Wir unterscheiden algebraische Körpererweiterungen in separable und inseparable Er-weiterungen. Separabilität bedeutet dabei, dass die Wurzeln eines irreduziblen Poly-noms in einem Erweiterungskörper getrennt voneinander liegen, also nicht mehrfachauftreten. Ob ein Polynom mehrfache Wurzeln hat, kann man mithilfe der aus derAnalysis bekannten Ableitung entscheiden.Tatsächlich sind nicht separable, d. h. inseparable Körpererweiterungen relativ selten– höchstens wenn K positive Charakteristik p hat, kann L/K inseparabel sein. Imseparablen Fall einer endlichen algebraischen Körpererweiterung L = K(a1, . . . , an)
lässt sich der Satz vom primitiven Element beweisen: Es existiert ein a ∈ L mit L =
K(a) – jede solche Erweiterung ist somit eine einfache Erweiterung, und diese kennenwir nach Kapitel 21 sehr gut.
Voraussetzung. Es ist ein Körper K gegeben.
25.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln
Wir benutzen die Ableitung, um zu entscheiden, ob ein Polynom über K mehrfacheWurzeln in einem Erweiterungskörper L hat.
In der Analysis definiert man die Ableitung einer Funktion als Grenzwert eines Diffe-renzenquotienten. In der Algebra macht man sich das Leben deutlich einfacher. Wirdefinieren die Ableitung für Polynome so, wie sie aus der Analysis bekannt ist:Für ein Polynom P =
∑ni=0 ai X
i ∈ K[X] wird
P ′ :=n∑
i=1
i ai Xi−1 ∈ K[X]
die Ableitung von P genannt. Man bestätigt leicht, dass für a ∈ K und P, Q ∈ K[X]
die üblichen Ableitungsregeln gelten:
(P +Q)′ = P ′ +Q′.(aP )′ = a P ′.(P Q)′ = P ′ Q+ P Q′.
Ein Element a eines Erweiterungskörpers L vonK heißt r -fache Wurzel oderWurzelmit Vielfachheit r von P ∈ K[X] \ {0}, wenn
P = (X − a)r Q mit Q(a) = 0 .
Anders ausgedrückt: (X − a)r | P , (X − a)r+1 � P in L[X]. Im Fall r = 1 heißt a
einfache Wurzel, sonst (r > 1) mehrfache Wurzel.
Beispiel 25.2Das Polynom P = X3−3X+2 ∈ Q[X] hat wegen P = (X−1)2 (X+2) die zweifacheWurzel 1 und einfache Wurzel −2.
Ob ein Element a eine einfache oder mehrfache Wurzel eines Polynoms ist, lässt sichmit der Ableitung entscheiden:
Lemma 25.1Es sei L ein Zerfällungskörper von P ∈ K[X].
(a) Genau dann ist a ∈ L eine mehrfache Wurzel von P , wenn P (a) = 0 = P ′(a).
(b) Genau dann hat P mehrfache Wurzeln in L, wenn P und P ′ in K[X] nichtteilerfremd sind, d. h. einen nichtkonstanten gemeinsamen Teiler haben.
(c) Ist P irreduzibel über K, so hat P genau dann mehrfache Wurzeln in L, wennP ′ = 0.
25.2 Separabilität 289
Beweis: (a) In L[X] gelte (X − a)2 | P , etwa P = (X − a)2Q. Es folgt P ′ =
2 (X − a)Q+ (X − a)2 Q′, sodass P ′(a) = 0.Ist a andererseits einfache Wurzel von P , d. h. P = (X − a)Q mit Q(a) = 0, so giltP ′ = Q+ (X − a)Q′, sodass P ′(a) = Q(a) = 0.(b) Sind P und P ′ teilerfremd in K[X], so existieren nach dem Hauptsatz 18.3 überden ggT Polynome Q, R ∈ K[X]mit QP+RP ′ = 1. Wegen (a) hat P keine mehrfacheWurzel in L.Haben P und P ′ dagegen einen gemeinsamen nichtkonstanten Teiler D ∈ K[X], soexistiert eine Wurzel a ∈ L von D. Wegen (a) ist a mehrfache Wurzel von P .(c) Es sei P irreduzibel über K. Ein nichtkonstanter gemeinsamer Teiler D von P undP ′ ist dann zu P assoziiert. Insbesondere gilt degD = degP . Wegen degP ′ < degP
und D | P ′ heißt das P ′ = 0. Gezeigt ist: Es gibt genau dann einen nichtkonstantengemeinsamen Teiler von P und P ′, wenn P ′ = 0. Nun beachte man (b).
Vorsicht. In (c) wird verlangt, dass das Polynom P ′ das Nullpolynom ist und nichtnur P ′(a) = 0 für ein a ∈ L.
Beispiel 25.3Für P = X5+2X4+2X3+4X2+X+2 ∈ Q[X] berechnen wir P ′ = 5X4+8X3+
6X2 +8X +1. Der euklidische Algorithmus 18.7 liefert ggT(P, P ′) = X2 +1. Alsohat P mehrfache Wurzeln. Es gilt P = (X2 + 1)2 (X + 2).Das Polynom P = X3 + 2X2 + X + 2 ∈ Z3[X] erfüllt P (1) = 0, man erhältP = (X − 1) (X2 + 1), wobei das Polynom Q = X2 + 1 über Z3 irreduzibel ist undwegen Q′ = 2X = 0 keine mehrfachen Wurzeln in einem Zerfällungskörper hat.Es sei K := Zp(X) der Körper der rationalen Funktionen über dem Körper Zp mitp Elementen (p eine Primzahl). Dann ist das Polynom P = Y p − X ∈ K[Y ] inder Unbestimmten Y nach dem Eisenstein-Kriterium 19.9 irreduzibel (wähle dasPrimelement X ∈ Zp[X]) über K. Wegen P ′ = p Y p−1 = 0 hat das irreduziblePolynom P mehrfache Nullstellen in einem Zerfällungskörper L.
25.2 Separabilität
Wenn ein Polynom nur einfacheWurzeln hat, sagt man, dass die Wurzeln des Polynomssepariert, d. h. getrennt voneinander sind.
25.2.1 Separable Polynome, Elemente und Körpererweiterungen
Ein Polynom P ∈ K[X] heißt separabel, wenn jeder irreduzible Faktor von P ineinem Zerfällungskörper von P über K nur einfache Wurzeln hat. Wegen des Korol-
290 25 Separable Körpererweiterungen
lars 24.9 von Steinitz hängt dies nicht von der Wahl des Zerfällungskörpers ab. Einnichtseparables Polynom nennt man auch inseparabel.Ein Element a eines Erweiterungskörpers L von K heißt separabel über K, wenn a
über K algebraisch ist und sein Minimalpolynom ma,K separabel ist. Ist das Mini-malpolynom von a über K nicht separabel, so nennt man a inseparabel über K.Eine Körpererweiterung L/K heißt separabel, wenn jedes Element aus L separa-bel über K ist. Eine nichtseparable algebraische Körpererweiterung nennt man auchinseparabel.
Bemerkung. Eine algebraische Körpererweiterung L/K ist genau dann separabel,wenn für alle a ∈ L das Minimalpolynomma,K in einem Zerfällungskörper nur einfacheWurzeln hat.
Beispiel 25.4Jedes Element a ∈ K ist separabel über K, da ma,K = X − a separabel ist.Ein irreduzibles Polynom P ∈ K[X] ist genau dann separabel, wenn P nur einfacheWurzeln in einem Zerfällungskörper hat. Das ist nach Lemma 25.1 genau dann derFall, wenn P ′ = 0 ist.Das Polynom (X2 +1)2 (X − 1) (X4 +X3 +X2 +X +1) ist ein über Q separablesPolynom, denn die irreduziblen Faktoren haben nur einfache Wurzeln.Sind P, Q separabel über K, so auch P Q.Das Polynom P = Y p − X ∈ K[Y ] für K = Zp(X) (p eine Primzahl) ist nichtseparabel (beachte das Beispiel 25.3 auf Seite 289).
25.2.2 Separabilität und Charakteristik
Inseparable Polynome findet man nur bei positiver Charakteristik:
Lemma 25.2(a) Im Fall CharK = 0 ist jedes Polynom aus K[X] separabel.
(b) Im Fall p := CharK > 0 ist ein irreduzibles P ∈ K[X] genau dann inseparabel,wenn ein Q ∈ K[X] mit P (X) = Q(Xp) existiert (d. h. P (X) =
∑di=0 bi X
i p
mit b0, . . . , bd ∈ K).
Beweis: (a) Für P ∈ K[X] \K gilt im Fall CharK = 0 stets P ′ = 0. Daher folgt dieBehauptung aus Lemma 25.1 (c).(b) Ein irreduzibles P =
∑ni=0 ai X
i ist nach Lemma 25.1 (c) genau dann inseparabel,wenn P ′ =
∑ni=1 i ai X
i−1 = 0, d. h. wenn i ai = 0 für jedes i = 1, . . . , n. Und das istgenau dann erfüllt, wenn ai = 0 für jedes nicht durch p teilbare i ∈ {1, . . . , n}; für diedurch p teilbaren i gilt nämlich i 1K = 0.
25.2 Separabilität 291
Beispiel 25.5Eine quadratische KörpererweiterungL/K ist genau dann inseparabel, wenn CharK =
2 gilt und a ∈ L \K mit a2 ∈ K existiert.Ist nämlich L/K inseparabel, so existiert ein a ∈ L \K mit ma,K = X2 + bX + c ∈K[X] und m′
a,K = 2X + b = 0. Somit gilt CharK = 2, b = 0 und a2 = −c ∈ K
wegen ma,K(a) = 0. Es gebe umgekehrt ein a ∈ L \ K mit a2 ∈ K, und es seiCharK = 2. Dann ist das Polynom P = X2− a2 ∈ K[X] irreduzibel. Wegen P (a) = 0
gilt P = ma,K . Da ma,K = (X − a)2 in L[X], ist a ∈ L inseparabel über K.
25.2.3 Kennzeichnung separabler Elemente
Ein über K algebraisches Element a ist nur dann inseparabel über K, wenn CharK =
p > 0 und K(a) = K(ap), genauer:
Lemma 25.3Es sei a ein über K algebraisches Element eines Erweiterungskörpers L von K.
(a) Im Fall CharK = 0 ist a separabel über K.
(b) Im Fall p := CharK > 0 ist a genau dann separabel überK, wennK(ap) = K(a).
Beweis: (a) ist wegen Lemma 25.2 (a) klar.(b) Es sei a separabel über K. Dann ist a auch separabel über K(ap) ⊆ K(a), dennma,K(ap) | ma,K nach Lemma 20.6 (d). Da a Wurzel von (X − a)p = Xp − ap ∈K(ap)[X] ist, folgt mit Lemma 20.6
ma,K(ap) = X − a
und damit a ∈ K(ap), d. h. K(a) = K(ap).Es sei a inseparabel überK. Nach Lemma 25.2 (b) existiert Q ∈ K[X]mit ma,K(X) =
Q(Xp), sodass Q(ap) = 0. Es folgt
[K(a) : K] = degma,K > degQ ≥ [K(ap) : K] ,
sodass K(a) = K(ap).
25.2.4 Potenzen algebraischer Elemente
Ist ein Element a algebraisch über K, aber nicht separabel, so gibt es eine Potenz vona, die separabel über K ist:
Lemma 25.4Es gelte p := CharK > 0, und das Element a eines Erweiterungskörpers von K seialgebraisch über K. Dann existiert n ∈ N0 derart, dass ap
n
separabel über K ist.
292 25 Separable Körpererweiterungen
Beweis: Wir zeigen die Behauptung mit Induktion nach degK(a). Wenn a über K
separabel ist, z. B. im Fall degK(a) = 1, wähle man n = 0. Wenn a über K inseparabelist, gilt degK(ap) < degK(a) nach Lemma 25.3 (b). Nach Induktionsvoraussetzungexistiert ein m ∈ N0 so, dass ap
m+1
= (ap)pm
separabel über K ist.
25.3 Vollkommene Körper
Der Körper K heißt vollkommen, wenn jedes Polynom aus K[X] (und damit auchjeder algebraische Erweiterungskörper von K) separabel über K ist.Unvollkommene Körper sind durchaus selten. Nur unendliche Körper positiver Cha-rakteristik können unvollkommen sein. Das folgt aus einem Ergebnis von Steinitz:
Satz 25.5 (E. Steinitz)(a) Im Fall CharK = 0 ist K vollkommen.
(b) Im Fall p := CharK > 0 ist K genau dann vollkommen, wenn der Frobeniusmo-nomorphismus
ϕ :
⎧⎨⎩ K → K
a �→ ap
surjektiv ist (kurz: Kp = K).
(c) Jeder endliche Körper ist vollkommen.
Beweis: (a) wiederholt die Aussage in 25.2 (a).(b) Es sei ϕ surjektiv; und P ∈ K[X] sei irreduzibel. Angenommen, P ist inseparabel.Nach Lemma 25.2 (b) existiert ein Polynom Q(X) =
∑ni=0 ai X
i in K[X] mit P (X) =
Q(Xp); und es gilt ai = ϕ(bi) = bpi für ein gewisses bi ∈ K für alle i = 0, . . . , n. Esfolgt
P (X) =
n∑i=0
bpi Xi p =
(n∑
i=0
bi Xi
)p
im Widerspruch zur Unzerlegbarkeit von P .Es sei ϕ nicht surjektiv, etwa b ∈ K \ ϕ(K). Und ap = b für ein a aus einem Zerfäl-lungskörper von Xp − b ∈ K[X]. Wegen K = K(ap) � K(a) ist a nach Lemma 25.3(b) inseparabel über K.(c) folgt aus (b), da ϕ injektiv ist.
Beispiel 25.6Es folgt ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers. Es sei K ein Körper mit posi-tiver Charakteristik p, L = K(X) der Körper der rationalen Funktionen in der Unbe-
stimmten X. Es ist X nicht im Bild des Frobenius-Monomorphismus: Aus X =(
PQ
)pfür P, Q ∈ K[X], Q = 0 folgt nämlich Qp X = Pp. Schreiben wir P =
∑ni=0 ai X
i,
25.4 Der Satz vom primitiven Element 293
Q =∑m
j=0 bj Xj , so liefert das
∑mj=0 b
pj X
j p+1 =∑n
i=0 api X
i p. Ein Koeffizientenver-gleich bringt den Widerspruch ai = bj = 0 für alle i und j zu Q = 0.
25.4 Der Satz vom primitiven Element
In vielen Fällen gilt K(a1, . . . , an) = K(a), wie etwa im folgenden Beispiel.
Beispiel 25.7Für alle a, b ∈ Q gilt Q(
√a,
√b) = Q(
√a+
√b): Die Inklusion Q(
√a+
√b) ⊆ Q(
√a,
√b)
ist klar.Wir zeigen, dass
√a,
√b ∈ Q(
√a+
√b) gilt; hieraus folgt die andere Inklusion.
Es sei o. E. a = b. Dann gilt 0 = a−b = (√a+
√b) (
√a−
√b). Da
√a+
√b ∈ Q(
√a+
√b),
gilt auch √a−
√b
a− b=
1√a+
√b∈ Q(
√a+
√b) .
Somit ist auch√a−
√b ∈ Q(
√a+
√b), da a−b ∈ Q. Damit sind 2
√a, −2
√b Elemente
von Q(√a+
√b), folglich auch
√a,
√b.
Wegen der Ergebnisse aus Kapitel 21 über einfache Erweiterungen ist die folgendeAussage wichtig:
Satz 25.6 (Satz vom primitivem Element)Es sei L ein Erweiterungskörper der Form L = K(a, c1, . . . , cn) von K mit einemüber K algebraischen Element a und über K separablen Elementen c1, . . . , cn. Dannist L/K einfach, d. h., es gibt ein primitives Element c ∈ L mit L = K(c).
Beweis: Im Fall |K| ∈ N gilt auch |L| ∈ N, da L ein endlichdimensionaler Vektorraumüber K ist. Nach Korollar 14.9 ist die multiplikative Gruppe L× zyklisch, d. h., es gibtein a ∈ L mit L× = 〈a〉, es folgt L = K(a).Daher gelte |K| ∈ N. Wegen L = K(a, c1, . . . , cn−1)(cn) dürfen wir mit einem In-duktionsargument n = 1 voraussetzen. Es sei b := c1, und es bezeichnen P := ma,K ,Q := mb,K , M den Zerfällungskörper von P Q über L, a = a1, a2, . . . , ar die verschie-denen Wurzeln von P und b = b1, b2, . . . , bs die von Q in M .Im Fall s = 1 gilt degQ = 1, weil b einfache Wurzel von Q ist, und damit b ∈ K, alsoL = K(a). Daher sei jetzt s ≥ 2.Wir möchten K(a, b) = K(c) zeigen. Dazu machen wir den nächstmöglichen Ansatzc = αa+ β b, α, β ∈ K×, bzw. c = a+ γ b, γ ∈ K, da ja K(c) = K(αc) für α ∈ K. ImVerlauf der Überlegungen zeigt sich dann, dass dieses c von allen aj + γ bi, 1 ≤ j ≤ r,2 ≤ i ≤ s, verschieden sein muss. Nun, wegen |K| ∈ N existiert ein solches γ ∈ K:
294 25 Separable Körpererweiterungen
Wegen |K| ∈ N existiert γ ∈ K \ {(aj − a) (b − bi)−1 | j = 1, . . . , r; i = 2, . . . , s}. Es
folgt:(∗) c := a+ γ b ∈ {aj + γ bi | j = 1, . . . , r; i = 2, . . . , s} .
Wir begründen nun L = K(c). Dazu haben wir a, b ∈ K(c) zu zeigen.Offenbar liegt das Polynom P (c−γ X) in K(c)[X]. Nach dem Hauptsatz 18.3 über denggT existiert ein normiertes Polynom D ∈ ggT(Q,P (c − γ X)) sowie Polynome F, G
in K(c)[X] mit F Q+GP (c− γ X) = D. Wir zeigen D = X − b. Wegen Q(b) = 0 undP (c − γ b) = P (a) = 0 gilt D(b) = 0. Wegen D | Q liegen alle Wurzeln aus M von D
in {b1, . . . , bs}. Für i ≥ 2 gilt aber c− γ bi = aj für jedes j = 1, . . . , r nach (∗), sodassP (c− γ bi) = 0, infolge D | P (c− γ X) also D(bi) = 0. Folglich ist b die einzige Wurzelvon D in M . Mit Q zerfällt auch D über M . Daher gilt D = (X−b)t für ein t ≥ 1. AusD | Q, d. h. (X − b)t | Q, resultiert t = 1; denn Q = mb,K hat nur einfache Wurzeln,da b über K separabel ist. Das beweist X − b = D ∈ K(c)[X], sodass b ∈ K(c) unda = c− γ b ∈ K(c).
Beispiel 25.8Wir bestimmen mit dem konstruktiven Beweis zu Satz 25.6 ein primitives Elementder Körpererweiterung Q( 3
√2,√2). Es sind P = X3 − 2 und Q = X2 − 2 die Mini-
malpolynome von 3√2 und
√2 über Q. Die Wurzeln von P sind a = a1 = 3
√2, a2 =
3√2 ε, a3 = 3
√2 ε2 mit der dritten Einheitswurzel ε := e
2π i3 . Die Wurzeln von Q sind
b = b1 =√2, b2 = −
√2. Die Menge
{(aj − a) (b− bi)−1 | j = 1, 2, 3 , i = 2} =
{0,
3√2(ε− 1)
2√2
,3√2(ε2 − 1)
2√2
}
enthält nicht 1. Demnach ist c = a + b = 3√2 +
√2 ein primitives Element, d. h.
Q( 3√2,√2) = Q( 3
√2 +
√2).
Eine direkte Folgerung aus Satz 25.6 ist die ebenfalls Satz vom primitiven Elementgenannte Aussage:
Korollar 25.7 (N.H. Abel, H. Weber 1895)Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach.
Weil Polynome über Körpern der Charakteristik Null stets separabel sind, gilt:
Korollar 25.8Jede endliche Erweiterung eines Körpers der Charakteristik Null ist einfach.
Bemerkung. Es gibt endliche Körpererweiterungen, die nicht einfach sind. Beachtedas folgende Beispiel.
25.5 Der separable Abschluss 295
Beispiel 25.9Es sei E ein Körper mit p := CharE > 0, L := E(X,Y ) der Körper der rationalenFunktionen in den Unbestimmten X, Y über E und K := E(Xp, Y p) ⊆ L. Es giltzp ∈ K und damit [K(z) : K] ≤ p für jedes z ∈ L, aber [L : K] = p2. Somit ist dieendliche Körpererweiterung L/K nicht einfach.
25.5 Der separable Abschluss
Wir beweisen die den Lemmata 21.5 und 21.6 entsprechenden Aussagen.
25.5.1 Der Zwischenkörper der separablen Elemente
Lemma 25.9Es sei L/K eine Körpererweiterung.
(a) Gilt L = K(T ) und ist jedes Element aus T separabel über K, so ist L/K sepa-rabel.
(b) S(L/K) := {a ∈ L | a ist separabel über K} ist ein Teilkörper von L, und dieKörpererweiterung S(L/K)/K ist separabel.
Beweis: (a) Da im Fall CharK = 0 nach dem Satz 25.5 (a) von Steinitz die algebrai-sche Erweiterung L/K separabel ist, können wir p := CharK = 0 voraussetzen; undinfolgeK(T ) =
⋃V⊆T
V endlich
K(V ) (beachte Lemma 20.5 (d)) dürfen wir T = {t1, . . . , tr},r ∈ N, annehmen. Nach dem Satz 25.6 vom primitiven Element gilt dann L = K(c)
für ein c ∈ L. Wir begründen vorab:
(∗) K(c) = K(cp).
Jedes t ∈ T hat nach Lemma 21.1 die Form t =∑s
j=0 aj cj mit s ∈ N und a0, . . . , as ∈
K, sodass mit dem Frobeniusmonomorphismus in Lemma 13.5 gilt:
Zu zeigen ist, dass jedes a ∈ K(T ) = K(c) separabel über K ist. Es sei n := [K(c) :
K] und d := [K(a) : K]. Wegen (∗) und Lemma 21.1 (b) sind {1, c, . . . , cn−1},{1, cp, . . . , (cp)n−1} K-Basen von K(c) und A := {1, a, . . . , ad−1} eine K-Basis vonK(a). Wir ergänzen A zu einer K-Basis {b1, . . . , bn} von K(c). Jedes ci hat die Form
ci =
n∑j=0
ai j bj mit ai j ∈ K ,
sodass wegen des Frobeniusmonomorphismus gilt ci p =∑n
j=0 api j b
pj . Folglich ist auch
{bp1, . . . , bpn} ein K-Erzeugendensystem und damit eine K-Basis von K(c). Also ist dieMenge {1, ap, . . . , (ad−1)p} linear unabhängig über K. Wegen K(ap) ⊆ K(a) folgtK(a) = K(ap). Nun folgt mit Lemma 25.3 (b), dass a separabel über K ist.(b) Wegen (a) ist K(S(L/K)) separabel über K, sodass S(L/K) = K(S(L/K)) einTeilkörper von L ist.
Man nennt S(L/K) den separablen Abschluss von K in L und den Grad derKörpererweiterung S(L/K)/K den Separabilitätsgrad von L/K. Man bezeichnetdiesen mit [L : K]s := [S(L/K) : K].Man beachte, dass im Fall CharK = 0 stets [L : K]s = [L : K] für jeden algebraischenErweiterungskörper L von K gilt.
25.5.2 Die Transitivität von separabel
Wir begründen, dass die Eigenschaft separabel transitiv ist.
Lemma 25.10Wenn L/E und E/K separable Körpererweiterungen sind, ist auch L/K separabel.
Beweis: Da separable Erweiterungen insbesonders algebraisch sind, istL/K algebraisch (vgl. Lemma 21.6 (b)). Ist die Charakteristik von K
null, so ist die Erweiterung L/K nach dem Ergebnis 25.5 (a) von Stei-nitz separabel. Daher können wir p := CharK > 0 voraussetzen. Es giltE ⊆ S := S(L/K) nach Voraussetzung. Zu jedem a ∈ L existiert nachLemma 25.4 ein k ∈ N0 mit s := ap
k
∈ S. Es folgt mit dem Frobeniusmo-nomorphismus:
(X − a)pk
= Xpk
− s ∈ S[X] .
Folglich ist P := ma, S in S[X] ein Teiler von Xpk
− s. Da a über E, alsoauch über S, separabel ist, hat P keine mehrfachen Wurzeln in L, sodassP = X − a. Das beweist a ∈ S. Somit ist L = S separabel über K.
L
S
E
K
25.5 Der separable Abschluss 297
25.5.3 K-Monomorphismen und der Separabilitätsgrad
Der Separabilitätsgrad [L : K]s besitzt eine wichtige Eigenschaft:
Lemma 25.11Es seien L/K eine endliche Körpererweiterung und K ein algebraischer Abschluss vonK. Dann gibt es genau [L : K]s K-Monomorphismen von L in K.
Beweis: Es sei S := S(L/K). Wir begründen:
(∗) Es ist ϕ : τ �→ τ |S eine Bijektion von der Menge M aller K-Monomorphismen vonL in K auf die Menge M0 aller K-Monomorphismen von S in K.
Wegen dem Satz 25.5 von Steinitz können wir p := CharK > 0 voraussetzen, da imFall CharK = 0 offenbar L = S und damit ϕ = IdL gilt.ϕ ist injektiv: Es gelte σ|S = τ |S für σ, τ ∈ M . Zu jedem a ∈ L existiert nachLemma 25.4 ein n ∈ N0 mit ap
n ∈ S, sodass σ(a)pn
= σ(apn
) = τ(apn
) = τ(a)pn
, also(σ(a)− τ(a))p
n
= 0 und somit σ(a) = τ(a). Es folgt σ = τ .ϕ ist surjektiv: Jedes α ∈ M0 kann nach dem Fortsetzungssatz 24.12 zu einem β ∈ M
fortgesetzt werden. Dann gilt ϕ(β) = α. Damit gilt (∗).Nach dem Satz 25.6 vom primitivem Element existiert b ∈ L mit S = K(b). Es hatmb,K als separables, irreduzibles Polynom in K[X] genau t := [K(b) : K] = [L : K]s
verschiedene Wurzeln b = b1, . . . , bt in K. Nach Korollar 21.3 existiert zu jedem i =
1, . . . , t genau ein τi ∈ M0 mit τi(b) = bi. Und andere Elemente hat M0 nicht. DieBehauptung folgt daher mit der Aussage in (∗).
Mit der Kennzeichnung (2) normaler Körpererweiterungen im Satz 24.13 folgt:
Korollar 25.12Es sei L/K eine endliche, normale Körpererweiterung. Dann besitzt L genau [L : K]s
K-Automorphismen. Insbesondere besitzt eine endliche, normale, separable Körperer-weiterung genau [L : K] K-Automorphismen.
Bemerkung. Dieses Korollar ist von zentraler Bedeutung für die endliche Galoistheo-rie. Diese beschäftigt sich mit endlichen, normalen und separablen Körpererweite-rungen L/K. Es wird dabei ein Zusammenhang zwischen den Untergruppen der K-Automorphismengruppe Γ von L und den Zwischenkörpern von L/K hergestellt. Nachobigem Korollar gilt |Γ| = [L : K].
298 25 Separable Körpererweiterungen
25.5.4 Rein inseparable Körpererweiterungen *
Der folgende Begriff ist naheliegend: Mannennt eine algebraische KörpererweiterungL/K rein inseparabel, wenn jedes a ∈L \K inseparabel über K ist. Ist L/K einealgebraische Körpererweiterung, so ist jedesa ∈ L \ S(L/K) über S(L/K) inseparabel.Damit ist L/S(L/K) rein inseparabel.
L
algebraisch
rein inseparabel
S(L/K)
separabel
K
Lemma 25.13Es sei L/K eine echte, endliche, rein inseparable Körpererweiterung. Dann ist [L : K]
eine Potenz von p := CharK > 0.
Beweis: Wegen Lemma 25.3 (a) gilt CharK = 0. Es seien E ein Zwischenkörper vonL/K und a ∈ L. Wegen Lemma 25.4 existiert k ∈ N0 mit b := ap
k ∈ K ⊆ E, sodassma,E | Xpk − b = (X − a)p
k
(beachte Lemma 13.5). Somit gilt ma,E = (X − a)s fürein s = pr t aus N0, wobei p � t. Wegen ggT(pk, s) = pr existieren nach dem Hauptsatz5.4 (a) über den ggT Zahlen u, v ∈ Z mit pr = u s+ v pk, sodass
apr
= (as)u (apk
)v ∈ E .
Es folgt s = pr, also [E(a) : E] = pr (beachte Lemma 21.1 (b)). Die Behauptung ergibtsich hieraus mit Lemma 21.4 (b) und dem Gradsatz 20.3.
Aufgaben
25.1 Es sei K ein Körper der Charakteristik p > 0. Zeigen Sie: Ist L/K eine endlicheKörpererweiterung mit p � [L : K], so ist L/K separabel.
25.2 Man untersuche, ob die folgenden Polynome aus Q[X] mehrfache Wurzeln haben:
25.3 Es seien K ein Körper der Charakteristik p > 0 und P ∈ K[X] irreduzibel. Man zeige:
(a) Es gibt ein n ∈ N0 und ein separables Polynom Q ∈ K[X] mit P (X) = Q(Xpn
).
(b) Jede Wurzel a von P in einem Zerfällungskörper L von P hat die Vielfachheit pn.
25.4 Es sei L/K eine algebraische Körpererweiterung. Zeigen Sie:
(a) Wenn K vollkommen ist, so ist auch L vollkommen.(b) Wenn L vollkommen und separabel über K ist, so ist auch K vollkommen.
Begründen Sie, dass man in (b) auf die Separabilität von L/K nicht verzichten kann.
25.5 Der separable Abschluss 299
25.5 Welche der folgenden Körpererweiterungen besitzen ein primitives Element? Bestim-men Sie gegebenenfalls ein solches.
(a) Q(√2, 3
√3)/Q.
(b) Q(√−1,
√−2,√−3)/Q.
(c) K(X, Y )/K(X + Y,X Y ).
25.6 Es seien E ein Körper der Charakteristik p > 0, L := E(X, Y ) der Körper der rationalenFunktionen in den Unbestimmten X, Y über E und K := E(Xp, Y p) ⊆ L. Zeigen Sie:
(a) [L : K] = p2.
(b) Für alle a ∈ L gilt ap ∈ K.
(c) L/K ist nicht einfach, d. h., es gibt kein primitives Element von L/K.
25.7 Es seien K ein Körper der Charakteristik p > 0, L eine algebraische Erweiterung vonK und P := {a ∈ L | apn ∈ K für ein n ∈ N}. Zeigen Sie:
(a) Es ist P ein Zwischenkörper von L/K.
(b) Ein Zwischenkörper M von L/K ist genau dann rein inseparabel über K, wennM ⊆ P . Man nennt P deshalb auch den rein inseparablen Abschluss von K in L.
(c) Ist L algebraisch abgeschlossen, so ist P der kleinste vollkommene Zwischenkörpervon L/K; entweder gilt P = K oder [P : K] = ∞.
Hinweis: Benutzen Sie in (b) und (c): Für jedes n ∈ N und jedes b ∈ K \ Kp ist dasPolynom Xpn − b ∈ K[X] irreduzibel über K – beweisen Sie dies.
25.8 Es seien L/K eine endliche Körpererweiterung und S der separable Abschluss von Kin L. Die Zahl [L : K]i := [L : S] heißt der Inseparabilitätsgrad von K über L. ZeigenSie, dass für jeden Zwischenkörper M von L/K gilt:
[L : K]s = [L : M ]s [M : K]s und [L : K]i = [L : M ]i [M : K]i .
Hinweis: Es sei K ein algebraischer Abschluss von K mit L ⊂ K. Jeder Isomorphismusϕ : M → K besitzt gleich viele Fortsetzungen (wie viele?) auf L.
25.9 Es sei L := Q(√2, 3
√5) ⊆ C.
(a) Bestimmen Sie den Grad [L : Q], und geben Sie den Separabilitätsgrad [L : Q]san.
(b) Geben Sie alle Homomorphismen L → Q an, wobei Q ⊆ C der algebraischeAbschluss von Q ist.
