Anhang 1: Matrizenalgebra
Der Anhang 1 enthalt die elementaren Grundlagen der Matrizenalgebra, soweit diese fiir das Verstiindnis des behandelten Stoffes und das selbstiindige Operieren mit Matrizen und Vektoren erforderlich sind. Ergiinzende und vertiefende Infor-mationen finden sich in der unter A 1.6 aufgefiihrten Literatur.
AI.I Bezeichnungen und Definitionen
Matrizen: Jedes rechteckige Feld von Symbolen, Zahlen, Funktionen oder auch Matrizen, auf das gleiche mathematische Operationen angewendet werden diirfen, wird als Matrix bezeichnet. Dieses Feld wird in m Zeilen und n Spalten geordnet, in eine rechteckige Klammer eingefaBt und durch ein Symbol abgekiirzt:
all a12 a lj a ln a21 a22 a2j a 2n
a = a(mxn) = ail a i2 a ij ain
= [aij] • (AU)
am1 am2 .. . a mj ... a mn
Die Elemente aij der Matrix a tragen zur Identifizierung den Zeilenindex i = l(l)m und den Spaltenindexj = l(l)n. Zeilen und SpaJten heiBen gemeinsam Reihen. Die Angabe (m x n) nennt man Ordnung von a.
Zeilenmatrizen (Zeilenvektoren): Jede Matrix mit m = 1 wird als Zeilenmatrix oder Zeile bezeichnet:
(A 1.2)
Spaltenmatrizen (Spaltenvektoren): Jede Matrix mit n = 1 wird als Spaltenmatrix oder Spalte bezeichnet:
ALl Bezeichnungen und Definitionen 307
a = a(mxl) = (A 1.3)
Nullmatrix: Eine Matrix, deren siimtliche Elemente den Wert Null annehmen, wird als Nullmatrix bezeichnet und mit 0 abgekiirzt.
Untermatrizen und Hypermatrizen: Jede Matrix kann in Untermatrizen zerlegt werden. Ihre Darstellung in diesen Untermatrizen bezeichnet man als Hypermatrix. Ein Beispiel ist:
(Al.4)
Quadratische M atrizen: Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl m = n wer-den als quadratisch bezeichnet; sie besitzen die gleichen Anzahlen von Zeilen- und Spaltenelementen sowie die Ordnung m = n
au a 12 ali a lm a21 a22 a21 a2m
a = aIm) = ail al2 ail aim
(AU)
aml am2 ami amm
Die Elemente ail bezeichnet man als Hauptdiagonale, ihre Summe als Spur: m
sp(a) = L ail· (A 1.6) 1=1
Quadratische Matrizen zeichnen sich durch einige Besonderheiten aus, die im folgenden behandelt werden sollen.
Regularitiit: Die Funktion
au a12 alm
det(a) = all all a2m (A 1.7)
aml am2 amm
308 Anhang 1: Matrizenalgebra
einer quadratischen Matrix a wird als deren Determinante bezeichnet. 1st det(a) #= 0, so heiSt a reguliir, sonst singuliir. In einer regularen Matrix sind alle Zeilen bzw. Spalten voneinander linear unabhangig. In einer singularen Matrix konnen bis zu r* ~ m Zeilen bzw. Spalten voneinander linear abhangig sein; die Zahl r = m - r* bezeichnet man dann als Rang von a, die Zahl r* als Rangabfall.
Symmetrie und Antimetrie: Jede quadratische Matrix mit
aij = aji heiSt symmetrisch,
aij = - aji heiSt antimetrisch (schiefsymmetrisch).
Jede quadratische Matrix a laSt sich additiv in eine symmetrische und eine antimetrische Teilmatrix zerlegen; Beispiel:
a=a.+.a=[~ ~J=[~ ~J+[ -~ ~l Definitheit: Symmetrische Matrizen • mit einer fiir beliebiges x #= 0 geltenden quadratischen Form (siehe (A1.14»
Q(x) = xT ·.·x > 0, 'Ix #= 0 (A1.8)
hei6en positiv definit~ in diesem Fall ist • gleichzeitig regular. Gilt Q ~ 0, so ist • positiv semi-definit und singular.
Diagonalmatrizen: Jede quadratische Matrix d mit der Eigenschaft: dij #= 0 fUr i = j, dij = 0 fiir i #= j heiSt Diagonalmatrix:
dll 0 0 0 0 d22 0 0
d = diag [dj ] = 0 0 ... dii ••• 0 = rd11 d22 ••• dii •• • dmmJ.
0 0 0 ... dmm (A 1.9)
Jede Diagonalmatrix mit d11 = d22 = ... dii = ... dmm = d heiBt Skalarmatrix. Jede Skalarmatrix mit d = 1 heiBt Einheitsmatrix oder Einsmatrix der Ordnung m und wird mit I abgekiirzt:
[10 ... 0] 1- ! 1'" r -rll .. , 1J ' (A 1.10)
Bandmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren nichtverschwindende Glieder urn die Hauptdiagonale gruppiert sind, heiBt Bandmatrix:
A1.2 Rechenregeln 309
bll b l2 0 0 0 b21 b22 b23 0 0
b= 0 b32 b33 0 0 (ALlt)
0 0 0 bm-l,m-l bm-l,m 0 0 0 bm,m-l bm,m
Dreiecksmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren samtliche Elemente auf einer Seite jenseits der Hauptdiagonalen verschwinden, heiSt Dreiecksmatrix. Man un-terscheidet obere (rechte) und untere (linke) Dreiecksmatrizen:
rIm ] [ 111 0 ... 0 ] r~m , I = I~l 1~2 ... ~ .
. . . r mm Iml 1m2 Imm
(A Ll 2)
Fur die Determinanten von Dreiecksmatrizen gilt:
det(r) = rll -r22 - ... r mm, det(l) = 111 -/22 - ••• Imm . (A l. 13)
AI.2 Rechenregeln
Transposition: Vertauscht man bei einer (m x n)-Matrix a aIle Zeilen und Spalten, so gewinnt man die transponierte (n x m)-Matrix aT:
all a21 amI
[au au ... aln a12 a22 am2 a21 a22 ... a," ] aT = (ALl4) a = . . . , amI am2 amn
aln a2n amn
Das Transponieren entspricht einem Spiegeln aller Elemente an der Hauptdiago-nalen; daher gilt:
(aT)T = a fur aIle Matrizen, aT = a fur symmetrische (quadratische) Matrizen, aT = - a fUr antimetrische (quadratische) Matrizen.
Addition und Subtraktion: Zwei Matrizen gleicher Ordnung werden addiert (sub-trahiert), indem aile Elemente gleicher Position addiert (subtrahiert) werden:
c(m x n) = a(m x n) + b(m x n) erfordert cij = aij + bij fUr aIle i,j , c(m x n) = a(m x n) - b(m x n) erfordert cij = aij - bij fUr aIle i,j .
310 Anhang 1: Matrizenalgebra
Definiert man die Nullmatrix als Differenz zweier gleicher Matrizen:
a=b --+ a-b=O, (AU5)
so folgt aus obiger Beziehung, daB zwei Matrizen gerade dann gleich sind, wenn sie gleiche Ordnung besitzen und aIle Elemente gleicher Position identisch sind. Die Addition von Matrizen ist
kommutativ: sowie assoziativ:
a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) . (AU6)
Skalierung: Bei der Multiplikation einer Matrix a mit einem Skalar A. wird jedes Element dieser Matrix mit dem Skalar multipliziert:
A.aln ] A.a2n
... A.~mn (AU7)
Multiplikation zweier Matrizen: Das Produkt einer Matrix a der Ordnung (m x n) mit einer Matrix b der Ordnung (n x p) ist durch eine Matrix c der Ordnung (m x p) definiert, fiir deren Elemente
n
Cij = Lair brj fiir i = l(l)m,j = l(l)p (AU8) r= 1
gilt. Das Matrizenprodukt existiert daher nur, wenn die Spaltenzahl von a der Zeilenzahl von b entspricht. Die angegebene Definitionsgleiehung liiBt sich beson-ders anschaulich mit Hilfe des Multiplikationsschemas von FALK in einen Berech-nungsalgorithmus iibersetzen:
+--P--t-
Beispiel: [LLn G ~ = ~J [~ : l~ ]
(AU9)
Das Matrizenprodukt einer Zeile mit einer Spalte ergibt somit ein einzelnes Element, einen Skalar. Die Matrizenmultiplikation verhiilt sieh:
assoziativ: (a·b)·c = a·(b·c) ,
distributiv: a . (b + c) = a· b + a· c , aber nieht kommutativ: a . b =!- b· a .
AuBerdem gilt:
l·a=a·l=a, (a·b· ... c·d)T=dT·cT· ... bT·aT . (A 1.20)
A1.3 Normen und KonditionsmaBe 311
Inversion: Jede reguliire (quadratisehe) Matrix a der Ordnung n besitzt genau eine reguliire (quadratisehe) Inverse a -1 der Ordnung n, fiir welehe gilt:
a·a- 1 = a- 1 ·a = I. (A1.21)
Zur Bereehnung der Inversen a -1 interpretiert man a· a - 1 = a· x = I als Kurz-sehreibweise fiir n lineare Gleiehungssysteme (siehe Tafel 1.8) und bestimmt x = a - 1 dureh spaltenweise Losung. Fiir Inverse gel ten folgende Rechenregeln:
(aT)-l = (a- 1 )T, (a.b .... C·d)-l = d- 1 ·c- 1 •.•. b- 1 ·a- 1 . (A 1.22) Pseudo-Inversion: Reehteekmatrizen a der Ordnung (m x n) besitzen reehte oder linke Pseudo-Inversen (Halbinversen) a*, a** mit folgenden Eigensehaften:
Rechtsinverse a * gemii.13 a(m x n) . a(':. x m) = I(m x m) existiert, sofem a zeilenreguliir mit m < n, Linksinverse a** gemii.13 a(':.*x m)· a(m x n) = I(n x n) existiert, sofem a spaltenreguliir mit m > n.
Der Proze.13 der Pseudo-Inversion ist mehrdeutig; zur eindeutigen Losung sind Zusatzbedingungen erforderlieh [A1.2].
Orthogonalitiit: Jede reelle quadratisehe Matrix a, deren Produkt mit ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergibt, hei.l3t orthogonal:
Fiir orthogonale Matrizen gilt: det(a) = ± 1.
Ahnlichkeitstrans!ormation: Die beiden dureh die Transformation
b* = a-l·b·a
(A 1.23)
(A 1.24)
verbundenen Matrizen b, b* werden als zueinander iihnlich bezeiehnet; fiir sie gilt: det(b*) = det(b).
KongruenztransJormation: Die beiden dureh die Transformation
b** = aT·b·a (A 1.25)
verbundenen Matrizen b, b** werden als zueinander kongruent bezeiehnet. Kon-gruenztransformierte Matrizen entstehen im Zusammenhang mit kontragredienten TransJormationen von Spalten, dureh welche die Invarianz der Skalarprodukte dieser Spalten besehrieben wird. Beispiel: P = aT. s ist kontragredient zu v = a· V, deshalb: W = vT·s = VT ·aT·s = VT• P.
Al.3 Normeo uod Kooditioosma8e
Zur Abschiitzung relativer Fehler von Matrixoperationen dienen Normen von Vektoren, d.h. von Zeilen oder SpatteD, und von Matrizen sowie KonditionsmajJe.
312 Anhang 1: Matrizenalgebra
Als Norm definiert man dabei eine den in a vereinigten Elementen zugeordnete Zahl II a II, die ein MaD der GrojJe von a darstellt.
Vektornormen: Folgende Normen eines Vektors v der Ordnung m sind ge-briiuchlich:
Summennorm, ;=1
IIvllz = +JvT "v = Ivl Euklidische Norm, Spektralnorm,
IIvlloo = maxlv;l, i = l(l)m Maximumnorm. (A 1.26)
Matrixnormen: Vektor- und Matrixnormen sind miteinander vertriiglich, wenn fiir sie die Dreiecksungleichung
II a " v II :s;; II a II " II v II (A 1.27)
erfiillt ist. Folgende Matrixnormen sind gebriiuchlich: m
lIal1 1 = max L laul ,j = l(l)n Spaltensummennorm, ;=1
Euklidische Norm, Spektralnorm n
Iiall oo = max L la;jl ,i = l(l)m Zeilensummennorm. j=l
(A 1.28)
Konditionsmafte: Schlecht konditionierte (instabile) Losungsverfahren vergroBern relative Fehler der Eingabedaten in die Ausgabedaten hinein. Ein MaD zur Beurtei-lung der Losungsqualitiit eines Algorithmus bilden Konditionszahlen der betei-ligten Matrizen. Beispielsweise gilt fiir eine quadratische, reguliire Matrix a:
cond (a)H = i\ Ctl an r !Idet (a) I HADAMARDsche Konditionszahl, cond (a)p = lIallp"lIa- 1 lip . (A 1.29)
Diese Konditionszahlen liegen numerisch zwischen 1 (optimale Kondition) und o (Instabilitiit), dabei bezieht sich der Index p auf die weiter oben aufgefiihrten Normen. 1m Abschnitt 1.3.6 waren zu (A 1.29) reziproke KonditionsmaBe k = [cond (a)]-l verwendet worden, weil diese die Fehler der dort behandelten Gleichungsauftosung in natiirlicherer Weise beschrieben.
Al.4 Lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei das System von m linearen Gleichungen
a"x=b (A 1.30)
Al.4 Lineare Gleichungssysteme 313
mit der KoeJfizientenmatrix a(mxm), der rechten Seite b(mx 1) und dem Vektor der Unbekannten x(m x 1):
(Al.3l)
Alle Koeffizienten aij' bi: i, j = l(l)m seien vorgegebene, reelle Zahlen. Dann heiBt derjenige Vektor x, dessen Komponenten Xi: i = l(l)m gerade das Gleichungssy-stem (Al.30) zu einer Identitiit machen, Losungsvektor von (Al.30).
Wegen der allgemeinen VerfUgbarkeit von Mikrocomputern und leistungs-flihigen Losungsalgorithmen wird die Auflosung linearer Gleichungssysteme in der Baustatik i.a. in einer Black-Box-Arbeitsweise erfolgen. Trotzdem sollte der be-rechnende Ingenieur das von ihm gestartete Losungsverfahren kennen und even-tuelle Schwiichen entdecken konnen. Man unterscheidet folgende Verfahren:
Direkte Losungsverfahren: Diese Verfahren liefern exakte Losungen, wenn man von den Rundungsfehlern in der Maschine absieht. Zu den direkten Losungsverfahren gehoren
• das Eliminationsverfahren von GAUSS (siehe Tafel 1.7): dieses iiberfiihrt a in eine obere Dreiecksmatrix r, so daB das System durch Riickwiirtselimination gelost werden kann;
• das Verfahren von GAUSS-JORDAN; • das Verfahren von CHOLESKY fUr eine symmetrische, positiv definite Koeffi-
zientenmatrix: Nach Zerlegung von a in zwei gleiche Dreiecksmatrizen entsteht aus (Al.30) rT·r·x=b, durch Vorwiirtselimination wird dies in r·x=rT·b transformiert, woraus durch Riickwiirtselimination x bestimmt werden kann;
• verschiedene Verfahren fUr Koeffizientenmatrizen mit Bandstruktur.
Pivot-Strategien verwenden in jedem Schritt jeweils diejenige Einzelgleichung mit dem betragsmiiBig groBten Element (= Pivot-Element) zur Elimination; durch sie wird der Rundungsfehler minimalisiert.
Iterative Losungsverfahren: Diese Verfahren gehen von einem Startvektor x(O) der Losung aus und verbessern diesen schrittweise. Neben den maschinellen Run-dungsfehlern tritt bei ihnen der iterative Abbruchfehler auf; beide Fehlerarten miissen sich aber nicht akkumulieren. Iterationsstrategien wei sen i.a. nur fUr bestimmte Strukturen der Koeffizientenmatrix a Konvergenzverhalten auf. Zu den iterativen Verfahren gehOren
• die Gesamtschrittverfahren nach JACOBI, • das Einzelschrittverfahren nach GAuss-SEIDEL (siehe Abschnitt 3.2.6), • die Relaxationsverfahren (siehe Abschnitt 3.2.6).
314 Anbang 1: Matrizenalgebra
Jeder Black-Box-Anwender soUte Techniken kennen, um die Stabilitiit des von ihm verwendeten Losungsalgorithmus beurteilen zu konnen. Besonders bei sich ver-groBemder Ordnung m und schlechter Konditionierung von a konnen Rundungs-fehler die LOsung unbrauchbar werden lassen. Ein besonders scharfer Genauigkeits-test basiert auf der folgenden, quadratischen und reguliiren Matrix m-ter Ordnung:
m+2 1 0 0 0
1 -- --2m+2 2 2m+2
1 1
1 0 0 0
2 2
0 1
1 1
0 0 2 2
0 0 1
1 0 0 (A1.32) a= 2
0 0 0 0 1 1 2
1 0 0 0
1 m+2 -- --2m+2 2 2m+2
deren exakte Inverse lautet:
m m-l m-2 m-3 ... 2 1 m-l m m-l m-2 ... 3 2
a- 1 = m-2 m-l m m-l 4 3 (A1.33)
2 3 4 5 m m-l 1 2 3 4 m-l m
Hieraus lassen sich gemii6 den Angaben der Tafel 1.8 genau m lineare Testsysteme herleiten, sofem man nicht die gesamte Inversion testen will (kann).
At.S Eigenwertaufgaben
Wir unterscheiden die allgemeine Eigenwertaufgabe
a'x = lb·x: (a - lb)·x = 0 bzw. yT· a = lyT 'b: yT '(a - lb) = 0
sowie die spezielle Eigenwertaufgabe (b = I) a'x = lx: (a - lI)·x = 0 bzw .
(A 1.34)
(A1.35)
A1.5 Eigenwertaufgaben 315
Hierin bezeichnen:
• a eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung m, • b eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung m. 1m Fall b :!- I muB a oder
b reguliir sein, urn das allgemeine Eigenwertproblem durch Multiplikation mit der existierenden Inversen in ein spezielles Eigenwertproblem transformieren zu konnen, beispielsweise
det(b):!-O: b- 1 ·(a-Ab)·x=(b- 1 ·a-A.I)·x=O. (A1.36)
• x m Rechtseigenvektoren (m x 1), • Y m Linkseigenvektoren (m x 1), beide als Losungsvektoren ihrer jeweiligen
Eigenwertaufgabe. • A m Skalare, die sog. Eigenwerte als Losung der charakteristischen Polynome
det (a - Ab) = 0 bzw. det (a - AI) = 0 , (A 1.37)
den Losungsbedingungen der jeweiligen Eigenwertprobleme.
Die spezielle Eigenwertaufgabe
(a - AI)·x = 0 bzw. yT ·(a - AI) = 0 (A 1.38)
besitzt m Eigenwerte Am als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms. Jedem Eigenwert Am ist mit der Vielfachheit seines Auftretens ein Eigenvektor xm zugeord-net, der bis auf seine Liinge bestimmt ist. Es gel ten folgende Siitze:
• a besitzt gerade r Eigenwerte :!- 0, wenn r den Rang von a bezeichnet. • a besitzt nur dann wenigstens einen Eigenwert A = 0, wenn det(a) = 0 gilt. • Die Anzahl der Nulleigenwerte von a stimmt mit deren Rangabfall uberein. • Zu verschiedenen Eigenwerten gehorende Eigenvektoren sind linear unab-
hiingig. • Zu einem einfachen (p-fachen) Eigenwert gibt es genau einen (mindestens einen,
jedoch hOchstens p) linear unabhiingigen Eigenvektor (unabhiingige Eigenvekto-ren).
m m
• Es gilt: sp(a) = L ali = L Ai' det(a) = A1 • A2 • A3 ' ... Am . (A 1.39) i=1 i=1
• Rechts- und Linkseigenvektoren verschiedener Eigenwerte Ai :!- Ak sind zueinan-der orthogonal: xl 'Yk = 0 .
• Rechts- und Linkseigenvektoren reguliirer Matrizen lassen sich orthonormieren: xl 'Yk = t5ik (t5ik: KRONECKER Delta).
SpezieUe Eigenwertprobleme symmetrischer Matrizen spielen eine wichtige Sonder-rolle; fUr sie gilt:
• Siimtliche Eigenwerte sind reell. • Fur positive Definitheit von a sind alle Eigenwerte positiv. • Rechts- und Linkseigenvektoren des gleichen Eigenwerts sind identisch.
Ordnet man in diesem Fall siimtliche m Eigenwerte Ai in der Diagonalmatrix A. an, der M odalmatrix, siimtliche Eigenvektoren xm in korrespondierender Reihenfolge
316 Anhang I: Matrizenalgebra
in u:
(A 1.40)
so transformiert sich das urspriingliche Eigenwertproblem in:
a·x = A.·x --+ a·u = u·A. . (A1.4l) Unter Voraussetzung orthonormierter Eigenvektoren uT • u = I entsteht hieraus durch Linksmultiplikation mit uT :
(A 1.42)
Durch diese Kongruenztransformation wird a in eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen iiberfiihrt, was als Eigenrichtungs- oder Hauptachsentransformation bezeichnet wird.
Als Beispiel transformieren wir die Nachgiebigkeitsbeziehung (2.40) eines ebe-nen, dehnstarren Stabelementes auf die Hauptachsen:
['IJP 1 [2 lJP [M1JP 'r = 6E1 1 2 . Mr Das Eigenwertproblem
(1P-AI).X=([~ ~J-A[~ ~J}x=o fiihrt iiber die Losungsbedingung
det (1 P - AI) = 12 ~ A 2 ~ )" = A 2 - 4A + 3 = 0 auf die beiden Losungen:
(A1.43)
A1 =3:x1 =f[!} A2 =l:x2 =f[_!} u=f[! _!} Damit lautet die Transformation von fP in ihre Eigenrichtungen:
(A 1.44)
Die Matrix fP* beschreibt das Nachgiebigkeitsverhalten des Elementes fiir die neuen Variablen
(Al.45)
d.h. fiir symmetrische und antimetrische Stabendvariablen.
A1.6 Literatur 317
Literatur
A1.1. Zunniihl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen, 4. Aufiage. Springer-Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg 1964.
A 1.2. Zunniihl, R., Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen fUr Angewandte Mathematiker, Physiker und Ingenieure, Teil 1 und 2, 5. Auftage. Springer-Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg 1984.
A1.3. Engeln-MiiUges, G., Reutter, F.: Fonneisammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN 77-Programmen, 6. Aufiage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zurich 1988.
Al.4. Ayers, F.: Matrices. Schaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, New York 1962. A 1.5. Herschel, F.G.: Methoden der Ingenieunnathematik. Beitrag im Stahlbau Handbuch, Band 1, 2.
Auftage. Stahlbau-Veriags-GmbH, Koln 1982. A 1.6. Tomig, W.: Numerische Mathematik fUr Ingenieure und Physiker, Band 1 und 2. Springer-
Verlag, Beriin/HeidelbergiNew York 1979. A1.7. Bjork, A., Dahlquist, G.: Numerische Methoden. Verlag R. Oldenbourg, Munchen 1979. A1.8. Stoor, J. und Stoor, J., Bulirsch, R.: EinfUhrung in die Numerische Mathematik I und II, 2.
Auftage. Springer-Verlag, Berlin/HeidelbergiNew York 1976.
Anhang 2: Matrizencodes
A2.1 Allgemeine Erliuterungen
Matrizencodes oder Matrizeninterpretationssysteme [A2.1, A2.2, A2.3] fiihren Matrizenoperationen in Computem aus. Sie bestehen aus Operationsfolgen der linearen Algebra und Strukturmechanik. Eine einzelne Operation transformiert einen oder mehrere zu benennende Matrixoperanden in eine Ergebnismatrix, zumeist unter Angabe zusiitzlicher Steuerparameter.
Jede Matrizenoperation wird in einem zugehOrigen Programm-Modul durch Aufruf seines Namens und der Namen der Operanden (sowie durch Nennung eventueller Steuerparameter) aktiviert. Daher bilden die Modulnamen gleicbzeitig die syntaktischen Elemente einer dem Code zugeordneten symbolischen Sprache; die Aneinanderreihung dieser Namen ergibt das Programm. Ein zentraler Ver-waltungsmodul identifiziert Operatoren und Operanden, er organisiert die ge-wiinschten Zuordnungen, verwaitet den Arbeitsspeicher und spiirt logische Fehler auf [A2.4, A2.6].
Die Verkniipfung der erwiihnten Sprachelemente zu einem individuellen Ab-laufschema, dem Programm, ergibt sich unmittelbar aus dem strukturmechani-schen Algorithmus: die Modulaktivierung erfolgt im Sinne eines interpretativ arbeitenden Ubersetzungsvorganges. Jeder Modul besitzt datentechnisch nur einen Ein- und Ausgang; Modulverkniipfungen erfiillen aile Eigenschaften eines struktu-rierten Algorithmus [A2.5]. Der von uns in diesem Buch fiir die Darstellung eiiriger Grundalgorithmen verwendete Matrizencode MSD-micro [A2.7] wurde in FORTRAN 77 codiert und baut auf dem Hilfsmittel der Precompilertechnik auf. MSD-micro ist auf allen Mikrocomputern mit den Compilerversionen ~ 3.30 von MS-FORTRAN lauifahig.
A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro
1m folgenden werden die in diesem Buch aufgefiihrten sowie weitere Anweisungen von MSD-micro in einer Kurzform erliiutert. Zur ErhOhung der Ubersichtlichkeit wurde auf die Angabe aller Steuerparameter verzichtet; der hieran interessierte Leser sei auf [A2.7] verwiesen.
A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro 319
Systemanweisungen: START Loschen des Arbeitsspeichers LOAD Einlesen einer Matrix in den Arbeitsspeicher PRINT Ausdrucken einer Matrix STOP Beendigen eines Programmlaufs
Algebraische Matrizenoperationen: ADD Addition zweier Matrizen SUB Subtraktion einer Matrix von einer anderen TRANS Transponieren einer Matrix MAMUL Multiplikation zweier Matrizen SCALE Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ZERO Bildung einer Nullmatrix DUPL Duplizieren einer Matrix EXRC Zeilen- und Spaltentausch in einer Matrix
Untermatrizenoperationen: DELRC Bildung einer Untermatrix durch Loschen von Zeilen und Spalten
STOSM ADDSM RMVB SELECT
einer Matrix Abspeichern einer Untermatrix in einer Matrix Addition einer Untermatrix in eine Matrix Extrahieren einer Untermatrix aus einer Matrix Aussondern von Elementen aus einer Spalte
Gleichungsloser: SOLVE Losung eines linearen Gleichungssystems INVERT Inversion einer nichtsinguHiren Matrix PSINV Bildung der Halbinversen einer zeilenregularen Rechteckmatrix CHOLl Dreieckszerlegung einer Matrix nach CHOLESKY CHOL2 Losung eines linearen Gleichungssystems nach Dreieckszerlegung
durch Vorwartseinsetzen CHOL3 wie vor, jedoch durch Riickwartseinsetzen
Stabstatikoperationen: ADDSTF Einbau von Element-Steifigkeitsmatrizen in eine Gesamt-Steifig-
FORMF FORMK CONDEN ROTATE
ELSTIF
keitsmatrix Bildung einer Element-Flexibilitatsmatrix Bildung einer Element-Steifigkeitsmatrix Kondensation einer Steifigkeitsmatrix Berechnung der Drehtransformationsmatrix ce eines Elementes aus den Element-Knotenbeziehungen und den Knotenkoordinaten Berechnung von k; aus den Elementdaten, den Element-Knotenbe-ziehungen und den Knotenkoordinaten
320 Anhang 2: Matrizencodes
Literatur
A2.1. Wilson, E.L.: SMIS-Symbolic Matrix Interpretive System. University of California, Berkeley, Department of Civil Engineering, Division SESM, Report No. 73-3, 1973
A2.2. Hahn, W., Mohr, K.: APL/PCXA, Erweiterung der IEEE-Arithmetik fur technisch-wissenschaft-Iiches Rechnen. C. Hanser Verlag, Munchen 1988
A2.3. Wilson, E.L.: CAL 78-Computer Analysis Language. University of California, Berkeley, Depart-ment of Civil Engineering, Division SESM, Report No. 79-1, 1979
A2.4. Kratzig, W.B., Metz, H., Schmid, G., Weber, B.: Mlss-SMls; Ein Matrizeninterpretationssystem der Strukturmechanik fur Praxis, Forschung und Lehre. Techn.-wiss. Mitteilungen Nr. 77-5 des IKIB, Ruhr-Universitiit Bochum 1977
A2.5. Mills, H.D.: Mathematical foundation for structured programming. Report No. FSC 72-6012, IBM Federal Systems Division, Gaithersburg/Maryland 1972
A2.6. Kratzig, W.B., Weber, B.: Modulare Programmsysteme a1s alternatives DV-Konzept in der Statik und Dynamik der Tragwerke. Die Bautechnik 60 (1983), H.3, S. 92-97
A2.7. Weber, B. et al.: MSD-micro; Matrizencode der Statik und Dynamik auf Mikrocomputern. Benutzerhandbuch 6.04, Institut fUr Statik und Dynamik, Ruhr-Universitat Bochum 1988
Sachverzeichnis
Abbruchfehler, 300 Abziihlkriterium, 3 Aul3ere Kinematen, 61, 191, 160 Akkumulationsfehler, 300 Auflagergrol3en, 62, 94, 100, 160 Aufpunkt, 46, 51, 207 Ausgabephase, 282 Automatic Structure Cutter, 154
Bandmatrix, 308 Bandstruktur, 294 Bandweiten-Optimierung, 295 Basis, rechtshiindige kartesische
globale, 58, 159 lokale, 59, 159
Berechnungsphase eines Programmsystems, 282 Biege1inienermittlung, 44, 101, 126
Definitheit von Matrizen, 308 Deformationsmethode, 198 Diagonaldominanz, 212 Direkte Steifigkeitsmethode, 260
Algorithmus, 285 Tragwerksmodell, 272
Diskontinuitiit, 7 Diskretisiertes Tragwerksmodell
direkte Steifigkeitsmethode, 275 Kraftgrol3enverfahren, 91 VVeggrol3enverfahren, 177 VVeggrol3enverfahren mit vollstiindigen inneren
Variablen, 245 Drehtransformation
ebener Stabelemente, 71, 266 riiumlicher Stabelemente, 73, 270
Drehungsanteil, 221 Drehungsfaktor, 221 Drehwinkelverfahren, 197
Algorithmus, 203 Iterationstechniken, 217
Dreiecksmatrix, 309 Dynamische Vertriiglichkeitsmatrix, 92
Eigenspannungen, 12 Eigenwertaufgabe, 141, 314
EinfluBinformationen von b, 100, 126 EinfluBlinien
Ermittlung, 44, 203 fUr VVeggrol3en, 44, 102, 126 fUr Kraftgrol3en, 47, 50, 101, 126 fUr statisch Unbestimmte, 53
Eingabefehler, 299 Eingabephase,282 Einheitszustiinde,7, 11, 112
Gruppen, 137 kompakte, 154 verallgemeinerte, 135
Einmischvorgang, 265, 277 Einzelverformungen, 39, 101 Elastizitiitsgleichungen, 10, 26, 113
Losungskontrollen, 15 Losungsstabilitiit, 37
Elastizitiitsmatrix, 26, 29 Element-
Knotenbeziehungen, 283 Nachgiebigkeitsbeziehung, 77 Nachgiebigkeitsmatrix, 79 Steifigkeitsbeziehung, 162, 243 Steifigkeitsdaten, 283 Steifigkeitsmatrix, 163, 195, 240
Eliminationsverfahren, 33 Energiesatz, 87 Ergiinzungszustand, 12 Ergebniszuveriiissigkeit, 299 Extremalsatz von CASTIGLIANO, 30
Fehlerdiagnose, 15 Fehlermoglichkeiten, 299 Feld-Ubertragungsbeziehung, 288 Festhaltekraftgrol3en, 167
globale, 265 unabhiingige, 170, 234 vollstiindige, 236, 254
Festigkeit, 2 Flexibilitiitsmatrix
aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamt-,92
322 Sachverzeichnis
Formanderungsarbeit,4O F ortIeitungszahl, 226 Freiheitsgrade
aktive, 110 innere, 297 Koppel-, 297 reduzierte, 132 wesentliche, 60 zusatzliche kinematische, 111
Gesamt-Nachgiebigkeitsbeziehung, 92, 112 Steifigkeitsbeziehung, 179, 245 Ubertragungsgleichung, 292
Gleichgewicht Formulierungsvarianten, 93 Kontrollen, 15
Gleichgewichtsmatrix, 66, 92 Gleichgewichtstransformation, 68, 90, 176 Globale Elementsteifigkeiten, 265 Globale VolleinspannkraftgriiBen, 265 Gruppen von Einzelwirkungen, 137
Hauptsysteme automatische Wahl, 149 kinematisch bestimmte, 172 statisch bestimmte, 7, 110 statisch unbestimmte, 48, 144 unterschiedliche, 137
Inzidenzmatrix, 72, 263 Inzidenztabelle, 276, 283 Innere Zwangsbedingungen, 132 Iterationstechniken beim Drehwinkelverfahren,
217 Iterationsvorschrift nach GAUSS-SEIDEL, 219
Kinematische Bestimmtheit, 172 Bindungen,4 Ermittlung der Lagerreaktionen, 261 Formfunktionen, 231 Freiheitsgrade, wesentIiche, 60 Kette, zwangslaufige, 214 Kompatibilitat, 169 Vertraglichkeitsmatrix, 172 Zulassigkeit, 235
Knoten-drehwinkel, 75, 199 gleichgewichtsbedingungen, 3, 65 gleichungen, 202, 209 lasten,61
Knotenpunkt, 58, 159 Knoten-
steifigkeit, 211 weggriiBen, 75, 160 zusatzlasten, 83, 183 iibertragungsbeziehung, 288
KonditionsmaB, 38 Konformitat, 232
Kongruenztransformation, 92, 142, 179,311 Kontinuitatsbedingung, 10 Kontragredienz, 72, 90, 174 Kopplung von Freiheitsgraden, 135 KraftgriiBen
auBere, 61, 160 innere, 65, 76, 160
KraftgriiBenverfahren reduzierter Algorithmus, 119 Standardalgorithmus, 115, 122
Lagerreaktionen, 62, 94 Lagerungsbedingungen, 283 Lastgruppenverfahren, 138 Lastvektor, 290 Lastzustand, 7, II, 112
verallgemeinerter, 135
Makroelementtechnik, 297 Matrix
der Pik-Zahlen, 35 der 0ik-Zahlen, 29 Norm, 312 quadratische, 307 symmetrische, 308
Matrizencodes, 123, 183, 318 Modalmatrix, 315 Momentenausgleichsverfahren
von CROSS, 225 von KANI, 220
Nachgiebigkeit, 161 Nachgiebigkeitsmatrix, 29
aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamtstruktur, 92
Nebenbedingungen, 4, 65 Netzgleichung, 213 Normen von Vektoren und Matrizen, 315
Orthogonalisierungsverfahren, 141 Orthogonalitat
der Drehtransformationsmatrizen, 267 der Einheitszustande, 16, 41, 140 von Matrizen, 71, 311
Orthonormierungsbedingung, 142
Parallelschaltung von Elementen, 165 Positive Definitheit
der Element-Flexibilitatsmatrix, 79 der Element-Steifigkeitsmatrix, 163
Postprocessing, 282 Potential, 230
konjugiertes, 130 Preprocessing, 282 Prinzip
der virtuellen KraftgriiBen, 39, 87 der virtuellen WeggriiBen, 87, 175
Programm-alterung, 300 fehler, 299 system, 292
Pseudo-Inversion, 153,311
Quadratische Matrix, 307
RAYLEIGH-RITZ-Verfahren, 232, 238 Reduktionssatz, 40, 125 Reduzierte Element-Steifigkeitsmatrix, 163 Regularitiit, 307
der Element-Nachgiebigkeit, 79 der Element-Steifigkeit, 163
Reihenschaltung von Elementen, 79, 165 Relaxationsfaktoren, 220 Relaxationsverfahren, 219 Riegelverschiebungsfreiheitsgrad, 214 Rundungsfehler, 300
Schnittgro8en-Zustandslinien,7, 100 Approximationen, 132
Schnittuferklaffung, 7, 11 Schubweichheit, 80, 165 Sekundiirstruktur, 83, 184 Semi-Definitheit der vollstiindigen Stabsteifigkeit,
239 Singularitiit
der Gesamt-Steifigkeitsmatrix, 260 der vollstiindigen Elementsteifigkeit, 239
Stabdrehwinkel, 75, 199 Stabeinwirkungen, 82, 167, 250 Stabelement, 58, 80, 159, 166,242
nichtprismatisches, 190 Stabendkraftgro8en, 63
abhiingige, 63 globale, 71, 266 unabhiingige, 65, 160 vollstiindige, 69
Stabendmomentenbeziehungen, 199 Stabendtangentenwinkel, 75 Stabendverformungen, 84, 88
lastabhiingige, 84 temperaturbedingte, 85
Stabendweggro8en, 73 abhiingige, 76 globale, 266 vollstiindige, 74 unabhiingige, 76, 160
Stabilitiit, 2 Stabliingung, 75 Stabsteifigkeit, 200 Standard-Kraftgro8enalgorithmus, 115 Standard-Weggro8enalgorithmus, 181, 183 Starrkorperbedingung, 232 Statische Unbestimmtheit, 2, 110 Statische Zuliissigkeit, 131 Statisch-geometrische (kinematische) Analogie,
90, 176
Sachverzeichnis 323
Statisch Uberziihlige, 7, 110 Statisch Unbestimmte, 7 Steifigkeit, 2, 161
eines Gelenkstabes, 200 eines Normalstabes, 200
Steifigkeitsmatrix aller Elemente, 166,244 eines Elementes, 163 Gesamt-, 179 globale, 268 reduzierte, 163, 233 vollstiindige, 236, 242
Substrukturen Methode der, 297 starre, 135
Triigerrost, 97, 103 Tragstruktur, 1 Tragwerke mit
unverschieblichem Knotennetz, 201 verschieblichem Knotennetz, 212
Tragwerksmodell, 1 diskretisiertes, 58, 91, 159, 177, 245, 275
Transformation Gleichgewichts-, 65, 176 kinematische, 86, 172
Transposition, 309
Ubertragungsverfahren, 286 Ungleichgewichtsmomente, 218 Untermatrix, 307
Vektornorm, 312 Verformungskompatibilitiit, 90, 169, 176 Verformungskontrollen, 15 Verschiebungsfeldapproximation, 232 Verschiebungsgleichung, 213 Verteilungszahl,277 Volleinspannkraftgro8en
globale, 265 unabhiingige, 168 vollstiindige, 236, 254
Volleinspannmomente, 200, 219, 226 Vollstiindigkeit, 232 Vorzeichenkonvention II, 163
Wechselwirkungsenergie, 76, 81, 91, 161 WeggroBen
iiuBere, 59, 160 innere, 73, 76, 80
Zeilendefizit von g, 11 0 Zustandsgro8en
iiuBere, 59, 160 innere, 63, 73, 160
Zustandsinformationen von b, 100, 126 Zwangskraftzustand, 12
Anteil der StabendkraftgroBen, 113 Zwangsliiufige kinematische Kette, 214
W. Tiimig, P. Spellucci
Numerische Mathematik fur Ingenieure
und Physiker Band 1
Numerische Methoden der Algebra 2.liberarb. u. erg. Aufl. 1988. XV, 345 S. 15 Abb. Brosch. DM 58,-ISBN 3-540-19192-5
Inhaltsiibersicht: Hilfsmittel, Nullstellenberechnung bei Gleichungen. -Lasung linearer Gleichungssysteme. - Lasung nichtlinearer Gleichungs-systeme. - Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. - Literatur-verzeichnis. - Sachverzeichnis.
Band 2
Numerische Methoden der Analysis 2., liberarb. u. erg. Aufl. 1990. XIV, 471 S. 50 Abb. Brosch. DM 68,-ISBN 3-540-51891-6
Inhaltsiibersicht: Interpolation, Approximation und numerische Integra-tion. - Numerische Lasung von gewahnlichen Differentialgleichungen. -Numerische Lasung von partiellen Differentialgleichungen. - Literatur-verzeichnis. - Sachverzeichnis.
Dieses zweibfuldige Werk ist ein Lehr-und Nachschlagewerk. Es will Ingenieure und Naturwissenschaftler mit der Auswahl von solchen efftzienten numeri-schen Verfahren vertraut machen, die bei der Lasung von technischen und natur-wissenschaftlichen Aufgaben von Bedeu-tung sind.
R. Zurmiihl, S. Falk
Matrizen und ihre Anwendungen fur Angewandte Mathematiker, Physiker und ingenieure
5., Uberarb. und erw. Aufl.
Tei11
Grundlagen 1984. XIV, 342 S. 53 Abb. Geb. DM 98,- ISBN 3-540-12848-4
Inhaltsiibersicht: Der MatrizenkalkUl. - Lineare Gleichungen. - Quadrati-sche Formen nebst Anwendungen. - Die Eigenwertaufgabe. - Struktur der Matrix. - Blockmatrizen. - SchluBbemerkung. - Weiterfiihrende Literatur. -Namen- und Sachverzeichnis.
Tei12
Numerische Methoden 1986. xv, 476 s. 103 Abb. Geb. DM 128,- ISBN 3-540-15474-4 Inhaltsiiberischt: GrundzUge der Matrizen-numerik. - Theorie und Praxis der Transfor-mationen. - Lineare Gleichungen und Kehr-matrix. - Die lineare Eigenwertaufgabe. - Die nichtlineare Eigenwertaufgabe. - Matrizen in der Angewandten Mathematik und Mechanik. - Literatur zu Tei11 und Teil2. - Namen- und Sachverzeichnis.
Dieses Standardwerk ist geschiitzt wegen seiner praxisnahen, klaren Sprache bei gleich-zeitig praziser Darstellung. Es wurde aktuali-siert, ohne die bisher geschiitzten VorzUge aufzugeben; wegen der damit verbundenen inhaltlichen Erweiterung wurde eine Zweitei-lung vorgenommen.