Numerische Mathematik

0 – Organisatorisches

Version 02.10.2017

Thorsten Struckmann

0 Organisatorisches

• Numerische Mathematik

• Kursziele

• Kursinhalte

• Ablauf

• Literatur

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 2

Über mich …

Lehre• Mathematik• Numerische Mathematik• Angewandte Informatik• Physik• Elektrochem. Energiespeicher

F & E

• Elektrochemie• Redox-Flow-Batterien

• Raum: F 321

• E-Mail: thorsten.struckmann@haw-hamburg.de

• Web: http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Struckmann/

• Sprechstunde: n.V.

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Software & Finanzen

World GDP scenarios

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1995 2000 2005 2010 2015

Quarks & Co Hintergrund

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Beispiel – Numerische Simulation der Strömung um Tragfläche

Numerische Mathematik?

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 5

Numerische Mathematik – Näherungsweise Berechnung von Gleichungslösungen, Funktionswerten, Integralen, … auf Computern, weil …• … die Größen nicht analytisch berechenbar sind • … die Rechnung von Hand auf Grund des Aufwands und der gewünschten Zuverlässigkeit

nicht in Frage kommt.

Numerik, Mathematik, Informatik, Technik, Computing,…

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 6

• Geeignete Näherungs- bzw. Diskretisierungsmethoden für mathematische Probleme liefern

• Konvergenz der numerischen Lösung zur „echten Lösung“ beurteilen

• Numerische Methoden in effiziente und stabile Algorithmen übersetzen

• Ergebnisse verifizieren

Elemente der Mathematik und Informatik

Ziele der Numerischen Mathematik

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 7

Was will dieser Kurs?

Dieser Kurs ist …• … eine Einführung in die Grundlagen der Numerischen Mathematik.• … eine Darstellung von ausgewählten, numerischen Methoden und Algorithmen als

Bausteine zur Lösung komplexer Probleme.

Kompetenzen – Sie können …• … in typischen Anwendungssituationen eine geeignete Numerische Methode

begründet auswählen.• … ausgewählte Numerische Methoden …

• … als Verfahren zur Lösung typischer Probleme des wissenschaftlichen Rechnens erläutern und anwenden.

• … in einer höheren Programmiersprache (MATLAB) implementieren und anwenden.• … in Bezug auf Verfahrensfehler, Störungsempfindlichkeit (Stabilität) und Effekte in

speziellen Situationen beschreiben.• … in Bezug auf deren Effizienz abschätzen.

• … Rundungsfehler & Fortpflanzung von Rundungs- und Datenfehlern abschätzen.• … die Störungsempfindlichkeit (Kondition) typischer Numerischer Probleme abschätzen.

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 8

1 Grundlagen

1. Gleitpunktarithmetik

2. Fehlerfortpflanzung

Kursinhalte

3 Lineare Gleichungssysteme

1. Direkte Verfahren

2. Iterative Verfahren

3. Eigenwerte und Eigenvektoren

4 Interpolation und Approximation

1. Interpolation mit Polynomen

2. Trigonometrische Interpolation

3. Ausgleichsrechnung

5 Differentiation und Integration

1. Numerische Differentiation

2. Numerische Integration

6 AWP für gewöhnliche Dgl

1. Euler-Verfahren

2. Runge-Kutta-Verfahren

2 Nichtlineare Gleichungen

1. Nullstellenbestimmung

2. Nichtlineare Gleichungssysteme

7 Rückblick

1. Probeklausur und Wiederholung

2. Klausur

0 Organisatorisches

Kursziele, Ablauf, Literatur

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 9

Kursablauf

• Workload: 5.0 Credit Points

– Präsenzstudium 3+1 SWS

– Selbststudium!!!!!!!

• Lehrveranstaltungstermine

– Sem. Unterricht: Donnerstag 10.00 – 13:45 Uhr Raum F 310

– Labor: Dienstag 12.15 – 15.30 Uhr Raum F 304, ab 17.10.

• Anwesenheit in ≥6 Vierteln erforderlich

• Vorstellung von Lösungen im Labor erforderlich

• Einteilung: 12.10.

• Unterlagen

– EMIL-Lernraum: Numerische Mathematik (Str) W17

– MuP-Homepage

• Übungsaufgaben: Skript, Laboraufgaben, Begleit-Literatur

• Prüfungsform Klausur

– Termin: Mo, 19.02., 08:30 (90 Minuten)

– Inhalt: Ähnlich den Übungs- und Laboraufgaben, Bestehen: Mindestens 50% Punkte

– Zugelassene Hilfsmittel

• Selbst erstellte Formelsammlung (6 Seiten)

• wiss. TR, keine programmierbaren oder CAS-Rechner

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 10

Termine

SW KW Tag sU sU-Nr Inhalt sU Tag Labor L-Nr Gruppen Inhalt Labor

1 41 12. Okt 1 Grundlagen 10. Okt - -- --2 42 19. Okt Dienstreise 17. Okt 1 A,B 1.1+1.23 43 26. Okt 2 Nichtlineare Gleichungen 24. Okt 1 C,D 1.1+1.24 44 02. Nov 3.1 Direkte Verfahren 31. Okt -- Feiertag5 45 09. Nov 3.2 Iterative Verfahren 07. Nov 2 C,D 2.1+2.2

6 46 16. Nov 3.3Eigenwerte und Eigenvektoren 14. Nov 2 A,B 2.1+2.2

7 47 23. Nov 4.1 Interpolation mit Polynomen 21. Nov 3 C,D 3.1+3.2

8 48 30. Nov 4.2Trigonometrische Interpolation 28. Nov 3 A,B 3.1+3.2

9 49 07. Dez 4.3 Ausgleichsrechnung 05. Dez 4 C,D 3.3+4.110 50 14. Dez 5.1 Numerische Differentiation 12. Dez 4 A,B 3.3+4.111 51 21. Dez 5.2 Numerische Integration 19. Dez 5 C,D 4.2+4.312 2 11. Jan 6 AWP für gew Dgl 09. Jan 5 A,B 4.2+4.3

13 3 18. Jan 7.1Probeklausur und Wiederholung 16. Jan 6 C,D 5.1+5.2

14 4 25. Jan L-Reserve 23. Jan 6 A,B 5.1+5.2

15 5 01. Feb L-Reserve 30. Jan 7L-Reserve 6.1+6.2

18 8 19. Feb 7.2 Klausur (08:30)

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 11

Literatur - Lehrbücher

• M. Knorrenschild: Numerische Mathematik - Eine beispielorientierte Einführung.Hanser Verlag, 5. Auflage 2013 (14.90€!!)

• A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB. Springer Verlag, 2005

• W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, 2. Auflage 2007

• H. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik.Springer Verlag, 8. Auflage 2011

• C. Moler, Numerical Computing with MATLAB. Electronic edition: The MathWorks, Inc., Natick, MA, 2004. http://www.mathworks.com/molerPrint edition: SIAM, Philadelphia, 2004. http://www.ec-securehost.com/SIAM/ot87.html

• G.R. Lindfield, J.E.T. Penny: Numerical Methods Using MATLAB.Elsevier, 3rd Edition 2012

• …

Als eBooks über HAW-Bibliothek oder online erhältlich

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 12

1 Grundlagen

1.1 Gleitpunktarithmetik• Datentypen

• Gleitpunktzahlen

• Rechengeschwindigkeit

1.2 Fehler und Fehlerfortpflanzung• Fehlerquellen in der Modellierung

• Absoluter und Relativer Fehler

• Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit

• Fehlerfortpflanzung bei ungenauen Eingabedaten

• Verfahrensfehler

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 13

2 Nichtlineare Gleichungen

2.1 Iterative Nullstellenbestimmung• Gleichungen und Nullstellen

• Bisektion

• Fixpunktiteration

• Newton-Verfahren

• MATLAB – fzero

2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme• Newton-Verfahren für Systeme

• Fixpunktiteration

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 14

3 Lineare Gleichungssysteme

3.1 Direkte Verfahren• Rückblick Gauss-Verfahren

• Dreieckszerlegungen: LU-Zerlegung

• Pivotisierung

• Kondition und Fehlerfortpflanzung

3.2 Iterative Verfahren• Jakobi, Gauss-Seidel, SOR

• Fixpunkt-Verfahren und Abbruchkriterien

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren• Extreme Eigenwerte – Potenzverfahren

• Alle Eigenwerte – QR-Verfahren

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 15

4 Interpolation und Approximation

4.1 Interpolation mit Polynomen• Polynominterpolation

• Splineinterpolation (Linear, Kubisch)

4.2 Trigonometrische Interpolation• Periodische Funktionen und Fourier-Reihen

• Interpolation durch trigonometrische Funktionen

• Anwendungen

4.3 Ausgleichsrechnung - Approximation• Ausgleichsproblem und Fehlerfunktional

• Lineares Ausgleichsproblem (Lineare Regression)

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 16

5 Numerische Differentiation und Integration

5.1 Differentiation• Differenzenformeln für 𝑓‘

• höhere Ableitungen

• partielle Ableitungen

• Fehlerordnung

5.2 Integration• Rechteck-, Trapez- und Simpsonregel

• Quadraturfehler

• Gauss-Quadratur

• Adaptive Quadratur

• Numerische Integration in MATLAB

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 17

6 AWP für gewöhnliche Dgl

6.1 Euler-Verfahren• AWP und Richtungsfeld

• Euler-Verfahren

• Lokaler und globaler Fehler

• Systeme von Dgl und Dgl höherer Ordnung

6.2 Runge-Kutta-Verfahren• Heun-Verfahren

• Varianten des Runge-Kutta-Verfahrens

• Schrittweitensteuerung

• Anfangswertprobleme in MATLAB

Numerische Mathematik WS1718 - Struckmann 18