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79954316 Abi Know How Mathematik

Date post: 16-Jul-2015
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Mathe bis zum AbiturAbi Know-How MathematikOlaf Schneider, Dipl.-Math.30. November 20111Liebe Schlerin, lieber Schler,Das Abi Know-How Mathematik ist als Lernhilfe fr meine Nachhilfeschler entstanden.Es ist geeignet fr die Oberstufe bis zum Abitur.Die Themen werden erklrt und durch Beispiele mit Lsungen veranschaulicht.Ich hoffe, es kann auch dir etwas dabei helfen, Mathe bis zum Abi gut zu verstehen!Olaf SchneiderMhlweg 171566 Althtte2Inhaltsverzeichnis1 Analysis 61.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Allgemeine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Lineare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 allgemeiner Lsungsplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.6 Produktgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.7 Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied . . . . . . . . . . . . . . 111.2.8 Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lsung. . . . . . . . . 121.2.9 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.10 Newtonsches Nherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Anschauliche Bedeutung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Bestimmung der Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Schnittpunkte mit der y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.3 Schnittpunkte mit der x-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.4 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte). . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.5 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.6 Senkrechte Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.7 Grenzwerte und waagrechte Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.8 Schiefe Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.9 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Stammfunktion und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.1 Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . 261.5.2 Bestimmung der Stammfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Berechnung von Flchen mit Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.4 Volumenberechnung von Rotationskrpern . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.5 Durchschnittswert von Funktionswerten. . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.6 Uneigentliche Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.7 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Beziehungen zwischen Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.1 Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3231.6.2 Berhrpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.3 Tangenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.4 Senkrechter Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.5 Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.6 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7 Bestimmung von Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.2 Aufstellen der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.3 Lsung des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.1 Bestimmung der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.2 Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . 411.9 Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.1 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.2 Bestimmung von Parametern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.3 Parameterunabhngige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Geometrie 492.1 Begriffe und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2 Matrix Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.3 Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.4 allgemeines Lsungsverfahren fr Gleichungssysteme . . . . . . . . . 562.3 Umwandlung der Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.1 Parameterform in Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.2 Koordinatenform in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.3 Koordinatenform in Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.4 Normalenform in Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.5 Parameterform in Normalenform und umgekehrt . . . . . . . . . . . . 642.3.6 Quadratische Form in Kugelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.1 Gerade durch zwei Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.2 Ebene durch drei Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.3 Ebene durch einen Punkt und eine Gerade. . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.4 Ebene durch zwei Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4.5 Koordinatenachsen und -ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.6 Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt. . . . . . . . . . . 672.4.7 Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt. . . . . . . . 682.4.8 Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt . . . . . . . . . . . . . . 682.4.9 Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln . . . . . . . . . . . 682.5 Lagebeziehungen und Schnittberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.1 Punkt - Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.2 Punkt - Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7042.5.3 Punkt - Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.4 Gerade - Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.5 Gerade - Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.6 Gerade - Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.7 Ebene - Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.8 Ebene - Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.9 Kugel - Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.10 Spurpunkte einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.11 Spurpunkte einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.12 Spurgeraden einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6 Abstnde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.1 Abstand Punkt-Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.2 Abstand Punkt-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.3 Abstand Punkt-Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.4 Abstand Gerade-Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.5 Abstand Gerade-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.6.6 Abstand Ebene-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.7 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.1 Punkt an Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.2 Punkt an Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.3 Gerade an Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.4 Ebene an Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.7.5 Kugel an Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.8 Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.1 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.2 Winkel zwischen zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.4 Winkel zwischen zwei Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.9 Scharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.9.1 Geradenscharen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.9.2 Ebenenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.9.3 Kugelscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.10 Geometrische Figuren und Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.10.1 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.10.2 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.10.3 Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9651Analysis1.1Funktionen1.1.1Allgemeine FunktionenEine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift (in Form einer Funktionsgleichung), die jeder Zahlx aus einer bestimmten Teilmenge der reellen Zahlen wieder eine reelle Zahl, den Funktionswerty= f(x) zuordnet. Dabei heit x unabhngige Variable (Argument, Abszisse) und y abhngigeVariable (Ordinate). Die Menge der Ausgangswerte x heit Denitionsmenge D, und die Men-ge der Funktionswerte yheit Wertemenge W. Funktionen kann man sich so veranschaulichen,dass man sich jedes Zuordnungspaar (x|f(x)) als Punkt mit diesen beiden Koordinaten in einemKoordinatensystemvorstellt.AllesolchenPunktebildendanneineKurve,dieSchaubildoderGraph der Funktion genannt wird. Um zu sehen, wie das Schaubild einer Funktion aussieht, legtmanoft eineWertetabellean, indermanzusovielenx-WertendieFunktionswerteausrech-net bis man gengend Punkte ins Koordinatensystem eintragen kann, um den Kurvenverlauf zuerkennen.1.1.2Lineare FunktionenLineareFunktionensindFunktionenmitGeradenalsSchaubildern,dienichtsenkrechtzurx-Achsesind.ZuGeraden,diesenkrechtzurx-Achsesind,gibteskeineFunktion,dajahierzueinemx-Wert unendlich viele y-Werte gehren (Solche Geraden werden durch Gleichungen derForm x=cbeschrieben,wenndieGeradesenkrechtdurchdenWert caufder x-Achsegehensoll). DielinearenFunktionenhabendieMengederreelenZahlenalsDenitionsmengeundknnen durch eine der drei folgenden Formen beschrieben werden. Normalform:y= mx +b.Dabei wirdmSteigung, undby-Achsenabschnitt genannt. Fr positiveWertevonmsteigtdieGeradebeizunehmendenx-Wertenumsosteileran, jegrermist, undfrnegativeWerteflltsieumsosteilerab,jekleinermist.Frm=0hatdieGleichungdie Form y=c. So eine Gerade ist parallel zur x-Achse. Der Wert fr b ist immer dafrverantwortlich, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet.UmdieGeradezueinergegebenenNormalformzuzeichnen, reicht es, wennDueineWertetabellemit zwei Wertenfrxanlegst, zumBeispiel mit x=0undx=1. DieGerade ist durch diese zwei Punkte festgelegt. Punkt-Steigungsform:y= m(x x1) +y1Diese ist praktisch bei Geraden, die mit einer vorgegebenen Steigung mdurch einen PunktP(x1|y1)gehensollen.Dusetztdannm,x1undy1einunderhltstdurchAusenderKlammer wieder die Normalform.6Beispiel:EineGeradehat dieSteigungm= 3undgeht durchP(1|2). Damit lsst sichdiePunkt-Steigungsformy= 3(x + 1) + 2aufstellen, was umgeformt die Normalform y= 3x 1 ergibt. Zwei-Punkteform:y y1x x1=y2y1x2x1.SindzweiPunkteP1(x1|y1)undP2(x2|y2)vorgegeben, durchdiediegesuchteGeradegehensoll, dannsetztDuzuerstalleKoordinatenindieZwei-Punkteformein, undlstdas ganze nach yauf, um die Normalform zu bekommen.Beispiel:EineGeradesoll durchdiezwei PunkteP1(1|2)undP2(2|1)gehen. Dannsieht dieZwei-Punkteform so aus:y 2x + 1=1 22 + 1.Es gilt alsoy2x+1= 13, bzw. y 2 = 13(x + 1), was nach yaufgelst die Normalformy= 13x +53ergibt.1.1.3Ganzrationale FunktionenFunktionen, die Potenzen von x enthalten und auf die Formf(x) = anxn+an1xn1+... +a1x +a0gebracht werden knnen, nennt man ganzrationale Funktionen vom Grad n, wobei n die grtevorkommende Potenz von x ist. Alle ganzrationalen Funktionen haben als Denitionsmenge dieMenge der reellen Zahlen.Beispiel:Die Funktion f(x) = (x2x 2)(x 3) kann durch Ausmultiplizieren der Klammern auf dieFormf(x)=x3 4x2+ x + 6gebrachtwerdenundistdeshalbeineganzrationaleFunktionvom Grad n = 3 mit a3= 1, a2= 4, a1= 1 und a0= 6.1.1.4Gebrochenrationale FunktionenDassindFunktionen, dieauseinemBruchbestehen, bei demderZhlerundNennerjeweilsganzrationale Funktionen sind. Die Denitionsmenge besteht aus der Menge der reellen Zahlen,mit Ausnahme der Werte fr x, bei denen die Nennerfunktion den Wert 0 annimmt. Solche Werteheien Denitionslcken.Beispiel:FrdieDenitionsmengeDvonf(x)=3x+1x(65x)giltD=IR \{0;65}alsoallereellenZahlenmit Ausnahme von x = 0 und x =65.71.1.5ExponentialfunktionenFunktionen der Formf(x) = eax+bwerden Exponentialfunktionen genannt. Dabei steht efr die Eulersche Zahl undhat den Wert2.7182.... a und b sind fest vorgegebene reelle Zahlen ohne bestimmten Namen. Fr die Deni-tionsmenge D gilt D =IR.Ist a positiv, dann steigt die Exponentialfunktion in Richtung wachsender x-Werte an und nimmtdabei beliebig hohe Werte an. In Richtung abnehmender x-Werte kommt sie der x-Achse belie-big nahe. Fr negative Werte von a ist das Verhalten in Richtung zu- bzw. abnehmender x-Wertevertauscht.Ist a = 0, dann liegt eine waagrechte Gerade mit der Gleichung y= ebvor, die bei diesem Wertdurch die y-Achse geht.1.1.6LogarithmusfunktionDie ln-Funktion (logarithmus naturalis) mit der Gleichungf(x) = ln(x)ordnet jeder Zahl x ihren sogenannten natrlichen Logarithmus y= ln(x) zu. Damit ist diejeni-ge Zahl ygemeint, fr die ey= x gilt, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert 2.7182... ist.Esgibt nurfrpositivex-WerteeinesolcheZahl y, frdieDenitionsmengegilt alsoD={x IR|x>0}=IR+.DieWertemengeistW=IR,eskommenalsoallereellenZahlenalsFunktionswerte vor.Die Logarithmusfunktion ist in Richtung wachsender x-Werte ansteigend.Fr x < 1 gilt ln(x) < 0, in diesem Bereich verluft das Schaubild unterhalb der x-Achse.Fr x = 1 gilt ln(x) = ln(1) = 0, an dieser Stelle geht das Schaubild durch die x-Achse.Fr x > 1 gilt ln(x) > 0, hier verluft das Schaubild oberhalb der x-Achse.DieLogarithmusfunktionhat folgendedrei Eigenschaften, diebei Umformungenverwendetwerden drfen:ln(a b) = ln(a) + ln(b), ln(ab) = ln(a) ln(b), ln(ac) = c ln(a) fr a, b > 081.2Gleichungen1.2.1allgemeiner LsungsplanBeim Lsen von Gleichungen gehst Du am besten systematisch nach folgendem Plan vor:1. Bring alles auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechts 0 steht.2. Kommen Brche vor, dann multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner.3. Vereinfache die Gleichung so weit wie mglich, so dass Du sie einer der Gleichungen ausdiesem Kapitel zuordnen kannst.4. Lse die jeweilige Gleichung mit der beschriebenen Methode und mach auf jeden Fall amSchluss die Probe!1.2.2Lineare GleichungenLineare Gleichungen sind Gleichungen, die auf die Formax +b = 0 (a = 0)gebracht werden knnen. Sie haben die Lsung x = ba.Beispiel:DieGleichungen 2x + 3 =0und5x + 6 =0habendieLsungenx=32=32, bzw.x = 65= 65.1.2.3Quadratische GleichungenGleichungen, die auf die Formax2+bx +c = 0 (a = 0)gebracht werden knnen, heien quadratische Gleichungen. Sie knnen mit der Lsungsformelx1/2= b b24ac2anach x aufgelst werden, falls der Ausdruck b2 4ac (die sogenannte Diskriminante D) unterderWurzelnichtnegativist.DabeigibteszweiLsungenx1undx2frD>0,undnureineLsung fr x, wenn D = 0 ist. Bei negativer Diskriminante hat die Gleichung keine Lsung. DumusstbeimEinsetzenvondenZahlena,bundcindieLsungsformelunbedingtihreVorzei-chen richtig beachten, deshalb kommen in den Beispielen gleich viele Minuszeichen vor. WennBrchevorkommenistesgut,dieGleichungzuerstmitdemHauptnennerdurchzumultiplizie-ren, dann ist die Anwendung der Lsungsformel weniger fehlertrchtig.Beispiele:Fr die Gleichung 2x2+ 11x 15 = 0 bekommen wir die Lsungenx1/2= 11 _1124 (2) (15)2 (2)= 11 14,9also x1= 11+14=52und x2= 1114= 3.DieGleichung49x223x +14=0wirdzuerstmitdemHauptnenner 36durchmultipliziert,sodass wir die Gleichung 16x224x+9 = 0 bekommen, die dann reif fr die Lsungsformel ist:x1/2= (24) _(24)24 16 92 16=24 032.In diesem Fall ist also die Diskriminante 0, und es gibt nur die eine Lsung x1=2432=34.AlsLetztesnocheinBeispielfreinequadratischeGleichung, diekeineLsunghat: x22x 5 = 0. Dabei ergibt die Formelx1/2= (2) _(2)24 (1) (5)2 (1)=2 162,mit negativer Diskriminante D = 16. Das bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lsungenhat.1.2.4Biquadratische GleichungenBiquadratische Gleichungen haben die Formax4+bx2+c = 0und lassen sich durch die Substitution u = x2auf die quadratische Gleichung au2+bu +c = 0zurckfhren. Du lst also zuerst diese Gleichung mit Hilfe der Lsungsformel fr quadratischeGleichungen.Gibt es dabei keine Lsung, dann hat auch die biquadratische Ausgangsgleichung keine.BekommstDumitderLsungsformeleineLsungu1,dannfolgendarauswegenu=x2dieLsungen x1/2= u1falls u1> 0, x1=0 = 0 fr u1= 0, oder es gibt gar keine Lsungfr x fr den Fall u1< 0.WenndieLsungsformelzweiLsungenu1undu2hat, bekommstDuentsprechendfrjededavon keine, eine oder zwei Lsungen fr x.Beispiele:Wir berechnen die Lsungen der Gleichungenx46x2+ 27 = 0 und2x411x2+ 12 = 0.Mit u=x2bekommen wir aus der ersten Gleichung u2 6u + 27=0. Die Lsungsformelfr quadratische Gleichungen ergibt dannu1/2= (6)(6)24(1)272(1), also u1=6+1442= 9 und u2=61442= 3. Daraus folgendannausu1=x2keineLsungenfrx,wegenu1= 90LsungdersubstituiertenGleichung,danner-hltst dumit derRcksubstitutionx=ln(u)dieLsungderursprnglichenGleichung. Fru 0 ergibt die Rcksubstitution keine Lsung fr x.Beispiele:1. DieLsungderGleichungeax+b=cmitc>0erhaltenwirdurchLogarithmierenundanschlieendes Ausen nach x:eax+b= cax +b = ln(c)x =ln(c) baFr c 0 existiert natrlich auch hier keine Lsung.2. Bei derGleichungex+1 ex2=3tritt xinzwei Exponentenauf. Wirsubstituierendeshalb u = exund mit ex+1= e1 ex= eu bzw. ex2= e2 ex= e2u folgt:eu e2u = 3(e e2)u = 3u =3e e2> 013Die Rcksubstitution liefert also die Lsung x = ln(u) = ln(3ee2)3. DieExponentialgleichung6e2x ex 1=0fhrt nachderSubstitutionu=exmite2x= (ex)2= u2auf die Gleichung6u2u 1 = 0Diese hat die Lsungen u1=12und u2= 13. Aus u1 ergibt sich bei der Rcksubstitutiondie Lsung x = ln(12) und wegen u2 0 gibt es keine weitere Lsung.4. Die Gleichung 5ex7+2ex= 0 lsen wir ebenfalls mit Substitution. Aus u = exfolgtmit ex= (ex)1= u1=1u:5u 7 +2u= 0 | u5u27u + 2 = 0DiesequadratischeGleichunghat dieLsungenu1=25undu2=1. DabeideWertepositiv sind, bekommen wir diesmal zwei Lsungen: x1= ln(25) und x2= ln(1) = 01.2.10Newtonsches NherungsverfahrenWenn sich eine Gleichung der Formf(x) = 0 nicht nach einer der genannten Methoden ausenlsst, danngibtesnochdieMglichkeitdiegesuchteLsungxnherungsweisezuermitteln.DazugibtesdasNewtonscheNherungsverfahren.Diesesfunktioniertso,dassDuausgehendvon einem Startwert x0, den Du in die Formelxn+1= xnf(xn)f(xn)einsetzt, einenerstenNherungswert x1erhltst. Diesensetzt Duwieder einundbekommstdaraus einen zweiten Nherungswert x2, usw..Beispiel:Wir berechnen eine Nherungslsung fr die Gleichungex= 2 x.DiesemusserstaufdieFormf(x)=0gebrachtwerden:ex+ x 2=0.Dabeiistf(x)=ex+x 2 und f(x) = ex+ 1. Die Nherungsvorschrift ist also gegeben durchxn+1= xnexn+xn2exn+ 1.Wir berechnen damit jetzt eine Nherungslsung mit dem Startwert x0= 1. Dabei wird das Ver-fahren abgebrochen, wenn sich die dritte Stelle hinter dem Komma erstmals nicht mehr ndert.x1= x0ex0+x02ex0+ 1= 1 e1+ 1 2e1+ 1 0, 537914x2= x1ex1+x12ex1+ 1 0.4456x3= x2ex2+x22ex2+ 1 0, 4429x4= x3ex3+x32ex3+ 1 0, 4429x = 0, 443 ist also eine auf drei Stellen gerundete Nherungslsung.151.3Ableitung1.3.1Anschauliche BedeutungZueinergegebenenFunktion flsstsichofteineAbleitungsfunktion fnden,diesowiedieSteigungbeiGeradeneinMadafrist,wiefanjederStellexansteigtoderabfllt.Istf(x)positiv, dannsteigtfanderStellexan, undzwarumsosteiler, jegrerderWert frf(x)ist. Bei negativem f(x) fllt sie dagegen umso steiler ab, je kleiner der Wert ist. Fr f(x) = 0bewegt sich die Funktion an der Stelle x gerade in waagrechter Richtung. Wenn man f bestimmthat, dann kann man davon wieder die Ableitung ausrechnen, die dann die zweite Ableitung fist, dann die dritte und so weiter.1.3.2Bestimmung der Ableitung Ableitung von konstanten Funktionen:[c]= 0. Ableitung der Exponentialfunktion:[ex]= ex. Ableitung der Logarithmusfunktion:[ln (x)]=1x. Ableitung von Potenzfunktionen:[xn]= nxn1.Beispiele:[x]= [x1]= 1x11= x0= 1[x7]= 7x71= 7x6[x]= [x12]=12x121=12x12=12x12=12x[1x]= [x1]= (1) x11= x2= 1x2[1x5]= [x5]= (5) x51= 5x6= 5x6 Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion:[cf(x)]= cf(x).Beispiele:[3x2]= 3 [x2]= (3) 2x1= 6x[4x3]= 4 [x3]= (4) (3) x4= 12x4=12x4[2x4]= 2[x4]= 2 4x3= 8x3[25tx]=25t[x]=25t[5ex]= 5[ex]= 5ex[ln (x)5]=15[ln (x)]=15 1x=15x16 Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen:[f(x) g(x)]= f(x) g(x).Beispiele:[6 12x2]= [6][12x2]= 0 12 2x = x[tx42x2+12x 2]= [tx4][2x2] + [12x][2]= 4tx34x +12[kex27x7]= [kex][27x7]= kex2x6 Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel):[f(g(x))]= g(x)f(g(x)).Beispiele:h(x) = eax+blsst sich schreiben als Verkettung der inneren Funktion g(x) = ax +b mitder ueren Funktion f(x)=ex. Mit g(x)=a und f(x)=exalso f(g(x))=eax+berhlt manh(x) = g(x)f(g(x)) = aeax+b.Fr a = 1 und b = 0 gilt z.B. [ex]= ex.h(x) = (x2+34x 5)17schreiben wir zum Ableiten wieder als Verkettung von g(x) =x2+34x 5mit f(x) =x17. Danngilt g(x) = 2x+34, f(x) =17x16, d.h.f(g(x)) = 17(x2+34x 5)16und insgesamt:h(x) = g(x)f(g(x)) = 17_2x +34__x2+34x 5_16.Genausokannmaneinbichenallgemeinerfrh(x)=(ax2+ bx + c)ndieAbleitungh(x) bestimmen:h(x) = n(2ax +b)(ax2+bx +c)n1.Fr die Logarithmusfunktion h(x) = ln (ax +b) erkennen wir die innere Funktion g(x) =ax+b und die uere Funktion f(x) = ln (x). Aus g(x) = a, f(x) =1xund f(g(x)) =1ax+bfolgt dann endlichh(x) = g(x)f(g(x)) = a 1ax +b=aax +b Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel):[f(x)g(x)]= f(x)g(x) +g(x)f(x)Beispiele:[(2x2+ 3)e2x+1]= [2x2+ 3]e2x+1+ [e2x+1](2x2+ 3)= 4xe2x+1+ (2)e2x+1(2x2+ 3)= 4xe2x+1+ (4x26)e2x+1= (4x24x 6)e2x+117_(1 2x)(3x2x)_= [1 2x][3x2x] + [3x2x][1 2x]= (2)(3x2x) + (6x 1)(1 2x)= 6x2+ 2x + 6x 12x21 + 2x= 18x2+ 10x 1_3x2e2x_= [3x2]e2x+ [e2x]3x2= 6xe2x+ (1)e2x3x2= (6x 3x2)e2x[7xln(8x)]= [7x] ln(8x) + [ln(8x)](7x)= 7 ln(8x) + 8 18x (7x)= 7 ln(8x) 7*Hier ist auch noch die Kettenregel beteiligt. Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel):_f(x)g(x)_=f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)2.Beispiele:_3x2_= [3]x23[x2](x2)2= 0 6xx4=6x3_3x(1 5x)2_=[3x](1 5x)2[(1 5x)2]3x((1 5x)2)2=3(1 5x)22(5)(1 5x)3x(1 5x)4=3(1 5x) 2(5)3x(1 5x)3=15x + 3(1 5x)3BeidemzweitenBeispielistimzweitenSchrittmit(1 5x)gekrztworden,dasgehtimmer, wennbei der Funktiondieabgeleitet wird, der Nenner insgesamt einePotenzmit demGradn 2ist. Dasist zumBeispiel jedesmal derFall, wennDudiezweiteAbleitungirgendeinergebrochen-rationalenFunktionausrechnest. Nicht vergessen, dasist eine wichtige Vereinfachung!18Zuletzt noch zwei Beispiele mit einem Exponential- bzw. Logarithmusterm:_e23xx24_=[e23x](x24) [x24]e23x(x24)2=23e23x(x24) 2xe23x(x24)2=(23x22x 83)e23x(x24)2._ln(2x)5x + 1_=[ln(2x)](5x + 1) [5x + 1] ln(2x)(5x + 1)2=2 12x (5x + 1) 5 ln(2x)(5x + 1)2=5x+1x5 ln(2x)(5x + 1)2=5x+1x5xln(2x)x(5x + 1)2=5x + 1 5xln(2x)x(5x + 1)2191.4Kurvendiskussion1.4.1Symmetrie AchsensymmetrieEine Funktion heit achsensymmetrisch (zur y-Achse), wenn giltf(x) = f(x).Beispiele:GanzrationaleFunktionen,indenennurgeradeHochzahlenvorkommen(DazugehrenauchvonxunabhngigenKonstanten) sindachsensymmetrisch. ZumBeispiel gilt frf(x) = 3x42x2+52f(x) = 3(x)42(x)2+52= 3x42x2+52= f(x).Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hoch-zahlen vorkommen sind auch achsensymmetrisch. Das sieht bei f(x) =xx3+2xso aus:f(x) =(x)(x)3+ 2(x)=(x)x32x=(x)(x3+ 2x)=xx3+ 2x= f(x). PunktsymmetrieEine Funktion heit punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn giltf(x) = f(x).Beispiele:GanzrationaleFunktionenindenennurungeradeHochzahlenvorkommen, sindpunkt-symmetrisch. Zum Beispiel gilt fr f(x) = 12x3+ 5x:f(x) = 12(x)3+ 5(x) =12x35x = (12x3+ 5x) = f(x).Gebrochenrationale Funktionen, die im Zhler nur gerade Hochzahlen haben und im Nen-ner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch. Bei f(x) =1+x24xsinddieExponentenimZhlerallegerade,derExponentimNenneristungerade(x=x1), und es giltf(x) =1 + (x)24(x)=1 +x24x= 1 +x24x= f(x).Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen, in denen gleich-zeitig gerade und ungerade Exponenten auftauchen, sind nicht symmetrisch.201.4.2Schnittpunkte mit der y-AchsePunkte haben immer zwei Koordinaten: Die erste Koordinate ist der x-Wert und die zweite dery-Wert.BeiSchnittpunktenvonFunktionenmitdery-Achsegiltx=0.Umyzubekommen,setzt Du also x = 0 in die Funktionsgleichung ein. Der Funktionswert f(0) ist dann der y-Wertdes Schnittpunktes.Beispiele:Fr f(x) = 2(x + 1)exist f(0) = 2(0 + 1)e0= 2, also ist S(0|2) Schnittpunkt von fmit dery-Achse.Die Funktion f(x) =x2x2hat bei x = 0 den Funktionswert f(0) =0202= 0, d.h. fschneidetdie y-Achse im Ursprung (0|0).Bei f(x) = (t 1)x3x +t3gilt f(0) = (t 1)030 +t3=t3, fschneidet die y-Achse alsoin S(0|t3).1.4.3Schnittpunkte mit der x-AchseSchnittpunktevonFunktionenmitderx-Achsehabenimmerdeny-Wert 0.Diex-Werte,auchNullstellen genannt, berechnest Du indem Du die Gleichung f(x) = 0 nach x aust, wie in 1.2beschrieben.Beispiele:Die Nullstellen der Funktion f(x) = x 52x+3sind die Lsungen der Gleichung x 52x+3= 0.Nach1.2wirddiesezuerstmit2x + 3durchmultipliziertunddanachvereinfacht, sodasssieschlielich zu der quadratischen Gleichung 2x2+ 3x 5 = 0 fhrt, mit den Lsungen x1= 1undx2= 52.DamitsindN1(1|0)undN2(52|0)diebeidenSchnittpunktevonfmitderx-Achse.Die Schnittpunkte von f(x) = 13e3x+2bekommen wir aus 13e3x+2= 0, bzw. e3x+2=13, was nach 1.2.9 die Lsung x =13(2ln13) ergibt. Der Schnittpunkt ist also N(13(2ln13)|0).Bei der Bestimmung der Nullstellen von f(x) = x(x +t)2stoen wir auf die Produktgleichungx(x + t)2=0, beiderwirnach1.2.6diebeidenLsungenx1=0undx2= t, bzw. dieSchnittpunkte N1(0|0) und N2(t|0) mit der x-Achse ablesen knnen.1.4.4Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)Hoch- bzw. Tiefpunkteeiner FunktionsindKurvenpunkte, dieineiner gewissenUmgebungdie grten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die x-Koordinaten solcherExtrempunkte.UmdieExtrempunkteeinerFunktionfzubestimmen,gehstDuambestensovor:1. LsedieGleichungf(x) =0nachxauf(s. 1.2). DieLsungenbezeichnenwirderGre nach mit x1, x2usw. bis xn, so dass x1der kleinste Wert ist: x1< x2< ... < xn.2. Jede Lsung von x1bis xnsetzt Du jetzt in die zweite Ableitung fein.Ergibt sich dann f(xk) < 0 fr xk, dann hat fan der Stelle xkeinen Hochpunkt.Gilt f(x) > 0, dann ist bei xkein Tiefpunkt.Bei f(xk) = 0 untersuchst Du ob fbei xkeinen Vorzeichenwechsel hat. Dazu nimmst21DueinenWerta,derzwischenxkunddernchstkleinerenStellexk1liegt,undeinenWert b zwischen xk und der nchstgreren Stelle xk+1. Gibt es keine nchstkleinere bzw.-grere Stelle, dann reicht es, wenn Du a < xkbzw. xk< b whlst.Ist jetzt f(a) > 0 und f(b) < 0, dann ist bei xkein Hochpunkt.Gilt f(a) < 0 und f(b) > 0, dann hat fbei xkeinen Tiefpunkt.Haben f(a) und f(b) dasselbe Vorzeichen, dann ist an der Stelle xkkein Extremwert.3. Berechne zu jeder Extremstelle xkden Funktionswert f(xk) und schreib den dazugehri-gen Extrempunkt als H(xk|f(xk)) oder T(xk|f(xk)) auf, je nachdem, ob dort ein Hoch-oder Tiefpunkt ist.Beispiele:Wir sehen uns die Funktion f(x) = x4+4x3mit f(x) = 4x3+12x2und f(x) = 12x2+24xan.Esgiltf(x)=0 4x3+ 12x2=0 x2(4x + 12)=0mitdenLsungenx1= 3undx2=0(s.1.2.7).Wegenf(3)=36>0hatfanderStelle 3einenTiefpunkt.Frx2=0gilt f(0) =0, undwirschauendeshalb, obfbei0einenVorzeichenwechsel hat:Fra= 1(liegtzwischenx1undx2)undb=1giltf(a)=8>0undf(b)=16>0,d.h.fhatbeix2=0keinenVorzeichenwechsel,unddeshalbhatfdortkeineExtremstelle.Der Funktionswert von x1= 3 ist f(3)= 27. Ergebnis: fhat genau einen Extrempunkt,nmlich den Tiefpunkt T(3| 27).Als Nchstes untersuchen wir f(x)= 1 exauf Extrempunkte. Die Ableitung ist f(x)=exund f(x) = 0 somit quivalent zu ex= 0 ex= 0. Diese Gleichung hat nach 1.2.9keine Lsung, also hatfkeine Extrempunkte.1.4.5WendepunkteWendepunkte sind anschaulich gesehen solche Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einerLinkskurveineineRechtskurvebergeht, oderumgekehrt. DieWendepunkteeinerFunktionerhltstDumitdemselbenSchemawiebeidenExtrempunkten,nurwirdstattfjetztfge-nommen, und fwird durch fersetzt:1. Berechne die Nullstellen xkvon f.2. SetzedieNullstelleninfein.Istf(xk) =0,dannistdorteinWendepunkt.ImFallf(xk) =0prfstDuwiebeidenExtrempunktenbeschrieben, obfhiereinenVor-zeichenwechselhat. Fallsja, dannistbeixkeinWendepunkt, wennnicht, danngibteskeinen.3. SetzealleerhaltenenWendestellenxkindieFunktionfein,undschreibejedenWende-punkt als W(xk|f(xk)) auf.Beispiele:EineFunktionf ist gegebendurchf(x) =(x+1)e2xundhat dieAbleitungenf(x) =(2x1)e2x, f(x) = 4xe2xund f(x) = (8x+4)e2x. Mit f(x) = 4xe2x= 0 folgtdann nach 1.2.9 x = 0. Wegen f(0) =4e0= 0 ist dann bei x = 0 eine Wendestelle mit demFunktionswert f(0) = 1, also der Wendepunkt W(0|1).22Jetzt kommt noch ein Beispiel fr eine Funktion ohne jeglichen Wendepunkt: f(x) = 3x 2x2.Die ersten drei Ableitungen sind f(x) = 3 +4x3, f(x) = 12x4und f(x) =48x5. Aus f(x) =12x4=0folgtnachDurchmultiplizierenmitdemNenner 12=0,d.h.esgibtkeineLsungund damit keinen Wendepunkt.1.4.6Senkrechte AsymptotenKommteineFunktionfeinersenkrechtenGeradenmitderGleichungx=x0beliebignaheohnesiezuschneiden,dannnenntmandieseGeradeeinesenkrechteAsymptotederFunktionf. Man sagt dann auch die Funktion hat fr x x0keinen Grenzwert und schreibt f(x) (bzw.f(x) )frx x0.Dabeiwird+bzw. verwendet,wenndieFunktionanderAsymptote nach oben bzw. unten wegstrebt, und beide Vorzeichen wenn sie auf einer Seite nachoben und auf der anderen Seite nach unten wegstrebt.Besitzt einegebrochenrationalenFunktioneineStellex0, bei derderNenner(abernicht derZhler) den Wert Null annimmt, dann besitzt sie an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote mitder Gleichung x = x0.Logarithmusfunktionen der Formf(x) = ln(g(x)) haben an den Nullstellen von g(x) senkrech-te Asymptoten. Beispiele:Die Funktion f(x) = 1 2(x+3)2hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 3.DiebeidensenkrechtenAsymptotenvonf(x)=1x22bekommstDu, indemDudenNennerNullsetztundnachxaust:x2 2=0 x2=2.DarausfolgenfrdieAsymptotendieGleichungen x =2 und x = 2.DieFunktionf(x) =ln(1 x2)hat dieNullstellenvon1 x2, alsox=1undx= 1als senkrechte Asymptoten.1.4.7Grenzwerte und waagrechte AsymptotenEineFunktionfhateinewaagrechteAsymptotemitderGleichungy=y0, wenndieFunk-tionswertevoninpositiverodernegativerRichtunganwachsendenx-WertendemWerty0be-liebignahekommen.Mansagtdann,dieFunktionhatdenGrenzwerty0frx +(bzw.x ). Schreibweisen sind:f(x) y0fr x , oder limxf(x) = y0.Dabei wird +, bzw. verwendet, wenn der Grenzwert bei wachsenden, bzw. fallenden x-Wertenangestrebt wird, und beide Vorzeichen werden genommen, wenn der Grenzwert fr wachsendeund fallende x-Werte gilt.Der Grenzwert von konstanten Funktionen der Formy= c, also von waagrechten Geraden ist c.Auerdem gibt es noch zu sagen, dass eine Funktion, die die Summe aus mehreren Funktionenmit verschiedenen Grenzwerten ist, als Grenzwert die Summe der einzelnen Grenzwerte hat.Beispiele:23 ExponentialfunktionenWir schauen uns jetzt das Grenzwertverhalten von verallgemeinerten Exponentialfunktio-nenan,dasheitvonsolchenFunktionen,beidenenauerdemExponentialtermeax+bnoch ein anderer Term im Spiel ist. Diese Funktionen sollen die Formf(x) = g(x)eax+bhaben, wobei g(x) fr irgendeine ganzrationale Funktion stehen soll.Funktionen dieser Form haben entweder fr x +oder fr x den Grenzwert0, je nachdem ob a < 0 oder a > 0 ist. Das heit, alle solche Funktionen haben die waag-rechte Asymptote y= 0.ZumBeispielhatf(x) =e2x+1(mitg(x) =1)denGrenzwert0frx +undf(x) =e4x3(auch mit g(x) = 1) hat den Grenzwert 0 fr x . Beide FunktionenbesitzeneinewaagrechteAsymptotemit derGleichungy =0, wasbrigensdieGlei-chung der x-Achse ist.f(x) = 2x2exhat als Grenzwert die Summe der Grenzwerte der konstanten Funktiony=2 und der Funktion y= x2ex(mit g(x)= x2). Es gilt also f(x) 2 + 0=2fr x +und damit existiert eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y= 2.f(x)=(2 3x)e2x(mit g(x)=2 3x) hat den Grenzwert 0 fr x und damitwieder die x-Achse mit der Gleichung y= 0 als waagrechte Asymptote. Gebrochenrationale FunktionenIst bei einer gebrochenrationalenFunktionf derZhlergrad(dasist dieHochzahl dergrten im Zhler vorkommenden Potenz) kleiner als der Nennergrad, dann gilt f(x) 0fr x , und fhat die x-Achse mit der Gleichung y= 0 als waagrechte Asymptote.SindZhlergradundNennergradgleichgro,wirddieFunktionmitderhchstenPotenzvon x gekrzt und es gilt:f(x) =anxn+an1xn1+... +a1x +a0bnxn+bn1xn1+... +b1x +b0=an +an1x+... +a1xn1+a0xnbn +bn1x+... +b1xn1+b0xnanbnfr x ,daallebrigenTermegegen0streben. fhat alsoeinewaagrechteAsymptotemit derGleichungy=anbn,wobeianundbndiebeidenFaktorenvordenhchstenPotenzenimZhler und im Nenner sind. Das war jetzt noch ein wenig allgemein, wir schauen uns jetztdeshalb drei konkrete Funktionen dazu an.Da der Nennergrad der Funktion f(x)=4x+53x2grer als der Zhlergrad ist (2>1), giltf(x) 0 fr x , und die x-Achse mit der Gleichung y= 0 ist waagrechte Asym-ptote von f.Der Grenzwert von f(x) = 2+1x2+1ist die Summe der Grenzwerte der Funktionen y= 2und y=1x2+1. Das heit f(x) 2 + 0 = 2 fr x , da der Nennergrad von1x2+1grer als der Zhlergrad ist. Damit ist y= 2 waagrechte Asymptote.Bei der Funktion f(x) = 3x22x2+1sind Zhler- und Nennergrad gleich: f(x) = 3x22x2+1=3x22x2+1=32+12x2 32=32fr x . Also ist y=32waagrechte Asymptote.24 Ganzrationale FunktionenGanzrationaleFunktionenhabennureinewaagrechteAsymptote,wennessichumkon-stante Funktionen der Form y=c handelt. Dann ist auch der Grenzwert c, und die Funk-tion ist identisch mit ihrer waagrechten Asymptote.1.4.8Schiefe AsymptotenNhert sich eine Funktion einer (nicht waagrechten) Geraden immer mehr an, je grer x wird,dannnenntmandieseGeradeeineschiefeAsymptote.GebrochenrationaleFunktionenknnenschiefeAsymptotenhaben,undzwardann,wenndiehchsteimZhlervorkommendePotenzvonx,alsoderZhlergrad,umeinsgreristalsderNennergrad.DieGeradengleichungderAsymptote bekommst Du dann mit Hilfe einer Polynomdivision, indem Du die Zhlerfunktiondurch die Nennerfunktion dividierst. Der Ausdruck vor dem Restterm (falls es einen gibt) ergibtdann die Asymptotengleichung.Beispiele: Um die schiefe Asymptote der Funktion f(x) =3x3x2+10x12x2+2xauszurechnen wird zuerstdie folgende Polynomdivision durchgefhrt:(3x3x2+ 10x 12)(3x3+ 6x2): (x2+ 2x) = 3x 7 +24x12x2+2x .7x2+ 10x 12(7x214x)24x 12DieGeradengleichungder schiefenAsymptotekannst Dujetzt ausdemAusdruckimErgebnis vor dem Restterm ablesen: y= 3x 7. HatdiegebrochenrationaleFunktioneinenbesonderseinfachgebautenNenner,nmlichnur eine einzige Potenz von x, dann kommst Du auch ohne die Polynomdivision klar. Duspaltest dann den Bruch in seine Einzelbestandteile auf und krzt. Die Funktionf(x) =2x35x2+ 42x2=2x32x2 5x22x2+42x2= x 52+2x2hat z.B. die Asymptote y= x 52.1.4.9MonotonieEineFunktionfistineinemBereichmonotonsteigend(fallend),wennfrallexausdiesemBereich f(x) 0 ( 0) gilt.Beispiele:Die Funktion f(x) = 1 exist wegen f(x) =ex> 0 fr alle x monoton steigend in ganzIR.f(x) = x3ist auf IR monoton fallend, wegen f(x) = 3x2 0.DasSchaubildderFunktionf(x) =1x2steigtaufdernegativenx-Achsemonotonan, dafrnegative x-Werte f(x) = 2x3 0 gilt. Fr positive x-Werte fllt es monoton, wegen f(x) 0.251.5Stammfunktion und Integral1.5.1Anschauliche Bedeutung der StammfunktionGeht man von einer Funktion faus, dann kann man sich fragen, ob es eine dazugehrige Funk-tion Fgibt, die abgeleitet wieder fergibt. So eine Funktion Fwird dann Stammfunktion oderunbestimmtesIntegralvonfgenanntundauchoftmit_f(x) dxbezeichnet.DieStammfunk-tionoderdasIntegral zueinerFunktionf zubestimmen, d.h. f zuintegrieren, ist alsoderUmkehrvorgangzumAbleitenvonf. DieBedeutungderStammfunktionliegtdarin, dasssieeinemhilft,FlchenoderVolumenzuberechnen,dievonFunktionenbegrenztwerden.DabeiistdassogenanntebestimmteIntegral(mitdenGrenzenaundb)vonfwichtig,dasdeniertwird durch_baf(x) dx = F(b) F(a).Man berechnet das bestimmte Integral von falso durch die Differenz der Werte, die man erhlt,wenn man die Grenzen a und b in eine Stammfunktion Fvon feinsetzt. Als Abkrzung dafrwird auch die Schreibweise [F(x)]babentzt.1.5.2Bestimmung der StammfunktionZu jeder Funktion fgibt es nicht nur eine Stammfunktion F. Fr jede Konstante Cist nmlichdie Funktion F(x)+C genauso eine Stammfunktion, da ja die Ableitung von F +C auch wiederfergibt: [F +C]= [F]+[C]= f +0 = f. Deshalb steht bei den folgenden Integrationsregelndie Konstante Chinter den Integralen (Bei den Beispielen wurde Cweggelassen). Stammfunktion der konstanten Funktion f(x) = a:_a dx = ax +C Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen:_(ax +b)ndx =(ax +b)n+1a(n + 1)+C fr n = 1Beispiele:_xndx =xn+1n+1(Spezialfall der obigen Formel fr a = 1 und b = 0)_x4dx =x4+14+1=15x5_1x2dx =_x2dx =x2+12+1=x11= 1x_ x=_x12=x12+112+1=x3232=23x3=23xx_(5x + 2)3dx =(5x+2)3+15(3+1)=120(5x + 2)4_1(123x)3dx =_(1 23x)3dx =(123x)3+123(3+1)=143(123x)2=34(123x)2 Stammfunktion von Exponentialfunktionen:_eax+bdx =1aeax+b+C26Beispiele:_exdx = ex_e17xdx =117e17xdx = 7e17x_e26xdx = 16e26x Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f:_kf(x) dx = k_f(x) dx +CBeispiele:_12x dx =12_1x dx =12_x12dx =12x12+112+1=12x1212=x_5ex+1dx = 5_ex+1dx = 5ex+1_6x5dx = 6_x5dx = 6x66= x6 Stammfunktion einer Summe_f(x) +g(x) dx =_f(x) dx +_g(x) dx +CBeispiele:_5x42kx + 3 dx = x5kx2+ 3x_10ex+225x3dx = 10ex+2110x4_kx45x2+13x2dx =_kx43x2 5x23x2+13x2dx =_k3x253+13x2dx =k9x353x 13x Stammfunktion eines Produkts_f(x)g(x) dx = f(x)g(x) _f(x)g(x) dx +CBeim Integrieren eines Produkts (auch partielle Integration genannt) bezeichnest du einenFaktordesProduktsmitf(x)unddenanderenFaktormitg(x). Danachbestimmstduf(x)(dasistdieStammfunktionvon f(x))unddieAbleitung g(x)von g(x)undwen-dest damit dieobigeFormel an. VondeinerBezeichnungderFaktorenhngt auchdaszweite Integral in der Formel ab. Du musst die Bezeichnung der Faktoren also so whlen,dass du dieses dann auch noch bestimmen kannst.Beispiele:Beim Integral_2xe3xdx whlen wir zunchst f(x) = 2x und g(x) = e3x.Damit folgt f(x) = x2und g(x) = 3e3xund dann mit obiger Formel:_2xe3xdx = x2e3x_x2 3e3xdxDas zweite Integral ist bler als das ursprnglich zu bestimmende - falscher Weg!Deshalb bezeichnen wir die Faktoren jetzt mit f(x) = e3xund g(x) = 2x.Daraus folgt f(x) =13e3x, g(x) = 2 und damit_2xe3xdx =13e3x 2x _13e3x 2 dx =23xe3x_23e3xdx =23xe3x29e3xImnchstenBeispielknackenwirmiteinemTrickdasIntegral_ln(x) dxderLogarith-musfunktion.27DerTrickbestehtdarin,ln(x)knstlichalsdasProdukt1 ln(x)zuschreibenundbeiderpartiellenIntegrationf(x)=1undg(x)=ln(x)festzulegen.Mitf(x)=xundg(x) =1xergibt sich dann_ln(x) dx =_1 ln(x) dx = x ln(x) _x 1x dx = x ln(x) _1 dx = x ln(x) x1.5.3Berechnung von Flchen mit IntegralenDieFlcheA, dieineinemKoordinatensystemnachobenunduntendurchzwei sichnichtschneidende Funktionen begrenzt wird und nach links und rechts durch zwei senkrechte Geradenx = a und x = b, lsst sich berechnen mitA =_baf(x) g(x) dx.SchneidensichdieFunktioneninzweiodermehrPunkten,dannwerdenbeiderBestimmungder eingeschlossenenGesamtchealleEinzelchenzwischenjeweilszwei Schnittpunktenberechnetundaddiert,wobeiDujedesmaldiex-WertederSchnittpunktealsGrenzenaundbverwendest.WennesumdieFlchezwischeneinerFunktionundderx-Achsegeht,dannkannstDug(x)weglassen, weil g(x) = 0 die Gleichung der x-Achse ist.Beispiele:DieFunktionf(x)=x2 1schlietmitdenGeradenx=0(Dasistbrigensdiey-Achse),x = 3 und der x-Achse eine Flche ein. Dabei schneiden sich fund die x-Achse bei x = 1 undes gibt zwei Teilchen:A =_10f(x) dx+_31f(x) dx=_10x21 dx+_31x21 dx=_13x3x_10+_13x3x_31=13131 _13030_+13333 _13131_=13 1+9 3 13+ 1=223.Als Nchstes soll die Flche zwischen den Funktionen f(x) = 2x+9 und g(x) = x3+5x2xberechnet werden, wobei diesesichindenPunktenP1(1|7)undP2(3|15)schneiden. Mita = 1 und b = 3 ergibt sich dann fr die eingeschlossene Flche:28A =_31f(x) g(x) dx=_312x + 9 (x3+ 5x2x) dx=_31x35x2+ 3x + 9 dx=_14x453x3+32x2+ 9x_31=14345333+3232+ 9 3 _14(1)453(1)3+32(1)2+ 9 (1)_=643.1.5.4Volumenberechnung von RotationskrpernLsstmaneineFunktionfinnerhalbderGrenzenx=aundx=brumlichumdiex-Achserotieren,dannentstehtdabeieinRotationskrpermitderx-AchsealsSymmetrieachse.Dabeiwird der Krper bei x = a und x = b begrenzt durch zwei Kreise mit den Radien f(a) und f(b).Sein Volumen ist gegeben durch die FormelV= _baf(x)2dx.Beispiel:Durch Rotation der Geraden mit der Gleichung f(x) = x + 1 um die x-Achse mit den Grenzena=0undb=2entstehteinKegelstumpf, derbeix=0voneinemKreismitdemRadiusf(0) = 1 und bei x = 2 von einem mit Radius f(2) = 3 begrenzt wird. Fr sein Volumen giltV= _20(x + 1)2dx = _13(x + 1)3_20= _13331313_ =263.1.5.5Durchschnittswert von FunktionswertenZur Berechnung des Durchschnittswerts oder Mittelwerts d von Funktionswerten einer Funktionfim Intervall [a; b] gilt:d =1b a_baf(x) dxBeispiel:Die Normalparabel mit der Gleichung f(x) =x2hat im Bereich [1; 2] positive Funktionswertezwischenf(1) =1undf(2) =4. DerDurchschnittswert dallerFunktionswertewirdalsoebenfalls zwischen 1 und 4 liegen. Wir berechnen konkret:d =12 1_21x2dx =_13x3_21=13231313=73291.5.6Uneigentliche IntegraleIntegrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegenUnendlich luft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte un-eigentliche Integrale. Die Berechnung luft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion aufGrenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht (vgl. 1.4.7).Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.B. Flchen ausrechnen, die sich unendlich weit aus-dehnen,abertrotzdemeinenendlichenInhalthaben,weilsieimmerschmalerwerden.FrdieFlche A zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen fund g, die sich von der Geradenx = a bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die SchreibweiseA =_af(x) g(x) dxverwendet.Beispiele:EswirddieFlcheberechnet,diezwischenderx-AchseundderExponentialfunktionf(x)=exliegt,nachlinksdurchdiey-Achsebegrenztistundsichnachrechtsunendlichweitaus-dehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze t:_t0exdx =_ext0= et+ 1.Fr die Flche bzw. das uneigentliche Integral gilt dannA =_0exdx=limt(et+ 1) = 1.1.5.7Keplersche FassregelOft ist esschwierig, freineFunktionfdiedazugehrigeStammfunktionzunden. Insol-chen Fllen ermglicht die Keplersche Fassregel die Berechnung eines Nherungswertes fr dasbestimmte Integral_baf(x) dx. Die Nherungsformel hat die Form_baf(x) dx b a6_f(a) + 4f_a +b2_+f(b)_.Du setzt also die Grenzen a und b und deren Mittelwerta+b2in die rechte Seite der Formel ein,und erhltst ohne eine Stammfunktion suchen zu mssen einen Nherungswert fr das bestimm-te Integral.30Beispiel:WirberechneneinenNherungswertfrdasbestimmteIntegral_101x2+1 dx.Mita=0,b=1unda+b2=12ergibt sich_101x2+ 1 dx 1 06_102+ 1+4(12)2+ 1+112+ 1_ =4760= 0, 783.Zum Vergleich: Der exakte Wert ist_101x2+1 dx = arctan 1 0, 7853....311.6Beziehungen zwischen Kurven1.6.1SchnittpunkteUmdieSchnittpunktezweierFunktionenfundgzuberechnen, setzt DudiebeidenFunkti-onstermegleichundlstdanndieGleichungf(x)=g(x)bzw.f(x) g(x)=0nachxauf(s.1.2). Die Lsungen dieser Gleichung sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Gibt es keineLsung,dannschneidensichdieKurvennicht.JetztsetztDudieverschiedenenx-Wertenochin f(x) oder g(x) ein (wo ist egal, es kommt sowieso dasselbe raus), um die y-Koordinate vonjedem Schnittpunkt auszurechnen. Am Schluss schreibst Du alle zueinander gehrenden x- undy-Werte als Koordinatenpaare der Schnittpunkte auf.Beispiele:GesuchtistderSchnittpunktderbeidenFunktioneng(x)=(x + 2)exundf(x)=x2ex.Durch Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt sich eine Gleichung, die durch den Exponential-termgeteilt werden kann, und dann auf die quadratische Gleichung x2x2 = 0 mit den beidenLsungen x1= 1 und x2=2 fhrt. Fr die Funktionswerte ergibt sich g(1)=f(1)=eund g(2) = f(2) = 4e2=4e2. Es gibt also die zwei Schnittpunkte S1(1|e) und S2(2|4e2).Die Funktionen g(x) = 3 14x und f(x) = 4+x2xhaben keinen Schnittpunkt, da f(x) = g(x)nach Durchmultiplizieren mit x und Vereinfachung auf die quadratische Gleichung34x2+3x +4 = 0 fhrt, die keine Lsung hat (s. 1.2.3).1.6.2BerhrpunkteZweiFunktionenfundghabeneinenBerhrpunktanderStellex0,wennsiedortdenselbenFunktionswertunddieselbeAbleitunghaben,wennalsof(x0)=g(x0)undf(x0)=g(x0)gilt.DiesebeidenBedingungenmssenalsonachgeprftwerden,wennDuzeigensollst,dassein vorgegebener Punkt ein Berhrpunkt ist. Wenn Du selber die Berhrpunkte von zwei Funk-tionenbestimmensollst,lstDuzuerstvondenGleichungenf(x)=g(x)undf(x)=g(x)die einfachere nach x auf (s. 1.2), und schaust, ob mit der Lsung oder den Lsungen auch nochdieandereGleichungerflltist.FrBerhrpunktekommenalsonursolcheLsungeninFra-ge,diebeideGleichungenerfllen.AmSchlussrechnestDuzuallenerhaltenenx-WertendieFunktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berhrpunkte auf.Beispiele:Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen f(x)=3 4x2und g(x)=1xin B(12|2) be-rhren. Die Ableitungen sind f(x) = 8x und g(x) = 1x2, es gilt also f(12) = 8 12= 4und g(12) = 1(12)2= 4. Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte,denn wir haben f(12) = 3 422= 2 und g(12) =112= 2.WirberechnendenBerhrpunkt vonf(x) =2ex3undg(x) =2x 4. DasichdieGlei-chungf(x) =g(x) nicht gut ausenlsst, versuchenwir es mit der anderenBedingungf(x) =g(x), bzw. 2ex3=2, dienachDivisiondurch2undLogarithmierenzurLsungx=3 fhrt. Damit ist auch die andere Bedingung erfllt, es gilt nmlich f(3)=2e0=2 undg(3) = 2 3 4 = 2. B(3|2) ist also ein Berhrpunkt der Funktionen fund g.321.6.3Tangenten Tangente durch einen KurvenpunktEineTangenteaneineKurvefimKurvenpunktP(x0|f(x0))isteineGerade, diefindiesem Punkt berhrt. Um an einer vorgegebene Stelle x0eine Tangente an die Funktionfanzulegen, berechnest Du den Funktionswert f(x0) und die Ableitung f(x0) an dieserStelle und setzt alles ein in die Tangentengleichungt : y= f(x0)(x x0) +f(x0).DasergibtdannnachkurzerUmformungdieGeradengleichungderTangentedurchdenKurvenpunkt (x0|f(x0)).Sogenannte Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleich-zeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion fist.Beispiel:Wir bestimmendieGleichungder TangenteandieFunktionf(x) =1x2+1, undzwarander Stellex0=1. Der Funktionswert ist dannf(1) =12, undmit der Ableitungf(x)= 2x(x2+1)2haben wir noch die Steigung f(1)= 12. Also hat die Tangente t imKurvenpunkt (1|12) die Gleichung y= 12(x 1) +12, bzw. y= 12x + 1. Tangente durch einen Punkt auerhalb der KurveWirbezeichnenjetztmit(x1|y1)einenPunkt, dernichtaufderFunktionfliegensoll.Dabei suchen wir Geraden, die durch diesen Punkt gehen, und auerdem die Funktion ftangieren(berhren).UmdenBerhrpunkt(x0|f(x0))zunden,wirdx1undy1indieTangentengleichung (s.o.) fr x bzw. yeingesetzt:y1= f(x0)(x1x0) +f(x0).DieseGleichungwirdjetztnachx0aufgelst.Wennx0dannbekanntist,wirdwieobendie Tangente an fim Kurvenpunkt (x0|f(x0)) berechnet, diese enthlt dann automatischauch den Punkt (x1|y1).Beispiel:An die Funktion f(x) = x2+1 sollen alle Tangenten durch den Punkt (12| 1) (der nichtauf fliegt) gefunden werden. Wir setzen also fr x und yin der Tangentengleichung dieWerte12und 1 ein:1 = 2x0(12 x0) +x20 + 1 x20x02 = 0.Die quadratische Gleichung hat die zwei Lsungen x0= 2 bzw. x0= 1. Das bedeutet,durchdenPunkt(12| 1)knnenzwei TangentenandieFunktionfangelegt werden.Die Gleichungen ergeben sich durch Einsetzen von 2 und 1 fr x0 in die Tangentenglei-chung:t1: y = f(2)(x 2) +f(2) = 4(x 2) + 5 = 4x 3 undt2: y = f(1)(x + 1) +f(1) = 2(x + 1) + 2 = 2x.331.6.4Senkrechter SchnittZweiKurvenfundgschneidensichsenkrechtbeix0,wenndieGleichungenf(x0)=g(x0)und f(x0) g(x0) = 1 (Orthogonalittsbedingung) erfllt sind.Beispiel:Die Geraden f(x) = 3x+5 und g(x) = 13x+53schneiden sich im Punkt (1|2) rechtwinkligwegen f(1) = g(1) = 2 und f(1) g(1) = 3 (13) = 1.1.6.5NormalenEineNormaleaneineKurve fimKurvenpunkt P(x0|f(x0))isteineGeradedurch P,diedasSchaubild von fin Psenkrecht (orthogonal) schneidet. Deshalb gilt fr die Normalensteigungmn= 1f(x0)(vgl. 1.6.4).Wie bei der Tangentengleichung setzt Du nur die Werte fr x0, f(x0) und f(x0) in die Norma-lengleichungn : y= 1f(x0) (x x0) +f(x0)ein, und formst die Gleichung noch ein wenig um.Beispiel:WirstellendieGleichungderNormalendurchdieFunktionf(x)=1 2x2imKurvenpunkt(1| 1)auf. Esgiltalsox0=1, f(x0) =f(1) = 1undmitf(x) =4x3nochf(x0) =f(1) = 4. Das ergibt dann alles zusammen fr die Normalengleichungn : y= 14(x 1) 1 = 14x 34.1.6.6SchnittwinkelZwei Kurven fund g, die sich in einemPunkt an der Stelle x0 schneiden, schlieen einen Winkel ein, den Du mit der Formeltan =f(x0) g(x0)1 +f(x0)g(x0)berechnen kannst. Dazu setzt Du x0 in f(x) und g(x) ein, und berechnest den Wert der rechtenSeitederGleichung. MitderINVERSoderSHIFTTastevomTaschenrechnerundderTAN-Funktion bekommst Du dann .Frf(x0)g(x0) = 1funktioniert dieFormel nicht, weil dannderNennerdenWert0an-nimmt. In diesem Fall schneiden sich fund grechtwinklig mit = 90 (s. 1.6.4).Beispiel:Die Funktionen f(x) = exund g(x) = (3x 1)exschneiden sich im Punkt S(0| 1) und esgilt f(0) = 1 und g(0) = 2. Das ergibt dann in die Formel eingesetzt tan =121+(1)2 = 3und mit der Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner 71, 6.341.7Bestimmung von Funktionsgleichungen1.7.1AnsatzBei derBestimmungvonFunktionsgleichungengeht esdarum, eine(meistensganzrationale)Funktionzunden,diebestimmtenBedingungengengt.Dazuistesnotwendig,zuersteinenunbestimmten Ansatz fr die Funktion zu machen, der die spter zu bestimmenden Koefzientena,b,cusw. enthlt. DabeisolltestDuSymmetrieangabenberdieFunktionschonimAnsatzbercksichtigen. Nachdem Du den Ansatz gemacht hast, schreibst Du am besten auch noch dieerste und zweite Ableitung davon auf.Beispiele:Ganzrationale Funktionen 2. Grades:f(x) = ax2+bx +c, f(x) = 2ax +b, f(x) = 2.Ganzrationale Funktionen 3. Grades:f(x) = ax3+bx2+cx +d, f(x) = 3ax2+ 2bx +c, f(x) = 6ax + 2b.AlleachsensymmetrischeganzrationaleFunktionenhabennurgeradePotenzenvonxundeinAbsolutglied (der Term ohne x) im Ansatz. Zum Beispiel sieht eine achsensymmetrische ganz-rationale Funktion 4. Grades so aus:f(x) = ax4+bx2+c, f(x) = 4ax3+ 2bx, f(x) = 12ax2+ 2b.Punktsymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur ungerade Potenzen von x und kein Ab-solutglied im Ansatz. Fr eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion 5. Grades ergibt sichdabeif(x) = ax5+bx3+cx, f(x) = 5ax4+ 3bx2+c, f(x) = 20ax3+ 6bx.1.7.2Aufstellen der GleichungenDernchsteSchrittbestehtimAufstellenvongenausovielGleichungen,wieesKoefzientenbzw. Unbekanntea, b, cusw. gibt. Dabei entsteht jedeGleichungdadurch, dassDuineinerder drei GleichungenausdemAnsatzfrxundfrf(x)(bzw. f(x)oderf(x)) konkreteZahlenwerteeinsetzt,dieausderAufgabehervorgehen.DumusstdannimmereineGleichungbekommen, in der nur noch die Unbekannten a, b, c usw. vorkommen, auf keinen Fall darf hiernoch x, f(x), f(x) oder f(x) stehen.Werden Punkte (Koordinatenpaare) angegeben, die auf der Funktion liegen sollen, dann kannstDu x und f(x) mit diesen Werten ersetzen.Kommen Begriffe wie parallel, Steigung, Ableitung, waagrecht, Hoch- bzw. Tiefpunkt, Tangen-te, Normale oder Berhrung vor, musst Du f(x) durch die entsprechenden Werte ersetzen.Bei Wendepunkten oder Wendetangenten wird fr f(x) immer 0 eingesetzt.35Beispiele:Wir gehen jetzt bei allen Beispielen vom Ansatz einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aus:f(x) = ax3+bx2+cx +d, f(x) = 3ax2+ 2bx +c, f(x) = 6ax + 2b.Jede Bedingung an die Funktion wird dann als Gleichung fr die Unbekannten aufgeschrieben. Der Punkt mit den Koordinaten (2|5) liegt auf f:f(2) = 5 8a + 4b + 2c +d = 5. fhat an der Stelle x = 2 die Steigung 3:f(2) = 3 12a 4b +c = 3. Der Punkt mit den Koordinaten (1|4) ist ein Hochpunkt (Tiefpunkt):f(1) = 4 a +b c +d = 4f(1) = 0 3a 2b +c = 0. (5| 2) ist ein Wendepunkt von f:f(5) = 2 125a + 25b + 5c +d = 2f(5) = 0 30a + 2b = 0. fhat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y= 15x 3 parallele Tangente:f(4) = 15 48a 8b +c = 15. fhat an der Stelle x = 3 die Tangente y= 9x 7:f(3) = 9 (3) 7 27a + 9b 3c +d = 34f(3) = 9 27a 6b +c = 9. fhat an den Stellen x = 3 und x = 6 parallele Tangenten:f(3) = f(6) 27a 6b +c = 108a + 12b +c. fhat an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente:f(1) = 0 3a 2b +c = 0. fberhrt dieFunktiong(x) =1 4x2anderStellex=2(Dazumusserst nochdieAbleitung von gmit g(x) =8x3berechnet werden):f(2) = g(2) 8a + 4b + 2c +d = 0f(2) = g(2) 12a + 4b +c = 1.36 fhat and der Stelle x = 7 die Wendetangente y= 3x + 5:f(7) = (3) 7 + 5 343a + 49b + 7c +d = 16f(7) = 3 147a + 14b +c = 3f(7) = 0 42a + 2b = 0. fberhrt die x-Achse im Ursprung (die x-Achse hat die Steigung 0):f(0) = 0 d = 0f(0) = 0 c = 0. fhat an der Stelle x = 1 die Normale y= 2x + 3 (s. 1.6.5):f(1) = 2 1 + 3 a +b +c +d = 52 = 1f(1) f(1) = 12 3a + 2b +c = 12. fhat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y= 3x + 4 senkrechte Tangente (s. 1.6.4):f(4) (3) = 1 f(4) =13 48a + 8b +c =13. fhat an der Stelle x = 4 eine zur Geraden y= 3x + 4 parallele Normale (s. 1.6.5):mn= 1f(4)= 3 f(4) =13 48a + 8b +c =13.1.7.3Lsung des GleichungssystemsDu hast jetzt also soviele Gleichungen gesammelt, wie es Unbekannte gibt. Jetzt musst Du dasGleichungssystem noch nach den Unbekannten ausen. Dabei geht es meistens um ein Systemmit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Wenn es mal vier Gleichungen geben sollte, ist einedavonpraktischimmerschondieLsungfreineVariable(z.B.a=0),diedannindieanderendreieingesetztwird, sodassessichauchwiederumdreiGleichungenmitdreiUnbekanntenhandelt.Wie du allgemein Gleichungssysteme lst, wird unter 2.2.4 genau beschrieben.Hier ist schonmal eine Kurzfassung speziell fr den Fall von 3 Gleichungen und 3 Unbekannten: Vereinfache die einzelnen Gleichungen, so dass auf der linken Seite die Variablen a, b undc in geordneter Reihenfolge stehen und rechts einfache Zahlenwerte Whle zwei Gleichungen, aus denen Du mit dem Additionsverfahren eine Variable elimi-nierst, und eliminiere dieselbe Variable nochmal aus zwei anderen Gleichungen. AusdenbeidenneuentstandenenGleichungen(dienurnochzwei verschiedeneUnbe-kannte haben) eliminierst Du wieder eine Variable.37 Aus der zuletzt entstandenen Gleichung bekommst Du die erste Lsung, die durch Einset-zen in frhere Gleichungen dann die anderen Lsungen liefert.Beispiel:Wir gehen schon von einem Gleichungssystem in vereinfachter und geordneter Form aus:2a 4b +c = 1 (1)3a + 5b 2c = 0 (2)4a 6b + 7c = 3. (3)Zuerst eliminieren wir aus (1) und (2) die Variable a und dann aus (1) und (3) nochmal a:3 (1) 2 (2) ergibt 22b + 7c = 3 (4)2 (1) + (3) ergibt 14b + 9c = 1. (5)Jetzt wird aus (4) und (5) noch c eliminiert, was die Lsung fr b ergibt:9 (4) 7 (5) ergibt 100b = 34, bzw. b = 1750.DurchEinsetzenvonb= 1750in (4)oder (5)bekommenwirfrcdieLsungc= 1625,undam Schluss durch Einsetzen von b und c in (1), (2) oder (3) noch a =750.WennjetztderAnsatzfrdieFunktionsgleichungf(x)=ax2+ bx + cgewesenwre,dannhtten wir die Funktion mit f(x) =750x21750x 1625vollstndig bestimmt.381.8Extremwertaufgaben1.8.1Bestimmung der ZielfunktionBei Extremwertaufgaben wird oft von einem variablen Kurvenpunkt P(u|v) einer vorgegebenenFunktion fausgegangen, fr den durch jede Position ein Krper, eine Flche oder eine Streckefestgelegt ist. Dann kann man versuchen die Position zu nden, bei der zum Beispiel das Volu-menoderdieOberchedesKrpers,derFlcheninhaltbzw.derUmfangderFlcheoderderAbstand zu irgendeinem anderen Punkt maximal oder minimal wird. Die jeweilige Gre wirddanndurcheinebestimmteFunktionz(diesogenannteZielfunktion)beschrieben,dievondenKoordinatenuundvdesvariablenKurvenpunktesabhngt.DabeimusstDuallewaagrechtenStreckenlngen, die zur Bestimmung der Zielgre ntig sind, mit u und die senkrechten mit vausdrcken.AnschlieendkannstDuimFunktionstermDeinerZielfunktionnochdieVariablevdurch f(u) ersetzen, da ja P(u|v) ein Punkt auf der Kurve der Funktion fist.WirdzurDenitionderZielfunktionstatteinemKurvenpunkteinesenkrechteGerademitderGeradengleichungx=uvariiert,dannkanndieseauchmehrerePunkteerzeugen,indemmandie Schnittpunkte mit verschiedenen gegebenen Funktionen f, g, usw. betrachtet. Die zum Auf-stellenderZielfunktionntigenStreckenlngenknnendannabergenausomitHilfevonuinwaagrechter Richtung und f(u), g(u) usw. in senkrechter Richtung ausgedrckt werden.Beispiele: AbstandEs sind die zwei Funktionen f(x) =exund g(x) = (2x + 1)exgegeben. Die Gerademit der Gleichung x = u (u 0) schneidet das Schaubild von fin Pund das von g in Q.Wir bestimmen die Abstandsfunktion zzwischen den beiden Punkten.Pund Q haben die Koordinaten P(u|f(u)) und Q(u|g(u)). Sie liegen bereinander undzwar liegt QberP, dennfru 0gilt g(u) >f(u)(wasmannachDivisionderUngleichungdurcheusehenkann). FrdenAbstand, dereinesenkrechteStreckeist,gilt deshalbz(u) = g(u) f(u) = (2u + 1)eueu= 2ueu. UmfangGegeben ist die Funktion f(x) = 1 +4x. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durcheinen Kurvenpunkt P(u|v) (u > 0) begrenzen mit den Achsen ein Rechteck. Der UmfangdesRechteckssolldurcheineZielfunktioninAbhngigkeitvonubeschriebenwerden.Dabei gilt allgemein fr den Umfang von RechteckenU= 2a + 2b,wennaundbdieSeitenlngensind. DieSeitenvondembeschriebenenRechtecksinddirekt durch die Koordinaten von Pgegeben, es gilt also fr die Zielfunktionz(u) = 2u + 2v= 2u + 2(1 +4u) = 2u + 2 +8u. FlcheninhaltGegebensinddieFunktionenf(x) =(1+x2)exundg(x) =ex. Diesenkrechte39GerademitderGleichungx=u(u 0)schneidetdieSchaubildervonfundgindenPunkten Pund Q. Der Ursprung O und die Punkte Pund Qbilden ein Dreieck. Wie siehtdann die Zielfunktion aus, die den Flcheninhalt des Dreiecks beschreibt?Fr die Flche A von beliebigen Dreiecken gilt die FormelA =12 g h.Bei unserem Dreieck knnen wir als Grundseite die Strecke PQ verwenden, die sich ausder Differenz der y-Werte von Pund Qergibt, da Pber Qliegt (f(u) = (1+u2)euistfr u > 0 nmlich grer als g(u) = eu). Es gilt also g= (u2+1)eueu= u2eu.Fr die Hhe h zu dieser Grundseite gilt h = u, und so sieht dann die Zielfunktion aus:z(u) =12 g h =12u2euu =12u3eu.Im zweiten Beispiel geht es um eine Dreiecksche, die von einer Tangente an eine Funk-tion begrenzt wird. Und zwar nehmen wir die Funktion f(x)=2+x2x2und einen Kurven-punkt P(u|v) mit u > 0. Die Tangente an fdurch den Punkt Pbegrenzt mit den Koordi-natenachseneinDreieck,dessenFlchedurchdieZielfunktionbeschriebenwerdensoll.Dazu wird zuerst nach 1.6.3 die Tangentengleichung an der Stelle u aufgestellt:t : y= f(u)(x u) +f(u) y= 4u3(x u) +2u2+ 1 y= 4u3x +6u2+ 1.Die Tangente schneidet die y-Achse bei y=6u2+ 1 und die x-Achse bei x =32u +14u3(s.1.4.2 und 1.4.3). Diese beiden Werte knnen als Grundseite g bzw. Hhe h des Dreiecksverwendet werden, d.h. die Zielfunktion fr die Flche hat die Formz(u) =12 g h =12_6u2+ 1__32u +14u3_ =18u3+32u +92u. ObercheDer Punkt P(u|v) (u > 0) soll ein Punkt auf der Kurve der Funktion f(x) =3x3 1 sein.DiePunkteP,Q(u| 1),R(0| 1)undS(0|v)bildeneinRechteck.DieZielfunktionsolldieOberchedesZylindersbeschreiben,derentsteht,wennsichdasRechteckumdie Seite RSdreht (die auf der y-Achse liegt).Die Oberche eines Zylinders hat die FormelO = 2r2+ 2rh,wobei rder Grundkreisradius und h die Hhe ist. Hier in unserem Fall ist r=u. Wegenv=f(u)=3u3 1> 1liegtP(u|v)berQ(u| 1),d.h.dieHhehdesZylindersergibt sich aus h=v (1)=v + 1=3u3. In die Oberchenformel eingesetzt ergibtdas die Zielfunktionz(u) = 2u2+ 2u3u3= 2u2+6u2.40 VolumenFr 0 u 2 soll P(u|v) ein Kurvenpunkt von f(x) =x44x2+ 4 sein und Q derPunkt mit den Koordinaten (u|v). Pund Qbegrenzen mit dem Ursprung O ein Dreieck,dasbeiRotationumdiey-AchseeinenKegelerzeugt.GesuchtistdieZielfunktion,diedas Volumen des Kegels beschreibt.Dazu wieder zuerst die allgemeine Formel fr das Volumen von Kegeln:V=13r2h.Hier bezeichnet r den Grundkreisradius, und h die Hhe des Kegels. Weil das Dreieck umdie y-Achse rotiert, entspricht u dem Radius und vder Hhe. Eingesetzt in die Volumen-formel bedeutet das fr die Zielfunktion:z(u) =13u2v=13u2(u44u2+ 4) =13(u64u4+ 4u2). KurvencheImletztenBeispielbewegtsichkeinPunktaufeinerKurve,sondernesistdieFunktionfu(x) =(2u u2)x2+ (u2 2u + 2)xgegeben. SieschneideteinezweiteFunktiong(x) =2x2unabhngigvonuimUrsprungundimPunkt(1|2), sodassdadurcheineFlche eingeschlossen wird. Die Frage ist, wie der Flcheninhalt durch eine Zielfunktionin Abhngigkeit von u beschrieben werden kann.Nach 1.5.3 gilt fr die Flche A zwischen den FunktionenA =_10fu(x) g(x) dx=_10(2u u22)x2+ (u22u + 2)xdx=_13(2u u22)x3+12(u22u + 2)x2_10=16u213u +13.Die Zielfunktion ist also festgelegt durch z(u)=16u213u +13, wobei der Betrag weg-gelassen werden kann, da znur positive Werte annimmt.1.8.2Bestimmung des Extremwerts der ZielfunktionZur Bestimmung des Punktes P(u|v) (oder der senkrechten Geraden x =u) auf der Kurve vonf, frdendieZielfunktionextremal(alsomaximaloderminimal)wirdundzurBestimmungdieses Extremwerts rechnest Du wie in 1.4.4 beschrieben die Extrempunkte von zaus.Gibt es im Inneren des Denitionsbereichs von z (das ist der Denitionsbereich ohne den Rand)nur einen Extrempunkt E(u0|z(u0)), dann ist z(u0) das Minimum oder Maximum der Zielfunk-tion (je nachdem ob Eein Tief- oder Hochpunkt ist).41DerPunkt P(u|v)(bzw. dieGeradex=u)bei demdieZielfunktionihrenExtremwert an-nimmt, hat dann die Koordinaten P(u0|f(u0)) (bzw. die Gerade die Gleichung x = u0).Beispiele:Wir gehen der Reihe nach alle Zielfunktionen aus den Beispielen von 1.8.1 durch. Die Ableitungen von z(u) = 2ueumit dem Denitionsbereich u 0 sindz(u) = 2(1 u)euund z(u) = 2(u 2)eu.Aus z(u) = 0 folgt u = 1. An dieser Stelle ist wegen z(1) = 2e1< 0 ein Hochpunktvonz.DadasdereinzigeExtrempunktimInnerendesDenitionsbereichsist,hatzmitder Geraden x = 1 den maximalen Wert z(1) =2e. Die Zielfunktion fr den Umfang ist z(u) = 2u+2+8umit u > 0 und hat als Ableitungenz(u) = 2 8u2und z(u) =16u3.z(u)=0 hat die Lsungen u= 2. Davon liegt nur u=2 im Inneren des Denitions-bereichs, was wegen z(2) = 2 > 0 den einzigen Tiefpunkt fr zergibt. Daraus folgt mitf(2) = 3, dass zbeim Punkt P(2|3) den minimalen Wert z(2) = 10 annimmt. Die Flchen-Zielfunktion z(u) =12u3eumit u 0 als Denitionsbereich hat die Ablei-tungenz(u) = (32u212u3)euund z(u) = (12u33u2+ 3u)eu.Hiergibtesfrz(u)=0dieLsungenu=0undu=3,wobeiaberu=0aufdemRanddesDenitionsbereichs(alsonichtimInneren)liegt.zhatdeshalbimInnerennureinenExtrempunktbeiu=3undzwarwegenz(3)= 92e30undmit den beiden Ableitungenz(u) =38u2+32 92u2und z(u) =34u +9u3.DieExtrempunktbedingungz(x) =0hat alsLsungenu=2undu= 6, wobeidiezweitenichtszusagenhatweil u>0geltensoll.DieandereLsungistaberwegenz(2) =218> 0 die Stelle fr einen Tiefpunkt von z, und zwar fr den einzigen imInnerendesDenitionsbereichs.DeshalbnimmtzfrdenPunktP(2|f(2))(mitf(2)=32)denminimalen Wert z(2) =254an. Fr die Zielfunktion z(u) = 2u2+6u2mit u > 0 giltz(u) = 4u 12u3und z(u) = 4 +36u4.WirrechnenwiederdieLsungenderGleichungz(u)=0aus,nmlichu=43undu = 43, von denen sich wieder nur eine einzige (u =43) im Inneren des Denitions-bereichs aufhlt. Fr diese gilt z(43) = 16> 0, d.h. zhat dort einen minimalen Wertz(43) = 43. Dabei ist der Punkt P(u|v), fr den zminimal wird, bestimmt durch diebeiden Koordinaten u =43 und v= f(u) =1(43)3 1. Im vorletzten Beispiel ist die Volumen-Zielfunktion gegeben durch die Gleichung z(u) =13(u64u4+ 4u2) mit 0 u 2. Es giltz(u) =13(6u516u3+ 8u) und z(u) =13(30u448u2+ 8).Die Extremalbedingung z(x) = 0 hat dieses Mal sogar fnf Lsungen: u = 0, u = _23und u = 2 (vgl. 1.2.4). Davon liegt aber nur u =_23im Inneren der Denitionsmen-ge, dieanderenLsungenliegenentwederganzauerhalb, oderaufdemRand. Wegenz(_23) = 329< 0 hat zdann dort den maximalen Wert z(_23) =3281. Das Volumenwird also maximal fr den Punkt P(u|v) mit u =_23und v= f(u) =169. ZurBerechnungdesExtremwertsderZielfunktionz(u) =16u213u +13mitu IR,werden wieder die ersten beiden Ableitungen bentzt:z(u) =13u 13und z(u) =13.Ausz(u) =0folgt dieeinzigeLsungu =1, waswegenz(1) =13>0einenminimalen Wert fr zergibt, nmlich z(1) =16.431.9FunktionenscharenFunktionenscharensindFunktionen,indenenauerderVariablenxnocheinParameter(z.B.t)steckt. DurchEinsetzenbeliebigerWertefrtbekommt mandannverschiedenekonkreteFunktionen der Schar. Bei Funktionen mit so einem Parameter kann ganz normal eine Kurven-diskussion durchgefhrt werden, nur hngen alle Ergebnisse noch vom Parameter t ab.VieleAufgabenzuFunktionenscharenzielendaraufab,dassmanzueinerbestimmtenBedin-gung die Funktion aus der Schar ndet (d.h. den dazugehrigen Parameter t bestimmt), die dieseBedingung erfllt.Oftgehtesauchdarumzuzeigen,dasseineBedingungoderGleichungvonallenFunktionenunabhngig vom Scharparameter erfllt wird, das sind dann Invarianten der Schar.Auerdem gibt es noch die Ortskurven zu berechnen, das sind diejenigen Kurven, auf denen z.B.smtliche Hochpunkte (oder Tief- bzw. Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen.1.9.1OrtskurvenWennDufrjedeFunktioneinerFunktionenscharftdieHoch-, Tief-oderWendepunkteinAbhngigkeit von t ausgerechnet hast, ist es mglich, die Kurve zu bestimmen, auf der alle diesePunkte liegen. Du hast z.B. den Hochpunkt H(a(t)|b(t)), wobei a(t) und b(t) die x-Koordinatebzw. die y-Koordinate der Hochpunkte in Abhngigkeit von t darstellen. Mitx = a(t) und y= b(t)kannstDudanndieersteGleichungnachtausenunddasErgebnisindiezweiteGleichungeinsetzen, waseineGleichungmit yundxergibt. Dasist danndieFunktionsgleichungderOrtskurve aller Hochpunkte.Beispiel:Es wird die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionenschar ft(x)= x2+ tx + t bestimmt,wobei H(12t|14t2+t)alleHochpunktederScharsind(s. 1.4.4). Esgilt alsofrdenx-bzw.y-Wert:x =12t und y=14t2+t.Die erste Gleichung ergibt nach t aufgelst t = 2x, was beim Einsetzen in die zweite Gleichungzur Ortskurve y=14(2x)2+ 2x = x2+ 2x fhrt.1.9.2Bestimmung von ParameternHierwirdnachdemParameter tgefragt,frden fteinebestimmteBedingungerfllt.DieBe-dingung an die Funktion musst Du also irgendwie in eine Gleichung (oder in mehrere) bringenund dann nach t ausen. Dazu lsst sich allgemein wenig sagen, deshalb kommen jetzt ein paarBeispiele zu mglichen Bedingungen.44Beispiele: ftschneidet gzweimalZu bestimmen sind alle t, fr die ft(x) = t 8xdie Gerade g(x) = 2x zweimal schneidet.Aus der Schnittbedingung ft(x) = g(x) folgtt 8x= 2x bzw. 2x2tx + 8 = 0.Nach1.2.3hatdieseGleichungzweiLsungen,wenndieDiskriminantepositivist,d.h.wenn t2 64> 0 gilt. Das bedeutet, dass es fr t2> 64, also fr t> 8 oder fr t< 8zwei Schnittpunkte von ftund ggibt. ftberhrt gGesucht ist dasjeniget, fr welchesftmit ft(x) =x2+(t+1)x+3dieFunktiong(x) =1 x2berhrt. Nach1.6.2bedeutetBerhrungsovielwieft(x) =g(x)undft(x) = g(x), d.h. es muss gelten:2x +t + 1 = 2x und x2+ (t + 1)x + 3 = 1 x2.Um die beiden Gleichungen nach t und x aufzulsen, knnen wir z.B. t = 4x1 (ersteGleichung)indiezweiteGleichungeinsetzen. AusderentstandenenGleichungfolgendann die Lsungen x = 1. Das ergibt dann wieder nach Einsetzen in die erste Gleichungfr t die Lsungen t = 5 und t = 3. Das Ergebnis sieht dann so aus: f3berhrt g an derStelle x = 1, und f5berhrt gan der Stelle x = 1. ftschneidet gsenkrechtFrwelchestschneidetft(x) =x2+12tdieFunktiong(x) =1x2+1senkrecht?Nach1.6.4 ist das der Fall, falls ft(x) g(x) = 1 und ft(x) = g(x) gilt:2x 2x(x2+ 1)2= 1 und x2+12t =1x2+ 1.DieersteGleichungfhrtnachUmformungaufeinebiquadratischeGleichungfr xmitden Lsungen x = 1 (vgl. 1.2.4). Beide Lsungen knnen dann in die zweite Gleichungeingesetzt werden, wobei sich jeweils t = 1 ergibt. Das bedeutet, dass f1 die Funktiongan den Stellen x = 1 senkrecht schneidet. Der Hochpunkt von ftliegt auf der x-AchseWirgehenausvonderFunktionenscharft(x)=t32x2+ x + 3mitt 0)zwei zueinandersenkrechteWende-tangentenbesitzt. Zuerst werdendieWendestellenbestimmt (vgl. 1.4.5). Dabei erge-bensichx1=12tundx2= 12t. DieSteigungender Wendetangentensinddannm1= ft(x1) = 42tund m2= ft(x2) =42t. Sie schneiden sich nach 1.6.4 senkrecht,wenn die Orthogonalittsbedingung m1 m2= 1 erfllt ist:42t42t= 1 162t= 1 t = 8.Somit hat f8zwei senkrecht aufeinanderstehende Wendetangenten.1.9.3Parameterunabhngige EigenschaftenManche Scharen haben Eigenschaften, die nicht von vom Parameter t abhngen, d.h. alle Funk-tionen, die man fr verschiedene Parameterwerte erhlt, haben etwas gemeinsam. Um zu sehen,obeineEigenschaftunabhngigvontist, musstDusiealsGleichungfrftformulierenunddurchVereinfachungzeigen,dasstrausfllt.EinekleineBeispielschardazuerhelltdieSachevielleicht ein wenig.Beispiele: Gemeinsame PunkteZeige, dass P(0| 6) und Q(2|4) die gemeinsamen Punkte der Funktionenschar ft(x) =tx3+ (1 2t)x2+ 3x 6 sind.Dazu wird die Punktprobe gemacht, und es ergibt sichft(0) = t 0 + (1 2t) 0 + 3 0 6 = 6, bzw.ft(2) = 8t + 4(1 2t) + 6 6 = 4unabhngig von t, was zu zeigen war.Eskannauchgefragt werden, obdieobigeSchar gemeinsamePunktehat, ohnedasssieangegebenwerden.IndiesemFallschneidestDuzweiverschiedeneFunktionenausderScharmiteinander,beidenenDudieParameterz.B.mitsundtbezeichnest.WennDudannSchnittpunkteberechnest, dienicht vonsodertabhngen, dannsinddasdiegemeinsamen Punkte der Schar:sx3+ (1 2s)x2+ 3x 6 = tx3+ (1 2t)x2+ 3x 6 (s t)x32(s t)x2= 0 (s t)(x32x2) = 0 x32x2= 0.DieDivisiondurch s tisterlaubt, weilwir verschiedeneScharfunktionen miteinanderschneiden, d.h. esgilt s =t s t =0. DieletzteGleichunghat dievonsundtunabhngigenLsungenx=0undx=2(s. 1.2.7). Mitft(0) = 6undft(2) =4ergeben sich dann die gemeinsamen Punkte P(0| 6) und Q(2|4) der Funktionenschar.46 FlchenverhltnisseFrt >0schneidet ft(x) = tx3+3xdiex-Achsebei x1= _3t, x2=0undx3=_3t. Dievonftundderx-Achsezwischenx2undx3begrenzteFlcheAwirddurchdieersteWinkelhalbierendeinzweiFlchenstckeA1undA2zerlegt.Zuzeigenist, dass das FlchenverhltnisA1A2nicht von t abhngt.Wir berechnen zuerst nach 1.5.3 die Gesamtche zwischen ftund der x-Achse:A =__3t0tx3+ 3xdx=_t4x4+32x2__3t0=94t=94t.UmdasFlchenstckA1zuberechnen, dasvonderWinkelhalbierendenmit derGlei-chung g(x)=xund ftbegrenzt wird,berechnen wir zuerstihre Schnittstellen, mitdemResultat x = 0 bzw. x =_2t. Fr das Flchenstck ergibt sich dannA1=__2t0tx3+ 3x xdx=_t4x4+x2__2t0=1t=1t.A2bestimmenwirmitA2=A A1=94t 1t=54t.Jetztkannmansehen,dassdasFlchenverhltnisA1A2=1t:54t=45nicht von t abhngt. ftberhrt gfr jedes t in PZeige, dass ft(x) = (1 +t)x +tx +2t fr jedes t die erste Winkelhalbierende (g(x) = x)in demselben Punkt Pberhrt.Nach 1.6.2 berhren sich die beiden Kurven, wenn die beiden Bedingungen ft(x) = g(x)und ft(x) = g(x) erfllt sind:(1 +t)x +tx+ 2t = x und 1 +t tx2= 1.Die zweite Gleichung ist quivalent zu t(x21) = 0 mit den von t unabhngigen Lsun-genx=1undx= 1.Abernurfrx= 1istauchdieersteGleichungunabhngigvon t erfllt. Damit ist P(1|ft(1)), also P(1| 1) der Punkt, in dem ftfr jedes tdie erste Winkelhalbierende berhrt. Invariante TangentennullstelleWirzeigen,dassdieNullstellederTangenteanft(x)=tx2imKurvenpunktP(4|16t)unabhngig von t ist.Dazuwirdzuerstnach1.6.3dieTangentengleichungderTangentedurchPanftaufge-stellt:t : y= ft(4) +ft(4)(x 4) = 8tx 16t.Setztmanjetzty=0einundlstnachxauf, dannerhltmandievontunabhngigeNullstelle der Tangente x = 2.47 Steigung im WendepunktEssollgezeigtwerden,dassdieSteigungvonft(x)=13x3+ tx2+ (t2 2)x 1imWendepunkt unabhngig von t ist.Fr die beiden ersten Ableitungen giltft(x) = x2+ 2tx +t22 und ft (x) = 2x + 2t.Ausft (x)=0folgtdanndieWendestellex= t(ft(x)=2 =0, vgl. 1.4.5). DieAbleitungandieserStellegibtdanndenWertderSteigungimWendepunktanundhatden Wert ft(t) = (t)22t2+t22 = 2, der nicht von t abhngt.482Geometrie2.1Begriffe und FormelnPunkt,VektorAnschaulichePunkteimdreidimensionalenRaumwerdenmathematischdurchihredreiKo-ordinaten bezglich eines vorgegebenen Koordinatensystems beschrieben. Dabei fasst man die-seKoordinatenzuZahlentripelzusammen,diedannauchVektorengenanntwerden.Vektorund Punkt sind letztlich also nur verschiedene Namen fr das mathematische Objekt Zahlentri-pel. Als Variablennamen fr Vektoren (bzw. Punkte) werden Kleinbuchstaben mit Pfeilen (bzw.Grobuchstaben) verwendet, fr KoordinatenKleinbuchstabenmit Indizes. DieKoordinatenknnen in Spalten oder Zeilen zusammengefasst werden: x =___x1x2x3___; A(1|0| 2).Addition/Subtraktion___x1x2x3______y1y2y3___ =___x1y1x2y2x3y3___Multiplikation mit einer Zahl tt ___x1x2x3___ =___tx1tx2tx3___Vektor- oder Kreuzprodukt___x1x2x3___

___y1y2y3___ =___x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1___Skalarprodukt___x1x2x3______y1y2y3___ = x1y1 +x2y2 +x3y3Betrag eines Vektors___x1x2x3___=_x21 +x22 +x2349Mittelpunkt zweier PunkteDer Mittelpunkt Mder beiden Punkte A(a1|a2|a3) und B(b1|b2|b3) hat die Koordinaten M(a1+b12|a2+b22|a3+b32)Lineare Abhngigkeit/UnabhngigkeitZwei Vektoren x und yheien linear abhngig, wenn es eine Zahl t gibt, mitx = ty oder y= tx.Gibt es keine solche Zahl, dann heien sie linear unabhngig.OrthogonalittZwei Vektoren heien zueinander orthogonal, wenn gilt:x y= 0 x1y1 +x2y2 +x3y3= 0.Winkel zwischen zwei VektorenFr den Winkel zwischen zwei Vektoren x und ygiltcos =x y|x| |y|.GeradenSindzweiVektorenuund vgegeben,dannverstehtmanuntereinerGeradendieMengeallerVektoren x mitx = u +tv,wobeiderParametertallereelenZahlendurchluft.DieseGleichungwirdalsParameterformder Geraden bezeichnet, u und v als Sttz- bzw. Richtungsvektor der Geraden. Dabei ergibt sichfr jeden konkreten Wert, der fr t gewhlt wird ein Punkt auf der Geraden.EbenenUnter einer Ebene versteht man eine Menge von Vektoren x, die durch eine der folgenden Glei-chungen dargestellt wird. Parameterform:x = u +sv +tw.DievorgegebenenVektorenubzw.vund wheienSttz-bzw. Richtungsvektoren, dieParameter s und t durchlaufen alle reellen Zahlen. Koordinatenform:ax1 +bx2 +cx3 +d = 0.a, b, c und d sind vorgegebene reelle Zahlen, x1, x2und x3sind die Koordinaten von x.50 Hessesche Normalform:ax1 +bx2 +cx3 +da2+b2+c2= 0.Das entspricht der durcha2+b2+c2geteilten Koordinatenform. Normalenform:n (x p) = 0.Dabei heitp Sttzvektor und n Normalenvektor der Ebene.Normalenvektor einer EbeneDieVektoren___abc___ ausderKoordinatenformbzw. derHesseschenNormalformundnausder NormalenformheienNormalenvektorender Ebene. Auerdemsindbeliebige(vonnullverschiedene) Vielfache dieser Vektoren ebenfalls Normalenvektoren.KugelnEine Kugel ist eine Menge von Vektoren x, die auf folgende Arten beschrieben werden kann. quadratische Form:x2+

b x +c = 0 (vektorielle Schreibweise)x21 +x22 +x23 +b1x1 +b2x2 +b3x3 +c = 0 (Koordinatenschreibweise)

bist einVektormit denKomponentenb1, b2undb3. cist eineZahl. Unterx2ist dasSkalarprodukt von x mit sich selbst zu verstehen. Jede der beiden Schreibweisen kann ausder anderen abgelesen werden. Kugelform:(x m)2= r2(vektorielle Schreibweise)(x1m1)2+ (x2m2)2+ (x3m3)2= r2(Koordinatenschreibweise)Dabei heitm Mittelpunktvektor der Kugel mit den Komponenten m1, m2und m3, undrist der Radius. Mit (x m)2ist wieder das Skalarprodukt des Vektors x m mit sichselbst gemeint.Lagebeziehungen Zwei Geradenheienparallel, wennihreRichtungsvektorenlinearabhngigsindundwenn sie keinen Schnittpunkt haben. Ebene und Gerade heien parallel, wenn sie sich nicht schneiden.51 Zwei Ebenen heien parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhngig sind und wennsie keinen Schnittpunkt haben. Zwei Geraden heien orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Ebene und Gerade heien orthogonal, wenn der Normalenvektor und der Richtungsvektorlinear abhngig sind. Zwei Ebenenheienzueinander orthogonal, wennihreNormalenvektorenorthogonalsind. Zwei Geraden heien windschief, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und nicht parallelsind.SpurpunkteDie Schnittpunkte einer Ebene Emit den Koordinatenachsen und die Schnittpunkte einer Gera-den gmit den Koordinatenebenen heien Spurpunkte von E, bzw. g.SpurgeradenDie Schnittgeraden einer Ebene Emit den Koordinatenebenen heien Spurgeraden von E.Lotgerade und LotfupunktEine Gerade l, die durch einen Punkt Pgeht und orthogonal zu einer Ebene Eist, heit Lotge-rade von Edurch P. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit Eheit Lotfupunkt der Lotgeraden.Ist n ein Normalenvektor von E, dann ist eine Parameterdarstellung von l gegeben durchl : x =p +tn.TangentialebenenIst eine Kugel Kmit dem Mittelpunkt Mgegeben und ein Punkt P, der auf Kliegt, dann heitdie Ebene Tmit der NormalengleichungT: ( m p) (x p) = 0Tangentialebene an Kdurch den Punkt P. Dabei istm p ein Normalenvektor von T.Abstand zwischen zwei PunktenFr den Abstand d zwischen zwei Punkten Q und Pgiltd(Q; P) = |q p| = | p q|.52Abstand zwischen Punkt und EbeneFr den Abstand d zwischen einem Punkt Pund einer Ebene Egiltd(P; E) =ap1 +bp2 +cp3 +da2+b2+c2.DasistderBetragdeslinkenGleichungstermsderHesseschenNormalformvonE,wobeifrx1, x2und x3die Koordinaten von Peingesetzt wurden.Abstand zwischen Punkt und GeradeFr den Abstand d zwischen einem Punkt Pund einer Geraden g: x = u +tvgiltd(P; g) =u +v ( p u)v2v p.Abstand zwischen zwei GeradenSind g: x = u1 +s v1und h : x = u2 +tv2zwei Geraden mit linear unabhngigen Richtungs-vektoren, dann gilt fr den Abstand:d(g; h) = |(v1

v2) (u1 u2)||v1

v2|Winkel zwischen zwei GeradenFrdenWinkel zwischenzwei Geradenmit denRichtungsvektorenv1undv2gibt esdieFormelcos =|v1 v2||v1| |v2|.Winkel zwischen zwei EbenenAusdenNormalenvektorenn1undn2zweierEbenenlsstsichderWinkelzwischenihnenbestimmen mitcos =|n1 n2||n1| |n2|.Winkel zwischen Gerade und EbeneFr den Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor v und einer Ebene mit demNormalenvektor n giltsin =|n v||n| |v|.532.2Lineare Gleichungssysteme2.2.1EinfhrungEin lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus linearen Gleichungen fr beliebig viele Varia-blen x1, x2, ..., xn(auch Unbekannte genannt) .DabeimussnichtinjederGleichungdesSystemsjedeVariablevorkommen,esdarfsogarVa-riablen geben, die in gar keiner Gleichung auftauchen.GibtesbestimmteWertefrdieVariablenx1, x2, ..., xneinesLGS,sodassalleGleichungenerfllt sind, dann sind diese Werte eine Lsung des LGS. Ein LGS kann gar keine, genau eine,oder unendlich viele Lsungen besitzen.Beispiele1. LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen2x1 + 3x2= 14x15x2= 3DiesesLGShatgenaueineLsung:mit denWertenx1= 7undx2=5sindbeideGleichungen erfllt.2. LGS mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen2x1 + 3x2= 14x15x2= 3x1 +x2= 0Bei diesem LGS stimmen die ersten beiden Gleichungen mit dem ersten Beispiel berein.Wenn das LGS eine Lsung htte, dann also x1= 7 und x2= 5.WeildamitaberdiedritteGleichungnichterflltist(7 + 5 =0),hatdasLGSkeineLsung.3. LGS mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungenx1 +x2x3= 0x13x2 + 2x3= 2Dieses LGS hat unendlich viele Lsungen. Es geht uns jetzt aber erstmal noch nicht dar-um, wie man auf diese kommt. Wir schauen uns nur an, wie man unendlich viele Lsungenberhaupt darstellen kann.Das ist mglich indem man die Unbekannten x1, x2und x3mithilfe eines neuen Parame-ters t angibt. Hier gilt fr die Lsung:x1= 1 +t, x2= 1 +t, x3= 2t.Da man fr jeden Wert von t eine andere Lsung fr das LGS bekommt, sind so unendlichviele Lsungen angegeben. Z.B. erhlt man fr t = 0 die Lsung x1= 1, x2= 1, x3= 0oder fr t = 2 die Lsung x1= 1, x2= 3, x3= 4.542.2.2Matrix DarstellungBeim Lsen von Gleichungssystemen verwenden wir die Matrix Darstellung, mit der man sichdas unntige Schreiben von Variablen erspart und die Darstellung einfacher und bersichtlicherwird. Zum Beispiel wird das LGSx1 4x2+ x3= 05x1+ x3= 82x2 2x3= 4als Matrix so notiert:___1 4 15 0 10 2 2084___Kommt also eine Unbekannte in einer Gleichung des LGS nicht vor, spiegelt sich das in einer 0an der entsprechenden Stelle in der Matrix wieder.Substraktionen in Gleichungen entsprechen negativen Werten in der Matrix.Die n-te Zeile einer Matrix bezeichnen wir im Weiteren mit zn, bei obiger Matrix hat also z.B.z3die Werte 0, 2, -2 und -4.2.2.3AdditionsverfahrenDas allgemeine Lsungsverfahren fr Gleichungssystemen besteht im ersten Schritt aus der wie-derholten Anwendung des Additionsverfahrens.Beim Additionsverfahren wird von zwei beliebigen Zeilen zm und zn einer Matrix ausgegangen,bei denen an derselben Stelle zwei von 0 verschiedene Werte stehen. Den Wert in zm bezeichnenwir mit wmund den Wert in znmit wn.MultipliziertmanjetztalleWertevonzmmitwnundalleWertevonznmit wmundaddiertdie multiplizierten Zeilen, dann entsteht eine neue Zeile zneu= wn zm + (wm) zn.zneuhat an der Stelle, wo wmbzw. wnstehen den Wert 0 und wird an Stelle von zmoder znindie Matrix geschrieben.DasAdditionsverfahrenbewirktalsodieEliminierungeinerUnbekanntenauseinerGleichungdes LGS.Beispiel:BeiderfolgendenMatrixsteheninz1undz2jeweilsanersterStelledievon0verschiedenenWerte w1= 4 und w2= 3:_4 83 526_Wir multiplizieren die Werte von z1mit w2= 3 und die Werte von z2mit w1= 4.Dann addieren wir die Ergebnisse und erhalten dabei fr die neue Zeile zneudie drei Werte 0, 4und -18. Damit ersetzen wir z.B. z2und erhalten die umgeformte Matrixzneu= (3) z1 + (4) z2:_4 80 4218_552.2.4allgemeines Lsungsverfahren fr GleichungssystemeEs gibt eine systematische Methode, mit der man bei jedem LGS herausnden kann, ob es keine,eineoderunendlichvieleLsungenhatundmitdermanallemglichenLsungenbestimmenkann.DiesesVerfahrenheitGauschesEliminationsverfahren(nachdemMathematikerCarlFriedrich Gau) und wird im folgenden erklrt.1. Schritt:BestimmeinjederMatrixzeiledieStelle,anwelcherdererstevon0verschiedeneWertauftritt. Dabei gibt es die folgenden zwei Mglichkeiten.a) es gibt zwei Matrixzeilen, bei denen dieser Wert an derselben Stelle auftritt:in diesem Fall bestimmst du mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile, bei der andieser Stelle eine 0 steht. Stehen in der neuen Zeile berall Nullen, auer an der letzten Stelle, dann endetdas Lsungsverfahren. Das LGS hat dann keine Lsung. Stehen in der neuen Zeile berall Nullen, dann entferne eine der beiden Zeilenaus der Matrix und fhre Schritt 1 erneut durch. Ansonsten ersetzt du eine der beiden Zeilen in der Matrix durch die neue Zeileund fhrst Schritt 1 erneut durch.b) es gibt keine zwei solchen Matrixzeilen:in diesem Fall fhrst du Schritt 2 durch.2. Schritt:BestimmeinjederMatrixzeiledieStelle,anwelcherdererstevon0verschiedeneWertauftritt und notiere die dazugehrige Unbekannte.Entsprechend den notierten Unbekannten gibt es die folgenden zwei Mglichkeiten.a) du hast alle Unbekannten des LGS notiert:in diesem Fall hat das LGS genau eine Lsung.Um diese zu bestimmen, gehst du wieder von der Matrix Darstellung zur ausfhrli-chen Schreibweise mit Gleichungen und Unbekannten ber.Es gibt dann immer eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, nach der du ausenkannst. Danach gibt es immer eine Gleichung, in der du alle schon bestimmten Un-bekannteneinsetzenunddamitdienchsteUnbekanntebestimmenkannst,bisalleUnbekannten bestimmt sind.b) du hast nicht alle Unbekannten des LGS notiert:in diesem Fall hat das LGS unendlich viele Lsungen.Auch hier wieder das LGS in ausfhrlicher Form schreiben.Jetzt weist duallennicht notiertenUnbekanntendesLGSneueParameterzuundersetzt die betreffenden Unbekannten im LGS mit diesen neuen Parametern. Danachlst du das LGS schrittweise wie bei a) nach den notierten Unbekannten auf.DieAnzahlderneuenParameterbezeichnetmanalsdieDimensionderLsungs-menge, bei 2 Parametern ist die Lsungsmenge z.B. 2-dimensional.56Beispiele:1. LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten (genau eine Lsung)___3 2 32 4 11 7 1252___Die ersten von 0 verschiedenen Werte von z1und z2sind jeweils an 1. Stelle. Wir bestim-menalsomitdemAdditionsverfahreneineneueZeile, beideran1. Stelleeine0steht.Ebensoverfahrenwirmitz1undz3.DiebeidenneuenZeilenwerdenstattz2undz3indie Matrix geschrieben und wir erhalten die neue Matrix2 z1 + (3) z2:(1) z1 + (3) z2:___3 2 30 16 30 23 62114___Hier haben z2und z3den ersten von 0 verschiedenen Wert beide an 2. Stelle. Das Additi-onsverfahren liefert uns eine Zeile, wo an 2. Stelle eine 0 steht:23 z2 + 16 z3:___3 2 30 16 30 0 27211189___An dieser Stelle erfolgt Schritt 2 des Lsungsverfahrens, weil es keine zwei Matrixzeilengibt, wo der erste von 0 verschiedene Wert an derselben Stelle steht.Beiz1,z2undz3kommendieerstenvon0verschiedenenWertean1.,2.und3.Stellevor, das entspricht den Unbekannten x1, x2und x3. Das sind alle Unbekannten des LGS,wirhabenalsogenaueineLsung. UmdiesezuermittelngehenwirzurausfhrlichenSchreibweise ber:3x1 2x2+ 3x3= 216x2+ 3x3= 1127x3= 189AusderdrittenGleichungfolgt x3=7.DasindiezweiteGleichungeingesetztfhrtzux2=2undsetzenwirx2undx3nochindieersteGleichungein,ergibtsichx1= 5.Damit haben wir die eindeutige Lsung des LGS bestimmt.2. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (genau eine Lsung)___4 52 26 3426___BeiallendreiZeilenistdererstevon0verschiedeneWertjeweilsan1.Stelle.MitdemAdditionsverfahren ersetzen wir z2 und z3 deshalb durch neue Zeilen, die an 1. Stelle eine0 stehen haben:(2) z1 + (4) z2:6 z1 + (4) z2:___4 50 180 42400___57Jetzt haben noch z2 und z3 den ersten von 0 verschiedenen Wert jeweils an 2. Stelle stehen.Das Additionsverfahren liefert mit zneu= (42)z2+18z3 eine Zeile mit ausschlielichNullen, wir streichen also z3aus der Matrix und erhalten die vereinfachte Matrix_4 50 1840_Es folgt Schritt 2 des Gauschen Lsungsverfahrens.Bei z1ist daserstevon0verschiedeneElement an1. Stelle, bei z2an2. Stelle. Diesentspricht den Unbekannten x1 und x2. Weil das alle Unbekannten des LGS sind, existiertgenau eine Lsung.Die ausfhrliche Schreibweise unserer Matrix sieht so aus:4x1 5x2= 418x2= 0MitderzweitenGleichungfolgtx2=0.DassetzenwirindieersteGleichungeinundlsennachx1auf.Dabeiergibtsichx1= 1undwirhabendieeindeutigeLsungbe-stimmt.3. LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (unendliche viele Lsungen)___4 22 16 3426___Bei z1 und z2 sind die ersten von 0 verschiedenen Werte (4 und -2) jeweils an erster Stelle.Wir bestimmen deshalb mit dem Additionsverfahren eine neue Zeile zneu= (2) z1 +(4) z2, sodassanersterStelleeine0steht. DazneusogarnurausNullenbesteht,entfernen wir z2aus der Matrix.Auch bei z1und z3sind die ersten von 0 verschiedenen Werte (4 und 6) jeweils an ersterStelle. Mit dem Additionsvefahren erhalten wir zneu= 6 z1+(4) z2, so dass an ersterStelleeine0steht.zneuistebenfallseinekompletteNullzeileundwirentfernenauchz3aus der Matrix.Die vereinfachte Matrix besteht jetzt nur noch aus einer Zeile z1:_4 2 4_Jetzt kommt Schritt 2 des Lsungsverfahrens.Dererstevon0verschiedeneWert inderverblienenenZeilesteht an1. Stelle, welcheder Unbekannten x1entspricht. Da das nicht alle Unbekannten des LGS sind, gibt es alsounendlich viele Lsungen.Wir weisen jetzt der einzigen anderen Unbekannten x2des LGS einen neuen Parameter tzu: x2= t.Dann gehen wir zur ausfhrlichen Schreibweise der vereinfachten Matrix ber:4x1 + 2x2= 458Durch Einsetzen von x2= t ergibt sich x1= 1 12t.Mit x1= 1 12t und x2= t sind damit alle unendlich vielen Lsungen beschrieben. DieLsungsmenge ist 1-dimensional, da wir zur Beschreibung der allgemeinen Lsung genau1 Parameter bentigt haben.4. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lsungen)_3 15 65 25 1101_Beide Zeilen beginnen mit Werten ungleich 0. Wir bestimmen mit dem Additionsverfah-ren eine neue Zeile, die mit einer 0 beginnt und ersetzen damit die 2. Zeile der Matrix:5 z1 + (3) z2:_3 15 60 0 303_Es folgt Schritt 2, wobei der erste von 0 verschiedene Wert von z1an 1. Stelle und von z2an3.Stellevorkommt.DasentsprichtdenUnbekanntenx1undx3.Hierbeifehltx2,esgibt also unendlich viele Lsungen. Wir schreiben x2=t und die vereinfachte Matrix inausfhrlicher Schreibweise :3x1 15x2 6x3= 03x3= 3AusderzweitenGleichungfolgtx3=1. Mitx2=tundx3=1folgtausdererstenGleichung x1= 2+5t. Damit sind alle unendlich vielen Lsungen durch einen Parameterbeschrieben, die Lsungsmenge ist also 1-dimensional.5. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lsungen)_ 1 3 40 2 4108_Bei diesem LGS entfllt Schritt 1 des Lsungsverfahrens komplett, weil in den Matrixzei-len die jeweils ersten von 0 verschiedene Werte an verschiedenen Stellen auftreten. In z1bendet sich dieser Wert an 1. Stelle und in z2an 2. Stelle, was den Variablen x1und x2entspricht.Dax3hierbeinichtvorkommt,gibteswiederunendlichvieleLsungen.Wirschreiben x3= t und gehen in Schritt 2 zur ausfhrlichen Schreibweise der Matrix ber:x1+ 3x2 4x3= 102x2 4x3= 8x3= t in die untere Gleichung eingesetzt ergibt nach x2aufgelst x2= 4 + 2t.Wir setzen noch x2 und x3 in die erste Gleichung ein, lsen nach x1 auf und erhalten x1=2 + 2t.DieLsungsmengeistauchhierwieder1-dimensional,dawirzurBeschreibunggenau einen Parameter bentigt haben.596. LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (unendlich viele Lsungen)_1 1 22 2 448_Hiertrittinz1dererstevon0verschiedeneWertan1.Stelleaufundinz2ebenso.MitdemAdditionsverfahrenbestimmenwirzneu=(2) z1 + (1) z2,sodassbeizneuan1.Stelleeine0steht.DazneuaberkomplettausNullenbesteht,darfz.B.z2ausderMatrix entfernt werden und es verbleibt die einzeilige vereinfachte Matrix_1 1 2 4_In Schritt 2 stellen wir fest, dass der erste von 0 verschiedene Wert der einzigen Zeile an 1.Stelle steht, was der Unbekannten x1 entspricht. Dabei fehlen die Unbekannten x2 und x3welchen wir die Paremeter s und t zuweisen und somit wied


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