Analysis 1/2

Jurgen Grahl, WS 2018/19 und SS 2019

Version: 15. Oktober 2018 – Kapitel 1

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Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkungen 7

Einleitung und Ermutigung 8

Stoffverteilungsplan 13

I Grundlagen 14

1 Das Prinzip der vollstandigen Induktion und einige Anwendungen 161.1 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Die geometrische Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Die reellen Zahlen 262.1 Die algebraische Struktur der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Die Ordnungsstruktur der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Die metrische Struktur der reellen Zahlen: Absolutbetrag und euklidischer

Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Das Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Eine exakte Definition der naturlichen Zahlen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Vergleich der rationalen und der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Die komplexen Zahlen und die Raume Rn und Cn 543.1 Warum komplexe Zahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Konstruktion der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Rn und Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Metrische Raume 64

II Konvergenz und Stetigkeit 70

5 Konvergenz von Folgen 705.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Der Begriff der Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Regeln fur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Einige wichtige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2

6 Konvergenzkriterien fur Folgen 856.1 Beschrankte und monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 Haufungswerte und der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . 876.3 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7 Unendliche Reihen 967.1 Nur eine Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2 Die geometrische, die harmonische und die Exponentialreihe . . . . . . . . . 977.3 Allgemeine Konvergenzkriterien fur Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.4 Kriterien fur absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.6 Produkte von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.7 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.8 Partielle Summation und das Abelsche Konvergenzkriterium∗ . . . . . . . . . 121

8 Ein wenig Topologie 1248.1 Haufungspunkte von Mengen und Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . 1248.2 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9 Stetige Funktionen 1309.1 Der Begriff der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2 Das Folgenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.3 Bildung neuer stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.4 Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.5 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.6 Uneigentliche und einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10 Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen 15010.1 Bilder kompakter Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2 Topologische Kennzeichnung der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.4 Umkehrfunktionen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11 Gleichmaßige Konvergenz 16211.1 Punktweise und gleichmaßige Konvergenz und die Stetigkeit der Grenzfunktion16211.2 Kriterien fur gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.4 Der Abelsche Stetigkeitssatz∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3

12 Spezielle Funktionen 182

12.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.2 Der naturliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.3 Allgemeine Potenzen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.4 Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . 188

12.5 Die Kreiszahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12.6 Der Fundamentalsatz der Algebra∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13 Vertiefte topologische Betrachtungen 207

13.1 Bild und Urbild von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.2 Weitere topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

13.3 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

13.4 Gleichmaßige Stetigkeit und Dehnungsbeschranktheit . . . . . . . . . . . . . 225

13.5 Der Banach’sche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

13.6 Ausblick: Topologische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

III Differential- und Integralrechnung einer Variablen 232

14 Differenzierbarkeit 232

14.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

14.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

14.3 Hohere Ableitungen und stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 246

15 Die Mittelwertsatze der Differentialrechnung und Folgerungen daraus 250

15.1 Lokale Extrema und stationare Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

15.2 Die beiden Mittelwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

15.3 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

15.4 Konvexe Funktionen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

15.5 Zwischenwertsatz fur Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

15.6 Regeln von Bernoulli und de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

16 Stammfunktionen und Integrationstechniken 273

16.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

16.2 Partielle Integration und Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

16.3 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4

17 Das Riemann-Integral 28317.1 Intervallzerlegungen und Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28317.2 Definition des Riemann-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28617.3 Operationen mit integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29217.4 Die Integrierbarkeit der stetigen und der monotonen Funktionen . . . . . . . 297

18 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 299

19 Grenzwertvertauschung bei der Differentiation und Integration 30619.1 Vertauschung der Integration mit Grenzubergangen . . . . . . . . . . . . . . 30619.2 Vertauschung der Differentiation mit Grenzubergangen . . . . . . . . . . . . 309

20 Taylorpolynome und Taylorreihe 31320.1 Lokale Approximation durch Taylor-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 31320.2 Taylorsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31520.3 Die Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

21 Uneigentliche Riemann-Integrale 32621.1 Definition uneigentlicher Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32621.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

22 Wege, Kurven und ihre Lange∗ 33422.1 Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33422.2 Die Lange von Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33922.3 Funktionen von beschrankter Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34422.4 Parametertransformationen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

IV Differentialrechnung in mehreren Variablen 349

23 Benotigte Hilfsmittel aus der Linearen Algebra∗ 34923.1 Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34923.2 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35123.3 Normierte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

24 Partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit 36024.1 Partielle Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen - Auf der Suche nach

dem ”richtigen“ Differenzierbarkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36024.2 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36324.3 Die Ableitung und die Jacobi-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

5

24.4 Rechenregeln fur Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37024.5 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37224.6 Niveaumengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

25 Hohere Ableitungen und lokale Extrema 37925.1 Die Reihenfolge partieller Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37925.2 Die Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38325.3 Bestimmung von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

26 Der Satz uber lokale Umkehrbarkeit und der Satz uber implizite Funktio-nen 39626.1 Der Satz uber lokale Umkehrbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39626.2 Der Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40226.3 Beispiele und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Literatur 413

Index 413

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Vorbemerkungen

Bei der Erstellung des vorliegenden Skripts wollte ich bewusst nicht das Rad neu erfinden,sondern aus zahlreichen hervorragenden Vorlagen das aus meiner Sicht Gelungenste zusam-menstellen. In erster Linie basiert es auf den Vorlesungsausarbeitungen von G. Kohler, ausdenen ich selbst die Analysis gelernt habe. Eine unschatzbare Erleichterung war es fur mich,dass mir Herr Kohler den LATEX-Quellcode seines Vorlesungsskripts sowie die zugehorigenGrafiken zur Verfugung gestellt hat; auch die meisten der Abbildungen in diesem Skriptgehen auf ihn zuruck. Daruberhinaus habe ich – neben eigenen Vorstellungen und Erfahrun-gen – zahlreiche Anregungen aus anderen Analysis-Texten einfließen lassen. Insbesonderedie Vorlesungsskripten von C. Kanzow, F. Moller, H. Pabel, O. Roth und J. Steuding sowiedie Bucher von E. Behrends und H. Heuser waren in dieser Hinsicht sehr inspirierend furmich, und ich verdanke ihnen eine Menge. Insofern beansprucht dieses Skript in keiner WeiseOriginalitat.Sehr habe ich von den Kommentaren und Anregungen kritischer Leser profitiert. Insbeson-dere Frank Feustel, Florian Moller, Daniel Pohl und Melina Kienle-Garrido danke ich furzahlreiche wertvolle Verbesserungsvorschlage.Um die geistige Vernetzung der einzelnen Themen zu erleichtern, sind in großem Um-fang Querverweise in das Skript eingearbeitet. Bei der PDF-Version des Skripts lassensich diese Verweise in den meisten gangigen PDF-Betrachtern als Hyperlinks benutzen, d.h.durch Anklicken springt man direkt an die verlinkte Stelle. (Unter Okular muss man hier-zu zunachst in den Navigations-Modus wechseln.) Zuruck zur zuvor betrachteten Seite ge-langt man z.B. unter Adobe Reader mit der Tastenkombination Alt+←, unter Okular mittelsAlt+Umschalt+←. – Damit ist nicht gesagt, dass das Skript hauptsachlich zum Lesen amBildschirm gedacht ist: Augenschonender ist es sicherlich, es auszudrucken und ganz ”altmo-disch“ zwischen den Verweisen hin- und herzublattern .Aus Zeitgrunden konnen einige wenige Themen nicht bzw. nur kursorisch in der Vorlesungbehandelt werden. Sie sind durch Sternchen (∗) gekennzeichnet. Fur das Verstandnis derubrigen Vorlesung sind diese Abschnitte nicht erforderlich, und sie sind auch fur die Semes-terabschlussklausuren bzw. spater fur die mundlichen Prufungen nicht relevant. Dennochhandelt es sich um wichtige Themen, die durchaus zur mathematischen ”Allgemeinbildung“zahlen; daher empfehle ich – auch im Hinblick auf das weitere Mathematik-Studium –, dieseInhalte in einer ruhigen Stunde (z.B. in den Semesterferien) durchzuarbeiten.

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Einleitung und Ermutigung

Ein Fremder in New York: ”Konnen Sie mirsagen, wie ich zur Carnegie Hall komme?“Antwort: ”Uben, uben, uben“.1

Das Mathematikstudium steht nicht gerade im Ruf, ein ubermaßig einfaches Studium zusein, und insbesondere die Umstellung von der Schulmathematik auf die universitare Mathe-matik bereitet erfahrungsgemaß der Mehrzahl der Studienanfanger Schwierigkeiten. Als umso entmutigender, ja mitunter provokanter wird es daher oft empfunden, wenn sich in Vorle-sungen und Lehrbuchern Floskeln wie ”Offensichtlich gilt. . .“, ”wie man leicht einsieht“, ”DieGultigkeit der Behauptung ist klar“ oder ”Der Beweis ist trivial und wird daher dem Leserals leichte Ubung uberlassen“ aneinanderreihen. Das vorliegende Skript bemuht sich, diesen(fur den Autor bequemen, fur den Leser hingegen um so unbequemeren und frustrierenden)Stil so weit wie moglich zu vermeiden, alle Uberlegungen ausfuhrlich zu erlautern und aufdiese Weise moglichst flussig lesbar zu sein.Aber auch ein noch so ausfuhrliches Skript und noch so umfangreiche Erlauterungen wahrendder Vorlesung ebenso wie alle begleitenden Hilfsangebote in Form von Ubungsaufgaben undTutorien konnen es naturlich nicht ersparen, die jeweiligen Inhalte eigenstandig zu durch-denken und sich anzueignen. Das erste zentrale Element beim Studium der Analysis (wie auchjeder anderen Mathematik-Vorlesung) besteht daher darin, das Vorlesungsskript zuhausein Ruhe und mit Muße grundlich durchzuarbeiten (nicht etwa nur fluchtig durchzulesen).Der dafur erforderliche Zeitaufwand wird insbesondere von Studienanfangern leider haufigerheblich unterschatzt. Er ist naturlich durchaus individuell unterschiedlich; als grobe Richt-schnur sind aber erfahrungsgemaß etwa 2 Stunden pro Vorlesungsdoppelstunde realistisch.Nach meiner Erfahrung besteht bei dem klassischen Vorlesungskonzept eines Tafel- oderauch Beamervortrags eine gewisse Gefahr, das ohnehin weit verbreitete Missverstandnis, esgenuge, Mathematik passiv zu konsumieren, unbeabsichtigt noch zu verstarken. Aus die-sem Grund praktiziere ich in dieser Vorlesung ein etwas anderes Konzept, das Ideen dessog. ”Inverted Classroom“-Modells aufgreift: Ich setze voraus, dass jeder Horer sich vor (!)der jeweiligen Vorlesung mit dem hierfur vorgesehenen Abschnitt des Skripts2 zuhause grund-lich vertraut gemacht hat. In der Vorlesungsstunde selbst werde ich dann nur einzelne aus-gewahlte Themen (und diese dann meist entsprechend ausfuhrlicher) besprechen, wobei sichdie Auswahl auch an Wunschen aus dem Auditorium orientieren wird. Daruberhinaus dientdie Vorlesung als allgemeine Frage- und Diskussionsstunde zu den aktuellen (und gerne auchzu langer zuruckliegenden) Themen, und zudem werde ich darin versuchen, gezielte Hilfe-stellung bei der Uberwindung typischer Anfangerschwierigkeiten zu geben – die ubrigensoft mehr psychologischer Natur sind, wie die folgenden Ausfuhrungen noch genauer zeigenwerden. Dieses Vorlesungskonzept sollte keinesfalls zu dem Fehlschluss verleiten, die in derVorlesung nicht explizit besprochenen Inhalte des Skripts seien weniger wichtig (oder zuschwer): Alle Inhalte der Vorlesung sind sowohl fur die Bearbeitung der Ubungsaufgaben alsauch fur die spateren Prufungen als auch fur ein solides Verstandnis der Analysis relevant,

1entnommen aus dem nicht nur fur Musikliebhaber lesenswerten Buch C. Drosser: Der Musikverfuhrer -Warum wir alle musikalisch sind, Rowohlt, Reinbek 2011

2siehe hierzu den Stoffverteilungsplan auf S. 13

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unabhangig davon, ob sie in der Vorlesungsstunde noch einmal explizit diskutiert wordensind.Beim Studium eines relativ anspruchsvollen Faches wie der Mathematik sollte man sichbewusst sein, dass sich ein umfassendes Verstandnis naturlich nicht uber Nacht einstellt,sondern wie alle geistigen Entwicklungs- und Reifungsprozesse seine Zeit braucht, und mansollte sich diese auch nehmen, ohne mit sich selbst zu ungeduldig zu sein: Gras wachst nichtschneller, wenn man daran zieht3.Der Faktor Zeit alleine reicht naturlich nicht aus – ein vertieftes Verstandnis, die Einsicht ingroßere Zusammenhange erfordert vor allem eine bestandige aktive Beschaftigung mitder Materie. Dies lasst sich damit vergleichen, wie man sich in einer neuen, unbekanntenStadt schrittweise orientiert: Als erstes wird man sich die taglich benutzten Routen (zurUni, zu den wichtigsten Geschaften und Kneipen etc.) einpragen – und vielleicht angstlichbemuht sein, von diesen moglichst wenig abzuweichen; nach einer Weile wird man sichererund mutiger werden und auch einmal andere Wege erkunden, wird sich in bisher unbekannteStadtviertel vorwagen, bis man nach einigen Jahren die meisten Winkel kennt – und vorallem eine Ubersichtskarte der Stadt vor dem geistigen Auge hat, die einen davor bewahrt,sich hoffnungslos zu verlaufen, wenn man doch einmal in eine unbekannte Ecke der Stadtgerat. Aus dem anfanglichen ”geronnenen Wissen“, einem kargen Vorrat an wenigen, muhsameinstudierten Rezepten, wie man gewisse Routinewege zurucklegen kann, ist ein ”fluidesWissen“ geworden, das es ermoglicht, sich auch in neuen und unerwarteten Situationenflexibel zurechtzufinden. Sich im Laufe dieses Orientierungsprozesses auch einmal so richtigverlaufen zu haben, hilft oft entscheidend dabei, sich kunftig besser zurechtzufinden, dennaus den Fehlern, die man selber begeht, lernt man gewohnlich am besten.Wichtig ist dabei naturlich, sich uberhaupt erst einmal dem Risiko des Verlaufens auszuset-zen; niemand kame auf die Idee, Orientierung in einer Stadt zu erlangen, indem er Abendfur Abend den Stadtplan auswendig lernt, ohne dabei sein Haus zu verlassen. Genauso mussman auch in der Mathematik erst einmal manche geistigen Irr- und Umwege gehen, Ruck-schlage und Frustrationen uberstehen, bis sich nach und nach die Erfolge in Form eines sichzunehmend vertiefenden Verstandnisses einstellen.Konkret bedeutet das zweierlei:

• Zum einen ist es – wie in jeder anderen mathematischen Disziplin auch – fur ein wirkli-ches Verstandnis der tieferen Zusammenhange in der Analysis absolut unerlasslich, sichnicht nur mit den Resultaten, sondern auch mit deren Beweisen, ihrem ”Innenleben“gewissermaßen, zu beschaftigen.

3Leider gehen die gesellschaftlichen Erwartungen derzeit oftmals in genau die entgegengesetzte Richtung:Der ideale Bewerber aus Sicht der Unternehmen scheint der 25jahrige zu sein, der in sechs Semestern zweiBachelorstudiengange und nebenbei vier Firmenpraktika absolviert, funf Fremd- und vier Programmierspra-chen gelernt, zwei Semester im Ausland verbracht hat und bereits uber sieben Jahre Berufserfahrung verfugt.Tanjev Schultz hat es in dem Artikel ”Generation der Lebenslauf-Optimierer“ (Suddeutsche Zeitung vom26.08.2011) treffend auf den Punkt gebracht: ”Politiker, Manager und Eltern scharfen den Jugendlichengerne ein, dass sie bloß nicht den Anschluss verlieren durften. So haben sie eine Generation von Getriebenengeschaffen, die unvereinbare Erwartungen erfullen und moglichst wenig nach links und rechts schauen sol-len. Der Bildungsweg folgt streng den vorgegebenen Bahnen. Immer mehr Eindrucke und Wissensschnipselin immer kurzerer Zeit zu sammeln – das gelingt nur akademischen Pauschaltouristen.“ Ich halte es umder eigenen Lebensqualitat willen fur dringend uberfallig, sich diesem kollektiven Beschleunigungswahn zuwidersetzen. Es ist sicherlich nicht leicht, unbeirrt seinen eigenen Weg zu gehen; aber nur wer gegen denStrom schwimmt, kommt an der Quelle an.

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Dabei geht es zunachst darum, einen Beweis Schritt fur Schritt nachzuvollziehen (imSinne eines lediglich ”lokalen“ Verstandnisses). Am Ende eines Beweises sollte mandann versuchen, sich die zentralen Ideen und Argumente des Beweises bewusst zu ma-chen4. Auf diese Weise wird sich allmahlich ein zunehmend umfassenderes, ”globales“Verstandnis entwickeln.Wie schon angedeutet, wird die Bedeutung des schrittweisen Nachvollziehens der Be-weise insbesondere am Studienanfang haufig erheblich unterschatzt. Ein typischesAnfangerproblem ist regelrechte Ratlosigkeit, wie man die in Ubungs- oder Klausurauf-gaben auftretenden Beweise angehen soll. Ich will dieses Problem nicht bagatellisieren;in der Tat lernt man mathematisches Argumentieren, das ja in der Schulmathematikhochstens noch ein Randdasein fristet, meist nicht von heute auf morgen. Zu bedenkenist aber, dass alle in der Vorlesung vorgefuhrten Beweise Anschauungsbeispiele darstel-len, anhand derer man ganz allmahlich lernen kann, wie man mathematisch korrektund sinnvoll argumentiert. Wer ein Ubungsblatt zu bearbeiten versucht, ohne sich vor-her grundlich mit dem Vorlesungsskript (und insbesondere mit den dort vorgestelltenBeweisen!) vertraut gemacht zu haben, tragt viel selbst dazu bei, wenn sich alsbald einGefuhl der Uberforderung einstellt.Gerade in der Analysis ist fur ein tieferes Verstandnis haufig das Wechselspiel zwi-schen mathematischem Formalismus und mathematischer Vorstellung bzw.Anschauung entscheidend: Beide sind wichtig, bleiben fur sich genommen aber ein-seitig – bloßer Formalismus bleibt blutleer und degradiert die Mathematik zum Ge-spenst, vor dem man verstandlicherweise Angst hat; bloße Anschauung ohne Forma-lismus bleibt vage und unprazise und genugt den strengen logischen Anspruchen derMathematik nicht. Ich will dies an einem wichtigen Begriff der Analysis erlautern, derStetigkeit: In der Schulmathematik stellt man sich – sofern dort die Stetigkeit uber-haupt noch behandelt wird – unter einer stetigen Funktion meist eine Funktion vor,die keine Sprunge hat, oder auch eine Funktion, deren Graph man zeichnen kann, ohneden Stift abzusetzen. Beide Vorstellungen erweisen sich, wie wir spater sehen werden,als zu unprazise fur eine sinnvolle Definition des Stetigkeitsbegriffs5. Stattdessen siehtdie ”offizielle“ Definition der Stetigkeit einer Funktion f : R −→ R im Punkt a in deruniversitaren Mathematik wie folgt aus:

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ x∈R(|x− a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε

).

Das sieht erst einmal furchterlich abschreckend aus. Naturlich gilt es, diese rein formale4Letztlich ist die Herausforderung, sich mathematische Beweise sinnvoll einzupragen, mit dem Problem

der effizienten Datenkompression vergleichbar: Man kann ein Bild, das z.B. ein schwarzes Dreieck auf weißemGrund zeigt, pixelweise abspeichern und wird hierfur vielleicht 1 MB Speicherplatz benotigen. Man kannaber auch, wenn man sich der Struktur des Dreiecks bewusst ist, lediglich die Koordinaten der Eckpunkteabspeichern zusammen mit der Information, dass diese drei Punkte die Eckpunkte eines Dreiecks sind, dassdessen Inneres Schwarz und dessen Außeres Weiß ist. Auf diese Weise wird man mit einem Bruchteil desSpeicherplatzes auskommen. Ahnlich verhalt es sich mit mathematischen Beweisen: Man kann einen BeweisSchritt fur Schritt auswendig lernen – was sehr aufwandig und fehleranfallig ist, sicher nicht zur Freude an derMathematik und schon gar nicht zu einem tieferen Verstandnis beitragt. Sinnvoller ist es, die Grundstruktureines Beweises herauszudestillieren, sich nur diese einzupragen und sich die zusatzlich benotigten, oftmalsrein technischen Details bei Bedarf selbst wieder abzuleiten.

5So gibt es beispielsweise stetige (sogar differenzierbare) Funktionen f : [−1, 1] −→ R, deren Graph inbeliebig kleinen Umgebungen des Nullpunkts unendliche (!) Lange hat, so dass man, wenn man mit demNachzeichnen des Graphen in 0 anfangen wurde, niemals von der Stelle kame. Eine solche Funktion lernenwir in Beispiel 22.13 kennen.

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Definition mit Leben zu fullen, damit sie kein furchteinfloßendes Gespenst bleibt; nie-mand sollte sich damit selbst kasteien, eine solche Definition auswendigzulernen, ohnezu verstehen, was sie bedeutet. Dazu freilich bedarf es einer Menge an Erlauterungen,die insbesondere die Brucke schlagen mussen zu den aus der Schule gewohnten Vorstel-lungen. Keine Sorge: Wir werden uns fur diese Erlauterungen in Kapitel 9 ausfuhrlichZeit nehmen.

• Zum anderen ist es neben dem Nachvollziehen fremder Beweise ebenso wichtig, dasmathematische Argumentieren immer und immer wieder selbst aktiv zu uben. Dazudienen die Ubungsaufgaben in Form von Haus- und Prasenzaufgaben. Eine treffendeAnalogie ist das Klavierspielen, das man bekanntlich nur durch beharrliches Uben undnicht durch Zuhoren lernt – wobei man es als unvermeidlich in Kauf nimmt, dass sichdas erste Herantasten an das und Herumtasten auf dem Klavier oft holprig bis grauen-haft anhort. In beiden Fallen – beim Klavierspielen wie in der Mathematik – bedarf eseiniger Frustrationstoleranz, nicht vor den ersten Schwierigkeiten zu kapitulieren,sondern sich diesen zu stellen und an ihrer Bewaltigung zu arbeiten. Leider ist es einverbreiteter Reflex unter Studienanfangern, auf die Schwierigkeiten, die sich beim Bear-beiten der ersten Ubungsblatter einstellen, mit dem Abschreiben fremder Losungen zureagieren; begrundet wird dies oft damit, man wolle sich auf diese Weise ”wenigstens“die Klausurzulassung sichern. Dies mag zwar als Panikreaktion6 verstandlich sein, istaber etwa so erfolgversprechend, als wurde man fur einen 10-Kilometer-Lauf ”trainie-ren“, indem man jeden Abend die Laufstrecke mit dem Auto abfahrt. Umgekehrt gilt:Wer sich wahrend des Semesters immer selbst mit den Ubungsaufgaben abgemuht hat,ist eigentlich bestmoglich auf die Klausur vorbereitet und darf dieser zuversichtlichentgegensehen.Dies soll andererseits kein Pladoyer dafur sein, isoliert fur sich alleine zu arbeiten.Gemeinsame Diskussionen uber den Vorlesungsstoff und die Aufgaben konnen sehrwertvoll sein, um ein tieferes Verstandnis zu gewinnen, die Einsicht in mathematischeZusammenhange zu fordern und sich vor allem zur Strukturierung und Prazisierung dereigenen Gedanken zu zwingen7. Freilich ist die aktive Mitarbeit eines jeden Einzelnen ineiner Arbeitsgruppe wichtig; bloße Mitlauferschaft ist nutzlos. Auch zum Aufschreibengemeinsam erarbeiteter Losungen sollten alle Beteiligten beitragen; es reicht nicht aus,lediglich Ideen beizusteuern, nicht aber an deren Ausformulierung mitzuarbeiten: DieAnforderung, gute Ideen auch verstandlich auszudrucken, ist nicht zu unterschatzen.U.a. um die Bildung von Arbeitsgruppen zu fordern, lassen wir bei den HausaufgabenDoppelabgaben (zwei Namen pro Bearbeitung) zu.

Diese Ausfuhrungen haben sicherlich auch deutlich gemacht, dass beim ”Lernen“ in derMathematik weniger als in anderen Disziplinen der Erwerb von Faktenwissen im Vordergrundsteht. Und schon gar nicht geht es um ein pures ”Auswendiglernen“. Von entscheidenderBedeutung ist vielmehr das Verstandnis von Zusammenhangen und die Aneignung gewisserFahigkeiten und Techniken (in der Analysis z.B. der sog. ε-δ-Technik). Solch ”fluides Wissen“erreicht man nur durch bestandige aktive Beschaftigung mit der Materie; das erforderlicheFaktenwissen stellt sich dann eher nebenbei automatisch im Laufe der Zeit ein, so wie man

6Bei etwas gelassenerer Betrachtung sollte klar sein, dass die Befurchtungen, die Klausurzulassung zuverfehlen, in der Regel weit ubertrieben sind: Die 30%-Grenze fur die Klausurzulassung ist bewusst niedriggewahlt, so dass sie im Regelfall keine allzu ernsthafte Hurde darstellen sollte.

7Dies hat bereits Heinrich von Kleist in seiner Schrift ”Uber die allmahliche Verfertigung der Gedankenbeim Reden“ erkannt.

11

sich – um auf obiges Beispiel zuruckzukommen – Straßennamen sinnvollerweise nicht durchtagliches ”Lernen“ eines abstrakten Stadtplans einpragt, sondern dadurch, dass man oftgenug in der Stadt spazieren geht.Zuletzt noch ein nicht-mathematischer Rat: Auch und gerade bei einer anspruchsvollen geis-tigen Tatigkeit wie dem Mathematik-Studium sollte man ausreichende Erholungspauseneinplanen; dies gilt insbesondere auch fur die Zeiten der Prufungs- oder spater ggf. Ex-amensvorbereitung. Auch in diesen Phasen sollte man sich bewusst bleiben, dass es nochviele andere schone und interessante Dinge im Leben gibt, viele weitere Moglichkeiten derpersonlichen Entwicklung und Entfaltung, die nicht zu kurz kommen sollten. Entscheidendist auch hier naturlich die richtige Balance; Richard David Precht druckt es in seinem Best-seller ”Wer bin ich – und wenn ja, wie viele?“ wie folgt aus: ”Lernen und Genießen sind dasGeheimnis eines erfullten Lebens: Lernen ohne Genießen verharmt, Genießen ohne Lernenverblodet.“ Daran sollten wir uns halten – und dabei eines bedenken: Wir leben fur uns selber– nicht fur unseren Lebenslauf.

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Stoffverteilungsplan

Fur die einzelnen Vorlesungstermine sind die folgenden Passagen des Skriptes vorgesehenund vorher zuhause durchzuarbeiten:Termin Stoff17./18.10. bis Abschnitt 1.324.10. bis Korollar 2.425.10. bis Lemma 2.1731.10. bis Definition 2.407.11. bis Abschnitt 3.28.11. bis Definition 4.3

13

Teil I

GrundlagenDie Analysis handelt vorwiegend von reellen Funktionen von einer oder mehreren reellenVariablen. Deshalb muss zunachst erklart werden, was reelle Zahlen uberhaupt sind.Erstaunlicherweise ist diese Frage wesentlich komplizierter, als sie auf den ersten Blick er-scheinen mag; sie zieht sich durch fast die gesamte Mathematikgeschichte, von den altenGriechen vor 2500 Jahren bis in die Zeit um 1870: Erst da hatte sich endlich eine um-fassende und vollstandige Theorie der reellen Zahlen herausgebildet. Diese sind somit dasmodernste Konzept, das wir in dieser Analysis-Vorlesung behandeln werden.Man konnte die reellen Zahlen in konstruktiver Form einfuhren, indem man den in vielenSchuljahren zuruckgelegten Weg von den naturlichen Zahlen uber die ganzen zu den ratio-nalen Zahlen (den Bruchen) und schließlich zu den reellen Zahlen nachvollzieht und dabeimathematisch prazisiert. Ein solches Vorgehen wird jedoch schnell sehr abstrakt und ver-stellt eher den Blick darauf, welche Eigenschaften die reellen Zahlen auszeichnen. Zudemwurde dabei der Weg zu den eigentlichen Inhalten der Analysis unvertretbar lang werden.Ein solcher konstruktiver Zugang entsprache auch nicht der historischen Entwicklung: Einehochentwickelte Analysis (”Infinitesimalrechnung“) gab es spatestens im 17. und 18. Jahr-hundert, begrundet vor allem durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton8, wahrendeine befriedigende Konstruktion des Systems der reellen Zahlen wie erwahnt erst Ende des19. Jahrhunderts gelang.Daher wollen wir uns nicht allzu lange mit der Frage aufhalten, wie man reelle Zahlenmathematisch prazise definiert bzw. konstruiert, sondern uns im Wesentlichen auf den prag-matischen Standpunkt stellen, dass die reellen Zahlen aus dem Schulunterricht ”bekannt“seien.Dennoch wollen wir in Kapitel 2 kurz (und auf einer etwas abstrakteren Ebene als im Schul-unterricht) zusammenstellen, was wir von den reellen Zahlen wissen (sollten), und dabei aufeinige bisher vermutlich eher weniger vertraute Aspekte besonders eingehen. Wir werdenallerdings nicht einfach davon sprechen, dass gewisse Eigenschaften der reellen Zahlen ”be-kannt“ seien. Vielmehr werden wir – etwas vornehmer – die betreffenden Eigenschaften alsAxiome formulieren, d.h. wir postulieren kurzerhand, dass die reellen Zahlen die Eigenschaf-ten haben, von denen wir ohnehin wissen (oder besser: zu wissen glauben), dass sie sie haben.Ziel dieses Abschnitts ist es somit auch, zu illustrieren, wie man Sachverhalte mathematischmodellieren und dann formulieren kann.Auch wenn in der Analysis 1 und 2 die ”eindimensionale“ reelle Analysis im Vordergrundstehen wird, lassen sich viele Betrachtungen fast wortlich auf etwas allgemeinere Situatio-nen ubertragen, namlich auf Funktionen einer komplexen Variablen oder auf Abbildungen

8Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) war Diplomat, Philosoph und Mathematiker und gilt alsder letzte Universalgelehrte sowie als wichtiger Wegbereiter der Aufklarung. Isaac Newton (1642 – 1727)war Naturforscher und Mathematiker, zu dessen bahnbrechenden Leistungen u.a. die nach ihm benann-ten Bewegungs- und Gravitationsgesetze zahlen. Die Leibnizschen Bezeichnungen haben sich wegen ihrerZweckmaßigkeit bis heute in der Analysis erhalten. Die Vorstellungen von Leibniz und Newton uber un-endlich kleine (infinitesimale) Zahlen waren logisch anfechtbar und wurden durch die Methoden von K.Weierstraß formal aus der Analysis verbannt. Aber sie sind in den Naturwissenschaften von unverandertgroßem heuristischen Wert, und sie haben eine spate Erneuerung in der Nichtstandard-Analysis von Abra-ham Robinson (1918 – 1974) gefunden.

14

zwischen metrischen Raumen. In den Kapiteln 3 und 4 fuhren wir daher den Korper derkomplexen Zahlen und den allgemeinen Begriff des metrischen Raumes ein.Wir beginnen in Kapitel 1 mit einer (bereits aus dem Vorkurs bekannten) wichtigen Be-weistechnik, dem Prinzip der vollstandigen Induktion, und einigen mithilfe dieses Prinzipsbeweisbaren Resultaten, die wir spater immer wieder benotigen werden.Hier aber zunachst ein Uberblick uber die allgemein ublichen Symbole fur die Zahlenbereiche,mit denen wir im Folgenden hauptsachlich zu tun haben werden:

• die naturlichen Zahlen N := {1, 2, 3, . . .}

• die naturlichen Zahlen mit Null N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}

• die ganzen Zahlen Z := {0,±1,±2,±3, . . .}

• die rationalen Zahlen Q :={mn| m ∈ Z, n ∈ N

}• die reellen Zahlen R

• die komplexen Zahlen C (Kapitel 3)

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1 Das Prinzip der vollstandigen Induktion und einigeAnwendungen

Jeder kennt die naturlichen Zahlen 1, 2, 3, . . ., und jeder weiß, dass die naturlichen Zahlenals Teilmenge in den reellen Zahlen enthalten sind. Wir verwenden sie in diesem Kapitelvorerst in einer sog. ”naiven“ Weise und gehen zunachst nicht weiter auf die Frage ein, wieman die naturlichen Zahlen und ihre Beziehung zu den reellen Zahlen exakt definiert. Wiedies moglich ist, werden wir spater (in Abschnitt 2.5) zumindest andeuten.

1.1 Vollstandige Induktion

Bereits aus dem Vorkurs bekannt ist eine der wichtigsten Beweismethoden der Mathematik:die vollstandige Induktion, mit der wir uns nun etwas eingehender beschaftigen wollen. Siewird haufig bei folgendem Problem angewandt: Fur jede naturliche Zahl n sei A(n) eineAussage (die a priori wahr oder falsch sein kann). Es soll bewiesen werden, dass die AussageA(n) fur alle naturlichen Zahlen n wahr ist. Dazu geht man wie folgt vor:

Prinzip der vollstandigen Induktion:

• Induktionsanfang (Induktionsverankerung): Man zeigt, dass die Aussage A(1)richtig ist.

• Induktionsvoraussetzung (Induktionsannahme): Man betrachtet ein festes, aberbeliebiges n ∈ N und nimmt an, dass A(n) wahr ist.

• Induktionsschritt (Induktionsschluss): Man zeigt, dass auch A(n+ 1) gultig ist.

Hat man sowohl den Induktionsanfang als auch den Induktionsschritt bewiesen, so gilt dieAussage A(n) fur alle naturlichen Zahlen n: Zunachst ist namlich A(1) aufgrund des Induk-tionsanfangs richtig. Anwendung des Induktionsschritts mit n = 1 liefert anschließend dieGultigkeit von A(2). Erneute Anwendung des Induktionsschrittes mit n = 2 ergibt dann,dass auch A(3) gilt. Durch wiederholte Benutzung des Induktionsschrittes zeigt man dannnacheinander auch A(4), A(5) usw.9

Im Induktionsprinzip ist es unwesentlich, die Induktionsverankerung bei n = 1 vorzunehmen;stattdessen ist dies mit einer beliebigen ganzen Zahl moglich. Es gilt also folgendeVariante des Induktionsprinzips. Es sei ein n0 ∈ Z gegeben, und fur jede ganze Zahln ≥ n0 sei eine Aussage A(n) gegeben. Wenn A(n0) wahr ist und wenn fur jede ganze Zahln ≥ n0 die Implikation A(n) =⇒ A(n + 1) wahr ist, dann gilt die Aussage A(n) fur alleganzen Zahlen n ≥ n0.Mitunter benutzt man auch eine Modifikation des Induktionsprinzips, bei der man im In-duktionsschritt zum Beweis von A(n + 1) nicht nur die Gultigkeit von A(n), sondern vonA(1),A(2), . . . ,A(n) verwendet:

9Wir verwenden hier das Induktionsprinzip als anschaulich ”klar“. Wie man es – bei geeigneter Definitionder naturlichen Zahlen – zu einem beweisbaren Satz macht, werden wir ebenfalls in Abschnitt 2.5 sehen.

16

Modifiziertes Prinzip der vollstandigen Induktion. Fur jedes n ∈ N sei eine AussageA(n) gegeben. Es seien die folgenden beiden Bedingungen erfullt:

(1) Die Aussage A(1) ist wahr.(2) Fur alle n ∈ N folgt aus der Gultigkeit von A(1), A(2), . . . , A(n) auch die Gultigkeit

von A(n+ 1).Dann ist A(n) fur alle n ∈ N wahr.

Dieses modifizierte Induktionsprinzip erweist sich z.B. beim Beweis von Aussagen uber dieFibonacci-Zahlen (vgl. Beispiel 5.2 (4)) als nutzlich.

1.2 Erste Anwendungen

Wir illustrieren das Prinzip der vollstandigen Induktion im Folgenden an mehreren Beispie-len. Dabei benutzen wir insbesondere die Notation

n∑k=m

ak := am + am+1 + . . .+ an

fur die Summe undn∏

k=mak := am · am+1 · . . . · an

fur das Produkt von gewissen Zahlen am, am+1 . . . , an. Es erweist sich als sinnvoll, sog. leerenSummen (mit null Summanden) den Wert 0 und leeren Produkten den Wert 1 zuzuweisen10.Dementsprechend setzt man

n∑k=m

ak := 0,n∏

k=mak := 1, falls n < m.

Unser erstes Resultat gibt einen geschlossenen Ausdruck fur die Summe der ersten n naturli-chen Zahlen an.

Satz 1.1 Fur alle n ∈ N giltn∑k=1

k = 1 + 2 + . . .+ n = n(n+ 1)2 .

Beweis. Induktionsanfang: Fur n = 1 haben beide Seiten der behaupteten Formel den Wert1. In diesem Fall ist also die Formel gultig. Der Induktionsanfang ist damit gemacht.Induktionsvoraussetzung: Nun nehmen wir an, fur ein n ∈ N sei die Formel gultig.Induktionsschritt: Dann folgt

n+1∑k=1

k =n∑k=1

k + (n+ 1)(IV)= n(n+ 1)

2 + (n+ 1) = 12(n+ 1)(n+ 2).

(Hierbei haben wir mit (IV) den Schritt markiert, in dem die Induktionsvoraussetzung be-nutzt wurde.) Damit ist die Formel fur n+ 1 anstelle von n bewiesen. Der Induktionsschlussist also geleistet.Aufgrund des Prinzips der vollstandigen Induktion gilt die behauptete Formel somit fur allen ∈ N. �

10Der Wert 1 fur das leere Produkt mag uberraschen. Er erklart sich daraus, dass 1 das neutrale Elementder Multiplikation ist (vgl. Definition 2.1).

17

Mit der Formel aus Satz 1.1 erregte der achtjahrige C. F. Gauß (1777 – 1855) die Aufmerk-samkeit seines Lehrers. Dieser hatte, um eine Weile seine Ruhe zu haben, seinen Schulerndie Aufgabe gestellt, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Zu seiner Verbluffung konnteder kleine Gauß fast augenblicklich das Ergebnis 5050 verkunden. Er hatte sich dabei desfolgenden Tricks bedient: Unter die Summe S(n) = 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n schreibt mannoch einmal S(n) = n+ (n− 1) + . . .+ 2 + 1 mit umgekehrter Reihenfolge der Summandenhin. Jedes Paar untereinander stehender Zahlen hat dann die Summe n+ 1, und man hat nsolche Paare. Also folgt 2S(n) = n(n+ 1).Warnung: Ein haufiger Anfangerfehler besteht darin, als Induktionsannahme zu schreiben:

”Nun nehmen wir an, fur alle n ∈ N sei die Aussage A(n) gultig.“ (statt korrekterweise ”furein n ∈ N“). Dies ist offensichtlich sinnlos: Ware diese Annahme richtig, so ware ja nichtsmehr zu beweisen.Auch die folgende wichtige Ungleichung lasst sich induktiv beweisen.

Satz 1.2 (Bernoullische Ungleichung) Fur alle reellen Zahlen x > −1 und allen ∈ N0 gilt die Ungleichung

(1 + x)n ≥ 1 + nx .

Falls x 6= 0 und n ≥ 2 ist, gilt sogar (1 + x)n > 1 + nx.

Beweis. Fur n = 0 haben beide Seiten in der behaupteten Ungleichung den Wert 1. Furn = 1 haben beide Seiten den Wert 1 +x. Fur x = 0 und beliebige n haben beide Seiten denWert 1. Nach Erledigung dieser trivialen Falle genugt es also aufgrund des Induktionsprin-zips, die folgende Implikation zu beweisen: Ist n ∈ N, x ∈ R, x > −1, x 6= 0, und setzt man(1 + x)n ≥ 1 + nx voraus, dann folgt (1 + x)n+1 > 1 + (n+ 1)x.Dies zeigt man folgendermaßen. Aus den Voraussetzungen folgt 1 + x > 0 und nx2 > 0.Damit ergibt sich

(1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x) ≥ (1 + nx) · (1 + x)= 1 + (n+ 1)x+ nx2 > 1 + (n+ 1)x .

Das war zu zeigen. �

Das Resultat ist nach Jakob Bernoulli (1654 – 1705) benannt, dem altesten Vertreter derBaseler Mathematiker-Familie der Bernoullis.

Beispiel 1.3 In den obigen beiden Induktionsbeweisen bestand die Hauptarbeit jeweilsim Induktionsschritt, wahrend der Induktionsanfang hochst einfach war. Dies ist fur diemeisten Induktionsbeweise typisch. Dennoch ist der Induktionsanfang, die Induktionsveran-kerung ein unverzichtbarer Beweisbestandteil, wie folgendes Beispiel zeigt:Betrachten wir die Aussage

A(n) : Es gilt 1n = 0.

Hier gelingt fur alle naturlichen Zahlen n der Induktionsschritt A(n) =⇒ A(n + 1); aus1n = 0 folgt namlich 1n+1 = 1n · 1 = 0 · 1 = 0. Dennoch ist A(n) fur kein einziges n ∈ Nrichtig; der Induktionsbeweis scheitert namlich bereits an der Induktionsverankerung. �

18

1.3 Der Binomische Lehrsatz

Definition 1.4 Fur ganze Zahlen n ≥ 0 definiert man Fakultaten in der Form

n! :=n∏j=1

j = 1 · . . . · n (gelesen ”n Fakultat“).

Insbesondere ist 0! = 1. Fur ganze Zahlen n, k ≥ 0 setzt man(n

k

):= n!

k!(n− k)! = n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− k + 1)k! , falls k ≤ n,

und man setzt(nk

):= 0 fur ganze Zahlen k > n ≥ 0. Man liest

(nk

)als ”n uber k“ oder ”kaus n“. Diese Zahlen heißen Binomialkoeffizienten.

Die Fakultaten und Binomialkoeffizienten haben die folgende kombinatorische Bedeutung:Fur beliebige ganze n ≥ 0 ist n! gleich der Anzahl der Permutationen einer Menge ausn Elementen. Fur k ≤ n ist sodann

(nk

)gleich der Anzahl der Moglichkeiten, k Objekte

ohne Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Elementenauszuwahlen. Zugleich ist das die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge aus nElementen. Alle diese Feststellungen konnte man formal exakt durch Induktion beweisen;die Beweise wurden aber vermutlich mehr Verwirrung als Klarheit stiften.Ein bekanntes Beispiel fur dieses Ziehen ohne Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihen-folge stellt das Lottospiel dar: Z.B. ist

(496

)= 13983816 die Zahl der moglichen Ziehungser-

gebnisse beim Lotto ”6 aus 49“.

Proposition 1.5 Fur beliebige ganze Zahlen n, k mit 1 ≤ k ≤ n gilt die Formel(n

k − 1

)+(n

k

)=(n+ 1k

).

Beweis. Mit den Definitionen berechnet man(n

k − 1

)+(n

k

)= n!

(k − 1)!(n− k + 1)! + n!k!(n− k)!

= n!k!(n− k + 1)! · (k + (n− k + 1))

= n! · (n+ 1)k!((n+ 1)− k)! =

(n+ 1k

).

�

Diese Beziehung stellt eine Rekursionsformel fur die Binomialkoeffizienten dar: Sind die Wer-te von

(nk

)fur ein n ∈ N0 und alle k ∈ {1, . . . , n} bekannt, so lassen sich unter Berucksich-

tigung der ”Randwerte“(n0

)=(nn

)= 1 alle Binomialkoeffizienten

(n+1k

)berechnen, indem

man jeweils die beiden Werte(nk

)und

(nk−1

)addiert. Man kann sich diese Rekursionsformel

leicht merken, indem man die Binomialkoeffizienten in Form des sog. Pascalschen Drei-ecks11 (Abbildung 1) anordnet. Dabei stehen in der (n + 1)-ten Zeile die Eintrage

(nk

)fur

k = 0, 1, . . . , n. In diesem Dreieck ist jede Zahl gleich der Summe der beiden schrag daruberstehenden Zahlen.

11Es ist nach B. Pascal (1623 – 1662) benannt, der bei Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie aufBinomialkoeffizienten und die Formel in Proposition 1.5 stieß.

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11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1... ... ... ... ... ...

Abbildung 1: Das Pascalsche Dreieck

Die Binomialkoeffizienten verdanken ihren Namen der Tatsache, dass sie im binomischenSatz als Koeffizienten auftreten.

Satz 1.6 (Binomischer Lehrsatz) Fur alle a, b ∈ R und alle ganzen Zahlen n ≥ 0 gilt

(a+ b)n =n∑k=0

(n

k

)akbn−k .

Bei festem n enthalt der Ausdruck (a + b)n zwei Variable oder ”Namen“ a und b; er ist ein

”Binom“. Das erklart den Namen des Satzes 1.6. Dieser Satz ist also nicht nach einer Personbenannt12.

Beweis. Es seien beliebige a, b ∈ R gegeben. Fur n = 0 haben beide Seiten in der behaup-teten Formel den Wert 1 (Induktionsanfang).

Fur ein n ∈ N0 wird nun die Gultigkeit der Formel angenommen (Induktionsvoraussetzung).Dann folgt

(a+ b)n+1 = (a+ b) · (a+ b)n

= (a+ b) ·n∑k=0

(n

k

)akbn−k

=n∑k=0

(n

k

)ak+1bn−k +

n∑k=0

(n

k

)akbn+1−k .

In der ersten Summe ”verschiebt“ man den Index: Man setzt k = j − 1 und schreibt danach

12Lediglich in einem alten Mathematiker-Witz wird dieser Satz einem fiktiven Alessandro Binomi (1727-1643) zugeschrieben.

20

wieder k statt j. Mit Hilfe von Proposition 1.5 erhalt man dann

(a+ b)n+1 =n+1∑j=1

(n

j − 1

)ajbn+1−j +

n∑k=0

(n

k

)akbn+1−k

= an+1 +n∑k=1

(n

k − 1

)akbn+1−k +

n∑k=1

(n

k

)akbn+1−k + bn+1

= an+1 +n∑k=1

((n

k − 1

)+(n

k

))akbn+1−k + bn+1

=n+1∑k=0

(n+ 1k

)akbn+1−k .

Dies ist die behauptete Formel mit n+ 1 anstelle von n. Nach dem Induktionsprinzip ist dieFormel somit fur alle ganzen n ≥ 0 gultig. �

Bemerkung 1.7 Fur a = b = 1 liefert der binomische Satz

2n =n∑k=0

(n

k

).

Dies lasst sich wie folgt interpretieren: Es sei M eine beliebige Menge mit n Elementen (z.B.M = {1, . . . , n}). Dann ist 2n die Gesamtzahl der Teilmengen von M ; dies lasst sich wie folgteinsehen: Man kann jede dieser Teilmengen dadurch charakterisieren, dass man fur jedes dern Elemente angibt, ob es zur Menge gehort oder nicht. Die Gesamtzahl der Teilmengen vonM ist also gleich der Zahl der ”Worter“ der Lange n, die man mit den Buchstaben J und Nbilden kann. Diese Zahl ist 2n.Andererseits lassen sich die Teilmengen von M nach ihrer Elementanzahl sortieren: Es gibtTeilmengen mit 0, 1, . . . , n Elementen. Wie oben festgestellt, betragt die Zahl der Teilmengenmit genau k Elementen gerade

(nk

). Daher ist es nicht verwunderlich, dass die Summe dieser

Anzahlen(nk

)genau 2n ergibt, wie es der binomische Satz besagt. �

1.4 Arithmetisches und geometrisches Mittel

In einem rechtwinkligen Dreieck seien a und b die Hypotenusenabschnitte, h die Hohe unds die Seitenhalbierende (vgl. Abbildung 2). Nach dem Satz von Thales und dem Hohensatzgilt dann

h ≤ s = 12(a+ b) und h2 = ab.

Es folgt√ab = h ≤ a+ b

2 .

Dies ist die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel von aund b.Diese geometrische Begrundung ist im Rahmen eines deduktiven Zugangs zur Analysisnaturlich nicht zu gebrauchen, denn die verwendeten Satze der elementaren euklidischen

21

a b

s h

Abbildung 2: Zur Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel

Geometrie stehen hier nicht zur Verfugung. Man kann die Ungleichung aber auch wie folgtrechnerisch begrunden: Fur a, b ≥ 0 ist

(a+ b)2 − 4ab = a2 + 2ab+ b2 − 4ab = a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 ≥ 0, (1.1)

also12(a+ b) ≥

√ab.

Hierbei gilt Gleichheit genau dann, wenn a = b ist. (Dass fur a = b Gleichheit gilt, istklar. Umgekehrt folgt aus der Gleichheit in der letzten Abschatzung, dass bereits in (1.1)Gleichheit vorliegt, also (a− b)2 = 0 ist. Dies hat aber a = b zur Folge.)Wir wollen nun mittels vollstandiger Induktion eine allgemeinere Ungleichung zwischen demarithmetischen und dem geometrischen Mittel von beliebig vielen positiven reellen Zahlenbeweisen, die wir spater ofters benotigen.

Definition 1.8 Fur beliebige positive reelle Zahlen a1, . . . , an nennt man

1n· (a1 + . . .+ an)

das arithmetische Mittel undn√a1 · . . . · an

das geometrische Mittel von a1, . . . , an.

Wir gehen hier naiv mit dem Wurzelsymbol um. Die Existenz von Wurzeln werden wir spater(in Korollar 10.16) auch exakt begrunden.

Satz 1.9 (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel)Fur jede naturliche Zahl n und beliebige positive reelle Zahlen a1, a2, . . . , an gilt

n√a1 · a2 · . . . · an ≤

1n· (a1 + a2 + . . .+ an).

Hierin besteht genau dann Gleichheit, wenn a1 = a2 = . . . = an ist.

Trost: Auf den nachstehenden kunstvoll arrangierten Beweis (der einer Vorlesung von HorstAlzer entnommen ist) muss man nicht selbst kommen – schon gar nicht im ersten Semester.Vorerst genugt es vollig, ihn schrittweise nachvollziehen zu konnen.

22

Beweis. Fur n = 1 haben beide Seiten in der behaupteten Ungleichung den Wert a1. Furn = 2 haben wir die Behauptung bereits oben begrundet.Es sei ein n ≥ 2 gegeben. Wir treffen die Induktionsannahme, dass fur beliebige positiveb1, . . . , bn die Ungleichung

n√b1 · . . . · bn ≤

1n· (b1 + . . .+ bn)

gilt und dass in dieser Ungleichung genau dann Gleichheit vorliegt, wenn b1 = . . . = bn ist.Es seien positive a1, . . . , an+1 gegeben. Fur k = 1, . . . , n+ 1 setzen wir

Gk := k√a1 · . . . · ak, Ak := 1

k· (a1 + . . .+ ak) .

Gk und Ak sind also das geometrische bzw. arithmetische Mittel der Zahlen a1, . . . , ak. Weiterseien

G := n√an+1A

n−1n+1, A := 1

n(an+1 + (n− 1) · An+1)

die geometrischen bzw. arithmetischen Mittel der Zahlen b1 := · · · := bn−1 := An+1 undbn := an+1. Nach der Induktionsvoraussetzung gilt dann

Gn ≤ An und G ≤ A.

Aus der Gultigkeit der Behauptung fur das geometrische und arithmetische Mittel von zweiZahlen folgt ferner √

An · A ≤12 ·(An + A

).

Nun berechnet man

GnG = n√a1 · . . . · an · an+1 · An−1

n+1 = n√Gn+1n+1 · An−1

n+1

und12(A+ An

)= 1

2n (an+1 + (n− 1) · An+1 + a1 + · · ·+ an)

= 12n (a1 + · · ·+ an + an+1 + (n− 1) · An+1)

= 12n ((n+ 1) · An+1 + (n− 1) · An+1) = An+1. (1.2)

Damit ergibt sich insgesamt

An+1 = 12 ·(An + A

)≥√An · A ≥

√Gn · G = 2n

√Gn+1n+1 · An−1

n+1,

also

A2nn+1 ≥ Gn+1

n+1 · An−1n+1 und somit An+1

n+1 ≥ Gn+1n+1, d.h. An+1 ≥ Gn+1.

Falls hierin Gleichheit gilt, so muss bereits in allen verwendeten Abschatzungen Gleichheitvorgelegen haben. Insbesondere muss

Gn = An und G = A

23

gelten. Aus Gn = An und der Induktionsvoraussetzung folgt dann a1 = · · · = an. Damit istaber auch An = a1 = · · · = an. Ebenso folgt aus G = A und der InduktionsvoraussetzungAn+1 = an+1. Gemaß der Definition von A bedeutet dies A = an+1. Damit und mit (1.2)ergibt sich nun insgesamt

an+1 = An+1(1.2)= 1

2(A+ An

)= 1

2 (an+1 + a1)

und hieraus an+1 = a1. Insgesamt erhalt man also die Gleichheit aller Zahlen a1, . . . , an, an+1.Damit ist der Induktionsschluss beendet, und der Satz ist bewiesen. �

1.5 Die geometrische Summenformel

Satz 1.10 Fur alle n ∈ N0 und alle x ∈ R \ {1} giltn∑k=0

xk = 1− xn+1

1− x .

Fur x = 1 trifft der Satz keine Aussage. Dieser Fall ist jedoch unproblematisch, denn furx = 1 ist ∑n

k=0 xk = ∑n

k=0 1 = n+ 1.

Beweis. Variante 1: Wohl am einpragsamsten ist die folgende Begrundung: Wenn wir dieSumme 1 + x + x2 + · · · + xn mit 1 − x multiplizieren, stellen wir fest, dass sich fast alleTerme wegheben; wir erhalten

(1− x) · (1 + x+ x2 + · · ·+ xn) = 1 +x+ x2 + · · ·+ xn

−x− x2 − · · · − xn − xn+1 = 1− xn+1.

Wegen 1− x 6= 0 darf man durch 1− x dividieren und erhalt die Behauptung.Etwas praziser kann man denselben Sachverhalt mithilfe der Summenschreibweise aus-drucken: Fur alle n ∈ N0 und alle x ∈ R ist

(1− x) ·n∑k=0

xk =n∑k=0

xk −n∑k=0

xk+1 =n∑k=0

xk −n+1∑k=1

xk = 1− xn+1.

Im zweiten Schritt haben wir hierbei eine Indexverschiebung durchgefuhrt. Im letzten Schritthaben wir wiederum ausgenutzt, dass sich fast alle Terme der Form xk wegheben, mit Ausnah-me des ersten (namlich x0 = 1) und des letzten (xn+1). (Man bezeichnet solche Summen auchals Teleskopsummen.)

Variante 2: Man kann auch vollstandige Induktion benutzen: Fur n = 0 hat mann∑k=0

xk = x0 = 1 = 1− x1− x = 1− xn+1

1− x fur alle x ∈ R \ {1} ,

d.h. die Formel gilt fur n = 0.Es sei ∑n

k=0 xk = 1−xn+1

1−x fur ein n ∈ N0 und alle x ∈ R \ {1} bereits bewiesen. Dann folgt

n+1∑k=0

xk =n∑k=0

xk + xn+1 = 1− xn+1

1− x + xn+1 − xn+2

1− x = 1− xn+2

1− x

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fur alle x ∈ R \ {1}. Damit ist der Induktionsschritt vollzogen, und die geometrische Sum-menformel ist fur alle n ∈ N0 und alle x ∈ R \ {1} bewiesen. �

Ausblick. Der Ausdruck 1−xn+1

1−x auf der rechten Seite der geometrischen Summenformelist fur x = 1 naturlich nicht definiert (Nennernullstelle!). Man kann sich jedoch fragen, obevtl. der Grenzwert limx→1

1−xn+1

1−x existiert. Dies ist in der Tat der Fall, und wir werden ihnspater als Ableitung der Funktion h(x) := xn+1 im Punkt x0 = 1 interpretieren: Es ist

limx→1

1− xn+1

1− x = limx→1

xn+1 − 1x− 1 = lim

x→1

h(x)− h(1)x− 1 = h′(x0) = (n+ 1) · xn0 = n+ 1.

Dies ist das zu erwartende Ergebnis, denn fur x = 1 hat ∑nk=0 x

k ja den Wert n+ 1.

Die geometrische Summenformel werden wir spater (Satz 7.3) zur Berechnung des Werts derunendlichen geometrischen Reihe benotigen. Sie spielt aber auch eine uberragende Rolle inder Zinsrechnung, wie wir anhand eines Beispiels illustrieren wollen.

Beispiel 1.11 Auf ein Konto werden jedes Jahr 1000 Euro eingezahlt. Diese werden mit4% pro Jahr verzinst. Welches Kapital hat sich zu Beginn des 40. Jahres (d.h. unmittelbarnach der 40. Einzahlung) angesammelt? Dessen Wert (in Euro) ist

K = 1000 ·(1 + 1,04 + 1,042 + · · ·+ 1,0439

).

Selbst mit einem gewohnlichen (nicht-programmierbaren) Taschenrechner ist dieser Wert nurmuhsam zu berechnen. Hier erweist sich die geometrische Summenformel als große Erleich-terung: Sie liefert unmittelbar

K = 1000 · 1,0440 − 11,04− 1 = 95.025,51....

Der Wert des Kapitals ist also fast zweieinhalb mal so groß wie die insgesamt eingezahlteSumme; diese betragt namlich nur 40.000 Euro. �

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