Algebră s, i geometrieNotit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: A. Nit, ă

12 ianuarie 2021

Cuprins

1 Recapitulare: Metoda lui Gauss 21.1 Eliminare gaussiană . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Spat, ii vectoriale. Generalităt, i 62.1 Spat, ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Subspat, ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Operat, ii cu subspat, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Bază s, i dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Teorema lui Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Aplicat, ii liniare 143.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Vectori s, i valori proprii. Diagonalizare 194.1 Vectori s, i valori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Matrice de trecere. Diagonalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Part, iale 2018–2019 23

6 Spat, ii euclidiene 256.1 Ortonormare s, i complement ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Aplicat, ii ı̂n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Conice s, i cuadrice 327.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.2 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8 Forma canonică Jordan 39

8.1 Metoda nucleului stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Exemple rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.3 Metodă alternativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.4 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Ecuat, ii diferent, iale de ordinul I 459.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2 Ecuat, ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.3 Ecuat, ia Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.4 Ecuat, ia Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.5 Ecuat, ia Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.6 Ecuat, ii exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.6.1 Cu diferent, iale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.6.2 Cu factor integrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.7 Ecuat, ia Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.8 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Sisteme diferent, iale 5610.1 Calcul matriceal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2 Folosind forma Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11 Examen 2018–2019 62

Index 65

1

SEMINAR 1

RECAPITULARE: METODA LUI GAUSS

1.1 Eliminare gaussianăMetoda eliminării gaussiene (numită s, i metoda Gauss(-Jordan)) este folosită pentru a aduce ma-trice la o formă mai simplă, anume triunghiulară sau chiar forma matricei unitate.

Principalele aplicat, ii ale eliminării gaussiene sı̂nt ı̂n rezolvarea sistemelor de ecuat, ii liniare s, iı̂n inversarea matricelor.

În ambele situat, ii, se trece de la o stare la alta făcı̂nd transformări elementare, adică aceleoperat, ii permise ı̂n determinant, i, care nu schimbă valoarea determinantului. În general, operat, iilepe care le putem face intră sub denumirea de combinat, ii liniare cu linii sau coloane.

Un exemplu este următorul. Fie sistemul de ecuat, ii:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

mx1 + x2 + x3 = 1x1 +mx2 + x3 = mx1 + x2 +mx3 = m2,

unde m ∈ ℝ. Evident, solut, ia sistemului va implica o discut, ie după m.Fie A matricea sistemului, iar B matricea-coloană a termenilor liberi. Prelucrăm matricea

extinsă (A ∣ B) pı̂nă cı̂nd aducem pe A ı̂n formă (superior) triunghiulară.

2

Considerăm matricea M = (A ∣ B) de mai sus:

(A|B) =⎛⎜⎜⎝

m 1 1 ∣ 11 m 1 ∣ m1 1 m ∣ m2

⎞⎟⎟⎠

L1↔L2−−−−−→⎛⎜⎜⎝

1 m 1 ∣ mm 1 1 ∣ 11 1 m ∣ m2

⎞⎟⎟⎠

L2→L2−mL1L3→L3−L1−−−−−−−−→

⎛⎜⎜⎝

1 m 1 ∣ m0 1 −m2 1 −m ∣ 1 −m20 1 −m m − 1 ∣ m2 −m.

⎞⎟⎟⎠

În acest punct, avem o discut, ie:(a) Dacă m = 1, atunci sistemul se reduce la prima ecuat, ie, deci este compatibil dublu nede-

terminat. Rezultă solut, ia{(1 − � − �, �, �) ∣ �, � ∈ ℝ}.

(b) Dacă m ≠ 1, atunci putem continua transformările s, i ajungem, ı̂n ne, la:

M =⎛⎜⎜⎝

1 0 1 +m ∣ m +m20 1 −1 ∣ −m0 0 2 ∣ (m + 1)2

⎞⎟⎟⎠

Aici discutăm din nou:(b1) Dacă m = −2, sistemul este incompatibil, deoarece ultima ecuat, ie devine 0 = 1.(b2) Dacă m ≠ −2, putem continua transformările s, i ajungem, ı̂n cele din urmă, la:

M =⎛⎜⎜⎝

1 0 0 ∣ −(m + 1)/20 1 0 ∣ 1/(m + 2)0 0 1 ∣ (m + 1)2/(m + 2)

⎞⎟⎟⎠

În acest ultim caz, sistemul este compatibil determinat, solut, ia ind dată de ultima coloană:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = −m + 12

x2 =1

m + 2

x3 =(m + 1)2m + 2 .

Concluzia generală este:

3

(a) Dacă m ∈ ℝ − {−2, 1}, sistemul are solut, ie unică;(b) Dacă m = −2, sistemul este incompatibil;(c) Dacă m = −1, sistemul este compatibil nedeterminat.

Similar, pentru a calcula inversa unei matrice, bordăm matricea dată cu matricea unitate s, iefectuăm transformări elementare pı̂nă ce matricea init, ială devine matricea unitate.

Iată un exemplu, notı̂nd s, i transformările:

⎛⎜⎜⎝

2 1 3 ∣ 1 0 0−2 3 4 ∣ 0 1 05 1 1 ∣ 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

L1→(1/2)L1−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 0−2 3 4 ∣ 0 1 05 1 1 ∣ 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

L2→2L1+L2L3 →−5L1+L3−−−−−−−−−−−→

⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 00 4 7 ∣ 1 1 00 −3/2 −13/2 ∣ −5/2 0 1

⎞⎟⎟⎠

L2→(1/4)L2−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 −3/2 −13/2 ∣ −5/2 0 1

⎞⎟⎟⎠

L1→(−1/2)L2+L1L3→(3/2)L2+L3−−−−−−−−−−−−→

⎛⎜⎜⎝

1 0 5/8 ∣ 3/8 −1/8 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 0 −31/8 ∣ −17/8 3/8 1

⎞⎟⎟⎠

L3→(−8/31)L3−−−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎝

1 0 5/8 ∣ 3/8 −1/8 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 0 1 ∣ 17/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠

L1→(−5/8)L3+L1L2→(−7/4)L3+L2−−−−−−−−−−−−−→

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 ∣ 1/31 −2/31 5/310 1 0 ∣ −22/31 13/31 14/310 0 1 ∣ 17/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠

Rezultă că

A−1 =⎛⎜⎜⎝

1/31 −2/31 5/31−22/31 13/31 14/3117/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠.

1.1.1 Exercit, ii1. Rezolvat, i următoarele sisteme, atı̂t cu metoda matriceală clasică, cı̂t s, i cu metoda lui Gauss:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + 3y − z = 13x + y + 2z = 45x − 2y + z = 2

4

(b)

{3x − y + 2z + 3t = 4x + 3y − z + t = −1

(c)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x − y + 3z = 13x + 2y − z = 4x + 3y − 4z = 3

.

2. Calculat, i inversele matricelor, atı̂t cu metoda folosind matricea adjunctă, cı̂t s, i folosindmetoda lui Gauss:

(a) A =⎛⎜⎜⎝

1 0 −13 2 10 1 1

⎞⎟⎟⎠;

(b) B =⎛⎜⎜⎜⎝

−1 2 4 13 0 1 40 1 1 02 1 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

;

(c) C =⎛⎜⎜⎝

1 1 20 1 00 0 −1

⎞⎟⎟⎠.

5

SEMINAR 2

SPAT, II VECTORIALE. GENERALITĂT, I

2.1 Spat, ii vectorialeNot, iunea de spat, iu vectorial face legătura ı̂ntre geometrie s, i algebră. De fapt, a permis utilizareametodelor de structuri algebrice ı̂n geometria analitică. Exemplul de bază este acela al planuluireal V = ℝ2, ı̂n care considerăm adunarea vectorilor s, i ı̂nmult, irea lor cu scalari. Astfel, e vectorii:

v⃗ = ai⃗ + bj⃗, w⃗ = ci⃗ + dj⃗,

unde a, b, c, d ∈ ℝ.Denim operat, ia de adunare a vectorilor, pe componente:

v⃗ + w⃗ = (a + c)i⃗ + (b + d)j⃗ .

Cu această denit, ie, observăm că (V , +) are o structură de grup comutativ (justicat, i!).În plus, mai avem la dispozit, ie s, i operat, ia de ı̂nmult, ire cu scalari. Fie � ∈ ℝ un scalar (număr

real, ı̂n cazul de fat, ă). Se denes, te operat, ia:

� ⋅ v⃗ = �ai⃗ + �bj⃗.

Cu această denit, ie, se verică imediat proprietăt, ile (pentru orice �, � ∈ ℝ s, i v⃗, w⃗ ∈ ℝ2):

• (��)v⃗ = �(�v⃗);

• � ⋅ (v⃗ + w⃗) = �v⃗ + �w⃗);

• 1ℝ ⋅ v⃗ = v⃗;

• 0ℝ ⋅ v⃗ = 0⃗.

6

Mai amintim, de asemenea, că mult, imea numerelor reale are o structură de corp comutativ,(ℝ, +, ⋅).

Sı̂ntem, astfel, condus, i la următoarea:

Deniţie 2.1: Spunem că V are structură de spat, iu vectorial peste K (echivalent, V este K -spat, iuvectorial) dacă:

1. (V , +) are structură de grup comutativ;

2. (K, +, ⋅) are structură de corp comutativ;

3. există o operat, ie externă ⋅ ∶ V × K → K care satisface

• � ⋅ (x + y) = � ⋅ x + � ⋅ y;• (� + �) ⋅ x = � ⋅ x + � ⋅ x ;• � ⋅ (� ⋅ x) = (��) ⋅ x ;• � ⋅ (x + y) = � ⋅ x + � ⋅ y;• 1K ⋅ x = x ;• 0K ⋅ x = 0V ;

pentru orice x, y ∈ V s, i �, � ∈ K .

În general, elementele grupului V se vor nota cu litere din alfabetul latin s, i se vor numi vectori,iar elementele corpului K se vor nota cu litere greces, ti s, i se vor numi scalari.

Observaţie 2.1: Are sens, ı̂n general, să lucrăm s, i pe cazul necomutativ, adică, de exemplu,ı̂nmult, irea cu scalari să e posibilă doar ı̂ntr-o parte sau să nu e egală expresia �v cu v� . Daraceste cazuri depăs, esc scopul acestui seminar s, i vor omise. De aceea, comutativitatea va presupusă implicit ı̂n tot ceea ce urmează.

Spat, iile vectoriale se mai numesc s, i spat, ii liniare, deoarece toate expresiile s, i ecuat, iile ce vorapărea vor liniare, i.e. de gradul ı̂ntı̂i.

Dacă corpulK esteℝ sauℂ, vom mai numi spat, iile reale, respectiv complexe. În acest seminar,majoritatea cazurilor vor de spat, ii vectoriale reale.

Cı̂teva exemple de bază urmează. Cititorul este ı̂ncurajat să verice armat, iile cu o scurtădemonstrat, ie.

1. K este un K -spat, iu vectorial, deci putem avea, de exemplu, V = K = ℝ;

2. ℝn este unℝ-spat, iu vectorial, unde vectorii sı̂nt n-tupluri de numere reale, v = (x1, x2,… , xn).

3. Mm,n(K ) este un K -spat, iu vectorial, indiferent dem, n, K . În particular, M4(ℝ) este un spat, iuvectorial real, iar M2,7(ℤ13) este un ℤ13-spat, iu vectorial.

7

4. ℝ este un ℚ-spat, iu vectorial, dar nu este un ℂ-spat, iu vectorial;

5. ℝ[X ] (mult, imea polinoamelor cu coecient, i reali) este un spat, iu vectorial real;

6. ℝn[X ] = {f ∈ ℝ[X ] ∣ gradf ≤ n} este un spat, iu vectorial real.

2.2 Subspat, ii vectorialeCa de obicei, atunci cı̂nd se introduc structuri algebrice noi, se caută s, i conceptul de substructurăcorespunzător. În cazul de fat, ă, este vorba despre subspat, ii vectoriale. Ca ı̂n cazul grupurilor,acestea se denesc simplu:

Deniţie 2.2: Fie V un K -spat, iu vectorial. Submult, imea W ⊆ V se numes, te subspat, iu vectorialal lui V , notat W ↪ V dacă W la rı̂ndul său are structură de K -spat, iu vectorial.

Tot ca ı̂n cazul grupurilor, avem o teoremă de caracterizare care ne este de ajutor ı̂n calcule.Cı̂teva exemple simple (justicat, i!):

1. Mult, imea {0V} formează un subspat, iu vectorial al lui V , numit subspat, iul nul sau trivial.De asemenea, V este la rı̂ndul său subspat, iu al lui V . Aceste exemple se numesc subspat, iiimproprii, iar noi vom interesat, i de celelalte cazuri, numite subspat, ii proprii.

2. ℝn[X ] ↪ ℝ[X ], pentru orice număr natural n.

3. Submult, imea W = {(x1, x2) ∈ ℝ2 ∣ 2x1 − 3x2 = 0} este un subspat, iu al spat, iului ℝ2.

4. Mult, imea matricelor pătratice de mărime n, superior triunghiulare, este un subspat, iu alspat, iului de matrice pătratice de mărime n.

5. În spat, iul ℝ3, dreptele s, i planele care cont, in originea sı̂nt subspat, ii.

6. În spat, iul ℝ2, mult, imea W = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 2x − 1} nu formează un subspat, iu.

2.3 Operat, ii cu subspat, iiFie V un K -spat, iu vectorial s, i V1, V2 două subspat, ii ale sale.

Deniţie 2.3: Mult, imea V1 + V2 = {x ∈ V ∣ ∃x1 ∈ V1, x2 ∈ V2, x = x1 + x2} se numes, te sumasubspat, iilor V1 s, i V2.

Dacă, ı̂n plus, V1 ∩ V2 = {0V}, atunci suma se numes, te directă s, i se notează V1 ⊕ V2.

Observaţie 2.2: Dacă V1, V2 ↪ V , este imposibil ca V1 ∩ V2 = ∅. (Justicat, i!)

Cazul ı̂n care suma a două subspat, ii este directă este foarte util prin următorul rezultat.

8

Propoziţie 2.1: Suma dintre subspat, iile V1 s, i V2 ale spat, iului V este directă dacă s, i numai dacăorice vector din v se descompune ı̂n mod unic ı̂n v = v1 + v2, cu v1 ∈ V1 s, i v2 ∈ V2.

Dacă acesta este cazul, spunem că v1 este proiect, ia lui V pe V1 s, i similar pentru V2.O altă operat, ie permisă cu subspat, ii este intersect, ia: Dacă V1, V2 sı̂nt subspat, ii ale lui V , atunci

s, i V1 ∩ V2 este subspat, iu.Reuniunea de subspat, ii, ı̂nsă, nu este subspat, iu, ı̂n general!

2.4 Bază s, i dimensiuneFie V un K -spat, iu vectorial s, i S = {x1,… , xn} ≤ V o submult, ime nevidă de vectori din V .

O expresie de forma v =n∑i=1

�ixi se numes, te combinat, ia liniară a vectorilor xi cu scalarii�i ∈ K .Deniţie 2.4: Mult, imea S de mai sus se numes, te:

• sistem liniar independent dacă orice combinat, ie liniară a vectorilor din S cu scalari din Kcare este nulă are tot, i scalarii nuli. Cu alte cuvinte, dacă

n∑i=1

�ixi = 0, atunci tot, i �i = 0, ∀i,adică singura combinat, ie liniară nulă care foloses, te tot, i vectorii din S este cea trivială.

• sistem de generatori dacă orice vectori v ∈ V se poate scrie ı̂n funct, ie de vectorii din S. Cualte cuvinte, pentru orice v ∈ V , există scalarii �1,… , �n astfel ı̂ncı̂t v = ∑ �ixi . Dacă unspat, iu vectorial admite un sistem de generatori cu un număr nit de vectori, atunci spat, iulse numes, te nit generat. Dacă mult, imea {x1,… , xn} este un sistem de generatori pentru V ,notăm aceasta cu V = Sp{x1,… , xn}, de la englezescul span (acoperire, ı̂ntindere).

• bază dacă este simultan sistem liniar independent s, i sistem de generatori. Cu alte cuvinte,orice vector din V se poate scrie ı̂n funct, ie de vectorii din S, iar această scriere este unică.

Dacă S este bază, numărul de elemente din S se numes, te dimensiunea spat, iului vectorial V , notatdimK V sau mai simplu dimV , cı̂nd corpul de scalari este clar din context.

Un rezultat esent, ial este:

Teoremă 2.1: Orice spat, iu vectorial admite (cel put, in) o bază s, i orice două baze ale unui spat, iuvectorial au acelas, i număr de elemente.

As, adar, e că este vorba despre spat, ii nit dimensionale sau innit dimensionale, s, tim sigurcă o bază există, iar conceptul de dimensiune este corect denit.

În plus, ı̂n toate cazurile pe care le vom discuta ı̂n continuare, vom lucra doar cu spat, ii nitdimensionale.

Exemple fundamentale:

9

1. Pentru spat, iul real ℝn, o bază este:

{e1 = (1, 0, 0,… , 0), e2 = (0, 1, 0,… , 0),… , en = (0, 0,… , 0, 1)} ,

care se numes, te baza canonică.

2. Pentru spat, iul real ℝ[X ], o bază este {1, X , X 2, X 3,… , X n,… , }.

3. Pentru spat, iul de matrice Mn(ℝ), o bază este formată din matricele care au toate elementelenule, mai put, in unul, care este egal cu 1. De exemplu, pentru M2(ℝ), o bază este:

{

(1 00 0) ,(

0 10 0) ,(

0 01 0) ,(

0 00 1)

}.

4. Pentru spat, iul real ℂ, o bază este formată din {1, i}.

5. Pentru spat, iul real ℝ, o bază este {1}.

Să mai dăm cı̂teva detalii pentru cazul binecunoscut al spat, iului real ℝ2. Dimensiunea lui este2 s, i o bază (baza canonică) este B = {(1, 0), (0, 1)}. Elementele bazei pot asimilate cu versoriii⃗ = (1, 0) s, i j⃗ = (0, 1). Mai mult, dat un vector oarecare, v = (a, b), el poate scris ı̂n funct, ie deelementele bazei ı̂n mod unic:

(a, b) = a ⋅ (1, 0) + b ⋅ (0, 1).Scalarii a s, i b de mai sus se numesc coordonatele vectorului v ı̂n baza canonică B.

Similar, de exemplu, ı̂n spat, iul V = ℝ3[X ], baza canonică este B = {1, X , X 2, X 3}, iar dacăluăm polinomul

f = 3 − 5X + 2X 2 + 7X 3,atunci coordonatele sale ı̂n baza canonică sı̂nt 3, −5, 2, 7.

2.5 Teorema lui GrassmannFie V un K -spat, iu vectorial nit dimensional s, i V1, V2 două subspat, ii ale sale. Teorema următoareleagă conceptul de dimensiune de operat, iile cu subspat, ii.

Teoremă 2.2 (Hermann Grassmann): În contextul s, i cu notat, iile de mai sus, are loc egalitatea:

dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2).

Comparat, i rezultatul de mai sus cu unul cunoscut, despre cardinale:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

De aici rezultă că o bază ı̂n V1 + V2 este reuniunea bazelor din V1, respectiv V2.

10

2.6 Exercit, ii1. Arătat, i că următoarele mult, imi sı̂nt subspat, ii vectoriale ı̂n spat, iile indicate. Determinat, i o bazăs, i dimensiunea ecărui subspat, iu.

(a) V1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 3x − y = 0} ↪ ℝ2;

(b) V2 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y = 0} ↪ ℝ3;

(c) V3 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x = 0} ↪ ℝ3;

(d) V4 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(1) = 0} ↪ ℝ2[X ];

(e) V5 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p′(1) = 0} ↪ ℝ2[X ];

(f) V6 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y + z = 0, 2x + y = 0} ↪ ℝ3;

(g) V7 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = At} ↪ M2(ℝ);

(h) V8 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ trA = 0} ↪ M2(ℝ).

2. Se consideră mult, imea:

W ={A ∈ M2,3(ℝ) ∣ A = (

x 0 y0 u z) , x, y, z, u ∈ ℝ, x = y + z

}.

(a) Să se arate că W ↪ M2,3(ℝ);

(b) Găsit, i o bază a lui W s, i dimℝW .

3. Arătat, i că sistemul de vectori {v1, v2, v3} este liniar independent, unde:

v1 = (1, −1, 2), v2 = (3, −1, 1), v3 = (0, 1, 5).

Este acesta s, i sistem de generatori?

4. Fie mult, imea B = {p1, p2, p3} ⊆ ℝ2[X ], unde:

p1 = X 2 − 1, p2 = 2X + 1, p3 = X 2 + 3.

Arătat, i că B este o bază a lui ℝ2[X ] s, i găsit, i coordonatele vectorului q = 3X 2 − X + 4 ı̂n baza B.

11

5. Fie subspat, iile:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 2x − y + z = 0}V2 = Sp{(1, −1, 2), (3, 1, 0)}.

Găsit, i cı̂te o bază s, i dimensiunea subspat, iilor: V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.Este suma V1 + V2 directă?

6. Aceeas, i cerint, ă ca la exercit, iul 5 pentru spat, iile:

(a)

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y + z = 0}V2 = Sp{(1, −1, 0), (2, 1, 1), (1, 1, 0)}

(b)

V1 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(2) = 0}V2 = Sp{X, 2X 2 + 1, 3}

(c)

V1 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = −At}V2 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = At}

(d)

V1 = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 ∣ 3x − y + z = 0 s, i 5y − 2t = 0}V2 = Sp{(1, −1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 2)}.

7. Vericat, i dacă mult, imile S de vectori din spat, iul vectorial V sı̂nt liniar independente, iar ı̂ncaz armativ, completat, i-le pı̂nă la o bază a lui V :

(a) V = ℝ3, S = {(1, −1, 0), (2, 0, 0)};

(b) V = ℝ3, S = {(1, 1, 1), (2, 1, 2)};

(c) V = ℝ3, S = {(1, −1, 2), (0, 2, 0), (1, 1, 1)};

12

(d) V = ℝ3, S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (−1, 1, 1), (0, 0, 2)};

(e) V = ℝ2[X ], S = {X, 1 + 2X};

(f) V = ℝ2[X ], S = {X 2, −X};

(g) V = M2(ℝ), S ={

(1 10 0) ,(

−1 −10 0 )

};

(h) V = ℝ3[X ], S = {2 + X, 5 − X, 3 − 2X + X 2}.

8. Vericat, i dacă mult, imile S de vectori din spat, iul vectorial V sı̂nt sisteme de generatori, iarı̂n caz armativ, extraget, i din ele o bază a lui V :

(a) V = ℝ3, S = {(−1, 2, 0), (3, 1, 1), (0, 1, 1), (−1, 2, 5), (0, 2, 2)};

(b) V = ℝ3, S = {(0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 0, 1), (−1, 1, 1), (2, 1, 2)};

(c) V = ℝ2[X ], S = {X, X 2, 1 − 3X, 2 + 2X − X 2, 1 + X 2, 1 − X, 1 + X};

(d) V = ℝ2[X ], S = {1 − X, 1 + X, 1 − X 2, 1 + X 2}.

9. Pentru spat, iile vectoriale V de mai jos, arătat, i că mult, imea B este o bază, apoi găsit, i coor-donatele vectorului v ı̂n baza B:

(a) V = ℝ3, B = {(1, −1, 0), (2, 0, 1), (0, −1, 2)}, v = (1, 2, 3);

(b) V = ℝ3, B = {(0, −1, 2), (3, 1, 1), (2, −1, 3)}, v = (3, 2, 1);

(c) V = ℝ3, B = {(1, 1, 1), (−2, 3, 1), (3, 1, 1)}, v = (2, 2, 2);

(d) V = ℝ2[X ], B = {1 + X, 1 − X 2, 5}, v = X ;

(e) V = ℝ2[X ], B = {3 + X − 2X 2, 1 + 3X, 2}, v = 2 + 3X 2;

(f) V = ℝ3[X ], B = {5 − X, 2, 4 + 3X 2, 1 + 2X}, v = 1 + X + X 2 + X 3.

13

SEMINAR 3

APLICAT, II LINIARE

În continuare, studiem morsmele de spat, ii vectoriale s, i legătura strı̂nsă care există ı̂ntreacestea s, i matrice.

Denit, ia de bază urmează.

Deniţie 3.1: Fie V ,W două K -spat, ii vectoriale s, i f ∶ V → W o funct, ie.f se numes, te aplicat, ie liniară (morsm de spat, ii vectoriale) dacă satisface proprietatea:

f (�x + �y) = �f (x) + �f (y), ∀�, � ∈ K, x, y ∈ V .

Proprietatea se mai poate scrie pe bucăt, i, sub forma:

f (�x) = �f (x), f (x + y) = f (x) + f (y).

Cu alte cuvinte, f ”respectă“ atı̂t adunarea vectorilor cı̂t s, i ı̂nmult, irea cu scalari sau, pe scurt,respectă combinat, iile liniare.Dată o astfel de aplicat, ie liniară, vom interesat, i de:

• Imaginea aplicat, iei, Imf = {w ∈ W ∣ ∃v ∈ V , f (v) = w};

• Nucleul aplicat, iei, Kerf = {x ∈ V ∣ f (x) = 0W }.

Exercit, iu: În contextul s, i cu notat, iile de mai sus, arătat, i că Imf ↪ W s, i Kerf ↪ V .Ca ı̂n cazul oricăror morsme de structuri algebrice, avem not, iunile cunoscute:

• f se numes, te injectivă dacă oricı̂nd f (v1) = f (v2), ca vectori ai lui W , rezultă că v1 = v2, cavectori ai lui V ;

• f se numes, te surjectivă dacă pentru orice vector w ∈ W există un vector v ∈ V astfel ı̂ncı̂tf (v) = w;

14

• f se numes, te bijectivă dacă este simultan injectivă s, i surjectivă.

În cazul ı̂n care f ∶ V → W este un morsm bijectiv, f se numes, te izomorsm de spat, iivectoriale, iar cele două spat, ii se numesc izomorfe, notat V ≃ W .

De asemenea, au loc rezultatele:

• V ≃ W dacă s, i numai dacă dimV = dimW ;

• Kerf = {0V} dacă s, i numai dacă f este injectivă;

• Imf ≃ W dacă s, i numai dacă f este surjectivă.

Exercit, iu*: Demonstrat, i armat, iile de mai sus.

Exercit, iu*: Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniară.

(a) Fie S un sistem liniar independent de vectori din V . Arătat, i că f (S) este un sistem liniarindependent de vectori din W dacă s, i numai dacă f este injectivă.

(b) Fie S un sistem de generatori ai lui V . Arătat, i că f (S) este un sistem de generatori ai lui Wdacă s, i numai dacă f este surjectivă.

(c) Fie B o bază a lui V . Deducet, i că f (B) este o bază a lui W dacă s, i numai dacă f este bijectivă.

Toate calculele cu aplicat, ii liniare sı̂nt us, urate de următorul concept.

Deniţie 3.2: Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniară s, i B = {v1,… , vn} o bază a lui V .Matricea care are drept coloane f (vi) se numes, te matricea aplicat, iei f ı̂n baza B, notată pe

scurt MBf .Uneori, se specică s, i o bază B′ a lui W s, i se spune că f este matricea lui f ı̂n bazele B s, i B′.

În majoritatea exercit, iilor, bazele considerate vor cele canonice, astfel că se poate face cal-culul foarte simplu.

De asemenea, un rezultat fundamental este următorul:

Teoremă 3.1 (Teorema rang-defect): Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniară, Kerf , nucleul său s, i Imf ,imaginea sa. Atunci are loc:

dimKerf + dim Imf = dimV .

Teorema se mai numes, te astfel deoarece:

• dimKerf se mai numes, te defectul aplicat, iei f , notat cu deff ;

15

• dim Imf se mai numes, te rangul aplicat, iei f , notat cu rangf .

În plus, după cum sugerează numele, avem:

Teoremă 3.2: În contextul s, i cu notat, iile de mai sus, e A matricea aplicat, iei f ı̂ntr-o bază B aspat, iului vectorial V .

Atunci rangf = rangA.

3.1 Exercit, ii1. Pentru aplicat, iile liniare de mai jos, determinat, i:

(a) matricea aplicat, iei ı̂n baza B specicată;

(b) nucleul aplicat, iei, o bază s, i dimensiunea lui. Vericat, i dacă aplicat, ia este injectivă.

(c) imaginea aplicat, iei, o bază s, i dimensiunea ei. Vericat, i dacă aplicat, ia este surjectivă.

(1) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (3x − y, y + 2z, 2x + y − z), B este baza canonică;

(2) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x, −y, x + 3z), B este baza canonică;

(3) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (y + 2z, 3x − z, x − y), B = {b1 = (1, −1, 0), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 3)};

(4) f ∶ ℝ3[X ] → ℝ3[X ], f (a + bX + cX 2 + dX 3) = c + aX − 2dX 2, B este baza canonică;

(5) f ∶ ℝ2[X ] → ℝ2[X ], f (a + bX + cX 2) = b − aX + 2cX 2, B este baza canonică;

(6) f ∶ M2(ℝ) → M2(ℝ), f ((a bc d)) = (

a − c 2db + a c + a), B este baza canonică;

(7) f ∶ M2(ℝ) → M2(ℝ), f ((a bc d)) = (

d 2cb 0), B este baza canonică;

(8) f ∶ ℝ3 → ℝ2[X ], f (a, b, c) = b + 2aX − cX 2, iar B este baza canonică;

(9) f ∶ ℝ3 → M2(ℝ), f (a, b, c) = (a b + c

c − a a + b), B este baza canonică;

(10) f ∶ ℝ2[X ] → ℝ4, f (a + bX + cX 2) = (a − c, a − b, b − c, 2c), B este baza canonică;

(11) f ∶ M2(ℝ) → ℝ3[X ], f ((a bc d)) = 3c − 2dX

2 + aX 3, B este baza canonică;

(12) f ∶ ℝ2[X ] → ℝ3[X ], f (a + bX + cX 2) = (a + c)X − bX 2, B este baza canonică.

16

Indicat, ii: (1) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Atunci obt, inem:f (1, 0, 0) = (3, 1, −1)f (0, 1, 0) = (−1, 1, 1)f (0, 0, 1) = (0, 2, −1),

care devin coloanele matricei aplicat, iei. Deci:

A = MBf =⎛⎜⎜⎝

3 −1 01 1 2−1 1 −1

⎞⎟⎟⎠.

Nucleul aplicat, iei se determină cu denit, ia:

Kerf = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ f (x, y, z) = (0, 0, 0)},care conduce la sistemul de ecuat, ii:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3x − y = 0y + 2z = 02x + y − z = 0

,

a cărui matrice este chiar A. Solut, ia sistemului alcătuies, te nucleul aplicat, iei. Calculı̂nd efectiv,putem apoi extrage o bază. Se obt, ine Kerf = {(0, 0, 0)}, deci dimKerf = 0, iar baza este vectorulnul.

Imaginea aplicat, iei se poate determina astfel: dim Imf = rangA = 3, ı̂n acest caz. Re-zultă, ı̂n particular, că aplicat, ia este bijectivă, deci automorsm (izomorsm ı̂ntre un spat, iu s, iel ı̂nsus, i). Alternativ, puteam observa aceasta din teorema rang-defect: cum dimKerf = 0, re-zultă că dim Imf = 3.

O bază ı̂n Imf se poate obt, ine direct din matricea aplicat, iei, luı̂nd efectiv vectorii-coloană,deci {f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1)}.

(11) Baza canonică este:

B ={E1 = (

1 00 0) , E2 = (

0 10 0) , E3 = (

0 01 0) , E4 = (

0 00 1)

}

Calculăm:

f (E1) = X 3 = 0 + 0X + 0X 2 + 1X 3f (E2) = 0 = 0 + 0X + 0X 2 + 0X 3f (E3) = 3 = 3 + 0X + 0X 2 + 0X 3f (E4) = −2X 2 = 0 + 0X − 2X 2 + 0X 3.

17

Rezultă că matricea aplicat, iei este:

A = MBf =⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 3 00 0 0 00 0 0 −21 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Restul calculelor se fac asemănător cu exercit, iul de mai sus. Atent, ie, ı̂nsă! Domeniul dedenit, ie cont, ine matrice, iar codomeniul, polinoame. Deci, ı̂n particular, Kerf va cont, ine matrice,iar Imf va cont, ine polinoame.

2*. Pentru ecare dintre cazurile de mai sus, extindet, i baza Kerf pı̂nă la o bază a domeniuluide denit, ie s, i baza Imf pı̂nă la o bază a codomeniului.

Altfel spus, dacă ı̂n general, scriem f ∶ V → W , căutăm X ↪ V s, i Y ↪ W astfel ı̂ncı̂tKerf ⊕ X ≃ V s, i Imf ⊕ Y ≃ W .

18

SEMINAR 4

VECTORI S, I VALORI PROPRII. DIAGONALIZARE

4.1 Vectori s, i valori propriiFie V un K -spat, iu vectorial s, i f ∶ V → V o aplicat, ie liniară.

Deniţie 4.1: Un vector v ∈ V se numes, te vector propriu (eng. eigenvector) pentru aplicat, ia fdacă există un scalar � ∈ K astfel ı̂ncı̂t f (v) = �v.

În acest caz, � se numes, te valoarea proprie (eng. eigenvalue) asociată vectorului propriu v.

Rezultă că vectorii proprii sı̂nt aceia pentru care aplicat, ia liniară are o act, iune simplă, de

”rescalare“, adică doar de ı̂nmult, ire cu un scalar, care se numes, te valoarea proprie asociată.Pas, ii pentru calculul vectorilor s, i valorilor proprii sı̂nt:

(1) Presupunem dimV = n. Scriem matricea aplicat, iei f ı̂n baza canonică a lui V s, i obt, inemA = MBf ∈ Mn(K );

(2) Scriem polinomul caracteristic al matricei, anume:

P (x) = det(A − x ⋅ In).

(3) Rădăcinile polinomului caracteristic sı̂nt valorile proprii ale endomorsmului f . Mult, imeavalorilor proprii se mai numes, te spectrul endomorsmului s, i se notează � (f ).

(4) Pentru a găsi vectorii proprii asociat, i ecărei valori proprii �i , se rezolvă ecuat, ia f (vi) = �ivis, i se determină vi ∈ V .

Alte elemente de terminologie:

19

Deniţie 4.2: Fie � o valoare proprie a unui endomorsm f , iar v, vectorul propriu asociat.Notăm V (�) = V� = Sp(v) subspat, iul lui V generat de v, numit subspat, iul invariant (propriu)

asociat lui v.Dimensiunea acestui subspat, iu se numes, te multiplicitatea geometrică a valorii proprii, notată

mg(�) = g(�) = dimV (�).Se numes, te multiplicitatea algebrică a valorii proprii �, notată ma(�) = a(�), multiplicitatea

rădăcinii x = � ı̂n polinomul caracteristic. Adică a(�) = n ⇔ PA(x) ⋮ (x − �)n.

O proprietate importantă este:

Teoremă 4.1 (Cayley-Hamilton): PA(A) = 0, unde A este polinomul caracteristic al matricei A.

4.2 Matrice de trecere. DiagonalizarePutem avea două sau mai multe baze ale aceluias, i spat, iu vectorial, iar ı̂ntre ele există o legăturăstrı̂nsă, matriceală.

Fie B = {b1,… , bn} s, i C = {c1,… , cn} două baza ale aceluias, i spat, iu vectorial V . Se numes, tematricea de trecere de la baza B la baza C , notată MCB sau BMC , matricea coecient, ilor din scriereavectorilor ci ı̂n funct, ie de vectorii bi . Mai precis, deoarece B este bază, avem:

∀i, j, ci = ∑j�ijbj ,

iar matricea de trecere este matricea (�ij).

Deniţie 4.3: O matrice A ∈ Mn(K ) se numes, te diagonalizabilă dacă ea este asemenea cu omatrice diagonală D, care are elemente nenule doar pe diagonala principală.

Altfel spus, există T ∈ Mn(K ) inversabilă, cu T −1AT = D.

Observaţie 4.1: Dacă matricea A este diagonalizabilă, atunci D din denit, ia de mai sus cont, inepe diagonală doar valorile proprii ale lui A.

Condit, iile necesare s, i suciente pentru diagonalizare sı̂nt:

Teoremă 4.2: Următoarele armat, ii sı̂nt echivalente:

(a) Matricea A este diagonalizabilă;

(b) Există o bază a spat, iului vectorial V formată doar din vectorii proprii ai lui A;

(c) a(�i) = g(�i), ∀�i ∈ � (A).

Evident, discut, ia are sens atı̂t pentru cazul ı̂n care pornim cu o aplicat, ie liniară, caz ı̂n care ı̂iluăm matricea ı̂n baza canonică s, i lucrăm cu ea, cı̂t s, i dacă pornim direct cu o matrice.

Pas, ii pentru diagonalizare sı̂nt:

20

(1) Fixăm o bază B a lui V (e.g. baza canonică) s, i scriem A = MBf ;

(2) Determinăm valorile proprii �i ale lui A s, i multiplicităt, ile lor geometrice;

(3) Pentru ecare valoare proprie, determinăm vectorii proprii, subspat, iile invariante, cı̂te o bazăBi ı̂n ecare dintre acestea s, i multiplicităt, ile geometrice;

(4) Dacă există o valoare proprie �j cu a(�j) ≠ g(�j), algoritmul se opres, te s, i matricea nu se poatediagonaliza;

(5) Dacă a(�i) = g(�i), ∀i, matricea se poate diagonaliza, iar B′ = ∪iBi este o bază a lui V , formatănumai din vectori proprii;

(6) Se determină matricea de trecere de la baza B la baza B′, notată T , care este inversabilă, iarforma diagonală este:

A ∼ T −1AT = diag(�i). (4.1)

Observat, i că ecuat, ia (4.1) poate scrisă s, i astfel:

T −1AT = diag(�i) not.== D ⇔ A = TDT −1,

unde D este o matrice diagonală. Astfel că, ı̂n general, se poate formula următoarea:

Deniţie 4.4: O matrice A ∈ Mn(ℝ) este diagonalizabilă dacă există o matrice diagonală D s, i omatrice inversabilă T astfel ı̂ncı̂t A = TDT −1.

Această denit, ie abstractă este concretizată ı̂n procedura de mai sus:

• matricea inversabilă este matricea de trecere de la baza canonică la o bază formată doar dinvectori proprii;

• matricea diagonală cont, ine valorile proprii pe diagonala principală.

Observaţie 4.2: Unul dintre avantajele diagonalizării matricelor este us, urint, a calculelor ulteri-oare. În particular, dacă A ∼ diag(�i), atunci Ak ∼ diag(�ki ), ∀k.

Mai mult, folosind relat, ia din ecuat, ia (4.1), putem scrie s, i:

An = (TDT −1)n = TDnT −1,

cu avantajul că Dn = (diag(�i))n = diag(�ni ).

21

4.3 Exercit, ii1. Să se determine vectorii s, i valorile proprii pentru matricele:

A = (1 08 2) , B =

⎛⎜⎜⎝

0 2 22 0 −22 −2 0

⎞⎟⎟⎠, C =

⎛⎜⎜⎝

0 1 −21 1 11 −1 −1

⎞⎟⎟⎠.

2. Fie aplicat, ia liniară f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (−y, x, z).Să se calculeze vectorii s, i valorile proprii ale lui f .3. Aceeas, i cerint, ă pentru:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x − z, 8x + y − 2z, z).

4. Fie aplicat, ia liniară f ∶ M2(ℝ) → M2(ℝ), denită prin:

f (a bc d) = (

2a + b + d 2b + 4c + 5d2c + d 8d ) .

Să se arate că f nu este diagonalizabilă.5. Să se diagonalizeze endomorsmul:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).

6. Să se diagonalizeze matricele:

A =⎛⎜⎜⎝

7 2 −22 4 −1−2 −1 4

⎞⎟⎟⎠, B = (

1 14 1) , C =

⎛⎜⎜⎝

11 −5 5−5 3 −35 −3 3

⎞⎟⎟⎠.

7. Determinat, i vectorii s, i valorile proprii pentru aplicat, ia:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (a, b, c) = (a − b + c, b, b − c).

22

SEMINAR 5

PART, IALE 2018–2019

Numărul 11. (a) Fie subspat, iile vectoriale:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 2x − y + 3z = 0}v2 = Sp{(1, −1, 3), (1, 2, 0)}

ale spat, iului vectorial ℝ3.Să se determine cı̂te o bază s, i dimensiunea pentru ℝ-spat, iile vectoriale V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.

Să se determine coordonatele vectorului v = (5, 9, 13) după o bază a lui V1 + V2.(b) Fie U , V ⊆ ℝ20. Să se arate că V ≃ U ⇔ dimU = dimV .

2. (a) Fie f ∶ ℝ3 → M2(ℝ) o aplicat, ie ℝ-liniară, denită prin:

f (a, b, c) = (a + 2c 0a − b b + 2c) .

Să se determine cı̂te o bază s, i dimensiunea pentru Kerf s, i Imf , matricea asociată lui f ı̂n bazelecanonice s, i să se determine V ⊆ ℝ3 astfel ı̂ncı̂t Kerf ⊕ V ≃ ℝ3.

(b) Se consideră ℝ4 un spat, iu vectorial s, i o aplicat, ie liniară f ∶ ℝ4 → ℝ4. Să se arate că dacăf verică relat, ia:

f 2 − 2f + Idℝ4 = 0ℝ4 ,atunci f este izomorsm s, i să se determine inversa ei. Să se determine Kerf s, i Imf (s-a notatf 2 = f ◦ f ).

3. (a) Să se diagonalizeze matricea A =⎛⎜⎜⎝

0 2 22 0 22 2 0

⎞⎟⎟⎠

s, i apoi să se calculeze A2018.

23

(b) Fie A ∈ M6(ℝ) o matrice nediagonală, cu A2 ≠ �I6, pentru orice � ∈ ℝ, cu proprietatea că:A2 − 5A + 6I6 = 06.

Să se determine valorile proprii ale matricei A.

——— ∗∗∗∗∗ ———

Numărul 21. Fie subspat, iile vectoriale:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − 2y + z = 0}V2 = Sp{(1, 1, 2), (0, 1, 2)}

ale spat, iului vectorial ℝ3.Să se determine cı̂te o bază s, i dimensiunea pentru ℝ-spat, iile vectoriale V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.

Să se determine coordonatele vectorului v = (15, 8, 7) după o bază a lui V1 + V2.(b) Fie V un ℝ-spat, iu vectorial de dimensiune 15. Să se arate că V ≃ ℝ15.

2. (a) Fie f ∶ M2(ℝ) → ℝ3 o aplicat, ie liniară astfel ı̂ncı̂t:

f (a bc d) = (a − 2c + d, 0, b − c).

Să se determine cı̂te o bază s, i dimensiunea pentru Kerf , Imf , matricea lui f ı̂n bazele canonices, i să se determine V ⊆ ℝ3 astfel ı̂ncı̂t Imf ⊕ V ≃ ℝ3.

(b) Se consideră spat, iul vectorial ℝ3 s, i o aplicat, ie liniară f ∶ ℝ3 → ℝ3. Să se arate că dacă fverică relat, ia:

f 2 − 3f − Idℝ3 = 0ℝ3 ,atunci f este izomorsm s, i să se determine inversa ei. Să se determine Kerf s, i Imf . Am notat cuf 2 = f ◦ f .

3.(a) Să se diagonalizeze matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

0 3 33 0 33 3 0

⎞⎟⎟⎠

s, i apoi să se calculeze A2018.(b) Fie f ∶ ℝ6 → ℝ6 o aplicat, ie liniară cu proprietatea:

f 2 − 4f + 3Idℝ6 = 0ℝ6s, i f 2 ≠ �Idℝ6 , pentru orice � ∈ ℝ.

Să se determine valorile proprii ale matricei aplicat, iei liniare.

24

SEMINAR 6

SPAT, II EUCLIDIENE

6.1 Ortonormare s, i complement ortogonalNe ı̂ndreptăm spre aplicat, iile ı̂n geometria clasică, adică euclidiană, ı̂n care este esent, ial să putemcalcula lungimi (distant, e) s, i unghiuri.

În liceu, puteam face aceasta folosind produsul scalar al doi vectori descompus, i ı̂n reperulcartezian. Astfel, e vectorii:

v⃗ = ai⃗ + bj⃗, w⃗ = ci⃗ + dj⃗, a, b, c, d ∈ ℝ.

Avem:

• produsul scalar: v⃗ ⋅ w⃗ = ac + bd ∈ ℝ;

• lungimea vectorului v =√v⃗ ⋅ v⃗;

• cosinusul unghiului ı̂ntre doi vectori: cos(̂⃗v, w⃗) = v⃗ ⋅ w⃗vw ;

• vectorii sı̂nt perpendiculari dacă v⃗ ⋅ w⃗ = 0.

Acestea sı̂nt not, iunile pe care le extindem acum ı̂n cazul spat, iilor vectoriale arbitrare. Vomprezenta pentru cazul spat, iului real V = ℝn, celelalte rezolvı̂ndu-se similar, prin intermediulizomorsmelor canonice.

Fie, deci, v = (v1,… , vn), w = (w1,… , wn) doi vectori din ℝn. Se denesc:

• produsul scalar:

⟨v, w⟩ =n∑i=1

viwi ∈ ℝ;

25

• norma vectorului:||v|| =

√⟨v, v⟩ ∈ ℝ;

• cosinusul unghiului ı̂ntre doi vectori:

cos(v, w) = ⟨v, w⟩||v|| ⋅ ||w || ∈ [−1, 1].

Avem s, i cazul particular de interes:

Deniţie 6.1: Doi vectori v s, i w din ℝn se numesc perpendiculari (ortogonali), notat v ⟂ w , dacă⟨v, w⟩ = 0.

Cu acestea, avem:

Deniţie 6.2: Spat, iul vectorialℝn se numes, te euclidian, deoarece este ı̂nzestrat cu produsul scalarde mai sus.

Aplicat, iile care ne vor interesa sı̂nt: calculul complementului ortogonal al unui subspat, iu s, iortonormarea unei baze.

Începem cu primul subiect.

Deniţie 6.3: Fie V un subspat, iu al unui spat, iu euclidian (ℝn, ı̂n majoritatea aplicat, iilor). Sedenes, te:

V ⟂ = {x ∈ ℝn ∣ x ⟂ v, ∀v ∈ V }subspat, iu care se numes, te complementul ortogonal al lui V .

O proprietate esent, ială, care ne va permite să găsim complementul ortogonal, este următoarea:

Teoremă 6.1: Fie V un subspat, iu al lui ℝn. Dacă V ⟂ este complementul său ortogonal, atunci:

V ⊕ V ⟂ ≃ ℝn.

Rezultă, folosind teorema lui Grassmann s, i denit, ia sumei directe, că:

• dimV ⟂ = dimℝn − dimV ;

• V ⟂ ∩ V = {0}.De asemenea, amintim că ı̂n ℝ2, de exemplu, baza canonică formată din {(1, 0), (0, 1)}, pe care

o putem ı̂nt, elege s, i {i⃗, j⃗}, are o proprietate specială. Mai precis, vectorii i⃗ s, i j⃗ sı̂nt versori, adicăi⃗ ⟂ j⃗ s, i i = j = 1.

În orice spat, iu euclidian, putem obt, ine o bază similară, numită bază ortonormată, ı̂n douăetape, folosind procedeul Gram-Schmidt.

Fie, as, adar, B = {b1,… , bn} o bază arbitrară ı̂n ℝn. Vrem să obt, inem din ea o bază ortonormatăC = {c1,… , cn}, adică să e formată din versori:

26

• ci ⟂ cj , ∀i ≠ j;

• ||ci || = 1, ∀i.

Procedeul construies, te pas cu pas ci , pornind de la bi .

(1) Alegem c1 = b1;

(2) Denim c2 = b2 + �c1, cu � un scalar pe care vrem să-l determinăm. Punem condit, ia c2 ⟂ c1s, i rezultă:

0 = ⟨c2, c1⟩ = ⟨b2 + �c1, c1⟩ = ⟨b2, c1⟩ + �⟨c1, c1⟩.As, adar:

� = −⟨b2, c1⟩⟨c1, c1⟩.

(3) Continuăm mai departe să denim c3 = b3 +�c2 + �c1 s, i determinăm �, � din condit, iile c3 ⟂ c2s, i c3 ⟂ c1.

(4) Procedeul continuă după regula generală:

ci = bi +1

∑j=i−1

�jcj ,

iar condit, iile pe care le vom putea folosi la ecare pas, pentru determinarea constantelor �jsı̂nt ci ⟂ cj , ∀j < i, deoarece cj au fost determinate la pas, ii anteriori.

Rezultă, cu aceasta, o bază ortogonală C = {c1,… , cn}. Această bază se normează, obt, inı̂ndvectori de normă 1 foarte simplu. Denim:

c′i =1

||ci ||⋅ ci

s, i observăm că acum avem ||c′i || = 1.As, adar, baza C ′ = {c′1,… , c′n} este o bază ortonormată, adică formată doar din versori, iar

procedeul se ı̂ncheie.

6.2 Aplicat, ii ı̂n geometrieAmintim, ı̂nainte de generalizarea ı̂ntr-un spat, iu vectorial arbitrar, că ı̂n geometria analitică dinliceu am studiat s, i condit, ii de coliniaritate pentru doi vectori. Această not, iune poate generali-zată us, or:

27

Deniţie 6.4: Fie v, w ∈ ℝn doi vectori, care se scriu ı̂ntr-o bază xată B = {bi} a lui ℝn cucoordonatele {�i}, respectiv {�i}.

Spunem că cei doi vectori sı̂nt coliniari, notat v ∥ w dacă s, i numai dacă au coordonateleproport, ionale: �1

�1= �2�2

= ⋯ = �n�n= k ∈ ℝ.

Evident, dacă k = 1, avem v = w .

De asemenea, ı̂n liceu, dacă este dat un vector din plan v⃗ = ai⃗ + bj⃗, lui i se poate calculaproiect, ia pe axa OX calculı̂nd produsul scala v⃗ ⋅ i⃗ = a.

Not, iunea poate generalizată astfel:

Deniţie 6.5: Fie v ∈ ℝn un vector arbitrar s, i V un subspat, iu al lui ℝn de bază B = {b1,… , bt}.Proiect, ia ortogonală a vectorului v pe subspat, iul V se denes, te prin:

v∥V = prVv =t

∑i=1

⟨v, bi⟩⟨bi , bi⟩

bi .

Geometric, prVv este ”cel mai apropiat“ de v vector din V .Mai mult, un rezultat important este:

Teoremă 6.2: În condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, v = v∥V + v⟂V , unde v⟂V ∈ V ⟂.

Cı̂teva aplicat, ii geometrice simple urmează.În plan, produsul scalar poate folosit pentru a calcula aria paralelogramului.

Propoziţie 6.1: Produsul scalar al vectorilor u, v ∈ ℝ2 este egal cu aria paralelogramului determinatde cei doi vectori.

În spat, iu, e doi vectori:

a⃗ = a1 i⃗ + a2 j⃗ + a3k⃗b⃗ = b1 i⃗ + b2 j⃗ + b3k⃗.

Produsul vectorial al celor doi vectori, notat a⃗ × b⃗ poate calculat ca un determinant formal:

a⃗ × b⃗ =|||||||

i⃗ j⃗ k⃗a1 a2 a3b1 b2 b3

|||||||.

Geometric, produsul vectorial produce un vector care este perpendicular pe planul determinatde cei doi factori, a cărui orientare este dată cu regula burghiului.

28

Propoziţie 6.2: Norma (modulul) produsului vectorial este egală cu volumul paralelipipedului de-terminat de cei trei vectori, ca muchii adiacente.

De asemenea, avem s, i:

Propoziţie 6.3: Păstrı̂nd notat, iile s, i condit, iile de mai sus,

a⃗ ∥ b⃗ ⇔ a⃗ × b⃗ = 0⃗.

Totodată, se poate deni s, i produsul mixt pentru trei vectori.Fie cei doi vectori de mai sus s, i c⃗ = c1 i⃗ + c2 j⃗ + c3k⃗¿Produsul mixt al celor trei vectori se calculează prin:

a⃗ ⋅ (b⃗ × c⃗) =||||||

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

||||||.

Propoziţie 6.4: Păstrı̂nd notat, iile s, i contextul de mai sus, vectorii a⃗, b⃗ s, i c⃗ sı̂nt coplanari dacă s, inumai dacă produsul lor mixt este nul.

Propoziţie 6.5: Păstrı̂nd notat, iile s, i contextul de mai sus, volumul tetraedrului determinat de vec-torii a⃗, b⃗, c⃗ ca muchii adiacente se calculează:

V = 16 a⃗ ⋅ (b⃗ × c⃗).

6.3 Exercit, ii1. Să se ortonormeze bazele:

(a) B1 = {(1, 0, 1), (−1, 2, 0), (0, 1, −1)} a lui ℝ3;

(b) B2 = {X + 1, X 2 + 1, 3} a lui ℝ2[X ];

(c) B3 = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, −1), (1, 0, −1, 1), (2, 1, 0, 1)} a lui ℝ4.

2. Să se completeze mult, imea {(1, −1, 2), (1, 2, 3)} pı̂nă la o bază a lui ℝ3 s, i să se ortonormezebaza rezultată.

3. Să se completeze mult, imea {3, 2X + 1} pı̂nă la o bază a lui ℝ2[X ] s, i să se ortonormeze bazarezultată.

4. Găsit, i complementele ortogonale pentru:

29

(a) V1 = Sp{(−1, 1, 2), (0, 1, 1)} ı̂n ℝ3;

(b) V2 = Sp{(1, 1, 1)} ı̂n ℝ3;

(c) V3 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x + y = 0} ı̂n ℝ3;

(d) V4 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x = y} ı̂n ℝ3;

(e) V5 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p′(0) = 0} ı̂n ℝ2[X ];

(f) V6 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(0) = 0} ı̂n ℝ2[X ];

(g) V7 = Sp{X} ı̂n ℝ2[X ];

(h) V8 = Sp{2, 5X 2} ı̂n ℝ2[X ];

(i) V9 = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 ∣ 3x + y = 0, y + z − t = 0} ı̂n ℝ4.

5. Folosind produsele scalare canonice, calculat, i ⟨u, v⟩, ||u||, ||v|| s, i proiect, iile pruv, prvu. Calculat, is, i cosinusul unghiului ı̂ntre u s, i v s, i decidet, i dacă vectorii sı̂nt ortogonali:

(a) u = (1, 2), v = (−1, 2) ∈ ℝ2;

(b) u = (1, 1, 1), v = (1, −2, 0) ∈ ℝ3;

(c) u = 1 + X, v = X 2 ∈ ℝ2[X ];

(d) u = (1 02 1), v = (

0 −11 0 ) ∈ M2(ℝ);

6. Fie subspat, iul W = Sp{v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (1, −1, 1, 0)} ⊆ ℝ4.

(a) Determinat, i W ⟂;

(b) Arătat, i că W ⊕W ⟂ ≃ ℝ4;

(c) Pentru v = (1, 1, 1, 1), determinat, i v0 = prv1v;

(d) Pentru v de mai sus, determinat, i v∥Wv ∈ W s, i v⟂W = v − v∥W .

7. Aat, i proiect, ia v∥W a vectorului v pe subspat, iul W , precum s, i componenta sa ortogonalăv⟂W ∈ W ⟂ pentru:

30

(a) (*) v = 1 + x ∈ ℝ2[x],W = Sp{p1 = 1 + x2, p2 = 1}, cu produsul scalar denit prin:

⟨p, q⟩ = ∫1

−1p(t)q(t)dt, ∀p, q ∈ ℝ2[x].

(b) v = (1, 2, 1),W = Sp{v1 = (2, 1, 0), v2 = (−1, 4, 1)} ⊆ ℝ3;

(c) v = (1 24 1), W = Sp

{C = (

1 00 1) , D = (

0 12 1)

}⊆ M2(ℝ);

(d) v = (2, 1, −1),W = {(x, y, z) ∣ x + y − 2z = 0} ⊆ ℝ3.

31

SEMINAR 7

CONICE S, I CUADRICE

7.1 ConiceConicele sı̂nt curbe plane, date de ecuat, ii pătratice. Ele sı̂nt reprezentate ı̂n gura 7.1, ı̂mpreunăcu ecuat, iile canonice.

Figura 7.1: Conice s, i ecuat, iile lor

32

Scopul pe care ni-l propunem ı̂n această sect, iune este să aducem o ecuat, ie a unei conice laforma canonică s, i să o reprezentăm grac.

Vom prezenta algoritmul direct pe un exemplu. Metoda aplicată se numes, te metoda rototranslat, iei,deoarece va folosi o operat, ie de rotat, ie s, i una de translat, ie a conicei.

Fie, de exemplu, conica:

g(x, y) = 3x2 − 4xy − 2x + 4y − 3 = 0.

Mai ı̂ntı̂i, se scrie forma pătratică asociată, adică alegem din conică termenii de grad total 2:

q(x, y) = 3x2 − 4xy.

Apoi, scriem matricea asociată lui q, care este:

A = (3 −2−2 0 )

Această matrice se obt, ine punı̂nd coecient, ii termenilor pătratici, ı̂n ordine lexicogracă.Dacă C(t) notează coecientul termenului t , atunci matricea este, ı̂n forma generică:

A = (C(x2) C(xy)C(yx) C(y2)) ,

cu convent, ia că C(xy) = C(yx), deci ı̂n matrice vom avea jumătate din coecientul din formapătratică.

Pentru această matrice, scriem ecuat, ia caracteristică:

PA(X ) = det(A − XI2) = X 2 − 3X − 4 = (X + 1)(X − 4).

Rezultă că valorile proprii sı̂nt � (A) = {−1, 4}.În acest punct, putem face o observat, ie de anticipat, ie. Se numes, te invariantul � al conicei

produsul valorilor proprii. Avem cazurile:

• � = �1 ⋅ �2 > 0 ⇒ conica este elipsă;

• � = �1 ⋅ �2 < 0 ⇒ conica este hiperbolă;

• � = �1 ⋅ �2 = 0 ⇒ conica este parabolă.

În cazul nostru, vom obt, ine o hiperbolă.Mai departe, se calculează vectorii proprii s, i obt, inem:

V (�1) = Sp{(1, 2)}, V (�2) = Sp{(2, −1)}.

33

Vectorii din bazele subspat, iilor proprii trebuie ortonormat, i (de exemplu, folosind proceduraGram-Schmidt). Observăm că ei sı̂nt deja ortogonali, deci mai trebuie doar să-i normăm:

||(1, 2)|| = ||(2, −1)|| =√5,

deci obt, inem versorii proprii:

e1 = (1√5 ,

2√5), e2 = (2√5 ,

−1√5)

Aces, ti versori vor alcătui coloanele matricei de rotat, ie:

R =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1√52√5

2√5−1√5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

În general, o matrice de rotat, ie de unghi � (ı̂n sens trigonometric) are forma:

R� = (cos � − sin �sin � cos � )

s, i det R� = 1.În cazul nostru, det R = −1, deci putem schimba ı̂ntre ele coloanele s, i obt, inem o matrice de

rotat, ie (echivalent, putem schimba orientarea unuia dintre versori, de exemplu, e1 ⟶ −e1).Apoi aplicăm rotat, ia, adică, dacă (x, y) sı̂nt vechile coordonate, coordonatele din sistemul rotit

(x ′, y′) se obt, in din ecuat, ia:

(xy) = R ⋅(

x1y1)

Cu alte cuvinte, avem sistemul:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = −1√5x1 +2√5y1

y = −2√5x1 +−1√5y1

.

Aceste coordonate se ı̂nlocuiesc ı̂n ecuat, ia init, ială a conicei s, i obt, inem conica rotită:

−x21 + 4y21 −6√5x1 −

8√5y1 − 3 = 0.

Prelucrăm algebric, completı̂nd pătratele, s, i obt, inem:

−(x1 +3√5)

2+ 4(y1 −

1√5)2= 2.

34

Facem acum translat, ia: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X = x1 +3√5

Y = y1 −1√5

s, i obt, inem:−X 2 + 4Y 2 = 2 ⇔ −(

X√2)2+ (

Y1/2)

2= 1,

deci ecuat, ia unei hiperbole.Pentru reprezentarea gracă, trebuie să t, inem cont de operat, iile efectuate:

• rotat, ia de unghi � , cu proprietatea că cos � = −1√5 , deci � ≃

2�3 ;

• translat, ia centrului cu3√5 pe axa OX s, i −

1√5 pe axa OY .

Mai putem determina s, i centrul conicei, din sistemul:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

)g)x = 0

)g)y = 0

Solut, ia sistemului este centrul conicei, de coordonate C(1, 1).Reprezentarea gracă (folosind GeoGebra) este redată ı̂n gura 7.2.OBSERVAT, IE: O metodă alternativă este să pornim cu calculul centrului. Atunci, primul

pas al transformării este translat, ia ı̂n centru. Astfel, ı̂n exemplul de mai sus, calculăm mai ı̂ntı̂icentrul C(1, 1), iar apoi facem substitut, ia ı̂n forma g(x, y), adică x ↦ (x + 1) s, i y ↦ (y + 1), deci:

g(x, y) = 3(x + 1)2 − 4(x + 1)(y + 1) − 2(x + 1) + 4(y + 1) − 3= 3x2 − 4xy,

care coincide cu forma pătratică considerată ı̂n metoda init, ială.Din acest punct, putem continua cu rotat, ia ca mai sus.

7.2 CuadriceCuadricele sı̂nt suprafet, e care pot obt, inute prin rotirea unei conice ı̂n jurul unei axe. Astfel, dinelipsă, de exemplu, obt, inem elipsoizi, din parabolă, paraboloizi, iar din hiperbolă, hiperboloizi.

35

https://www.geogebra.org/

Figura 7.2: Hiperbola 3x2 − 4xy − 2x + 4y − 3 = 0

Formele, ı̂mpreună cu ecuat, iile canonice, pot consultate, de exemplu, aici.Procedura de a aduce o cuadrică la forma canonică funct, ionează ca ı̂n cazul conicelor.Mai jos un exemplu rezolvat.

x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 8 = 0.Considerăm forma pătratică asociată:

g = x2 + 3y2 + 4yz,

care are matricea simetrică.

A =⎛⎜⎜⎝

1 0 00 3 20 2 0

⎞⎟⎟⎠

Ecuat, ia caracteristică rezultă: (1 − �)(�2 − 3� − 4) = 0, deci �1 = 1, �2 = −1, �3 = 4.Găsim subspat, iile invariante:

V (�1) ={(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣

⎛⎜⎜⎝

0 0 00 2 20 2 −1

⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎝

xyz

⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

000

⎞⎟⎟⎠

}

= {(x, 0, 0) ∣ x ∈ ℝ}

36

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadric#Euclidean_space

Similar:

V (�2) = {(0, y, −2y) ∣ y ∈ ℝ}V (�3) = {(0, 2z, z) ∣ z ∈ ℝ}.

Alegem vectori proprii ortonormat, i particularizı̂nd elemente din subspat, iile invariante. Deexemplu:

e1 = (1, 0, 0), e2 =1√5(0, 1, −2), e3 =

1√5(0, 2, 1).

Matricea R cu aces, ti vectori pe coloane are proprietatea det R = 1, deci este o matrice de rotat, ie.O aplicăm s, i găsim schimbarea de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = x ′

y = 1√5(y′ + 2z′)

z = 1√5(−2y′ + z′)

Ecuat, ia cuadricei devine:

x ′2 − y′2 + 4z′2 − 6x ′ + 8√5y′ + 16√5z

′ + 8 = 0.

Formăm pătrate s, i obt, inem:

(x ′ − 3)2 − (y′ −4√5)

2 + 4(z′ +2√5)

2 − 1 = 0.

Efectuăm translat, ia corespunzătoare noilor coordonate s, i obt, inem:

X 2 − Y 2 + 4Z 2 − 1 = 0 ⇔ X 2 − Y 2 + Z2

14− 1 = 0,

adică un hiperboloid cu o pı̂nză.

7.3 Exercit, ii propuse1. Aducet, i următoarele conice la forma canonică s, i reprezentat, i-le:

(a) 4xy − 3y2 + 4x − 14y − 7 = 0 (hiperbolă);

(b) 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0 (parabolă);

37

(c) x2 − 2xy + y2 − 5x + y − 2 = 0 (parabolă);

(d) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0 (elipsă);

(e) x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0 (parabolă)

2. Aceeas, i cerint, ă pentru cuadrica:

x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx − 5x − 1 = 0

(hiperboloid cu o pı̂nză).

38

SEMINAR 8

FORMA CANONICĂ JORDAN

8.1 Metoda nucleului stabilDupă cum am văzut, nu orice matrice poate adusă la forma diagonală. Însă vom vedea că, pentruspat, ii vectoriale reale, orice matrice poate adusă la forma canonică Jordan, care este ”aproapediagonală“, ı̂ntr-un anume sens.

Prezentarea de mai jos urmează materialul de aici, paginile 90–108.Algoritmul va proceda similar cu cazul diagonalizării, ı̂n prima parte.Fie A ∈ Mn(ℝ) o matrice căreia vrem să-i găsim forma canonică Jordan.

• Se calculează polinomul caracteristic al matricei, PA(X ), de unde se obt, in valorile proprii,� (A) = {�1,… , �p};

• Pentru ecare valoare proprie, se determină vectorii proprii s, i subspat, iile invariante cores-punzătoare;

• Pentru ecare valoare proprie �i , denim matriceaM = A−�iIn. Observăm căKerM = V (�i).Pentru această matrice, se calculează s, irul ascendent de nuclee:

V (�i) = KerM ⊂ KerM2 ⊂ ⋯ ⊂ KerM s ,

ultimul spat, iu notı̂ndu-se e K (M), e V �i s, i numindu-se nucleu stabil al lui M .Prin denit, ie, dimV �i = ma(�i).

• Alegem vectori liniar independent, i astfel:

– u1,… , up1 ∈ KerM s − KerM s−1, astfel ı̂ncı̂t KerM s−1 ⊕ Sp{ui} ≃ KerM s . Altfel spus,completăm baza lui KerM s−1 la o bază a lui KerM s ;

39

https://www.scribd.com/doc/233533692/Matematici-Speciale-by-Brinzanescu-Stanasila-1998

– Calculăm Mutj ∈ KerM s−1 − KerM s−2 s, i completăm rezultatele la o bază a lui KerM s−1.– Continuăm aces, ti pas, i s, i ı̂n nal se obt, ine o listă de forma:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u1,… , up1Mu1,… , Mup1 , up1+1,… , up2…M s−1u1,… , M s−1up1,… , ups

ultima linie reprezentı̂nd o bază pentru V (�i), pe care o notăm cu B1.

• Refacem pas, ii anteriori pentru ecare valoare proprie s, i va rezulta B = B1 ∪… cupBp o bazăa lui ℝn;

• Fie T matricea de trecere de la baza canonică la această bază. Atunci forma canonică Jordanse scrie J = T −1AT .

Observaţie 8.1: Dacă, ı̂n loc de matrice, se pornes, te cu un endomorsm f , se consideră mai ı̂ntı̂imatricea asociată ı̂n baza canonică, A, apoi putem continua ca mai sus.

De asemenea, ı̂n locul matricei M , putem gı̂ndi că denim un nou endomorsm g = f − �Idℝn .

8.2 Exemple rezolvatePrezentăm ı̂n continuare cı̂teva exercit, ii rezolvate, ı̂n care insistăm pe elementele de noutate. Amomis calculele intermediare, pe care le putet, i verica us, or.

1. Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

1 −1 −1−3 −4 −34 7 6

⎞⎟⎟⎠.

Calculăm forma canonică Jordan a acestei matrice.Polinomul caracteristic este:

PA(X ) = det(A − XI3) = −(X + 1)(X − 2)2,

deci avem două valori proprii �1 = −1, ma(−1) = 1 s, i �2 = 2, ma(2) = 2.Fie �1 = −1. Denim M = A − �1I3. Atunci KerM = V (�1) = Sp{(0, 1, −1)}. Deoarece

dimV (�1) = 1 = mg(�1) = ma(�1), rezultă că s, irul nucleelor are un singur termen, deci listava cont, ine doar u1 = (0, 1, −1).

Fie acum �2 = 2. Denim M = A − �2I3.Calculăm KerM = V (�2) = Sp{(1, 0, −1)}. Cumma(�2) = 2, rezultă că s, irul nucleelor va cont, ine

un pas s, i va de forma V (�2) ⊂ V �2 . Într-adevăr, calculăm:

V �2 = KerM2 = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 ∣ x1 + 2x2 + x3 = 0}.

40

Alegem u2 ∈ V �2 − V (�2) astfel ı̂ncı̂t V (�2) ⊕ Sp{u2} = V �2 . Altfel spus, completăm baza luiV (�2) la o bază a lui V �2 .

De exemplu, putem lua u2 = (−2, 1, 0). Mai departe, calculăm Mut2 = (1, 0, −1).Din lista {u1, u2, Mut2} obt, inem o bază a lui ℝ3, iar matricea de trecere de la baza canonică va

:

T =⎛⎜⎜⎝

0 −2 11 1 0−1 0 −1

⎞⎟⎟⎠

Iar forma canonică Jordan este:

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎝

−1 0 00 2 00 1 2

⎞⎟⎟⎠

Spunem că această matrice este alcătuită din 2 blocuri Jordan, unul de mărime 2, asociat valo-rii proprii 2, iar unul de mărime 1, asociat valorii proprii -1. Observat, i forma ”aproape diagonală“a matricei: ı̂ntr-adevăr, blocul Jordan asociat valorii proprii 2 cont, ine un element nenul sub dia-gonală.

2. Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 0−1 3 0 1−1 0 −1 10 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Aducem această matrice la forma canonică Jordan.Calculı̂nd polinomul caracteristic, găsim:

PA(X ) = (X − 1)4 ⇒ � (A) = {1}, ma(1) = 4.

Rezultă că V � ≃ ℝ4.Calculăm spat, iul vectorilor proprii s, i obt, inem:

V (�) = {(�, �, −�, � − 2�) ∈ ℝ4}.

Denim M = A − �I4 s, i avem KerM = V (�).Cum mg(�) = 2, rezultă că s, irul nucleelor va avea 3 termeni:

V (�) = KerM ⊂ KerM2 ⊂ V � ≃ ℝ4.

Calculı̂nd M2 s, i apoi KerM2, obt, inem:

KerM2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ∣ x1 − x2 + x3 − x4 = 0},

41

deci un spat, iu de dimensiune 3.Alegem u1 ∈ V � − KerM2 astfel ı̂ncı̂t KerM2 ⊕ Sp{u1} = V �. Fie, de exemplu, u1 = (1, 0, 0, 0).Calculăm Mut1 = (0, −1, −1, 0) s, i M2ut1 = (−2, −2, 2, 2).Acum alegem u2 ∈ V (�) astfel ı̂ncı̂t {M2ut1, u2} să e o bază a lui V (�). Fie, de exemplu,

u2 = (1, 0, 0, 1).Lista cont, ine: u1, Mut1, M2u1, u2, vectori independent, i, sucient, i pentru o bază a lui ℝ4. Scriem

matricea de trecere de la baza canonică:

T =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 −2 10 −1 −2 00 −1 2 00 0 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

iar forma Jordan se obt, ine a :

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Observăm că această matrice este alcătuită dintr-un bloc de mărime 3 s, i unul de mărime 1,ambele corespunzătoare valorii proprii � = 1.

8.3 Metodă alternativăPrezentarea de mai jos urmează cartea de aici, paginile 35–37.

Pe scurt, presupunem că pornim cu un endomorsm f ∶ ℝn → ℝn.Pas, ii pe care ı̂i urmăm pentru a aduce endomorsmul la forma Jordan sı̂nt:

(1) xăm o bază B ı̂n V s, i determinăm matricea asociată lui f ı̂n baza B (de exemplu, baza cano-nică);

(2) determinăm valorile proprii �i , 1 ≤ i ≤ p s, i multiplicităt, ile algebrice ma(�i). Evident, pentrua putea ajunge la forma canonică Jordan, trebuie să avem �i ∈ ℝ, deoarece lucrăm doar cuspat, ii vectoriale reale. Altfel, endomorsmul nu poate adus la forma Jordan;

(3) găsim vectorii proprii, liniar independent, i, corespunzători ecărei valori proprii �i;

(4) calculăm numărul de celule Jordan pentru ecare valoare proprie �i ı̂n parte, numărul celu-lelor ind dat de:

dimV (�i) = dimV − rang(A − �iIn)

(5) rezolvăm sistemul (A − �iIn)ma(�i ) ⋅X = O, pentru ecare valoare proprie �i . Pentru un anumiti xat, solut, iile nenule generează subspat, iul invariant V (�i);

42

https://www.scribd.com/document/76218300/Algebra-Liniara-Geometrie-Analitica-Si-Diferentiala

(6) reunim bazele pentru toate subspat, iile invariante V (�i) s, i obt, inem o bază B′, după care deter-minăm matricea T de trecere de la baza B la baza B′;

(7) ı̂n ne, J = T −1AT este forma Jordan.Exemplu rezolvat: Considerăm matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

4 −5 25 −7 36 −9 4

⎞⎟⎟⎠

Solut, ie: Polinomul caracteristic al matricei este:PA(X ) = det(A − XI3) = −X 2(X − 1),

deci valorile proprii sı̂nt �1 = �2 = 0, �3 = 1, cu ma(�1) = 2, ma(�3) = 1.Subspat, iul invariant pentru �1,2 se obt, ine:

V (�1,2) = {(�, 2�, 3�) ∣ � ∈ ℝ},deci dim(V (�1,2)) = mg(�1,2) = 1 ≠ ma(�1). As, adar, matricea nu are formă diagonală, dar are formăJordan, pe care o obt, inem ı̂n continuare.

Pentru �3, rezultă:V (�3) = {(�, �, �) ∣ � ∈ ℝ},

adică mg(�3) = dim(V (�3)) = 1.Bazele ı̂n subspat, iile invariante pot :

B(�1,2) = {(1, 2, 3)}, B(�3) = {(1, 1, 1)}.Rezultă că vom avea o celulă Jordan de mărime 2 pentru �1,2 s, i una de mărime 1 pentru �3.

Determinăm baza corespunzătoare formei Jordan, i.e. rezolvăm ecuat, ia:

(A − �1I3)2 ⋅ X = A2X =⎛⎜⎜⎝

3 −3 13 −3 13 −3 1

⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎝

xyz

⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

000

⎞⎟⎟⎠,

de unde rezultăX ∈ {(�, �, 3� − 3�)t ∣ �, � ∈ ℝ}

As, adar, obt, inem o bază formată din {(1, 0, −3), (0, 1, 3)} pe care o reunim cu baza din celălaltsubspat, iu invariant, {(1, 1, 1)} s, i matricea de trecere de la baza canonică la această bază este:

T =⎛⎜⎜⎝

1 0 10 1 1−3 3 1

⎞⎟⎟⎠,

iar forma Jordan nală este:

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎝

0 1 00 0 00 0 1

⎞⎟⎟⎠.

43

8.4 Exercit, ii propuseAducet, i la forma canonică Jordan endomorsmul:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (3x + y − z, 2y, x + y + z)

s, i matricele:

A =⎛⎜⎜⎝

4 −1 11 3 −10 1 1

⎞⎟⎟⎠, B =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 0−1 3 0 1−1 0 −1 10 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, C =⎛⎜⎜⎝

0 −1 0−1 −2 20 −1 0

⎞⎟⎟⎠, D =

⎛⎜⎜⎝

−4 −7 −52 3 31 2 1

⎞⎟⎟⎠.

44

SEMINAR 9

ECUAT, II DIFERENT, IALE DE ORDINUL I

Dacă nu se precizează altfel, vom presupune că lucrăm cu funct, ii de forma y = y(x), deci y′

va ı̂nsemna dydx .

9.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separateAcesta este cel mai simplu exemplu de ecuat, ii diferent, iale s, i se rezolvă direct prin integrare,

după o reordonare corespunzătoare.Exemplu 1: (1 + x2)yy′ + x(1 + y2) = 0, s, tiind că y(1) = 2.Solut, ie: Separăm variabilele s, i diferent, ialele s, i obt, inem succesiv:

(1 + x2)y ⋅ dydx + x(1 + y2) = 0 ⇔

(1 + x2)ydy = −x(1 + y2)dx ⇔y

1 + y2dy = −x

1 + x2dx ⇔12 ln(y

2 + 1) = −12 ln(x2 + 1) + c.

Pentru uniformitate, putem pune 12 ln c ı̂n locul constantei.Rezultă 1 + y2 = c1 + x2 , cu c > 0, pentru existent, a logaritmului.Înlocuim ı̂n condit, ia init, ială y(1) = 2 s, i obt, inem c = 10. În ne:

y(x) =√9 − x21 + x2 , x ∈ (−3, 3),

45

punı̂nd s, i condit, iile de existent, ă.

În unele cazuri, este util să facem schimbări de variabilă. De exemplu:Exemplu 2: y′ = sin2(x − y).Solut, ie: Notăm x − y = z s, i avem că y′ = 1 − z′, de unde, ı̂n ecuat, ie, obt, inem succesiv:

z′ = 1 − sin2 z = cos2 z ⇒dzdx = cos

2 z ⇒dz

cos2 z = dx ⇒tan z = x + c ⇒

tan(x − y) = x + c,

care poate prelucrată pentru a obt, ine y(x) sau lăsată ı̂n forma implicită.

9.2 Ecuat, ii liniareForma generală a acestor ecuat, ii este:

y′ = P (x) ⋅ y + Q(x).

Distingem două cazuri:

• Dacă Q = 0, atunci ecuat, ia se numes, te omogenă;

• Dacă Q ≠ 0, ecuat, ia este neomogenă.

Metoda generală de rezolvare este să folosim formula (am notat exp(□) = e□):

y(x) = c ⋅ exp(− ∫x

x0P (t)dt) ,

pentru a obt, ine o solut, ie particulară pentru ecuat, ia omogenă. Apoi, din teorie, s, tim că putemfolosi metoda variat, iei constantelor (Lagrange) pentru a obt, ine solut, ia ecuat, iei neomogene. Pentruaceasta, ı̂n locul constantei c vom considera o funct, ie c(x) s, i ı̂nlocuim ı̂n ecuat, ia init, ială.

Pe scurt, pentru ecuat, ia liniară:

y′ + P (x)y = Q(x),

avem:

• Solut, ia particulară pentru varianta omogenă yp = c ⋅ exp(− ∫ P (x)dx);

46

• Solut, ia generală (din Lagrange):

yg = exp( − ∫ P (x)dx) ⋅ (C + ∫ Q(x) ⋅ exp(∫ P (x)dx)dx)

Solut, ia generală a problemei este suma ı̂ntre solut, ia particulară s, i cea generală.Exemplu 1: y′ + y sin x = − sin x cos x .Solut, ie: Putem ı̂nlocui direct ı̂n formulă s, i obt, inem y = C ⋅ ecos x − cos x − 1.

Exemplu 2: y′ + xy = xe− x22 .

Solut, ie: Asociem ecuat, ia omogenă y′ + xy = 0, pe care o rescriem:

dydx + xy = 0 ⇒

dyy = −xdx ⇒ yp = ce

− x22 .

Acum, folosind metoda lui Lagrange, căutăm o solut, ie de forma y(x) = c(x)e− x22 .

Înlocuim ı̂n ecuat, ia init, ială s, i găsim y′ +xy = c′(x)e− x22 , dar, comparı̂nd cu ecuat, ia dată, găsim

c′(x) = x , de unde c(x) = x2

2 .

As, adar, avem yg =x22 e

− x22 , iar solut, ia nală este suma celor două:

y = (x22 + c)e

− x22 .

Exemplu 3: 2xyy′ + 2y2 − x4 = 0.Solut, ie: Putem face o substitut, ie y2 = z, cu care ecuat, ia devine z′ + 2x z = x3. Avem, ı̂n acest

caz, P (x) = 2x , iar Q(x) = x3. Cum ∫ P (x)dx = 2 ln x , iar ∫ Q(x)e∫ P (x)dxdx = x6

6 , obt, inem solut, iagenerală:

y(x) = 1x

√c + x

6

6 , x > 0.

9.3 Ecuat, ia BernoulliForma generală a ecuat, iei Bernoulli este:

y′ + P (x)y = Q(x)y� .

Remarcăm că:

• Dacă � = 0, obt, inem o ecuat, ie omogenă;

47

• Dacă � ≠ 0, obt, inem o ecuat, ie neomogenă, ca ı̂n sect, iunea anterioară.Pas, ii de rezolvare sı̂nt:• Se ı̂mparte cu y� s, i obt, inem:

y−�y′ + P (x)y1−� = Q(x);

• Facem substitut, ia y1−� = z s, i ajungem la ecuat, ia:(1 − �)y1−� ⋅ y′ = z′,

de unde z′

1 − � + P (x)z = Q(x), care este o ecuat, ie neomogenă, rezolvabilă ca ı̂n sect, iuneaanterioară.

Exemplu 1: y′ − y3x =13y

4 ln x, x > 0.Solut, ie: Avem � = 4, deci ı̂mpărt, im la y4 s, i obt, inem:

y−4y′ − 13x y−3 = 13 ln x.

Cu substitut, ia z = y−3, ajungem la:

z′ = −3y4y′ ⇒ z′ + 1x z = − ln x.

Avem P (x) = 1x s, i Q(x) = − ln x , deci putem aplica formula pentru solut, ia generală a ecuat, ieineomogene:

z = e− ln x(c − ∫ ln xeln xdx) =

1x(c − ∫ x ln x).

În ne:y−3 = cx +

x4 −

x2 ln x, x > 0.

Exemplu 2: y′ + 23x y =13y

2.Solut, ie: Avem � = 2, deci ı̂mpărt, im la y2 s, i ajungem la:

y′y2 +

23x ⋅

1y =

13 .

Cu substitut, ia z =1y , avem z

′ + 23x z =13 , care este liniară s, i neomogenă.

Lucrăm cu ecuat, ia omogenă z′ +23x = 0, de unde

z′z =

23x , care este cu variabile separabile s, i

găsim z = cx 23 , pentru ecuat, ia omogenă.Aplicăm acum metoda variat, iei constantelor s, i luăm z = c(x)x 23 . După ı̂nlocuire ı̂n ecuat, ia

init, ială, avem c(x) = −x 13 .Solut, ia nală este acum suma z = −x + cx 23 =

1y .

48

9.4 Ecuat, ia RiccatiForma generală este:

y′ = P (x)y2 + Q(x)y + R(x).Observăm că:

• Dacă Q = 0, avem o ecuat, ie liniară s, i neomogenă;

• Dacă R = 0, este o ecuat, ie Bernoulli, cu � = 2.

În general, ecuat, ia Riccati se rezolvă s, tiind o solut, ie particulară yp . Apoi, folosind formulay = yp + z s, i ı̂nlocuind, se ajunge la o ecuat, ie Bernoulli:

z′ + (p(x) + 2q(x)yp)z + q(x)z2 = 0.

Pentru a găsi solut, ii particulare, următoarea teoremă ne ajută ı̂ntr-un anumit caz:

Teoremă 9.1: Dacă avem ecuat, ia Riccati de forma:

y′ = Ay2 + Bx y +Cx2 ,

unde (B + 1)2 − 4AC ≥ 0, atunci o solut, ie particulară este yp =1x .

Exemplu 1: y′ = −13y2 − 23x2 , x > 0.

Solut, ie: Aplicı̂nd teorema, putem lua yp =1x ca solut, ie particulară. Apoi căutăm o solut, ie

generală de forma y = 1x + z, dar, pentru convenient, ă, putem lua z →1z . Înlocuim ı̂n ecuat, ie s, i

obt, inem succesiv:

− 1x2 −z′z2 = −

13(

1x2 +

2xz +

1z2) −

23x ⇒

z′ − 23x z =13 ⇒

z = Cx 23 + x,

de unde y = 1x +1

Cx 23 + x, cu x > 0.

49

9.5 Ecuat, ia ClairautForma generală a ecuat, iei este:

y = xy′ + '(y′).Pentru rezolvare, se notează y′ = p s, i, ı̂nlocuind, avem:

y = xp + '(p).

Derivăm după x s, i găsim:p = p + x ⋅ dpdx + '

′(p) ⋅ dpdx ,

de unde (x + '′(p))dpdx = 0.

Mai departe:

• Dacă dpdx = 0, atunci p = C s, i avem y = C ⋅ x + '(c), ca solut, ie generală;

• Dacă x + '′(p) = 0, obt, inem solut, ia singulară, care se prezintă parametric, adică ı̂n funct, iede p, astfel: {

x = −'′(p)y = −p'′(p) + '(p)

Exemplu: y = xy′ − y′2.Solut, ie: Notăm y′ = p, deci y = xp − p2.Obt, inem, ı̂nlocuind ı̂n ecuat, ie:

pdx + xdp − 2pdp = pdx ⇒ (x − 2p)dp = 0.

Distingem cazurile:

• Dacă dp = 0, atunci p = C s, i y = Cx − C2, o solut, ie particulară;

• Solut, ia singulară se reprezintă parametric, corespunzător cazului x − 2p = 0, prin:{x = 2py = p2

Revenind la y, găsim y = x2

4 .

Observaţie 9.1: Geometric, solut, ia generală este ı̂nfăs, urătoarea solut, iei particulare, adică o curbăcare aproximează, din aproape ı̂n aproape, dreapta solut, iei particulare.

50

9.6 Ecuat, ii exacteForma generală este:

P (x, y) + Q(x, y)y′ = 0.

9.6.1 Cu diferent, iale totaleRezolvare cu formulă

Dacă are loc )P)y =)Q)x , atunci ecuat, ia se numes, te cu diferent, iale totale, iar solut, ia ei generală se

prezintă prin:F (x, y) = ∫

x

x0P (t, y0)dt + ∫

y

y0Q(x, t)dt,

pentru orice (x, y) din domeniul de denit, ie, iar (x0, y0) un punct arbitrar xat, ı̂n jurul căruiadeterminăm solut, ia.

Observaţie 9.2: Pentru simplitate, vom mai folosi notat, iile Py =)P)y s, i similar pentru Qx . Deci

condit, ia de diferent, iale totale se mai scrie, pe scurt, Py = Qx .

Exemplu: (3x2 − y) + (3y2 − x)y′ = 0.Solut, ie: Remarcăm că avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x , deci Py = Qx = −1, ecuat, ia

avı̂nd diferent, iale totale. Obt, inem direct, din formula pentru solut, ia generală:

F (x, y) = x3 + y3 − xy + x0y0 − x30 − y30 .

Cum (x0, y0) sı̂nt xate, putem prezenta solut, ia ı̂n forma implicită y = ', unde ' = x3+y3−xy =c, constanta ind expresia de (x0, y0) de mai sus.

Rezolvare directă

Din teorie, s, tim că dacă o ecuat, ie diferent, ială are diferent, iale totale, se poate arăta că, ı̂n cazulecuat, iei scrisă ı̂n forma generală P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, există o funct, ie F (x, y) de clasă (celput, in) C1 astfel ı̂ncı̂t Fx = P (x, y) s, i Fy = Q(x, y).

Să vedem acest lucru pe exemplul de mai sus.Avem ecuat, ia:

(3x2 − y)dx + (3y2 − x)dy = 0.

51

Avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x . Am văzut că ecuat, ia este cu diferent, iale totale,deci există o funct, ie F ∶ ℝ2 → ℝ de clasă (cel put, in) C1 astfel ı̂ncı̂t Fx = P s, i Fy = Q. Deci:

)F)x = 3x

2 − y ⇒ F (x, y) = ∫ 3x2 − ydx = x3 + xy + c(y))F)y = 3y

2 − x ⇒ F (x, y) = ∫ 3y2 − xdy = y3 + xy + c(x),

unde constantele de integrare pot să depindă, eventual, de variabilele ı̂n funct, ie de care nu se faceintegrarea.

Deoarece avem aceeas, i funct, ie F (x, y) pe care o căutăm, cele două expresii de mai sus trebuiesă coincidă, deci c(x) = x3, iar c(y) = y3. În nal:

F (x, y) = x3 + y3 − xy + k, k ∈ ℝ

este funct, ia căutată, care dă solut, ia implicită a ecuat, iei.

9.6.2 Cu factor integrantDacă ecuat, ia nu are diferent, iale totale, se caută un factor integrant, adică o funct, ie �(x, y) cu carese ı̂nmult, es, te ecuat, ia pentru a deveni cu diferent, iale totale.

Există două cazuri particulare ı̂n care factorul integrant se găses, te simplu:

• Dacă expresiaPy − QxQ depinde doar de x , se poate lua � = �(x);

• Dacă expresiaQx − Py

P depinde doar de y, se poate lua � = �(y).

În celelalte cazuri, factorul integrant, de obicei, se dă ı̂n enunt, ul problemei, deoarece estedicil de găsit, dar o teoremă de existent, ă ne arată că el poate mereu găsit.

Observaţie 9.3: Pentru a ret, ine mai us, or condit, iile simple de căutare a factorului integrant, por-nim cu ecuat, ia ı̂n forma generală, ı̂nmult, im cu �, ceea ce ne schimbă s, i P s, iQ, apoi scriem condit, iade exactitate. Pentru primul caz, de exemplu, obt, inem:

�x� =

Py − QxQ ,

deci dacă membrul drept depinde doar de x , putem lua � = �(x) s, i similar ı̂n al doilea caz.

Odată găsit factorul integrant, să presupunem � = �(x), integrăm condit, ia de exactitate s, igăsim:

ln �(x) = ∫ '(x) + c,

52

unde '(x) = Py − QxQ s, i deci �(x) = exp( ∫ '(x)dx).

Exemplu: (1 − x2y) + x2(y − x)y′ = 0.Solut, ie: Observăm că ecuat, ia nu este exactă, dar vericı̂nd condit, iile pentru factorul integrant,

putem lua �(x) = 1x2 . Înmult, im ecuat, ia cu � s, i găsim:

(1x2 − y) + (y − x)y

′ = 0,

care este cu diferent, iale totale. Atunci putem scrie direct solut, ia generală:

F (x, y) = y2

2 −1x − xy + C,

solut, ia implicită indy22 −

1x − xy = const..

Exercit, iu: Rezolvat, i ecuat, ia y2(2x −3y) + (7 − 3xy2)y′ = 0, căutı̂nd (după vericare) un factorintegrant �(y).

9.7 Ecuat, ia LagrangeForma generală a ecuat, iei Lagrange este:

A(y′) ⋅ y + B(y′) ⋅ x + C(y′) = 0.

Dacă avem A(y′) ≠ 0, putem ı̂mpărt, i s, i obt, inem:

y = f (y′) + g(y′), f (y′) = −B(y′)

A(y′) , g(y′) = −C(y

′)A(y′) .

Dacă f (y′) = y′, obt, inem o ecuat, ie de tip Clairaut.Altfel, e y′ = p, deci dy = pdx . Înlocuim ı̂n ecuat, ia init, ială s, i găsim:

y = xf (p) + g(p) ⇒ dy = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

Egalăm cele două expresii pentru dy s, i ajungem la:

pdx = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

În ne:(f (p) − p)dx + (xf ′(p) + g′(p))dp = 0.

53

În acest caz, dacă f (p) este o constantă, obt, inem o ecuat, ie cu variabile separabile.Altfel, putem ı̂mpărt, i la (f (p) − p)dp s, i ajungem la:

dxdp +

f ′(p)f (p) − px +

g′(p)f (p) − p = 0.

Aceasta este o ecuat, ie liniară s, i neomogenă ı̂n x(p) s, i o rezolvăm corespunzător.Dacă f (p) = p, obt, inem o solut, ie particulară.

Exemplu: y = x − 49y′2 + 827y

′3.Solut, ie: Facem notat, ia y′ = p, deci dy = pdx . Obt, inem:

y = x − 49p2 + 827p

3 ⇒ dy = dx − 89pdp +89p

2dp.

Rezultă pdx = dx − 89pdp +89p

2dp, deci:

(p − 1)(dx − 89pdp) = 0.

Distingem cazurile:Dacă dx = 89pdp, atunci x =

49p

2 + c s, i, ı̂nlocuind ı̂n ecuat, ia init, ială, găsim y =827p

3 + c.Solut, ia poate prezentată parametric:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 49p2 + c

y = 827p3 + c

Dacă p = 1, avem o solut, ie particulară y = x + c, iar constanta se obt, ine a c = −427 , din

ecuat, ia init, ială.

9.8 Exercit, iiRezolvat, i următoarele ecuat, ii diferent, iale, precizı̂nd s, i tipul lor:

(1) xy′ − y + 2x2y2 = 0; (Bernoulli)

(2) (2x − y + 2)dx + (−x + y + 1)dy = 0; (exactă)

(3) xy′ = 4y + x2√y; (Bernoulli)

54

(4) (x2 + 1)y′ + 2xy2 = 0; (exactă)

(5) (2x + y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0; (exactă)

(6) y′ = x2

y ; (variabile separabile)

(7) y′ = yx + x ; (liniară, neomogenă)

(8) 3x2ydx − (ln y + x3)dy = 0; (exactă)

(9) y′ = x2y; (variabile separabile)

(10) y′ = x2 + y22xy ; (Bernoulli)

(11) y′ = 2xy2; (variabile separabile)

(12) y′ = 4xy2 ; (variabile separabile)

(13) (x + y + 1)dx + (x − y3 + 3)dy = 0; (exactă)

(14) y′ = 1x y −ln xx ; (liniară, neomogenă)

(15) y′ = −yx +exx ; (liniară, neomogenă)

(16) (x + y2)dx + y(1 − x)dy = 0; (exactă)

(17) 3x2ydx − (x3 + ln y)dy = 0; (exactă)

(18) y′ = −2y + x2 + 2x ; (liniară, neomogenă)

(19) y′ = 2yx +3x2 ; (liniară, neomogenă)

(20) y′ = 2xy + x3y 12 ; (Bernoulli)

(21) y′ = −1x y +ln xx y

2. (Bernoulli)

55

SEMINAR 10

SISTEME DIFERENT, IALE

10.1 Calcul matriceal directCa ı̂n cazul sistemelor de ecuat, ii liniare, putem scrie un sistem ı̂n formă matriceală X ′ = A ⋅ X ,unde A este matricea coecient, ilor.

Distingem mai multe cazuri, ı̂n funct, ie de proprietăt, ile matricei A.Dacă A se diagonalizează, e {�i} valorile proprii ale sale, iar {ui} vectorii proprii asociat, i.

Atunci funct, iile:{xi(t) = e�i t ⋅ ui}i

dau o bază ı̂n spat, iul vectorial al solut, iilor. Solut, ia generală poate scrisă, atunci, ca o combinat, ieliniară a acestora:

x(t) = ∑icixi(t).

Se obis, nuies, te ca solut, ia să e prezentată sub formă matriceală, alcătuind matricea fun-damentală a sistemului: X (t) = t(e�i tui).

Exemplu: {x ′ = x − yy′ = −4x + y.

Matricea sistemului este A = (1 −1−4 1 ).

Obt, inem �1 = 1 s, i �2 = 3. Cum acestea au multiplicitatea algebrică egală cu 1, rezultă cămatricea se diagonalizează. Se obt, in subspat, ii proprii de dimensiune 1, bazele ind, de exemplu:

X1 = (12) , X2 = (

1−2) .

56

Atunci solut, ia generală se scrie:

X (t) = (x(t)y(t)) = C1e

�1t(12) + C2e

�2t(

1−2) .

Atunci matricea fundamentală se scrie:

X (t) = (C1e−t + C2e3t2C1e−t − 2C2e3t) .

DacăAnu se diagonalizează, e �1,… , �k valorile proprii, de multiplicităt, i algebrice n1,… , nk .Atunci se caută solut, ii de forma:

xj(t) =k∑i=1

Pij(t)e�i t , gradPij ≤ ni − 1.

Înlocuim ı̂n ecuat, ia init, ială s, i găsim Pij . Această metodă poartă numele de metoda coecient, ilornedeterminat, i.

Exemplu: {x ′1 = x2x ′2 = −x1 + 2x2

Solut, ie: Matricea sistemului este A = (0 1−1 2), care are valoarea proprie � = 1, de multipli-

citate algebrică 2. Se poate verica faptul că matricea nu este diagonalizabilă s, i atunci căutămsolut, ii de forma: {

x1(t) = (A1 + B1t)etx2(t) = (A2 + B2t)et

Înlocuim ı̂n sistem s, i obt, inem un sistem liniar cu necunoscutele A1, A2, B1, B2, care va dublunedeterminat. As, adar, solut, ia se prezintă cu 2 parametri ı̂n forma:

(A1, A2, B1, B2) ∈ {(�, � + �, �, �) ∣ �, � ∈ ℝ}.

Rezultă că matricea fundamentală este:

X (t) = ((� + �t)et

(� + � + �t)et)

Dacă matricea A nu se diagonalizează, iar �i ∈ ℂ, lucrăm cu numere complexe.

57

Exemplu: {x ′1 = 2x1 + x2x ′2 = −8x1 − 2x2

s, tiind că solut, ia cont, ine la t = 0 punctul M0(1, 0).Solut, ie: Matricea sistemului este A = (

2 1−8 2).

Valorile sale proprii sı̂nt �1,2 = ±2i. Atunci subspat, iul invariant va :

V�1 = Sp{(1, −2 + 2i)}.

Obt, inem o solut, ie generală ı̂n forma:

x1(t) = e2it (1

−2 + 2i) = (cos 2t + i sin 2t)(1

−2 + 2i) .

Din proprietăt, ile algebrice ale numerelor complexe, avem că xt(t) = x1(t) s, i atunci solut, iagenerală va x(t) = c1x1(t) + c2x2(t).

Folosind condit, iile init, iale, avem că x1(0) = 1 s, i x2(0) = 0, deci c1 = c2 = 1.

10.2 Folosind forma JordanExemplu: Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

1 −1 11 1 −10 −1 2

⎞⎟⎟⎠

(a) Să se calculeze eAt , pentru t ∈ ℝ;

(b) Să se determine solut, ia generală a sistemului X ′ = AX , apoi solut, ia particulară care vericăcondit, ia x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 0.

Solut, ie:(a) Matricea A are valorile proprii �1 = �2 = 1, �3 = 2. Vectorii proprii (baze ı̂n subspat, iile

invariante) sı̂nt:v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1).

Forma canonică Jordan a matricei se obt, ine a :

J =⎛⎜⎜⎝

1 0 01 1 00 0 2

⎞⎟⎟⎠,

58

folosind matricea de trecere

T =⎛⎜⎜⎝

2 1 10 1 01 1 1

⎞⎟⎟⎠.

Deci A = T JT −1.S, tim din teorie că eAt = T ⋅ eJ t ⋅ T −1.Folosim acum dezvoltarea ı̂n serie Taylor a funct, iei exponent, iale:

ex = ∑n≥0

xn! ,

adevărată s, i pentru matrice. În plus, dacă matricea este diagonală, exponent, iala sa va cont, ineexponent, iala pe diagonală, adică, dacă M = diag(x1, x2,… , xn), atunci eM = diag(ex1 ,… , exn ).

Pentru a folosi această proprietate, ne legăm de descompunerea ı̂n blocuri Jordan a lui A. FieJ1 blocul Jordan de dimensiune 2, corespunzător valorii proprii �1 = �2 = 1 s, i J2 blocul Jordande dimensiune 1 corespunzător valorii proprii �3 = 2. Avem descompunerea pe blocuri s, i pentruexponent, ială:

eJ t = (eJ1t 00 eJ2t)

Cum eJ2t = e2t , calculăm celălalt bloc:

eJ1t = e⎛⎜⎜⎝

t 0t t

⎞⎟⎟⎠

= e⎛⎜⎜⎝

t 00 t

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

0 0t 0

⎞⎟⎟⎠

= (et 00 et) ⋅ [(

1 00 1) +

11! (

0 0t 0)]

= (et 0tet et)

Am folosit faptul că (0 0t 0)

2= 0, as, adar din seria Taylor va sucient să păstrăm primii 2

termeni. Calculăm s, i T −1, obt, inı̂nd:

T −1 =⎛⎜⎜⎝

1 0 −10 1 0−1 −1 2

⎞⎟⎟⎠

59

găsim, ı̂n ne:

eAt = T ⋅ eJ t ⋅ T −1 =⎛⎜⎜⎝

et(t + 2) − e2t et − e2t −et(t + 2) + 2e2ttet et −tet

et(t + 1) − e2t et − e2t −et(t + 1) + 2e2t

⎞⎟⎟⎠

(b) Conform teoriei, solut, ia generală a sistemului este:

X (t) = eAt ⋅⎛⎜⎜⎝

C1C2C3

⎞⎟⎟⎠,

constantele Ci determinı̂ndu-se din condit, iile init, iale. În acest caz:

X