Physikpraktikum für PharmazeutenUniversität RegensburgFakultät Physik

5. Versuch: Strom- undSpannungsmessungOhmsches Gesetz

1. EinführungIn Versuch 3 und 4 haben wir begonnen einfache mechanische Systeme mit ziemlich ein-fachen Methoden zu untersuchen. Wir erkannten die vorhandenen Kräfte, summiertendiese, fanden so die resultierende Gesamtkraft und wendeten die F = ma Formel an.Danach war es nur noch eine Frage der Mathematik. Die Kräfte, welche wir fanden,waren im Wesentlichen die Gravitation und die Spannkraft der Seile. Die erste ist ei-ne fundamentale Kraft in der Physik: alle Objekte mit Massen m1 und m2 ziehen sichgegenseitig mit der Kraft Fgr = Gm1m2/r

2 an. Dabei ist r der Abstand zwischen denMassen und G die Gravitationskonstante. Die Tatsache, dass die Gewichtskraft als mggegeben ist, kommt daher, dass Gm2/r

2 genau g entspricht, falls m2 die Masse der Erdeund r deren Radius sind.

Die Spannkraft der Seile ist keine fundamentale Kraft in der Physik. Ihr Ursprung be-findet sich stattdessen in der Struktur der Materie, die aus elektrisch geladenen Partikelnaufgebaut ist, welche stark miteinander wechselwirken. Die elektrische Wechselwirkungarbeitet mehr oder weniger wie die Gravitation. Sie wird durch die Formel Fel = kq1q2/r

2

beschrieben, wobei dieses mal q nicht die Masse sondern etwas anderes, das wir als elek-trische Ladungen bezeichnen, ist. Die Konstante k ist die Coulombkonstante. Es gibtzwei entscheidende Unterschiede zwischen dieser und der Gravitationskraft. Die Cou-lombkraft ist attraktiv (anziehend), falls das Produkt q1q2 ein negatives Vorzeichen hatund repulsiv (abstoßend), falls es positiv ist. Außerdem ist wichtig, dass elektrische La-dungen beide Vorzeichen haben können. Der zweite Unterschied liegt in der Stärke derWechselwirkungen, da die elektrische VIEL STÄRKER ist. Das Verhältnis von elektri-scher zu Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen ist:

Fel/Fgr = 4, 16× 1000000000000000000000000000000000000000000

Die zweite Nummer ist dabei eine 1 gefolgt von 42 Nullen. Es is ziemlich schwer sich solcheine große Zahl vorzustellen. Um ein Beispiel zu geben, stellen wir uns vor wir würdenalle Elektronen entfernen, die sich auf zwei benachbarten Tischen im Labor befinden,sodass sich diese positiv aufladen würden. Durch die gleichnamige Aufladung würden siesich nun mit einer Kraft abstoßen, die vergleichbar wäre mit dem Gewicht eines Plane-ten!Warum sind wir dann überhaupt in der Lage die Gravitationskraft zu sehen, wenn wirbedenken, dass die genauesten jemals durchgeführten Experimente eine Auflösung von≈ 10−16 haben? Der Grund liegt darin, dass normale Materie die gleiche Anzahl anpositiven und negativen Ladungen besitzt, sodass die totale Nettokraft recht klein ist.Da jedes Teilchen eine mehr oder weniger gleiche Anzahl an positiven und negativenLadungen sieht, gleicht sich die attraktive Kraft des ersten mit der negativen Kraft des

2

letzten aus. Schlussendlich spielt die elektrische Kraft auf dem makroskopischen Leveleine nebensächliche Rolle.In mikroskopischen Größenordnungen verändert sich die Situation. Wenn sich Atomeein Elektron teilen, wird der Bereich zwischen ihnen negativ geladen, während der Restleicht positiv bleibt. Daraus folgt, dass die negativ geladene Wolke in der Mitte als Kle-ber wirkt, der die Atome in einer chemischen Bindung zusammenhält. Dies ist die Kraft,die alle Dinge zusammenhält.Neben dem Verständnis der Struktur der Materie kann das Studium von elektrischenPhänomenen ebenfalls für die makroskopische Welt wichtig sein. Insbesondere erlaubt esuns die Fähigkeit den Fluss der Elektronen zu kontrollieren, Arbeit zu erzeugen (elektri-sche Motoren), Hitze zu generieren (Öfen) oder ein Signal zu manipulieren (elektronischeGeräte, Computer, etc.). Jedoch gehorchen die elektrischen Phänomene Gesetzen (Max-well Gesetze), die komplizierter als das einfache F = ma sind. Daher geht deren sys-tematische Untersuchung weit über die Grenzen dieses Praktikums hinaus. Wir werdenstattdessen die einfachsten Situationen mit statischen Ladungen und statischen Strö-men analysieren. In diesen Experiment werden wir damit beginnen, statische Ströme,das Ohmsche Gesetz und Joule Effekte zu studieren. Im nächsten Versuch werden wirdann den dynamischen Fall mit zeitveränderlichen Strömen und Spannungen untersu-chen.

3

2. Theorie

2.1. Das Rutherford’sche AtommodellDas sogenannte Rutherford’sche Atommodell wurde von Ernest Rutherford als Ergeb-nis seiner Streuversuche im Jahr 1911 aufgestellt. In diesem Modell wird das Atom auseinem (positiv geladenen) Kern von (negativ geladenen) Elektronen - entsprechend derKernladungszahl des Atoms - umgeben. Der Kern besteht dabei aus Protonen und Neu-tronen, in ihm konzentriert sich die gesamte positive Ladung sowie einen Großteil derAtommasse. Dieses Modell ist nützlich um ein qualitatives Bild des Atoms zu erhalten.Jedoch ist für eine quantitative Beschreibung des Atoms Quantentheorie erforderlich.

(a) (b)

Abbildung 2.1.: (a) Das Rutherford’sche Atommodell. (b) Anziehung und Abstoßungelektrischer Ladungen.

2.2. Elektrische Ladungen und das Coulomb’sche GesetzEs gibt zwei unterschiedliche Ladungen, die sich durch ihr Vorzeichen unterscheiden: po-sitive (+) und negative (-). Die Wahl der + und - Zeichen ist reine Konvention undhat historische Gründe. Elektrische Ladungen haben die Eigenschaft, dass sich gleichna-mige Ladungen abstoßen und nicht-gleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen. Manhat festgestellt, dass elektrische Ladung gequantelt ist, sie kommt nur als ganzzahligesVielfaches der Elementarladung

|e| = 1, 602× 10−19 C

vor1. Die Einheit der Ladung ist Coulomb und wird mit dem Buchstaben „C“ abgekürzt.1 Streng genommen, ist dies nur für elementare Teilchen, welche isoliert werden können, wahr. Eine

Ausnahme stellen zum Beispiel Quarks dar.

4

Der Betrag der Elementarladung wurde zuerst 1910 durch Millikan und seinen Tröpf-chenversuch bestimmt. Die negative Elementarladung wird Elektron genannt und hateine Masse von me ≈ 9, 110−31kg, die positive Elementarladung heißt Proton und wiegtmp ≈ 1, 673 · 10−27kg.Die Kraft zwischen zwei Ladungen (q1, q2) wird dabei durch das Coulomb’sche Gesetz

beschrieben:F = 1

4πε0· q1q2r2

wobei ε0 = 8, 85 · 10−12 C2/J m. Die Kraft zwischen den beiden Ladungen ist also um-gekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes r.

2.3. Das elektrische FeldEine Ladung übt über große Entfernungen hinweg einen Einfluss auf andere Ladungenaus. Man geht davon aus, dass an jedem Ort, an dem eine Kraft ~F auf eine positiveTestladung q ausgeübt wird, ein elektrisches Feld ~E existiert. Diese elektrische Feldstärke~E ist ein Vektor, der die Kraft ~F auf eine positive Einheitsladung q an dieser Stelle angibt.

~E =~F

q

Das elektrische Feld hat die Dimension Kraft pro Ladung KraftLadung und die Einheit [V/m].

Eine Punktladung erzeugt ein elektrisches Feld. Dieses zeigt in Richtung des Vektors ~rund hat im Punkt r nach obigen Formeln den Wert:

E = 14πε0

q

r2

Um diese Fernwirkung zu verdeutlichen führte man das Konzept der Feldlinien ein, dieden Verlauf des elektrischen Feldes grafisch darstellen. Die Tangente in jedem Punkteiner Feldlinie illustriert die Richtung der Kraft, die auf eine (Probe-)Ladung an diesemPunkt wirken würde. Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und endenan der negativen Ladung.

2.4. Das elektrische PotentialLasst uns einen Bereich im Raum vorstellen an dem sich ein elektrisches Feld befindet.Eine Ladung q wird zum Beispiel durch die Kraft F = Eq von Punkt A nach Punkt Bbeschleunigt. Sie wird daher Punkt B mit einer bestimmten kinetischen Energie errei-chen. Diese Tatsache können wir dadurch beschreiben, indem wir annehmen, die Ladunghatte im Punkt A eine potentielle Energie, welche eventuell durch die Arbeit von elek-trischen Kräften in eine andere Energieform umgewandelt werden kann. In diesem Fallist die Differenz der potentiellen Energien in den Punkten A und B ∆EAB entscheidend.

5

Abbildung 2.2.: Feldlinien einer Punktladung, zwischen zwei ungleichen Ladungen undzwei gleichnamigen Ladungen

Die Arbeit, die von der elektrischen Kraft verrichtet wird um von A zu B zu kommen,ist:

∆EAB =∫ B

A

~Fd~r = q

∫ B

A

~Ed~r

Hier haben wir F = qE benutzt, wie wir es im vorherigen Abschnitt gesehen haben. Fürdie meisten elektrischen Probleme benötigen wir die Differenz der potentiellen Energiepro Einheitsladung. Dies wird Potentialdifferenz genannt und ist einfach durch ∆φAB =∆EAB/q definiert. Es gilt daher:

UAB ≡ ∆φAB = ∆EAB

q=

∫ B

A

~Ed~r

Alle oben betrachteten Größen sind Differenzen von Werten (worauf es auch in denmeisten Problem ankommt). Wir können das Potential in einem Punkt ausdrücken,indem wir einen Referenzwert festlegen. Beispielweise kann das Potential im Unendlichenauf Null gesetzt werden, womit folgt:

φA =∫ ∞

A

~Ed~r

Potential und Potentialdifferenz werden in Volt [V] gemessen.

2.5. Elektrischer StromElektrische Ströme werden durch die Bewegung von Ladungsträgern erzeugt. Der elek-trische Strom I, welcher durch einen Draht fließt, gibt an, wie viel Ladung sich proSekunde durch die Querschnittfläche eines Drahtes bewegt. Die Einheit der Stromstärkeist C

s und heißt Ampere (A).Die Phänomene des Elektronendrifts unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes wer-

den detailliert in der Festkörperphysik studiert. Dies geht jedoch über den Rahmen diesesPraktikums hinaus.

6

Abbildung 2.3.: Der elektrische Strom ergibt sich aus der Anzahl an Ladungen, welchedie Querschnittfläche A in einer bestimmten Zeit passieren.

Abbildung 2.4.: Stromfluss durch einen Widerstand bei einer Spannung ∆V

2.6. Der elektrische Widerstand und das Ohm’sche GesetzDer elektrische Widerstand ist ein Maß dafür, welche Spannung U nötig ist um einebestimmte Stromstärke I durch einen elektrischen Leiter (Widerstand) fließen zu lassen.Genauer gesagt ist der Widerstand R durch den Quotienten zwischen der Spannung Uund den Strom I definiert:

R ≡ U

I. (2.1)

Der elektrische Widerstand R wird in der Einheit Ohm [Ω] angegeben. Prinzipiell kannder Widerstand R von der angelegten Spannung U abhängig sein. In vielen Leitern (z.B.Metallen) hängt jedoch der Widerstand R nicht von der Spannung U ab, d.h. R ist eineKonstante [R = U

I = konstant]. In diesem Fall sagt man, der Leiter sei „ohm’sch“, derStrom I ändert sich dann proportional zur Spannung U .Zur Charakterisierung elektrischer Bauteile erstellt man üblicherweise sogenannte U -

7

I-Kennlinien. In ihnen wird der fließende Strom I gegen die Spannung U angetragen. Fürohm’sche Leiter ergibt diese U -I-Kennlinie eine Gerade, deren Steigung dem WiderstandR entspricht.

U-I Kennlinie

Span

nung

[V

]

−30

−20

−10

0

10

20

30

Strom [A]−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

Abbildung 2.5.: Kennlinie eines Ohmschen Widerstands (R = 4Ω)

Verwendet man nun einen Draht als Widerstand, so lassen sich weitere Proportiona-litäten finden. Der Widerstand R ist indirekt proportional zur Draht-QuerschnittflächeA. Außerdem ist er proportional zur Länge L des verwendeten Drahtstücks.

R ∝ 1A

R ∝ L

Insgesamt ergibt sich die Proportionalität

R ∝ L

A

und damitR = ρ

L

A

Die hier eingeführte Proportionalitätskonstannte ρ heißt spezifischer Widerstand undhat die Einheit [Ωm]. Über diese Größe lässt sich der Widerstand berechnen, wenn Län-ge und Durchmesser des Drahtes bekannt sind.

8

2.7. Die Kirchhoffschen Regeln2.7.1. Kirchhoffsche KnotenregelDie Knotenregel besagt, dass die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenfließen-den Ströme, der Summe aller aus diesem Knotenpunkt abfließenden Ströme entsprechenmuss:

N∑n=0

In = 0

Hierbei gehen zu- und abfließende Ströme mit entgegengesetztem Vorzeichen ein. Ab-bildung 2.6 zeigt ein konkretes Beispiel. Durch die Anwendung der Knotenregel findenwir, dass hier I1 + I2 + I3 = I4 + I5 gelten muss. Wie bereits bekannt sein sollte, ist derStrom als Anzahl der Ladungen, welche pro Zeitintervall durch einen Leiter fließen, defi-niert. Wäre dieses Gesetz nicht erfüllt würden hier Ladungen verschwinden oder erzeugtwerden.

Abbildung 2.6.: Knotenpunkt und die dort zu-/abfließenden Ströme

2.7.2. Kirchhoffsche MaschenregelNach der zweiten Regel müssen alle Teilspannungen, welche in einer Masche abfallen,sich in Summe kompensieren:

N∑n=0

Un = 0

In Abbildung 2.7 ist ein Schaltkreis mit Spannungsquelle zu sehen. Hier ist die Umlauf-richtung im Uhrzeigersinn gewählt, kann aber im Grunde umgekehrt definiert werden.Alle Spannungspfeile die der Umlaufrichtung entsprechen, gehen mit einem positiven,Spannungen entgegen der Umlaufrichtung mit negativem Vorzeichen in die Summe ein.Angenommen es liegen 9 V Versorgungsspannung an und alle drei Widerstände wärengleich groß, so würde man an jedem Widerstand eine Spannung von 3 V messen. Wirhaben hier den Leitungswiderstand vernachlässigt. Grundsätzlich wären die Leitungenauch nur ein relativ kleiner ohmscher Widerstand und könnten als solcher berücksich-tigt werden. Dadurch würden wir an unseren Widerständen natürlich nicht mehr diese

9

Abbildung 2.7.: Eine geschlossene Masche in einem Schaltkreis

3 V messen, weil ja ein kleiner Teil der 9 V Versorgungsspannung tatsächlich an denLeitungen abfällt.

2.8. Rechenregeln für Widerstände in Schaltungen2.8.1. Die SerienschaltungIn einer Serienschaltung sind verschiedene Widerstände (z.B. R1 und R2) in Serie, dasheißt direkt hintereinander geschaltet. Der elektrische Gesamt-Widerstand RGes dieserSchaltung wird berechnet, indem man die Einzelwiderstände addiert:

RGes = R1 +R2

Abbildung 2.8.: Serienschaltung von zwei Widerständen R1 und R2

2.8.2. ParallelschaltungIn einer Parallelschaltung sind zwei (oder mehr) Widerstände parallel geschaltet. Derreziproke elektrische Gesamtwiderstand ergibt sich in diesem Fall durch die reziprokeAddition aller Einzelwiderstände:

1RGes

= 1R1

+ 1R2⇒ RGes = 1

1R1

+ 1R2

10

Abbildung 2.9.: Parallelschaltung von zwei Widerständen R1 und R2

2.9. Leistung und Energie im StromkreisWenn sich eine Ladung q in einem elektrischen Feld bewegt und dabei eine Potential-differenz bzw. Spannung U durchquert, so hat das elektrische Feld dabei an der Ladungq die Arbeit q · U geleistet. Fließt nun durch einen Widerstand R die Stromstärke I,dann durchqueren dq Ladungen pro Sekunde die Potentialdifferenz U . Somit leistet daselektrische Feld die Arbeit

dWdt = P = U · I

pro Sekunde. Die pro Sekunde geleistete Arbeit P nennt man elektrische Leistung. Siehat die Einheit Watt [W]. In Kombination mit einem Ohm’schen Widerstand ergebensich insbesondere:

P = U · I = I2 ·R = U2

R

Die verbrauchte Energie ergibt sich aus der Integration der Leistung über den betrachte-ten Zeitraum. Diese Energie entspricht der Erwärmung des Widerstands (Heizeffekt, imengl. Joule-heating). Da in unserem Fall die Leistung P über den Zeitraum t konstantbleibt, genügt uns die Formel

E = P · t

Die elektrische Arbeit kann in Joule J angegeben werden, jedoch wird sie im Alltaghäufig in Kilowattstunden [kWh] angegeben (z.B. wird die Stromrechnung stets in Kilo-wattstunden abgerechnet). Eine kWh entspricht 3600000 J .

11

3. Versuchsdurchführung

3.1. Computergesteuerte Messungen

Abbildung 3.1.: Aufbau für die computergesteuerten Messungen mit 330 Ω-Widerstandund Glühbirne

1. Schließen Sie den 330 Ω-Widerstand wie in dem Schaltbild gezeigt an das HP66312A an. Nehmen Sie nun mit dem Computermessprogramm „U-I-Kennlinie.vi“eine Spannungs-Strom-Kennlinie auf. Legen Sie dafür einen Spannungsbereich von0-10 Volt fest. Speichern Sie diese ab und werten diese mit Hilfe von QTI-Plot aus.Verwenden Sie hierfür den linearen Fit und lesen Sie die Steigung ab. Bei einemI-U-Diagramm entspricht die Steigung 1

R . Berechnen Sie zuletzt R.

2. Ersetzen Sie den Widerstand durch eine 12V Glühlampe und nehmen sie die Mess-kurve auf. Was fällt Ihnen am Diagramm auf? Übernehmen Sie die Messwertein QTI-Plot und zeichnen Sie die Diagramme Spannung über Strom, Widerstandüber Strom, und Widerstand über Leistung.

3.2. Manuelle Messungen - ohne Computer3. Auf einem langen Brett sind zwischen Polklemmen zwei Manganin-Drähte ge-

spannt. Messen Sie zunächst Durchmesser und Länge mit Mikrometerschraubeund Meterstab. Schließen Sie anschließend einen Draht an. Stellen Sie am HP Netz-teil einen festen Strom von 1A ein und messen Sie den Spannungsabfall über demDraht mit Hilfe des Keithley Voltmeters. Vergleichen Sie die angezeigten Spannun-gen des Keithley-Voltmeters und der HP-Stromversorgung. Durch was könnte dieseAbweichung zustande kommen?1 Schließen Sie anschließend die Manganindrähtein Reihe und parallel und führen Sie die gleichen Messungen durch. Bestimmen Sie

1Versuchen Sie diese Frage in Ihrem Protokoll zu beantworten.

12

den Widerstand des Manganindrahts und berechnen Sie den spezifischen Wider-stand ρ. Bestimmen Sie außerdem den Innenwiderstand des HP-Stromversorgung.Zeichnen Sie die zugehörigen Schaltbilder in Ihre Ausarbeitung.

Abbildung 3.2.: links: einzelner Manganindraht, Mitte: Reihenschaltung, Rechts: Paral-lelschaltung

13

A. Materialien und Messprogramm

A.1. Materialien und Geräte1. Vielfach-Meßgerät für Spannung, Strom und Widerstand (Keithley 2000)

2. Netzgerät – mit Digitalanzeige (HP 66312A)

3. Holzschaltbrett mit Buchsen

4. 330 Ω - Widerstand

5. Glühlampe 12 V, 21 W

6. Bretter mit Buchsen für Manganindraht, inklusive Manganindraht

7. Labor-Kabel mit Bananenstecker

14

A.2. Das Computer-Messprogramm

Zur Aufnahme der U-I-Kennlinie verwenden Sie das Programm „U-I-Kennlinie.vi“. Esist mit dem Netzgerät „HP 66312A“ verbunden. Nachdem Sie das LabVIEW Programmgeöffnet haben, müssen Sie es zuerst starten, indem Sie auf den linken oberen Pfeil „Run“drücken. Dann können Sie eine minimale und eine maximale Spannung (z.B. 0-10V)wählen. Über den Button Messung starten! starten Sie anschließend den Messvorgang.Das Programm beginnt damit, den minimalen Spannungswert am Netzgerät anzulegenund nimmt die daraufhin fließende Stromstärke auf. Nach einem Messvorgang erhöht dasProgramm die Spannung in gleich großen Schritten und führt jedes Mal eine Messungder Stromstärke durch, bis der maximale Spannungswert erreicht ist. Unten links sehenSie die Anzahl der Messungen und welche Messung aktuell durchgeführt wird. Darunterbefindet sich ein Button Messung unterbrechen!, mit dem Sie die Messreihe abbre-chen und die bisherigen Ergebnisse abspeichern können. Nach Beendigung der letztenMessung stoppt das Programm und möchte die Ergebnisse speichern. Rechts befindetsich eine graphische Auftragung der gemessenen Werte.Beim Abspeichern ist darauf zu achten, Ihre älteren Ergebnisse nicht zu überschreiben!Achten Sie daher auf die Namensgebung der abgespeicherten Dateien!Die Hewlett Packard Stromversorgung HP66312 A liefert Spannungen von 0 bis 20Vund eine Stromstärke von 0 bis 2A.

15

A.3. Manuelle Bedienung der Stromversorgung HP 66312ADrücken Sie zunächst „Voltage“ (1) für die Einheit des einzustellenden Werts, dann„Enter Number“ (2). Nun können Sie anhand der Zahlen, die links neben den Tastenim Feld (3) abgebildet sind, eine Spannung eintippen. Bestätigen Sie mit „Enter“ (4).Nun passiert – gar nichts, denn erst, wenn man (5) „Output On“ wählt, legt das Gerätdie einprogrammierte Spannung auf die Ausgangsbuchsen. Wiederholen Sie den Vorganganschließend für die Stromstärke. Dabei gehen Sie ganz genau so vor wie oben beschrie-ben, nur dass Sie statt „Voltage“ (1) „Current“ (6) aktivieren. Geben Sie als Zahlenwert2 Ampere an. Das Netzgerät regelt sich nun selbst: Sie können die Spannung beliebighoch schrauben – bis zu einem Grenzwert, bei dem 2 Ampere durch die Leitung fließen,dann schaltet die Stabilisierung, und der Strom kann nicht weiter gesteigert werden.

16