A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken
Mittlerweile exist ieren große kommerzielle Programme für nahezu jedeForm der Datenanalyse. Allerdings ist es aus zeitli chen und finanziellen Gründen in den meisten Fällen unrealistisch, im Rahmen einerexperimentellen Diplom- oder Doktorarbeit solche Pakete einzusetzen.Der Preis übersteigt im allgemeinen den für die Dur chführung der Experimente eines Projektes bewilligten Forschungsetat , und von einemDiplomanden oder Doktoranden, der sich unt er Zeitdruck neue experimentelle Techniken aneignen muß, kann nicht noch gefordert werden, sich in neue äußerst komplexe Programmpakete einzuarbeiten,nur weil ein gewisser Teil der Datenanalyse damit fundi erter durchzuführen wäre. Fast immer wird in solchen Fällen auf weniger spezialisierte und weiter verbreitete Programme zurückgegriffen oder einekostengünstige Shareware- oder Freeware-Realisierung einer bestimmten Analysemethode herangezogen. Es gibt zwei wichtige Ausnahmenvon dieser Regel: 1. interdisziplinäre Zusammenarbeiten (zum Beispielzwischen Biologie und Informatik) , in denen viele Analysest rategienin Eigenarbeit auf die Experimente zugeschnit ten und dann auch alsCompute r-Programm oder Software-Paket realisiert werden, 2. experimentelle Arbeiten , bei denen die Entwicklung und Anpassung vonAnalysemet hoden im Vordergrund steht und weniger die (vielleichtbereits etablierte) Durchführung der Exp erimente. Für alle anderenFälle, in denen eine fortgeschrittene Datenanalyse zwar notwendig,aber keinesfalls der zentrale Aspekt der Arbeit ist , soll dieser Anhangeine erste Orientierung in dem großen Feld der Analysesoftware geben.Dabei liegt der Schwerpunkt auf nicht kommerziellen oder weit verbreiteten kostengünstigen Programmpaketen, ihrer Eignung und ihrenBezugsquellen.Im zweiten Teil sind einige Internet-Datenbanken zusammengeste llt ,die sich mit Komplexität , nichtlinearer Dynamik und Fragen der Modellierung biologischer Systeme beschäftigen.
280 A. Software-Pakete und Internet-Dat enbanken
Software-Pakete
Mathematica, www.w olfram .com
Aus unserer Sicht stellt das Computeralgebra-P rogramm Mathematica, das eine Mischung aus Software-Paket und Programmierumgebung ist , eine nahezu ideale Infrastruktur für interdisziplinäres wissenschaftliches Arb eiten zur Verfügung. Die meisten Abbildungen indiesem Buch wurden mit Mathematica erstellt . Der ursprünglicheEntwickler von Mathematica, Stephen Wolfram , ist selbst ein aktiver und äußerst erfolgreicher Wissenschaftler , der im Bereich komplexer Systeme forscht. Mit Mathematica verfolgte er das Ziel, eine so suggestive Benutz eroberfläche für die Realisierung mathematischer Zusammenhänge und komplexer Systeme zu schaffen, daß sichdie eigenen Ideen unmittelbar umsetzen lassen, ohne daß man einengroßen Teil der Zeit mit Variablendeklarationen und anderen infrastrukturellen Programmierarb eiten beschäftigt ist . Mittlerweile hatsich eine große Forschungslandschaft um dieses ComputeralgebraSystem gruppiert. Es gibt Konferenzen und ergänzende Datenbanken (library.wolfram.com) zu Mathematica, ebenso wie Lehrbücher(store.wolfram.comjcatalogj booksj) und Forschungsartikel auf derGrundlage dieses Programms. Die wichtigste Quelle für MathematicaFiles anderer Anwender zu verschiedenen mathematischen Fragestellungen ist die MathS ource-Library (www.mathsource.com). Der einzige deutliche Nachteil von Mathematica im Vergleich zu herkömmlichenProgrammierumgebungen (etwa Fortran oder C) besteht in der niedrigeren Geschwindigkeit numerischer Rechnungen. Man kann davonausgehen, daß eine optimal programmierte Mathematica-Lösung etwaum einen Faktor 3-10 langsamer ist als entsprechende Realisierungenin herkömmlichen Programmiersprachen.
Maple, www.maplesoft. com
Ähnlich wie Mathematica bietet auch das ComputeralgebraProgramm Mapl e eine ganze Reihe vordefinierter Funktionen, die dasnumerische Arb eiten mit mathematischen Ausdrücken erleichtern undanalyt ische Untersuchungen durch die volle Unterstützung symbolischer Operationen ermöglichen. Zur Zeit ist die Menge an ergänzenden Programmpaketen, Büchern und fertigen, zum Download zurVerfügung stehenden Lösungen jedoch noch geringer als bei Mathematica.
A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken 281
MATLAB, www.mathworks.com
MATLAB ist eine leistungsfähige Software für technische Berechnungen. Es bietet vor allem Ingenieuren und Technikern ein interaktivesSystem, das numerische Rechnungen und wissenschaftliche Visualisierung gleichermaßen ermöglicht. Immer mehr kommt es aber auch beitheoretischen Arbeiten in den reinen Naturwissenschaften zum Einsatz. Weniger suggestiv als die oben aufgeführten ComputeralgebraProgramme erlaubt MATLAB numerische Rechnungen nahezu ohneGeschwindigkeitsverlust gegenüber herkömmlichen Programmiersprachen.
IDL, www.rsinc.com/idl/index. cfm
IDL, interactive data language, ist ein System zur Analyse und Visualisierung von Daten. Dabei stehen Tools für eine ganze Reihe vonnumerisch anspruchsvollen Operationen zur Verfügung, etwa WaveletAnalysen, numerische Integrationen und verschiedene BildanalyseVerfahren. IDL unterstützt eine große Zahl von Datenformaten undist für die meisten Computersysteme erhältlich.
NIH Image, Scion Image,rsb.info. nih. gov/nih-image/, www.scioncorp.com/
NIH Image ist ein nicht-kommerzielles (public domain) BildanalyseProgramm für Macintosh-Computer, das von den National Institutesof Health, der amerikanischen Gesundheitsbehörde, entwickelt wurde .Das Windows-Gegenstück (kommerziell, aber zur Zeit noch als Demoversion gratis erhältlich) heißt Scion Image. NIH Image ist geeignet ,um die Formate TIFF, PICT und PICS einzulesen und zu verarbeiten.Eine große Zahl von Bildverarbeitungsalgorithmen (z.B. Kantenerkennung, Glättung, Faltung und Kalibrierung) sind in dem Programmenthalten, ebenso wie einige wichtige statistische Analysewerkzeuge.Eine an Pascal angelehnte Macro-Sprache erlaubt die Anpassung derWerkzeuge an den eigenen Bedarf.
Microsoft Excel,www.microsoft·com/germany/office/produkte/default.htm
Als weitverbreitetes Tabellenkalkulationsprogramm erlaubt Excel auchin begrenztem Umfang das numerische Studium von Differenzengleichungen und Differentialgleichungen, allerdings im Vergleich zu denoben aufgeführten Programmen mit geringer Benutzerfreundlichkeit.
282 A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken
Internet-Datenbanken und Links zu weiterer Software
Complexity On-linecomplex. csu. edu.aufcomplex/
Complexity On-line ist ein wissenschaftliches Informationsnetzwerküber komplexe Systeme. Neben einer großen Linksammlung findet sichdort auch eine Zeitschrift mit Forschungsartikeln. Schwerpunktthemensind unter anderem zelluläre Automaten, Fraktale, neuronale Netze,Spin-Gläser und genetische Algorithmen.
Nonlinear Seiences Preprintszxa:uni-augsburg.dei
Dieser Preprint-Server ist die deutsche Mirror-Seite des berühmtenLos-Alamos-Archivs (xxx.lanl.gov), das Vorabfassungen (Preprints) zupublizierender, aber (meist) noch nicht begutachteter Forschungsarbeiten zum Download (La. in den Formaten TeX, PostScript oder pdf)zur Verfügung stellt. Das Angebot umfaßt viele Bereiche der Physikund Mathematik. Im Bereich der nichtlinearen Dynamik liegen die folgenden Rubriken vor:
Adaptation and Selj-Organizing Systems; Cellular Automataand Lattice Gases; Chaotic Dynamies; Exactly Solvable andIntegrable Systems; Pattern Formation and Solitons
Die Datenbank existiert mittlerweile seit fast zehn Jahren. Eine Suchenach Stichworten und Autoren ist möglich.
Links on Complexitypespmc1 .vub.ac.be/COMSELLI.html
Diese von F. Heylighen und C. Joslyn unterhaltene Datenbank wirdetwa im Vierteljahresrhythmus aktualisiert. Sie bietet Informationenzu Selbstorganisationsprozessen und komplexen Systemen.
Santa Fe Institute Publicationswww.santaje. edu/sfi/indexPublications. html
Das Santa Fe Institute for Complex Systems (SFI) ist eine weltweitanerkannte Forschungsinstitution zu Phänomenen der Selbstorganisation , Komplexität und nichtlinearer Dynamik. Die Preprint-Reihe desSFI, deren Bandbreite von technischen Diskussionen bis zu sehr klargeschriebenen Übersichtsartikeln reicht, ist unter dieser Adresse nachJahren geordnet abrufbar.
A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken 283
UK Nonlinear Newswww.amsta.leeds.ac. uk/Applied/news. dir/
Das Hauptziel der (britischen) Zeitschrift UK Nonlinear News ist,interdisziplinär arbeitenden Forschern einen Überblick über die Anwendungen und neusten Entwicklungen der nichtlinearen Dynamik zugeben. Ein wichtiger Schwerpunkt liegt daher auf Übersichtsartikeln,Buchbesprechungen und aktuellen Informationen über Forschungsgruppen.
Topics in Mathematics: Nonlinear Dynamicsarchives.math. utk. edu/topics/nonlinearDynamics.html
Dieses recht aktuelle Archiv sammelt allgemeine Informationen zuThemen der nichtlinearen Dynamik und ihren Anwendungen. Hier findet man insbesondere auch Verweise auf Arbeitsgruppen in diesemFeld und auf neuere Forschungsprojekte.
Mathematical Biology Pageswww.bio.bmndeis. edsi/biomatti/menu: html
Die Mathematical Biology Pages sind ein Versuch, das Internet als Unterrichtsmedium zu nutzen. Sie bieten vor allem Animationen und Visualisierungen einfacher theoretischer Konzepte der nichtlinearen Dynamik und einiger anderer Teilbereiche der Mathematik.
Internet Resources for Mathematical Modellingwww.ifi·uio.no/-matmod/matmod-hotlist.shtml
Diese (norwegische) Datenbank und Linksammlung beschäftigt sichmit mathematischer Modellierung und hat Informationen über Konferenzen, Software, news groups und Publikationen zu diesem Themenfeld.
TSTOOLwww.DPI.Physik.Uni-Goettingen.DE/tstool/index.html
Bei TSTOOL handelt es sich um ein Software-Paket zur nichtlinearenZeitreihenanalyse. Es besteht vor allem aus MATLAB-Programmenmit einigen Ergänzungen in CjC++. Viele der in Kapitel 4 diskutierten Operationen können mit TSTOOL durchgeführt werden, etwa dieEinbettung einer Zeitreihe, die Berechnung der Lyapunov-Exponenten,verschiedene Nachbarschaftsbetrachtungen im Einbettungsraum undSurrogatdatentests.
284 A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken
DDE-BIFTOOLunmo.cs.kuieuocn.ac.be/tkoea/.delay/ddebiftool. shtml
DDE-BIFTOOL ist ein MATLAB-Paket zur Bifurkationsanalyse von Systemen mit Zeitverzögerung (speziell von DelayDifferentialgleichungen). Es erlaubt vor allem Stabilitäts- und Bifurkationsanalysen.
B. Weiterführende Literatur zu ausgewähltenThemen
Beim Abfassen dieses Buches waren mir eine ganze Reihe vonLehrbüchern eine große Hilfe. Einige von ihnen sind besonders geeignetals Vertiefung einzelner Themen. Diese sind hier nach Hauptstichworten noch einmal aufgeführt.
Nichtlineare Dynamik
D . Kaplan, L. Glass , Nonlinear Dynamics and Chaos.Springer 1995
Dieses Buch ist als Einführung für Biologen wegen der vielen ausformulierten und skizzierten biologischen Anwendungsbeispiele besondersgeeignet. Es gehört zu den wenigen Lehrbüchern mit ausführlichen Diskussionen von Analysemethoden. Vor allem die Grundzüge der nichtlinearen Zeitreihenanalyse werden klar und nachvollziehbar dargestellt.
S. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos with applicationsto physics, biology, chemistry and engineering.Addison-Wesley 1994
Dieses im Vergleich zu den entsprechenden Kapiteln bei Kaplan undGlass sehr viel anspruchsvollere Buch enthält neben vielen fortgeschrittenen Beispielen aus der Biologie und der Physik eine bemerkenswerte Darstellung von Bifurkationen und eine sehr ausführliche Diskussion des Lorenz-Systems . Die Übungsaufgaben am Ende der einzelnenKapitel sind originell und stark an Fragen der Forschung orientiert.Ähnlich wie die sehr detailliert besprochenen, den ganzen Text durchsetzenden Beispiele sind sie wesentlich für ein tiefes Verständnis derbehandelten Begriffe.
E. Ott, Chaos in dynamical systems.Cambridge Univ. Press 1993
286 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen
Einige relativ häufig vernachlässigte Aspekte der nichtlinearen Dynamik finden sich hier auf Lehrbuchniveau präsentiert, zum Beispielquasiperiodische Dynamiken und das Auftreten von Arnoldzungen inextern getriebenen Systemen.
Zeitreihenanalyse
R. Schlittgen, B. Streitberg, Zeitreihenanalyse.oldenbourg 1998
Eine sehr umfassende Darstellung vieler filterbasierter linearer Analyseverfahren werden hier mit einer großen Zahl von Detailinformationenund zahlreichen Beispielen erläutert. Das Argumentationsniveau istfür den Adressatenkreis des Buches (Wirtschaftswissenschaften) rechthoch, wenn auch der Text viele der stark mathematisierten Teile gutergänzt.
T. Schreiber, Nonlinear time series analysis.Physics Reports 308 (1999)
Dieser Übersichtsartikel stellt eine gliedernde, sehr klare Sammlung deraktuellsten Ideen der nichtlinearen Zeitreihenanalye dar. Zwar wird aufmathematische Details der verschiedenen Methoden verzichtet, dennoch ist diese Sammlung ein hervorragendes Hilfsmittel bei der Auswahl fortgeschrittener Analysewerkzeuge für einen Satz experimenteller Daten.
Fraktale Geometrie
M.F. Barnsley, Fractals Everywhere.Academic Press 1993
Michael Barnsley ist einer der großen Vorreiter der fraktalen Geometrieund gleichzeitig Mitbegründer einer erfolgreichen Firma zur Bildverarbeitung und Datenkomprimierung, die ihren Marktvorteil aus gerade solchen Methoden schöpft (www.iterated.carn).Esist daher nurfolgerichtig, daß dieses Buch den Weg vom mathematischen Gedanken bis zur praktischen Anwendung an allen Stellen in gleichermaßenüberzeugender Weise zu schildern vermag. Kaum ein Lehrbuch derTopologie oder Geometrie enthält eine so klare, inspirierende und dennoch mathematisch sorgfältige Einführung in Mengen und metrische
B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen 287
Räume. Die wichtigsten Theoreme der fraktalen Geometrie werden bewiesen und an Beispielen diskutiert. Nur kursorisch behandelt werdenMethoden der Analyse fraktaler Daten und die Bedeutung fraktalerStrukturen in der Natur.
L.S. Liebovitch, Fractals and Chaos simplified for the LifeSciences.Oxford Univ. Press 1998
Die interessante Strukur (eine Seite Text zusammen mit einer SeitePräsentationsvorlage) macht dieses Buch zu einem begehrten Vorbereitungstext zum Unterrichten von fraktaler Geometrie und einigerGrundelemente der nichtlinearen Dynamik. Zum Selbststudium ist dieses Buch allerdings nur begrenzt geeignet. Larry S. Liebovitch gehörtzu den wenigen Forschern, deren Schwerpunkt konsequent auf interdisziplinärer Arbeit liegt. Er sucht die Anwendung seiner mathematischen Methoden in der Biologie und Medizin, aber auch in industriellen Kontexten. Die mit seiner Arbeit verbundene didaktische Herausforderung , sehr anspruchsvolle mathematische Techniken fachfremdemPublikum schnell und in ihrer gesamten Leistungsfähigkeit vermittelnzu können, hat zu einem ganz bemerkenswerten Erklärungsrepertoiregeführt, das in diesem Buch niedergelegt ist. Autor und Verlag planenzur Zeit eine umfassende Neubearbeitung, die deutlich textorientierter(und damit für Studierende geeigneter) sein soll. Dabei ist geplant , eine große Menge von zusätzlichem, zum Teil interaktivem Material aufeiner CD-ROM beizufügen.
Bildanalyse und Analyse raumzeitlicher Datensätze
B . Jähne, Digitale Bildverarbeitung.Springer 1997
Auf einem für dieses Gebiet relativ hohen mathematischen Niveau werden hier wichtige Notationen, Denkweisen und konkrete Algorithmender Bildanalyse präsentiert. Besonders bemerkenswert ist der Transfer von Begriffen und Methoden aus der klassischen Mechanik, etwadie Hauptachsentransformation und der Begriff des Trägheitstensors.Ein Kapitel widmet sich der Analyse raumzeitlicher Dynamiken. Dortliegt der Schwerpunkt allerdings auf dem Nachweis und der Quantifizierung von Bewegungen in einer Bildsequenz. Viele Standardverfahren
288 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen
wie Kantendetektion, Glättung und die Grundzüge der Mustererkennung werden sehr klar, wenn auch in einer etwas formalen Notationdiskutiert.
A.M. Albino, P.E. Rapp, N.B. Abraham, und A. Passamante, Measures of spatio-temporal dynamics.Physica D 96 (1996)
In diesem Sonderheft der Zeitschrift Physica D zur raumzeitlichen Datenanalyse finden sich Anwendungen spezieller mathematischer Methoden und Berichte über aktuelle Forschungsarbeiten. Man erhält soeinen guten Eindruck davon, was in diesem Feld zur Zeit diskutiertwird. Allerdings sind die in dem Heft enthaltenen Artikel zum Teiläußerst schwer lesbar, da sie einen relativ hohen Kenntnisstand in demForschungsfeld und gute physikalische und mathematische Kenntnissevoraussetzen. Wie bei Forschungsartikeln üblich wird ein erheblicherTeil essentieller Vorinformationen nur durch die zitierte Literatur bereitgestellt.
Informationstheorie
W. Ebeling, F. Schweitzer und J. Freund, KomplexeStrukturen: Entropie und Information.Teubner 1998
Auf einem dem interdisziplinären Anspruch angemessenen Niveau, also ohne die Argumentation ausschließlich auf Gleichungen basieren zulassen, diskutiert dieses Buch den Zusammenhang von Komplexitätund Information. Es führt behutsam in den dazu nötigen thermodynamischen Begriffsapparat ein und zeigt die Verbindung zur Informationstheorie. Die gedanklichen Einbettungen der theoretischen Begriffesind durchaus gelungen, wobei die Anbindung an den mathematischenFormalismus nie verloren geht. In den letzten Kapiteln werden vor allem neuere Forschungsarbeiten der Autoren diskutiert , allerdings aufganz hervorragend gewähltem Argumentationsniveau. Dabei werdenauch Verallgemeinerungen von Entropie und Transinformation besprochen, die in Zukunft eine wichtige Rolle bei der Analyse experimenteller Daten haben können . Die Leistungsfähigkeit dieser Methoden wirdan (vor allem theoretisch generierten) Datensätzen vorgeführt, so daßsich eine klare Vorstellung davon ergibt, welche Eigenschaften einesSystems quantifiziert werden.
B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen 289
Weitere Bücher
H.J. Jensen, Self-organized criticality: emergent complex behavior in physical and biological systems.Cambridge Univ. Press 1998
Jensen schafft es, nahezu frei von der qualitativ geführten Diskussion um die Möglichkeiten der selbstorganisierten Kritizität eine klare mathematisch fundierte Vorstellung dieses Phänomens zu vermitteln. Dabei diskutiert er die Funktion und Ursachen von sogenanntem1/f-Rauschen, also einer zeitlich fraktalen Struktur, ebenso wie einigeTechniken zur analytischen Behandlung kritischer Systeme. Die allgemeineren Überlegungen werden anhand von sehr einfachen theoretischen Modellsystemen vorgeführt, wobei das mathematische Vorgehenund die Besonderheiten der einzelnen Modelle stets klar hervortreten.
H.D.I. Abarbanel, R. Brown, J.J. Sidorowich und L.S.Tsimring, The analysis of observed chaotic data in physicalsystems.Rev. Mod. Physics 65 (1993) 1331-1392
Auf der Höhe der Forschungswelle zur Unterscheidung von Chaos undRauschen ist dieser Übersichtsartikel erschienen. In knapper Form werden die Grundgedanken der Datenanalyse geschildert. Begrifflich sehrklar wird zwischen linearen und nichtlinearen Methoden getrennt. Inäußerst pragmatischer Weise verwenden die Autoren allgemein bekannte chaotische Systeme (z.B. das Lorenz-System) zur Erzeugungvon Beispieldaten, die dann mit den beschriebenen Verfahren analysiert werden. An vielen Stellen werden interessante Analogien zur Informationstheorie gezogen. Wenig Raum ist der Analyse realer (alsoverrauschter und sehr kurzer) Zeitreihen gewidmet, ebenso wie raumzeitlichen Dynamiken.
K. Mainzer (Hrsg.), Komplexe Systeme und Nichtlineare Dynamik in Natur und Gesellschaft.Springer 1999
Neben der hervorragenden Einführung des Herausgebers ist vor allemdie enorme inhaltliche Vielfalt dieser interdisziplinären Forschungsprogramme, deren Kernideen hier in sehr klaren und verständlichenAufsätzen dargestellt sind, hervorzuheben. Diese Sammlung bietet eine gute Orientierung über die aktuellen Bemühungen eines Transfers
290 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen
von Methoden der nichtlinearen Dynamik in andere wissenschaftlicheBereiche.
C. Übungsaufgaben
Die in diesem Anhang zusammengestellten Übungsaufgaben sollen dieGewöhnung an einige wesentliche Begriffe des Buches erleichtern. Imallgemeinen wurde versucht, längere Rechnungen zu vermeiden undden Schwerpunkt auf qualitative Vergleiche, geometrische Argumentation und die direkte Anwendung einzelner zentraler Definitionenzu legen. Der Schritt zu den anspruchsvolleren Übungen der vertiefenden Literatur aus Anhang B sollte auf dieser Grundlage keinegrößeren Schwierigkeiten bereiten. Die Aufgaben zur Iteration vonDifferenzengleichungen und zu den Definitionen einiger raumzeitlicherMaße können als Ausgangspunkt für eigene Computerexperimentedienen. Gerade im Rahmen von fortgeschrittenen ComputeralgebraProgrammen (vgl. Anhang A) lassen sich diese Objekte. leichtimplementieren. Für einige der Übungsaufgaben finden sich im Textbereits relativ explizite Lösungsansätze (z.B. für die Aufgaben 9und 16). In diesen Fällen sollen die Aufgaben vor allem zu einemdetaillierten Nachvollziehen und Ausformulieren der Argumentationanregen.
1) Betrachten Sie die in Abb. C.l angegebenen Zeitreihen unddiskutieren Sie die folgenden Aspekte:
a) Wie stark sind zwei benachbarte Punkte der Zeitreihe korreliert? Wie weit (also über welchen zeitlichen Abstand) reichtdiese Korrelation?b) Bestimmen Sie (wenn möglich) graphisch die SamplingRate.c) Identifizieren Sie die vorhandenen Typen von Dynamik.d) Schätzen Sie die Zahl der Freiheitsgrade des zugrunde liegenden Systems.
2) Berechnen Sie die Ableitungen f'(x) folgender Funktionen f(x):
292 C. Übungsaufgaben
0,---- - - - - ----,
·20
-40
.................·60 '~'_..........,......._ ~
~........·80
59.2 59.4 59.6 59.8 60
30,----------,2010
o :·10 ;
·20 :·30 ;
-:r-----;.".--..=----;;.".-~ """6""'2.-=-5 ""'65'""'8"'"7."""5"'"'90"-;:92""'.5=-95=-:::9""'7.5'""',"'001
)(
~ 4:0..Cl~GI o .:E .
1 ~ ~~ 1'/WM IN 11\ , WIli
~ ~
·3~......"......"".-=--;;-:~~~o 20 40 60 60 100 56 56 60 62 64 66 68 70
Zeit t
3
2
o.,
Abb. C .I. Verschiedene Zeitreihen , die sich in bezug auf Korrelat ion und Dynamik qualit ativ unterscheiden. Für die drei Zeitreihen (links) sind auf der rechtenBildseite Ausschnit tsvergrößerungen angegeben .
a) f {x ) = VX3,b) f{x) = !!/X,c) f{ x) = e" sin x,d) f {x ) = aX
, a = const .
3) Betrachten Sie zwei Kurven Yl = x und Y2 = Ax(l - x ). Sieschneiden sich immer im Punkt (x,y) = (0,0). Für welche Werte vonA gibt es einen zweiten Schnittpunkt im Bereich x < 0 ?
4) Wenn man in einem eindimensionalen System A Moleküle zumZeitpunkt t = 0 an die Stelle x = 0 setzt , so werden diese Molekülediffundieren. Die Moleküldi chte am Ort x zum Zeitpunkt t ist danngegeben durch
A (_x2)
P {x , t ) = 2v'7fi5i, exp 4 Dt .
a) Berechnen Sie gtP(x, t) .
c. Übungsaufgaben 293
Tabelle C.I. Unterschiedliche dynamische Verhaltensformen einer linearenDifferenzengleichung in Abhängigkeit des Kontrollparameters R
Parameter
R> 1
0< R < 1
-1< R < 0
R< -1R= -1
Dynamik
monotones exponentielles Wachstum
monotoner exponentieller Abfall
oszillatorischer (alternierender) Abfall
oszillatorisches (alternierendes) Wachstum
zyklisches Verhalten
b) Berechnen Sie ~P(x, t) und vergleichen Sie das Ergebnismit gtP(x, t) aus a).
+00
c) Berechnen Sie J P(x, t) dx.-00
(Hilf"Zexp (-x') da: = y'ii')
5) Betrachten Sie die lineare Differenzengleichung Xt+l =RXt. In Abhängigkeit von R lassen sich verschiedene Zeitreihen{Xi I i = 0, 1, 2, ...}R realisieren. Ermitteln Sie graphisch, also im(XH1, xd-Hilfsdiagramm, die ersten zehn Elemente der Zeitreihe (beigeeignet gewähltem Anfangswert xo) für jeden Eintrag in Tabelle C.!.
6) Ermitteln Sie die Fixpunkte und Zyklen der Differenzengleichung
Xt+l = 1.6 Xt (2 - xdund untersuchen Sie ihre Stabilität.
7) Skizzieren Sie (graphisch!) Differenzengleichungen für die folgendenSituationen:
a) System mit zwei stabilen und einem instabilen Fixpunkt,b) System mit zwei Fixpunkten, die beide instabil sind,c) System mit einem stabilen und einem instabilen Fixpunkt,sowie einem stabilen Zyklus der Periode 2.
8) In Abb. 2.5 ist die Steigung der Funktion f(j(x)) im Punkt Agleich der Steigung in Punkt B. Warum?
294 C. Übungsaufgaben
Hinweise:a) Diese Eigenschaft folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß die Punkte A und B einen Zyklus bilden.b) Verwenden Sie die Kettenregel für die auftretende Ableitung.Befindet sich im Inneren eines Zyklus stets ein Fixpunkt?
9) Zeigen Sie: Die Lösung der logistischen Differentialgleichung
dx 2- = kx - axdt
ist gegeben durch
k x(O)x (t) - ...,..,-------,---,-,-------:--7-,----:---:-
- (k - ax(O)) e-kt + ax(O) .
Welchen Wert Xmax (ausgedrückt durch die Parameter a und k) nimmtdas System für große t an?
10) Betrachten Sie das eindimensionale System:
dx = rx + x3 _ x5 (C.1)dt '
das ein Beispiel für eine stabilisierte subkritische Gabelbifurkation darstellt.
a) Zeichnen Sie in Anlehnung an Abb . 2.28 das Bifurkationsdiagramm (r, x) .b) Bestimmen Sie (graphisch!) die Stabilität der Fixpunkte undskizzieren Sie die Zeitentwicklung des Systems für folgende Anfangsbedingungen (bei r = -0.2):
x(O) = -1.5, x(O) = -0.5, x(O) = -0.1,
x(O) = 0.1, x(O) = 0.5 .
c) Worin besteht die "Stabilisierung"?
11) Zeichnen Sie das Phasenporträt und klassifizieren Sie die Fixpunkte folgender zweidimensionaler linearer Systeme:
dx dxa) dt = Y, dt = - 2x - 3y
dx dyb) dt = 5x + 10y, dt = -x - y
12) Die nichtlineare Differenzengleichung
C. Übungsaufgaben 295
Xt+ l = Xt + b sin [27f Xt ]
mit 0 ::; Xl ::; 1 wird zum Beispiel für die Darstellung gekoppelterbiologischer Oszillatoren benutzt (siehe z.B. Glass u. Perez 1982).
a) Ermittlen Sie die Fixpunkte dieser Gleichung.b) Untersuchen Sie die Stabilität der Fixpunkte für 0 ::; b ::; 1und diskutieren Sie die auftretende Bifurkation (welche?).
13) Warum ist der Autokorrelationskoeffizient
2: (X i - X)( Xi+l-X)i
2: ( Xi - x)2i
(C.2)
eine lineare Kenngröße der Zeitreihe {Xi I i = 1, 2, .. . }? Die Verallgemeinerung
2: (Xi - X )(Xi+k - x)r(k) = ....::.i ~_
2: (Xi - x)2i
(C.3)
stellt die Autokorrelationsfunktion dar. Bestimmen Sie 1'(2) , 1' (3) undschließlich den allgemeinen Ausdruck für r(k) für den Fall einer linearen Differenzengleichung Xi+l = R Xi. Wie lauten die Summationsgrenzen in Gleichung (C.2) und (C.3)?
14) Schätzen Sie die zu den Streudiagrammen aus Abb. C.2 gehörenden Autokorrelationskoeffizienten ab.
15) Zeigen Sie: Das Anwenden eines Differenzenfilters 2. Ordnung
Ll 2Xt = Ll xt - Ll Xt-1 = Xt - 2 Xt- 1 + Xt-2
auf eine Zeit reihe {xt} eliminiert einen quadratischen Trend.
16) Bei der Einbettung einer Zeitreihe gibt es für die Wahl der Einbettungsdimension E und des Versatzes T eine Reihe von Kriterien.Nennen Sie drei solche "Auswahlregeln" und begründen Sie diese. Beiwelchen Arten von experimente llen Daten sind Schwierigkeiten mitdiesem Verfahren zu erwarten?Schätzen Sie ab: Wie ändert sich die mittlere Dichte von Punkten ineinem E-dimensionalen Einbettungsraum beim Übergang von E nachE + 1 (d.h. bei einer Vergrößerung der Einbettungsdimension)?
296 C. Übungsaufgaben
• •• ••• •
••
••• •..,
•• •• • •,. ""• 0
• #i•••• • 'I ••-• ••0 0
xi
•
•
•••
••
•
'+><
Ab b. C.2. Streudiagramme von Datensätzen mit unterschiedlicher Korre lation
17) Eine häufige Festlegung des Parameters T geschieht durch denersten Nulldurchgang der Autokorrelationsfunktion (siehe z.B. Abarbanel et al. 1993). Kommentieren Sie dieses Vorgehen. Welches fundamentale Problem tritt hier auf und welche Alternativen wären denkbar?
18) Diskutieren Sie die Fouriersp ektren in Abb . C.3 (a) bis (c) undordnen Sie diese den Zeitreihen (d) bis (f) zu. Verwenden Sie dazufolgende Fragen als Richtlinie:
• Welches sind die wesentli chen Unterschiede der Spektren?• Wie müssen sich diese Eigenschaften in der zugehörigen
Zeitreihe äußern?• In welchen Fällen ist die Fouriertransformation eine Hilfe
zum besseren Verständnis der Dynamik?
19) Eine einfache, aber recht effiziente Form der Rauschunterdrückung funktioniert über die Fouriertransformation. Erläutern Siedieses Verfahren anhand des in Abb . CA dargestellten Schemas.
20) Wenden Sie die Definitionen für die ZA-Homogenität H ,
(CA)
C. Übungsau fgaben 297
o 2OÖO--:iOOO 6000 sOoo reoooZeit
(e)Frequenz
100 200 300 400 500
(a) (b) (c)r--.r----~ I .'~~------' ..---------,
ij ,~ 1I~,~~50 100 ISO 200 250 300 350 400
Frequenz(d)
.,-0.5
Abb. C.3. Fourierspekt ren ((a) bis (c)) und Zeitreihen ((d) bis (f)) zur Diskussiontypischer Merkmale in diesen komplementären Darstellungen
mit
{1 a = b
e(a, b) = 0 a =1= b '
und die ZA-Fluktuat ionszahl [2,
1 1[2 1(t) = N 2 L 8" L x
ij bEN;j
beziehungsweise
Jt2(t) = ~2 ~ e (ag+l), aU-I) ) [1-e (aW, aU-I) )] (C.6 )2)
(vgl. Kapite l 5.3) auf die folgende (zeit lich zu verstehende) Sequenzvon Matrizen an :
I(t -1) = 0I(t+l) = 0
(011)
I (t ) = 1 0 1 ,011
298 C. Übungsaufgaben
.:• .O.S
o-o,S
. 1 t' I
-1.S Io 200 400 600 &00 1000
Zelt '\3
2,S
12,
'07.S
S2,S
o~-:,!,"""",~~~~'\
::'~~o 2'00 400 600 100 1000
Zelt
Abb. CA. Schematische Darstellung einer einfachen Rauschunterdrückung mitHilfe der Fouriertransformation. Die obere Abbildung zeigt die Originaldaten, dieuntere Abbildung die geglätteten Daten. In der Mitte ist das eigentliche Verfahrenim Fourierraum dargestellt
Verwenden Sie dazu periodische Randbedingungen.
21) Skizzieren Sie die Bedeutung der einzelnen Terme in st1 und st2aus Gleichung (0.5) und (0 .6). Welche Konstellationen werden aufdiese Weise berücksichtigt? Was ist der Unterschied zwischen st1 undst2?
22) Bestimmen Sie die fraktale Dimension der Objekte in Abb. C.5und schätzen Sie die Anzahl von Parametern, die zur Spezifizierungdes iterierten Funktionensystems (IFS) nötig sind .
23) Skizzieren Sie die ersten Iterationsschritte des folgenden IFS:
(X) Wl (1/4 0) (X) (1/2)Y ---:.r 0 1/4 Y + 1/2 '
(~) ~ (1~2 1~2) (~) .
24) In Kapitel 5.2 hatten wir gesehen, daß das Ising-System aus einemGitter besteht, dessen Plätze ("Zellen") zwei Zustände (+1 und -1)
C. Übungsaufgaben 299
Abb. C.5. Zwei Beispiele für durch iterierte Funktionensysteme erzeugte Strukturen . Gezeigt ist jeweils der zweite und achte Iterationsschritt. Das Ausgangsobjektbildet dabei in beiden Fällen ein klassisch-geometrisches Objekt, nämlich ein Dreieck (a) oder ein Quadrat (b)
1( h JW(S H) = - 1- S tanh _ I}
I} 2 I} kBT
~j=l.
f/(len7)=0.9
-4 -2 4
~j=-l.
f/(Ien 7)= 0.9
-4
Abb. C.6. Wahrscheinlichkeit W(Sij) für die Änderung des Zustands einer Zelleim Ising-Modell. Dabei bezeichnet k« die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des Systems
einnehmen können. Die Zeitentwicklung wird dadurch bestimmt, daßder Zustand einer Zelle sich mit einer von der Nachbarschaft abhängigen Wahrscheinlichkeit ändert. Sei Sij der Zustand der Zelle (ij) . SeiN (Sij) die Nachbarschaft von Sij' Dann bezeichnet
hij = J 2: (J
uEN(Sij)
das lokale Feld von Sij' Von einem Zeitschritt zum nächsten ändertsich der Zustand der Zelle Sij mit der in Abb. C.6 angegebenen Wahrscheinlichkeit. Versuchen Sie, die Funktionsweise dieses Systems anhand von Skizzen einzelner Nachbarschaften nachzuvollziehen, undzwar mit Blick auf die folgenden Fragestellungen:
300 C. Übungsaufgaben
Abb. C.7. Momentaufnahmen eines Ising-Sytems für verschiedene Temperaturen(also verschiedene Werte des Kontrollparameters J j(kBT)) . Gezeigt ist jeweils dieKonfiguration eines Gitters von 100 x 100 Zellen nach 30 Zeitschritten
a) Wie wirkt die Funktion W(Sij)?b) Wie wirkt sich eine Änderung der Temperatur aus?c) Warum ist bei dem Übergang zu den Graphen der Funktion W(Sij) in Abb. C.6 der Wert der Konstanten J j(kBT)angegeben?
25) Ordnen Sie die in Abb. C.7dargestellten Momentaufnahmen einesIsing-Systems nach der Temperatur. Wo könnte die kritische Temperatur liegen?
26) Die Entropie H eines solchen Ising-Systems ist gegeben durch
H = - L Pa log Pa,a=-l,+l
wobei Pa die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß sich eine Zelle imZustand a befindet.
a) Wie gelangt man vom Zustand (also dem Bild!) des IsingSystems zu den Wahrscheinlichkeiten Pa ?b) Diskutieren Sie, wie sich die Entropie mit der Zeit und derTemperatur ändern könnte.
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Sachwortverzeichnis
Aktiv ierung, 20, 109, 110, 132Ameisenwege, 259Analyseregel, 204, 205, 208Anordnungsvorschrift , 220-225, 227,
231ARMA-Modelle, 147, 151, 152, 173, 174At traktor , 60, 161, 164-166, 169, 173,
177, 180, 187, 231, 233- Lorenz-, 164, 165, 239- seltsamer, 165, 170, 239, 240- Dimension, 169, 173- Rekonstruktion, 180, 183Automat , boolescher , 116-119Automat , zellulärer , ii, iii, 6, 103, 105,
111-117, 120- 127, 129-1 31, 135, 192,204, 211, 219, 236, 237, 272, 274, 275
- boolescher , 116-119- stochastischer, 127
Barnsley-Farn, 226-228Bernoulli-Sequenz, 272Bewegungsfilter , 202Bifurkati on, 30, 33, 38, 61- 63, 69,
77-79, 86, 87, 258, 260, 285, 295- dynamische, 139- Gab el- , 79-81 , 294- Periodenverdopplungs-, 64- Sat tel-Knoten-, 76, 77,81- t ranskrit ische, 78, 79Bifurkationsanalyse, 284Bifurkationsdiagramm, 60, 62-66, 76,
77, 79- 82, 86, 261-263, 294Bifurkationseigenschaft en , 78Bifurkat ionsparameter , 82Bifurkat ionspunkt , 63, 64, 78- 80, 86Bildkomprimierung, 234binäre Zahl , 117, 118Bioinformatik , 110, 275Blattzelle, 255Blutgefäß, 253Boltzmann-Faktor. 134
Boltzmann-Konstante, 131, 195, 299Box-Counting-Verfahr en , 241-247,
252-254, 256Box-Homogenität , 207-209, 213Börsendaten, 178
Cantor-Menge, 225, 230, 235, 239, 240Chaos, determini st isches, 8, 57-59, 64,
65, 68, 101, 163, 171, 180, 182, 275,285, 287, 289
Chlorophyllfluoreszenz, 194, 203,253- 255
Clustergröße, 198- 200, 206, 212Cobweb-Met hode, 46Computeralgebra-Software , 13, 62, 94,
151, 203, 280, 281, 291coupled-map lat t ices, 103, 124Crassulaceen-Säurestoffwechsel (CAM) ,
ii, 29- 31, 179-1 84, 254, 257
Datenglät tung, 172Datenmatri x, 207, 208Datenreduk tion, 192Differential gleichung, ii, 3, 33-41, 43,
65, 69-76, 78- 81, 87- 91, 96, 98, 99,101, 107, 124, 129, 164, 170, 178,229, 239, 260, 262, 263, 281, 284
- lineare, 46, 48, 90, 94, 95, 101- logistische, 35, 37, 294- nicht -autonome, 37- nichtlineare, ii, 35, 36, 53, 76, 95, 97,
98, 163, 182- partielle, ii , 6, 33, 116, 121, 122Differenzenfilter , 149, 150, 295Differenzengleichung, logistische, 48,
53-55, 61, 63, 146, 159Differenzenquotient , 4, 11, 13, 14, 72,
122Diffusion, 6, 21, 113, 123, 134, 211,
215-217
308 Sachwortverzeichnis
diffusionsbegrenzte Aggregation,247-249
Dimension, 2-4, 74, 98, 122, 156, 160,161, 166, 168, 169, 171, 174, 175,178, 183, 185-187, 221, 234, 236, 238,240-242, 245-247
- fraktale, 234-238, 240-244, 246, 247,249, 252- 254, 256, 257, 298
- geometrische, 237- räumliche, 191- Analyse, 183, 244, 246DNA-Sequenz, 24-27 , 207, 267, 272,
275-277Domänenbildung, 132, 135, 196Dyn amik , raumzeitliche, 4-6, 122, 125,
204, 207, 209, 215, 216, 268, 287, 289
Eigenfrequenz, 155, 157, 173, 174, 194Eigenvektor, 92-94, 97, 171Eigenwert , 51, 93, 94, 97, 170Einb ettung, 160-166 , 172, 174, 175,
177, 181, 183, 185-187, 229, 283, 288,295
- Dimension, 160, 162, 165, 169, 172,173, 177, 178, 180, 184-1 87, 295
- Raum, 162, 165-1 67, 174, 175, 178,186, 187, 283, 295
- Vektor , 161Einzugsbereich, 52, 85Element arereignis, 22, 23Epidemie, 105, 113, 259erregbar es Medium, 116, 124, 127Eulerrelation, 154Exponent ialfunkt ion, 14, 18, 20, 35, 37,
91, 154, 158
Fadenp endel, 3, 38Filter , linearer , 147-151, 201-203 , 205,
211Fixpunkt, 7-9, 40, 41, 47, 49-58 , 67-82,
84-92, 94-99, 108, 109, 120, 142, 170,260-262 , 293-295
Forest-Fire-Modell, iii, 116, 127-131 ,134, 192, 206, 211, 214, 215, 266
Forest-Gap-Automat , 266Fourieranalyse, ii, 2, 152, 153, 155, 156,
158, 193, 194Fourierintegral, 155Fourierreihe, 153-155Freiheitsgrad , 2-4 , 8, 9, 39, 138, 139,
171, 178, 182, 186, 291Funkt ionenbaust ein, 18, 76- 81, 151,
260-26 3, 265
Funk tionensystem, iteriertes (IFS) , 222,224-2 32, 234-237, 240-242, 298, 299
Gauß , C.F ., 27Gaußkurve, 24, 140Gaußverteilung, 21, 140genet ische Netze , 259Geradengleichung, 10- 12, 27, 28, 34Gesamtenergie, 41, 42, 87Glät tung, 150, 151, 201-203, 281, 288Glättungsfilter , 150, 202, 203Graust ufen, 195, 202, 248Grenzzyklus, 7- 9, 53, 64, 98-100 , 164,
181Gromp ertz-Gleichung, 36, 37
Halbnachbarschaft , 199Herzzellen, 126Hilfsdiagramm , 40, 45- 47, 49, 50,
53- 55, 57, 60, 61, 68, 71, 73-77, 79,80, 84, 85, 99, 100, 147, 159, 160,238, 239, 293
Hili-funktion, 20, 31-33, 83, 133Homogenit ät , 131, 133, 200, 205- 209,
212-21 4, 270, 296Hoshen-Kopelman-Algorit hmus,
198- 200, 212Hysterese, 82, 83
Informationstransport , 267, 269, 275Inh ibition, 20, 109-111Inpu t-Ou tput-Relati on, 107Insekt enplage, iii, 83-85, 259Instabili tät , 260Integrationskonst ante, 11, 12, 91Ionenkanal, 22, 130Ising-Modell, ii, iii, 194, 196, 197, 199,
201, 211-213, 264, 270, 271, 275,298-300
It erationsalgorithmus, deterministischer, 231
Iterationsalgorithmus, sto chastischer,231
Jacobi-Matri x, 96, 97
Kant enfilter , 202- 204Kapazit ät , 77, 83, 87Ket tenregel, 16, 42, 294Koch-Kurve, 226, 230, 235, 244, 253Koeffizient enmatrix, 90, 94Koloniegröße, 67, 68komplexe Zahlen, 154Komprimierungsverfahren , 193
Kontrakt ionsabbildung, 222, 226, 228,230- 235, 237, 241
Kontrollparame ter , 30, 58, 76- 78, 81,82, 84, 128, 133, 195-197, 211-213,216, 260-264, 270, 271, 293, 300
Korepressor , 110, 111Korr elation, 9, 68, 120, 139, 142, 144,
146, 147, 159, 166, 167, 171, 176,184, 190, 192, 198, 211, 268, 269,274, 275, 291, 292, 296
- Diagramm, 176- Dimension , 168, 169, 173, 177, 178,
181-185, 187, 189- Funktion, 144-146, 172, 197, 198, 213- Integral , 167-169, 177, 181- Koeffizient , 144, 145, 158, 159, 167,
176, 182, 184, 207- Länge, 192, 193, 196-198, 207-209,
213Kri tizit ät , selbstorganisiert e (SOC),
128, 129, 214, 255-257, 265, 266, 275,289
Langton-Parameter , 273-275Laser , 163Life, 111-113, 115, 118Linearisierun g, 95Lipide, 5, 116, 130- 136Logar it hmus, 35, 65, 267Lorenz, E. , 163Lorenz-At trak tor , 164, 165, 239Lorenz-Syst em , 101,163-166, 169,
176-178, 183, 185, 285, 289Lyapunov-Exponent , 64-66, 137, 164,
169-1 71, 173,283
Magnetisierung, 196, 264Mathem ati ca, 66, 94, 151, 203, 226Matrix , 5, 93, 94, 97, 193, 197, 198,
200, 206, 225, 228, 229, 234, 297- Jacobi- , 96, 97- Koeffizienten- , 90, 94- Element , 230- Multiplikation, ii, 90, 229Membra n , 5, 29, 78, 116, 130-135 191,
196, 259Membranmodell, 130, 131, 133-135Metazustand, 204-206Minimalmo dell, 77, 138Moment , 24, 25, 250Moore-Nachbarschaft , 114, 132, 206
Nachbarschaft, 104, 114, 118- 121, 125,126, 128, 132-134, 165- 167, 174, 186,
Sachwortverzeichnis 309
194, 195, 199, 208-210, 268, 272, 273,283, 299
- Konstellation , 104, 105, 111, 117-120,123, 125, 128, 166, 204, 237, 272, 273
- Regeln , 237Netzwerk, 103, 105- 107Netzwerk, boolesches, iii, 107, 109, 110Net zwerkarchitektur , 106, 108Nicht linearität , 49, 60, 98, 159, 189Normalverte ilung, 21, 24, 25Nullcharakteristi k, 88, 89, 96, 97, 100
Observabl e, makr oskopische, 264Ökosystem, 76, 191, 251, 255-257, 259,
261, 264-266Oszillation, 4, 7- 9, 29, 30, 32, 33, 98,
99, 101, 147, 156, 180, 276Oszillation, endogene , 254Oszillator, har monischer , 38, 40-42, 87,
161, 163, 262Oszillator, van -der-Pol-, 99-101
Periodendauer , 4, 29Periodenverdopplung, 57, 63Periodenverdopplungsbifurkat ion , 64Perkolationsmuster , 129Phasendiagr amm , 86, 87Phasenebene, 40-42, 46, 87-89, 91, 92,
95, 100, 161Phasengrenze, 86, 87Phasenr andomisierung, 189, 190Phasenraum, 38, 40, 41, 60, 87, 98, 161,
162, 164, 170, 171, 173, 239, 240Phasenübergang, 30, 78, 83, 87, 139,
192, 196, 255, 257- 261, 263-265, 270,275
Polarkoordinaten , 93, 98, 99, 154Polynom , 18, 55Populationsd yn amik , 35, 44, 50, 51,
112, 113, 116, 118Potential, 41, 42, 262, 263Potenzgesetz, 249, 251, 259, 265, 266Powerspektrum, 156, 157, 177, 180,
182, 190Produktregel, 14, 15Proteinaktivit ät , 132Prozeßsteuerung, 215
Quotientenregel, 15
Randbedingungen, 114, 115, 118, 298Rauschen , 8, 21, 30, 68, 138-142, 144,
146-148, 157, 159, 169, 178, 185, 187,
310 Sachwortverzeichnis
190, 202, 203, 207, 209-211, 215- 217,289
- additi ves, 185- dynamisches, 141, 142, 145-147, 185,
187- farbi ges, 139, 211- Meß-, 141, 142, 145, 151, 180, 187- weißes, 139, 183Rauschunterdrückung, 152, 172, 174,
187, 296Reaktions-Diffusions-Modell, 6, 7Refrak tärzeit , 125, 127Regelwerk , ii, 6, 58-60 , 105, 106,
111-114, 116-126, 128, 129, 131, 134,135, 192, 204, 237
Regenwald , 127, 255, 259, 265, 266Regressionsgerade, 28, 29Relaxation , 8, 9, 62, 142Repr essor , 110, 111Return-Plot , 159, 160RN A-Viren , 259
Sampling-Rate, 2-5, 31, 43, 158,161- 164, 173,291
Sandhügel-Modell, 257, 265Selbst organisation. ii, 6, 103-105, 116,
127, 191, 192, 196, 205, 207, 234,241, 255, 257, 258, 267, 268, 282
Selbst ähnli chkeit, 165, 219, 225, 231,236, 237, 240, 242, 247, 249
sigmoidale Funktion , 20, 109, 133Signaltheorie, 152Spir alwelle, 126-128, 130, 131, 214Stabilisierung, 81, 294Stab ilit ät , 7, 49, 51, 52, 55, 56, 70, 71,
76-79, 81, 85, 91, 94, 129, 170, 200,293-295
- globale, 51- lokale, 50, 51- Ana lyse, 65, 129, 260, 284- Beding ung , 71, 72Stationarität , 7, 50, 147, 180, 187, 188Steigun gsfeld, 35, 37, 88, 89, 97, 100Streudi agramm, 159, 295, 296Stufenfunk tion, 21, 109, 110Surrogatdaten , 172, 188- 190, 283Symbolsequenz, 271, 272
Takens-Th eorem , 187Temp eraturpuls, 30, 32Testfunktion , 193Transient , 8, 62, 271Trend, 138, 147-150, 158, 169, 174, 178,
295
t rigonometrische Funktionen , 18- 20Tumorwachstum, 37Tumorzelle, 68
Unordnung, 268Update , 104, 112, 114, 115, 117, 123,
126, 128, 204- Full-Latt ice-, 115- Monte -Carlo-, 115- Subl at ti ce-, 115- Regeln , 112, 115, 117, 125, 127, 204,
205, 233- Verfahren , 114, 115, 122, 233
van-der-Pol-Oszillat or , 99-101Variable, boolesche, 107, 109Versat z, 160-1 66, 172, 175, 180, 183,
197, 295Versat zkoordin aten , 161, 187von-Neumann- Nachbarschaft , 114, 199,
206Vorhersagbar keit , 120, 158, 173-175,
182-1 84Vorhersage, 68, 137, 138, 161, 173-176,
185, 272Vorhersagedauer , 175, 176, 182, 184
Wachstumsmodell. 48, 77, 226Wachstumsrate, 44, 48, 67, 77Wahrs cheinlichkeit , 22- 25, 127, 128,
131, 132, 134, 196, 233, 247, 251,267-271 , 274, 276, 299, 300
- bedingte, 23- Dichte, 24Wavelet-Analyse, 193, 194, 281Wolfram, S., 120, 280Wolfram-Klasse, 120, 121, 219, 274
ZA-Fluktuat ionszahl , 209-2 13, 216,217, 297
ZA-Homogenit ät , 205, 206, 212, 214,296
Zeitreihe. 2- 4, 7-9, 29, 43-46, 54, 55,57-66, 75, 101, 129, 130, 135, 137
Zeitskalen , 3, 9, 83, 84, 87, 138-142,147, 148, 164, 187, 209, 256
Zelle, 67-69, 105, 111-11 3, 121, 122,126- 128, 205-207, 219, 233, 264,298-300
- Blatt- , 255- Einzel-, 67, 105, 116, 122, 129- Herz-, 126- Nerven-, 101- Tumor- . 68
Zeltabbildung, 238Zentralzelle, 117, 121, 122, 237Zustandsraum . 5, 24, 103-105 , 111,
114, 115, 117, 124, 125, 128, 130,132, 197, 200, 205, 206, 212, 244,246, 267, 271-273
Zyklus, 52-61 , 63, 109, 293, 294
Sachwortverzeichnis 311