Date post: | 06-Apr-2016 |
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3.4 Das computerunterstützte UnterrichtskonzeptDr. Helmut Heugl
2. Einfluss auf das Lehren
1.1 Das White Box/Black Box Prinzip
1.2 Das Black Box/White Box Prinzip1.3 Das Modulprinzip
3. Einfluss auf das LernenDie Buchbergersche Kreativitätsspirale
Helmut Heugl
4. Workshop Funktionen
1. Verschiedene Rollen(Abläufe) von Mathematik
Modellieren
InterpretierenO
perie
ren
Problem Mathemat. Modell
Mathemat.lösung
Mathematik Problemlösen durch Schließen
concrete phase 1
abstract phase
concretephase 2
concretephase 3
concretephase 4
concretephase n
The 2 stepconcept of
mathematics abstractingconcretising
The power of mathematics is the power of concretising
X = Y . Z
areaA = a.b
priceP = p.n
workW = F.s
powerP = U.I
proceedsE = p.x
distances = v.t
massM = ρ.V
Riemannsumsin traditional
mathematics educationExample 2.3:
Calculate the definite integral
using the definition of the definite integral e.g. use the idea of „midsums“.
2b
a
x dx
Riemannsums in technology supported classes
concretephase 1
concretephase 2
concretephase 3
concretephase 4
concretephase n
mathematicsis not only
mathematizing!
Das White Box/Black Box Prinzip
Phase 1: Die White Box Phase Phase des verstehenden Lernens
•Formulieren des Problems,•Finden einer Vermutung,•Entwickeln von Begriffen oder Algorithmen,•Begründen, Beweisen,•Rechnen ausreichend vieler Übungsaufgaben ohne CAS,•Nutzen von Black Boxes die in früheren White Boxes erforscht wurden.
Phase 2: Die Black Box Phase
•Entscheidung für ein Konzept, für einen einen Algorithmus•Ausführung durch das CAS als Black Box•Testen und Interpretieren•Ab und zu in die Box hineinschauen – „Glasbox“
Phase des erkennenden und begründeten Anwendens
2. Einfluss auf das Lehren
Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra
Strukturerkenneung
Termboxwhite
Gleichungsbox White
TermboxBlack
Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra
Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra
Gleichungssysteme, WHITE
Gleichungsbox BLACK
TermboxBLACK
(I) 3.x - 2.y = 12│+2.y(II) 7.x + 2.y = 8_______________________(I) 3.x = 12 + 2.y│:3(II) 7.x + 2.y = 8_________________________(I) x = (12 + 2.y)/3(II) 7.(12 + 2.y)/3 + 2.y = 8│.3_____________________________(II) 84 + 14.y + 6.y = 24│-84(II) 20.y = -60│:20(II) y = -3
Arbeiten IN den Gleichungen
Arbeiten MIT den Gleichungen
Arbeiten MIT DEM NAMEN der Gleichungen
Veränderung der Kognition durch CAS
Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra
Anwendungsbox, WHITE
GleichungssystemeBLACK
Gleichungsbox BLACK
TermboxBLACK
Integrieren
Differenzieren
Das Modulprinzip
Module sind Wissenseinheiten,
• in denen (komplexes) Wissen komprimiert wird, und
• in denen Operationen durch diese Kapselung als Ganzes abrufbar und einsetzbar
werden.
(1) Module, die von den Schülern entwickelt wurden
(2) Module, welche die Lehrer zur Verfügung stellen
(3) Module die das CAS zur Verfügung stellt
Phasen des modulorientierten Arbeitens
“Arbeiten mit Modulen führt zum modularen Denken” [E. Lehmann, 2002]
Definieren von Modulen
Analysieren von Modulen, Nutzen für experimentelles Arbeiten
Entwickeln eines “Modulpools” als Werkzeugkasten für das Problemlösen
Nutzen von Modulen als Black Box
Verknüpfung von Modulen (selbstgebaute mit Modulen des CAS)
Problem
Vermutung
Theoret. Absicherung
Algorithmus
Problemlösung
Neues Problem
3. Einfluss auf das Lernen
Problem
Vermutung
Theoret. Absicherung
Algorithmus
Problemlösung
Neues Problem
Heuristische,experimentelle
Phase
ExaktifizierendePhase
Anwendungs-phase
Die heuristische, experimentelle Phase
Beispiel 2: Extremwertaufgaben in der 5. Klasse
Beispiel 1: Schuldentilgungspläne in der 4. Klasse
Beispiel 4: Kollision von Schiffen in der 5. Klasse
Beispiel 3: Die Idee der „Linearisierung“ in der 7. Klasse
Beispiel 4: Kollision von SchiffenEin besseres Verständnis für Parameter durch Experimentieren
[Wheeler, 1998]Die Kurse zweier Schiffe kreuzen einander. Sie befinden sich auf
einem rechteckigen Radarschirm in folgender Position: Die USS Arlington befindet sich am unteren Rand des Schirms (x‑Achse) 900 mm von der linken Ecke entfernt, die USS Heights erscheint am linken Rand (y-Achse) 100 mm von der unteren Ecke entfernt. Eine Minute später beobachtet man folgende Position: Die USS Arlington hat sich 3mm nach Westen und 2 mm nach Norden bewegt, die USS Heights 4 mm nach Osten und 1 mm nach Norden.
Mögliche Fragen:• Werden die Schiffe kollidieren?• Mit welcher Geschwindigkeit sind sie unterwegs?• Wie groß ist ihr geringster Abstand?
Die exaktifizierende Phase: Riemann Summen
Berechne mit Hilfe von „Zwischensummen“2b
ax dx
Planet Entfernung(in mil. km)
Umlaufzeit in Tagen
Merkur 57.9 88
Venus 108.2 225
Erde 149.6 365
Mars 227.9 687
Jupiter 778.3 4392
Saturn 1447.0 10753
Uranus 2870.0 30660Neptun 4497 60150
Pluto 5907 90670
Die Anwendungsphase: Das 3. Keplersche Gesetz
Zusammenfassung der Ergebnisseder österreichischen Technologieprojekte
Mehr schülerzentriertes, experimentelles Lernen
Mehr anwendungsorientierte Mathematik
Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführen zum Planen
Verschiebung der Tätigkeit vom Rechnenzum Modellieren, Interpretieren und Begründen
Der Computer unterstützt nicht nur Kognition,er wird zu einem Teil der Kognition
Homepage: www.acdca.ac.at
Example 4.1: The module „difference quotient“
Step 1: Defining a module „diffq“
( ) ( ) ( , )f x h f x diffq x hh
Step 2: Using the module for experimental learning
( , ) 1, 0.5, 0.1, 0.1, 0.5, 1Graph diffq x h h
Step 3: Connecting modules produced by the students with modules offered by the CAS
Using modules – a chance and a danger:
Example 4.4: The program package „Vector-Calculations“[Th. Himmelbauer, 1997]
Problem 1: Find the distance of 2 skew lines
• ExtrenwertaufgabenohneDifferentialrechnung
• Die Idee der Linearisierung
Experimentelle Phase: Untersuchung der Auswirkung von Parametern
Beispiel: Sterile Insektentechenik (SIT)
Eine Insektenpopulation mit anfangs uo Weibchen und uo Männchen möge bei natürlichem Wachstum pro Generationjeweils auf das r‑fache anwachsen. Zur Bekämfung der Population wird pro Generation eine bestimmte Anzahl s von sterilen Männchen ferigesetzt, die sich mit der Naturpopulation völlig vermischt. Modellannahme uo=1 Million, r=3.
Sterile Insektentechnil S.I.T.