Date post: | 06-Apr-2015 |
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WS 2014/15 1
§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V
€
rF (
r r ) =
r F p +
r F g +
r F R = Δm d2r
r /dt 2 = ρ (r r ) ΔV d
r u (
r r ) /dt
Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg
-grad p∆V rg∆V
spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf
€
ru (
r r , t)
Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig
Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie
€
ru (
r r )
€
rr (t)
€
ru (
r r )
2
Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten!
Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie
3
=> Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern!
Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
€
ru + d
r u =
r u (
r r +
r u dt, t + dt)Dort hat es die Geschwindigkeit
Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt.
€
ru (
r r , t)
€
dr r =
r u dt
€
rr +
r u dt
Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge:
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort
€
∂ ru /∂t
Andere Geschwindigkeit am neuen Ort
€
∂ ru /∂
r r ⋅∂
r r /∂t
€
dux
dt=
∂ux
∂t+
∂ux
∂x
dx
dt+
∂ux
∂y
dy
dt+
∂ux
∂z
dz
dt=> In Komponentenschreibweise:
ux uy uz
€
dui
dt=
∂ui
∂t+
∂ui
∂rkk
∑ uk
dito für y und z
Gaub
Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung
€
dr u
dt=
∂r u
∂t+(
r u • ∇)
r u = g −
1
ρgrad p
€
+ η ∇2 r u
Navier-Stokes Gleichung
für stationäre Strömungen= 0
Konvektionsbeschleunigung
€
∇ r
u =
∂ux
∂x
∂ux
∂y
∂ux
∂z
∂uy
∂x
∂uy
∂y
∂uy
∂z
∂uz
∂x
∂uz
∂y
∂uz
∂z
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
€
dr u
dt=
∂r u
∂t+(
r u • ∇)
r u mit
Gaub 4WS 2014/15
Kontinuitätsgleichung
Def: Massenflussdichte
€
rj = ρ
r u
=> ux1 / ux2 = A2 / A1
Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse
dM / dt = r A1 ux1 = r A2 ux2 = const
€
= r
j dr S
S
∫
€
−∂∂t
ρ dVV
∫ = −∂ρ
∂tdV
V
∫
€
= div(ρr u )dV
V
∫
€
M = ρ dVV
∫In V sei die Masse
€
−∂M
∂t= ρ
r u d
r S
S
∫
Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S
€
ρ ru d
r S = div(ρ
r u ) dV
V
∫S
∫ Gauss(Bronstein
)
€
=>∂ρ∂t
+ div(ρr u ) = 0
€
div(r b ) =
r ∇r b =
dbx
dx+
dby
dy+
dbz
dz
6
Bernoulli-Gleichung
Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden
Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit:
∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1
∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2
dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems!
Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant!
p1 ∆V1 + ½ r u12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ r u2
2 ∆V2 da ∆V1 = ∆V2 = ∆V
=> p1 + ½ r u12
= p2 + ½ r u22 => p + ½ r u2
= p0 = const
Staudruck Gesamtdruck(bei u = 0)
StatischerDruck
Bernoulli-Gleichung
Gaub
Bernoulli-Gleichung
Gaub
8
Bernoulli-Gleichung
Gaub
Laminare Strömung
Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wirdBsp.: Blut in den Adern Wasserleitungen
Experiment:
F,vz
xd€
=>FR = −η ⋅A ⋅duz
dx
= Viskosität = dynamische Zähigkeit
€
η ~ e−E0 /kBT
thermisch aktivierte Hüpfprozesse
€
σ =F
A=η ⋅
duz
dxViskose Schubspannung
Viskose Reibung
Gaub 9WS 2014/15
Abschätzung der Randschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium
D
uLA 0⋅⋅⋅η≈
€
ρ2
2 u02 − u0 ⋅
x
D
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2 ⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
0
D
∫ ⋅A ⋅dx ≈ 203
1uDA ⋅⋅⋅ρ
€
=>Ekin =1
2u2 ⋅dm
−∞
+∞
∫ ≈
Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert
Rkin WE <
€
D <3ηL
ρ ⋅u0
z
x
L
F,u0
D
u(x)
Platte der Fläche A wird um ihre Länge L in viskoser Flüssigkeit verschoben
x
uLALFW RR d
d⋅⋅⋅η=⋅−=
Dazu benötigte Arbeit:
xAm dd ⋅⋅ρ=Dabei mitgeführte Flüssigkeit:
Gaub 10
11
Beliebige Strömung in z-Richtung mit 0=∂∂=
∂∂
zu
yu zz
z
xx0
dV = dx dy dz
dx
uz (x0)
...d)( 0 +⋅∂∂+= x
xu
xu zzuz(x0+dx)
Taylor-Entwicklung linearisiert
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂∂
−∂∂
⋅⋅η=+ 00 d
ddx
z
xx
z
x
u
x
uzy
€
ΔFR =η ⋅dy ⋅dz∂uz
∂x x0
+∂2uz
∂x2 ⋅dx −∂uz
∂x x0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
€
=η⋅dx ⋅dy ⋅dz ⋅∂2uz
∂x2
2
2
dx
uV z
∂∂⋅⋅η=
Allgemein:
€
dFR( )z=η ⋅dV ⋅
∂2uz
∂x2+
∂2uz
∂y2+
∂2uz
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂=ΔLaplace-
Operator:
uz (x0+dx)
uz (x0-dx)
€
=>ΔFR = dFR(x0 + dx) − dFR (x0 )
€
=>v F R =η ⋅ Δ ⋅
v u ⋅dV∫
zuV ⋅Δ⋅⋅η= d
WS 2014/15 12
Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten
+d-d x
z
z1
z1+dz
p(z+dz)
p(z)
dz
dxdy
Druckdifferenz treibt Fluss:
p = p(z)
0d
d
d
d ==yp
xp
Druckkräfte:
( )zzpyxzzF ddd)d(d 11 +⋅⋅=+( )11 dd)(d zpyxzF ⋅⋅=
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅= z
z
pzpyx d
d
ddd 1
zz
pyxzF d
d
ddd)(d 1 ⋅⋅⋅−=
z
pV
d
dd ⋅−=
Gaub
Reibungskraft = Druckkraft
Vz
pVu d
d
dd ⋅−=⋅⋅Δ⋅η
z
p
x
u
d
d1
d
d2
2
η−=
1d
d
d
dC
z
px
x
u +η
−=
21
2
d
d
2CxC
z
pxu +⋅+
η−=
Randbedingungen des Experiments:
Symmetrie
0d
d
0
==xx
u
keine Strömung an den Plattenrändern
€
u(x) = 12η
dpdz
d2 −x2( )
z
pdC
d
d
2
2
2 η=0)()( =−= dudu
Gleichgewicht:
Gaub 13WS 2014/15
Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr
analog zu vorherigem Beispiel:
r
r + dr
dA
)(dd
dd
d
druA
t
zA
t
V ⋅=⋅=
durch Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke dr fließt pro Zeiteinheit:
)(2d
drudrr
t
V ⋅⋅π=
∫=
⋅⋅π=R
r
rrurt
V
0
d)(2Fluß durch gesamten Zylinder:
€
r2π ⋅Δp =η ⋅2rπ ⋅Ldu
dr
CrrL
pru
R
r
+⋅⋅ηΔ
=∫ 'd'2
)(
mit u(R) = 0
€
u(r) = Δp4ηL
R2 −r2( )
L
Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung
Gaub 14WS 2014/15
( )∫=
⋅−⋅⋅Δ⋅=R
r
rrRrL
p
t
V
0
22 d4
2
η
π
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅⋅Δ⋅= ∫∫
==
R
r
R
r
rrrrRL
p
0
3
0
2 dd2η
π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
ηΔ⋅π= 422
4
1
2
1
2RRR
L
p
z
pR
∂∂⋅
η⋅π=8
4p
L
RI
t
V Δ⋅η⋅π==8
4
Hagen-Poiseuille-Gesetz
Viskose Reibung einer Kugel :(Herleitung Oseen)
€
FR = −6πηRKu0 1+3ρRKu0
8η
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Stokessches Gesetz
Experiment Kugellfall =>
€
η=2
9g
RK2
u0
ρ K − ρ Fl( )
Gaub 15WS 2014/15
Wichtig für Ähnlichkeitstransformation. Modell halber Grösse verhält sich in Medium halber Viskosität gleich
€
Re =ρ ⋅U ⋅L
η
€
=< 2 ⋅Ekin >
<WRe ibung >
typischin Wasser:
€
L <1
10mm
Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar
Problem Micro Fluidics:
Durchmischung nur durch Diffusion möglich
x0
1000Re ≥ Turbulenz
laminare Strömung
~ 1 μm/sec
€
=>τ ≅x2
D
€
< x >=< x0 > ⋅ N
http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath
Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz
Mittlere Geschwindigkeit
Charakteristische Länge
Gaub WS 2014/15
17
Life at Low Reynolds Numbers:
”Swimming in molasses, walking in a hurricane“Dean Astumian
Pth ≈thermal relaxation time
kBT
≈ 10-11 W10-10 s
4*10-21 J ≈
Pmech ≈ 10-12-10-17 W!
Compare to power of motors:
R =
d v
R = 10-5 => No turbulences!
Thermal noise power:Reynolds number:
≈10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3
10-3 kg/ms
e.g. bacterium
See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39
See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU
Melanocyte
Intracellular Traffic over Long Distances
Axon
Gaub 18WS 2014/15