Aus der Analysis ist bekannt, dass die n-ten (komplexen) Einheitswurzeln, das sinddie Lösungen der Gleichung Xn − 1 = 0 in C, die Ecken eines regulären n-Ecks in Cbilden; es sind dies die n verschiedenen komplexen Zahlen 1, e
2π in , e
4π in , . . . , e
2(n−1)π i
n .Diesem Umstand haben die Kreisteilungskörper ihren Namen zu verdanken: Ein KörperKn heißt Kreisteilungskörper, wenn er Zerfällungskörper des Polynoms Xn−1 ∈ K[X]
ist – ein Kreisteilungskörper ist also ein kleinster Erweiterungskörper, über dem dasPolynom Xn − 1 zerfällt. Das wesentliche Ergebnis ist einfach zu formulieren: Wenndie Charakteristik von K kein Teiler von n ist, so ist die Körpererweiterung Kn/K
galoissch, und die Galoisgruppe ist zu einer Untergruppe von Z×n isomorph.
Als eine wesentliche Anwendung der erzielten Ergebnisse zeigen wir, welche regulärenn -Ecke mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können und führen die Konstruktionfür das 17-Eck explizit durch.
Voraussetzungen: Es ist ein Körper K mit algebraischem Abschluss K und Primkör-per F gegeben (also F ∼= Q bzw. F ∼= Zp, falls CharK = 0 bzw. CharK = p). Weitersei n ∈ N.
29.1.1 Die Gruppen der EinheitswurzelnLemma 29.1Wn(K) ist eine Untergruppe von (K×, ·).
Beweis: Es seien a, b ∈ Wn(K). Dann gilt an = 1, bn = 1. Es folgt (a b−1)n =
an (bn)−1 = 1. Das besagt a b−1 ∈ Wn(K).
Beispiel 29.1Es gilt Wn(C) = {e 2kπ i
n | k = 0, . . . , n− 1}. Man beachte |Wn(C)| = n.
Das Polynom P := Xn−1 ∈ K[X] hat in K höchstens n Wurzeln (vgl. Korollar 14.8).Wir begründen nun, dass P nur dann weniger als n Wurzeln in K hat, wenn CharK
ein Teiler von n = degP ist, genauer:
Lemma 29.2(a) Falls CharK = p > 0, so gilt Wprm(K) = Wm(K) für alle r, m ∈ N.
(b) Falls CharK � n, so gilt |Wn(K)| = n.
(c) Die Menge Wn(K) ist eine endliche, zyklische Gruppe, deren Ordnung n teilt.
Bemerkung. Man beachte, dass in CharK � n der Fall CharK = 0 enthalten ist, dadie 0 keine natürliche Zahl n teilt.
Beweis: (a) Es seien CharK = p > 0 und r, m ∈ N. Für ein a ∈ K× gilt (beachteLemma 13.5 zur Frobeniusabbildung):
aprm = 1 ⇔ 0 = (am)p
r
− 1 = (am − 1)pr
⇔ am − 1 = 0 ⇔ am = 1 .
Damit ist a genau dann eine prm-te Einheitswurzel, wenn a m-te Einheitswurzel ist.(b) Es sei w ∈ Wn(K) eine Wurzel von P := Xn − 1 aus K. Da CharK � n giltP ′(w) = nwn−1 = 0. Die Behauptung folgt daher aus Lemma 25.1.(c) Die Gruppe Wn(K) ist als endliche Untergruppe von K× zyklisch (vgl. Korollar14.9), d. h., es gibt ein a ∈ Wn(K) mit 〈a〉 = Wn(K). Wegen an = 1 folgt aus Satz 3.5o(a) | n, d. h. |Wn(K)| | n.
Man beachte, dass nach der Aussage (c) dieses Lemmas auch Wn(K) eine endlichezyklische Gruppe ist, deren Ordnung n teilt (man setze K = K).
29.1.2 Primitive n-te Einheitswurzeln
Man nennt eine n-te Einheitswurzel w ∈ Wn(K) eine primitive n-te Einheits-wurzel, wenn o(w) = n. Wir erinnern daran, dass für ein Element w einer Gruppemit neutralem Element 1 die Ordnung o(w) die kleinste natürliche Zahl ist, für diewo(w) = 1 gilt. Die Elemente w0, w1, . . . , wo(w)−1 sind dann verschieden voneinander.
29.2 Kreisteilungspolynome 337
Jede primitive n-te Einheitswurzel ist also ein die Gruppe Wn(K) erzeugendes Ele-ment. Wir fassen nun alle Wn(K) erzeugenden Elemente zusammen in einer Menge,wir setzen:
W ∗n(K) := {w ∈ K
× | o(w) = n} .
Beispiel 29.2Es gilt W ∗
8 (C) ={e
2π i8 , e
6π i8 , e
10π i8 , e
14π i8
}(beachte Korollar 5.11).
29.1.3 Kreisteilungskörper
Der Zerfällungskörper Kn ⊆ K des Polynoms Xn − 1 über K heißt der n-te Kreis-teilungskörper über K. Nach Lemma 29.2 hat die zyklische Gruppe Wn(K) genaudann die Ordnung n, wenn CharK � n, d. h.
W ∗n(K) = ∅ ⇔ CharK � n .
Jede primitive n-te Einheitswurzel erzeugt im Fall CharK � n den n-ten Kreisteilungs-körper, und die Anzahl der primitiven n-ten Einheitswurzeln ist durch ϕ(n) gegeben,wobei ϕ die Euler’sche ϕ-Funktion ist:
Lemma 29.3Im Fall CharK � n gilt für jedes w ∈ W ∗
n(K):
(a) Kn = K(w).
(b) W ∗n(K) = {wk | ggT(n, k) = 1}, und |W ∗
n(K)| = ϕ(n).
Beweis: (a) Jedes w ∈ W ∗n(K) erfüllt 〈w〉 = Wn(K). Somit gilt Kn = K(Wn(K)) =
K(〈w〉) = K(w).(b) Nach Korollar 5.11 gilt 〈wk〉 = Wn(K) ⇔ ggT(n, k) = 1.
29.2 Kreisteilungspolynome
Es sei d := o(w) die Ordnung der n-ten Einheitswurzel w ∈ Wn(K). Es ist dann w eineprimitive d-te Einheitswurzel, d. h. w ∈ W ∗
d (K), und nach Lemma 29.2 (c) gilt d | n.Andererseits gilt W ∗
d (K) ⊆ Wn(K) für jeden natürlichen Teiler d von n; und sind d,d′ verschiedene natürliche Zahlen, so gilt W ∗
d (K)∩W ∗d′(K) = ∅. Damit ist begründet:
(∗) Wn(K) =⋃
0<d|nW ∗
d (K) (disjunkt) .
Im letzten Abschnitt haben wir begründet, dass die zyklische Gruppe Wn(K) genaudann die Ordnung n hat, wenn CharK � n. Im Fall CharK � n nennt man
Φn,K :=∏
w∈W∗n(K)
(X − w) ∈ Kn[X]
338 29 Kreisteilungskörper
das n-te Kreisteilungspolynom über K und Φn := Φn,Q das n-te Kreisteilungs-polynom. Im Fall K = Q lässt man also meistens den Zusatz „über Q” weg.Man merke sich: Das n-te Kreisteilungspolynom hat genau die primitiven n-ten Ein-heitswurzeln als Nullstellen und damit den Grad ϕ(n).
Beispiel 29.3Wir geben einige Kreisteilungspolynome an: Φ1 = X − 1, Φ2 = X + 1, Φ3 = (X −e
2π i3 )(X − e
4π i3 ), Φ8 = (X − e
2π i8 )(X − e
6π i8 )(X − e
10π i8 )(X − e
14π i8 ).
29.2.1 Xn − 1 ist Produkt von Kreisteilungspolynomen
Wir zerlegen nun das Polynom Xn − 1 in Kreisteilungspolynome. Im folgenden Ab-schnitt zeigen wir dann, dass dies im Fall K = Q eine Zerlegung in über Q irreduzibleFaktoren liefert.
Lemma 29.4(a) Im Fall CharK � n gilt Xn − 1K =
∏0<d|n Φd,K , insbesondere (für K = Q)
Xn − 1 =∏
0<d|nΦd .
(b) Das Polynom Φn ist normiert vom Grad ϕ(n) und liegt in Z[X].
(c) Falls Φn =∑ϕ(n)
i=0 ki Xi ∈ Q[X], so ist Φn,K =
∑ϕ(n)i=0 (ki 1K)Xi ∈ F [X].
Beweis: (a) Nach Lemma 29.2 (b) und (∗) zerfallen die beiden Polynome Xn − 1K
und∏
0<d|n Φd,K über K in n gleiche Linearfaktoren.(b), (c) Offenbar ist Φn normiert, und degΦn = ϕ(n) nach Lemma 29.3. Die restlichenAussagen stimmen für n = 1 (Φ1,K = X−1K) und seien für jedes s < n aus N richtig,wobei 2 ≤ n ∈ N. Wegen (a) gilt
(∗∗) Xn − 1K = Φn,K
∏d|n
0<d<n
Φd,K .
Nach Induktionsvoraussetzung ist Ψn :=∏
d|n
0<d<n
Φd,Q ein normiertes Polynom mit
ganzzahligen Koeffizienten. Division mit Rest in Z[X] gibt Polynome Q, R ∈ Z[X] mit
Xn − 1 = QΨn +R mit R = 0 oder degR < degΨn .
Mit (∗∗) ergibt sich dann (Φn − Q)Ψn = R, was aus Gradgründen Φn = Q ∈ Z[X]
zur Folge hat. Damit ist (b) bewiesen. Die Abbildung
P =
r∑i=0
ki Xi �→ P̃ :=
r∑i=0
(ki 1K)Xi
29.2 Kreisteilungspolynome 339
von Z[X] in F [X] ist nach Satz 14.3 ein Homomorphismus. Nach Induktionsvorausset-zung gilt Φ̃s = Φs,K für alle s < n, sodass Ψ̃n = Ψn,K . Es folgt
Nach der Aussage in (c) erhalten wir das Kreisteilungspolynom Φn,K über einemKörper K der Charakteristik p > 0 aus dem Kreisteilungspolynom Φn über Q, indemwir die nach (b) ganzzahligen Koeffizienten von Φn modulo p reduzieren.
Bemerkung. Einerseits gilt n = |Wn(C)| nach Lemma 29.2, andererseits gilt wegen(∗) auch n =
∑0<d|n |W ∗
d (C)|. Das ergibt mit |W ∗d (C)| = ϕ(d) eine wichtige Formel
29.2.3 Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über Q
Die Kreisteilungspolynome haben die folgende wichtige Eigenschaft:
Satz 29.5Für jedes n ∈ N ist Φn über Q irreduzibel.
Beweis: (R. Dedekind) Da Φn ∈ Z[X] normiert ist (vgl. Lemma 29.4), hat Φn
nach Lemma 19.4 (a) einen normierten, über Q irreduziblen Faktor G aus Z[X]. Wirhaben Φn = G zu zeigen. Dazu begründen wir vorab:
(∗) Für jede Wurzel a ∈ Qn von G und jede Primzahl p mit p � n gilt G(ap) = 0.
Da G | Φn und Φn | Xn − 1 gilt
Xn − 1 = P G mit P ∈ Z[X] .
Es sei G(ap) = 0 angenommen. Da ap Wurzel von Xn − 1 ist, folgt P (ap) = 0, d. h., aist Wurzel von P (Xp). Als normiertes irreduzibles Polynom ist G das Minimalpolynomaller seiner Wurzeln, somit gilt G = ma,Q und folglich G | P (Xp) in Q[X], etwa
P (Xp) = RG .
Mit Lemma 19.4 (c) folgt R ∈ Z[X].Wir setzen k := k + pZ ∈ Zp für k ∈ Z und betrachten den Homomorphismus
T =
r∑i=0
ki Xi �→ T̃ :=
r∑i=0
ki Xi
von Z[X] in Zp[X] (vgl. Satz 14.3). Wegen (man beachte Lemmata 13.5 und 26.1)
T̃ p =
(r∑
i=0
ki Xi
)p
=
r∑i=0
kpi X
i p =
r∑i=0
ki (Xp)i = T̃ (Xp)
folgt mit obiger Gleichung:R̃ G̃ = P̃p .
Nun sei S ein irreduzibler Faktor von G̃ in Zp[X]. Wegen R̃ G̃ = P̃p, Satz 17.1 undKorollar 18.5 folgt S | P̃ , sodass S2 | P̃ G̃ = Xn − 1. Folglich hat H := Xn − 1 einemehrfache Wurzel w in Zp (algebraischer Abschluss von Zp). Wegen H′(w) = nwn−1
und n = 0, w = 0 widerspricht dies Lemma 25.1 (a). Das beweist (∗).Nun sei k ∈ N teilerfremd zu n und k = p1 · · · pr mit Primzahlen p1, . . . , pr. Unda ∈ Qn sei Wurzel von G, wegen G | Φn also primitive n-te Einheitswurzel. Ein r-faches Anwenden von (∗) liefert G(ak) = 0, d. h. G hat mindestens ϕ(n) Wurzeln;somit gilt degG ≥ ϕ(n) = degΦn, sodass G = Φn.
29.2 Kreisteilungspolynome 341
Vorsicht. Der Satz 29.5 wird falsch für CharK = 0. Über K = Z5 gilt z. B.
Bemerkung. Satz 29.5 wurde für Primzahlen n von C. F. Gauß 1800, für Primzahlpo-tenzen von J.A. Serret 1850 und für beliebiges n ∈ N von L. Kronecker 1854 bewiesen.
29.2.4 Der Satz von Wedderburn *
Mithilfe von Kreisteilungspolynomen können wir einen für die Geometrie sehr wichti-gen Satz beweisen.Bei den endlichen Körpern haben wir uns von Anfang an auf die Untersuchung kom-mutativer Körper beschränkt. Die Theorie der Schiefkörper (hier wird die Kommu-tativität der Multiplikation nicht verlangt) ist deutlich komplizierter. Wir wollen indiesem Abschnitt zeigen, dass im endlichen Fall zwischen Körpern und Schiefkörpernnicht unterschieden werden muss, dies besagt der Satz von Wedderburn.
Satz 29.7 (Wedderburn 1905)Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.
Beweis: Es sei K ein endlicher Schiefkörper, und es sei Z := {x ∈ K |x y = y x füralle y ∈ K} das Zentrum von K. Offensichtlich ist Z ein Körper. Der Schiefkörper Kist ein endlichdimensionaler Vektorraum über Z und hat qn Elemente mit q := |Z| undn := dimZ K. Zu a ∈ K betrachten wir N(a) = {x ∈ K | xa = ax} und erkennen, dassN(a) ein Teilschiefkörper von K ist, der Z enthält. N(a) hat dann qn(a) Elemente,wobei n(a) eine natürliche Zahl ist. Da N(a)× = N(a) \ {0} eine Untergruppe vonK× = K \{0} ist, haben wir nach dem Satz 3.9 von Lagrange qn(a)−1 | qn−1, worausman n(a) | n folgert. In der Gruppe K× betrachten wir nun die Klassengleichung inSatz 7.6:
qn − 1 = q − 1 +∑
[K× : N(a)] = q − 1 +∑ qn − 1
qn(a) − 1,
wobei rechts summiert wird über ein Vertretersystem von Klassen konjugierter Ele-mente, für die [K× : N(a)×] > 1, d. h. für die n(a) = n gilt.
342 29 Kreisteilungskörper
Es sei Φn ∈ Z[X] (siehe Lemma 29.4 (b)) das n-te Kreisteilungspolynom über Q. Wirzeigen, dass Φn(q) jeden Summanden qn−1
qn(a)−1mit n(a) | n und n(a) = n teilt. Das
sehen wir aber leicht mit Lemma 29.4 (a), denn für n(a) | n und n = n(a) haben wir
Xn − 1
Xn(a) − 1=
∏d|n Φd∏
t|n(a) Φt= Φn P
mit P ∈ Z[X], weil im Nenner nur Faktoren des Zählers stehen. Weil nach Lemma 29.4(a) Φn(q) auch ein Teiler von qn−1 ist, zeigt die angegebene Klassengleichung Φn(q) |(q − 1), insbesondere Φn(q) ≤ q − 1. Andererseits gilt aber für jede Einheitswurzelζ = 1 und jede ganze Zahl q ≥ 2 die Ungleichung |q−ζ| > q−1 (Dreiecksungleichung).Aus n > 1 folgte |Φn(q)| =
∏|q − ζ| > (q − 1)ϕ(n) ≥ q − 1. Das ist ein Widerspruch
zu Φn(q) ≤ q − 1. Folglich muss n = 1 gelten, d. h. |K| = |Z| bzw. K = Z.
Bemerkung. Der Satz von Wedderburn hat eine wichtige Anwendung in der Geome-trie. Für endliche affine Ebenen folgt der Satz von Pappus aus dem Satz von Desargues.Für diesen rein geometrischen Sachverhalt kennt man keinen geometrischen Beweis. DieAussage muss erst nach Einführung von Koordinaten in ein algebraisches Problem um-formuliert werden. Es gilt allgemein, dass man der Koordinatenmenge bei Gültigkeitdes Satzes von Desargues in natürlicher Weise die Struktur eines Schiefkörpers auf-prägen kann, und es gilt der Satz von Pappus genau dann, wenn dieser Schiefkörperkommutativ ist. Nun sieht man, wo Wedderburn ins Spiel kommt.
29.3 Die Galoisgruppe von Kn/K
Wir bestimmen die Galoisgruppen in den Fällen, in denen Kn/K galoissch ist, wobeiKn den n-ten Kreisteilungskörper bezeichnet, d. h. den Zerfällungskörper von Xn − 1
über K. Mit der Galoisgruppe ist der Zwischenkörperverband von Kn/K bekannt.
29.3.1 Wann ist Kn/K galoissch?
Die Körpererweiterung Kn/K ist im Fall CharK � n galoissch.
Lemma 29.8Für jedes n ∈ N mit CharK � n gilt:
(a) Es ist Kn/K galoissch, und Γ := Γ(Kn/K) ist zu einer Untergruppe der primenRestklassengruppe Z×
n isomorph.
Genauer: Ist w ∈ Kn primitive n-te Einheitswurzel, so existiert zu jedem τ ∈ Γ
genau ein Element i(τ) ∈ Z×n derart, dass τ(w) = wk für jedes k ∈ i(τ), und
τ �→ i(τ) ist ein Monomorphismus von Γ in Z×n .
29.3 Die Galoisgruppe von Kn/K 343
(b) Genau dann gilt Γ ∼= Z×n , wenn Φn,K über K irreduzibel ist.
Beweis: (a) Wegen Lemma 29.2 (b) ist Xn − 1 separabel über K. Als Zerfällungs-körper von Xn − 1 über K ist Kn normal über K. Nach Satz 27.11 ist Kn/K somitgaloissch; und Kn = K(w) mit einer primitiven n -ten Einheitswurzel w. Für jedesτ ∈ Γ ist τ(w) wegen o(τ(w)) = o(w) ebenfalls eine primitive n -te Einheitswurzel,sodass τ(w) = wr für ein r ∈ Z mit ggT(r, n) = 1 (vgl. Lemma 29.3 (b)). Nun gilt fürk ∈ Z
τ(w) = wk ⇔ wr = wk ⇔ n | r − k ⇔ k = r in Zn .
Daher ist i(τ) := r durch τ und τ(w) = wr eindeutig festgelegt und τ(w) = wk fürjedes k ∈ i(τ). Für σ, τ ∈ Γ und k ∈ i(σ), k′ ∈ i(τ) gilt
wk k′ = σ(w)k′
= σ(wk′) = σ τ(w) ,
sodass k k′ ∈ i(σ τ). Somit ist ϕ : τ �→ i(τ) ein Homomorphismus von Γ in Z×n . Aus
i(τ) = 1 folgt τ(w) = w1 = w, was wegen Kn = K(w) zu τ = IdKnführt. Somit ist ϕ
injektiv, also ein Monomorphismus.(b) folgt aus (a), weil |Γ| = [Kn : K] und degΦn,K = ϕ(n) = |Z×
n |.
Beispiel 29.6Da die Kreisteilungspolynome Φn über Q nach Satz 29.5 stets irreduzibel sind, folgtmit dem eben bewiesenen Lemma 29.8:
Γ(Qn/Q) ∼= Z×n , z. B. Γ(Q9/Q) ∼= Z6, sodass es genau zwei echte Zwischenkörper
K1 und K2 von Q9/Q mit [K1 : Q] = 2 und [K2 : Q] = 3 gibt (siehe Aufgabe 29.4).Kn/K ist im Fall CharK � n abelsch, d. h. galoissch mit abelscher Galoisgruppe.
Bemerkungen. (1) Im Fall CharK = 0 ist Kn/K sogar zyklisch (siehe Aufgabe 29.8).(2) Das zweite Beispiel besitzt für K := Q eine tief liegende Umkehrung: Zu jeder end-lichen abelschen Körpererweiterung L/Q existiert ein n ∈ N und ein Monomorphismusψ : L → Qn. Das ist der Satz von Kronecker/Weber.
29.3.2 Kreisteilungskörper über endlichen Körpern *
Wir bestimmen zum Abschluss Kn für endliche Körper K.
Lemma 29.9Für K := Fq und n ∈ N mit CharK � n gilt [Kn : K] = o(q), wobei o(q) die Ordnungvon q = q + nZ in (Z×
n , ·) bezeichnet, folglich gilt Kn∼= Fqo(q) .
344 29 Kreisteilungskörper
Beweis: Die Erweiterung Kn/K ist galoissch. Nach dem Hauptsatz 27.10 der end-lichen Galoistheorie hat die K-Automorphismengruppe von Kn genau [Kn : K] Ele-mente. Nach Lemma 26.5 ist diese Automorphismengruppe zyklisch und wird vonϕ : a �→ aq erzeugt. Somit hat ϕ die Ordnung [Kn : K]. Für jede primitive n-teEinheitswurzel w ∈ Kn gilt Kn = K(w), sodass für k ∈ N folgt:
ϕk = IdKn⇔ w = ϕk(w) = wqk
⇔ n | qk − 1 ⇔ qk = 1 .
Somit gilt [Kn : K] = o(q) in Z×n .
Beispiel 29.7Für n = 10 gilt o(1) = 1, o(3) = 4 = o(7), o(9) = 2. Also gilt K10 = Fq für q = 1,K10 = Fq4 für q = ±3, K10 = Fq2 für q = 9.
29.4 Konstruktion regulärer Vielecke *
Die n-ten Einheitswurzeln wk = e2kπ i
n , k =
0, 1, . . . , n−1, über Q teilen den Einheitskreisin n gleiche Sektoren (daher die BezeichnungKreisteilung). Sie sind die Eckpunkte eines re-gulären n-Ecks. Die Aufgabe, ein reguläres n -Eck zu konstruieren, wird folglich gelöst durchdie Konstruktion einer primitiven n -ten Ein-heitswurzel, etwa w1 = e
2π in .
αα
w1
w2w3
wn−1
1
Seit jeher bekannt sind die Konstruktionen regulärer Dreiecke, Vierecke (Quadrate),Fünfecke und Sechsecke. Es ist aber nicht jedes reguläre n -Eck mit Zirkel und Linealkonstruierbar. Es war ein bedeutendes klassisches Problem der Geometrie, die n zubestimmen, für die ein reguläres n -Eck konstruierbar ist und gegebenenfalls auch eineexplizite Konstruktion anzugeben. Eine vollständige Lösung dieses Problems wurdezuerst von C. F. Gauß in seinen Disquisitiones arithmeticae 1801 veröffentlicht. Wirwerden sehen, dass nur solche regulären n -Ecke (mit Zirkel und Lineal und der Start-menge S = {0, 1} bzw. S = Q) konstruierbar sind, bei denen n ein Produkt einerZweierpotenz mit verschiedenen Fermat’schen Primzahlen ist.
29.4.1 Fermatsche Primzahlen
Eine Primzahl der Form 2s + 1 mit s ∈ N heißt fermatsch. Für ungerades u = 1 undbeliebiges v aus N ist
keine Primzahl. Eine fermatsche Primzahl hat also die Form
fk = 22k
+ 1 mit k ∈ N0 .
Für k = 0, 1, 2, 3, 4 sind
f0 = 3, f1 = 5, f2 = 17, f3 = 257, f4 = 65537
Primzahlen. Weitere fermatsche Primzahlen sind bisher nicht bekannt.
29.4.2 Kennzeichnungen der Konstruierbarkeit regulärer Vielecke
Wir zeigen nun, welche regulären n-Ecke konstruierbar sind:
Satz 29.10 (C. F. Gauß)Für 3 ≤ n ∈ N sind äquivalent:
(1) Ein reguläres n-Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
(2) ϕ(n) ist eine Potenz von 2.
(3) n = 2j p1 · · · pr mit j ∈ N0 und verschiedenen fermatschen Primzahlenp1, . . . , pr, 0 ≤ r.
Beweis: Offenbar ist ein reguläres n-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstru-ierbar, wenn eine primitive n-te Einheitswurzel ε ∈ C konstruierbar ist.(1) ⇒ (2): Wenn ε aus {0, 1} konstruierbar ist, gilt nach Korollar 22.3:
ϕ(n) = [Q(ε) : Q] = 2k für ein k ∈ N .
(2) ⇒ (1): Es gelte (beachte Lemma 29.8)
|Γ(Q(ε)/Q)| = [Q(ε) : Q] = ϕ(n) = 2k für ein k ∈ N0 .
Durch wiederholtes Anwenden des Satzes 8.1 von Frobenius erhalten wir UntergruppenΔ0, . . . , Δk von Γ(Q(ε)/Q) mit Γ(Q(ε)/Q) = Δ0 ⊇ Δ1 ⊇ · · · ⊇ Δk = {Id} mit|Δi| = 2k−i und damit [Δi : Δi−1] = 2 für i = 1, . . . , k. Gemäß dem Hauptsatz27.10 der endlichen Galoistheorie entsprechen ihnen Zwischenkörper Ei := F(Δi),i = 0, . . . , k mit Q = E0 ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Ek = Q(ε) und [Ei : Ei−1] = 2 für i = 1, . . . , k.Wegen Lemma 22.2 ist ε daher aus {0, 1} konstruierbar.(2) ⇔ (3): Es sei n = 2j pν1
1 · · · pνrr die kanonische Primfaktorzerlegung von n. Genau
dann ist (beachte Lemma 6.10)
ϕ(n) = 2j−1 (p1 − 1) pν1−11 · · · (pr − 1) pνr−1
r
eine Potenz von 2, wenn ν1 = 1, . . . , νr = 1 und wenn pi − 1 eine Potenz von 2, d. h.pi eine fermatsche Primzahl ist, i = 1, . . . , r.
346 29 Kreisteilungskörper
Bemerkung. Explizit wurde der Körperturm E0 ⊆ E1 ⊆ · · · ⊆ Ek (vgl. die Beweis-richtung (2) ⇒ (1)) und damit eine Konstruktion von ε = e
2π in für n = f2 = 17 von
Gauß 1796, n = f3 = 257 von Richelot und Schwendenwein 1832, n = f4 = 65537 vonJ. Hermes 1889 angegeben.
29.4.3 Die Konstruktion des regulären 17-Ecks
Wir führen die Konstruktion des regulären 17-Ecks durch. Es ist Q17 = Q(ε) mitε = e
2π i17 , ε17 = 1.
Ein erzeugendes Element von Γ = Γ(Q17/Q) ist der durch τ(ε) = ε3 gegebene Auto-morphismus τ von Q17, denn 3 := 3 + 17Z erzeugt Z×
17 (man sagt, 3 ist eine Primi-tivwurzel modulo 17). Es gilt:
![Algebra Uno[1]](https://static.unterlagen.site/doc/80x56/563db87c550346aa9a941f99/algebra-uno1.jpg)
