes System 534 Ayala, F. J. 68

Bach, J. S. 134 Bakterienfütterung 125 Balkenbiegung 360 ballistische Kurve 79 Banach, S. 135, 150 Banachscher Fixpunktsatz 150 Barrow, I. 128 Bauchspeicheldrüse 38 de Beaune, F. 41, 70, 127, 128, 129, 131 Beer, A. 149 Belüftung 85 Bendixson, I. O. 557 Bereich 557 Bernoulli, D. 17, 134, 285, 361, 363, 365 f.,

371, 445 ff. Bernoulli, Jakob 67, 69, 124, 129ff., 147,309,

360,365 Bernoulli, Joh. 50f., 69, 121 f., 128, 129ff., 130,

147, 148,361,362,364,365,442,446,447 Bernoulli, Nikolaus 365 Bernoullische Differentialgleichung 67, 129 Beschränktheit eines Operators 396 Bessel, F. W. 285, 348, 363 Besselreihe 304 f. Besselsche Differentialgleichung 285 ff.,

292 ff., 332 f., 336 Besselsche Funktion erster Art der Ordnung 0

286, 361 - - - - - Ordnung 1/2 288 - - - - - Ordnung 1 289 - - - - - Ordnung v 296, 363 - - zweiter Art der Ordnung 0 287 - - - - - Ordnung 1 291

622 Namen- und Sachverzeichnis

Besselsche Funktion zweiter Art der Ord-nung v 297

- Funktionen 292 ff., 352 - -, Additionstheorem 307 - -, Differentiationssatz 298, 347 (Fußnote 1) - -, erzeugende Funktion 299 - -,Integraldarstellung 301, 307 - -, Nullstellen 301, 332 f., 337 - -, Orthogonalität 303 - -, Oszillation und Amplituden 336 - -, Rekursionssatz 299 - - zur Lösung von Differentialgleichungen

307f. - Gleichung 407 - Leitung 357 f. - Ungleichung 407, 408, 430 beteiligt 425 Bevölkerungswachstum in Entwicklungslän-

dern 106f. Bier 83 Bildfunktion 188 bimolekulare Reaktionen 115 Binomialreihe 271 Blair, H. A. 84 Bleiakkumulation 492 f. Blutdruck 39 Bücher, M. 149 Böhme, J. 48 Bonbon 39 Brachistochrone 12lff., 132f., 221, 446 Brechungsgesetz, Snelliussches 122

calcul des limites 149 Cauchy, A. L. 54, 147ff., 150ff., 163 Cayley, A. 465 charakteristische Gleichung 155, 464 - Zahl 464 charakteristischer Exponent 320 charakteristisches Polynom 155, 165,464 Cholera 34 Cholesterinumsatz 497 f. Clairaut, A. C. 447 Clausewitz 451 Coleman, J. S. 73, 82 Condorcet, M.-J.-A.-N. 365, 501 Coulomb, Ch. A. 79 Courant, R. 432 Courantsches Maximum-Minimumprinzip 433 f. - Minimum-Maximumprinzip 432f. Crelle, A. L. 253

Dämpfungsmaß 216 Dämpfungssatz 191 Datierung fossiler Objekte 37

o-Funktion 192 Descartes, R. 41 determinierende Gleichung 279 Dicke Berta 88 Diderot, D. 501 Differentialgleichung 17 -, Airysche 261 f., 274, 308, 336, 383 -, Bernoullische 67, 129 -, Besselsche 285 ff., 292 ff., 332 f., 336 - der Biegelinie 347 - - schwingenden Membrane 293 - - - Saite 293, 442 - - Wärmeleitung 222 - des schwingenden Seiles 344 -, eulerhomogene 108 -, Eulersche 240, 241, 340, 364 -, exakte 92 -, explizite 42 -, gewöhnliche 41 -, Hermitesche 262f., 336, 383 -, implizite 42 -, Laguerresche 310 - Legendresche 266, 383 -, lineare (s. lineare Differentialgleichung) -, logistische (s. logistische Differentialglei-

chung) - mit getrennten Veränderlichen 102 -,oszillatorische 333 -, partielle 41 -, Riccatische 68, 69 f., 308 f. -, Tschebyscheffsche 269, 384 Differentiationsoperator 163 Diffusion 73 f. Dini, U. 305, 418 Dipol 89, 355 Dirac, P. A. M. 192,261 Diracsche o-Funktion 192 Donaidson, H. H. 25 Dosis-Wirkungsfunktion 107 Durchlüftung 85

Ebbinghaus, H. 82 Eigenfrequenz 206 Eigenfunktion 385, 389, 399 Eigenlösung 385, 399 Eigenvektor 464 Eigenwert 385, 389, 399, 464 Eigenzeit 216 einfacher Eigenwert 402 eingeschwungener Zustand 208 Einheitsimpuls 192 Einheitsmatrix 458 Einheitssprung 188

Einschließungsfunktion 435 Einschließungssätze 431, 435 f., 436, 437, 438 Einstein, A. 4 Eisversorgung Alexanders des Großen 113 f.,

224ff. elektrische Netzwerke 498 f. elektrischer Schwingungskreis 545 Eliminationsmethode 454 ff., 478 ff. elliptisches Integral erster Gattung 524 Empfangsqualität 235 Entwicklungssätze 410ff. Epizykloide 124 Ernährung 34 Erregerfrequenz 206 Ertragssteigerung durch Düngung 72 Euler, L. 6, 20, 54, 70, 99, 124, 147, 151, 153,

237,271,278,285,292,359, 360ff., 414, 442, 443ff., 447, 448f.

Euler-Cauchyscher Polygonzug 54, 148 Euler-Fouriersche Formeln 208 f. Euler-Mascheronische Konstante 287 Eulersche Differentialgleichung 240, 241, 340,

364 - Formel 156, 362 - Knicklast 348, 367, 385 f. Eulerscher Ansatz 154 - Funktionsbegriff 445 - Multiplikator 100 - Polygonzug 147 exponentielle Zerfallsprozesse 36, 75 exponentielles Wachstumsgesetz 19 - Zerfallsgesetz 36 exzentrische Anomalie 349 Exzentrizität 348

Fall, freier 28 -, verzögerter 29 f. Faltung 192 Faraday, M. 212 fastlineares System 552 Federkonstante 153 Federsteifigkeit 153 Feld eines Dipols 355 Feiler, W. 25 Fermat, P. 122 Fermatsches Prinzip 122 Fick, A. 74 Ficksches Diffusionsgesetz 74 Filtrieren 124 Fixpunkt 137 Fixpunktsatz von Weissinger 138 F1oquet, G. 320 Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete 31 f.

Namen- und Sachverzeichnis 623

Flugzeugabwehr 524 Flüssigkeitsströmung 338 ff. Formel von Picone 337 Fourier, J. B. 113,208 Fourier-Besselsche Koeffizienten 304 - Reihe 304 f. Fourierkoeffizienten 208 - bez. Orthonormalfolge 410 Fouriermethoden 205 ff. Fourierreihe 208 f. Fredholm, I. 392 Fredholmsche Integralgleichung, homogene

392 Fredholmscher Integraloperator 392 Frequenz 201 frequenzmodulierte Schwingungen 356f. Friedrich 11 (der Große) 49, 366f., 368, 369,

451 Frobenius, G. 278, 363, 465 Fruchtfliegen 35 Fuchs, L. 250 Fundamentalgleichung 316 Fundamentalsystem 250

Galerkin, B. 439 Galerkinsche Gleichungen 439 Galilei, G. 29, 40, 44f., 78, 130, 132,445 Gaudentius 441 Gauß, C. F. 51, 151,362 Gause, G. F. 25 Gefechtsmodell 450 f. Geschoßbahn 126 Gesetz vom abnehmenden Ertrag 73 Gewebsnekrose 34 Gewichtsfunktion 393 Geymonat, L. 370 Gilpin, M. E. 68 Gleichgewichtspunkt 535 Gleichstrommotor 493 f. Glock, E. 169 Goethe. J. W. 45, 368, 370,450 Gompertz, B. 71 Gompertzsche Überlebensfunktion 71, 85 - Wachstumsfunktion 71 Gravitationspotential 264 Green, G. 380 Greensche Funktion 380 Grenzgeschwindigkeit 118, 125f. Grippe 35 Gurtmuffel 82

Hagen, G. 340 Hagen-Poiseuillesches Gesetz 340

624 Namen- und Sachverzeichnis

Halbwertszeit 36 Halley, E. 47, 369 Hamilton, W. R. 370, 465 Hängebrücke 522 harmonischer Oszillator 153, 201, 389, 536ff.,

545, 548 Hauptsystem 250 Heaviside, O. 188 Heavisidefunktion 188 f. Heidegger, M. 135 Henry, J. 79 Hermite, Ch. 262 Hermitesche Differentialgleichung 262 f., 336,

383 - Funktionen 272 - Polynome 263, 27If. - -, erzeugende Funktion 272 - -, Orthogonalität 272 Hertz, H. 201 Hili, G. W.314 Hillsche Differentialgleichung 314 v. Holbach, P. H. D. 45 Holland, R. H. 25 Hooke, R. 153 Hookesches Gesetz 153 de I'Hospital131, 132, 148 Hurwitz, A. 491 Hurwitzsches Kriterium 491 Hutchinson, G. E. 25 Huygens, Chr. 49, 128, 130, 131, 132,219,442

identischer Operator 164 implizite Lösung 95 Impulsantwort 234f. Index 279 -, exponierter 279 Indexgleichung 279 Innenprodukt 393 instabiler Gleichgewichtspunkt 539 Instabilitätsgebiet 328 Integrabilitätsbedingung 94 Integral einer Differentialgleichung 41 - eines Systems 453, 514 Integralbasis 181,250, 505 Integralkurve 42 integrierender Faktor 100 inverses Tangentenproblem von de Beaune

41,70 Isochrone 130, 132, 221 Isokline 57, 69 Isoklinenmethode 147

Iterierte einer Abbildung 138 iterierter Kern 247, 427

Jeans, J. 512

Kamke, E. 7, 43 Kapazität 212 Kapillare 338 Kardioide 120 Katz, E. 82 Keill 133 Kepler, J. 512 Keplersche Gleichung der Planetenbahn 350 Kern 392 Kette, hängende 361, 446 Kettenlinie 130, 521 f. Keynes, J. M. 48 Kirchhoff, G. R. 80 Kirchhoffsche Sätze 498 Kish, J. F. 25 Knicklast 348 -, Eulersche 348 Knotenpunkt 542, 543 Koch, R. 34 Kolibakterien 34 Kompaktheit eines Operators 395 Kompartimentmodelle 483 ff. Kontinuitätsprinzip 444, 445 Konvergenz im quadratischen Mittel 394 - - Sinne der Norm 394 Konvergenzabszisse eines Laplaceintegrals

187 Konvergenzbereich eines Laplaceintegrals 187 Konvolution 192 Konzentrationsdifferentialgleichung 108 Kraftlinie 32 Kreisfrequenz 202 Kriegslust 35 kritischer Punkt 535 Kroneckersymbol 13 Kumulationsgefahr 86f. Künstliche Ernährung 75 Kutta, W. 55, 437

Lagrange, J. L. 34, 151, 183,237,348,361, 364, 369 J, 442, 448 f., 450, 545

Lagrangesche Identität 330 Laguerre, E. N. 310 Laguerresche Differentialgleichung 310 - Polynome 310ff. - -, assoziierte 312 f., 354 - -, erzeugende Funktion 312 - -, Orthogonalität 311

- -, Rekursionsformeln 312 - -, verallgemeinerte 313 Lambert, J. H. 38 Lanchester, F. W. 451 Laplace, P. S. 45,47,150, 151, 152, 153, 187,

528 Laplaceintegral 187 Laplacesche Differentialgleichung 223, 264 - - in Kugelkoordinaten 265 - - - Polarkoordinaten 239 Laplacescher Dämon 45 Laplacetransformation 187 f. -, inverse 191 Laplacetransformierte 188 Lavoisier 150, 369 Le Roux, J. 149 Lebesgue, H. 411 Legendre, A.-M. 264, 268, 369 Legendresche Differentialgleichung 266, 383 - Polynome 268, 272ff., 341, 355 - -, erzeugende Funktion 274 - -, ürthogonalität 273 f. - -, Rekursionsformel 273 Leibniz, G. W. 17f., 33, 48ff., 69, 122, 127,

128, 129, 130, 132, 133, 134, 146f., 151, 365, 366, 367 f., 444

Lernfunktion 73 Lernprozeß 73 Lienardsche Gleichung, verallgemeinerte 558,

559 Lindelöf, E. 139, 149 linear abhängig 252, 503 - unabhängig 252, 503 lineare Differentialgleichung mit konstanten

Koeffizienten, homogene 154, 163,362 - - -, inhomogene 154, 172,363 - variablen Koeffizienten 59, 237, 363 f. - - -, homogene 59, 237 - - -, inhomogene 59, 237

- Wärmeleitung 221 f. linearer Unterraum 400 lineares System von Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten, homogenes 453

- - - - - - -, inhomogenes 453 - - - - - variablen Koeffizienten, homoge-

nes 501 - - - - - - -, inhomogenes 501 Linienelement 53 Liouville, J. 149, 253, 328 Lipschitz, R. 140, 148 Lipschitzbedingung 139f., 148, 149,516,517 Lipschitzkonstante 139 f.

Namen- und Sachverzeichnis 625

Ljapunoff, A. M. 546 Ljapunoff-Funktion 547 -, strenge 547 Ljapunoffsche Methode 546 ff. L 2-Norm 411 lösender Kern 247 Lösung, allgemeine 158, 167 - einer Differentialgleichung 41 - eines Systems 453, 514 -, komplexwertige 157 -, partikuläre 159, 172 Lösungskurve 42 logistische Differentialgleichung 23, 26, 107,

108, 115 - -, verallgemeinerte 68 logistisches Gesetz 24 Longitudinalschwingungen 390 Lotka, A. J. 512 Lotka-Volterrasche Gleichungen 512, 513 Luftverschmutzung 489 f.

Mach, E. 133 Mansfield, E. 82 Marchetti, C. 25 Masernepidemie 562 ff. Maßeinheiten, physikalische 14 Mathieu, E.-L. 314 Mathieusche Differentialgleichung 314, 322ff. - -, Stabilität ihrer Lösungen 327 f. Matrixexponentialfunktion 459 -, Multiplikationstheorem der 459 Matrixpolynom 464 Matrizenreihe 458 -, absolut konvergente 458 Maupertuis 367, 368 Maximumsnorm 137 Membrane 293 Membranschwingungen 359, 363 Menten-Michaelis-Funktion 107 Menzel, H. 82 Mersenne, M. 445 Methode der langsam veränderlichen Ampli­

tuden 572 - - Laplacetransformation 187 ff., 475 ff.,

48lf. - - Variation der Konstanten 61, 181 ff.,

257f., 361, 364f., 473f., 509 Mie, G. 150 Minkowskische Ungleichung 394 Mischungsprozesse 76 f., 486 Mitscherlich, E. 72 Mitscherlichsches Gesetz 72 mittlere Anomalie 349

626 Namen- und Sachverzeichnis

Monge, G. 151 monomolekulare Reaktionen 114 Mottenkugel 39

Napier, J. 40, 44f. Napiersche Logarithmen 40 Napoleon 82, 151,370 Nervenreizung 84 Neumann, C. 149, 247 Neumannsche Funktion der Ordnung 0 287 - - - Ordnung 1 291 - - - Ordnung v 297 - Reihe 149, 247 Neutronentransport 497 Newton, I. 4,17,27, 46ff., 51, 99,126, 127f.,

132, 133, 134, 146, 151,219,261,271,360, 364, 366, 368, 369

Newton (Krafteinheit) 14 Newtonsches Abkühlungsgesetz 74 - Kraftgesetz 27 N2-Gesetz von Lanchester 451 Nichtnegativitätskriterium für Eigenwerte 389 Nie1sen, N. 305 Nietzsche, F. 135 Noble, W. 446 Norm eines Operators 396 Normeigenschaften 394 normierte Eigenfunktion 403 Nullfunktion 190

Oberschwingung 373 Ohm, G. S. 79 Ohmsches Gesetz 79, 88 Ordnung einer Differentialgleichung 41 Organregeneration 565 ff. Originalfunktion 188 orthogonal 399 Orthogonaltrajektorie 118, 134 - in cartesischen Koordinaten 118 f. - - Polarkoordinaten 120 Orthonormalfolge 407 Oszillationssatz 333 f. oszillatorische Differentialgleichung 333

Painleve, P. 148 Parallelogrammgleichung 398 Parseval, M.-A. 413 ParsevaIsche Gleichung 413 partikuläre Lösung 61, 238, 463, 502 Peano, G. 136, 150 Pearl, R. 23, 25, 35 Pendel, mathematisches 218, 358, 513, 523,

540,555

Periode (einer Schwingung) 201 periodische Lösung 556 - Zwangskräfte 205 ff. Permeabilität 74 Perrault, C. 18 Pharmakokinetik 484 Phasenkonstante 202 Phasenkurve 529, 534 Phasenporträt 535 Picard, E. 139, 149 Picone, M. 337 Poincare, H. 3, 51, 113,528,557 Poiseuille, J. L. M. 340 Poisson, D. 307 Poissonsche Integraldarstellung der Bessel-

schen Funktionen 307 Pollak, H. 4 van der Polsche Gleichung 558 f., 571 ff. Pope, A. 47 Potential einer Punktladung 341 - eines Dipols 355 Potentialfunktion 264 Potentialgleichung 264 - in Kugelkoordinaten 265 - - Polarkoordinaten 239 Potenz einer Abbildung 138 Potenzreihenmethode 146f., 148f., 185f., 260f. Prüfer, H. 334 Prüfer-Transformation 334 Pythagoras 398, 441 f.

radioaktive Abfälle 36 - Verseuchung 37 - Zerfallsreihen 488 f. radioaktiver Zerfall 36 Radioempfang 235 Radiokarbonmethode 37 Räuber-Beute-Modell, Lotka-Volterrasches

512, 528ff. Rameau, J. Ph. 446 Randbedingungen, homogene 377 -, lineare 377 Randwertaufgabe 377 -, halbhomogene 378, 420ff. -, homogene 378 -, Sturmsche 379 Rashevski, N. 84 Raucherbein 341 Rayleigh (J. W. Strutt) 432 Rayleighscher Quotient 432, 437 Reaktionskinetik 114ff., 489 Rechteckfunktion 189 Rechteckschwingung 189f.

Reduktion einer homogenen linearen Diffe­rentialgleichung 254, 257, 364

Reduktionsverfahren bei homogenen linearen Systemen 508

Reed, H. S. 25 -, L. J. 25 Resonanz 215 ff., 233, 361 Resonanzfrequenz 216 Resonanzkatastrophe 215, 217 Resonanzkurve 216 ReveII, R. 25, 34 Riccati, J. F. 69, 360 Riccatische Differentialgleichung 68, 69 f., 309 Riccatischer Ansatz 520 Richardson, L. F. 35 Richtungsfeld 53 Riemann, B. 53, 443, 448, 449 Ritz, W. 438 Ritzsches Verfahren 438 ff. Ritz-Wert 440 RL-Kreis 212 RLC-Kreis 212 Rodrigues, O. 272 -, Formel von 272 r-orthogonal 399 r-Orthonormalfolge 401 Runge, C. 55 Runge-Kutta-Verfahren 55f., 526

Saite 292f., 361, 363, 441 ff. Salomon 73 Sattel punkt 542 Sättigungsprozeß 7lff. Sättigungswert 71 Satz des Pythagoras 398 - von Cauchy-Lipschitz 148, 149 - - Cayley 465

Floquet 320f. Mercer 415

- - Mertins 431, 436 - - Peano 136, 150,515, 519 - - Picard-Lindelöf 139,516,517,519 - - Poincare-Bendixson 557 - - Temple 435 f. - - Weissinger 138 Sauerstoff in Zimmerluft 85 Säulenkonstruktion 84 Sauveur,J. 446, 447 Schädlingsbekämpfung 533 Schauder, J. P. 135 Schaukel 359 Scheinwerfer 116f.

Namen- und Sachverzeichnis 627

Schneeball 39 schwach singuläre Stelle 277 Schwarz, H. A. 427 Schwarzsehe Konstanten 435 - Quotienten 426 f. - Ungleichung 394, 395, 429 Schwinger mit quadratischer Dämpfung 523 -, nichtlinearer 548 f., 554 Schwingung von Maschinenfundamenten 232 Schwingungen, erzwungene 204f. -, freie 200ff. Schwingungsdauer 201, 203 Schwingungskreis 214 Schwingungstilger 494 f. Seilschwingungen 343 ff., 361, 363 Seki, K. 271 selbstadjungierter Differentialausdruck 383,

384 Selbstinduktion 79 selbstorthogonale Kurvenschar 121 singuläre Stelle 277 Sinken 87f. Snellius, W. 122 Sonnenblumen, Höhenwachstum von 25 Soper-Modell für Masernepidemien 562 f. - - -, verallgemeinertes 564 spezielle Ansätze 63, 177 Sprungantwort 234 Sprungrelation 381 Sprungstörung 234 stabiler Gleichgewichtspunkt 539 Stabilitätsgebiet 328 Stabilitätskarte 328 Stammfunktion einer exakten Differentialglei-

chung 92 stationäre Lösung 535 - Temperaturverteilung 223 stationärer Zustand 208 statische Absenkung 229 - Ruhelage 229 Steighöhe 40, 87 Steigzeit 87 Stein, G. 25 Stelle der Bestimmtheit 277 Sterbeintensität 70 Stetigkeit des Innenprodukts 395 - eines Operators 397 Stokes, G. G. 88 Stokessches Gesetz 88 Störfunktion 59, 154, 172,453 Stoßantwort 234f. Stoßdämpfer 231 Stoßstörung 234 f.

628 Namen- und Sachverzeichnis

Stromkreise 79 ff. Strudel punkt 543 Stuart, H. C. und S. S. 90 Sturm, Ch. 328 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe 385 Sturmscher Trennungssatz 328 - Vergleichssatz 331, 337 - -, Verallgemeinerung 337 - - -, Verschärfung 338 sukzessive Approximationen 140, 149 Superposition 447 Superpositionsprinzip 154, 163, 238 Swift, J. 50 Symbiose 538 symmetrischer Operator 393

Talsperrenmauer 355 Tauchschwingung 230 Tautochrone 132,221 Taylor, B. 134,361,442,446 Temperaturausgleich 74f. Temperaturleitfähigkeit 223 f. Temperaturverteilung in einem S~ab 386 ff., 391 Thiele, R. 365 Torsionsschwingungen 390 Trägerkapazität 23 Trajektorie 529, 534 Traktrix 17 f. Trennung der Veränderlichen 128 Trennungssatz 328 trigonometrisches Orthogonalsystem 408 Tschebyscheff, P. L. 268 Tschebyscheffsche Differentialgleichung 269,

384 - Polynome 268 Tumor 71

übergangsmatrix 315

van der Waerden 149 vektorwertige Funktion, differenzierbare 460 - -, integrierbare 460 f. - -, stetige 460 velaria 131 Verbreitung von Gerüchten 25 f. - - Informationen 82, 116 - - Innovationen 82 Verdoppelungszeit 21 Verfolgungsweg 40 Vergessensmodell 82 Vergleichsfunktion 397 Vergleichssatz 331, 337, 338, 434 Vergrößerungsfaktor 216 Verhulst, P.-F. 22f.

Verkaufseinbuße 89 Verkaufszerfallskonstante 38 Verschiebungssatz 192 Verschrnutzung eines Sees 86 - von Luft 85 Vidale, M. 37,91 ViI~:te (Vieta), F. 524 volldefinit 424 Volta, A. 79 VoItaire, F.-M. 45,48,366,367,446 Volterra, V. 149f., 245 VoIterrasche Integralgleichung 245 VoIterrascher Integraloperator 246

Wachstum, pflanzliches 125 - von Körperteilen 90 Wachstums differentialgleichungen 107 f. Wachstumsgesetz, exponentielles 19 Wachstumskonstante 21 Wallis, J. 445f. Walter, J. 150 Wärmeleitfähigkeit 113,221 Wäschetrocknung 39 Wasserleitungen, schottische 83 Wasserstoffatom 352 Wasserwellen 342f. Watt, K. F. F. 106 Weissinger, J. 135, 150 Weissingerscher Fixpunktsatz 138, 150 Wellengleichung 293 Werbung)7,91 Wettbewerbsmodell 513, 567 f. Wettrüstungsmodell von Rapoport 569 f. - - Richardson 568 f. Wiederkäuer 489 Wigner, E. 53 Wirbelpunkt 544 Wolfe, H. 37, 91 Wronski, H. 250 Wronskische Determinante 250, 505, 507 Wundinfektion 34 Wurf nach oben 79 Wurfbahnen 77 ff., 87 Wurfparabel 79

Zentrum 544 Zerfallsgesetz, exponentielles 36 Zerfallskonstante 36 Zissoide 126 Zwangskraft 153 Zykloide 124, 130 Zykloidenpendel 219 ff. Zyklus 556 Zylinderfunktion der Ordnung v 297